（理论物理专业论文）缺陷的拓扑场论在物理学前沿中的应用.pdf

内容摘要 本文应用段一士教授建立的咖映射拓扑流理论，研究了生物膜上的拓扑缺陷 和拓扑量子力学中的涡旋激发 首先，给出了、映射拓扑流理论的d er h a m 流表述方式。利用d er h a m 流 理论，我们将其写成微分形式，给出了咖映射拓扑流中雅可比的d er h a m 流形 式并给出了咖映射拓扑流的展开形式和毋一映射拓扑流的在极限点和分岔点的分 岔过程 其次，我们从生物膜上的s o ( 2 ) 规范理论出发，从s o ( 2 ) 规范势定义了相应 的u 0 ) 规范势，利用标架理论给出了高斯曲率的u 0 ) 规范场张量表达式，然后 利用段一士教授的毋一映射拓扑流理论研究了拓扑缺陷的w i n g d i n gn u m b e r 和拓 扑结构，表明生物膜上所有拓扑缺陷的w i n g d i n gn u m b e r 之和为体系的欧拉示性 数然后讨论了轴对称生物膜上的拓扑缺陷的拓扑结构和基态分布在球面上，基 态为4 个拓扑荷为1 2 的缺陷，它们分布在四面体的顶点处；第一激发态，为2 个 拓扑荷为l 的缺陷，它们分布在南北两极；第二激发态，为1 个拓扑荷为2 的缺陷， 它在球面上随遇平衡。然后研究了双凹碟形中的拓扑缺陷分布，由于它与球面同胚， 故其分布与球面类似，但考虑到缺陷与高斯曲率的反常耦合，计算分析表明，2 个 拓扑荷为1 的缺陷将振荡于南北两极，或对称的分布在赤遵大圆上随后，研究了 环状生物泡的缺陷分布，由于亏格为l 的环形曲面欧拉示性数为零，故环面基态对 应于无缺陷态，我们还给出了一对异荷缺陷的可能分布 然后，利用段一士教授的审一欧射拓扑流理论分祈了拓扑量子力学中的涡旋激 发，给出了其内部拓扑结构并讨论了球对称势阱和谐振子势阱中的拓扑涡旋激发 分布，研究表明对球对称势阱和谐振子势阱系统基态没有涡旋激发，随着能级的升 高，涡旋激发的数目在呈撼物线上升。进而对于b e c 凝聚体中的祸旋，它“】位子集 体渡函数的零点处，当将b e c 凝聚体镀在几何衬底上时，如果涡旋间的距离为放 射半径，即墨，= r 。，它们的基态髓与体系的拓扑数有关，玩d = s 2 j x 2 7 r l n 鲁。 在球面上，) ( = 2 ，日，。d = s 2 j 4 1 r l n n t j 、在环面上，x = ，日， = 在无限长柱0 o u d 0 面上，由于圆柱与圆圈同胚，其欧拉示性数x 为0 ，故邑，。d = 0 最后，我们给出 了全文的总结和及拓扑场论的一些展望 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a p p l y i n gp r o f e s s o rd u a n s 出m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n t t h e o r y ，w es t u d i e dt h et o p o l o g i c a ld e f e c t so nt h ec o m p a c tc l o s e db i o l o g i c a lm e m b r a n e sa n dt h ev o r t e xe x c i t a t i o ni nt o p o l o g i c a lq u a n t u mm e c h a n i c s ， f i r s t l y , w ep r e s e n tt h e 出m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r yi nt e r mo fd e r a h mc u r r e n t ，t h et o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r yi s e x p r e s s e di n t ot h r e ec o m p a c tc l e a r f o r m u l a sw ea l s og i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo ft h et o p o l o g - i c a