（理论物理专业论文）对径向极化gaussian光束的精确描述的研究.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名： ：、 导师签名： 日期：丝l ：z 2 摘要： 本文分别采用d a v i s i 勺方案和c o m p l e xs o m - c e s i n kc o m b i n a t i o n 模型来得到径向极 化g a u s s i a n 光束的精确描述。在d a v i s 的方案中，提出了一种简便的迭代关系。应用 这种迭代关系，在计算机的帮助下，可以很快得到近轴近似的非常高阶的修正，以 致于到任意阶修正。用c o m p l e x8 0 1 l r c 争s i 1 【c o m b i n a t i o n 模型，可以得到一种解析的 径向极化g a l | 8 s i a n 光束的描述，这一描述得到的是m a x w e l l 方程的严格解。在近轴近 似条件得到满足的情况下，两种描述都回归到近轴近似的描述。 2 a b s t r a c t t oo b t a i nt h ea c c u r a t e d e s c r i p t i o no far a d i a l l yp o l a r i z e dg a u a s i a nl a s e rb e a m ，d a v i s s c h e m ea n dc o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o nm o d e la r ee m p l o y e d as i m p l ei t e r a t i v e e q u a t i o ni sp r e s e n tt oo b t a i na r b i t r a r yo r d e rc o r r e c t i o nf o l l o w i n gd a v i s s c h e m e b a s e d o nt h ec o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o nm o d e l ，t h ea c c u r a t ed e s c r i p t i o no fr a d i a l l y p o l a r i z e dg a u s s i a nl a s e rb e a mw h i c hi sar i g o r o u ss o l u t i o no fm a x w e l l se q u a t i o n s w e a l s oc o m p a r et h er e s u l t sb e t w e e nt h e s et w od e s c r i p t i o n si nt h ep r e s e n tp a p e r 3 c h a p t e r1 引言 虽然近轴描述是g a u s s i a n 光束的一种很好的近似，但人们一直在研究超越近轴近 似的g u a s s i a n 光束的精确描述。 当光束没有被强烈聚焦或光束半径远大于光的波长的时候，用近轴近似来描 述g u s s i a n 光束可以得到很好的结果。可是在其它的情况下，当光束腰径大约是光 波长的分数时，就需要g a u s s i a n 光束的更精确的描述。对于强烈聚焦的g u a u s s i a n 光 束，需要能超越近轴近似的更精确的描述方法。 人们一直致力于找到强聚焦的方法。激光束的电磁极化特性被认为对光束的 聚焦特性有很重要的影响，由于矢量场的旋转对称性，径向极化的电磁光束比线 极化的光束有更强烈的聚焦特性。最近的实验表明1 ，2 1 ，径向极化的g u a s s i a n 光 束比线极化的光束在聚焦的过程中可以得到小得多的焦斑。在实验中，径向极化 的g a u s s i a n 光束得到的焦斑大小约为0 1 6 a 2 ，而线极化g a u s s i a n 光束得到的焦斑大小 约为0 2 6 a 2 。a 是光的波长。与此同时，当径向极化的g u a s s i a n 光束在被高数字孔径 的光学透镜聚焦时，在焦点附近会有很强的轴向场分量输出，这个轴向分量在像粒 子加速和粒子捕获f 1 3 - 1 6 这样的应用中会起很大的作用。 d e s c h a n a p s 【17 】首先在描述标量光束时引入了复源点模型，在这一模型中，假 设源点被放置于一个沿z 轴的虚数位置，由这源点辐射的场是m a x e l l 方程的严格 解。