（原子与分子物理专业论文）强激光场中一维类氢he的高次谐波.pdf

摘要 本文采用一维软核势模型，运用c r a n k n i c h o l s o n 中心差分算法计算了一维氢原子 和一维类氢氦离子在不同脉宽和不同激光场强度的单色场下的高次谐波谱。在此基础 之上，为了提高谐波的转化效率，本文引入了基频光和低强高频光组成的双色场作用 于一维类氢氦离子。对加入不同的低强高频光的双色场对高次谐波产生的影响进行计 算和讨论，发现高次谐波辐射的效率有很大的提高，特别是加入的高频光光子能量接 近或等于基态能级和激发态能级之间的能量差时，谐波转化效率提高更多，并对其物 理产生机制进行了阐述。我们还用辛打靶法计算了一维氢原子的定态本征能量和本征 函数。 关键词：高次谐波双色场差分辛打靶法 a b s t r a c t a c c o r d i n gt oo n e d i m e n s i o n a ls o f t - c o r ep o t e n t i a lm o d e l ，h i g h o r d e rh a r m o n i cs p e c t r a o fo n e d i m e n s i o n a lh y d r o g e na t o ma n dh e l i u mi o nh a v eb e e nc o m p u t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n b yc r a n k - n i c h o l s o nc e n t e r e dd i f f e r e n c ea l g o r i t h mu n d e r v a r i o u sc o n d i t i o n so fp u l s e d u r a t i o na n d 氏l di n t e n s i t yo fl a s e rr a d i a l i o n b e s i d e s t w o c o l o r l d sw h i c hi sm a d eu po f b a s ef r e q u e n c yl i g h ta n dl o wi n t e n s i t ya n dh i g h 丘e q u e n c yl i g h ta r eu s e di nc o m p u t i n g o n e - d i m e n s i o n a la t o mi nh i g hi n t e n s i t yf i e l di no r d e rt oe l l h a n c ec o n v e r s i o ne f f i c i e n c y e f f e c to fv a r i o u st w o - c o l o rl o wi n t e n s i t yh i g hf r e q u e n c yl a s e rf i e l d so nh i g ho r d e rh a r m o n i c h a sb e e nd i s c u s s e d i ti sf o u n dt h a te f f i c i e n c yo fh i g ho r d e rh a r m o n i ci sg r e a t l ye n h a n c e d e s p e c i a l l y , w h e np h o t o ne n e r g yo fi n c i d e n th i g h - 厅e q u e n c yl a s e ri sa p p r o a c h e dt oe n e r g y d i f f e r e n c eb e t w e e ng r o u n ds t a t ea n de x i t e ds t a t e ，c o n v e r t i o ne f f i c i e n c yi sf u r t h e re n h a n c e d ， m e c h a n i s mo fw h i c hi sd i s c u s s e d e i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so fo n e d i m e n s i o n a l h y d r o g e na t o mi nt i m e i n d e p e n d e n t s t a t eh a v ea l s ob ec o m p u t e db ys y m p l e c t i cs c h e m e s h o o t i n gm e t h o d k e yw o r d s ：h i g h - o r d e rh a r m o n i cg e n e r a t i o n t w o - c o l o rl a s e rp u l s e d i f f e r e n c e s y m p l e c f i cs c h e m es h o o t i n gm e t h o d 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所廿交的硕十学位论文，强激光场中一维类氢h e + 的高次谐波是本人在指 导教师的指导f ，独立进行研究i ：作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰弓过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识剑本卢明的法律结果由本人承担。 