（理论物理专业论文）非相对论夸克模型下的介子谱.pdf

要星婴薹盔兰墨主兰垡堕圣 摘要 目前公认强相互作用的基本理论是量子色动力学( q c d l 。在高能区，由于q c d 的渐 近自由特征，可以利用微扰论直接用q c d 来研究物理现象，而在低能区，由于红外囚 禁，微扰论不再适用，非微扰行为加上q c d 本身的复杂性，难以用直接q c d 来研究低能 物理现象：如强子的性质和强子问相互作用。各种具有q c d 精神的模型一直被发展来解 释强子的性质和研究强子问的相互作用。组分夸克势模型是其中使用最广的模型之一， 它不仅可以讨论强子基态，也可以讨论激发态，也易于推广到强子间的相互作用，如 e 自i s g u r 和k a r l 发展的非相对论组分夸克模型就较好的给出了重子的各种性质，在模型中， 被禁锢的夸克之间通过单胶子交换来发生相互作用。这个模型可以推广到重子一重子相互 作用，通过适当的修改后，在解释散射实验数据和氘核的性质方面也取得了相当的成功。 模型的研究使人们对q c d 和物质的更深层次有了进一步的认识。 介子( g 曲是最简单的强作用系统，它的能量从最轻的1 4 0 m e v 的7 r 介子蛩j 1 0 g e v 的6 - 系 统，跨越了非微扰区和微扰区，是我们研究强作用系统性质的理想场所。虽然利用各种方 法对介子系统进行了大量的研究，取得了许多重要的进展，但仍然存在一些问题，如赝标 介子和一些标量介子( f o ( 6 0 0 ) ，f o ( 1 5 0 0 ) 等) 在模型中很难用舛系统来描述。近年来，b 3 1 1 在实验上发现了可能是四夸克态的信号，这进一步激发了人们对介子的兴趣，因为这些可 能的四夸克态和两夸克态具有相同的量子数，要确定它们是四夸克态，首先要证明它们无 法用两夸克态来描述。并且用于研究四夸克态的模型应该受到介子谱和介子一介子相互作 用的约束。 本文采用非相对论组分夸克模型来研究了介子谱。模型是基于i s g u r - k a r l 模型，考 虑q c d 在低能区存在自发对称性破缺，在夸克间引入t g o l d s t o n e 玻色子( 赝标介子八重 态) 交换。因此夸克一反夸克间的相互作用包括色禁闭项，单胶子交换项和g o l d s t o n e 玻 色子交换项。计算方法采用数值解薛定谔方程得到介子的质量。计算结果表明加 入g o l d s t o n e 玻色子交换项的非相对论组分夸克模型能够很好地描述介子谱，包括被认 为是g o l d s t o n e 玻色子的赝标介子。叩和之间的耦合可以通过k 介子交换而得到很好的考 虑。理论可以给出与实验一致的混合角。标量介= j ( f o ( 6 0 0 ) ，f o ( 1 5 0 0 ) 等) 和最近实验上发现 的状态( x ( 3 8 7 2 ) ，y ( 4 2 6 0 ) 等) 无法在模型中用口秫描述。可能需要考虑四夸克态与两夸 南京师范大学硕士学位论文 克态的混合来描述这些状态，有关的工作在进行之中。 关键词：量子色动力学、非相对论组分夸克模型、介子质量谱 堕墨婴薹盔兰翌主兰竺堡奎 a b s t r a c t q u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s ( q c d ) i sg e n e r a l l yb e l i e v e dt ob et h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo f t h es t r o n gi n t e r a c t i o n h i g he n e r g yp r o c e s s e sa r ec a l c u l a b l ed u et ot h ea s y m p t o t i cf r e e d o mo f q c d t h el o we n e r g yp h e n o m e n a ，f o re x a m p l e ，t h ep r o p e r t i e so fh a d r o na n dh a d r o n - h a d r o n i n t e r a c t i o n ，a r eh o w e v e rd i f f i c u l tt ob ec a l c u l a t e dd i r e c t l yf r o mq c dd u et ot h ei n f r a r e d c o n f i n e m c n ta n dt h ec o m p l e x i t yo fq c d v a r i o u sq c d i n s p i r e dm o d e l sh a v eb e e nd e v e l o p e d t os t u d yt h ep r o p e r 七i e so fh a d r o na n dh a d r o n h a d r o ni n t e r a c t i o n ，t h ec o n s t i t u e n tq u a r k m o d e li