（理论物理专业论文）带权椭球波动方程的初步认识.pdf

北京邮电大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 毫爻求和日期：如l 口年弓月i6 日 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅 和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或 其它复制手段保存、汇编学位论文。 本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名：厘鍪丛 剧噬轹斗秽瞥卜 日期：2 里! 旦! 墨! ! 色 醐：毛竹卜广 中 一i - 带权椭球波动方程的初步认识 摘要 k e r r 黑洞在相对论中决定了一个大的旋转星球的最后命运，因而其稳定性 在天体物理中是重要的。t e u k o l s k y 方程描述了k e r r 黑洞，即一个稳态的旋转 黑洞，在受到一个微扰场的线性微扰后的线性稳定性存在与否。t e u k o l s k y 方程 可以通过分离变量法得到两个s t u r m - l i o u v i l l e 问题，它们分别叫做径向的与角 向的，其中后者也被称为带权的椭球方程 1 ，4 1 ，为； ( 南历ds i n 口历d + s + c 2 c o s 2 8 - 2 s c c o s p 一蠹南) s ( e ) = 一入s ( 既( 。0 1 ) 其中 口( 0 ，丌) ，( 0 0 2 ) 并且其解在区间( 0 ，7 r ) 的端点处有界。本论文主要是运用超对称量子力学的方法 来研究带权的椭球波动方程在小c 时的特征值和特征函数，包括两方面内容。第 一部分是求解自旋为零的带权的椭球方程，即椭球波动方程 ( 南历ds i n 口历d + c 2 c 拥一篇) s ( e ) = 郴， ( 0 - 0 3 ) 得到其特征值和特征函数的以c 2 展开的级数解，并且得到关于激发态特征值与 基态特征值的一个直接关系。第二部分是其解c 很小时的自旋不为零的带权椭 球波动方程的解，同样的给出其基态特征值和基态特征函数的以c 展开的级数。 全文共分为三章： 第一章：简要介绍论文的研究背景、意义以及相关的基本概念和基本原理。 包括k e r r 黑洞的线性微扰及t e u k o l s k y 方程，和超对称量子力学方法。 第二章：求解小c 时的椭球波动方程。 第三章：求解c 很小时的自旋不为零的带权椭球波动方程。 关键词：带权的椭球波动方程；椭球波动方程；超对称量子力学 本论文由以下项目资助：国家自然科学基会：1 0 8 7 5 0 1 8 c a l lb es e p a r a t e di n t ot w os t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m ，t h e ya r ec a l l e dr e s p e c t i v e l y t h er a d i c a la n dt h ea n g u l a r ，w h e r et h el a t t e ri sa l s oc a l l e dt h es p i n - w e i g h t e d s p h e r o i d a le q u a t i o n ，i ti s ( 丽1 铲dn 9 刍+ s + c 2 c o s 28 - 2 s c c o s p 一篇) 跚) = - a s ( 钆( 0 0 4 ) w h e r e 0 ( 0 ，7 r ) ， ( 0 0 5 ) a n di t ss o l u t i o n si nt h ee n dp o i n t so fi n t e r v a l ( 0 ，7 1 ) a r ef i n i t e i nt h i st h e s i sw e w i l ls o l v et h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so ft h es p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v e e q u a t i o ni ne a s eo fs m a l lcb yt h ew a yo fs u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s ，i t c o n t a i n st w op a r t s t h ef i r s to n ei st os o l v et h es p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v e e q u a t