（理论物理专业论文）量子压缩与纠缠能力.pdf

r 量子压缩与纠缠能力 论文作者签名： 指导教师签名： 论文评阅人1 ： 评阅人2 ： 评阅人3 ： 评阅人4 ： 评阅人5 ： 答辩委员会主席： 委员1 ： - 委员2 ： 委员3 ： 委员4 ： 委员5 ： 术半球木：l c 冰 术：l ：l ：l = 术：l ： 术： ：冰：l ：l ：i ： 术木木术术：l ： 术丰冰木：l ：l ： 答辩日期 3洲8删0 删4m舯m肿_7， iiil洲丫 a u t h o r ss i g n a t u r e ： s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e ： e x t e r n a lr e v i e w e r s ：兰：! ! ! ：! ! 一 e x a m i n i n gc o m m i 。e commixamlnmgo m m i 。e 水术宰拳术木 = i = 术球宰：l ：球 枣术木木术，l c 宰：i ：，i c ：l c 木木 d a t eo fo r a ld e f e n c e ： a u g u s t2 0 0 9 致谢 致谢 首先要感谢的是我的导师王晓光教授。本论文之所以能够顺利完成，完全离不 开王老师的悉心指导和严格要求。王老师在论文的选题、研究理论、直至撰写、修 改和定稿等各个环节均严格把关，并投入了大量的时间和精力。王老师治学严谨， 学识渊博，为我营造了一种良好的研究氛围。在跟随王老师学 - j 的过程中，我不仅 掌握了全新而实用的学术思想和研究方法，也领会了许多待人接物与为人处世的道 理。王老师严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，直 让人有如沐春风之感。 感谢浙江大学物理系的各位老师，感谢物理系提供了如此优秀的师资力量和办 学条件，各位老师的教诲，使我受益匪浅，我的成长和他们每一个人都是分不开的。 师恩似海，永生难忘。 感谢孙哲博士不厌其烦的指出我研究中的缺失，且总能在我迷惘时为我解惑。 感谢访问学者刘万芳老师，其在访问期间与我多次展开有意义的讨论。感谢金佩卿 博士在英语写作上给予我的帮助。同时我也要感谢小组内其他同学在诸多方面给予 的帮助。 最后要感谢我的父母，他们数十年的奉献，使我能够心无旁骛地走在漫长的求 学道路上；他们数十年的关爱，使我在求学的过程中并不感到孤单。 浙江大学博士学位论文 摘要 这篇论文主要考虑了两个问题。其中一个是复合系统中总体压缩性质与局域压 缩性质之间的关系【1 1 ；另一个为利用几何相位构造q u d i t 量子逻辑门，并探讨其纠缠 能力1 2 。 我们首先介绍与压缩态相关的一些概念，并引入自旋压缩系数与玻色压缩系数 用来刻画系统的压缩性质。压缩态的根源在于量子力学中的不确定关系，但是它跟 量子纠缠之间存在非常紧密的关系。比如在对称的自旋系统中我们可以发现自旋压 缩系数与刻画对纠缠大小的并发成线性关系。本文中我们尝试从复合系统的总体和 局域压缩关系的角度来理解压缩的起源问题。我们研究了自旋( 玻色) 复合系统压 缩的动力学演化性质，并考虑了系统处于自旋( 玻色) 纠缠相干态情况下总体与局 域压缩的关系。对于高自旋( j 1 ) 复合系统和玻色复合系统，总体压缩除了来自 于子系统本身产生的压缩外，还来自于子系统间的量子纠缠所带来的影响。当系统 处于对称直积态时，系统的总体压缩来自于局域压缩的平均贡献，因此全同系统的 总体压缩与局域压缩相同。由这个关系，我们可以得到总体压缩系数与局域压缩系 数的差值不为零可以作为子系统间存在纠缠的充分条件。我们发现量子纠缠在促进 总体压缩的同时也有抑制局域压缩的效果，并且某些量子纠缠态将同时抑制总体与 局域压缩。 之后我们主要考虑了q u d i t 几何相位f - j 的纠缠能力。利用几何相位构造的量子逻 辑门具备抗外界干扰能力强的特点，n q u d i t 具有一般的量子比特没有的优势。比如 在量子通信中利用q u d i t 会获得更好的安全性。我们将自旋j 粒子置于外加磁场中，通 过不同的方式调节磁场的参数可以使系统的初态经历不同的周期演化从而完成相 应的量子操作，以此建立了q u d i t 几何相位门的具体形式。在量子计算中我们需要能 够有效产生纠缠态的量子逻辑门。我们通过研究算符的纠缠能力来确定一个量子门 产生纠缠的效率。对于) y 。q u d i t 几何相位门，纠缠能力等价于其算符纠缠。因此我们 摘要 通过计t x q u d i t ) l 何相位门的算符纠缠发现q u d i t 几何相位门具有比量子比特几何 门更具优势的纠缠能力。 