st h em o s tu s e do n e n o to n l yi tc a r lb eu s e dt od i s c u s st h eg r o u n ds t a t eh a d r o n s ， b u ta l s ot h ee x c i t e ds t a t eo fh a d r o n s ，a n di ta l s oc a nb ee a s i l ye x t e n d e dt oh a d r o n - h a d r o n i n t e r a c t i o n s t h en o n r e l a t i v i s t i cq u a r km o d e l i nw h i c ht h eo n e - g l u o ne x c h a n g ei n t e r a c t i o n i sc o n s i d e r e da st h er e s i d u a li n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ec o n f i n e dq u a r k s ，d e v e l o p e db yi s g u r a n dk a r lr e p r o d u c e dt h eb a r y o np r o p e r t i e sv e r yw e l l a f t e rs o m ee x t e n s i o n ，t h em o d e lc a n a l s ob eu s e dt od e s c r i b et h ep r o p e r t i e so fd e u t e r o na n dn u c l e o n - n u c l e o ni n t e r a c t i o n t h e m o d e lc a np r o v i d eu sm u c hm o r ei n f o r m a t i o no fq c da n ds t r o n gi n t e r a c t i o n m e s o ni st h ei d e a lp l a c ef o ru st os t u d yt h eq c da n ds t r o n gi n t e r a c t i o n f i r s ti t i s t h es i m p l e s ts t r o n gi n t e r a c t i o ns y s t e m ，s e c o n d l yt h em e s o ns p e c t r o s c o p y , f r o mf e wh u n d r e d s m e vt o _ a s s e so fl i g h tp s e u d o s c a l a rm e s o n st oi o g e vo fb bs y s t e m s ，s p a naw i d ee n e r g yr e g i o n a l l o w su st oa d d r e s sp e r t u r b a t i v ea n dn o n p e r t u r b a t i v ep h e n o m e n ao fq c d al o to fw o r k h a v eb e e nd e v o t e dt om e s o ns p e c t r u ma n dt h e r ea l eal o to fp r o g r e s s h o w e v e rt h e r ea r e s t i us o m ep r o b l e m se x i s t t h ep s e u d o s c a l a rm e s o n sa n ds c a l a rm e s o n s ( ，0 ( 6 0 0 ) ，o ( 1 5 0 0 ) ) a r ed i f f i c u l tt ob ea c c o m m o d a t e db y 孵d e s c r i f l t i o n r e c e n t l yt h e r ea r eal o to fi n t e r e s t so n t h et e t r a q u a r ks y s t e mb e c a u s ebf a c t o r i e sr e v e a l e ds i g n a l so ft e t r a q u a r k t h e “a p p e a r a n c e o ft e t r a q u a r kp r o v i d ean e wc h a l l e n g ef o rt h em e s o ns p e c t r o s c o p y , s i n c et h et e t r a q u a r k s t a t e s h a v et h es a x n eq u a n t u mn u m b e r