作者签名睚堇必2 月终 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。长存理l ：人学硕+ 学位论文版权使用规定”同意长春 理 大学保留并向国家有芙部fj 或机构送交学位论文的复印什和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长春理j ：人学可以将本学 i 7 = 论文的全部三! l c 部分内容编入有关数据库进行检索也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者躲丝蕉堇坦年上月缬 指导导师签名：彳毛要芝厘乓础土月业日 第一章绪论 在激光器诞生不到一年的1 9 6 1 年，f r a n k e n 等人首次从石英晶体中观察到红宝石 二倍频现象。在随后的2 0 多年里，人们用晶体、金属蒸气和惰性气体等多种介质进行 谐波实验研究，同时，用微扰理论成功的解释了实验现象。并使非线性光学发展到一 个全新的领域。以氢原子为例，处于基态的电子感受到的库仑电场为 e = 5 i x l 0 9 v c m 2 ，它所对应的光强为，= 3 5 1 0 ”w c m 2 。如此高的光强利用当时的 激光技术是远远达不到的，所以那时用微扰计算出来的结果同实验的测量值符合得很 好。 近几年来，随着超短超强激光技术的飞速发展，尤其是飞秒激光的发展，实验室 已可获得强度高达1 0 ”w c m 2 的激光脉冲，聚焦后的激光的电场分量己达到甚至超过 了原子内部的库仑场( 1 0 ”w c m 2 ) 。当强激光场与原子相互作用时，会产生许多新的 无法用传统的微扰理论解释的非线性物理现象，如隧穿电离“。1 、阈上电离“1 1 、多光子 电离“1 1 、高次谐波的产生“1 及原子稳定化”1 等现象。因为这时激光的电场分量已经达到 甚至超过了原子内部的库仑场，把外激光场作微扰是不符合实际情况的。这些现象的 出现，给许多学科带来了巨大的冲击，并导致了一门新学科强场物理的诞生。在强场 物理的研究中，高次谐波辐射是最为活跃的领域之一。下面我们将就强场原子物理中 的一些典型现象及相关的理论研究方案扼要的加以说明。 ( 如无特别说明，本论文选用的单位均为原子单位) 1 1 激光与物质的相互作用的研究 激光器问世后的4 0 年，激光技术的发展可以用飞速来形容，其基本标志是激光强 度的不断提高。1 9 6 2 年激光器诞生不久，人们就利用调q 技术获得了兆瓦( 1 0 6 w ) 纳 秒( 1 0 4 j ) 量级的激光的输出；其相应的电场分量可以和原子内部的库仑场相比较， 在非线性光学中已经证明，如果不考虑极化强度p 的方向性， p = a j e + a 2 e 2 + + a 4 e 4 + ( 1 1 ) 对各向同性介质( 如h e 、n e 、等气体) 和有对称中心的晶体，即 = 吼= = = 0 ( 疗= l ，2 ，) ， 谐波应当由奇次谐波组成。 到8 0 年代末，啁啾脉冲放大技术( c p a ) 的出现进一步把激光脉冲提高到太瓦 i ( 1 0 ”w ) 飞秒( 1 0 - 。5 j ) 量级。这种超短超强激光脉冲聚焦后的强度甚至可达 l o ”w c m 2 ，其相应的电场强度已大大超过氢原子基态电子所感受到的库仑势场的强 度。 每一次激光技术的重大突破都会推动激光与物质相互作用研究的全新进展。6 0 年 代初激光的出现使人们发现了许多重要的非线性光学现象，其中包括m a n u s 等人“1 发 现的多光子电离现象( m p i ) ，f r a n k e n 等人”1 发现的二倍频现象等等。在这期间，由 于激光的电场强度远小于原子中库仑场的电场强度，因此微扰理论在解释各种非线性 光学现象时是成功的。到8 0 年代，随着激光强度的进一步加强，人们发现了阈上电离 现象( a n ) 以及与阈上电离有密切关系的高次谐波的产生( h h o ) 。由于激光的电场 强度己足以使原子能级产生偏移，微扰理论不再合适，人们用非微扰的缀饰态理论成 功地解释了阈上电离现象与高次谐波的产生。近二十年来，随着超短超强激光技术的 飞速发展，目前在小型化台式激光系统上，已经实现了时间宽度为光周期量级( 小于 5 居) 的近红外超短激光脉冲，可聚焦功率密度已经达到了1 0 2 2 w c m 2 量级。由于光聚 焦后的激光功率密度已经达到甚至超过了氢原子内部的库仑场强所对应的功率密度 ( 1 0 ”w c m 2 ) ，出现了许多新的高阶非线性物理现象，如隧穿电离、越垒电离( o t b i ) 、 高次谐波产生、稳定化效应( s t a b i l i z a t i o ne f f e c t ) 和相对论效应( r e l a t i v i s t i ce f l e e t ) 等。 