关键词：压缩总体和局域量子门几何相位纠缠能力算符纠缠 i 一 a b s t r a c t w em a i n l yc o n s i d e rt w op r o b l e m si nt h i st h e s i s o n ei st h er e l m i o nb e t w e e ng l o b a l s q u e e z i n gc h a r a c t e ra n dl o c a ls q u e e z i n gc h a r a c t e ri nac o m p o s i t es y s t e m 【1 】：t h eo t h e ri s c o n s t r u c t i n gq u a n t u ml o g i cg a t ef o rq u d i tb yu s i n gg e o m e t r i cp h a s ea n di n v e s t i g a t i n gi t s e n t a n g l i n gp o w e r t 2 1 w ef i r s ti n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so ns q u e e z i n gs t a t e ，a n dh o wt oc h a r a c t e r i z e s p i ns q u e e z i n go rb o s o ns q u e e z i n gb yu s i n gs q u e e z i n gp a r a m e t e r t h es q u e e z i n gp r o p e r t y o fas t a t ei sr o o t e di nu n c e r t a i n t yr e l a t i o n ，h o w e v e r , s q u e e z eh a sac l o s er e l a t i o nw i t he n t a n g l e m e n t f o re x a m p l e ，i nas p i ns y s t e m ，o n ec a n f i n dt h a tl i n e a rr e l a t i o nb e t w e e ns p i n s q u e e z i n gp a r a m e t e ra n d c o n c u r r e n c ew h i c hi su s e dt oc h a r a c t e r i z ep a i r w i s ee n t a n g l e m e n t d oe x i s t s i nt h i st h e s i sw et r yt oe x p l a i nt h a tt h e r ea r et w oo r i g i n so fq u a n t u ms q u e e z i n g w e s t u d yt h ed y n a m i c a le v o l u t i o no fg l o b a la n d l o c a lq u a n t u ms q u e e z i n gi nb o t hs p i na n d b o s o nc o m p o s i t es y s t e m ，a n dc o n s i d e rt h es q u e e z i n gp r o p e r t i e sf o re n t a n g l e ds p i nc o h e r - e n ts t a t ea n da l s oe n t a n g l e db o s o nc o h e r e n ts t a t e w en o t i c et h a tb o t hl o c a ls q u e e z i n ga n d e n t a n g l e m e n ts h a r e db yt h es u b s y s t e m sc o n s i s t o ft h eg l o b a ls q u e e z i n gf o rs p i n ( j 1 ) a n d b o s o nc o m p o s i t es y s t e m s f o rt h es y m m e t r i cp r o d u c ts t a t e ，g l o b a ls q u e e z i n gp a r a m e t e r w o u l db ee q u a lt ot h el o c a lo n e t h u sw ec a na s s e r tt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e ng l o b a la n d l o c a ls q u e e z i n gp a r a m e t e rd o e s n tv a n i s hi sas u f