lc u r r e n t s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c e dt h es o ( 2 ) g a u g e f i e l dt h e o r yo nt h em e m b r a n es u r f a c e a n d e x p r e s st h es 0 ( 2 ) g a u g ep o t e n t i a la st h e u n i to r d e rp a r a m e t e ro ft h em e m b r a n e u s i n gt h es o ( 2 ) g a u g ep o t e n t i a ld e c o m p o s i t i o nt h e o r y ，w ed e f i n e dt h eu o ) g a u g e p o t e n t i a la n de x p r e s s e dt h eg a u s s i a nc u r v a t u r ea st h eu ( 1 ) g a u g ef i e l dt e n s o ri n t h ef r a m e w o r ko ft h ev i e l b e i nt h e o r y t h e na p p l y i n gp r o f e s s o rd u a n 8 出m a p p i n g t o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y ，i ti ss h o w nt h a tt h es u mo ft h ew i n d i n gn u m b e r so ft h e d e f e c t so nt h em e m b r a n ei st h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r m o r eo v e r ，w ed i s c u s s e d t h ed i s t r i b u t i o no ft o p o l o g i c a ld e f e c t so nt h ea x i s y m m e t r i cm e m b r a n es u r f a c e s o n t h es p h e r i c a lm e m b r a n e ，t h es u mo ft h ew i n d i n gn u n l b e r so ft h ed e f e c t se q u a l s2 ，t h e g r o u n ds t a t ei sf o u rd e f e c t sw i t hw = 1 2 ，t h e ys i ta tt h ev e r t i c e so fat e t r a h e d r o n t h ef i r s te x c i t e ds t a t ei st w od e f e c t sw i t hw = 1 t h e ys i ta tt h es o u t hp o l ep o i n t a n dn o r t hp o l ep o i n to ft h es p h e r et h es e c o n de x c i t e ds t a t ei so n ed e f e c t sw i t h w = 2 ，i t s i t se v e r y w h e r e t h eb i c o n c a v ed i s c o i di s h o m c o m o r p h i ct oas p h e r e ， s oi th a sas i m i l a rd i s t r i b u t i o n ，t h et w od e f e c t sw i t hw = l i u s ts i t sa tt h es o u t h p o l ep o i n ta n dn o r t hp o l ep o i n t f u r t h e rm o r e ，w h i l et