（应用数学专业论文）树上的markov映射的逆极限.pdf

华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人立0 塾亟向本学位论文答辩委员会提交 题为翅兰丝出垒：垃虫麴丝薹超盛 的硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 学位论文答辩委员会委员( 签名) 主席： 委员： 啦红 翌鼍钾 论文指导老师( 签名) ： 谚，、 ；厂f ( 鼠其| b ( 此框用于存档的学位论文贴学位论文答辩合格证明) 摘要 本文第一部分介绍了有关预备知识；第二部分针对树t 上的m a r k o v 映 射，结合，对应的关联矩阵的特点，就，的逆极限的四种不同的拓扑结 构：f 的逆极限不可分，的逆极限同胚于树丁，的逆极限是一拓扑射线 r 趋于一连续统m ，的逆极限含有不可分子连续统，分别给出一个充分条 件；第三部分明确给出3 一星形树y 上一类特殊的m a r k o v 映射的逆极限 关键词：树，m a r k o v 映射，连续统，逆极限关联矩阵 a b s t r a c t t h ef i r s ts e c t i o no ft h ep a d e ri sp r e l i m i n a r i e s ，a tt h es e c o n dp a r t 。t h r e e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei n v e r s el i m i t so nt r e eu s i n gm a r k o v b o n d i n gm a p b e i n gi n d e c o m p o s a b l e ，b e i n gh o m e o m o r p h i ct ot r e et ，b e i n gar a yl i m i t i n g t oae o n t i n u u z n ，a r e 鲫y e nr e s p e c t i v e l y a l s oas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i s i n v e r s e1 i m i t sh a v i n ga ni n d e e o m p o s a b l es u b c o n t i n u u mi s 函v e n ，et h e n i n t r o d u c eas p e c i a lc l a s so fi n v e r s el i m i t so nt r i o dyu s i n gm a r k o vb o n d i n g m a p sa tt h ef i n a lp a r to ft h ep a d e r k e y w o r d s ：t r e e ，m a r k o vm a p ，c o n t i n u u m ，i n v e r s el i m i t s ，i n c i d e n c em a t r i x 2 序言 设x 为拓扑空间，f ：x x 为连续映射人们关心，的逆极限空间 l i r af x ，f 的拓扑结构的刻画主要基于以下两个原因其一是出于研究曲丽 同胚的动力性质的考虑1 9 6 7 年，r f w i l l i a m s 证明了，如果曲面同胚f 具有满足某种性质的一维双曲吸引子a 、则f 限制在a 上与某一有限图x 上的逐段单调的连续映射，的逆极限空间l i m x ，) 的诱导同胚，拓扑共 轭( 见f 1 1 ) 随后，许多结论( 见 2 4 ”显示一维连续统的逆极限常可作为耗散 动力系统中的吸引子其二是出于研究映射自身的动力性质的考虑，的某 些动力性质往往与其逆极限空间l i r a x ， 的某些动力性质彼此蕴含例 如，在x 为有限图且，逐段单调的假定下，其逆极限空间l i m x ， 是遗 传可分解的当且仅当，具有零拓扑熵( 见f 1 1 1 ) 近年来，基于以上两个原因，众多学者对逆极限的拓扑结构进行研究得 到了许多结论1 9 8 5 年b a r g e 和m a r i n 证明了：如果一个闭区间上的连续 自映射具有正拓扑熵，则其逆极限空间含有不可分解子连续统( 见 1 4 】) 这 个结果在 1 1 ，1 3 】中已分别推广到图上和遗传可分解可链体上的连续自映 射b a r g e ，d i a m o n d ，b r u c k s 在【量7 中描述了区间上帐篷映射的逆极限的 拓扑结构2 0 0 2 年s a r a he h o l t e 在f 8 1 中研究了区间上的m a r k o v 映射的 逆极限的拓扑结构指出区间上具有相同m a r k o v 类型的m a r k o v 映射的逆 极限同胚1 9 9 5 年w t i n g r a m 在f 1 5 1 中明确地刻画了区间上满足一定条 件的单峰映射的逆极限的拓扑结构随后，2 0 0 2 年i n g r a m 又在f 9 1 中通过 1 ，2 ，- - ，n ) 的i q 元排列口与1 0 ，1 中的点 o = n 1 ，0 2 ，a 。