（理论物理专业论文）用袋模型的方法计算含两个重夸克的重子能谱.pdf

y b th e ev a l u a t i o n ba r y o n s wi t h t wo q u a n t u m f i e l d t h e o r y q i a n o f s p e c t r a o f he a v y q u a r k s i n th e mi t b a g mo d e l ke p h y s i c s d e p a r t m e n t o f n a n k a i u n i v e r s i t y ab s t r a c t t h e g r o u n d s t a t e s o f b a ry o n s c o n t a i n i n g t w o h e a v y q u a r k s c c ) a r e e v a l u a t e d i n t h e m i t b a g m o d e l . a m i x i n g b e t w e e n ， ( b b , b e a n d jq ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) a n d jq ( b c ) a n d a x i a l 1 ) (1 / 2 ) i s o b t a in e d w h e r e t h e s u b s c r ip t s 0 a n d 1 r e f e r t o s c a la r v e c t o r d i q u a r k s t r u c t u r e s a n d i t s ma g n i t u d e i s a b o u t 1 0 % . o t h e r n u m e r i c al r e s u l t s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h a t o b t a i n e d in t h e p o t e n t i al mo d e l . k e y w o r d s : d i q u a r k ,mi t b a g mo d e l ， f o r m f a c t o r 引言 关于包含b 夸克和。 夸克的重味物理， 理论上和实验上都认为， 它和只包 含轻夸克的情况很不相同.其原因在于，虽然 q c d是轻和重味物理的墓本理 论: 但是在重味 物理中， 却独有着一个额 外的s u f ( 2 ) . s u , ( 2 ) 对称性1 . 因 为我们目 前对于非微扰 q c d没有充分的认识， 在我们处理低能过程时，这个 额外的 对称 性就极有帮助了. 实质上， 这是由 于 重夸克质量远大于a q c d ， 从 而使重味物理间题变得简单多了， 在计算有重味的强子谱的时候， 它的作用尤 为重要. 自 从 “ 最后的” 介子 b 。 被发现， 许多理论家和实验家把注意力转移到探 索含有两个重夸克的重子上.在 t e v a t r o n和l h c，以及提议中的能量为 5 0 01 0 0 0 g e v的n l c将要进行测量这种重子的实验. 当前理论工作的目的是 找到一个可信的方法来计算这种重子的能谱. 虽然q c d仍是理论基础， 但由 于 缺少足够的对于决定重子束缚的非微扰q c d的知识， 我们就引入了唯象的手 段， 势模型和q c d求和规则是最常用的方法. 在势模型里， 线性( 或者等效) 禁闭项不能被任何基本理论解释或推导出，换句话说， 它是人为加入的项，目 的是为了完成计算和吻合数据. 另一个有趣的方面是重子的d i q u a r k 结构. 在这个图像里， 两个色为3 的夸 克相互吸引， 构成了一个q q 子系统， 其基态自 旋为。 或1 ， 成为一个标量粒子 或者一个轴矢量粒子. 许多学者已 经就此课题进行了研究并提出了该结构图像 可能应用在什么物理过程中.d i q u a r k 究竟是能成为物理上的一个空间实体， 还是仅仅为了计算方便而提出的一个数学化抽象， 这仍然处于讨论之中.至少 对于轻味的情况，图像是不能确定的，不过重子中含有两个重夸克就是另一个 间题了.总的来说， 作为一个色场的源， 两个重夸克相对于轻夸克而构成一个 d i q u a r k ， 还是可信的. 在实际的物理过程的计算中， 它的空间分布可以由一个 相互作用顶点的形式因子来代表.这样， 原先的三体问题转变为一个较容易处 理的两体间题. 在势模型里， 计算含有 d i q u a r k 结构的重子能谱有方法简单和 物理图像清晰的好处， 可以先推导出d i q u a r k 和轻夸克之间的有效势， 而后解 薛定谬方程或者更复杂一些的方程. 然而， 在量子力学的体系内有一个严重的 间题， 就是没有产生或者消失算符，因此粒子的特征不会发生改变. 