对这些微扰理论无法解释的新现象，人们又发展出许多处理非微扰理论问题的新理论 和新方法，如f l o q u e t 理论、缀饰态理论、经典轨道理论和s c h r d d i n g e r 方程的数值解 法等。由于计算机技术的飞速发展使得人们计算能力大为提高，利用计算机进行数值 模拟和计算成为强场物理的重要研究手段。 1 2 原子在强激光场中的电离 在强激光场与原子相互作用过程中，由于原子的电离过程是其它一切后续物理过 程的基础因此对电离的研究具有十分重要的物理意义。本节简略地讨论原子在激光 场中几种重要的电离机制及其相应物理机制。 1 2 1 多光子电离 原子中的电子在激光场作用下被电离是一个很根本的物理现象，人们对电离过程 的理解也是与激光强度密切相关的。6 0 年代初m a n u s 等人”1 发现的多光子电离是最早 被人们认识的强场物理现象之一。多光子电离是指原子中的电子通过吸收多个光子的 能量而从束缚态跃迁到连续态的过程。早期的实验( 激光强度小于1 0 “w c m 2 ) 所得 2 到的电离率结果可由最低阶的微扰理论( l o p t ) 来解释，1 光子电离率可表示为： f = t r ”(12)i 其中，1 为电子电离所需的最小光子数，盯。为广义的n 光子吸收截面，是入射激光 的光强，1 9 7 7 年，人们在实验上利用n d ：y a g 激光和氦原子作用曾观察到n = 2 2 的多 光子电离。 当入射光强，大于临界光强时，电离速率和激光强度之间的幂指数关系失效，即 ( 1 2 ) 式不再成立。当入射光强，进一步增强时，电离将呈现饱和。 当入射光强，继续增大时，微扰理论会遇到很多困难，首先是必须计算高阶项而 使计算变得极为复杂，更为严重的是由于激光场对量子体系状态的影响，激光脉冲作 用过程中原子态与外场的作用而显著偏离原来未受扰动的态，即发生能级的a c s t a r k 效应，这种能级移动是非微扰的，同时由于中间态在外场中的动态加宽和移动，会使 共振过程发生的可能性大大增加，导致利用最低阶的微扰理论，即使加上高阶效应也 不能给出很好的解释。 强激光场中原子电离的非微扰特征集中表现在阈上电离中。阈上电离是指多光子 电离过程中吸收的光子能量超过了电子电离所需的能量阂值。其根源为激光作用下原 子势增加了有质动力势部分，使电子必须吸收额外的光子。对阈上电离，其电离率 ( l o p t 结果) 和光电子能量可表示为： r 。o c i ”5 ，e ，= ( 丹+ s ) h c o 一町 ( 1 3 ) 其中，打是束缚电子克服电离势能所需要的光子数，s 是电子额外吸收的光子数，开0 是 电离势。这些额外吸收的光子能量转化为电子的动能，因此阈上电离最突出的特征就 是其光电子能谱是许多白j 隔为一个光子能量的尖峰。这个现象最早由a g o s t i n i 等人唧 发现。早期的a t i 实验观察到的现象可以用微扰理论来解释。 随着高精度的电子谱仪的出现，人们发现在较高强度下a t i 谱呈现出明显的非微 扰特征：如图1 1 所示，显示了a t i 能谱从微扰向非微扰的逐渐演化过程。从中我们 可以看到，随着入射激光强度的增强，a t i 电子能谱的第一个峰逐渐变小直至消失“1 ， 即峰压缩，这明显与微扰理论相违背。1 9 8 6 年y e r g e a u 等人。3 诱导的原子能级移动效 应( a c s t , a r k ) 来解释这一现象，由经典电动力学理论可知自由电子在激光场洛仑兹 力的作用下将获得有质动力能： u 。= e 0 2 4 c 0 2 ( 1 4 ) 其中，厶为激光场的峰值振幅，为激光频率。即当激光很强时，会使原子态的能级 发生移动。对连续态和旱德堡能级这样的弱束缚态，它们能级的移动非常接近于u 。， 而较低的束缚态能级，由于受到核的吸引较强，在激光场作用下只能产生很小的能级 移动。这就意味着在激光场的作用下该体系的电离能实际增加了大约一个u p ，于是原 图i i 不同激光脉冲能肇的光电子能谱( 来自文献”1 ) 来的甩光子电离通道将被关闭。从而，很好地解释了第一个峰变小直至消失的原因。 对于多光子电离和闽上电离的研究目前仍在不断的发展，1 9 9 9 年r o b i n 等人“”改进了 微扰理论，在不需要了解最终态( 连续态) 的情况下就能处理多光子电离问题；m u l l e r 等人“也于最近研究了高阶光电子谱，认为经原子碰撞散射而电离的电子可以具有极 大的能量。 1 2 2 隧穿电离 多光子电离与阈上电离都是通过中日j 束缚态的参与来进行的。但是k e l d y s h 早在 1 9 6 5 年就曾预言“：如果激光强度足够高并且激光频率很低，在准静态近似下激光场 能使原子的库仑势严重畸变而形成势垒( 见图1 2 ( a ) ) ，基态电子可能通过隧穿效应越 过势垒而电离，这就是隧穿电离现象( t i ) 。根据a m m o s o v 等人“”的理论，隧穿电离 的电离速率与激光场的瞬时值有关，因此很难对它进行描述。