i o nw i t hs p i ni sz e r oi nc a s eo fs m a l lc ，w h i c hi sc a l l e ds p h e r o i d a lw a v e e q u a t i o n ， ( 丽1 铲d n 喙+ c 2c o s 2 一篇) 跚) = - a s ( 既 ( 0 0 6 ) i t se i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sa r eg i v e ni n s e r i e s i nc 2 ，a n da l s og i v i n ga l l i m m e d i a t er e l a t i o nb e t w e e nt h ee i g e n v a l u e so fe x c i t e ds t a t ea n dt h eg r o u n de i g e n w l u e t h es e c o n dp a r ti st os o l v et h es p i n w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n i i i w i t hs p i ni sn o tz e r oi nc a s eo fs m a l lc ，s i m i l a r l y , i t se i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n s a l ea l s og i v e ni ns e r i e si nc t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i sa sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ：t h e r ei aab r i e fi n t r o d u c t i o no nt h eb a c k g r o u n d t h em e a n i n g o ft h ec o n t e n to ft h i st h e s i s ，t h er e l a t e df u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n sa n dp r i n c i p l e s i tc o n t a i n st h el i n e a rp e r t u r b a t i o no fk e r rb l a c kh o l ea n dt h et e u k o l s k y e q u a t i o n ， a n dt h ew a yo fs u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s i nc h a p t e r2 ：s o l v i n gt h es p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o ni nc a s eo fs m a l lc i nc h a p t e r3 ：s o l v i n gt h es p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o nw i t hs p i n i sn o tz e r oi nc a s eo fs m a l lc k e y w o r d s ：s p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n ；s p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n ； s u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s t h er e s e a r c hi ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n tn o 1 0 8 7 5 0 1 8 ) i v 一 ， ， 北京邮电大学学位论文原创性声明 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 。 1 3 1 4 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 3 2 综述 s w s h s 的研究意义与研究动态。 