f i c i e n tc r i t e r i o nf o rt h ee n t a n g l e m e n t w e a l s of i n dt h a tt h ee n t a n g l e m e n tc o u l de n h a n c et h eg l o b a ls q u e e z i n g ，a tt h em e a n t i m es u p p r e s st h el o c a lo n e h o w e v e r , s o m ek i n d so fe n t a n g l e ds t a t e sw o u l ds u p p r e s sb o t hg l o b a l a n dl o c a ls q u e e z i n g w et h e nc o n s i d e rt h ee n t a n g l i n gp o w e ro fq u d i tg e o m e t r i cp h a s eg a t e g e o m e t r i c p h a s eg a t ei si n s e n s i t i v et ot h ef l u c t u a t i o no f t h ee n v i r o n m e n t a n dq u d i tp o s s e s sa d v a n t a g ew h i l ec o m p a r et ot h eq u b i t f o re x a m p l e ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o nb a s e do nq u d i t w o u l dg u a r a n t e em o r es e c u r i t y w eg i v et h ee x p l i c i tf o r mo fq u d i tg e o m e t r i cp h a s eg a t e 摘要 i nq u a n t u mc o m p u t a t i o no n ew o u l dn e e dq u a n t u ml o g i cg a t ew h i c hc a np r o d u c ee n t a n g l e - m e n te f f i c i e n t l y t h ee f f i c i e n c yo faq u a n t u mg a t ei sd e t e r m i n e db yi t se n t a n g l i n gp o w e r f o rc o n t r o l l e d ug a t e ，e n t a n g l i n gp o w e rp r o p o r t i o nt oi t so p e r a t o re n t a n g l e m e n t w es t u d y t h e2 - q u d i tg e o m e t r i cp h a s eg a t e so p e r a t o re n t a n g l e m e n ta n df i n dt h a tt h eq u d i tg a t eh a s m o r ea d v a n t a g et h a n2 - q u b i tg e o m e t r i cp h a s eg a t e k e y w o r d s ：s q u e e z e ，g l o b a lv e r s u sl o c a l ，g e o m e t r i cp h a s eg a t e ，e n t a n g l i n gp o w e r o p e r a t o re n t a n g l e m e n t v 浙江大学博士学位论文 目次 致谢 i 摘要 目次 1 绪论 1 1 1 引言 1 1 2 大纲 2 2 压缩态的若干性质 4 2 1 相干态与压缩态 4 2 2 自旋压缩系数与玻色压缩系数1i 2 3 压缩与纠缠的关系1 7 2 4 产生压缩的哈密顿算符2 1 3复合系统的整体压缩与局域压缩性质2 8 3 1 引言2 8 3 2 对称直积态下的总体与局域压缩性质2 8 3 3 混合可分离态下的总体与局域压缩性质3 0 3 4 量子纠缠对压缩性质的影响3 1 3 5 小结4 1 4 几何相位门及其纠缠能力4 3 4 1 引言4 3 4 2 几何量子比特门4 6 4 3 几何q u d i t f - 5 2 4 4 几何相位门的纠缠能力5 4 4 5 小结6 0 5 总结与展望6 3 参考文献6 5 v i 目次 附录7 3 5 1自旋压缩系数的动力学演化7 3 5 2 玻色压缩系数的动力学演化7 8 攻读博士学位期间主要研究成果8 0 i 浙江大学博士学位论文 v i i i 绪论 1绪论 1 1 引言 近几十年来，量子理论的发展促使人们产生了很多新奇的想法，这些想法可能 会对未来数十年诸多工程技术领域带来革命性的突破。