不过由于只有当激光场 强度达到最大值时形成的势垒才最低、最窄，电子的穿透几率随着势垒高度和宽度的 减小而迅速增加，因此可以认为隧穿电离主要发生在激光场强度达到最大值时。 4 随着激光强度的进一步增加，原子势垒会越来越低，直到最终连基态电子都可以 自由地脱离原子核的束缚( 见图1 _ 2 ( b ) ) ，这就是过势垒电离( o t p i ) 。在过势垒电 离机制下电子波包是以整体方式移动。一旦电子从势阱中出来，就可以把电子看作经 v ( x ) 弋j i 一， 么纹穴：一 巾 、( a ：一 。、 i 场瓤一 j p 、 、r 卜 图1 2 ( a ) 隧穿电离及( b ) 过势垒电离的机制示意图 典的点电荷，其初速度的大小和方向由电子电离时激光的相位决定。可以引入k e k d y s h 参数： y 2 = 2 a ) 2 盯i ( 1 5 ) 其中是激光频率，f l 是电离势，是入射激光的光强。由它可以近似判定对应参数下 j 隧穿电离图像的适用性。当它大于l 时，电离主要是多光子电离过程，而当它小于l 时，隧穿电离是主要的。这就意味着电离发生得很快并且在激光场的每个峰值附近发 生，因为只有在峰值附近形成的势垒最窄最小。从量子力学角度考虑，隧穿电离的终 态可近似地看作是一个v o l k o v 态( 自由电子在激光场中的状态) 。 1 2 3 稳定化现象 稳定化现象发生在超强超高频的激光场作用下，原子的电离随场强和频率的增加 反而下降的现象。这种稳定化现象可以区分为以下两类：基于量子干涉效应的动力学 稳定化和基于电子在高频场中的高速振动而减弱了电子与核作用从而导致的渐近稳定 化。对于动力学稳定化，研究工作主要集中在激光一r y d b e 唱态原子作用上，理论上提 出了不同的稳定化机制，t e 较重要的是由于动态a c s t a r k 效应，这一过程在强场时是 可以发生的。即电子经过r a m m a n 散射过程首先跃迁到连续态，然后随之返回到另外 一些与初始r y d b e r g 态i 临近的不同的r y d b e r g 态上，由于动态a c s t a r k 效应，这一过 程在强场时是可以发生的，这样在激光脉冲的作用下，电子会在不同的近邻r y d b e r g 态上重新分布，形成一种空间上与核只有很少重叠的波包，这种混合的r y d b e r g 态到 连续态跃迁中的干涉破坏( i n t e r f e r e n c ed e s t r u c t i o n ) 效应将导致电离率的下降。由于原 子处于高激发态，所以除量子模型外，经典方法被广泛应用，并给出了很好的结果。 而渐近稳定化早在1 9 8 4 年即由g a v r i l a 等人提出，从9 0 年代直到现在一直受到理论和 实验物理工作者的重视，它的基本原理在于电子波函数在激光的作用下显著扩张和伸 展，从而使电子与核相互作用的机会显著减少，这样，由于很难满足吸收光子过程中 的能量动量守恒，使电子无法吸收光子而发生电离，一个极端的例子是自由电子在平 面激光场中的运动，众所周知，这时电子是无法吸收光子的。 1 3 高次谐波 原子、分子、团簇及固体介质在强激光场作用下，会发出相干辐射波，这种相干 辐射波的频率为入射激光的整数倍，这种光波发射称为高次谐波发射( h h g ) 。 1 3 1 高次谐波辐射实验研究进展 1 9 8 7 年m e p h e r s o n 等人用亚皮秒l ( r f 激光在惰性气体中进行谐波实验“。观察得 l a s e r - - - - - _ p o w e r h h g 图1 3 谐波产生及谐波谱特征不意图 到谐波谱图1 3 ，发现了一些重要的特征：谐波发射功率随着谐波次数的增加，首先迅 速地降低：接着，在达到某次谐波后出现一个几乎不随谐波阶次变化的区域( 人们把 这个区域称为平台区) ；最后，在平台区末端的某一阶次附近，谐波强度迅速下降， 出现截止。这种现象是微扰理论不能解释的，因为这时激光的电场分量已经达到甚至 超过了原子内部的库仑场，把激光场作微扰是不符合实际情况的。 从1 9 8 9 年开始，l h u i l i e r 实验小组用皮秒n d ：y a g 激光与惰性气体相互作用，进 行了一系列高次谐波的实验，对谐波的辐射特性作了比较详细的研究”。 1 9 9 3 年在n e 气中观察到了1 3 5 次谐波辐射( 7 6 r i m ) “”。同年，j j m a c k l i n 等人 首次用飞秒激光( 1 2 5 盾，8 0 0 n m 的掺钛蓝宝石激光) 进行高次谐波辐射实验，在n e 气中获得了1 0 9 次谐波( 7 4 n m ) “”；美国罩弗莫尔国家实验室( l l n l ) 实验小组首 次用双色场进行高次谐波辐射的实验研究。 1 9 9 4 年，s w a t a n a b e 用双色场进行了高次谐波实验，发现平台区内的谐波强度提 高了大约一个数量级u 。 