（理论物理专业论文）非完整力学系统的对称性摄动与绝热不变量理论研究.pdf

非完整力学系统的对称性摄动与绝热不变量理论研究 丁宁( 理论物理) 指导教师：方建会教授 摘要 力学系统的对称性与精确不变量( 守恒量) 在力学、物理学中具有非常 重要的意义当力学系统受到微小扰动( 称为摄动) 时，会影响原有的对称 性和精确不变量系统在小扰动作用下对称性的改变及其导致的绝热不 变量与力学系统的可积性之间有着密切关系，而在力学系统的对称性导 致精确不变量的基础上研究对称性的摄动及其绝热不变量具有重要的理 论价值本文研究了非完整力学系统对称性的摄动与绝热不变量理论 首先，研究了非完整力学系统n o e t h e r 对称性、m e i 对称性和l i e 对称性的 摄动与绝热不变量，给出了未受扰动系统的三种对称性分别导致的精确 不变量，并且基于绝热不变量的概念，讨论了受扰动后系统对称性的摄 动，得到了受扰动后系统的绝热不变量其次，研究了非完整力学系统 n o e t h e r - m e i 对称性和n o e t h e r - l i e 对称性的摄动与绝热不变量，给出了未 受扰动系统的两种联合对称性导致的精确不变量，讨论了受扰动后系统 联合对称性的摄动并得到了受扰动后系统的绝热不变量最后，研究了 非完整v a c c o 动力学系统的l i e 对称性及其导致的守恒量，初步探讨了非 完整v a c c o 动力学系统l i e 对称性的摄动及其导致的h o j m a n 型绝热不变 量 关键词：非完整力学系统，对称性，精确不变量，摄动，绝热不变量 p e r t u r b a t i o nt os y m m e t r i e sa n da d i a b a t i ci n v a r i a n t sf o r n o n h o l o n o m i em e c h a n i c a ls y s t e m s d i n g n i n g ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rf a n gj i a n - h l l i a b s t r a c t n 怆s t u d i e so ns y m m e t r i e sa n de x a c ti n v a r i a n t s ( c o n s e r v e dq u a n t i f i e s ) p l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nm e c h a n i c sa n dp h y s i c s a sw ek n o we v e na s m a l lc h a n g e ，t h a tw ec a nc a l lap e r t u r b a t i o n , m a yi n f l u e n c et h eo r i g i n a l s y m m e t r i e sa n de x a c ti n v a r i a n t so f m e c h a n i c a ls y s t e m s t h e r ee x i s t si n t i m a t e r e l a t i o nb e t w e e nt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h es y s t e ma n dt h ev a r i a t i o n so fi t s s y m m e t r i e sa sw e l la st h ea d i a b a t i ci n v a r i a n t su n d e rt h ea c t i o no fs m a l l d i s t u r b a n c e t h e r e f o r e ，t h es t u d i e so np e r t u r b a t i o n t os y m m e t r i e sa n d a d i a b a t i ci n v a r i a n t s w h i c hb e c e do ns t u d i e so ns y m m e t r i e sa n de x a c t i n v a r i a n t s a i co fg r e a ts i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ep e r t u r b a t i o n t os y m m e t r i e sa n da d i a b a t i ci n v a r i a n t sf o rn o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m s f i r s t ，p e r t u r b a t i o nt on o e t h e rs y m m e t r y , m e is y m m e t r ya n dl i es y m m e t r ya s w e l ia st h e i ra d i a b a t i ci n v a r i a n