事实上， 如我们 所指出的，( b e ) d i q u a r k 自 旋可以 为0 或者1 ， 而( b b ) 和( c c ) d i q u a r k 自 旋只能 为1 ( s 波) ， 因 为 它在色为3 的态. 重子b c q ) (1 / ”可以 有q ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) 态 和q ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) 态 或 者它们 的 混合态， 其实直 觉上 就可以 知 道lq ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) 和 lq ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) 的 混合态应该存 在. 矩阵 混合项对应于由 矢量d i q u a r k 跃迁到标量 d iq u a r k 或者相反， 也就是一个矢量粒子消失而一个标量粒子产生， 该过程即 q 十 a斗q + s， 其中a和s 分别代表轴矢量粒子和标量粒子， 对此过程量子 力学无能为力， 但却是量子场论可处理的一个基本反应、 因此，我们转向另一个简单的模型 - m i t袋模型. 实际上从唯象的角度来 说， 袋模型里夸克和胶子流不 能穿过袋边界的规定与势模型的线性禁闭势是等 效的. 唯一不同的是， 在袋棋型里我们可以用量子场论的方法去处理这个过程， q +a- q +s可以通过交换胶子实现. 按照文献 2 ， 我们把跃迁振幅转变 为相互作用能. 很明显， 这个反应的能量是一个哈密顿量的非对角元，而反应 a十 q 斗a 十 9 和s 十 q 神s 十 9 的振幅转变成能量后应该是对角元， 这些修正 作为微扰项加到零级袋能量上. 将哈密顿矩阵对角化， 我们就可以获得混合态 lq ( b c ) o ) ( 1 / 2 ) 和q ( b c ) 1 ) ( 1 / 2 ) 的 本征态， 相应的 本征值为可 测量的 物理质量. 此外，袋模型在对于介子并不好，因为这时， 袋边界更像一个筒形，而不 是球形. 这样，由只有轻味的球形袋边界计算出的介子谱就不精确了.然而， 如果有一个重夸克或者d i q u a r k , 情形就不同了， 很重的 d i q u a r k 几乎不动， 呆 在轻夸克所笼罩的色场的中 央. 这种情况和原子结构十分类似， 所以甚至对于 这样一个 ( 轻夸克 一 d i q u a r k) 两体间题， 我们也可以期待一个相当近似的球形 边界. 本文中有一些参数，其中有的参数由标准的方法就可以确定，但还有参数 尚不确定，例如零点能 除非第一个这样的重子被实验测量出来，否则我们就 不能把参数全部定出来并在真正意义上知道其能谱， 不过， 这些重子能谱之间 的差值是由 模型决定的， 它们将被实验所检验. 本文如下组织: 在引言部分之后， 第二部分是计算能谱的公式及推导， 第 三部分是数值结果，最后一部分是本文的结论和讨论. 第一章基本理论介绍 1 . 1 d i q u a r k 结构 强子系统有两大类 一 重子和介子. 介子是一个两体系统， 这样的系统处 理起来是相对简单的， 在计算中只需引入一个不确定的形状因子， 即所谓的 i s g u r - wi s e 函 数. 但是在重子情况下就复杂多了， 此时的系统是三体系统. 正如 文献 3 ) 所指出， 即使有了重夸克有效理论 这样非常有效的理论工具， 在重子的 跃迁矩阵元的计算中仍然会有很多独立的不确定的形状因子， 这使得从理论上 对重子问题做精确的计算变得非常困难. 我们可以看到， 重子间题的困难在于这是一个三体间题， 但许多研究指出， 当重子中有两个重夸克一个轻夸克时， 很可能重子中的三个夸克中的两个构成 一个束缚态，因为质量很大， 所以几乎呆在重子的中心位置不动，而轻夸克则 在外围大得多的空间里运动. 这种情况就类似于氢原子或是 9 一q介子. 这样 三体间题简化成两体问题， 复杂性就降底了. 这种由两个夸克的束缚态组成的 准粒子就是所谓的d i q u a r k 结构!4 , 5 . 显然， 对准粒子d i q u a r k 的最重要的一条要求就是它要保持相对的稳定性， 也就是说在反应过程中，它不会被 “ 打散” ， 也不会被激发. 事实上我们很难从 理论上直接确认这一点， 但将由这个假设出发所得的数值结果和实验相比，便 可以看出这种假设是不是合理的. 本文中， 重夸克波函数0 ( y ) 取高斯形式同: v, (y) 一 4 7r ( 1 . 1 ) 由归一化条件可得 n (y) 一 4a3 ( 1 .2 ) 1 . 2 mi t袋模型里的轻夸克 我们知道， 在高能物理实验中， 从未发现自由的夸克. 为了解释这个现象， 第一章 基木理论介绍 人们提出了夸克禁闭的理论，m i t袋模型就是用来解释该现象的一个较好的 模型. 