1 1 1 s w s h s 的研究意义， 1 1 2 s w s h s 的研究动态 k e r r 黑洞及其微扰 1 2 1 n e w m a n p e n r o s e 形式 1 2 2k e r r 黑洞的线性微扰 长椭球方程与以s i n e 核为积分核的积分方程的关系 超对称量子力学方法简介 椭球波动方程在c 很小时的超对称研究 前言 c 很小时椭球方程的解。 2 2 1 计算思路简介。 2 2 2 主要计算结果 关于长椭球函数 小结 自旋不为零的的带权的椭球波动方程在c 很小时的超对称解法 计算思路简介 计算结果 3 2 1 基态的特征值和特征函数 3 2 2 激发态的特征值和特征函数 v i 1 1 l 1 1 1 2 2 4 7 9 1 l l 1 3 8 8 9 9 l 1 8 i 1 l l 1 l 1 2 2 雹 2 3 3 3 目录 参考文献 已完成论文目录 致谢 v i 4 3 4 5 4 6 1 1 1s w s h s 的研究意义 s w s h s 首先出现在k e r r 黑洞的线性微扰理论中，我将主要从这个角度来 来说明s w s h s 的研究意义与研究动态，这也是本论文的出发点。在广义相对论 中有两个非常重要的黑洞，一个是s e h w a r z s e h i l d 黑洞，它描述了一个定态的非 旋转的大塌缩星球的最终命运；另一个是k e r r 黑洞，它描述了一个旋转的大塌 缩星球的最终命运，而s c h w a r z s c h i l d 黑洞可以看作是k e r r 黑洞的特例。由于 它们分别描述了一个大星球塌缩的最终命运，因此研究它们的稳定性变得非常重 要，特别是k e r r 黑洞的稳定性。在本章的下一节罩，我们知道k e r r 黑洞的线性 稳定性由t e u k o l s k y 方程给出，并将其分离变量得到两个本征值方程，分别称为 径向的与角向的椭球波动方程，而角向的椭球波动方程也称之为带权的椭球波动 方程，即方程( 0 0 4 ) f 2 ，4 】。因此，求解s w s h s 有助于了解k e r r 黑洞的线性稳 定性，这在相对论及天体物理中都是很重要的，将在本章第二节简要的介绍怎样 从k e r r 黑洞的线性微扰得到我要求解的带权的椭球波动方程。 1 1 2s w s h s 的研究动态 如上所述，s w s h s 的研究首先出现在k e r r 黑洞的稳定性研究中。带权的椭 球波动方程属于有两个正则奇点，一个非正则奇点的二阶线性微分方程。在数学 上属于合流h e u n 方程，是合流超几何方程的推广，但是h e u n 方程的求解非常 困难，也是s w s h s 的研究困难之处，但由于它在很多领域，例如k e r r 黑洞稳定 性研究中的作用，所以不得不研究它。s w s h s 的研究现在没有一个很强有力的 方法，大多数情况下为近似研究，特别是数值研究。椭球谐方程的研究开始于上 一l 一 世纪五十年代，e r d e l y ie ta l 【2 0 】，f l a m m e r 5 ，m e i x n e r 和s c h a f k ef 2 1 】不仅得 到s w s h s 的低频微扰近似展开，而且得到它的高频近似。上世纪七十年代，引入 w k b 理论用于s w s h s 的研究，主要是其高频研究。p r e s s 和t e u k o l s k y 【2 2 】使 用通常的微扰论得到一个小的特征值的展开。由于椭求函数的应用广泛，五十年 代椭球函数的积分方程已经找到。从六十年代到九十年代，人们研究了它们的积 分方程。积分方程的出现为我们研究s w s h s 提供了一个新的研究方法【6 - 8 ，1 7 】， 将在第三节简要介绍怎样从积分方程的角度来看s w s h s 的一个特例。 1 2k e r r 黑洞及其微扰 1 2 1n e w m a n - p e n r o s e 形式 由于n e w m a n - p e n r o s e 形式在k e r r 黑洞微扰中非常有用，因而有必要介绍 一下其内容。由于在广义相对论中时空曲率的计算很重要，但也非常繁琐。计 算曲率的方法有坐标基底法，正交归一标架法与n e w m a n 和p e n r o s e 提出的” 类光标架法”，它可看作刚性表架法的一个变种：所用的不是正交归一标架而是 复的”类光标架” 见梁灿彬所著微分几何入门和广义相对论】。n e w m a n 和 p e n r o s e 选择类光标架的基本动机是p e n r o s e 强烈的认为时空的本质元素是其光 锥结构，因而有可能引入自旋基失。广义相对论中黑洞时空的光锥结构确实是使 得n e w m a n - p e n r o s e 形式更有效地抓住时空的内在对称性和显示它们的解析丰 富性。 ( a ) 类光基失和自旋系数n e w m a n 和p e n r o s e 选择的一组类光基失包含一 对实的类光矢量r 和元，和一对互为复共轭的类光矢量厩和赢。