6 害 1 9 9 5 年k m i y a z a k i 等人用脉宽为2 0 0 f s 的掺钛蓝宝石激光，系统地研究了介质电 离对高次谐波辐射的影响3 ；同年，l l n l 的实验小组对高次谐波的转化效率进行了实 验测量，发现平台区的高次谐波的转化效率仅为l o - o 量级；同年，j p e a t r o s s 等人对谐 波的空间角分布进行了研究t 同年，v o n d e rl i n d e 等人用掺钛蓝宝石激光在铝膜上直 接产生高次谐波，波长达到5 5 3 n m ，相应于1 5 次谐波，谐波谱中既有奇次谐波又有偶 次谐波。 1 9 9 6 年，s g p r e s t o n 用k r f 激光( 2 4 8 6 n m ) 在h e 中观察到了第3 7 次谐波辐射 ( 6 7 n m ) ，并且认为他们观察到的较高次谐波来源于h e + 和h e 2 ”i 同年，p a n o r r e y s 等人采用2 z m 厚的c h 塑料固体靶，在超1 0 “9 w c m 2 的功率密度下，观察到了由脉宽 为2 5 p s 的n d ：y a g 激光脉冲产生的6 7 次谐波( 1 5 7 n m ) ，能量转化效率为1 0 - 4 1 0 - 6 矧； 同年，m i c h i g a n 大学超快光学中心和v i e n n a 技术大学的实验小组，分别利用超短超强 激光脉冲与惰性气体介质相互作用产生的高次谐波，成功地进入了“水窗” ( 2 3 4 4 n m ) 波段。m i c h i g a n 大学的实验小组利用脉宽仅为2 6 盾( 1 0 个光学周期) 的7 8 0 n m 激光脉冲与h e 相互作用，观察到了2 9 7 次谐波辐射( 波长2 7 3 n m ) 。v i e n n a 技术大学的实验小组利用脉宽仅为5 五( 2 个光学周期) 的7 8 0 n m 激光脉冲与h e 相互 作用，观察到的谐波辐射波长也是小于3 n m 。 1 9 9 8 年，m i c h i g a n 大学的实验小组深入研究了入射激光脉冲的“啁啾”的状态对 谐波辐射的影响，发现通过改变入射激光脉冲的“啁啾”状态来控制谐波的某些特性， 如截止区谐波的谱分辨率和谐波的红移和蓝移等”3 1 。 1 3 2 强场高次谐波的理论研究进展 几乎所有的高次谐波实验所得到的谐波谱都表现出同一个特征：随着谐波级次的 增加，开始几次谐波单调地下降，紧接着出现了一个所谓的“平台”，在平台区内， 谐波的强度随谐波级次的增加下降得非常缓慢，在平台区末端的某一级次谐波附近， 谐波强度迅速下降，出现截止。平台区的出现，使得人们完全有可能利用t 3 ( t a b l e t o p - t e r a w a t t ) 激光产生高次谐波来获得相干的x u v 和x 射线源：同时，平台区的出现， 也为人们突破阿秒界限提供了新的途径“。平台区的出现是无法用传统的微扰理论来 解释的，原因j 下是在于：在相互作用区域，激光场的电场强度已经达到甚至超过了原 子内部的库仑场强，破坏了微扰理论应用的前提。如何j 下确理解和解释高次谐波的实 验结果是进一步认识强激光场与原子相互作用的关键。强场高次谐波理论主要包括两 个方面的内容：一是单原子在强激光场中的物理行为，二是高次谐波在宏观介质中的 行为。 7 在实验中人们观察到的最高谐波光子能量远远高于原子的电离能，只有当原子从 连续态跃迁到基态时才能产生如此高能量的光子。目前，对于高次谐波实验结果比较 成功的解释是隧穿电离理论”1 。原子在强激光场的作用下发生隧穿电离，进入连续 态的准自由电子在随着外场振荡的过程中，会获得额外的能量( 颤动动能) ，当它再 次回到原子核附近复合到基念时，辐射出一个光子，光子的能量等于原子的电离能加 上电子从激光场中所获得的能量。较低次谐波则认为是由原子从其他激发态向基态跃 迁时产生的。这罩仅考虑原子从激发态或连续态跃迁到基态辐射谐波的情况，这是因 为这种情况下辐射的谐波强度( 跃迁几率) 要远远大于从激发态或连续态回到其他状 态的强度( 跃迁几率) 。这一理论既解释了为什么圆偏振光不能产生高次谐波的原因， 更重要的是，还比较准确地说明了谐波的截止位置。由于电子在外场中所能获得的最 大能量( 颤动动能) 为3 1 7 啡，啡= 9 3 3 x 1 0 。4 l ( w c m 2 ) 丑2 ( a m ) 为有质动力势( 其大 小等于一个自由电子在激光场中平均颤动动能，为激光强度，旯为激光波长) 。所以， 平台截止处的谐波光子能量为 = ，+ 3 1 7 坼( ，p 为原子的电离能) ， ( 1 6 ) 这与实验结果很符合。 由于实验中观察到的高次谐波都是在较稠密的原子气体中产生的，不仅与单个原 子在激光场中的运动有关，还与谐波在介质中的传播特性有关，主要是位相匹配因素 的影响。实验研究结果表明，大的共焦参数( 弱的几何聚焦结构) 有利于提高谐波的 转换效率，这主要是因为位相匹配得到了改善。目前所有关于高次谐波辐射位相匹配 的理论都没有超越传统的观念酬，仍然只局限于从传播方程的角度来进行初步的探 讨。 高次谐波辐射的理论模拟至少应该包括两个部分：首先要计算单原子在强外场作 用下的响应，即求出随时i 日j 变化的感生电偶极矩或者电偶极加速度的期待值，经傅里 叶变换求出它的发射谱；然后研究这些谐波在宏观介质中的传播特性。 从理论上研究强激光场与物质的相互作用可归结为求解含时s c h r 6 d i n g e r 方程。