该模型的主要思想就是把强子看作一个袋子，规定强子内的夸克流无法 流出袋子的边界， 同时在袋边界上存在数值为b的真空压力， 以使袋的大小保 持稳定. 假设一个半径为 r的强子， 其内部夸克的波函数为: ( 一 7 v + y o w + 二 ) 4 = 0 , ( 1 .3 ) 解此方程的边界条件为: - i -y r q =q ,: =r . ( 1 .4 ) 此方程荃态的解为: (ls)(le) e 、.夕/ - /才口.砚飞、 q ( x , 公 ) =n( x ) 认 4 7 r ( 宁 ) 1/ 2 z7 o ( x r / r ) u 兰 俨) 1 / 2 .7 1 ( x r / r ) o r u 为 了 满 足 a ， 3j 6 a g cl 2 q 场 = 1 ， 则n 有 : n - 2 ( x ) = r 3 .7o 2 ( 二 ) 2 w ( 、 一1 / r ) +二 / r 。 ( 。 一 二 ) 以上夕 是球贝塞尔函数，u为二分量泡利自 旋， 基态频率、有: w (m ,: ) 三 蠢 x 2 + (- r )21/2 ( 1 .z ) 由方程( 1 .4 ) 和( 1 . 5 ) ,x 有本征值方程 x l a n x= 了 - ， 二 气 两 - 7 飞 尸 汽二 - ， 二 二节 二 二. 1一 7 7 l l l 一 j 2 十 k -it) j . , , ( 1 .8 ) 在本论文的重子中， 轻夸克的墓态波函数就可以采用上面的公式. 而决定重子能谱的，除了各夸克自 身能量以及它们之间的相互作用之外. 还有真空压力能: 二 一 ; 7rb r 3 ( 1 .9 ) b是一个常数，可以认为是使夸克禁闭的外部真空压力. 1 . 3 y夸克有效理论 另外还存在零点能: _$ n 七n= 一 三. 双 ( 1 . 1 0 ) 1 . 3 重夸克有效理论 量 子 色动 力学( q c d ) 为 我们 提 供了 一 个自 然 的 尺 度a q c d ( , 2 0 0 ) m e v来 标记强相互作用的 强度. 一般地讲， 只 有在作用 量远大于人 q c d 的 情况下才能 用 微扰论 来处理间 题. 同 时，a q c d 还作为一 个自 然的 标记将夸克按质盘大小 分成两部分: 质量大于a q c d 的称为重夸克， 包括。 夸克( m e 、1 . 5 g e v ) , b 夸 克 ( 二 。 、5 g e v ) 和t 夸克( m t 、1 7 6 g e v ) ( 但是在强子物理中不考虑 t 夸克 的 情况， 因 为t 夸克 太重， 以至于在形成强子之前 就衰变掉了 ) ; 其余的三个夸 克u 夸克( 。 二 =0 . 0 0 3 、0 . 0 0 7 g e v ) , d 夸克如 =0 . 0 0 7 、0 .0 1 5 g e v ) , s 夸克 ( 。 : =0 . 1 5 、0 .3 0 g e v ) 称 为轻夸克闭. 这种以a q c 。 为 分 界， 按夸克质量进 行分类有非常实际的意义.当我们将轻夸克质量近似取为零的时候， 会得到一 种新的对称性 一 手征对称性. 基于这种近似的对称性而建立的一套有效理论 在标准模型的唯象工作中起着重要的作用.另一方面， 当近似认为重夸克质量 m q -o c 时， 我们也得到一种新的对称性一 重味一 自 旋对称性. 基于这种近似 对称 性所建立的 有效理论就是 所谓的重夸克有效 理论( h q e t ) 1 . 由 重夸克组成的强子系统之所以较全部由轻夸克组成的强子容易处理， 主要 是 基 于 q c d 的 渐 进 自 由 性 质 8 , q c d 的 跑 动 藕 合 常 数 为 a 2 (q 2 ) 一 俪 二 及 五 te n(3 3(3 3 - 2 n )!n (q 即作用强度随q 2 的增大而减小. 于是， 对于一个有重夸克组成的强子， 其有效 藕 合 常 数(2 2 ( m q ) 将 很小. 这 样 一 来， 就 允许我 们 对 这 样 的系 统作微 扰 处 理， 使 问题得以简化. 我们要处理的系统是同时包含重夸克和轻夸克的强子系统， 在这样的系 统中， 重夸克被有若很强相互作用的轻夸克， 正反夸克对和胶子组成的云所包 围 . 要“ 看清， 重夸克 就必须有 大于重夸 克质量的 动量交换， 即需 要q 二 q . 不过我们知道， 重夸克与轻夸克之间的动量交换大小约为 a q c d的量级， 而 第一章 苍本理论介绍 峋c d g c - q . 这 也 就 是说， 强子中 的 轻 夸 克是“ 看不 清” 重 夸克的. 在我 们 取 了这种重夸克极限( 7 i l q 一cc) 之后， 显然此系 统的 各种性质便与该重夸克的质 盘无关了，即 “ 看不清” 重夸克的质量了， 在这种物理图象下，可以近似认为 该强子系统的速度就是重夸克的速度， 也就是说重夸克在该强子中几乎是静止 的. 这样， 起作用的便主要是色电场， 而各种相对论效应， 如色磁场， 在这种 近似下便近似为零了.