= 1 ) 之间的 对应关系，构造出一类特殊的m a r k o v 映射厶，并明确地刻画了n = 3 ，4 ，5 时所对廊的的这类m a r k o v 映射的逆极限的拓扑结构 本文对树丁上的m a x k o v 映射的逆极限的拓扑结构进行了研究文章第 二部分结合关联矩阵的特点，用代数方法给出了逆极限不可分的一个充分 条件和逆极限同胚于树丁的一个充分条件，以及逆极限是一拓扑射线r 趋 于一连续统m 的一个充分条件，并给出了该逆极限含有不可分子连续统的 个充分条件文章第三部分构造了i 2 一星形树上的一类特殊的m a r k o v 映 射，并明确刻画了3 一星形树y 上这类m a r k o v 映射的逆极限 3 第一章一些预备知识和引理 非空紧致连通的度量空间称为连续统一个连续统被称为可分解( 彳i 可分 解) 的如果它能( 不能) 被表示成它的两个真子连续统之并一个连续统被称 为是遗传可分解的，如果它的每一个非退化的子连续统是可分解的 假设置为拓扑空间， ：x i 十1 一托为连续映射( i = 1 ，2 ，) ，“二元 序列” k ， 罢1 称为逆序列，五称为坐标空间，映射 称为约束映射 定义1 若逆序列 置， ) 墨l 对每个i n 都满足： ( 1 ) 置是连续统； ( 2 ) 对任何满足置+ 1 = a u b 的子连续统a 州，鼠+ 1 ，有a ( a 州) 墨与 ( 最+ 1 ) = 五至少其一成立，此时称 x 。， 攉1 是1 i 可分逆序列 逆序列 x i ， ) 墨。的逆极限定义如下 。v i ) 特别的，当x = 五，= ( i = 1 ，2 ，) 时，将墅 墨， ) 墨1 记作： l i m x ，) ，简称为x 上的映射，的逆极限映射，：l i m x ，) 一i i m x ，n ，( z ，z 。，) = ( ，。) ，茁1 ，z 2 ，) 称为诱导同胚以7 r 。：l i m x ，f ) 一 x ，7 r n ( g l ，z 2 ，) = z 。表示第n 个投射，显然7 r 。连续 引理1 若逆序列 墨， ) 墨，的每个坐标空间五是连续统，则 l i m x | f ， 墨l 也是连续统l 见 i o ，p l 驯 引理2 不可分逆序列的逆极限是不可分解的连续统阻肛口jp 2 以，表示，的k 次复合，则有以下结论 引理3l i m x ，f ) 掣l i m x ，f k ) 阻口2 推论j ，z j 如果坐标空间五( i = 1 ，2 ，) 是连续统，以d l 表示托的度量，此时定义 l i r a 托，l 耀1 上的度量为： 咖) = 萋z 。徽， 其中z = ( z l ，x 2 ，) ，y = ( y x ，y 2 ，) 4 +扛 鼍 ：i 捧扛，【 = ! i- x ，【 二垂l 第二章树上的m a r k o v 映射的逆极限 2 1 树上的m a r k o v 映射及关联矩阵 用r 表示树，即4 i 含有圈的一维紧致连通的分支流形对于z t ， 丁 z ) 的连通分支的个数称为z 的分岔数，t 中分岔数为1 的点称为丁的 端点；分岔数小为2 的点称为t 的顶点 定义2t 为树，f ：t t 为连续满射，若存在t 的有限子集毋满足： ( 1 ) ，( f ，) cf ，； ( 2 ) t 的端点和顶点均在目中； ( 3 ) 对丁一毋的任一分支c 及x ，y 虿，l k ，y 单调， 则称，是树t 上的m a r k o v 映射，毋为树t 相对于m a r k o v 映射，的有 限不变子集，这里陋，y 表示含x ，y 的虿中的最小连通子集 设，：t - 丁是树丁上的m a r k o v 映射，树r 相对于m a x k o v 映射， 的有限不变子集n 中的点将树丁分割成两两至多交于一点的个分支 l ，z ，厶引入记号：当，( 厶) 三时，记作 0 ；当，( 厶) 砻 时，记作五二j 以( t 】，t 2 ，“) 表示n 个分支，1 ，如，厶的一 个排列 ， 。， 。定义树丁上的m a r k o v 映射，相对于分支排列 ( l ，2 ，。) 