sa 8q qs y s t e mi nm o s tc a s e t oi d e n t i f yat e t r a q u a r k s t a t e ，f i r s to n eh a st oe n s u r et h es t a t ec a n n o tb ed e s c r i b e db yq q a n da l s ot h em o d e lu s e d t os t u d yt e t r a q u a r ks y s t e ms h o u l db ec o n s t r a i n e db ym e s o ns p e c t r o s c o p ya n dm e s o n - m e s o n j n t e r a c t i o n 南京师范大学硕士学位论文 i nt h i sw o r k ，t h en o n r e l a t i v i s t i cc o n s t i t u e n tq u a r km o d e li su s e dt os t u d yt h em e s o n s p e c t r o s c o p y t h em o d e li sb a s e do ni s g u r - k a r lm o d e l ，t h eg o l d s t o n e - b o s o n - e x c h a n g ei n t e r a c t i o na r ei n t r o d u c e db e t w e e nq u a r k sd u et ot h es p o n t a n e o u ss y m m e t r yb r e a k i n go fq c d i nt h el o we n e r g yr e g i o n s ot h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nq u a r ka n da n t i q u a r k sc o n s i s t so fc o n - f i n e m e n t ，o n 嘲u o n - e x c h a n g ea n dg o l d s t o n e - b o s o n - e x c h a n g et e r m s t h em s , & so fm e s o ni s c a l c u l a t e db ys o l v i n gt h es c h r o d i n g e re q u a t i o nn u m e r i c a l l y t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a t t h em o d e lc a nd e s c r i b et h em e s o ns p e c t r o s c o p yv e r yw e l l ，i n c l u d i n gt h ep s e u d o s c a l a r m e s o n s ， w h i c hb e l i e v e dt ob et h eg o l d s t o n eb o s o u s t h em i x i n gb e t w e e nqa n d 目7c a nb ed e s c r i b e d w e l lb ykm e , o i le x c h a n g e s o m es c a l a rm e s o n s ( f o ( 6 0 0 ) ，f o ( 1 5 0 0 ) ) a n dt h es t a t e sd i s c o v e r e d r e c e n t l yb ye x p e r i m e n t s ( x ( 3 8 7 2 ) ，y ( 4 2 6 0 ) ) c a d - n o ta c c o m m o d a t e db y 孵d e s c r i p t i o n t h e r m x m gb e t w e e nq qa n dt e t r a q u a r km a yb en e e d e d ，t h ew o r ki si np r o g r e s s k e yw o r d s ：q c d 、n o n - r e l a t i v i s t i cc o n s t i t u e n tq u a r km o d e l 、m e s o ns p e c t r u m 堕至塑苎查堂翌主堂竺笙奎 学位论文独创性声明 本人郑重声明 1 、坚持以”求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本沦文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过 的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：0 召扯 日 期：毒舡 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并同国冢主霄部r 或具指定机构送交论文的电f 版干口纸质版；有权将学位论文用十非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文存解密后适用本规 定。 