a k i n gi n t oa c c o u n to ft h e a n o m a l o u sc o u p l i n g ，w es t u d i e dt h ed e f e c t so nt h eb i c o n c a v es u r f a c eo ft h er e db l o o d c e l l a sf o rat o r t l sw h o s ee u l e rn u m b e ri so s ot h eg r o u n ds t a t eo ft h et o r u 8 u s t c o r r e s p o n d st ot h ee a s eo fn o d e f e c t s t h i r d l y ，u s i n gp r o f e s s o rd u a n 8 仁m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y ，w es t u d y t h ev o r t e xe x c i t a t i o ni nt o p o l o g i c a lq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h ei n n e rt o p o l o g i c a ls t r u c - t u r eo ft h ev o r t e xe x c i t a t i o ni sp r e s e n t e d w ea l s oa n a l y z ct h ed i s t r i b u t i o no ft h e v o r t e xe x c i t a t i o ni nt h es p h e r i c a lp o t e n t i a lw e l la n dh a r m o n i co s c i l l a t o rw e l l a c c o r d i n gt ot h et o p o l o g i c a lq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h ev o r t e xe x c i t a t i o na r i s ef r o mt h e z e r op o i n t so ft h ew a v ef u n c t i o no fs y s t e m ，s od o e st h eb e c i ti ss h o w n ，t h en u m b e r 兰州大学研究生学位论文 o fv o r t e xe x c i t a t i o ni n c r e a s e s ，w h e nt h ee n e r g yl e v e li n c r e a s e s t h e r ei sn ov o r t e x e x c i t a t i o na tt h eg r o u n ds t a t e f u r t h e rm o r e ，w ed i s c u s s e dt h eg r o u n d s t a t ee n e r g y o ft h ev o r t e xe x c i t a t i o no i lt h et h i ns u p e r f l u i df i l mc o v e ra na x i s y m m e t r i cs u r f a c e ， w ef i n dt h a tt h eg r o u n ds t a t ee n e r g yi sd e p e n do nt h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r w h e nt h er a d i a ld i s t a n c eo ft h ev o r t e xe q u a l st ot h cd i s t a n c eb e t w e e nt h ed e f e c t s f i n a l l y , w ep r e s e n tab r i e fs u m a r ya n dd i s c u s s i o n 5 原刨惶声明 套人郏熏声明：本人所挚交的学位论文。