对应的关联矩阵为：a 一( o ”) 。，= 1 ，若，“上i t j ； o q = 0 ，若i t ，乒+ ，此时记a = ( o 嚣) 。呜= 1 ，若厶。二厶，；吨= o ， f e 若i t 。加厶， 对关联矩阵a = ( 吼，) 。如果存在正整数k ，使得a 0 ，即对所有 1 i ，j n 有嚣 0 ，则称a 是本原矩阵 2 2树上的m a r k o v 映射的逆极限拓扑结构的充分条件 设，：t - t 是树t 上的m a r k o v 映射，我们简记：t o o = 墅f t ，) 引理4 ，：t 。丁是树t 上的m a r k o v 映射，树t 相对于，的有限 不变子集f ，中的点将树t 分割成n ( n 2 ) 个分支1 ，如，- 一，厶，若存 在莱个分支排列( t 。，c 2 ，t 。) 和正整数k ，使得，相对于该分支排列对 应的关联矩阵a = ( a i j ) 。满足a = ( 呜) 。是单位阵，则7 k 同胚于树 丁 5 证因为a = ( 。5 ) 。足单位矩阵，所以，( 。) 一i t 。( t = 1 ，2 ，一，n ) ， 从而哑 。，2 ) 呈，。又因为l i _ m z ，= u 銎】1 ) m ”f k ，所以 些 t ，2 ) 璺t - 又由引理3 可得粤 丁，) 型磐 t ，。) ，所以兰t - 引理5f ：t - 丁是树t 上的m a r k o v 映射，树丁相对于，的有限 不变子集f ，中的点将树t 分割成n ( 凡2 ) 个分支i l ，如，厶，若存 在某个分支排列( t 】，t 2 ，t 。) ，使得，相对于该分支排列对应的关联矩 阵a 是本原矩阵，则逆极限7 k 是不可分连续统 证因为关联矩阵a = ( a o ) 。是本原矩阵，所以存在k 1 ，对任意 l i ，j n 有口笔 0 ，也即存在1 ，对任意1 i ，j n 有 。上 ， 因此 t “一1 ，2 ，n ) 而对丁的任何满足t = 正u 乃的子连续统 正，正，必有某个i 使得厶。正，厶。乃至少其一成立，从而，( 丑) = t ，( ) = t 至少其一成立，故 t ，) 为不可分逆序列，由引理2 可知 l i m z ，) 是不可分解连续统又冈为l i m l ，) 曼l i m t ，f k ) ，所以7 k 是 不可分解连续统 口 引理6 ，：t t 是树t 上的m a r k o v 映射，树t 相对于，的有限 不变子集毋中的点将树t 分割成n ( n 2 ) 个分支 ，如，厶，若存 在某个分支排列( t l ，t 2 ，t 。) 和正整数k ，使得，相对于该分支排列对 应的关联矩阵a 满足 a k = ( b 1 b 2 b k ) 证因为i i m t ， 对应的关联矩阵为准对角矩阵，结合关联矩阵 的定义易见l i m t ，) = h u 硷u u k ，又因为l i m t ，) 竺u m t ，) ， 所以死些mu k u u 口 6 在给出下面的定理之前，我们先解释一下后面将用到的一个说法 在欧氏平面r 2 中令s = ( z ，s i n ) i 。( 0 ，+ o 。) 和t = o ) x 一1 ，1 显然雪= su7 1 ，t = 雪一s ，且s 是道路连通的若记岛= s u t ，则 连通但不道路连通因为s 和丁的关系类似于一条去掉端点的射线和其端 点的关系，我们形象地称s 为一条拓扑射线，而称岛为一条拓扑射线s 趋 于弧t 类似地，我们说咒为一拓扑射线r 趋于m ，是指咒。= hur ， h = 葡一r 且r 为s 的一个同胚象 定理7f ：t + t 是树上的m a r k o v 映射，树t 相对于，的有限不 变子集乃中的点将树t 分割成n ( n 2 ) 个分支1 1 ，1 2 ，厶，若存 在分支排列( t 1 ，2 ，n ) 和正整数女，f ，使得乃= u 州+ ，屯连通， 疋= 了弋万与线段同胚，且，相对于该分支排列对应的关联矩阵a 满足j 如：( 兀 b ( n z ) c 、 i c mj 其中e 为( n z ) 阶单位矩阵，0 1 。( 。一f ) 为零矩阵，b ( 。一i ) 。的任何一列的 元素不全为0 ，则为一拓扑射线r 趋于一连续统m = l i m t l ，) ，即 咒= h ur 且m = 再一r 证因为矩阵a 的前n z 行中每一列的元素不全为0 ，所以由关联矩 阵的定义知 ，2 ( 正) = t ( + ) 对每个m n ，令a 。表示满足如下条件的逆极限， ( 1 ) 丌。( 口。) = 死； ( 2 ) 当i m 时，孔( o 。) = ( ，l 疋) ( 乃) 记r = u 是，a 。