d e s c h a m p s 也指出在这一解中存在一非物理的奇点。c u l l e aa n dy uf 1 8 将这一 方法扩展到电磁情况下，将一对互相垂直的电偶极子和磁偶极子放置于沿z 轴的虚 数位置，他们发现由此产生了几乎是平面极化的光束。在这一模型中，由于奇点 4 存在于焦平面上半径为半焦深z o 的圆环上，所以只有在描述当知很大的光束且考虑 焦点附近区域时，这种方法没有问题。s h e p p a r d 和s a g h a f if 1 0 提出了一种修正的模 型，即c o m p l “s o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n 模型，在这一修正的模型中，不存在非物理 的奇点。使用这一修正的模型，他们对电磁偶极子指向不同方向的情况进行了研 究【1 9 - 2 1 。 l a x ，l o u i s e l l 和m c k i n g t 【3 】首先提出了通过以g u a s s i a n 光束的衍射角( e = 2 k w o ) 个小参数，来展开电场矢量，k 是波数，咖是g a u s s i a n 光束的腰 径。但是，在这一方案中，高阶和低阶修正项通过一组关联的矢量势微分方程而 联系，这样的方程难于解答。d a v i s 7 1 提出用线性极化的矢势来解这个问题，使 之简化为解一个简单的标量方程，并且重复了l a x 等所得到的光束场的结果。使 用d a v i s 的方案，b a r t o n 等1 2 2 】得到了精确到5 阶的线极化g a u s s i a n 光束的电磁场的 解。应用这一方法，为了研究激光加速器中电子的动力学问题，c a o 等【6 1 推出直到 七阶修正的场的表达式，即精确到s 7 。最近，s a l a m i n 9 ，1 0 得到了精确到1 5 阶的径 向极化g a u s s i a n 光束的电磁场的解。 使用d a v i s 的方案，我们提出了一种迭代的方法，在此基础上，通过简单的计 算机程序，可以得到径向极化g a u s s i a n 光束的任意阶结果。在一台配置为c p u ： p e n t i u mi v2 6 g h z 和内存：5 1 2 m 的p c 上，用软件m a t h e m a t i c a ，我们只用了几分 钟，就得到精确到s 3 1 次的修正结果。由于由此方案得到的l a x 序列的发散性【4 1 ，所 以需要用一种适合的非线性序列变换的方法对部分和重整【4 】，为了能应用这样的方 法，我们能够得到任意阶修正的迭代方法就显示其重要价值。我们使用部分和重整 的方法【5 研究了光束能量序列的收敛性。 d a v i s 的方案虽然可以非常精确的接近严格的结果，可其结果只是m a x w e l l 方 程的近似解。我们尝试使用c o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n 模型来得到径向极化 的g a u s s i a n 光束的电磁场解。这种方案源于d e c h a m p s ，s h e p p a r d 和s a g h a f i 【1 7 ，1 9 ， 2 1 1 。它的优点在于可以得至l j m a x w e l l 方程的严格解，并且避免了解中的奇点出现。 但是，不能就此认为后一种方案就优于前一种，因为我们尚不知道c o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n 模型在多大程度上符合g a u s s i a n 光束的物理现实。据我所知，现在 也没有实验结果能比较这二者的差别。 本文基于以上两种方法来得到超越近轴近似的g a u s s i a n 光束的电磁场解，在近轴 5 近似条件满足的情况下，e 1 ，两种方案的结果都回归到近轴近似的结果。在近轴 近似条件不被满足的条件下，比较了这两种结果的异同。 以上的研究希望能给像通过轴锥体而产生的径向极化g a u s s i a n 光束提供精确的描 述卜1 2 ，2 3 】。 6 c h a p t e r2 径向极化g a u s s i a n 光束的任意阶近似 2 1d a v i s 方案的描述 考虑一束单色的光束，在非磁性不导电的电介质中沿z 轴传播。 