作者签名：j l 翻 日期：j * 南京师范大学硬士学位论文 第一章引言 强予结构以及强子一强子相互作用的研究一直是粒子物理和核物理中极具吸引力的研 究领域之一。1 9 3 5 年汤川秀树提出介子的交换理论 1 】使得人们对于核力的研究第一次涉 及其本质。在1 9 7 4 年发现j 皿前，介子交换理论是人们研究强子一强子相互作用的主要手 段，并对介子交换理论进行系统的研究【2 6 】。特别是六十年代以后在实验上发现一系列介 子，使介子交换理论获得了极大的发展。目前，关于介子交换理论有如下的观点：对于核 力的长程部分( r 2 f r o ) ，实验数据表明是由单7 r 介子交换【7 1 3 】提供的；对于核力的中 程部分( 1 ，m r 2 ，m ) ，有各种不同的模型。p a r i s 势【1 4 】考虑了相互关联及相互不关联 的( 2 ”) 介子交换和( u ) 介子交换机制，而n i j m i g e n 势【1 5 ，1 6 】则考虑为s u ( 3 ) 单玻色子交换机 制；对于核力的短程部分( r l f r o ) ，各种介子交换模型的解释都有一定的困难，所以一般 都采用唯象的描述。 自p , 2 0 t 燃十年代g e h - m a n n 【17 】和z w e 培【1 8 】提出重子和介予的夸克模型以来，人们 对粒子有了更深层次的认识，使粒子物理和核物理的研究向前推进了一大步。1 9 6 8 年的电 子一质子深度非弹散射实验及其后面的一系列实验都表明，核子不是点粒子，是由夸克胶 子组成的复合体，要认识核力的本质，就应当从夸克胶子层次及其内部结构来作为出发 点。从此强子结构的研究开始了曲折的发展历程。直至量子色动力学( q c d ) 作为一个描述 强相互作用的正确理论而被人们所接受，真正的强子结构研究才大规模地发展起来。 作为非阿贝尔规范理论，量子色动力学是在杨振宁和密尔斯f r l m i h s ) 1 9 5 4 年提出的 规范理论基础上建立起来的。在q c d 中，认为带色荷的夸克之问的强相互作用是通过传 递胶子实现的。q c d 有三个基本特征；一、是渐近自由。所谓渐近自由是指在夸克间强相 互作用过程中，如果夸克间的距离越小，动量交换越大，有效耦合常数越小，夸克所受 约束也越小。当夸克间距离趋于无穷小时，动量交换为无穷大，有效耦合常数趋于零， 这时夸克好象变成不受约束的自由夸克。二、长程禁闭。它是指当夸克间的距离越大， 南京师范大学硕士学位论文 相互作用越强，有效耦合常数也越大，以至使夸克永远囚禁在强子内而不可能成为自 由夸克。三、q c d 在低能区存在手征对称性自发破缺。q c d 在高能物理方面可以用微扰 法成功的解决许多问题。在低能强子物理与核物理中微扰q c d 不再适用，只能使用非微 扰方法处理。如何从q c d 第一原理来解决强子动力学问题至今还没有解决，对低能区强 子动力学的理解需要一些近似方案。目前具有影响力的非微扰近似方法有：格点规范理 论【1 9 ，2 0 1 、q c d 求和规则【2 1 】、唯象的夸克模型等。 格点规范理论的基本思想是：把连续时空用离散格点来代替，夸克坐落在格点上，它 们之间由规范场联系起来，格点规范理论是比较彻底的非微扰方法。它区别于唯象或其他 近似方法的最大优点是：它从第一原理出发来处理非微扰问题，没有q c d 以外的任意参数 或假设。但是它需要大规模的计算且存在连续极限问题因此它的计算更多是验证性的， 很难预言新的现象。 q c d 求和规则给出了另一种可能的途径去考虑非微扰效应，q c d 求和规则最初是 由s h i f l n a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 等人提出的，因此也称为s v z 求和规则。它建立在三个 基础之上：假设物理真空不同于微扰真空。它不是完全空的，而是充满夸克和胶子场， 称为真空场：在出现真空凝聚时算符展开仍然有效：对关联函数可以用算符乘积展开来计 算，对关联函数在色散关系中的谱函数可以用几个最低能强子态插入，并认为它们在一 个好的精度内饱和了谱函数。与格点规范理论比较，q c d 求和规则不是彻底的非微扰方 法，它仅在计算算符乘积展开中考虑了非微扰效应。q c d 求和规则对强子性质的研究提 供了系统的方法，但它的成功还仅限于对强子基态的处理，在讨论强子激发态性质时它是 无效的 2 2 - 2 4 1 。 所以目前，在强子物理的研究中，夸克模型就成为一种非常有效的工具，它不仅可以 讨论强子基态，也可以讨论激发态，且易于推广到强子强子相互作用和多夸克系统。人 们已经建立了各种唯象的夸克模型，如部分子模型、m i t 袋模型、手征夸克模型、势模型 和弦模型等。当今用q c d 理论研究强子问题都离不开这些模型。 