它们满足正交 条件： j 而= z b a r r h = 疗最= 疗佩= 0 ，( 1 2 1 ) ， 类光条件： j f = 元元= 而r h = 示赢= 0 ( 1 2 2 ) 归一条件： j 元= 1 ，前而= - 1 ( 1 2 3 ) 一2 一 各种罩奇旋转系数，现在称之为自旋系数，同样用特殊记号表示 代= 7 3 1 1 ，t = 6 y 3 1 2 ，盯= 7 3 1 s ，声= 7 3 1 4 ； 7 r5 似1 ，= 7 2 4 2 ，p27 2 船，a = 7 2 4 4 ； = 丢( 恤+ 懈1 ) 7 = 丢( 讹+ 讹) ， p = 丢( 仇。3 + 4 3 ) ，口= 丢( 讹。t + 必) ( 1 2 8 ) 很明显，任何量的复共轭能用3 和4 互相替换得到。这是一个广义尺度，以 后取复共轭均可这样。 ( b ) 由于外尔张量g 6 c d 满足循环不等式瓯i 删= 0 ，并且具有对称性g 。6 c d = 一d = 一倪6 d c = g 躺，因而只有十个独立分量，可由5 个复标量 皿o = 一c 1 3 1 3 = 一( k r s l p m 9 f r m 8 ； 皿1 = 一q 2 1 3 = 一( 乃旷5 l p n 9 ，7 n 5 ； 皿2 = 一c 1 3 4 2 = 一( 1 p 口r 8 护，n 4 f 死n 8 ； 皿3 = 一c 1 2 4 2 = 一c 南r 5 f p r , 9 f 庇n 5 ； 1 1 4 = 一岛4 2 4 = 一c 刍。矿佩9 矿佩8 ( 1 2 9 ) 一3 一 表示，其他的外尔张量完全由这5 个复标量皿o ，皿1 ，皿2 ，霍3 ，皿4 决定。 最后，由于里奇张量只有十个独立分量，可由4 个实的，3 个复的标量表示： 西0 0 = 一互1 西2 2 = 一互1 西。2 = _ 1 2 r 3 3 ，圣2 。= 一互1 ， e l i = - - 三( r 1 2 + r 3 4 ) ，西。l = 一互1 r 1 3 ，圣1 。= 一互1 r 1 4 ， a = 刍r = 击( 一础) ，虬= - 1 2 r z s ，吩= _ 1 2 r z a ( 1 2 1 0 ) ( e ) 有四个对易式，1 8 个由黎曼张量导出的方程，2 0 个线性独立的比安基等 式，这些关系式见参考书目1 。 对于真空而言，里奇张量的所有分量为零，相应的比安基等式中的里奇项为 零，各种方程式变得简单。而一般情况下，罩奇项不为零，其值可根据爱因斯坦 方程 凡：一等( 一丢丁) ( 1 2 1 1 ) 求得，其中砌是能动张量的分量。n e w m a n - p e n r o s e 形式的基本方程由对易 式，晕奇等式，和比安基等式组成。n e w m a n p e n r o s e 形式的详细介绍见参考文 献【3 】。 1 2 2 k e r r 黑洞的线性微扰 k e r r 解代表一个转动质量周围的弯曲时空几何，是转动质量周围引力场的 唯一定态解。k e r r 度规的导出需要经过复杂的运算，可见参考书【1 】，其度规的 表达式在k i n n e r s l e y 标架和b o y e r - l i n d q b t 坐标下为 群甜a2 一事( 妒学) s i n 20 - - 芸d r 2 - 彬， ( 1 2 舶) 其中 p 2 = r 2 + n 2 c o s 2p ，= r 2 2 m r + 口2 ( 1 2 1 3 ) k e r r 度规描述的是一个定态的，轴对称的，有一个光滑的凸的事件视界的 渐近平直时空几何，它由两个参数：质量m 和角动量j = a m 所表征。而k e r r 度规的惟一性则由r o b i n s o n 所证明：对于一个有光滑的凸的事件视界的真空的 爱因斯坦方程的定态轴对称解是渐进平直的，在视界以外是非奇异的，而且仅有 两个参数，即质量m 和角动量j 来惟一决定。 一4 一 当k e r r 黑洞通过入射的引力波进行引力微扰时，一般而言，在稳态下为零 的量将变成一阶小量，而对于在稳态时非零的量将会有一阶小的改变。因此，引 力微扰由 o ，皿1 ，皿3 ，皿4 ，k ，仃，入， 皿，卢( ，丁( ，p ( ，7 r ( ，q ( 1 1 ，p ( ，7 ( 1 1 ，e ( ， 豇，元( 1 、，币( ，赢( ，( 1 2 1 4 ) 所描述，第二组里量的记号( 1 ) 区别于它们在稳态时的非微扰值。 在n e w m a n - p e n r o s e 方程中有六个方程式关于在k e r r 黑洞背景几何中为零 的霍o ，皿1 ，皿3 ，皿4 ，k ，盯，和a 的线性齐次方程，包含四个比安基等式和两 个里奇等式【1 】： ( 矿一4 a + 7 r ) 皿。一( d 一2 e 一4 5 ) k 9 1 = 3 圪皿2 ，( 1 2 1 5 ) 和 ( 一钾+ p ) 皿。