由于重夸克的自 旋只有通过这种相对论效应起作用， 因 此重夸克的自 旋也就不参与作用了， 即 “ 看不清. 重夸克的自 旋.由于此时的 系统对重夸克的质量( 味道) 和自 旋都不敏感: 于是便有了一种近似的对称性 一 重味一 自 旋对称性 9 , 1 . 由这种重味一 自 旋对称性， 可以很自 然地推知，对于含有一个重夸克的强 子系统来说， 不同的系统中如果它们的区别仅在于其中的重夸克质t不同， 那么这两个系统中轻夸克的组态将是相同的. 在这样的系统中， 重夸克的速度 v v =尸 拜 / 。 。 是一个不变的量( 它也是整 个强 子系统的 速度 ) ， 因 此，v ia 已 不 再 是一个动力学自 由 度【1 0 . 这种重味一 自 旋对称 性可以 被用来解决重介子和重 子的间题 9 , 1 . 第二章 含二重一轻夸克的重子谱的计算 2 . 1 能谱公式的构建 令mb 为重子质量，m。 为d i q u a r k 质量， 则有: 20-r mb =md + w+e ( r ) +生 7 r r 3 b - 3 ( 2 . 1 ) 其中，e ( r ) 即为我们需要计算的d i q u a r k 和轻夸克的相互作用能. 我们采用了量子场论中的 b r e i t 定理来计算这部分的能量.这种方法在 e b e r t 的 文章 1 1 中出 现过. 依此， 我们 构建了 如下的 能量计算公式: h d, d 一a ? l 9 2 q (二 ，)ylq (x )p 。 二 、 * (y ) (d i j v i d ) vg (y )d x d 3 y (2 .2 ) 2 2j 产 “ 尸” 斌mm - 算 子a , a -2 二 一 誓 ， 藕 合 系 数; 2 = 4 7ra . , q (x ) 为 轻 夸 克 波 函 数 ， ( d ij 0 id 为d iq u a r k 有 效 顶 点 ， 下 一 节 将 有 详 细 介 绍 户 指 对 其 后 面 的 d a (y ) d .n m , (y ) 做 傅 立 叶变换， 将其从动量空间变换到坐标空间， 整个式子的积分是在坐标空间里完 成的.上标 “ ” 表示反应后的状态. 本文中， 传播子d， 取库仑规范: d o 。 一共 ， d o i = 。 ， d ik - q-1q 2 (dik - g i q k )0 q- ( 2 .3 ) 2 . 2 d i q u a r k - g l u o n辐合有效顶点 因为d i q u a r k 并不是严格的点状物体， 我们不能简单的使用基本q c d理论 中的顶点. 根据参考文献 ! 1 2 ， 可知反应前后d i q u a r k 皆 为标量粒子的情况的 有效定点为: ( s ( v ) i j i s ( v ) ) = v t 5 1-if f , v ,- + f 2 u ( 2 .4 ) 反应前后d i q u a r k皆为轴矢量粒子的情况的有效顶点为: ( -4 ( v , n ) 1 j i a ( v , 。 ) ) = 了 m m f 3 ( ,7 。 ) : ， ) + f 4 ( 77 二 。 w v ) - f 5 ( 77 v ) ( 77 二v ) v ) + f 6 ( a : ) ( 。 二。 ) 。 “ ) 第二章 含二t-轻奋克的t子诺的计算 、者、ij a月b : n石n 了、了口.、 + f 7 价v ( 77 。 ) + f 3 ( 7 1 v ) 77 ) f 9 z e v lp a l , p v a + f 10 z e v l i p v a 反应前d i q u a r k 为轴矢量粒子， 反应后为标量粒子的情况的有效定点为: (a ( v , 7j ) i j 0 i s ( v ) ) = m m f l . 心+ f l2 ( 7l二 。 ) 。 ， + f l3 ( 7! v ) v 0 + f l4 i e v lp, : 一 。 石 v, s 和a 代表标 量和轴 矢量粒子，v , v 万1 17 , m , m是四 速度， 极化 矢量( 仅用于 轴矢量d i q u a r k) ， 以及散射前后的初态和末态d i q u a r k 质量. 形状因子f 则有: f l 二f 2 =f 7 =f ls 二一 f 3 =- f 4 =f l ; 二f , ( 2 . 7 ) 和 f e =f 1 0 = f l l = f 1 2 = f 1 3 = 0 ( 2 $ ) 与f 6 , f s 相关的项太小， 可以忽略.而f 有: f二 ( a+ b ) q 2 +a c 2 ) ( q 2 +c 2 ) ( 2 .9 ) 这个形状因子的渐进行为很清楚， 即当q 2 - + 0 0 , f - 0 ， 而且当 了 - - o , f - 4 1 ( a = 1 ) 。 