高能电子一核子深度非弹性散射实验显示出在核子内部电荷的分布不是连续分 2 南京师范大学硕士学位论文 布而是集中在一些点上，这表明，从电荷结构来看核子内部存在一些带电的点粒 子。1 9 6 9 年r p 费因曼提出部分子模型，认为强子是由许多带电的点粒子构成，这些点粒 子称为部分子，在高能电磁相互作用和弱相互作用过程中可以近似作为相互独立的粒子。 部分子模型是从实验事实出发而提出的理论，初期对部分子的性质并不能完全确定，在解 释高能碰撞现象中取得了一系列成功，同时也通过与实验的对比而对部分子的性质有迸一 步的了解。对实验的分析表明，在电子深度非弹性散射中探测到的带电部分子具有1 2 自 旋实际上就是夸克或反夸克，这样部分子模型和夸克模型结合起来就成为夸克一部分子 模型。这个模型认为由于强子是由夸克通过色相互作用结合成的复合粒子，强子内的部分 子可以由三类粒子组成：一类称为价夸克，它们的数目和味是确定的并随不同强子而不 同，价夸克决定强子的性质；一类称为海夸克，它们的数目和味是不确定的，但其总和的 味性质和真空相同；一类称为胶子，它们的数目不定，其味性质和真空相同，起传递色相 互作用的作用。这个模型认为决定强子内部结构的动力学机制是量子色动力学，并充分利 用部分子模型中发展的方法来进行处理。这个模型已成为分析研究高能碰撞现象的重要理 论工具。 c h o d o s 等人在1 9 7 4 年提出t m i t 袋模型 2 8 ，2 9 1 。所谓的袋子是一个有限的空间区域， 其中禁闭着夸克和胶子。m i t 袋模型是一个极端的近似，它假设在袋半径r 处即在场 量口= 0 和口= o 0 之间有一个尖锐的跃迁，在袋内夸克只有极弱的相互作用，在第一级近 似下可认为是自由移动的，在袋外则是q c d 真空，场量定义为0 。 手征夸克模型首先是e h w e i n b e r g 提出的【2 5 】，然后m 缸0 h ”和g e o r g i 基于q c d 的精 神，给出了一个简单的，包含手征组分夸克和赝标介子的作用量量陀6 ，2 7 。此模型的出发 点是，在能标位于手征对称性自发破缺标度和夸克囚禁标度( a o g d o 3 g e v ) 之间时， 动力学场自由度是组分夸克( q c d 流夸克的准粒子1 、胶子和由手征对称性自发破缺产生 的g o l d s t o n e 玻色子【最轻的赝标介子八重态1 而胶子和夸克之间的有效耦合被认为很小， 通常只考虑夸克和g o l d s t o n e 玻色子之间的耦合。手征夸克模型的优点是自由参量的数目 并不随着微扰阶数的提高而增加，因此可以用来系统的研究手征展开高阶的效应，此模型 3 壹塞堑堑奎兰塑圭堂竺垒奎 的低能极限也符合手征微扰论。 势模型的基础是夸克间的相互作用势和夸克运动所满足的动力学方程。根据q c d 的 两个重要特征：大动量转移时的渐近自由和长程禁闭行为，夸克问的相互作用势基本部 分是由单胶子交换势和长程禁闭势组成 3 0 1 ，采用的夸克间相互作用势不同和满足的动 力学方程不同，由此得到很多种势模型。势模型中在唯象上比较成功 是i s g u r 等人的非 相对论组分夸克模型【3 1 ，3 2 】，在这一模型中采用了组分夸克的概念，u , d 夸克的质量大约 是2 0 0 - 3 5 0 m e v ，而b 夸克的质量大约比1 1 ，d 夸克的质量重1 5 0 - 2 0 0 m e v 。与用于解释深度非弹 性散射实验的部分子不同，组分夸克是一种包含有非微扰效应的有效自由度，它本身来源 于q c d 但并非q c d 的基本自由度。 强子结构的势模型主要作了以下两个基本假设：1 、束缚在强子内部的夸克作非相对 论运动，服从薛定谔方程h e = b e 。夸克的能量可采用非相对论表达式， 日= 彬+ 磊( 1 - 1 ) 2 、夸克问的相互作用可以写为二体相互作用势之和，y ( ) 来表示势能项，于是哈密顿 量为 日= 堕2 m i + y ( ) ( 1 - 2 ) 其中盹是组分夸克质量。不同的势模型采用的夸克相互作用势y ( ) 的具体形式不同，但 都必须满足渐近自由和色禁闭这两个基本要求。一般把夸克相互作用势表示为以下两部 分： = 曙+ 曙 ( 1 3 ) 其中的禁 势( c o n f i n e m e n tp o t e n t i a l ) 曙可以取为线性势或平方势形式；曙( o n eg l u o n e x c h a n g ep o t e n t i a l ) 称为单胶子交换势。 介子( g 神是最简单的强作用系统，它的能量从最轻的1 4 0 m e v 的口介子到1 0 g e v 的6 5 系 统，跨越了非微扰区和微扰区，是我们研究强作用系统性质的理想场所。直接将仅包 含色禁闭势和单胶子交换势用于轻介子谱的研究并不成功。特别是赝标介子，一个解 4 南京师范大学硕士学位论文 释是赝标介子是g o l d s t o n e 玻色子，不能用简单的q 林描述。八十年代，g o d f r e y 等人构 造了相对论夸克模型，其中包含t q c d 的主要特征，应用于介子系统，很好地给出了 从r n t 的大部分介子5 8 l ，但相对论模型很难用于介子一介子相互作用和多夸克系统的研 究。