，y i = l i m 五，) ，显然2 k = h ur 注意到o 。 o 。“且a 。是一条弧，所以兄是一条拓扑射线下证m = r r 一方面，在l i m t ，) 中任取两点。= ( x l ，。2 ，如，) ，y = ( 1 ，y 2 ， ，y ) ，只要戤= 玑就有d ( z ，y ) 2 任取z = ( z l ，x 2 ，) h ， 则她乃( v i ) ，由( 十) 知| p + k 乃，使得，( 鼽+ k ) = 故3 p = 7 一 疋e 吣 0 ( p l ，p 2 ，p i + k ，) “件 ，使得仉。，) = 她，所以c l ( x ，p ) 2 _ ，因此 m 再 另一方面，若z 些 z ，) v n ，z 。彰疋，所以z h 综上所述可得m = 矗一r zgr ，则对vi n 有zg 口。，即对 口 定理8 ，：t * r 是树上的m a r k o v 映射，树t 相对于，的有 限不变子集f ，中的点将树t 分割成n ( n 2 ) 个分支1 1 ，屯，一，厶， 若咒为一拓扑射线r 趋于一非退化子连续统m ，且7 r 1 ( h ) 是分支 ，1 ，如，厶中某f ( 1 f n ) 个之并，r 为道路连通分支，则存在分支 排列( t 1 ，t 2 ，t 。) 和正整数k ，使得，相对于该分支排列对应的关联矩 阵a 满足j 噩噩 拈正f b ( n - t ) x n 1 乃o l 小一f )a z 其中乃= 7 r 1 ( m ) = 厶。一。+ ，u k h 。u u 厶。，疋= t 丑= l ，u u 厶。一：， o c 。( 。一n 为零矩阵，矩阵b ( 。一c ) 。的任何一列的元素不全为0 证因为已。为紧致度量空间，m 是它的子连续统，从而h 为闭集，又 = 再= m ur ，故r 为咒中开集，从而瓦= i n t ( r ) uo r = ruo r ， 故h = o r ，又由m = 瓦一r 知m 和r 互为余集，从而o r = a m ，所 阻h = a m ，从而i n t ( m ) ：0 又因为，：l i r a z ，】l l i m ：r ，) ，f ( x l ， z - ) = ( ，( 。1 ) ，。1 ，x 2 ，) 是同胚映射，r 为开集，且r 是7 k 的道路连 通分支，所以，( r ) ，“( r ) 为非空开集，且均为e 。的道路连通子集，从而 ，( r ) r ，_ 1 ( 兄) r ，故，( r ) = r = ，。( r ) ，从而，( m ) = m = ，- 1 ( m ) ， 所以m = l i r a 乃，且，( 正) = 噩因为f ( t ) = t ，从而正，( 正) 下证对任意a 乃，存在正整数k ，使得a ，( 马) 假设存在x ， 丑，对任意的正憋数p ，有z 1g 产( 乃) 易见，一p ( x 1 ) 五( vp ) ， 设= ，一( z 1 ) ，则z = ( z l ，z 2 ，) h 又因为k = r r ，所以对 z = ( z 1 ，。2 ，) h ，存在r 中的点= ( 1 ，9 2 ，) 使得l = 玑而 ，一p ( x 1 ) 乃( 物) ，从而蜘五( v p ) ，所以y m ，与y r 矛盾设f r = n 1 ，a 2 ，a n + l ，则存在正整数k v 一，女”1 ，使得n 1 ，。- ( 乃) ，口2 ，。( 噩) ，o 。+ 1 ，n + ，( 马) 令女= t + 2 + + k + 1 因为 8 噩，( 正) ，从而咒f f ( t 2 ) ( v p ) ，故a j ，( 乃) ，母( ，一b ( 正) ) = ，。( 孔) ( j = 1 ，2 ，- 一，n + 1 ) 又因为厂：丁一t 是树t 的m a r k o v 映射， 只要巧，m ) 就有r f k ( 乃) ，所以存在正整数k ，使得，( 死) = t 综上所述，结合关联矩阵定义可知命题的结论成立口 文 1 l 】中对，：g 一g 连续满射，g 为有限图情形有结论：若存在4 i 交闭区间，1 ，如垦g 和正整数，使得，( 1 1 ) 1 1u 如，( 1 2 ) 三1u 如，则 墅 g ，) 有不可分解的子连续统( 1 1 ，定理2 4 ) 定理9 ，：t t 是树t 上的m a r k o v 映射，树t 相对于，的有限不 变子集毋中的点将树t 分割成n 2 ) 个分支1 1 ，1 2 ，厶，若存在正整 数i o ，j o ，1si o ，j o n 和分支排列( t l ，t 2 ，。) ，使得，相对于该分 支排，0 对应的关联矩阵a = ( a “) 。满足? a 2 = ( o 各) 。中的n 名”畦， a 免n 免，。