足谯导帅的朔导f 独立避行 研究所取得的成果。学位论文中凡0 i 用他人已经发表或未发表的成果、 数撬 、观点等，均己明确注明出处。除文；| i 已经注明引用的内容外，不 包禽任何其他个人或集体已经发表或撰写过的鞘研成聚。羽零定的研究成 果做出重要秃献的个人和集体，均l 三在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承扣。 论文作者签名：主燃 门 期：! ! ! 净墨精i 固 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导f 所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了篇兰州大学有关保存、使用学位论文约规定，周意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此击见定。 论文作者签名：互燃 导师签名： 皂= ! 日 期：芝! 堕：占 、_， 第一章前言 几何学与物理学的发展一直都纠缠在一起，牛顿利用欧氏几何学给出了天体运 动的一个优美的理论，第一次使几何学的威力展现了出来数百年以后，爱医断坦 利用黎曼几何发展出了广义相对论，将人类对于世界的认识带入了一个新的境界 物理学本质上是实验的科学，而数学则更着重于理性思维，是科学中的艺术。本世 纪理论物理两项最重要的发展一广义相对论和规范场论一分别源于黎曼几何和纤维 丛理论，而广义相对论本身是一种规范理论，它们同根植在现代微分几何中。物理 学的发展有对是超越了数学的，例如费因曼的路径积分理论，目前还没有一种严格 地数学阐述。数学上地概念，也往往出于物理地需要而被物理学家重新发明出来， 例如狄拉克提出以c l i f f o r d 代数为基础地狄拉克方程时，并不知道c l i f f o r d 代 数。而几何实际是现实世界地抽象，自然界并没有一个曲率处处为常数的球，但是 从原子到星球，没有一处不透露着它的影子。广义相对论的等效原理认为惯性力场 与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，客观的真实的物理规律应该在任意坐标 变换下形式不变。物质世界的时空性质完全取决于运动物质所产生的引力场而我 们的世界总可以被抽象成一些几何要素，用数字来描述而拓扑学则研究能在几何 体连续形变下保持不变的拓扑不变量。丽这些在完美的条件下总是成立的，例如， 球面的欧拉示性数是2 ，这就意味着分布在球面上的矢量场，它们的奇点指数之和 必须为2 。当然，地球是不标准的扁椭圆，但是，它与球面同胚，故仍然满足矢量场 的奇点指数之和必须为2 这一要求这就是说，地球上若到处起风的话，必然有那 么一点，其周围风矢量场呈w i n d i n gn u m b e r 为2 的矢量场流布状，或者有两点，每 一点周围风矢量场呈w i n d i n gn u m b e r 为l 的矢量场流布状，或者有四个点，每点 矢量场为1 2 的矢量场流布状物理学家一般最关心四维流形，四维空间是我们的 现实空间，理论物理学家从数学家的角度出发，证明了四维流形具有无穷多种微分 结构而数学家sd o n a l d s o n 却通过对物理中的瞬子的研究的到四维流形的重要 定理( d o n a l d s o n 定理) 此后，理论物理学家ew i t t e n 又从超对称规范场论出发， 用一种更简单的方法得到了d o n a l d s o n 不变量，后来又同s e i b e r g 一起，从对偶性 出发，发展了一套和d o n a l d s o n 理论等效却更容易应用的s e i b e r g w i t t e n 理论， 一下子解决了很多d o n a l d s o n 理论无法解决的问题，他因此获得了f i e l d s 奖，但他 的这一工作使得很多搞d o n a l d s o n 理论而来不及转方向的数学家失业了。