即q 2 - 3 0 0 时， 与二 重夸 克距离很小， 就不 存在什么d i q u a r k 结构了， 而当q 2 i0 时， 距离二重夸克十分远， 因而 d i q u a r k 就几乎完全是一个点粒 子，形状因子自然就为 1 了. 2 . 3 极化矢f n和四速度 v 轴矢粒子极化矢量可写为 。 一 f (“ 一 ，7 ,s + 旱 (13 p- 3 ) a ) , ( 2 . 1 0 ) 其中 动量 ， 是自 旋算符，刀=可m, ， 二e / b f 是b o o s t 因子， ， 能 量 和 质 量 ， 因 子六保 证 了 归 一 化 . p ，e，m分别是 ( 2 . 1 1 ) 兰2mz 三= 业竺 二 卫 三 mm 1+ x 2 . 3极化矢to 和四 速度v 本 文 中 ， 二 阶 小 量豁 + 1 ， 为 了 简 化 计 算 ， 我 们 将 其 忽 略 ， 这 样7 二 1 , 7a 就 简 化为: : 一 书c ca 。 ) ， ， ) vl ( 2 . 1 2 ) ， 有:9 f = 干 ( 1 冲i , 0 ) ，8 0 =( o , 0 , 阔 四速度 。 = 1 , ( e , p i , p 2 , p 3 ) i v l ( 2 . 1 3 ) 可以轻松地证明横波条件， 。 =。 本文中 ， 对于d i q u a r k 有p 一 p = q ， 所以 刀 =共( ( b ， ) ， ， ) - jz 止( p 夜 m ” ，s) 一 172 l p s 一q s ,_ 、 t j . 吕i m ( 2 . 1 4 ) 1m (m , p i, p 2, p a) 兴 a p ， 一 。 ; ，。 一 。 ，、 一 9 3 ) i v i ( 2 . 1 5 ) 同样可以证明 此时的横波条件厅 .77 - v二0 为了以后大量的公式推导部分更简洁， 我们 将后面所要用 到的77 ,价和。 ,v的 各种组合相 乘的 结果先列出 来. 11 0 , 77 + , 77 _ 与s 0 , s + , s 一 对应， 分别表示d i q u a r k 的自 旋为。 ，+ 1 和一 1 , 770 77o 。 十 7 7+ t)o t7 + : 、 心 -9 1一 a q 2 梅m 9 3 盯 ( 2 . 1 6 ) ( 2 . 1 7 ) ( 2 . 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) ( 2 .2 0 ) ( 2 .2 1 ) 钾.111 一一 -一-一一- qa一ml 、!矛、吸.产、1产 ，曰，j4 q自0，一 ;. 勺召22 了产下.、了口.、 1 9 i 一2 9 2 =f一 刃了一 刀衫 心，心 第 二 章 合二 i - 轻 夸充的 遨 王 道a 迁 鉴 a , v =0 时: e 0 0 n o n p v o e l0 0 n + 1n p v v p 1 4 2一p 2 4 1 = 一 m2 ( 2 . 2 5 ) 一1 !一 ,f m 2 - y2 一 ij2)p 3 + (p 3 一 93)p 2 - i ( p i 一 4 1 ) p 3 + i ( p 3 一 q 3 ) p 1 ( 2 . 2 6 ) u , 。 =i , k时: e k 0 0 a k n o i n a v v 。 k ip ae a k n + i n p v o 共 (。 。 ; i 以 一a 1 4 2 ) 1 =而m 9 2 . 4 ( a 2 .一 a 3 州十 i ( a 3 9 1 一 。 ， 初 ( 2 . 2 7 ) 傅立叶变换 本文后面的计算中， 用到较为复杂的傅立叶变换， 这里先将它们做出，以 后直接带入即 可. 如 前面所说， 由户表示傅 立叶 变换， k) 户 qf 2 bikf 二 ， 4 7 r 。, ( a+b ) q 2 +a c 2 ) r i -o i k 1 一 一 一 一 - 丁 - 下 - ，一 下 抓 尸 一 一 一 q l q +c 0 ) 1+ a a 2 b o i k ( 一 + 了布 一 一 一 二 二 二 r八一 ui e - c r a 2 ( b+ a ) 一 a c 2 a 2 一c2 - -a r - ) r 缩记为 4 7rf q 2 aikf ， 一 b;ka 另外 。 。4 7 r， 、二 。4 1 r , ( a + b ) q 2 + a c 2 ) rt 一- , 4 : 9 k j t =rt 一二, 4 + 4 k l 一 一 一 丁 二 厂节-1 1 4ql 4 十一 )1+y ) asa2 b 1 =一 a r ; a r ka 2 - c 2 c 2 + a 2 ( b+ a ) 一 a c 2 a 2 一c21 )a 2 a12 十 卜b 江卜丫护 . - c r1 e - a , . 2 ( b+ a ) 一 a c 2 1 r a 2 一c2 c2 ra 2 一c 2a2 缩记为: 八一 4 汀 一9 j g k f q _ 立三h a r ; a r k - 乡 2 . 