一( 6 4 t 一2 z ) v l = 3 盯皿2 ，( 1 2 1 6 ) ( d 一声一声一3 e + e ) 口一 一下+ 7 r 一q 一3 p ) k = k 皿o ，( 1 2 1 7 ) ( d + 4 e p ) 哑4 一( 矿+ 4 7 r + 2 0 0 3 = - 3 a 2 ， ( 6 + 4 p t ) 哑4 一( 厶+ 2 7 + 4 p ) 皿j = 一3 皿2 ， ( 1 2 1 8 ) ( 1 2 1 9 ) 一 ( 厶+ 肛+ 肛+ + 3 ，y 一7 + ) a 一( 扩+ 3 口+ p + 丌一7 - + ) 二一皿4 ( 1 2 2 0 ) 方程( 1 2 1 5 ) ，( 1 2 1 6 ) ，( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 0 ) 从某种意义 上已经线性化，因为在方程( 1 2 1 5 ) ，( 1 2 1 6 ) ，( ( 1 2 1 7 ) 中的皿o ，皿1 ，k ，盯 和在方程( 1 2 1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 0 ) 中的3 ，皿4 ，和a 被认为是一阶小 一5 一 量，我们可将其它在方程中出现的量( 包含导数算符) 可用它们的非微扰值代替。 方程的另一个重要特征是方程( 1 2 1 5 ) ，( 1 2 1 6 ) ，( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) 和 ( 1 2 2 0 ) 完全可分解为只与皿o ，皿1 ，k ，口有关的方程组和只与皿3 ，皿4 ，和 a 有关的方程组。而且这两个方程组的解是独立的。 我们假定，各种微扰量，依赖于t 和妒的关系由因子e x p ( i a + t + l m 妒) 给 出，这儿盯+ 是一常数( 大多数情况下为实数和正的) ，m 是一整数( 整的，负 的，或为零) 。当我们把基矢( ( 硫赢，赢) 看为依赖于因子e x p ( i a + t + i m q o ) 的切 矢时，变为如下的导数算符【1 】： k 肚d o ，拈如a 2 d 枷刮= 去皓拈壮击l o ，( 1 2 2 1 ) 其中 风= 缉+ 百i k + 2 礼与半，阱= 屏一尝+ 2 佗与0 ， l n = 岛+ q + nc o t ，l ：= 岛一q + n c o t8 ，( n = 0 ，1 ，) ， k = ( r 2 + a 2 ) 盯+ + a m ，q = a u + s i n l 7 + m c s co ， 卢= r + i ac o s 8 ，矿= 7 一i a c o s 8 ，p 2 = r 2 + a 2c o s 2p ( 1 2 2 2 ) 如果把自旋系数( 除，c ，盯，和入) 和方程中的皿2 2 写为： 耻虬卟田虬七2 赢，s = 舞， 蜘( 矿) 4 、1 1 4 , ( i ) 3 - - - - - 警，f _ - 肪5 - 胪长 ( 1 2 2 3 ) 因而可由方程( 1 2 1 5 ) ，( 1 2 1 6 ) ，( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 0 ) 和等式 得到 岛q + q c o t 0 = 2 a a + c o s l 7 ，k a q s i n 0 = p 2 a + ，( 1 2 2 4 ) 【a d i d + + l 1 l 2 6 i a + r + i ac o s 0 ) ( i ) 0 = 0 ， a d + l d o + l 一1 l 砉+ 6 i a + ( r + i a c o s o ) * 4 = 0 ( 1 2 2 5 ) 因而可对西。分离变量 4 ) 0 = 耳2 ( r ) & 2 ( 口) ，圣4 = 凡2 ( r ) 卫2 ( 口) ，( 1 2 2 6 ) 一6 一 这儿岛：2 ( r ) 和s 1 2 ( p ) 分别是r 和0 的函数，得到两组对方程 j ( a d i d + 一6 i a + r ) 4 2 ( r )= a 珥2 ( r ) ， i i ( l 1 l 2 + 6 a + a c o se ) 2 ( 口) = 一入肆2 ( p ) ； 和 j ( a d + 1 d o + 6 i a + r ) r 一2 ( t )= a r 一2 ( r ) ， i ( l 一1 一己亨一6 a + a c o s8 ) s 一2 ( o ) = 一入s 一2 ( 9 ) ( 1 2 2 7 ) ( 1 2 2 8 ) 方程( 1 2 2 7 ) 和( 1 2 2 8 ) 等价于由t e u k o l s k y 第一次导出的方程，因而称之为 t e u k o l s k y 方程，又带权的椭球方程为 ( 而1 历ds i n p 历d + ( 叫) 2 c o s 2 8 + 8 - - 2 8 叫c o s 口一鱼铲) s ( p ) = - a s ( 既 ( 1 2 2 9 ) 故方程( 1 2 2 7 ) 和( 1 2 2 8 ) 中的第二式将( 1 2 2 2 ) 代入得对应于8 = 4 - 2 的带权 的椭球方程。