t sf o rn o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m sa r e s t u d i e d 1 1 e x a g ti n v a r i a n t si n d u c e dr e s p e c t i v e l yf r o mt h et h r e es y m m e t r i e s o ft h es y s t e mw i t h o u tp e r t u r b a t i o na r eg i v e n b a s e do nt h ec o n c e p to f a d i a b a t i ci n v a r i a n t , p e r t u r b a t i o n st ot h e s es y r m n e t r i e sa r ed i s c u s s o da n dt h e a d i a b a t i ci n v a r i a n t so ft h ep e r t u r b e ds y s t e ma r eo b t a i n e d t h e n , p c r t u r b a t i o n t on o e t h e r - m e is y m m e t r ya n dn o e t h e r - l i es y m m e t r ya sw e l la st h e i r a d i a b a t i ci n v a r i a n t sf o rn o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m sa r es t u d i e d t h c e x a c ti n v a r i a n t si n d u c e dr e s p e c t i v e l yf r o mt h et w ou n i t e ds y m m e t r i e so ft h e s y s t e mw i t h o u tp e r t u r b a t i o na r eg i y e n p e r t u r b a t i o n st ot h e s es y m m e t r i e sa r e d i s c u s s e da n dt h ea d i a b a t i ci n v a r i a n t so ft h ep e r t u r b e ds y s t e ma r eo b t a i n e d f i n a l l y , l i es y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e so ft h en o n h o l o n o m i cv a e c o d y n a m i c a ls y s t e m sa r es t u d i e d ；p e r t u r b a t i o nt ol i es y m m e t r ya n dh o j m a n a d i a b a t i ci n v a r i a n t sf o rn o n h o l o n o m i cv a c c od y n a m i c a l s y s t e m s a r e d i s c u s s e d k e y w o r d s ：n o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m , s y m m e t r y , e x a c ti n v a r i a n t , p e r t u r b a t i o n , a d i a b a t i ci n v a r i a n t 中国石油大学( 华东) 硕士论文主要符号表 主要符号表 工l a g r a n g e 函数 巨 e u l e r 算子 q非势广义力 4广义非完整约束力 广义l a g r a n g e 函数 九 约束乘子 形 小扰动力 t 时间 吼 广义坐标 口j广义速度 坑 广义加速度 厶 c h e t a e v 型非完整约束 v a e e o 型非完整约束 无限小参数 f 品时间无限小生成元 广义坐标无限小生成元 如 n o e t h e r 守恒量 如h o j m a n 守恒量 凡 m e i 守恒量 如o n o e t h e r 型精确不变量 如oh o j m a n 型精确不变量 k n o e t h e r 型绝热不变量 h o j m a n 型绝热不变量 x ( 1 )一阶无限小生成元向量 x ( 2 二阶无限小生成元向量 g ，g 规范函数 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名： 砌1 年斗月2 f 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：j ：i劲。