均为l ，则逆极限咒。含有不可分解的子连续统 证若存在正整数i o ，j o ，l i o ，如n ，使得a = ( n 嚣h 。中的蠹。 。嚣，嚎嚷j 。均为l ，即存在 训厶刖满足，伍。) 五，。u 厶圳，( 厶。) 三 厶，。ul 若五。n 厶。= 0 ，由 1 11 中的定理2 4 知冗。含有不可分解的子 连续统若屯。，厶，。交于一点，令i = 1 ，。u 厶。，显然j 是t 的子连续统对 ，的任何满足i = 乃u 正的子连续统乃，码，必有 。丑， ，。乃至少 其一成立，从而( ，1 j ) “( 五) = i ，( ，1 j ) ( 疋) = j 至少其一成立，故 ，( ，1 j ) “) 为不可分逆序列，从而l i m i ，( ，f ，) 是不可分解的连续统，即7 乙含有巧i 可分解的子连续统l i m l ，( f l z ) 9 口 第三章3 一星形树上一类特殊的m a r k o v 映射的逆极限 3 1n 一星形树上一类特殊的m a r k o v 映射 v n n ，以s 佗表示定义在 1 ，2 ，n 上所有置换的全体v 口又， 口： 1 ，2 ，3 ，扎 一 1 ，2 ，3 ，n ) ，若存在( 1 ，2 ，3 ，n ) 的一个k 元子 集 i 1 ，i ”- ，i k ) ，使得i 1 在j 下的轨迹恰为 n ，t 2 ， ) ，且对每一个 j 1 ，2 ，3 ，n ) 一 i 1 ，i 2 ，如) ，有口( j ) = j ，就称0 - 为一个k 轮换， 记为( i 1 ，i 2 ，“) 以f e l ，e 2 ， 记下面图( 1 ) 的n 一星形树，o 是惟一的具有分岔数n 的顶点，e 1 ，e 2 ，是m 星形树的n 个端点在m 星形树 e l ，e 2 ，e 。1 上任取除端点及o 点外的m 个点e 。+ l ，e 。+ 2 ，- ，e 。，易见它们与0 点 将n 星形树分割成n + m 个分支j 1 ，毛，h + 。对v a & + 。，相应地 定义矗： e l ，e 2 ，- - ，e 。 - - - - - 4 e l ，e 2 ，一，e 。 ，厶( 0 ) = o ，矗( e 。) = e a ( 。) ，再 将厶在 e l ，e 2 ，一，e 。 的n 十m 个分支 ，如，厶+ 。上分别线性延 拓 由上面的定义易见厶是n 一星形树 e l ，e 2 ， 上的m a r k o v 映射 图( 1 ) e 5 图( 2 ) 3 23 - 星形树上一类特殊的m a r k o v 映射的逆极限 e 2 为方便起见，如果连续统的每一个非退化的真子连续统都是弧，就将 该连续统简称为弧连续统；如果连续统是一拓扑射线| r 趋于弧耳，而且 ；瓦一r ，就将该连续统简称为s i n 皂连续统；如果连续统是两不交拓扑 射线r 1 ，r 2 共同趋于弧k ，而且k = 一r 1 一r 1 = 一r 2 一r 2 ，就将该连续统 简称为双8 i n 昙连续统 当n = 3 ，m = 1 时n 星形树如上面的图( 2 ) ，用y 表示该3 一星形树，此 时d s s + 】有2 4 种情形，相对应的厶也有2 4 神情形下面我们就每一种 1 0 情形给出厶所对应的逆极限 记j 1 = 0 ，e l 】，2 = 0 ，e 2 ，1 3 = e 3 ，e 4 ，厶= 0 ，e 4 】，矗= l i m y ，厶) ( 1 ) 口= i d 令几：k - y 是第i 个投射，易见凡是单且满的连续映射，又仉还 是从紧致空间到正空间的映射，故为同胚映射，所以y 矗兰y ( 2 ) 口一( 1 2 ) 由e ，e z 两点位置对称知璧= 厶，由引理3 有些 y ) 露) 望l i m 矗) 所以比型y ( 3 ) 口= ( 3 4 ) 厶对树y 的作用可作如图分解 易见 比= l i m i - u 如，矗 u 些 厶u b ，厶 由 9 中的表1 知t i m 1 1u 厶，厶 为弧，】垫 厶u 厶，矗) 为s i n 连续统 故比为s i n ：连续统与弧接于点( o ，0 ，) ( 4 ) 盯= ( 1 4 ) 易见 比= 些 如，盯) u l j _ m i - u 厶u b ，厶) 而粤 如，厶) 为弧，又由 9 】的表2 中( 1 3 ) 的情形知l i _ _ m 1 1 u 1 4 b 3 ，厶) 为s i n ：连续统，故比为s i n 连续统与弧接于点( o ，0 ，) ( 5 ) 盯= ( 2 4 ) 由e 1 ，e 2 两点位置对称知情形同( 4 ) 1 1 ( 6 ) d r = ( 1 2 ) ( 3 4 ) 厶对树r 的作用可作如图分解 c 3 e 4 易见 比= 