比如量子计算 3 1 可以比经典 的计算方法更快地求解一些特定问题。大数因子分解的速度可以指数倍的提高 4 1 。 数据搜索能力将远远强于经典算法【5 1 。利用经典的搜索方法，在未分类数据库内寻 找特定数据的时间标度与数据库规模为线性关系。而利用量子搜索方法，搜索时间 标度为数据库大小的平方根。量子密钥分布技术可以保证绝对保密的安全通讯1 6 ，7 1 。 我们可以通过经典手段发布私人密钥，而无须顾及潜在窃听者的行为。当我们采用 量子密钥分布时不承担安全风险。多体系统间的非经典关联可以有效提高测量精 度 8 - 1 3 。 为实现上述这些潜在应用，我们必须用到量子力学中关于纠缠的概念。因此从 某种意义上量子纠缠跟能量一样可以被视为一类物理资源。我们把不能表示为直 积态形式的态称为纠缠态，也就是说，比如一个两体系统，我们不能独立地确定两 个系统的状态。假设有两个二能级系统a ，b ，我们称这样的二能级系统为量子比 特( q u b i t ) 其中一种由这两个系统构成的纠缠态为( i o ) a 1 1 ) b 1 1 ) a i o ) b ) 讵。对这 个态，对其中一个系统进行测量时，我们可以同时确定另一个系统的状态。这个态 处于的希尔伯特空间具有四个维度，对由个量子比特构成的态矢，对应的希尔 伯特空间的维度为2 。大范围的希尔伯特空间的存在使得前面说的那些应用成为 可能。因此在实验上制备纠缠态成为实现量子信息和量子测量的关键，也是必须 要解决的问题。最近利用原子系综与光的相互作用来产生量子关联取得了重大进 展 1 4 , 1 5 1 。而通过离子阱技术，人们实现了8 离子的w 态【1 6 】和6 离子的g h z 态1 1 7 。 另一方面，如何刻画多体纠缠，或者更一般的，刻画多体系统间的量子关联也 成为大家关心的问题之一为了实现上述目的，其中的一种方法是测量原子或离 子的总自旋以及它们的量子涨落，即压缩系数。由于压缩与纠缠之间存在紧密联 浙江大学博士学位论文 系 1 3 ，1 8 - - 3 3 ，通过测量原子系综的自旋压缩可以判断纠缠是否存在【3 3 1 3 5 1 。对物理学 家而言，尤其是实验室工作者，对压缩进行测量的好处在于压缩具有明确的物理意 义，并且相对容易进行测量。在连续变量量子信息理论中压缩光学态或者说玻色压 缩态有着非常重要的作用。受此启发，k i t a g a w a 等人引入自旋压缩态的概念【9 】，并 将之应用于离散量子信息理论中。之后人们提出了大量的能够产生自旋压缩的方 案，包括利用原子系综与压缩光学态的相互作用，或者通过量子非破坏性测量等 等。目前数量级为1 0 7 的自旋压缩的冷原子系综已在实验中被观测到。自旋压缩本 身，在不存在退相干的情况下，可以提高干涉测量的精度【1 0 1 ，并能应用于高精度的 原子钟理论【8 1 。而自旋压缩扮演的另一个重要角色则是目前为止最好的产生多体纠 缠的方法之一。 在量子计算领域，如何有效的对量子态进行操作是大家关注的问题之一。这其 中包括尽量减小在对量子态进行操作时由于和环境的相互作用带来的出错率，以及 有效的制备量子计算所需的各种量子态，包括纠缠态。量子计算中对量子态的操作 经由量子逻辑门完成，其对应的则是一个物理系统对一个量子态执行幺正演化的过 程。和经典计算类似，量子计算中复杂的计算过程需要一系列基本的量子逻辑门按 特定顺序排列组合来实现。所以设计抗干扰力强，能有效产生纠缠并能大规模集成 的演化系统是最终实现量子计算的关键。 1 2大纲 本文的以下章节将围绕以上两个主题展开。第二章将主要回顾一些和压缩态有 关的概念。包括压缩态产生的原因，以及如何刻画压缩态的压缩性质。对应自旋压 缩与玻色压缩，分别介绍自旋压缩系数和玻色压缩系数。由于利用压缩系数我们可 以定量的描述系统的压缩性质，我们进一步探讨了压缩与纠缠之间的内在关系。这 一章节的最后将回顾诸类可以生成压缩态的系统，包括自旋压缩与玻色压缩。第三 章将主要讨论复合系统中总体与局域压缩的性质，即复合系统的压缩性质与子系统 的压缩性质。首先讨论了当复合系统处于对称直积态时总体与局域压缩的关系，随 后在子系统间引入相互作用，考察纠缠对总体和局域压缩的影响。通过这一章节的 讨论，可以得出结论压缩的起源分成两部分，分别为子系统自身生成的压缩以及由 2 绪论 于相互作用而引入的压缩。并且我们可以发现相互作用并不总是促进压缩的生成， 相反，它也可能会抑制复合系统甚至是子系统的压缩。第四章主要讨论几何相位门 及其纠缠能力。首先介绍如何利用几何相位实现对量子比特的操作，以及如何通过 核磁共振和超导量子相干设备来实现这一操作。之后我们将提出利用几何相位构造 对q u d i t 进行操作的量子逻辑门的想法。