最近，v a l c a r c e 等人利用手征夸克模型计算了介子谱，模型为非相对论夸克模型， 夸克问的相互作用包括色禁闭势、单胶子交换势、g o l d s t o n e 玻色子交换势和d r 介子交换 势。同样很好地描述了从n t 的大部分介子 5 0 1 ，对于c r 介子，实验和理论两方面都存 在一些争论，盯介子在粒子表上几上几下，最近b e s 给出了一个宽度很大，作为7 r 7 r 共振 的口介子 5 9 1 。但是三个独立的研究小组计算了核子相互作用中相互关联的双7 r 交换的贡 献，结果表明作为7 r 7 r 共振的寸介子交换导致了很强的短程排斥和非常有限的中程吸引， 这样的吸引不足以将原子核束缚住。因此盯介子交换是核子相互作用中程吸引的真实机制 还是一种等效，仍然是一个没有解决的问题。另外虽然利用各种方法对介子系统进行了 大量的研究，取得了许多重要的进展，但仍然存在一些问题，如赝标介子和一些标量介 子怖( 6 0 0 ) ，o ( 1 5 0 0 ) 等) 在模型中很难用舛系统来描述。近年来，b i y - 在实验上发现了可 能是四夸克态的信号，这进一步激发了人们对介子的兴趣，因为这些可能的四夸克态和两 夸克态具有相同的量子数，要确定它们是四夸克态，首先要证明它们无法用两夸克态来描 述。并且用于研究四夸克态的模型应该受到介子谱和介子介子相互作用的约束。 本工作就是采用非相对论组分夸克模型来研究了介子谱。模型是基于i s g u r - k a r l 模 型，考虑q c d 在低能区存在自发对称性破缺，在夸克间引入了g o l d s t o n e 玻色子( 赝 标介子八重态) 交换。因此夸克反夸克间的相互作用包括色禁闭项，单胶子交换项 和g o l d s t o n e 玻色子交换项。与手征夸克模型的区别是不引入d r 介子交换，我们的目的是 建立一个不需要d r 介子的、统一处理强子及其强子一强子相互作用、多夸克系统的非相对 论组分夸克模型。对于重子和重子重子相互作用，模型已获得了初步的成功。现在将 模型应用于介子。计算方法采用数值解薛定谔方程得到介子的质量。计算结果表明加 入g o l d s t o n e 玻色子交换项的非相对论组分夸克模型能够很好地描述介子谱，包括被认 为是g o l d s t o n e 玻色子的赝标介子。，7 和，7 ，之间的耦合可以通过k 介子交换而得到很好的考 5 南京师范大学硕士学位论文 虑。理论- p a 给出与实验一致的混合角。标量介子( f o ( 6 0 0 ) ，f 0 0 5 0 0 ) 等) 和最近实验上发现 的状态( x ( 3 8 7 2 ) ，y ( 4 2 6 0 ) 等) 无法在模型中用q 口来描述。可能需要考虑四夸克态与两夸 克态的混合来描述这些状态，有关的工作在进行之中。 本论文的内容组织如下：第二章讨论了模型及其计算方法。第三章讨论了模型对介予谱 的计算结果。第四章是小结。附录给出了非相对论近似下各种玻色场及引起的作用势。 6 堕至塑苎盔兰墨主兰焦丝奎 第二章模型与计算方法 2 1 i s g u r - k a x l 模型 2 0 世纪7 0 年代末起，i s g u r - k a r l 发表了一系列工作，认为重子是由三个组分夸克构成 的，介子是由夸克一反夸克构成的。根据重夸克系统与轻夸克系统能谱的相似性，认为 组分夸克的运动仍然可以用非相对论来描述，单胶子交换势在其中起重要的作用。再 考虑! i i u q c d 的囚禁特征，唯象地引入了色囚禁势：随夸克间距离增加而增大的势。因 此i s g u r - k a r l 模型的哈密顿量可写为 日= 喜( 佻+ 嘉) + ；塞， c 叫 = 曙+ v , 7 ，( 2 - 2 ) n = 2 ，3 分别对应于夸克反夸克的介子和三夸克的重子系统。曙为色囚禁势，一般取为如 下形式； 曙= 一( 砖砖) o 。屿，k = 1o r2+(2-3) v 。, q 为单胶子交换势， 俨( 而) = 五1 n ，惑- 砖巴1 一；6 ( 而) ( 去+ 1 嘲+ 丽杀玩而) + 丽1 ( 盟掌趔一警) + ，( 2 - 4 ) 体系的波函数应该由s d l r o d i n g e r 方程解出，由于方程的复杂性，轨道波函数往往采用 谐振子函数或一系列谐振子函数来展开。色单态的要求，颜色波函数为s u ( 3 ) 单态波函 数 x 。( 1 2 3 ) = x 。( 1 2 ) = r 6 可+ g b r g r b + b r g 一咿) ，f o rb a r y o n ，( 2 - 5 ) 的+ 圃，f o r m e s o n 7 ( 2 - 6 ) 后居 南京师范大学硕士学位论文 味与自旋波函数一般采用具有s u f 6 1 对称波函数。如 枷( 1 2 3 ) = 以f 压( 。u d s 懒s s d u - u s d - s u d - d s u ) 锯( 纽筇卅州q 口) + 锯( u s d - s d u 刊+ d s 让) 锯( 咖呐a ) 1 ，f o r 。 ( 2 _ 7 ) 枷( 1 2 ) = ；胁一卸、；( a p 一删，f o r , 1 7 0 ( 2 - 8 ) 2 2 扩展的i s g u r - k a r l 模型 2 0 世纪9 0 年代初，针对核子一核子相互作用，在传统的组份夸克模型基础上，由我们 这个组发展了一个新的模型一夸克蜕定域色屏蔽模霹9 ( q u a r kd e l o c m i z a t i o n c o l o rs c r e e n i n g m o d e l - q d c s m ) 3 3 。这种模型是基于核力和分子力之间的相似性而提出的一种模型f 尽 管它们在能量区域和相互作用范围上有很大差别1 ，在研究重子相互作用时，q d c s m 模型 考虑到夸克间的相互作用在单个重子内部和两个重子之间的不同，对色囚禁引入了色屏蔽 效应，对哈密顿量作了修正，另一方面，借鉴于分子结构中电子非定域化的概念，引入了 夸克蜕定域效应，扩大了模型所采用的h f l b e r t 空间。对于单个强子来说，q d c s m 模型就 是i s g u r - k a r l 模型，可以成功解释强子性质。在推，一到重子相互作用时，由于夸克蜕定域 效应和色屏蔽效应的引入，q d c s m 模型很好地给出了核子相互作用中的中程吸引。首次 从理论上解释了分子力与核力之间的相似性，模型出来以后，先后对重子相互作用和双重 子进行过计算，对于重子相互作用得到了与实验数据定性符合的结果，对于双重子得到了 一些有意义的结果。后来通过在q d c s m 模型中加入带有截断的赝标介子交换( o p e ) ，有 效的改善了原来模型中缺少长程相互作用的情况，对n n , n a e 等的相互作用给出了 很好的解释【3 4 ，3 5 】，并且该模型被用来研究五夸克态和六夸克态【3 6 ，3 7 】。本工作就是将这 个模型应用于介子谱的计算。 模型的哈密顿量写为， 肚妻( 佻+ 嘉) + c 吼 c ， k 。( 嘞) = v c ( 嘞) + 俨1 ( 嘞) + y s 0 ( 嘞) ，( 2 - 1 0 ) 8 南京师范大学硕士学位论文 g 代表中心势部分，t 为张量部分，s o 为自旋一轨道部分。 中心势由三部分组成 每部分分别为， 蠕( 嘞) = 惕( 而) + 惕e ( 而) + 曙( 嘞) ，( 2 - 1 1 ) ( 嘞) = ( k 。苟) ( 一n c 吃一) ，( 2 - 1 2 ) 咯e ( 嘞) 2 五1 n 霹霉 毒一；a ( 嘞) ( 去+ 碡1 + 磊杀磊西) ，( z 一。) x 代表g 0 1 d s t o n e 玻色子，曙的具体表达式可以写为 曙( 嘞) = 曙( 嘞) + 曙( 嘞) + 曙( 嘞) ( 2 - 1 4 ) 其中 馏( 而) = 鲁名巧玩而塞譬琴 y ) 一箍y ) 】，( 二s ) 曙( 嘞) = 害靠礴最乃毫硭v y 帆) 一篇y ( ) ，( z 郴) 曙( 嘞) = 鲁靠砑盼；砌c o s 一咖纠画卟( )篙地， ， ( 2 - 1 7 ) 其【l p y ( x ) = e 1 肛。m , p i ，分别是夸克质量，动量和夸克间的相对距离。元 是s 群g e l l - m a n n 算符，玩是夸克自旋。m 。，佻和是g 0 1 d s t o n e 玻色子的质量。在 实际的计算中，为了避免能量的发散，我们将单胶子交换势中的j 函数离散化【3 9 】， 醌) = 警竿， ( 娜) 此处的p 是q 彳系统的约化质量。 张量部分可以写为 嘧( 而) = 蠕z ( 窃) + 曙( 嘞) ，( 2 - 1 9 ) 它们分别为， 魄c 轳一去蠢定霉 等( 专+ 学+ 等) c 蚴， 9 南京师范大学硕士学位论文 = ! ! = = ! ! ! = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = ! ! = = = =：! ! ! ! ! ! ! ! = 曙( 嘞) = 嵋( 嘞) + 昭( 嘞) + 嵋( 嘞) ( 2 - 2 1 ) 嵋( 而) = 叠靠虿勘塞( 弩哟 日h 嘞一篓日勺) ，( 2 - z 。) 曙( 嘞) = 叠硫m 3 凌2 荟z ( a f 砌 日( m 嘞一箍日勺) ，( 2 - z s ) 曙( 秘鲁靠熹踟艰 最后为自旋轨道部分。 碍) c o s 钐一】 。) 一。a a s i n o p h ( m ；日( ) ， 碍) c o s 钐一 】f 。) 一一。日( ) i ， l l ( 2 - 2 4 ) = 3 ( 反奶) ( 而岛) 一面西， 荆= ( - + ：+ 耋) y 喵“( 嘞) 2 昭s 0 o ( 嘞) 十v f l ot e ， ( 二2 5 ) 8 g 0 趴7 ) = 一去暑匆鬻，霹( 恚一! 芋) ( 砚+ 叻) 2 + z 讹 季丘( z 。) $ 0 川- 可) = 一砖需最眦+ 呐( 1 2 ) + 4 m i m j ( 1 咱) 黟三，( 2 - 2 7 ) g ( 扣( 1 + ；1 ) 掣( 蝴)、z ，善、， 模型中参数的选取是：我们忽略了u ，d 夸克的质量差别，认为u ，d 夸克的质量是核子质 量的1 3 ，而s 夸克的质量大约是5 0 0m e v ，丌，k 叩的质量取实验值。手征耦合常数日西是通过 耦合常数7 r 利用下式求得的。 