中，假设其时间项为e “，其m a x w e l l 方程为， v e = 0 ，v ( 嚣饲一i k e = 0 ， v ( 日饲= 0 ，v x e + i k ( h v 乍) = 0 在g a u s s i a n 单位制 ( 2 1 ) 在洛伦兹规范下，矢势a 满足波动方程 v 2 a + k 2 a = 0 ，( 2 2 ) 电磁场满足 e = ( - i k ) v ( v a ) 一i k a ，日诉= v a( 2 3 ) 根据m c d o n a l d1 2 3 】，径向极化的g a u s s i a n 光束可以由沿z 轴方向极化的矢势导出。因 此，假设 a = a ( r ) e ：，a ( r ) = a o1 ：f ( r ) e 埘”讪，( 2 4 ) 如是常数波幅。将方8 ( 2 4 ) 带入方程( 2 2 ) 得到矽的标量方程 v 2 砂“女喾_ 0 ( 25 ) 引入变量代换z = f 咖，y = r w o ，z = ( z = ( 碥，是光束腰径，z = 硼，方 程( 2 5 ) 变为 ( 筹+ 嘉埘妻) 砂一2 硒0 2 砂， 眨。， 7 其中s = 2 = i ( k w o ) ，是g a u s s i a n 光束的散射角，将舻展开为s 的偶数次因式的和 妒= s 2 “， ( 2 7 ) n = o 带入方程( 2 6 ) ，得到 ( 螽+ 嘉划晏) 讥_ o ， 仁s ， ( 善+ 嘉一现妻) = - - 卿- 硒缸- ，制 泣。， 方程( 2 8 ) 的解得到近轴近似下的场， = i q e 一田， ( 2 1 0 ) 其中q = i 0 + 2 0 是发散的。只有当这一序列用适当的非线性序列变换重新排列，l a x 序 列才能被正确的使用。否则，截断直到更高阶的项，并不能保证得到更为精确的结 构。因此，必须用一些适合的序列变换，被称为非线性重整方案的方法【4 ，5 】，相信 这样的变换是必须的。 光束能量( 2 1 6 ) 类似于在外磁场中的氢原子能量，见例如【2 6 1 通过以下的非线性 变换 。 ( 一1 ) j g - 罗( j + l h 学 p ：珊+ 型l _ ( 2 1 7 ) ( 一1 ) 凹o + 1 ) “石1 j = o o 其中p = p p o ，四= 刑【一j ) ! j ! 】， 默= 壹j = o q ，q = 簪n 彩+ 2 ) ( 2 t 1 8 ) ( 口) 。表示p o c h h a m m e r 符号，光束的能量可以作为s 的函数来计算。在图( 2 1 ) 中我们 画出了以方程( 2 1 7 ) 和( 2 i s ) 所计算的光束能量，其中几= 2 ，7 。从中可以看出以方 程( 2 1 8 ) 计算，的中间值产生准确的结果。 1 0 c h a p t e r3 基于c o m p l e xs o u r c e s i n k c o m b i n a t i o n c o m b i n a t i o n 模型的径向极俣型削1 仝i h j 傲 化g a u s s i a n 光束的描述 3 1 复源点模型的描述 在一柱坐标系统中，一电偶极子置于坐标原点，指向z 轴的正方向。假设时间的依 赖关系为e 讪，其矢势为 a = 磊e = ，r = 伊订，r = 归可 ( 3 1 ) 其中= 2 7 r 加。s h e p p a r d 1 9 提出混合s i n l c s 即将矢势写为 a = 一s i n ( 兄k r ) e ： ( 3 2 ) 由此，得到电磁场为， e 一= 后 = 日 = 七 = 毒v ( v a ) 豢j z ( 七兄) e ， + 币r 2 椰舭垒茅啡帅踯驯) e ： ；v a 一等( r ) + j 2 ( k r ) e 口 1 1 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 其中，矗是第n 阶b s e l 函数， 如( z ) = 了s i n x 如( z ) = ( 3 一；1 ) s i n z 一主c o s z 在复源点模型中，源点( 即电偶极子) 被放置在复位置z = 一锄， 的r 被r = 干匹= 瓦护代替。 3 2复源点模型所得结果的讨论 ( 3 5 ) 所以上式中 上述电磁场解是m a x w e l l 方程的严格解，并且在全空间解析。西，日，也在全空间 为零。横向的电场分量b 是径向极化的，并且在z 轴上始终为零。在z 轴上只有横向 的电场分量e 非零。由方程( 3 3 ) ，( 3 4 ) 所描述的电磁场是t mm o d e 电磁场。其描述的 激光束光束沿z 轴是轴对称。 图( 3 1 ) 描述了在z = 0 平面上电磁场的三个分量的强度分布。