现 有的求解方法有如下几种：2 0 0 0 年，王乃宏、周忠源等人建立了激光与原子相互作用 的伪分立态模型。”；2 0 0 1 年，李白文利用基函数展开结合线性最小二乘法方法。2 1 求解 含时s c h r 6 d i n g e r 方程；2 0 0 2 年，刘学深等人将辛算法推广到复辛空间，指出了辛算法 保定态s c h r 6 d i n g e r 方程的w r o n s k i a n 守恒m 1 。同年，乔豪学、李白文介绍了一种新的 求解含时s c h r 6 d i n g e r 方程的谱拟合法。2 0 0 4 年，杨玉军等人改进了原有的本征态展 开方法m 1 求解含时s c h r 6 d i n g e r 方程。周兆妍、袁建民用含时s c h r 6 d i n g e r 方程的多态展 开( t d m a ) 方法1 求解含时s c h r i s d i n g e r 方程。 研究单原子在强激光场作用下的响应，有几种不同的处理方法： 1 ) 由k c k u l a n d e r 和j j k r a u s e 提出的单电子近似模型”，即除了一个电子外， 其余的电子都被束缚住了，这个电子在原子实的有效势( h a r t r e e s l a t e r 势或短程势) 和激光场的共同作用下而产生感生电偶极矩，正是这一模型给出了谐波的截止位置。 根据这一模型，原子中的电子在库仑场和外激光场的作用下穿透势垒离开原子实，电 子一旦离开原子实( 意指电子感受到的来自外激光场的作用要远大于来自原子实库仑 场的作用) ，就会随着外场一起运动，当激光场改变方向后，它又回到原子实附近， 并与原子实以一定的几率与基态复合，同时发射一个谐波光子。根据这一模型进行的 数值模拟的结果与实验所得到的结果符合的很好，如谐波谱的平台和谐波截止位置等。 这一模型给出了比较清晰的物理图象，然而它只是半经典描述( 对电子在外场中的描 述完全是经典的) 。 2 ) m l e w e n s t e i n 等人提出的全量子理论模型1 。这一理论模型从含时s c h r d d i n g e r 方程出发，作了两个主要的假设( 原子从高能态回到基态的几率远远大于回到其他 束缚态的几率：当电子处在连续态时，原子实势场的影响可以忽略不计) 之后，解 析地求出了与时间有关的电偶极矩。分析表明，对谐波辐射的贡献主要来自于那些发 生隧穿电离后在外场中获得能量并复合到原子实中的电子，并且这些电子隧穿后的初 速度接近为零。这与半经典模型描述的结果是一致的。 前面已经提到过，除了原子气体介质( 包括其团簇) 外，固体也可以作为获得高 次谐波辐射的介质，其谐波辐射有着完全不同的物理机制。激光与固体靶相互作用的 过程，其本质上是激光与在固体靶表面形成的等离子体之间的相互作用，当电子在具 有不同梯度的等离子体之删被加速时，就会辐射出高次谐波。p g i b b o n 对此进行了p i c ( p a r t i c l e i n c e l l ) 模拟。 除了上述对谐波辐射物理机制的理论研究之外，人们还提出了许多与高次谐波有 关的非常有意义的一些想法，这主要是关于如何控制高次谐波辐射的一些理论探索。 如相干阿秒脉冲”“蚓的产生，高次谐波脉冲宽度的测量，高次谐波的相干控制等。 1 3 3 强场高次谐波辐射研究的意义 高次谐波辐射具有广阔的应用前景和重大的理论价值。首先，利用高次谐波辐射 人们可以获得相干的、脉冲持续时i 日j 短的阿秒超紫外线( e x t r e m eu l t r a v i o l e t x u v ) 和 x 射线源。目前，利用超短( 仅为几个光周期) 超强激光脉冲与惰性气体介质相互作 用产生的高次谐波已经成功地进入了“水窗”波段，这对于活的生物细胞和亚细胞结 构的显微成像具有重大意义。此外，高次谐波辐射脉冲持续时间短( 可达到力量级) 、 9 频带窄、波长可调谐的特点，使得它在需要高的时白j 和空间分辨的微观快过程研究领 域有着广泛的应用，例如激光等离子体诊断，原子内壳层的光电离和双光子电离，材 料科学和化学中的表面物理，半导体的全息光刻，原子团簇的电子和几何结构等。 其次，高次谐波辐射是人们实现阿秒相干脉冲的首选光源。自从激光出现以后， 脉冲持续时间的突破日新月异，它影响着化学、物理学和生物学中的测量手段的更新 以及对未知领域的深入。利用可见光和近红外激光实现飞秒脉冲碰到了物理上的困难。 强场高次谐波由于辐射谱呈现平台区以及平台区谐波有规律的等频率间隔分布的独特 优点，成为突破阿秒界限的首选光源。一旦突破阿秒界限，人类有可能实现原子尺度 内时间分辨的梦想，将超快过程的测量范围扩展到各种物质形态中电子的运动过程， 如复杂分子中的电荷跃迁、分子中价电子的运动状态等。阿秒技术的实现，将具有极 其重大且不可替代的应用价值。 第三，高次谐波的研究对强场物理的研究有着强大的推动作用。由于激光技术的 飞速发展，人们利用台式激光器，获得的电场强度已经可以达到甚至超过原子单位电 场强度。这些强场的实现直接推动了各个学科的发展，开辟了许多全新的物理学领域。 研究强场物理学的目的是发现并解释物质在( 超) 强外场这种极端物理条件下所辐射 的各种强场效应( 如高次谐波辐射，阈上电离，强场自电离，电离抑制和库仑爆炸等) ， 建立和发展新的非微扰理论。