粤 ，u 如，矗 u 磐 厶u 厶，厶) 由【9 】中的表l 知l 垫 1 1 u 如，疗 为弧，些 毛u 厶，厶) 为s i n 昙连续统 故比为s i n 连续统与弧接于点( d ，0 ，) ( 7 ) e r = ( 2 3 ) 厶对树y 的作用可作如图分解 e 2 如0 厶e 4 厶e 3 易见 比= l i m i l ，厶) u 些 如u h u 如，疗) 而些 ，矗) 为弧，又由 9 】的表2 中( 1 4 ) 的情形知l i _ m 2 u 4 u 3 ，疗 为双s i n i l 连续统，故比为双8 i n 丢连续统与弧接于点( o ，0 ，) 、 ( 8 ) d r = ( 1 3 ) 由e 2 两点位置对称知情形同( 7 ) ( 9 ) 口= ( 2 3 4 ) 厶对树y 的作用可作如图分解 易见 比= 些 ，矗 u 粤 ，2 u 厶u 厶，盯) 而l i r a i t ，厶 为弧，又由 9 的表2 中( 1 4 3 ) 的情形知l i m 1 2 u h u i a ，矗 为3 个端点的不可分解弧连续统，故鲁为3 个端点的不可分解弧连续统与一 条弧接于点( 0 ，0 ，) ( 1 0 ) 口= ( 1 3 4 ) 由e 1 ，e z 两点位置对称知情形同( 9 ) ( 1 1 ) 口= ( 2 4 3 ) l 对树y 的作用可作如图分解 e e 2 屯0 厶e 4 厶e 3 易见 比= l i m l ，矗) u 墅 j 2 u 厶u 厶，矗) 而l i , _ m l l ，厶 为一条弧，又由 9 的表2 中( 1 3 4 ) 的情形知l i _ m 厶u 4 u 厶，厶) 为4 个端点的不可分解弧连续统，故，矗为4 个端点的小可分解弧连续 统与一条弧接于点( 0 ，0 ，) ( 1 2 ) 口= ( 1 4 3 ) 由e ，e 2 两点位置对称知情形同( 1 1 ) 1 3 e 3 ( 1 3 一1 ) 由j 1 乌厶二屯乌b u1 4 ，厶上】ub 知j lu1 2 置 ，lu 1 2 ，i a u 厶二_ 厶u 厶又因为l i m v 厶 兰l i m y , 露 ，所以比= l i m l lu1 2 ，力) u l i r a 1 4u 厶，0 2 - ( i ) j 1u 如在露作用下如图( 1 3 2 ) ，由文f 9 】中定理2 可得l i m 1 1u 如，七) 是一拓扑射线r 和连续统k = l i m 【e 5 ，e 1 ，露l 【e 5 ，c 1 】) 的并，且 k = r r 易见k = n m b ，e - ，露l e 5 e 】1 是弧，所以l i m u - u 1 2 ，露 是s i n 连续统 ( i i ) 厶u 厶在璧作用下如图( 1 3 3 ) ，和( i ) 类似 ( i ) ，( i i ) 中的两弧l i m e 5 ，e 1 】，f 2 1 e 5 ，e 】) ，l i m 【e 6 ，o 】，露6 ，o ) 在 端点( o ，o ，) 处相交、故为两s i n = 1 连续统接于一点( o ，o ，) ( 1 4 ) 盯= ( 2 4 j ( 1 3 ) 由e l ，e 2 两点位置对称知情形同( 1 3 ) ( 1 5 ) 口= ( 1 4 2 ) 由矗立厶厶屯立j 1 ，如上如u 厶u 1 3 乌y 妣 ( i ) u 如u 厶在厶下不变； ( i i ) 厶i 厶单调； ( n i ) 璧( 如) = y 用“：k 一y 表示第n 个投射，令n 。( v n ) 表示满足如下条件 的逆极限 ( 1 ) ( a 。) = l a ； ( 2 ) 当i n 时，丌扎( a 。) = ( 厶i h ) ”4 ( j 3 ) 1 4 令r = n 1 u c t 2 u 3 ，k = l i r a 1 1 u 1 2 u i , l ， ) ，注意到乜jco 。q + l ( v j 1 ，且q ，是一条弧，所以r 是一条拓扑射线又vx = ( z l ，x 2 ，) ，y = ( y l ，y 2 ，) l i r a y ) 矗) ，满足z 。= ，就有d ( z ，y ) 0 ，。k ，则x 。i lu ，2u 厶，由上述( i i i ) 女dj 如+ 2 厶，使 得露( m 。2 ) = x 。故jp = ( p l ，p 2 ，) a 。+ 2 ，使得7 r n ( p ) = z 。，所以 d ( z ，p ) 2 一“，因此k 矗 另一方面，若z l i r a y , 尼) ，但。gr ，则对vn n 有x 乒a 。，即对 vn n ，z 。