在焦点上，电磁场 分量耳，凰都为零。这是径向极化光束的明显特征【2 3 】o 图中可以看出轴向电场分 量e 在焦点上达到最大值，这正是轴锥体透镜的输出结果【1 ，2 】。对于小的k z o ，e 的 最大值比耳的最大值要大的多，随着k z o 的增大，耳的最大值增加得比e 的快， 在k z o 一1 0 时二者几乎相等，之后，耳的最大值将超过邑的最大值。 在光轴上，r = 0 ，磁场为零，电场可以从方程( 3 3 ) 得到， 帮9 等= 三( r ) + j 2 ( k r ) e ：， ( 3 6 ) 其中，只含有z 分量。图( 3 2 ) 显示了这一分量沿z 轴的变化，最近的实验表明，可以 使大量的能量( 约总能量的7 2 8 ) 集中在这一轴向分量【2 】。径向极化光束的这一 电磁分量在粒子加速领域有非常重要的作用阻，2 5 】。 对于远离焦点的区域的电磁场，忽略方程( 3 3 ) 中衰减的较快的项，只保留发散 项，可以得到 i e = 竺等e k z o r o b o e l k i ( c o s o e ，一s i n o e ：) ( 37 )2k尼 “ 、7 其中尉= 、历f 瓦雨，p 是与z 轴的方向角。可以看出方程( 3 7 ) 所描i t 的是一 球面波的波前，其幅度随方向角口而变化。这幅度e 。= s i n o e mc o s 9 在c 0 8 口= 兰专尝兰生方向上达到最大值。其轴向分量和径向分量的比值为e b = 一c o t o ，显示 电场e 垂直于位置向量冠这正是球面波前的特征。 1 2 f i g u r e3 1 ：当k z o = 3 时，焦平面上电场分量的分布图。 e z i 1 5 1 , 0 0 5 o m 。 | | 2 6 。垃” f i g u r e3 2 ：当k z o = 3 时，轴向电场分量沿z 轴的分布图。 c h a p t e r4 两种方案的比较 引入无量纲变量p = 孟，e = 云，其中挑是光束腰径，知是光束的衍射长度。通过 变换关系 k r = 警b 誓k z o ：2 ， ( 4 1 ) ，f 、 我们可以将方程( 3 3 ) 所表示的电场表达为p ，( 和e 的函数，其中5 = 彘是g a u s s i a n 光 束的散射角。由此，我们比较近轴近似，精确到1 5 的l a ) 【序列，和沿z 轴放置e l e c t r i c c o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n 模型三者的结果。 在z = 0 的平面上，当取小的值时( 近轴近似条件满足) ，三种模型给出了 几乎相同的电场分量。随着的增大，电场分量日和最在不同模型中的差别开始 变得明显，辱的变化打过忍。图( 4 1 ) 显示在o = 0 7 面上，e 取不同的值，横向的 电场分量随p 变化的曲线，可以看出l a x 序列的结果显示更强的振荡。图( 4 2 ) 显示 当= o 7 5 时，z = 0 平面上的径向电场分量。 图( 4 3 ) 画出了在z 轴上，轴向电场分量随z 变化的曲线。可以看出，对于小的e 三 种模型非常相似，对于大的三者的差别也非常有限。 1 4 疆一 南醚一 剖k f i g u r e42 ：焦平面上轴向电场分量随p 的变化( 以焦点处轴向电场分量巴( 0 ，0 ，o ) 为 因子) 。衍射角为e = 0 7 5 。三角形符号：近轴近似结果；正方形符号：d a v i s 的方案 得到的修正到e 1 5 的结果；圆形符号：e l e c t r i cd i p o l ec o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n s i 型的结果。 1 5 f i g u r e4 3 ：轴电场分量的幅度沿( 变化( 以焦点处轴向电场分量e z ( 0 ，0 ，o ) 为因 子) 。衍射角e 如图中所示。三角形符号：近轴近似结果；正方形符号：用d a v i s 的方案 得到的修正到9 1 5 的结果；圆形符号：e l e c t r i cd i p o l ec o m p l e xs o u r c e - s i n kc o m b i n a t i o n 模 型的结果。 1 6 姿一鼙 1 瑚 、一 附录a 曲1 6 = ，2 8 3 5 ，82 8 3 5 y 1 0 p 49 4 5 f “矿2 8 3 5 f ”矿1 8 9 f 1 3 p 1 03 1 5 f “p 1 。 