于是，很 多数学家参与了进来，用物理学家的方式来研究四维流形的拓扑由此可见，数学 家和理论物理学家的工作总是互相交织，相互影响的，推动着物理学的发展 拓扑学在物理学中的应用极为广泛，拓扑的规律也反映在各个学科领域当中 在人工智能领域中，一般采用拓扑的方法对客观实体进行分类，识别地形中科院认 兰州大学研究生学位论文 知科学重点实验室陈霖等人经过系统实验发现：蜜蜂不仅能够学会分辨拓扑性质， 而且具有抽象拓扑性质的能力蜜蜂在学会分辨环型和s 形后，不需要进一步学习 就直接能分辨其拓扑性质不同的图形，比如空心的菱形和十字型另外，蜜蜂的学 习曲线表明，蜜蜂似乎天生具有分辨拓扑性质的能力，而学习训练对蜜蜂拓扑性质 分辨能力没有影响。在分子设计理论，常用分子拓扑指数和量子化学指数作为构效 关系中的指数参数标记分子的结构而生物膜中的拓扑缺陷往往影响生物体的结构 性质，例如红细胞，球形生物泡，环形生物泡等，球形细菌表面的位错对其自身的 力学性能有重要的影响目前，对于打结的d n a 分子，生物物理学家已经编制出 了很完整纽结表，并在试验中发现，通过一种酶，可以将开的d n a 分子粘合成纽 结状，而通过另一种酶，则可以将纽结解开在物理中，拓扑激发出现在多体系统 中，如b e c 中的涡旋激发，反铁磁系统中的s k y m i o n s 和m o n o p o l c ，固体中存在 拓扑缺陷，宇宙演化过程中会产生拓扑弦，拓扑畴壁。我们的四维世界可以看成是 高维空间破缺后产生的拓扑缺陷，或称为膜孤予，液晶是拓扑缺陷最好的例子，从 液晶中，可以观察到点缺陷，面缺陷，织构( t e x t u r e ) ，b o o j u m ，等等。 物质结构实际上可划分为一系列的层次，各又其组成的基本粒子及其特有的长 度尺度和能量尺度，而且诸多不同层次之间除了耦合之外，还存在脱耦，从而使得 我们将万事万物还原成简单的基本规律并不是那么简单每一层次中总有新的而且 激动人心的有效普遍原则，并不能由更加基础的科学自然而然地推倒出来。我们从 众多层次之中切出长度范围从几米到几纳米；时间范围从几年到几飞秒；能量范围 从几千开到几开；粒子数为1 0 ”一1 0 1 ；这些构成了凝聚态物理物理地研究对象场 地概念已经深深地渗透到了现代物理学的各个领域，且扮演着比传统的物理概念更 为基本的角色。电荷之间靠电磁场传播相互作用，用量子的语言表述为，是光子在 传递相互作用弱电统一场论中，靠中间矢量玻色于传递相互作用通过场的对称 性自发破缺，会产生拓扑孤子，而这些拓扑孤子的存在往往造成量子场论中的规范 反常而这些拓扑孤子实际上可以视为时空的拓扑缺陷 拓扑缺陷的产生与物理体系的对称性破缺有关系，通常认为缺陷是体系在对称 性破缺的过程中产生的对称破缺、广义刚度、元激发、拓扑缺陷、绝热连续性、重 整化群等概念是凝聚态物理的基本概念l a n d a u 的对称破缺理论中认为：在某一 特定的物态中，某一对称元素的存在与否是不容模棱两可的在原对称相中的某一 对称元素的突然丧失将对应于发生相变，导致低对称相的出现对称破缺意味着出 现有序相，其序参量值不为零序参量为某一物理量的平均值，可以是标量也可以 是矢量；在高温相它为零，在低温相为一有限值，而临界温度疋标志二级相变发生 的温度序参量被用来定性和定量地描述低对称相向对于原对称相的偏离 凝聚态物质中的对称破缺可谓千姿百态。向列相( n e m a t i c ) 液晶破缺了旋转对 兰州大学研究生学位论文 称性，而近晶( s m e c t i c ) 相液晶附加了一维平移对称破缺时间反演对称破缺与铁 磁体和反铁磁体的形成有关，规范对称破缺则导致宏观波函数的出现，其相位属性 可以保持到宏观尺度。a n d e r s o n 强调了对称破缺是和广义刚度的出现相关的正如 晶体使平移对称性破缺，将各个原子锁在特定的位罱上，从而获得了刚度，可传递 力而不产生耗散超导体中的刚度是电子对的相干性，它可以传递电流而不产生耗 散一般而言，元激发不够强劲，以至于对广义刚度影响不大；但是拓扑缺陷可以 导致对称相中广义刚度的部分丧失这正使得拓扑缺陷深深影响某些物理性质，如 位错对晶体的范性、磁畴壁对矫顽力、磁通列阵对i i 类超导体的临界电流的影响。 元激发和拓扑缺陷都倾向于恢复破缺的对称性，这样它们就很自然地对框变产 生影响。前者的影响表现在有些相变中模式变软，而后者的影响体现于若干缺陷介 入的相变在三维的情形元激发和拓扑缺陷之间界限分明，但在低维情况下界限就 趋于模糊。