g 厶，所以x k 综合两方面可得k = r r 又1 o1 1 ；2 与1 2 ；厶o 厶，易见k l i m i iu ，2u 厶，厶) 竺 l i r a 1 lu1 2u 厶，露 呈y ，所以y 矗是一拓扑射线趋于一3 一星形树y ( 1 6 ) 口= ( 1 2 4 ) 由e 1 ，e 2 两点位置对称知情形同( 1 5 ) ( 1 7 ) 口= ( 1 2 3 ) 由j l 立如上j 4u 厶，j 4 上厶，厶一生j 1u 1 4 ，知，luj 2u1 3 立 1 1 u 1 2 u i i u l 3 = y 用”。：l 乞一，表示第礼个投射，令a 。y 。c ( v nen ) 表示满足如下 条件的逆极限， ( 1 ) “( o 。) = 1 1u 2 u 3 ； ( 2 ) 当i n 时，( n 。) = ( 厶i u 如u ，3 ) ”。( 1 1u 2u 3 ) 令爿= 口1 u a 2 u n 3 ，k = l i m u 4 ，矗) ，注意到n ，+ 1 ( ) 且o f 是三条弧，故爿是三条拓扑射线与情形( 1 3 ) 类似得：r 一r = l i m 1 4 ，矗 = k ，故，毛是三条拓扑射线冗趋于一条弧 ( 1 8 ) 口= ( 2 1 3 ) 由e l ，e 2 两点位置对称知情形同( 1 7 ) ( 1 9 ) 口= ( 1 4 2 3 ) 1 5 e 3 ( 1 9 一1 ) e 1 ( 1 9 2 )( 1 9 3 ) c 3 由j 1 与，4 乌如，1 2 乌1 4 u 1 3 ，1 3 乌工1 u 如知1 1 u 如与f l u 如，如u 厶三厶u1 4 又因为l i m y , 矗) 垡l i m y , 璧 ，所以比掣l i r a - 1u 2 ，露) u l i m 1 4u1 3 ，尼) ( i ) ，1u 2 在臂作用下如图( 1 9 2 ) ，易见：刀【e 5 ，o = f 2 d ，e l 】= j 2 【e 2 ，e 5 = lu 如，故有 lu 1 2 ，露) 是不可分逆序列，由引理2 ，l i m ，lu 屯，辟 是不可分解连续统，且由 9 中定理1 4 知( c 2 ，e 1 ) e 2 ，e l ，- t ) 与 ( e l ，e 2 ， e l ，e 2 ，) 是它的两个端点 ( i i ) 1 4u 3 在露作用下如图( 1 9 3 ) ，易见：髟涵) = 露 e 4 ，e 6 】= 一 e 6 ，e 3 = 1 4u1 3 ，故有 厶u 厶，露 是不可分逆序列，从而h m 厶u i z ，露) 是不可分解连续统，且( e 3 ，e 4 ，e 3 ，e 4 ，) 与( e 4 ，e 3 ，e 4 ，c 3 ，) 以及 ( o ，o ，o ，) 是它的三个端点因为( o ，d ，o ，) l i m 1 1 u 2 ，露) ，所以 乞是4 个端点的可分解的连续统 ( 2 0 ) 口= ( 2 4 1 3 ) 由e l ，e 2 两点位置对称知情形同( 1 9 ) ( 2 1 ) 口= ( 1 2 4 3 ) 苗i 立如互厶与h u 3 上厶u 1 4 u 1 3 上y ，3 立，1 u 厶u 厶立 y ，易见露( ) = 群( 如) = f 2 ( h ) = 露( 厶) = y ，故有 y 矗 是不可分逆 序列，所以】，毛是不可分解连续统，它的4 个端点为( c 1 ，c 3 ，e 4 ，e 2 ，e t ，) ， ( e 2 ，e 1 ，e 3 ，e 4 ，e 2 ，) ，( e 4 ，e 2 ，e 1 ，e 3 ，e 4 ，1 ) ，( 8 3 ，e 4 、e 2 ，e 1 ，e 3 ，。) ( 2 2 ) 口= ( 2 1 4 3 ) 由e ，e 2 两点位置对称知情形同( 2 1 ) 1 6 ( 2 3 ) 矿= ( 1 3 4 2 ) 由j 1 立4uj 3 ，j 3 互1 2u 厶，厶上1 2 ，易见露( m = f 2 ( i 2 ) = 露( t 4 ) = 6 ( 如) = y ，故有( k 厶 是不可分逆序列，所以y 矗是不可分解连 续统，它的4 个端点为( c 1 ，e 2 ，朗，e 3 ，8 】j ) ，( c 2 ，国，e 3 ，c 1 ，e 2 ，) ，( e 3 ，e 】，e 2 ， e 4 ，c 3 ，) ，( 9 4 ，e 3 ，e l ，c 2 c 4 ，) ( 2 4 ) f = ( 2 3 4 1 ) 由8 i ，e 2 两点位置对称知情形同( 2 3 ) 综合前面的证明，我们在下面的表中明确给出当n = 3 ，m = 1 时该类特 殊的m a r k o v 映射，口的逆极限， l i r a ( e 矗) i d ，( 1 2 ) 3 一星形树y ( 4 3 ) ，( 