7 年 年月上j 日 新繇立垂金叩年牛月哆日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 分析力学的近代发展 分析力学是经典物理学的基石之一，是近代物理学发展的阶梯同 时分析力学又是许多数学理论的发源地和应用对象 1 8 世纪和1 9 世纪是分析力学的辉煌时代，这正是l a g r a n g e 力学和 h a m i l t o n 力学的建立时期1 7 8 8 年l a g r a n g e 发表名著分析力学，成 为分析力学的奠基人【1 1 他成功的把力学理论与数学分析方法结合起来， 建立了具有严谨数学结构的力学体系，提出了建立质系运动微分方程的 普遍而有效的方法h a m i l t o n 及其后继者在l a g r a n g e 力学的基础上，对理 想、完整、有势系统的动力学作了更深入的研究，提出了h a m i l t o n 原理 和正则方程，后经j a e o b i 和l i e 等人的努力，h a m i l t o n 力学逐步建立并完 善起来h a m i l t o n 力学是经典力学向近代物理学观念过渡的桥梁，且在非 线性科学中扮演重要角色 2 - 4 1 1 9 世纪末出现的非完整力学大大丰富了分析力学并将其推向前进 1 8 9 4 年h e r t z 将约束和力学系统分为完整的和非完整的两大类，开辟了 非完整力学的新时期1 8 9 9 年a p e l l 给出非完整力学系统的动力学方程， 1 9 0 4 年b o l t z m a n n 、h a m e l 等则给出了非完整力学系统准坐标下的方程 此后，非完整系统动力学很快发展起来并逐步得到完善近3 0 年迅速发 展起来的非完整运动规划、非完整力学系统对称性与守恒量等的研究， 表明非完整力学还在不断前进【5 。9 1 总之，分析力学这一经典学科随着科学技术的进步和学科自身发展 规律的推动，从未停止过发展的脚步近代以来，分析力学尤其得到了 长足的发展 1 1 1 分析力学理论的进一步完善 分析力学中运动微分方程的建立是研究各种力学系统的基础目 前力学系统的各种运动微分方程已建立得比较完善我国力学家梅风 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 翔教授提出了针对运动微分方程的算子理论，即将运动微分方程中的 各种运算定义为更简练、更概括的算符形式，从而得到规范直观的运动 微分方程定义的算子有：e u l e r 算子、n i e l s e n 算子等在算子理论的 基础上，力学系统的各种运动微分方程可以划分为三大体系： e u l e r - l a g r a n g e 体系、n i e l s e n 体系和a p p e l l 体系【l 叫3 1 每一种体系都 代表了建立力学系统运动微分方程的一种规则同时，我国学者在非完 整力学运动方程的建立、推广与应用方面作出了重大贡献1 9 5 0 年我国 力学界的前辈周培源先生在其 + g 等形鬻一等彬簪+ 臼薏等彤等 一差等彤筹) - ( i a a ”，百o r = 瓦8 l 一吼i a a ”，百o r - - i 瓦o l ，, = 占” 【占形( 等一乱，) 一形( 第一一吼r ”i ) 】+ p 三等彤鼍 一工等彤笔 + p 等形鼍一等彤等，+ 嚣等彤等 一瓦a l 言盲m - i 卜。豇a aw , o r o l ：一口，等彤箐盖) 彰+ l 【吣稍儿a 。iw 百, o r + 等等+ 嚣等彤鼍 一吼百a l _ a a ，r f 一, 荽】 ( 3 3 1 ) 这表明盟正比于占一 d t 定理3 1 2 对于受到小扰动棚：作用的非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 1 3 ) ， 如果存在规范函数g ：= g ：( r ，g ，口) 使得无限小群变换的生成元，( ，q ，雪) ， 等( f ，g ，口) 满足n o e t h e r 等式( 3 2 9 ) 以及限制方程( 3 2 7 ) ，则式( 3 3 0 ) 是该系 统的一个z 阶n o e t h e r 型绝热不变量 证明：定理3 1 2 的证明过程等同于定理3 1 1 的证明过程 3 2 非完整力学系统m e i 对称性的摄动与n o e t h e r 型绝热不变量 本节研究非完整力学系统m e i 对称性的摄动及其导致的n o e t h e r 型 绝热不变量给出未受扰动系统的m e i 对称性导致的n o 劬c r 型精确不变 量并且基于绝热不变量的概念，研究受扰动后系统m e i 对称性的摄动， 得到其导致的n o e t h c r 型绝热不变量 第3 苹非完整力学系统对称性的 里互垫奎兰! 竺垄! 堡主堡苎堡垫皇丝垫至銮量里堡 3 2 1 系统的m ei 对称性与n o e t h e r 型精确不变量 根据m e i 对称性理论，在无限小群变换( 3 7 ) 下，非完整力学系统 ( 3 1 ) ，( 3 2 ) m e i 对称性的判据方程为 e 【。