4停立叶交换 本文的傅立叶变换后用到以下偏微分内容: a a 1 j i k a r i a r k r r 3 a a a i k a r ; a r k r = 下 + 3 r ir k5 t - a a e - o r o r s 刁 r k r = e - c r b ik (一 。一 十 r e - c r 八 r k r 6 ( 3 + 3 c r + c 2 r 2 ) 将它们带入到前式 户 一 4 7rq 4 4igk f , 1 ， a 2 b 1 =- r i r k i - (r 一 x -2- - c 2 g 2 十 a 2 (b + a 上a c 2 上 、 a2一 c2 a2 , e - c r a 2 b 1 + 一 万a 2 - 钾 c 2 c 2 - e - a r a 2 ( b + a ) 一 a c 2 八 2 一c2 1一尸 一 - b ik ( 一 a 2 b 1 a 2一c2 c2 a 2 ( b+a ) 一a c 2 1 a 2 一c2a2 a 2 ( b+ a ) 一 a c 2 a2 一c2 1 . . -ar 上 1么， 、 a 2s l -i t r一 i 厂甲 玉 - , i -r甘 a 2 b 1_p - c r +一= ( -cr一1 1 a石一 c, cl、了 r j ( 2 . 3 0 ) 缩记为: 另外: 户 一 二 4 7 r _ 户 1o d i k .f 一 q 47r,t 4igkf 摹 4igkf =- r i r k b 一s i l o = s ik a 一r i r k b 一6 ik c =j ik ( q 一 司一 r i r k b = 缸a一r i r k b ( 2 .3 2 ) 计算中， 还将遇到下面的情况: f 9 i ( 49rq p bik 一 47rq q 9igk f ) - ( 一 i k a 一r i r k 的 a一 ) d i k一卜 名 一 r i r i . b ) 飞 一 a r , 、 一 ， ， ) b t* 一 卜 i d _, r k b 一 i 5 , ir ; b 氏aa 影。氛。凉 曰卜 . a不 一r; r:一 l -n i o r , 第二章 合二i- 径夸充的t子讲的计葬 缩记为 f 9 i ( 同样的， 有 4 7r b ik f - q 9 i g k f ) 二b ik d l 一: i r k e l + i 6 l i r k b + i r ib l k b( 2 . 3 3 ) f q 2( 4a q 2 bikf - f 93( 47r q 2 bikf - g j 9 iq k f ) ) 4 7 r =6 i k d 2 一r i r k e 2 +i b 2 i r k b +i r i b 2 k b ( 2 . 3 4 ) 4 7 r 不9 i g k ! ) j 二b i k d 3 一r i n k 场+i 6 , i r k b + i r i b 3 k b( 2 . 3 5 ) 以上 a 2 b e - c r a 2 ( b + a ) 一 a c 2 e - a r a 2 一c2 r a 2 一c2 a 2 ( b+ a ) 一 a c 2 r ( 2 . 3 6 ) 十 a一r a= b 1 . a 2 b 1 一( 一二二 一 - 二 不二二 又十 r a一 l ( 1a 2 一c2 e - a r a 2 ( b 十 川一 a 护 1 a 2 一口a 2 ( 2 . 3 7 ) 1。 e - c r a 2 b r a 2 一c 2 a 2 b 1 a 2一伊 c2 :1 2 ( b + a ) - a c 2 生、 ( _ 王 八 2 一c l a 2 r 3 a 2 ( b+a ) 一a c 2 a 2 一c2 1。 -a r 上 ，_, 了于k -1 1 t一 月 勺了， 人 、一i - a 2 b 十 a 2 - c 2 t -cr 几i -，、 r ,- l 一七r一 l ) z 了 一t - a j . 、户六尹 a -c . 口气 一 ， 8 r , a . l9 - 1 一 ， - ar 2 一一一- dl内 云 一 而 a 6 一 ， 8 r ; b 一 ， a r a b ( 2 . 3 8 ) ( 2 . 3 9 ) ( 2 . 4 0 ) ( 2 . 4 1 ) ( 2 .4 2 ) ( 2 .4 3 ) ( 2 .4 4 ) ( 2 . 4 5 ) 第三章计算l i g h t q u a r k - d i q u a r k 相互作用能 3 . i s一s情况 s一s情况就是指d i q u a r k在散射前后都是标量粒子的情况. 此情况下 d iq u a r k 和轻夸克之间的相互作用表达式为: 、 一誓 譬 。