通过考察$ x q u d i t 量子逻辑门算符纠缠，我们 探讨了如何有效的产生优化的逻辑门。最后一章节我们做了总结和展望。 浙江大学博士学位论文 2 压缩态的若干性质 2 1 相干态与压缩态 这一章节中，我们将介绍一些有关压缩态的概念【3 6 】。在这之前我们简单回顾一 下相干态。上世纪6 0 年代，相干态被广泛应用于量子光学等领域。一个相干态可以 通过如下幺正位移算符来产生， d ( q ) = e x p ( a a ? 一q + n ) ：e x p ( 粤) e x 咖。t ) e x p ( _ 砒) ， ( 2 1 ) 其中q 可以是任意复数。位移算符具备以下性质： d t ( a ) = d 。1 ( a ) = d ( - a ) ， d t ( a ) a d ( a ) = a + o l ， d t ( a ) a * d ( a ) = n + a + ， 相干态l q ) 可以通过位移算符作用在真空态上来得到 i a ) = d ( q ) i o ) 利用性质( 2 2 ) 我们可以得到下面的等式 o i q ) = d ( a ) d + ( q ) n f 口) = d ( a ) d ( q ) n d ( q ) i o ) = d ( q ) ( + q ) i o ) = q d ( n ) i o ) 由上可知相干态为湮灭算符的本征态。两个相干态的标量积为 4 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( p i q ) = ( o i d ( p ) d ) i o ) ：唧( 一粤一孕删2 ) ( 2 5 ) 压缩态的若干性质 由此可知对不同的q 和p ，相干态并不正交。 现在我们考虑两个哈密顿算符a - 9 b ，它们满足以下对易关系 【a ，b = i c ( 2 6 ) 上式中的c 可以是个算符，也可以是个数。从海森堡不确定关系可以得知，算 符a 与b 的涨落的乘积满足不等式 a a a b 去i ( c 1 ( 2 7 ) 对一个任意算符f ，涨落可以表示为 ( a f ) 2 = ( f 2 ) 一( f ) 2 ( 2 8 ) 倘若一个量子态使得算符a 或者算符b 的涨落满足不等式 ( a ) 2 i 1l ( c ) i ， ( 2 9 ) 或者 。 ( a b ) 2 去i ( e ) i ， ( 2 1 0 ) 我们就称这个态为压缩态。当一个量子态使得( 2 7 ) 式中的等号成立时，并同时满 足( 2 9 ) 式或( 2 1 0 ) 式，我们称这个态为理想压缩态或者压缩相干态。我们可以 发现相干态( 2 3 ) 也满足最小不确定关系。对一个数态( 或者f o c k 态) 由于它的光 子数是确定的，因此相位的涨落趋向于无穷大。由相干态和位移算符的表达式可 知，由于相干态具备不确定的光子数，人们反而能够更精确的了解它的相位信息。 对一个压缩态来说，要使( 2 7 ) 式成立，- 9 之对应的另一个算符的涨落的平方必须大 于i l ，从而保证不确定关系不被破坏。 现在我们暂时把注意力放到谐振子系统上来。谐振子系统的位置和动量算符我 们分别定义为 口= v f f u ( 口“) ，p = i 等( t z - - a t ) ( 2 1 1 ) 可以发现当系统处于相干态时，我们有 ( q ) 巯= 五h ，( 却) k = 等， ( 2 1 2 ) 浙江大学博士学位论文 从上式，我们可以得到最小的不确定关系( g 卸) c d 7 l = 鲁。对一个单模场，我们用产 生湮灭算符将其表示为 e ( t ) = e 芭( a e 一以+ a t e 觚) ， ( 2 13 ) 其中为场的频率。上式中的湮灭、产生算符可以分别表示为两个厄密算符的线性 叠加 ：x 1 f + i x 2 ，t ：x 1 f - i x 2 ， (214)a a 2 i 一， 。2 - l 厶 -_ 并满足对易关系【x 1 ，x 2 】= 2 i 。利用x 1 ，x 2 ，( 2 1 3 ) 式可重新表示为 e ( t ) = 8 芭( x 1c o s 比+ x 2s i n 况) ( 2 1 5 ) 从该式中我们可以看出x 1 ，恐分别表示场的两个正交分量的振幅，并且它们之间存 在一个大+ 为r 2 的相位差。它们具备不确定关系 x 1 x 2 1 ( 2 1 6 ) 当其中一个厄密算符的涨落满足条件x 1 ，( i = 1 ，2 ) ，这个场就是压缩的。 我们可以用压缩算符来产生压缩态，玻色系统的压缩算符可以表示为 s ( ) = e x p ( 互1e 4 n 2 一百1 。t 2 ) ， ( 2 1 7 ) 其中e = r e 2 i 0 ) j 一个任意复数。