5 1 2 1 0 2 45 1 2 4 0 9 6 1 0 2 48 1 9 2 2 7 f ”p 1 46 3 f ”p 1 6 f 1 7 p 1 8 。4 8 5 3 f ”矿2 0 1 f ”p 2 2 3 9 7 7 f 2 0 p 2 4 一j 丽一石丽一面f 十i i 五百矿一一石百矿十葡菇五丽 一呈1型966080+型3670笙0160一235笙92960+盟2642411520、i2 ，6 讥( 4 2 ) l一 ，u 、一， 。，1 4 1 7 5 f 9 1 4 1 7 5 f 1 1 p 44 7 2 5 f 1 2 p 61 4 1 7 5 ”p 89 4 5 f “p 1 01 5 7 5 f ”p 1 2 v 1 8 5 l 可面一i 面百一一丽矿一百亟叵一一i 面矿一1 石矿 1 3 5 f 1 6 p “3 1 5 f 1 7 p ”5 f ”p 1 89 y 1 9 p 2 0 7 6 3 f 2 0 p 2 28 3 9 9 f 2 1 p 2 4 一1 江百f 一一t 汀孑历一一1 丽一百丽+ 亚江孑历一一虿函5 丽 1 3 1 f 2 2 矿62 1 7 3 f 2 3 p 2 8 1 3 1 f 2 4 矿1 5 7 尸5 p 3 2 ，2 6 矿4 十五百丽一1 五瓦五百百f 十i 亓西丽一f 茬江石丽十石萄琵面互面 ，2 7 3 6 一面j z 6 e ，z u ，) 2 1 8 咖 ( 4 3 ) ，1 5 5 9 2 5 f ” 1 5 5 9 2 5 f 1 2 p 45 1 9 7 5 f 1 3 p 81 5 5 9 2 5 f “矿1 0 3 9 5 1 ”p 1 0 妒2 0 2 l 珏丽_ 一1 百一五面石一一i 西话百一一百i 酝厂 1 7 3 2 5 f 1 6 p 1 21 4 8 5 f 1 7 p “3 4 6 5 f 1 8 p 1 65 5 y 1 。口1 89 9 f 2 0 p 2 05 f 2 1 p 2 2 6 5 5 3 63 2 7 6 85 2 4 2 8 86 5 5 3 61 0 4 8 5 7 65 2 4 2 8 8 5 8 7 7 5 f 2 2 矿42 4 3 5 f 2 3 矿8 4 6 2 5 f 2 4 p 2 81 0 1 8 7 f 2 5 p 3 0 5 0 8 1 f 2 6 p 3 2 十t 五百面一豇河丽十1 了i 丽丽一1 8 8 7 4 3 6 8 0 十i 瓦百夏丽 一盟6 6 0 6 0 2 8 8 0 + 3 8 0 5 盟0 7 2 5 8 8 8 0 一2 1 1 3 1 ：9 生2 9 2 1 6 0 + 3 8 0 5 盟0 7 2 5 8 8 8 0 0 ) 2 2 。讥( 4 4 ) ，u 、， 忱2 = ( 4 6 7 7 7 5 f 1 1 4 6 7 7 7 5 画f , 3 p 4 一1 5 5 矿9 2 5 f 1 4 p 6 4 6 7 7 7 5 f 1 5 口b 3 3 2 7 6 8 11 8 5 f 1 6 p 1 0 8 1 9 2 5 1 9 7 5 f 1 砀”4 4 5 5 ”p “1 0 3 9 5 f 1 物1 6 1 6 5 f 2 0 p 1 82 9 7 f 2 1 矿o 6 5 5 3 63 2 7 6 85 2 4 2 8 86 5 5 3 61 0 4 8 5 7 6 1 5 f 2 2 矿21 1 f 2 3 矿4 1 2 5 f 2 4 矿 1 1 8 8 6 5 f 2 5 p 2 8 2 8 5 7 3 f 2 6 p 3 0 5 2 4 2 8 84 1 9 4 3 0 4 。3 2 7 6 85 8 7 2 0 2 5 66 2 9 1 4 5 6 0 2 6 5 7 3 f 2 7 矿2 7 6 0 3 f 2 8 2 6 5 7 3 f 2 9 p 3 6 1 3 7 f 3 0 p 3 8 3 1 3 f 3 1 p 4 0 4 6 9 7 6 2 0 4 8 。1 7 6 1 6 0 7 6 8 0 1 2 6 8 3 5 7 5 2 9 6 0 。2 1 1 3 9 2 9 2 1 6 02 5 3 6 7 1 5 0 5 9 2 0 0 + 磊品南磊一上去蕊一) 垆如(45)1674231 7 2 0 0 7 6 1 0 1 4 5 1 7 7 6 09 3 9 0 。 、7 妇= ( 6 0 8 1 0 7 5 f 1 26 0 8 1 0 7 5 f 1 4 p 4 1 6 3 8 4 3 2 7 6 8 一! 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