z j j 4 (x )y04 (x )fd , ;(y)s 22 92 f f ( s ( v ) i j is ( v ) ) v mm v, ( y ) d x d 3 y ( 3 .1 ) 带入s一s情况的有效顶点，得 * 一 21 22 9 2 l / 9 (x )7 4 (x )f d v,o *(y )(f lv + f2v 0)vi (y )d x dy 带入轻夸克和d i q u a r k 的波函数，可得 * ， 一a 1 2 9 2 (n (x )n (y ) )2 1 1 (w 1 m )1/2ijo (x rx l r )u + ， 一 (二 )1/2 “ t j j甲山 i 1 ( x r x l r ) ( ( q f x ) u + ) t ) 7 o 7 ( 粤 ) 1 / 2 z 7 o ( x : 二 / r ) u + 一 ( 1- 1 ) 1 / 2 j 1 ( x r . i r ) d r x u + f d ,.。 一 尽(f iv 1 + f:v 价 一 x xf 2v 0 )e - .p d 3x d 3y ( 3 .3 ) 在这里，u + 和u - 对于结果没有任何影响， 我们就取u + 的情况. 散射前后， 粒子基本可以 看作是在同 一点， 所以 式中x ， y可以换为x 当我们考虑d o 。 时，p , ， 二0 r soos 一2 i 2 29 2(n ( 4)n (y)2 f f i(w + m )jo(x rxlr )1o(二 二/ r ) + (w w m ) 7 1 (x rx 1 r )j 1(x 7-x1 r )f d ,. 。 一 尽 ， (。 ， 十 。 )。 一 x1 d 3x d 3 y 一a i a 2。 2 n (x )-v (y ) 2 j j i( w + m2 2 9 ( 47r ) f f ( w ).1o2(x rx/ r ) + (w - m )7 12(x rx/r ) p d oof e - 缤(， 、 ， )e 一 x x1 )e - d 3x d 3y 一a i a 2 _1 9 2(n (x )n (y )2 r f2 2 4a 47r一 ，),(.a1 + m )jo2(x rx/ r ) + ( 掣 )7 12 (x r x / r )a 。 一 “s r d 3x d 3 y 第 三 章 计 井li g h t q u a r k - d i q u 衅 担互 生 三些 上面是一个六重积分，可写为: 、一0 a0 1 n (x)n (y) 2 j x2 2 4tr 92 ( 47r ) rsdb=0户sin o.doz 厂 drs 乒doy 关 ” ry sin bydo . 关 “ ，(一 ，)!(宇)7o2(xrz/r ) + (w - m )j12(x r=ir )laea1r: 将x 取为: 方向， 则c o s b = c o s b y ， 积分简化为: 0 0h s s二i r 1 9 2 ( n (x )n (y ) )2 i r 4 7rd r= p 二 ，in b d o r rv 2 1rd ry z 叮任 下j r j o j o (3.)阴 (一 ， )!(宁 )jo2 (x r. i r ) + (丫 )7 12 (x rz / r )a e 0r0 须指出 的 是，百 中 的r , 当r s r ， 时: r二 7 :x 一 r y e 二斌 r . 2 + r y e 一 2 r , r , c o s 8 澎 r 二 一r , c o s b 该 积分中r 二 的 积分限是( r y , r ) ， 因 为轻 夸 克的 空间 体积远 大于d i q u a r k , 所以0 r . gr y 部分在积分中 所占比 例甚小， 可以 忽略不计. 对 于 高 斯 形d iq u a r k 波 函 数 ， 我 们 将 积 分 限r ， 定 到备 ( 自 然 单 位 制 ) ， 就就荃本可以代表d i q u a r k 的半径了.当我们考虑认* 时: h ik 一答 l l 9 2 ( n (x )-,v (y ) ) 2 1 (燮 ) 1! 2ij (x r . i r ) u , ， 一 (w - m ) 1/2 “性丫 jj囚田 i l ( x : 二 / r ) ( ( a e = ) ul ) y o -y i ( 宁 ) 1 2 ij o ( x r = i r ) u + 一 ( - m ) 1 i 2 j 1 ( x r . i r ) q - r . u + fdi k e一 尽(f 1v /k * f 2 )。 一 t! l0 _ d 3x d 3 y ( 3 .6 ) 写 3 . 1 s一s情况 a i 入 吕2 ， 一- y l 乙乙n ( 4n (y)2(w + rra)1/2(w - m )1/2 f f 1ih 二 ;/r )ji(一 r ) 琪v i ( a - t = ) u + 一 ij o ( x r x / r ) j t ( x r x l r ) 琪( a - e s ) , o i u + f d ik f (p k , q k 十 e )。 