压缩算符具有如下性质 s t ( e ) = s _ 1 ( e ) = s ( 一e ) ， ( 2 1 8 ) 利用等式 e a b e - a b + 陋，引+ 五1m ，阻，硎+ ， ( 2 1 9 ) 我们可以得如下有用的变换关系 6 s t ( s ) a s ( ) s t ( e ) a t s ( e ) s + ( ) ( m + k ) s ( e ) = a c o s h r a ts i n h r e 一2 徊 = a tc o s h r as i n h r e 2 徊 = m e 吖+ i k e r ( 2 2 0 ) 压缩态的若干性质 其中m4 - i 蚝= ( x l + i x 2 ) e 卅护为旋转复振幅。从上式中最后一个等式我们可以发现 压缩算符减弱复振幅其中一个分量而增强另外一个分量，并且减弱或者增强的大小 由r 决定。利用压缩算符，我们可以将压缩相干态表示为 l ，s ) = s ( ) d ( a ) l o ) ， ( 2 2 1 ) 其中d ( n ) 为位移算符。对这样的态，我们有( h + i y 2 ) = 2 a e “口，由此可得 ( h ) 2 =( a e _ p - i - a t e 徊) 2 ) 一( a g 一8 + a t e 循) 2 =( a 2 e 一2 饱+ a t 2 e 2 谚十口o + + a t a ) 一( a e 一徊4 - a t e 徊) 2 = e 一 ( 2 2 2 ) 类似地，我们得到( m ) 2 = e ”。并且对于这个态，m 和蚝两个算符的涨落的乘积 为1 ，因此我们称这个态为理想压缩态。 我们回顾当系统处于相干态时，我们有( x ) c d h = ( q4 - q + ) = r e q ，( 恐) 础= 去( q 一口+ ) = i m a ，因此我们可以用q 的复平面来表示系统的相空间。相干态l q ) 可以 如图1 1 3 6 1 ( a ) 表示，阴影部分表示相干态的不确定区域，各个方向的涨落相同。对 于一个压缩态( 图1 1 ( b ) ) 当x 1 的减小n , a x l 的增大为代价，因此相空间中的阴 影部分呈现出椭圆形状。 以上我们考虑了单模场的压缩，对于多模场同样会有类似的压缩效应。倘若描 述场的态不是直积态，即多模场的态是纠缠的，我们可以得到比单模场更丰富的 压缩性质。下面我们考虑比较最简单的一种情况，双模压缩 3 6 1 。类比单模压缩算 符( 2 1 7 ) ，我们引入双模压缩算符如下 岛( e ) = e x p ( e + a b 一- c a + b + ) ( 2 2 3 ) 其中与( 2 1 7 ) 式中一样e 盎r e 2 徊，其中口和6 分别为两个模式的算符，且有 口，b t 】= 0 。 将双模压缩算符直接作用到真空态i o ，0 ) = l o ) n l o ) 6 上，可得双模压缩真空态为 i ) 22 岛( g ) i o ) 凸i o ) b 2e x p ( e + a b g 矿矿) i o ) o i o ) b ( 2 2 4 ) 浙江大学博士学位论文 ( a ) x 2 x x 2 i l 图2 1不确定度在相空间的表示。( a ) 相干态，( b ) 压缩态。 对于双模压缩算符，利用( 2 1 9 ) 我们可以得下列关系式： s t 2 ( ) a s 2 ( e ) = ac o s hr e 2 i o b ts i n h r ， 毹( ) 6 & ( ) = b c o s h r e 2 i o a t s i n h r 我们定义叠加的正交算符 x 2 = a + a t + b + b t o o t + b b t z 讵 它们满足对易关系 x ，恐】= i ，利用( 2 2 5 ) ，对压缩真空态我们有 以及 由上述可得 8 ( x ；) = ( x 1 ) = ( x 2 ) = 0 ， c o s h 2r + s i n h 2r 一2s i nrc o s hrc o s2 0 ， ( x ；) = c o s h 2 r + s i n h 2 r + 2 s i n r c o s h r c o s 2 0 ( a x l ) 2 = ( a x 2 ) 2 = e 一2 r e 2 r ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 压缩态的若干性质 要注意的是双模压缩算符并不是两个单模压缩算符的简单乘积，因此双模压缩态同 样不能写成两个单模压缩态的直积形式。对于双模压缩算符( 2 2 3 ) 我们可以发现， 算符中的0 6 和a t b t 以及粒子数算符的叠) 扣a t a + b t b 构成了s u ( 1 ，1 ) 李代数。s u ( 1 ，1 ) 群 李代数定义为 满足对易关系 因此我们可以定义下面的态 n ，缉】 ，致】 k o ， - 4 2 虹 c s ) = e x p ( 3 k + 一矿k 一) l k ，o ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 其中p = 一o e 一币2 ，蚤l l 乃，0 ) = 0 ，c o i k ，0 ) = ( k + n ) l k ，n ) 。