至于k e r r 黑洞在其它场中的线性微扰方程见参考书f 1 1 。 1 3长椭球方程与以s i n e 核为积分核的积分方程的关系 m = 0 和8 = 0 时，方程0 0 4 变为更简单的形式，即 ( 丽1 历ds i n 口品+ c 2c o s 2 口) 跚) = - a s ( 钆口( 0 ，丌) ( 1 3 1 ) 其e e l ：上式中c 为实数，则1 3 1 称为短椭球方程( o b l a t es p h e r o i d a lw a v ee q u a - t i o n ) ；若c 为纯虚数，则1 3 1 称为长椭球方程( p r o l a t es p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n ) f 5 】。为方便，给出长椭球方程， ( 丽1 丽ds i n 口品一c 2 c o s 2 口) 跚) = 郴， ( 1 3 2 ) 其中c5 9 - - 数，定义区间为0 ( 0 ，丌) ，并且上式的解在定义区间的两端点处有 界。令z = c 0 8 0 ，则方程( 1 3 2 ) 重写为 l f ( x ) = 一入厂( z ) ，( 1 3 3 ) 其中 l = 忑d ( 卜z 2 ，忑d c 2 2 2 ， ( 1 3 4 ) 一7 一 并且独立变量z 为实数，定义域为区间( 一1 ，1 ) 。入为特征值， ) 为相应的特 征函数，也叫做标量的椭球函数 6 】。现在作，( z ) 的有限傅里叶变换， ，( z ) = i e x r , ( i c z 秒) ，( y ) d y ， ( 1 3 5 ) 则 坝z ) = 口i 五d ( 1 。) 芝一撑】e x p ( 咖) m ) 曲 ，工 = 【一c 2 2 2 ( 1 一y 2 ) 一2 i c y x d y 2 】e x p ( i c x y ) f ( y ) d y ，一1 = ，1 id 舻ye x p ( 1 c z 3 ，) 一2 茹五d ；e x p ( i c z y ) 一c 2 y 2 e x p ( i c z y ) 】，( ) d 。 = 【岛( 1 吲2 面dm ) 一搿m ) 】e x p ( 咖 。 = 一a ，( z ) ，( 1 3 6 ) 即，( z ) 与f ( x ) 为对应于同一个特征值的两个特征函数，但由于算子l 非退 化 6 】，古它们成j 下比，因而有 ，1 1 f ( x ) = p ( c ) e x p ( i c x y ) f ( y ) d y ， ( 1 3 7 ) 其中p ( c ) 为此积分方程的特征值。也就是说方程( 1 3 2 ) 与方程( 1 3 7 ) 具有相 同的特征函数，因此求得方程( 1 3 7 ) 也就求得方程( 1 3 2 ) ，故我们可应用积分 方程的理论。若我们将方程( 1 3 7 ) 中右边f ( y ) 用其傅里叶变换代入，则我们得 到f ( x ) 的双傅里叶变换，假定( x ) 为实数，则有 m ) 一仁笔掣他， ( 1 3 8 ) 其中a = 2 p 2 ( c ) ，核塑c ( 必x - y ) 称为s i n e 核。按照积分方程的理论，我们需要计算 ， s i n e 核的f r e d h o l m 行列式【9 】。 由f ( x ) 的傅里叶变换的频率范围有限这一事实可知，( x ) - - f 沿拓到整个 。 复平面上。关于积分方程( 1 3 8 ) 的特征值的性质及在信息论中的应用在参考文 献 6 - 8 】中有详细的解释与说明。 一8 一 可解势问题 ( 1 4 1 ) 其中已将所有物理常数置为l ，即危= 2 m = 1 。考虑非破缺超对称，基态特征值 为零，并且假定超势w ( x ) 连续且可微的，满足方程 y 一( z ) = 2 ( z ) 一1 d w 厂( x ) ， ( 1 4 2 ) 定义 4 = 瓦d + w ( z ) ，4 t = d w 如( x ) + ( z ) ( 1 4 3 ) 则相应的哈密顿函数日一因式化为 h 一= 4 a ( 1 4 4 ) 势y 一 ) 的搭档势y + ( z ) 定义为 y 托) = 毗卅掣， ( 1 4 5 ) 相应于势y + ( z ) 的哈密顿函数h + 为 h + 皿+ ：一篓善生+ y + ( z ) 砂+ ( z ) ：e + 妒+ ( z ) ， ( 1 4 6 ) d 茁 并且可因式化为 h + = a a t ( 1 4 7 ) 这两个哈密顿函数日+ 和h 一除了h 一的基态特征值为零不同外，它们具 有相同的特征值，有下列关系式， e o = 0 ，距l = 环； 妒0 1 ( z ) 4 妒：( z ) ，掣岳+ 1 ( z ) o ( a 妒：( z ) ，n = 1 ，2 ， ( 1 4 8 ) 如果超对称搭档势对y 士0 ) 满足 y + ( z ；a 1 ) = v + ( z ；a 2 ) + r ( a 1 ) ，( 1 4 9 ) 一9 一 这儿a 1 为一参数，o , 2 和r ( a 1 ) 只是a l 的函数，即它们具有相同的形式，并且只 相差一个常数，则称他们具有形状不变性。