而实际上，元激发是有其拓扑根源的通常拓扑缺陷也称为拓扑元激发 由于基态通常是充分有序态，激发态常显示恢复原本对称性的倾向，通过对称破缺， 产生了各种各样的元激发和拓扑缺陷。 在本论文中，我们应用段一士教授建立的仁映射拓扑流理论研究生物膜中的 拓扑缺陷及量子力学中的拓扑涡旋激发。首先介绍段一士建立的西一映射拓扑流理 论，其次利用咖映射拓扑理论给出了轴对称生物膜的拓扑缺陷分布，然后研究了 球对称势阱和谐振子势阱中的拓扑涡旋激发的规律最后是总结及展望 3 第二章拓扑场理论 2 1 引言 拓扑不变量是几何的概念，场一般对应着物理实际，段一士教授建立的咖映射 拓扑流理论则建立起了矢量场的奇异性和拓扑不变量之间直接的联系，即建立了物 理和几何之间的简洁明了的联系，这是一个数学形式很优美的理论，其应用非常广 泛。它给出了磁单极的拓扑流【l 】，宇宙弦的拓扑数f 2 ，旋错和位错连续体的拓扑示 性数 3 ，4 】，早期宇宙中的时空缺陷及其拓扑分岔5 ，6 ，7 1 ，整数和分数量子霍尔效 应的拓扑理论 8 ，9 】，太阳黑子的电密度1 1 0 】还首次严格证明了超导理论中的伦敦 假设，并给出了拓扑结构 1 1 】，还解决了光波位错的拓扑分类f 1 2 1 ，复合玻色子场中 的孤子演化【1 3 | 此外，在数学中，给出了g a u s s - b o n n e t c h e r n 定理和m o r s e 理论 的内部拓扑结构 1 4 f 1 5 ，1 6 】，在场论中，研究了p 膜的拓扑理论f 1 7 1 ，c h e r n - s i m o n s 场中的涡旋演化【1 8 及纽结，宇宙早期的纽结弦等f 1 9 ，2 0 ，2 1 1 本节中，我们将给 出声映射拓扑流理论的d er h a m 流表述方式及拓扑流的分岔理论 2 2 映射度与w i n d i n gn u m b e r 映射度：设m 和为两个维数为m 的可定向光滑流形曲：m 一为光滑 固有映射( p r o p e rm a p ) 3 则咖的度定义为： 厶矿u = 咖币厶u v h y ( n )( 2 1 ) 其中? ( ) 为的具有紧致支集的第md er h a m 上同调群有时明显的记d e g 曲 为d e g ( 毋，m ，) 常取为紧致( 如s ”，但并不一定要求取为紧致) ，并使得，u = 1 。此时 有： r 4 8 9 母一厶审“ ( 22 ) 局部映射度：设m 和为两个维数为m 的可定向光滑流形，西：m + 为光滑映射q n ，若存在点q 的某一开邻域vcn ，使得在u = f - 1 ( y ) 上 的限制咖l u y 是固有的，则定义舌在m 上相对于q 的度为： d e g ( ，m ，q ) = d e g ( 咖i u ，u ，v )( 2 3 ) 3 固有映射为满足紧集的逆像仍为紧枭的映射 4 兰州大学研究生学位论文 定理：设d = z r ”“ii i = 1 f 1 ) ，s “= o d ，曲：一d 一+ r m + 1 是连续映 射0 掣庐( a d ) ，令 吣) 2 揣忆酣” ( 2 4 ) 贝 d e g ( ，d ，0 ) = d e gn( 25 ) 环绕数( w i n d i n gn u m b e r ) 设m 为m 维定向紧致无边的光滑流形，西： m - - - - - 4r “1 为一连续映射，设z r m + i ( m ) ，则可定义 钆m - - - - * s ，z 一蔫高 仁e ， 西对z 点的w i n d i n gn u m b e r 定义为： w ( ，m ，z ) = d e g p ( 27 ) 对上面的定理显然有： w ( 西，o d ，0 ) = d e g n = d e g ( 咖，d ，0 )( 2 8 ) 零点指数：设d 为r ”“中的有界开集，庐：- d - 留。是连续映射，0 曲( a g ) ， 若x 0 d 是妒的孤立零点，则可选取x 0 的某一邻域u ，使得秒cd 且。o 是可 的唯一零点，咖在z o 点的指数定义为： i n d ( 毋，铷) = d e g ( 毋，u ，0 ) 显然有 i n d ( ，x o ) = ( ，o u , 0 ) 2 3 d er h a m 流与子流形理论 ( 2 9 ) f 2 1 0 1 d e r h a m 流【2 2 】：流是流形上的一种特殊的张量分布。