利 b a k e r c a m p b e l l h a u s d o r f f 么k 式，我们可以将上面这个态重新写为 其中q = o e 动2 升降算符止表示为 且有 = + i j 2 = a t b ， 止= 以一z 如= b t a ， ( 2 3 8 ) f 2 3 9 ) j _ 1 0 ) = j - i j , - j ) = 0 ( 2 4 0 ) 。与s u ( 1 ，1 ) 态类似，利用b a k e r - c a m p b e l l h a u s d o r f 澄式我们有 1 0 丁) = ( 1 一i 丁1 2 ) 一j e x p ( r a + ) a , 一j ) ， ( 2 4 1 ) 压缩态的若干性质 其中7 - = t a ni o e 一硒。利用( 2 3 8 ) ( 2 4 1 ) 式，我们有 ( a j l ) 2 = 而高栅( 1 仆 4 一t * 2 - - t 2 ) j ( 1 - s i n 2 p c o s 2 咖) ， ( a j 2 ) 2 5 而看稀( 1 + i 丁1 4 + t 2 - t - t 2 ) = 等- - ( 1 一s i n 28 s i n 2 咖) ， i l = j 雠- j | c o s 6 q ( 2 4 2 ) 因此我们得到不确定关系 如i j 3 ) 1 ( 2 4 3 ) 当= 佗7 r 2 或者9 = o 时，上式等号成立。注意如果1 一s i n 2 9 c o s 2 lc o s 8 1 ，我们 有( ) 2 掣，即此时态是压缩的。从这个结果出发，人们很自然地想到可以利 用自旋系统来实现s u ( 2 ) 压缩。 在自旋系统中，我们定义自旋相干态( c s s ) l p ，) 为沿( p ，) 方向的自旋分量的 本征态，9 和西分别表示极化角和方位角。自旋相干态满足最小不确定关系。对于一 个由n 个自旋1 2 粒子构成的系统，j = 2 ，其中任意一个自旋1 2 粒子的纯态都可 表示为自旋相干态愀，饥) = c o s 譬it ) 七- t - e 妣s i n 纽2j ，) 七，其中i 下) 知和ij ，) 七为第七个自 旋粒子的自旋算符s z 的两个本征态，对应的本征值分别为 和一互1 。在与( p ，) 方向垂 直的法平面上具备最大的不确定关系，即，可以找到两个相互正交的分量，这两个 自旋分量的方差均为1 4 。自旋系统的自旋相干态即为个自旋1 2 粒子的自旋方向 全部朝( 目，咖) 方向。因为这些自旋1 2 之间没有关联，因此与自旋方向垂直的法平面上 累积的最大方差为s 2 。倘若在这些自旋l ，2 粒子间引入恰当的量子关联，那么我们 可能可以减小部分的涨落。这就是关于自旋压缩最基本的概念【9 1 。 2 2 自旋压缩系数与玻色压缩系数 2 2 1 自旋压缩系数 为了方便描述一个量子态的压缩，我们引入压缩系数来量化压缩。关于自旋压 缩系数有几类不同的定义。1 9 9 2 年，w i n e l a n d 从角动量的对易关系出发给出一类自 浙江大学博士学位论文 旋压缩系数的定y , t 8 1 。由角动量满足出不确定关系五山l ( y ：) 2 1 。我们可以 很自然地根据这一表达式定义满足条件五川乃) 2 1 1 2 l ，( i 歹，i ，j z ，可，z ) 的 态为压缩态。设厶。i l l i n 为表示涨落最小的且与平均自旋矢量( j n ) 垂直的自旋分量， 则自旋压缩系数定义为 1 = 厶上i i l i n i i ( y ) 1 2 1 1 2 ( 2 4 4 ) 当1 1 时，态就是压缩的，幺p i n 的值越小表明压缩越大。 2 0 0 1 年，s o r e n s e n 根据这一定义给出了另一种形式的压缩系数【1 3 】，为： 器= 器， ( 2 4 5 ) 其中厶= n j ，( = 1 ，2 ，3 ) 是相互正交的单位矢量。当2 1 时，态在n 方向上自 旋压缩。 在这一章节中我们将使用i 圭k i t a g a w a f f - 1 9 9 3 年提出的自旋压缩系数。假设有一 个由个q u b i t 组成的量子系统，对这样的系统我们可以用集体算符描述 厶= 等， q 【z ，舭) ， ( 2 4 6 ) i = 1 一 其中吼n 为描述第i 个q u b i t t 均p a u l i 矩阵。这类集体算符与通常的角动量算符满足同样 的对易关系。通过集体算符，我们可以将由个q u b i t 组成的量子系统的自旋压缩系 数定义为： 髫= 警竽= 耸竽 亿4 7 ， 上式中下角标仡上表示与系统平均自旋方向正交的方向，并且厶上= j h _ k ，j = 可n 。 