我们可从超对称搭档势对y 士( z ) 具 有形状不变性这一性质得到方程( 1 4 1 ) 的特征值和特征函数为 e o = 0 ，爵= r ( 口七) ； ( 1 4 1 0 ) 七= 1 舯) o c e x p 一z 帅阳】； 妒二( z ) o ( 4 ( z ；a 1 ) 妒o l ( z ；0 2 ) ，n = 1 ，2 ， ( 1 4 1 1 ) ( 1 4 1 2 ) 因此，只要我们将椭球方程转化为薛定谔方程，我们就有可能运用超对称量 子力学方法来解椭球方程。 一1 0 第二章椭球波动方程在c 很小时的超对称研究 2 1 前言 把椭球波动方程写下来， ( 丽1 护d n 护历d - _ f - c 2c o s 2 0 一篇) 即) = - a s ， ( 2 1 1 ) 其中 0 ( 0 ，7 r ) ，( 2 1 2 ) 并且其解在区间( 0 ，7 r ) 的端点处有界。若上式中c 为实数，则2 1 1 称为短椭球 方程( o b l a t es p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n ) ；若c 为纯虚数，则2 1 1 称为长椭球方 程( p r o l a t es p h e r o i d a lw a v ee q u a t i o n ) 【5 】。我们也假定m 为正整数或零，因为 由文献【5 】知，对应于一m 的特征值和特征函数可由对应于m 的特征值和特征 函数简单变换而来。 当2 1 1 中c = 0 时，它变为连带勒让德方程，其特征解为连带勒让德多项 式。已知连带勒让德方程有超对称【1 4 ，1 5 】并且从文献 5 】知椭球方程的2 1 1 的特征值及特征函数为c 的连续函数，当c 趋于零时，相应的特征值和特征函数 趋于连带勒让德方程的特征值和特征函数，因而在c 很小时，椭球方程2 1 1 具 有超对称是合理的。因此，在本章中，我们用超对称量子力学方法来求解c 很小 时的椭球方程2 1 1 的解，并且最后的结果当c 为零时，回到连带勒让德方程的 超几何对称解法。 本章包含四节，第一节为前言，在第二节中给出我们的主要计算，第三节包 含对长椭球方程的一个说明，第四节是本章的小结。 2 2c 很小时椭球方程的解 2 2 1计算思路简介 为了使用超对称量子力学方法，首先将方程2 1 1 变为薛定谔方程，为此，作 变换( 1 8 ，1 9 】 跚) = 篇( 0 口 硪 ( 2 2 1 ) 一1 1 则方程2 1 1 变为 一幽d 0 2 + v ( m ，c ；e ) v a ( e ) = ( p ) ， ( 2 2 2 ) 具甲v ( m ，c ；伊) 为 跏，c ；忙一三( 1 + 南) + 篙一托鳓， ( 2 2 3 ) 而s ( 口) 的有界性变为条件 恕揣 ( 2 2 4 ) 存在。记入。( 仇，c ) 和( m ，c ；0 ) = 0 ，1 ，) 分别为方程( 2 2 1 ) 的特征值和 特征函麴删有 d 2 ( m ，c ；p ) d 0 2 + v ( m ，c ；口) 讥m ，c ；口) = km ，c ) ( m ，c ；日) ，n = 0 ，1 ， ( 2 2 5 ) 当c 很小时，将基态特征值a o ( m ，c ) 展为 入。m ，c ) = 入帆( 仇) c 加， ( 2 2 6 ) n = o 并且引入超势 满足方程 w ( m ，c ；口) 2 一w m ，c ；口) = v ( m ，c ；口) 一a o ( m ，c ) ，( 2 2 8 ) 在上式及这一章中，符号”作用在一个函数上表示此函数对口的导数。因此方 程( 2 2 5 ) 变为 一d 2 g , n 刁( m 矛, 一c ；o ) + 【y ( m ，c ；p ) - a o ( m ，c ) 】( m ，c ；目) = f 入。( m ，c ) 一a o ( m ，c ) 】m ，c ；口) ， 7 , = 0 ，1 ，( 2 2 9 ) 根据超对称量子力学方法，得到基态特征函数 蜘，c 驴唧 一口帅，c 刚司，( 2 2 1 0 ) n 孑 m 脚 l i cm r1 e x pi - f 8 w o o ( m ；) d e l 0 u - - - * 品0 l s i n 而矿j ( 2 2 1 1 ) 1 。p 存在，并对任意的n 1 ， 。唧卜8w o 删，叫( 2 2 1 2 ， 也存在。 