高次谐波辐射的研究是检验强场物理理论合理性的一个 重要工具，同时也不断为强场物理理论提出新的课题，因此，可以说高次谐波研究是 深入认识强场物理本质的一个重要手段。 1 4 强场原子物理的理论研究方法 面对全新的强场原子物理现象，传统的微扰方法己不能给出定性的令人满意的结 果，这就需要在理论上谋求新的非微扰方案来处理强场物理问题。这些新的解决方案 的出发点都是求解在强激光场作用下原子中的电子满足的与时间相关的s c h r 6 d i n g e r 方程： 去婀，f ) 州( 印) 嘶，f ) ( 1 7 ) 其中，( 尹，t ) = 风( f ) + y ( 尹，f ) ，这里风( 尹) 是无外场时体系的哈密顿量，y ( 尹，f ) 是 激光和原子的相互作用势。根据方程的不同求解过程，这些非微扰理论大体上可以被 分成两类：( 1 ) 定态地处理含时s c h r 6 d i n g e r 方程，例如通过发展普适的f l o q u e t 公 式，可以将包含周期的或是准周期的的s c h r 6 d i n g e r 方程求解转化成与时间无关的 f l o q u e t 矩阵的本征值问题求解。( 2 ) 从时间和空间上直接利用数值积分方法求解含时 1 0 s c h r 6 d i n g e r 方程。下面，我们将主要讨论其中几种重要的处理方法。 1 4 1f l o q u e t 理论 由于激光场是周期场，因此对强场原子相互作用的描述可以利用f l o q u e t 定理。若 激光原子体系的势函数满足周期性条件： v ( v ，f ) = v ( v ，f + f ) ( 1 8 ) 则利用该定理可将体系的含时波函数表示为： ( 尹，f ) = p 1 4 ( 尹，f ) ( 1 9 ) 其中，中( 尹，f ) = ( 尹，t + f ) 是时间的周期函数，占称为准能量，f 为周期。经过一系 列推导，可以得到一个关于s 的本征方程，这样就把含时问题的求解转换成定态 本征值问题的求解( 关于这个理论的详细处理过程以及最新发展参见文献“”) 。该理论 的优点在于：( 1 ) 由于将含时问题转化为不含时问题，物理意义比较清楚。( 2 ) 对于脉冲 持续时阃较长的情况，可以得到很准确的结果。 例如由g a v r i l a 等人发展起来的高频f l o q u e t 理论，很好的解释了绝热稳定化现象。 同时应该注意到，这个理论建立在f l o q u e t 定理之上，对入射激光的单色性要求较高， 因此在处理短脉冲强激光同原子相互作用问题时，这个理论很难给出准确的结果。 1 4 2 直接数值积分方法 由于方程( 1 7 ) 是一个包含时间一阶导数，空间二阶导数的偏微分方程，若给定 体系的初始条件和空日j 边界条件，那么就可以通过直接数值积分该方程得到体系任意 时刻的含时波函数( 尹，f ) ，这个方案的优点在于：( 1 ) 由于没有采用任何近似手段，因 而该方法所能包含的物理信息是很全的：( 2 ) 对激光脉冲的形状没有任何限制，因此可 以通过该方法来考察不同的脉冲形状对物理结果的影响；( 3 ) 计算得到的含时波函数的 精度由具体的积分方案来决定。这个方案首先由k u l a n d e r 等人1 发展起来，随后在强 场物理理论研究中得到广泛的应用，尤其在针对强激光短脉冲物理计算中具有很大的 优势。当然，该方法也存在一些缺陷：( 1 ) 由于数值积分过程需要给出边界条件才能完 成，而这些边界条件是不知道的，只能通过扩大计算边界或是基于某些特定的物理考 虑舍弃一些被认为不重要的物理因素而给出，如果选择不当会影响计算的准确性；( 2 ) 利用该方法计算时，通常为了消除计算边界上非物理的反射，需要人为加入吸收势或 面具函数，而这种人为干预可能会对结果产生一定的影响：( 3 ) 用这种方法计算比较耗 时，尤其当入射激光是高强低频长脉冲时，因为在这种情况下需要将计算边界取得很 远才能得到收敛的结果。 解决耗时问题的一个最直接有效的手段就是减小计算的维数，例如一维模型的方 案就己由g e l t m a n 等人”提出并在强场物理计算中得到广泛应用。从三维到一维的简 化，虽然会导致一些物理效应如磁场、光的偏振等不能被考虑，但同时也带来了极大 的便利，即能够大幅度地节省计算时间，从而在实际计算中可以将计算的边界取得很 大，把所关注的物理问题真j 下算准确。数值实验已经表明“”，在一维条件下计算得到 的结果从定性角度上与三维的结果相同。 1 4 3 本征态展开方法 对含时s c h r 6 d i n g e r 方程的求解，最自然的方法就是将体系在任意时刻f 的波函数 用无场时原子体系的本征函数的全谱展开。然后代入方程( 1 7 ) 就可以得到一个关于 本征态展开系数的一阶微分方程组，这个方程组可以利用r u n g e k u t t a 等方法来求解。 该方法的好处在于不需要额外的计算就可以给出每个时刻电子在各个本征态的布居几 率，而这些布居几率对于考察物理过程的本质具有重要的作用。但需要注意的是，该 方法的计算效率很低。 第二章理论模型和计算方法 2 1 在电偶极近似下的含时s c h r o d i n g e r 方程 本文所采用的是一维含w s c h r 6 d i n g e r 方程。