设m 为r n 一维光滑流 形，流丁是定义在m 的所有光滑且有紧致支集的微分形式所形成的矢量空间上的 范函。即 t k l w l + k 2 0 j 2 _ k l t “l 】+ k 2 t w 2 】( 21 1 ) 其中u - ，“。是m 上光僭且有紧致支集的微分形式，k 。，k z 是实数。一种通俗的说 法是：r 一流是可以以广义函数为系数的r 一形式0 流可以看成是流形上的广义函 数。例如下面即为一r 一流的局部坐标表示 o t = 5 ( z ) d z l a a 如7( 2 1 2 ) 兰州大学研究生学位论文 一般的r 一流t 的局部坐标表示为 丁= 砉耳r d 1a a d x “ ( 2 1 3 ) 其中耳，。为流形上的0 一流，即分布( 广义函数) 流的运算： 1 偏微商：设“为任一在流形的某一区域d 中有紧致支集的光滑微分形式，在 局域坐标下有表示： u 2 音u p l 2 d 。” a d x “ 其偏微商的定义为： 啦u 2 击钆u m “，d x ”a - a d z “ ( 2 - 1 4 ) 设。为一r 一流，在局域坐标下有表示： n = 击”d 1 a a d x “ 其中a 。为流形上的分布( 广义函数) 其偏微商的定义为： 如n m = 一0 = f 如u 1( 2 1 5 ) 2 外微分：d ：7 一流一( r 十1 ) 一流 定义为 一d = d x # 钆= d ：v p a 杀 ( 2 1 6 ) 由于钆乱= 巩钆即分布总是可微的，容易看出 d 2 = d d = 0 ( 2 1 7 ) 3h o d g e 对偶；一种代数运算，与通常的h o d g e 运算相似 子流形基本概念： 设( n ，9 ) 为n ( 维伪) r i c m a n n 流形，m 是其m 维子流形，( 1 0 ，解所对应的 是t t + ；反之，就是t 0 ，我们有t 矿得解，否则为t ( r 得解这两组解对应着缺陷得 生成和湮灭，在极限点处，两缺陷速度无穷大，拥有相反的拓扑荷，觑仉= 一岛仍 如果再令d 1 ( ：) b = 0 ，将对应于一个分岔点( t ，盂) 。在分岔点处t 和z 1 的 关系式不唯一，由方程 铷，= 脊寒 s 。， 兰州大学研究生学位论文 可知，此时其积分方向不定在分岔点邻域对方程西= 0 的解作t a y l o r 展开 a ( x 1 一z i ) 2 + 2 b ( x 1 一z ) ( 一t + ) + c ( t t + ) = 0( 3 5 1 ) 则 a ( d 出x l ，2 , 2 n d d 亡x 1 + e = 0 ( 3 5 2 ) 且 g ( 嘉) 2 + z b 嘉+ 4 = o ( 3 5 3 ) 其中a ，b 和c 是三个参数。方程( 3 5 2 ) 和( 35 3 ) 的解给出了不同的分枝。其解有 两种情况 1 1 ： ( 1 ) 当= 4 ( b 2 4 a c ) = 0 时，从方程( 35 2 ) ，我们只得到一个运动方 向百d x i = 一鲁，它包含两种情形：( a ) 一个缺陷分裂成两个( b ) 两个缺陷合并成一 个( c ) 两缺陷在分岔点处相切 ( 2 ) 当= 4 ( b 2 4 a c ) 0 ，从方程( 3 5 2 ) 可解出两个不同的方向警= 土幽雩雹匝这意味着两缺陷在分岔点处相碰，碰后又分开。 这两种运动过程中，拓扑荷都是守恒的，即碰前的拓扑荷等于碰后的拓扑荷， 对给定的k ，有 巩，= w k i( 3 5 4 ) 3 3 3 双凹碟形红细胞面上的拓扑缺陷 生物膜的主要结构分子是类脂化合物和磷脂，它们都是双亲分子这些脂类分 子以双分子层成膜，其亲水极性基团朝外与水接触，而两条疏水烃链夹于膜内在正 常生理温度，它们可以在膜上自由流动这种排列方向有序的流体正是分子处于液 晶态的宏观特征1 9 7 3 年，液晶理论物理学家w h c l f r i c h 把类脂分子的烃链取向 看作单轴液晶的指向矢，那么生物膜即可描述为厚度约为两倍类脂分子长的垂直校 列向列相液晶，其厚度约为8 纳米，取膜面的法向为液晶的指向矢，wh e l f f i c h 导出 了单位面积细胞膜的弹性自由能f 4 2 恐= d a ( 2 k h 2 + i g ) ( 3 5 5 ) jj 这就是著名的c a n t h a l h e l f r i c h 弹性自由能其中aa n di 是弯曲模量g 是g a u s s i a n 曲率，h 是平均瞳率1 9 8 7 年欧阳钟灿和h e l f r i c h 对自由能变分，导出了生物 2 7 兰州大学研究生学位论文 膜形状的普遍方程 4 3 并且给出了双凹碟形红细胞的解析解【4 4 z ( p ) = z ( o ) + 上9 咖妒( p 7 ) d p ， 妒( j 口) = 。