比较等式( 2 2 8 ) 两边c 轨的系数，得到 ( m ；口) 一略( m ；口) = 训m ) + 五1 ( 1 + s i 嘉o ) ) 一丽m 2 ，( 2 2 1 3 ) 嵋l ( m ；p ) 一2 w o o ( m ；o ) w 0 1 ( m ；p ) = a 0 1m ) - i - c 0 8 2 口三 ( m ，p ) ，( 2 2 1 4 ) 1 1 - - 1 w 幺( m ；p ) 一2 w o o ( m ；o ) w 帆( m ；o ) = a 0 ，l ( m ) + w o k ( m ；o ) w o ，n 一膏( m ；口) 七= 1 兰厶( m ；口) ( 2 2 1 5 ) 因此，( m )和n ( m ；p ) ，t i = 0 ，l ， 可有上面的 ( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) ，( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 得到。将在下一小节给出 具体的计算。 对于第n 阶特征值km ，c ) ，( n 1 ) ，将应用如第一章第三节的超对称量 子力学中的形状不变思想来求解。 2 2 2 主要计算结果 这- d , 节包含两个引理，一个定理，其中引理1 主要是最后a 帆( m ) 和 仰k ( 仇；p ) ，n = 0 ，1 ，的计算结果，在引理2 中证明形状不变性的存在，而定 理1 包含我们的最主要结果。 从方程( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) ，( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 得到a o n ( m ) 和 n ( m ；p ) 如下面的引理1 ， 一1 3 引理1 ：如果c 足够的小，则能够将基态特征值写为 基态特征函数 o o 知( m ，c ) = a 帆( m ) c 凯， n = o 妒o ( m ，c ；0 ) = e x p帅，c 刚司， 其中w ( m ，c ；0 ) 满足式( 2 2 8 ) 。则由方程( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) ， 和( 2 2 1 5 ) 得到a o 竹( m ) 和。( m ；0 ) 为 和 ( i ) ：从方程( 2 2 i i ) 和( 2 2 1 3 ) 得到 a = m ( m + 1 ) ， = 一( m + 1 2 ) c o t0 ， ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 3 ) ，( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( i i ) ：由( i ) 及式( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) ，得到，( a ) ：对任意的几 1 ，( m ；0 ) 为 n ( m ；p ) = 西磊而1 s i n0c o s0 肌( m ；口) ， ( 2 2 2 。) 其中鳜( m ；0 ) 为c o s 20 的n 一1 阶多项式。特别的，如果 n 一1 如( 仇；口) = a n , t ( m ) c o s 盟0 ， ( 2 2 2 1 ) l = o 那么，这些a n , t ( m ) 之间有以下关系：对n 1 ， nn l 。馆扎o ( m ) = k = ll = o 而对1 p 礼一1 ， a n + l ，p ( m ) = f ! ! ! 鲨l 【( m + 2 3 ) t + 1 ( 仇+ 2 3 ) p ( 2 3 ) p ( 1 2 ) t + 2 ( m + 2 3 ) t + 2 ( 1 2 ) + 1 ( m + 2 3 ) + 1 1 4 一 m i n ( ! ， ：一1 ) 。( m ) a n + 咄h ( m ) ， l = 0 t - z 1 ，引理1 对任意1 k n 都成立，那么从式( 2 2 1 5 ) ，得 厶+ l ( m ；口) =+ 1 ( m ) + w o k ( m ；o ) w o , n + l - - 知( 删9 ) k - - 1 a o ，。+ 10 7 , ) + 面辛丽( 1 一c 0 8 2 p ) c o s 2 0 t l七一1n - k 。( m ) 。州由( m ) c o s 2 0 + 2 口， ( 2 2 4 1 ) 一1 7 即为c 0 8 2 口的7 , + 1 阶多项式，代入( 2 2 3 3 ) ， w o ，n + 1 ( m ；p ) = s i n 2 m + 1 口 1 s i n 2 m + 1p 口加( w ) s i n 拥却