为了描述原子体系中的电子在强激光 场中的行为，我们需要准确地求解相应的含时s c h r 6 d i n g e r 方程。在长度标量和电偶极 近似下，强场与原子相互作用的维含时s c h r 6 d i n g e r 方程可写为： f 导l ；f ，( x ，f ) = 卜j 1 石0 7 2 + ( 工) + ( f ) x 】( 暑f ) ( 。，r ，m x a o ) ( 1 ) ( 工，0 ) = 妒( x ) e 陟( 列) 1 2 = 1 ( x ) ( f o ，- - - o o x o 。) ( 2 ) ( 3 ) 其中z 为电子到原子核的距离，f 为时间，v o ( x ) 为电子势能，t 为激光脉冲持续时间。 9 ( x ) 是初始波函数，即t = o 时波函数实部为定态波函数，虚部为零。f ( ，) 为激光场， 这里选择为 s ( f ) ：e o ( s i n 譬) 2 ( s i n ，) ( 2 1 ) 丌 其中岛是激光场的振幅峰值，嘞是激光场频率。 ( f ) = ( s i n 掣) 2 ( 2 2 ) 二r t ( 2 2 ) 是脉冲包络，描述脉冲形状，片是光学周期数。 2 2 一维原子的软核势矿( x ) 与基态波函数 在原子单位下，一维模型原子的定态s c h r 6 d i n g e r 方程可以写为： 却= 印，= 毛导川工) ( 2 3 ) 其中矿( 工) 为库仑势场，为了避免石= 0 时的奇异性，通常采用软核势模型_ ( s o i t c o f c p o t e n t i a l ) ： m ) = 南 工 忡) ( 2 4 ) 其中，z 为模型原子的核电荷数，a 是短程截断参数( s h o r t - r a n gc u t - o f f p a r a m e t e r ) 。对 于一个给定的模型原子，其核电荷数也就给定，所以只要确定a 的值，原子势v ( x 1 也 就确定了。下面我们就来讨论怎样确定口的值： 考虑一维模型氢原子，核电荷数z = l ，对于偶字称态，对于基态，设z = 口2 + x 2 ， k ：伍，这旱e 是某一态的能量本征值。波函数写为 y = e x p ( 一k x ) ( 2 5 ) 将波函数矿= # e x p ( 一k x ) 代入一维定态s c h r 6 d i n g e r 方程( 2 3 ) ，得到： 【1 一a 2 z 一2 + 【2 七+ 2 七2 z 一2 + 口2 2 4 】+ 【2 z 一一k z a 2 z - 2 一k a 2 z 一3 】矿= o ( 2 6 ) 其中，妒，分别对z 求导，而一维定态s c h r 6 d i n g e r 方程( 2 3 ) 对工的求导。因为 满足条件( x ) i ， 扣= 0 以及( 石) 在( m ，+ ) 上是连续的，应设( z ) 为多项式 矿= z ” ( 2 7 ) m = o 方程( 2 7 ) 展丌为： 矽= c 。矿= ( + q z + c 2 2 2 + 。+ c r u x ”+ c m + l z ”1 m = o + + 2 z ”+ 2 + c m + 3 z ”+ 3 + + 4 z “+ 4 + + 巳z ”) ( 2 7 ) 把( 2 7 ) 代入( 2 6 ) ，( 2 6 ) 式左端成为一个含z _ 3 ，z - 2 ，z 川的有理式。先 令最高次项z ”1 的系数为0 ，得： 从而有： ( 一2 k n + 2 ) c 。= 0 ，c n 0 拈1 玎，e = 一去z n 或疗= 去1 5 玎 一 、，一z 令z 的其它各次的系数为0 l ，当m = - 3 时，得： 1 4 ( 2 8 ) c 0 2 n c i 2 ，当肌= 2 时，得： 乞= 0 3 ，当m = 1 时，得： q ( 2 n - a 2 n 2 ) + c 2 3 a 2 n c 3 3 a 2 = 0 4 ，当0 m n 一4 时，得： c m + l 【2 2 ( m + 1 ) 胛】+ + 2 ( m + 2 ) ( ，行+ 1 ) 一a 2 n 2 】 + c m + 3 a 2 ( 2 m + 5 ) n c m + 4 a 2 ( m + 4 x m + 2 ) = 0 ( 2 9 ) 这是含疗+ 1 个系数的胛+ 2 个齐次线性方程，其中含一个待定参数口2 。右前 n + 1 个方程逐一代入，可将q ，乞，c s ，c n 都用c o 表示，譬如： q = 鲁，白= 嘉( 2 厅一薯) q = 磊1 ( 了2 n 一孑1 ) 一般地： = 厶( ，z ，a 2 ) c o ，m = 1 , 2 ，n 将。剃- - 与c n 代入最后一个方程，得： 五( 甩，a 2 ) c o = 0 因为c o 0 ，否则c l = = c n = 0 ，i 0 ，兰0 ；故有： z ( 玎，a 2 ) = 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 从中即可确定参数口2 ，将之代入( 2 1 0 ) 中，再将( 2 1 0 ) 代入( 2