瑶”( 工) 】_ x o ”( q ) + 硝( 4 ) ，( 3 3 2 ) 限制方程为 嬲”( 五) = 0 ( 3 3 3 ) 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 相应的完整系统( 3 5 ) ，如果无限小 群变换( 3 7 ) 的生成元f o 和等满足判据方程( 3 3 2 ) ，则相应的对称性为系 统的m e i 对称性 对于非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，如果无限小群变换( 3 7 ) 的生成元f o 和等满足判据方程( 3 3 2 ) 和限制方程( 3 3 3 ) ，则相应的对称性为系统的 m e i 对称性 定理3 2 1 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 相应的完整系统( 3 5 ) ， 在无限小群变换( 3 7 ) 下，如果m e i 对称性的生成元f o ，等和规范函数 g ：= g ：( f ，g ，圣) 满足如下结构方程， 工d d ，t + 硪( 三) + ( q + 4 ) ( 等一吼f 。) + 昙g 品= 0 ， ( 3 3 4 ) 则系统的m e i 对称性导致n o e t h e r 型精确不变量【2 8 1 “o = l r o + 兰( 等一乱f 0 ) + 噼= c o n s t ( 3 3 5 ) 呵。 定理3 2 2 对于非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，在无限小群变换( 3 7 ) 下，如果m e i 对称性的生成元f o ，等和规范函数g 品= g ：( r ，叮，圣) 满足结 构方程( 3 3 4 ) ，则系统的m e i 对称性导致n o c t h e r 型精确不变量( 3 3 5 ) 【2 羽 3 2 2 系统m ei 对称性的摄动与n o e t h e r 型绝热不变量 假设非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 受到小干扰力占= 占形( ，口，圣) 的作 用，其中占为小参数，形为相应的广义力则运动微分方程( 3 2 ) ，( 3 3 ) ， 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 ( 3 5 ) 和( 3 6 ) 分别变为方程【3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 在小扰动的作用下，系统原有的对称性与不变量相应地会发生改变 假设扰动后的无限小生成元f o ，口，口) ，( f ，叮，雪) 是在系统无扰动的对称 性变换生成元基础上发生的小摄动，则有式( 3 1 7 ) 和( 3 i s ) ，相应地，无限 小群变换变为式( 3 1 9 ) 受扰动后系统m e i 对称性的判据方程和限制方程变为 豆【x ( 1 ( 上) 】= x 1 ( q ) + x 1 ( 4 ) + e x 1 ( 形) ， x 1 ( 厶) = o 其中 f 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 豆：兰晏一晏 ( 3 3 8 ) 也2 面瓦一瓦 u j ” 扰动后，结构方程变为 三d 未z - + x o ) ( 三) + ( q 十人，) ( 量一吼r ) + l ( 皇一玩r ) + 昙g i = 。， ( 3 3 9 ) 其中 g = g 品+ 占四+ 占2 簖+ 将式( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 2 4 ) 和( 3 4 0 ) 代入判据方程( 3 3 6 ) ， 结构方程( 3 3 9 ) ，并比较等号两边占”的系数可得 一a a x ( l ) + 垒形丝! 塑一业 d ， a t ， 锄，田。 = 碟( q ) + 硝( 4 ) + 一x 剃m 1 ) ( ) ， 硼( 厶) = 0 ， ( 3 4 0 ) 限制方程( 3 3 7 ) 和 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 出- d r + l a u 形，o r 。- + 群( 上) + 形( 等一一口，m - i ) 地+ a j ) ( 剽，) + 三哪+ 鲁彤等- o ( 3 4 3 ) 第3 苹非完整力学系统对称性的 ! 里互塑查兰! 兰查! 堡主丝塞堡垫量丝垫至奎量里堡 因为在式( 3 1 7 ) 羊n ( 3 1 8 ) 9 ，f ，基所含最小级数的项分别为f o 和等， 所以这里当坍= 0 时，一，广- 2 ，嚣1 和等- 2 不存在我们记为：当 m = o 时，f ”1 = f 棚= 乒1 = c - 2 = 0 成立此时方程( 3 4 1 ) ，0 4 2 ) 和( 3 4 3 ) 将分别回到方程( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 的形式同理，当册= 1 时， ，= 嚣= o 仍然成立 定义3 2 1 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ，0 2 ) 相应的完整系统( 3 5 ) ， 当受到小扰动彤作用时如果无限小群变换的生成元广( f ，叮，雪) 和 嚣( f ，鼋，香) 满足判据方程( 3 4 1 ) ，则相应对称性的变化称为系统m e i 对称 性的摄动 定义3 2 2 对于非完整力学系统( 3 j ) ，o 2 ) ，当受到小扰动肼：作 用时如果无限小群变换的生成元，( f ，口，尊) 和等( r ，口，雪) 满足判据方程 ( 3 4 1 ) 和限制方程( 3 4 2 ) ，则相应对称性的变化称为系统m e i 对称性的摄 动 定理3 2 3 对于受到小扰动彤作用的与非完整力学系统( 3 1 ) ， ( 3 1 3 ) 相应的完整系统( 3 1 5 ) ，如果无限小群变换的生成元f “( ，口，4 ) ， ( r ，口，口) 和规范函数g ：= g ：( ，叮，圣) 满足判据方程( 3 4 1 ) 和结构方程 ( 3 4 3 ) ，则系统存在z 阶n o e t h e r 型绝热不变量 k = ，【髓“+ 要( 等一乱，) + 哪】 ( 埘= 0 ，l ，z ) ，( 3 4 4 ) 叼 证明：将k 对时间f 求导数，利用式( 3 4 3 ) 和( 3 1 5 ) 可得 警彰+ l 【彬c 菇嘟 工等彤箐+ 等彤鼍+ 薏等彬等 吨盖鲁形争 n 4 s ， 这表明竺生正比于占州 定理3 2 4 对于受到小扰动形作用的非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 1 3 ) ， 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 如果无限小群变换的生成元f ”( ，q ，缈，嚣( f ，q ，圣) 和规范函数 g ：= 哪o ，q ，圣) 满足判据方程( 3 4 1 ) ，限制方程( 3 4 2 ) 和结构方程( 3 4 3 ) ， 则系统存在z 阶n o e t h e r 型绝热不变量( 3 4 4 ) 证明：定理3 2 4 的证明过程同定理3 2 3 的证明过程 3 3 非完整力学系统l e 对称性的摄动与h o j m a n 型绝热不变量 本节研究非完整力学系统l i e 对称性的摄动与h o j i n 趾型绝热不变量 给出未受扰动系统的“e 对称性导致的h 0 j m 肌型精确不变量并且基于 绝热不变量的概念，研究受扰动后系统“e 对称性的摄动，得到其导致的 一种新的h 0 j m 觚型绝热不变量 3 3 1 系统的l i e 对称性与h o j m a n 型精确不变量 对非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，引进特殊无限小群变换 t 。= ，g ：( f ) = 吼o ) + 彬( f ，q ，雪) ( 3 4 6 ) 这里用等表示未受扰动系统坐标的无限小群变换的生成元根据l i e 对 称性理论，非完整力学系统的运动微分方程( 3 6 ) 在无限小群变换( 3 4 6 ) 下 的不变性表为 嬲2 ( 玩) = 弼”) ， ( 3 4 7 ) 非完整约束( 3 1 ) 在无限小群变换( 3 4 6 ) 下的不变性表为 霸1 ( 厶) = o ， ( 3 4 8 ) 其中 x 0 1 ) = 等杀+ ( 面d 白o 瓦a ， ( 3 4 9 ) x 0 2 ) = 础+ ( d f d 旷d - o ) 瓦a ( 3 5 。) 展开方程( 3 4 7 ) ，我们有 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 石d 五d 白- o = 鼍和a g d ( 3 5 1 ) 方程( 3 4 7 ) 或( 3 5 1 ) 称为非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 在无限小群变换 ( 3 4 6 ) 下的l i e 对称性的确定方程，方程( 3 4 8 ) 称为限制方程 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 相应的完整系统( 3 6 ) 如果无限小 群变换( 3 4 6 ) 的生成元岔满足确定方程( 3 5 d ，则相应的对称性为系统的 l i e 对称性 对于非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，如果无限小群变换( 3 4 6 ) 的生成元 等满足确定方程( 3 5 1 ) 和限制方程( 3 4 8 ) ，则相应的对称性为系统的“e 对称性 定理3 3 1 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ( 3 2 ) 相应的完整系统( 3 ，6 ) ， 如果无限小群变换( 3 4 6 ) 的生成元等满足确定方程( 3 5 1 ) ，且存在某函数 o = 矿( ，叮，口) 使得 瓦o a , + 昙l n ，= o ， ( 3 5 2 ) 则系统的l i e 对称性直接导致h o j n m 型精确不变量【2 町 如。= 7 1 瓦0 以。嚣o ) + 7 1 瓦o 。