鲁= ( ；) 2 誓鲁 c 猢， 色相互作用耦合常数并不是常数，而是与驴有关的函数( 由于随q 2 而变化，称为跑动 耦合常数) 。微扰量子色动力学计算已经给出随q 2 变化的级数展开形式。其中为主的第 一项【4 9 】是 口( q 2 ) 2 丽砑4 1 1 硒( 2 - 3 0 ) 1 0 南京师范大学硬士学位论文 其中b 为正数，a 称为标度参量。因此我们将跑动耦合常数q 。写成 a 一( p ) 2 面驴了丽两c z $ 酽。阢酾( 2 - 3 1 ) p 是口牙系统的约化质量。其他参数的设置是为了更好的符合介子的质量谱。计算中所用到 的参数值都在表3 - i $ 。 2 3 计算方法 为求解所选势模型f 介子的能谱，我们在坐标空i 司中求解相应的束缚态方程，由于势 函数的复杂性，我们无法解析的求解薛定谔方程，而是通过常微分方程的数值解法得到数 值波函数。我们首先采用的是n u m e r 舛【4 0 】算法。这种算法专门用于解不含一阶微分的常 微分方程，薛定谔方程就是这类方程。其具体算法如下：我们重写薛定谔方程为 塞+ 雌) 妒_ o ，( 2 - 3 2 ) n u m e r o v 力- 法的策略是在二阶导数上得到额外一个量级的精度。我们从波函数的泰勒展开 开始， 妒 + ) = 妒( z ) + 砌( 1 ( z ) + i h 2 妒( 2 ( z ) + 酉h 3 妒( z ) + 酉h 4 妒( 4 ( z ) + ，( 2 - 3 3 ) 这里，妒( 帕( 。) 表示n 阶微商d ，i 妒如”。由于妒0 一 ) 相应的泰勒展开式中h 的奇数次幂项符 号为负，当把妒 + ) 和妒扛一，1 ) 相加后，所以奇数次幂项消掉： 妒( $ + h ) + 妒( z 一九) 2 妒( z ) + h z 妒2 0 ) + 等妒( z ) + o ( 胪) ( 2 - 3 4 ) 4 将妒2 项移到等式左边后获得二阶导数的三点算法： 妒。( z ) 丛墅坐生生笺# 必一西h 2 妒4 ( z ) + d ( 胪) ( 2 - 3 5 ) 为了在算法中消除四阶导数误差，对薛定谔方程应用算符 t + 笔丢( 2 - 3 6 ) 得到改进的薛定谔方程： 妒2 ( z ) + 西h 2 妒( z ) + 驴( z ) + 笔昙【舻( z ) 妒( 4 ( 硼= 。( 2 - 3 7 ) 1 1 南京师范大学硬士学位论文 这里z 与胪( z ) 的依赖关系允许应用于一般的势函数。下面将二阶微商的近似表示代入得到 丛生型尘竺笔# 尘! - 二二丝垃一西h 2 俨( z ) + 西h 2 扩( 功+ 七。( z ( z ) + 西h 2 五d 2 jl k z ( z ( z ) 1z o ( 2 - 3 8 ) 可以看到扩项互相消掉，这意味着误差仅为o ( h 8 1 。 为了处理一般的z 与2 ( 。) 关系，将胪( z ) 妒( z ) 的二阶微商近似为 堡【! ! ( 兰! 竺! 兰卫。f ! ：f 兰垒2 生! 竺垒! = 墨：( 兰2 生( 兰2 j 【生! ( 兰二垒2 生f 兰二垒! 二! ：f 兰) 生! 兰m d2 ( 2 - 3 9 ) 在完成替换后，得到我们的算法： 妒。+ 哟“型三二主墨竺塑兰尘笔昌j 善若乞专写害兰兰刿( 二a 。) 这利用妒在前面两步的值把妒向前移动一步( 如向后移动，只需将h 的符号取反即可) 。分散 后，z = i h ，公式简化为 炳“坐逖冬产 c ) 算法至此可以写入计算机进行程序计算。 这儿我们再介绍另外一种解薛定谔方程的方法即高斯展开。高斯展开( g a u s s i a n e x p a n s i o nm e t h o d ) 是用来解决多体系统的束缚态和激发态的一种方法。它是1 9 8 8 年 k a m i m u r a 4 1 ，4 2 】为解决非绝热三体问题中p 介子的分子和肛介子一原子碰撞问题而提出 的，并且在此后的十几年里发展成为研究多体系统的一种有效方法【4 3 _ 4 8 1 。 高斯展开是通过在有限的坐标空间内选择一系列的高斯函数来对真实的物理态做有效 的近似。因此，无论是系统的束缚态还是散射态，多个不同宽度的高斯波函数的叠加都能准 确地描述系统的短程关联和长程渐进行为。g e m 的优点是：通过哈密顿量的对角化，使最 低能量和具有相同自旋和字称的激发态的能量自动的呈现出来。实践证明解两体问题时， 在一个足够大的有限空间内能够得到和实验数据非常接近的值。同样在更大的空间内解三 体问题时，也能得到非常好的结果。 g e m 的基本思路是，对于束缚态问题，假设薛定谔方程的解为皿删( j ，m 为总角动量 南京师范大学硬- j = 学位论文 及第三分量1 ，为简单起见，其他的量子数如宇称同位旋等写出来。 ( 日一e ) 雪j m = 0( 2 - 4 2 ) 把波函数用一些基础函数展开为 雪j m = d f l c j m , 。( 2 - 4 3 ) l h y l e i g h - r i t z 变分法导出广义矩阵的本征值。 ( 站一e 碟) 锣= 0 ( 薯 能量和重叠部分分别写为， 日0 = ( 垂j f 1 日i 圣j 旭一) ，刍= (