r cs i n c o p l n ( p p b ) 1 ( 35 6 ) 其中z ( p ) 是细胞沿对称轴剖面的轮廓线，p 是距红细胞膜垂直旋轴的距离，妒( p ) 是 膜面的切角当岛为负值时，曲面正是双凹碟形 我们首先从拓扑的角度分析一下，双凹碟形上拓扑缺陷的分布情况在拓扑学 看来，此双凹碟形与一个二维球面是同胚的众所周知，球面的e u l e r 示性数为2 ，即 x ( m ) = 眦= 2 ( 3 5 7 ) 显然，最简单的两种情形是：n = 2 ，眦= w 2 = 1 和n = 1 ，l 缺陷与高斯曲率耦合的情况下，我们采用正的几何作用能 最= ”瞰2 k l n ( 苦) 当球面上有n 个拓扑缺陷时，总能量为 e = 蜀= 7 r l n ( 詈) 姒2 f = l1 吣t = 1 事实上，根据c a u c h y - s c h w a r t z 不等式 2 在不考虑拓扑 ( 35 8 ) f 35 9 1 nnn ( 眦) 2 ( 孵) ( ( 1 ) 2 ) ( 3 6 0 ) i = l4 = 1i = 1 我们可以得到 ( w j 2s ( 1 4 乍) n ( 3 6 1 ) i = it ；1 把方程( 3 6 1 ) 代入( 35 9 ) ，有 e2 ”一l n ( 是) ：( 蚤n 眦) 2 ( 36 2 ) 考虑到( 3 4 5 ) ，则 e 7 r k l n ( 瓦rn 1 x 2 ( m )( 3 6 3 ) 在球面上，e u l e r 示性数x 为2 ，是一个常数显然n = 2 ，w ，1 = w 2 = 1 比n = 1 ，w 1 2 具有更低的能量当n 3 时，将出现分数的w i n d i n gn u m b e r ( 关于分 兰州大学研究生学位论文 席黔 惭a & * 了1 感移、 图3 1 正负荷间隔分布的缺陷 数的w i n d i n gn u m b e r ，pg d eg e n n e s 5 1 】和s b l a h a 5 2 】都曾经提到过，但还未 有详细论述) 方程( 3 6 3 ) 似乎表明，缺陷的数目t t 越大，基态能量越低。实际上，考虑到所 有缺陷的拓扑荷之和必须为e u l e r 示性数，就可明白，对给定的流形，n 越大，则全 同的缺陷的拓扑荷就越小，成分数形式，其乘积就越小。从物理上，可以理解为( 以 球面为例) ，”= 1 ，w 1 = 2 的缺陷奇异性，被n 个缺陷分担时，每个缺陷所负载的奇 异性就少了，当n 趋于无穷时，则每个缺陷的奇异性趋于零，即没有奇异性了这 意味着，已经，没有拓扑缺陷了，故而拓扑缺陷的基态能量为零。因而，方程( 36 3 ) 是合理的 若起初有n 个拓扑缺陷分布在球面上，其w i n d i n gn u m b e r 之和为2 ，它们 在球面上运动，带相反荷的缺陷相互吸引，当它们碰到一起时，就湮灭了。而带相 同荷的缺陷相互排斥，当它们相遇时，会合并成高w i n d i n gn u m b e r 的缺陷对于 整个系统，要求其向能量降低的方向变化例如，一个w 1 = 2 的缺陷的几何能是 两个w = 1 的缺陷的几何能的两倍因此，球面上，最终将只有两个缺陷，它们互相 排斥，于是一个坐在北极，另一个呆在南极( 图3 2 ( o ) ) 这个结果与从生物膜形状 的普遍方程得到结果是一致的f 4 5 1 而且当有多个整数荷的拓扑缺陷分布在球面上 时，其拓扑荷总和应为2 此时其分布呈周期性：( 图3 1 ) 若有四个w i n d i n gn u m b e r 为1 2 的拓扑缺陷，它们将会分布在正四面体的顶 点处( 图3 2 ( 6 ) ) 兰州大学研究生学位论文 ( c 图32 ( a ) 两个w i n d h l gn u m b e r 为l 的缺陷分布于南北两极( b ) 四个w i n d i n