1 4 ) ，( 2 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 )s i n 昙连续统与弧接于点( o ，o ，) ( 2 3 ) ，( 1 3 )双s i n i l 连续统与弧接于点( d ，o ，) ( 2 3 4 ) ，( 1 3 4 ) 三个端点的h i 可分弧连续统与条弧接于点( o ，o ，) ( 2 4 3 ) ，( 1 4 3 ) 四个端点的不可分弧连续统与条弧接于点( d ，0 ，) ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 2 4 ) ( 1 3 )两个s i n 昙连续统接于一点( o ，o ，) ( 1 4 2 ) ，( 2 4 1 ) 拓扑射线r 趋子一3 星形树y 且y = 宜一r ( 1 2 3 ) ，( 2 1 3 ) 三拓扑射线趋于侮? 弧 i( 1 4 2 3 ) ，( 2 4 1 3 ) 四个端点的可分连续统 【( t 2 4 3 ) ，( 2 1 4 3 ) ，( 1 3 4 2 ) ，( 2 3 4 1 ) 四个端点的不可分连续统 1 7 参考文献 1 r f w i l l i a m s ，o n e d i m e n s i o n a ln o n w a n d e r i n gs e t s ，t o p o l o g y 6 ( 1 9 6 7 ) ，4 7 3 4 8 7 2 】mb a r g e ，h o r s e s h o em a p sa n di n v e r s el i m i t s ，p a c i f i cj m a t h 1 2 1 ( 1 9 8 6 ) ，2 9 - 3 9 3 】s h o l t e ，e m b e d d i n gi n v e r s el i m i t so fn e a r l ym a r k o v i n t e r v a lm a pa s a t t r a c t o r si nt w od i m e n s i o n s ，c o l l o q ，m a t h 6 8 ( 1 9 9 5 ) 2 9 1 2 9 6 f 4 】s h o l t e ，f u l la t t r a c t i n g s e t so fa n n u l u sm a p sw h i c ha r ei n v e r s el i m i t s o fc i r c l e s ，t o p o l o g ya p p l 6 5 ( 1 9 9 5 ) 4 9 - 5 6 5 】m b a r g e ，k b r u c k s ，b d i a m o n d ，s e l f - s i m i l a r i t yi n i n v e r s el i m i t s p a c e so ft h et e n tf a m i l y , p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 4 ( 1 9 9 6 ) 3 5 6 3 3 5 7 0 6 m b a r g e ，b d i a m o n d ，h o m e o m o r p h i s m so fi n v e r s el i m i ts p a c e so f o n e - d i m e n s i o n a lm a p s ，f u n d m a t h 1 4 6 ( 1 9 9 5 ) 1 7 1 1 8 7 7 】m b a r g e ，b d i a m o n d ，i n v e r s el i m i t ss p a c eo fi n f i n i t e l yr e n o r m a l i z a b l em a p s ，t o p o l o g ya p p l 8 3 ( 1 9 9 8 ) 1 0 3 1 0 8 8 s a r a he h o l t e ，i n v e r s el i m i t s o fm a r k o vi n t e r v a lm a p s ，t o p o l o g y a p p l1 2 3 ( 2 0 0 2 ) ，4 2 1 4 2 7 9 w t i n g r a m ，i n v a r i a n t s e t sa n di n v e r s el i m i t s ，t o p o l o g ya p p l 1 2 6 ( 2 0 0 2