一 : d 3 x d 3y 1 v l 1 v l x i 4 ii 9 2 ( 1v (x )1v (y ) )2 (w + rrb) 1/2 (w - m ) 乙任7 w w1/2 f f ijo(x r./r )71(x rs/r ) 以a i ( a - e m ) u + 一 ij o (x r x / r ) 9 1 (x r s / r ) 叭( a (、 ; 一 。 r k b) 琪 e 0 0 d 3x d 3 y l 以 a a a o,，n( x ) n( m ) . , , w+r / 6 , ， ， ，.一m, ， ， 。 =下 二 = g - l ) 一 几 ) 一 一 ( ) “ 2 2 )4 7 r“w w r x ) 从u + m f f io(x r.ir )71(x r.ir ) 以1 ( a . u + ( a 句( 子t y ) cd 一( 子 rl ( a r x ) ( a 动 一( ar x ) ( a e x ) (r . 确u + 一 ; o ( x r . / r ) 7 1 (x r y / r ) rl (r - pj b l u + e - 0 d 3 x d 3 y ( 3 . 7 ) s - s 情况的 轻夸克 和d i q u a r k 相 互作用 能式等于( 3 .4 ) 和( 3 .7 ) 式两 部分相加 须提及的是: . jj 气 a .r 二 二 c o s b s i n o e - o s i n w o一c o s o ( 3 . 8 ) a ; 即泡利矩阵. ( 3 .7 ) 式中 的巧为d i q u a r k 的 动 量， 在我们的 这个质心系 里， 它 正好与轻夸克的 动量等值反向: n二 ( 3 .9 ) 前面曾经提到， 我们计算能量完全是在坐标空间中进行， 积分式里的p 也要转 化为坐标空间的微商算符. 所以 p =- 几 二i c r ( 3 . 1 0 ) 第三章 计算li 宫 h t q u a r k - 山 q u a r k 相互作用能 1 4 算符p 将对轻夸克的波函数部分作用. 本文计算中采用的是球坐标系， 所以p 的三个分量的微商算符形式为: pi = 1 口、. 1口 、 + c o s h c o s 41 -r 丽) 一 “ in o r s s in b 蔽) p 2 i , , 0 % , = 0 x 3 一 *(sin 0 cos 0 a 17 . 一 (sin 0 sin 0 晶 +c o s 0 s i n 1 a 0 - n n 一 r ，0 甘 ， c o s !6 r . s i n 0 二、 a o y i p3 = 一 (一 。 arz 一 ，n 0 走 aex ) ( 3 . 1 1 ) 这三个微商算符将在后面的计算中使用到. 部分微商: 然后再积分，积分方法和a , v = 将厂 对( 3 .7 ) 式中的轻夸克波函数 0的情况一样，这里就不再推导. 3 . 2 a一 a情况 a - a 情 况 就 是 指d i q u a r k 在 散 射 前 后 都是 轴 失 量 粒 子的 情况. 其自 旋有盖 和呈 两 种 情 况 ， 所 以 有 : 二 ， 、 一 11-0曰 ，廿 1人一q自 矛、 写 3 . 3 a一s情况 将它们分别简记为 h a s . , h a s d 考虑 刀 叨时的h a s . h 0 0h a s .= 姆姆 2 292 f f 4 (x )7 04 (x )fd oof 1(y )(ie0i00la vava)+l(y )d3x d3y 一a i a 20 9 2 (n (x )n (y ) )2 f f( z任万j j 公 十 刀 飞 ) j 。 ( 二 : x/ r ) j o ( 二 : 二 / r ) + 碍 _ 里 )、 1( 、 / ; )， ;(x 、 / : )， 、 一 s+ (w w m )7 i(x ,. i r )j i(x rx/ r )p d ooe_ 0sn 了 p i4 2 - p 24 1m 2一 !; d -x d 3y 尹 1m为 二阶 小量， 可以 忽略. 所以 ( 3 . 3 1 ) h 0 0a s 。 二。( 3 .3 2 ) 考虑 几* 时的 h a s .: i kva s. 一 z l 2， 22 2 9 f f 4 (x )-tq(x ). d ikv*(y)f iep,)*,pv lv,(y )d x d y 一a al a2。 2(n (x )n (y)2 j j ( w + rn )1 /2 (w - m ) 1/22 _y g - 47r f f ( w w (二 ;/: ) j l ( - r . / r ) u +t ,t i ( (y f - ) u + 一 ，.9 o (x r x l r ) 9 1 (x r x i r ) u + ( a r x ) t q iu i l p d ik f (i e