因为扎上方向位于与平均自旋正交的平面上，因此我们要在这个平面上选定一个方向 使得分子中的涨落能够取得最小值。当专2 小于1 时，我们可以说这个系统是自旋压 缩的。对比w i n e l a n d 关于压缩系数的定义，我们容易得到以下关系， 鲁5 赢旃。 ( 2 4 8 ) 可见两类压缩系数只相差一个乘法因子。因为总是有i ( 厶) i t j r ，所1 ) 以w i n e l a n d 定义 的压缩系数比较与k i t a g a w a 的定义对压缩更敏感。 1 2 压缩态的若干性质 上述三类压缩系数定义中均涉及到平均自旋方向的概念。在球坐标下平均自旋 方向可以表示为 1 1 1 = ( s i n p c o s 妒，s i n o s i n 矽，c o s 护) ( 2 4 9 ) 上式中目和西分别为极化角和方位角，其大小由下列关系是给出， 口= a r c c o s ，丝i & l 、j ， ( 2 5 。) 矽= 翼龇) i “蕊虬 其中i 厶i = 刁可f f 刀万曩砑为平均自旋的大小。有了n l 后，可以定义与其相 n 2 = ( 一s i n 砂，c o s 妒，0 ) ， n 3 = ( 一c o s 口c 0 8 ，一c o s 0 s i n 咖，s i n 口) ( 2 5 1 ) 对于( 2 4 7 ) 式，我们可以通过计算集体算符的期望值使得自旋压缩系数的计 算更为方便【1 8 】。假设系统的平均自旋沿z 轴方向，即( 以) 0 ，( 厶) = ( 山) = 0 ，那 么住上= ( c o s 0 ，s i n 0 ，o ) ，算符厶上可以表示为： 易= j n _ l = c o s 伊五十s i n 目乃 ( 2 5 2 ) 因此自旋压缩系数可以写为 丙4 巧n ( a j o ) 2 斋呀n s 0 2 ) 斋巧n ( 露+ 露) + c o s ( 2 臼) ( 露露) 十s i n ( 2 p ) ( 五占+ 以五) 2 。+ 露) 一肛i 丽瓦丽 1 + 百n 一丙2 ( 霹) 十i ( 霹) | 】 ( 2 5 3 ) 其中厶= 五4 - i 以，为升降算符。通过( 2 5 3 ) 式，自旋压缩系数可以被表示为 一个由期望值( 霹) 和i ( 毋) i 组成的求和公式，自旋压缩系数的计算获得极大简化。 浙江大学博士学位论文 特别地，上式给出的结果是平均自旋方向沿z 轴方向。对于任意方向的平均自 旋，我们可以选取两个相互正交且与平均自旋方向n 1 正交的两个方向n 2 和1 1 3 ， 则( 厶，) 0 ，( j n ：) = ( 厶。) = 0 ，类似地，我们可以得到任意平均自旋方向的自旋压 缩系数为： 专2 = 2n 2 。+ 磁) 一扣f 面可瓦而 ( 2 5 4 ) 上式中 厶2 = 一以s i n + 毛c o s ， = 一五c o s 0c o s 一山c o s0s i n + 五s i np ( 2 5 5 ) 当上式小于1 时，态是压缩的。 2 2 2 玻色压缩系数 在介绍s u ( 2 ) ，s u d ，1 ) 压缩时，我们曾经提到可以用产生湮灭算符来表 示s u ( 2 ) ，s u f l ，1 ) 李代数的生成元。我们可以利h e l s t e i n p r i m a k o f f 变换给出产 生湮灭算符与角动量算符之间的关系为： 山：o t 以而， 3 一= 2 j a t a a 。 以= a t a z( 2 5 6 ) 当j 趋于无穷时，我们有 南“，南吧考“ 亿5 7 ， 满足对易关系 ，o t 】 ，a 】 a ，a t 】 o o52 ，l 了 + ， ， 一 o 0 1 = = l i 压缩态的若干性质 其中= 以+ j 为粒子数算符，其本征值取值范围为0 到。对比s u ( 2 ) 李代数我们 可以知道当了区域无穷大时玻色系统与自旋系统之间存在某种相互联系。因此从这 一联系出发我们很自然的希望找出两类系统压缩性质之间的关系【3 8 1 。而另一方面， 在实验中原子压缩态常常可以通过原子系综与压缩光学态的相互作用来得到，或者 反其道行之。这也意味着两类压缩之间存在十分紧密的关系。 考虑玻色系统时，我们首先引入算符x ，尸，它们可以表示为： x ：o + 口t ，p ：竺三，( 2 5 9 ) z 其中。和口t 分别是湮灭和产生算符。算符x 和p 满足对易关系 x ，尸】= 2 i 。由不确定 关系我们可以得到不等式( x ) 2 ( 尸) 2 1 。因此我们需要计g ( a x ) 2 和( p ) 2 ，如 果( x ) 2 1 或者( a p ) 2 1 ，我们可以说这个系统是压缩的。我们定义玻色压缩 为： j 兰i j ，一j + 佗) 的叠加，它们满足( ) = 0 ，即，( a ) = ( a t ) = 0 。对这样 的态我们有 呀n ( ) 2 哪n ( 2 ) 哪n c 0 8 2 惝+ s i n 2 9 ( 一十掣( x p +