面d - 一o ) = ，研 ( 3 5 3 ) 定理3 3 2 对于非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，如果无限小群变换 0 4 6 ) 的生成元g 满足确定方程( 3 5 1 ) 以及限制方程( 3 4 8 ) ，且存在某函数 矿= o ( r ，口，圣) 使得方程( 3 5 2 ) 成立，则系统的l i e 对称性直接导致 n o j m a n 型精确不变量( 3 5 3 ) t 2 叼 3 3 2 系统i _ i e 对称性的摄动与h o j m a n 型绝热不变量 假设非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 受到小干扰力s 形= 占形( f ，叮，雷) 的作 用，其中占为小参数，形为相应的广义力则运动微分方程( 3 2 ) ，( 3 3 ) ， ( 3 5 ) 和( 3 6 ) 分别变为方程( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文 摄动与绝热不变量理论 在小扰动的作用下，系统原有的对称性与不变量相应地会发生改变 假设扰动后的无限小生成元( f ，仉圣) 是在系统无扰动的对称性变换生成 元基础上发生的小摄动，有 善= 掣+ 8 彰+ 占2 等+ ( 3 5 4 ) 无限小群变换变为 t = f ， g ：( ，) = 吼o ) + 嚷( ，吼圣) ( 3 5 5 ) 受扰动后的系统l i e 对称性的确定方程及限制方程分别变为 x ( 2 ( 玩) ：m 心) + e z ( i 牟彤) ， ( 3 5 6 ) x 1 ( 厶) = o ，( 3 5 7 ) 其中 ) = 杀+ ( 面d 鼻瓦0 ， ( 3 5 8 ) 舻= 一+ ( 石d 石d 缶瓦0 ( 3 5 9 ) 展开方程( 3 5 6 ) ，我们有 五d 面d = ) + 以m ( 等形) = 磊玺+ 面o a , 五2 t 吼_ + 毒( 鲁彤m ( d 0 a w ( 3 6 0 ) 将式( 3 5 4 ) 和( 3 2 4 ) 代入确定方程( 3 6 0 ) ，并比较等号两边矿的系数可得 昙寻等+ - x - w , g a 面玑十l + 面l - x - w n 簖；一- , ) + i a j r 形南( 等彤簪 2 嚣玺+ 瓦o a t s 五 d 钉“m + 等形等玺+ 硪0 i a s t 彤) 第3 苹非完整力学系统对称性的 ! 垦互塑盔兰! 兰查! 堡圭丝塞塑垫兰丝垫至壅量里笙 + ( 导) 要o q k 净t , , 彬) + 等形等万0 - i a j r 彤) = 硝( q ) + 职1 挚彤) ( s ，t ，f = 1 , 2 ，”) ( 3 6 1 ) 同理将式( 3 5 4 ) 和( 3 2 4 ) 代入限制方程( 3 5 孔并比较等号两边矿的系数 可得 等薏+ 瓦c o f p 面 d 钆m + 等形等甏= 础( 厶) i o ( 3 6 2 ) 这里 础( i ) 一- - 等毒+ 哇嚣，毒+ 等彤筹毒 ， 因为在式( 3 5 4 ) q ，六所含最小级数的项为等，所以这里当m = o 时， 嚣。1 和等。2 不存在我们记为：当所= 0 时，等一= 嚣= 0 成立此时方 程( 3 6 1 ) 和( 3 6 2 ) 将分别回到方程( 3 5 1 ) 和( 3 4 8 ) 的形式同理，当坍= 1 时， 乒2 = 0 仍然成立 定义3 3 1 对于与非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) 相应的完整系统( 3 6 ) ， 当受到小扰动占形作用时如果无限小群变换的生成元c c t ，叮，尊) 满足确定 方程( 3 6 1 ) ，则相应对称性的变化称为系统l i e 对称性的摄动 定义3 3 2 对于非完整力学系统( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，当受到小扰动占形作 用时如果无限小群变换的生成元c ( t ，玑圣) 满足确定方程( 3 6 1 ) 以及限制 方程( 3 6 2 ) ，则相应对称性的变化称为系统l i e 对称性的摄动 定理3 3 3 对于受到小扰动占形作用的与非完整力学系统( 3 1 ) ， ( 3 1 3 ) 相应的完整系统( 3 1 6 ) ，如果无限小群变换的生成元c ( t ，舔口) 满足 确定方程( 3 6 1 ) ，且存在某函数= u ( t ，q , q ，力使得 誓+ 占昙净彤) + 旦l n s = o ( 3 6 4 ) ，钆、a “d t 1 ”7 则系统存在z 阶h o j r n a n 型绝热不变量 3 1 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 = 州去杀c 联，+ 去毒 鲁男，+ 寺毒。等彤簪， = o ，l ，z ) ( 3 6 5 ) 证明：将l m 对时间，求导数，并利用式( 3 2 4 ) ，我们有 誓岳哇考嚣，+ 石, 瓦a c y + 导c 去善等，+ 未杀孚 + 吾睦薏c 等彤簪+ 吾毒哙形筹， = 州吾础c h 力+ 占等形毒础c h 力+ 吾箬+ 占等形器 + 亘d t 毒监d t + 占等彬去竖d t + 旦d t 老( 鱼a 彤簪钧li 妁l 钧i a 自s 。8 4 l 。 + 占笠形姜( 鱼彤拿多 ( 3 6 6 ) a a 圣，鲍、a 。a 雪，“ 。 利用方程( 3 6 0 ) 可以得到如下关系 导川l i l 胪矾未l i l 以 ( 3 彻 方程( 3 6 0 ) 对圣，求偏导数并计算可得 嘉【昙昙量捌( 0 0 卅噜彤) 】 = 昙薏+ 面d 瓦0 石d 蠡_ 划1 ) ( 薏m 唔噜刚 = 0 ( 3 6 s ) 将式( 3 5 4 ) 和式( 3 2 4 ) 代入方程( 3 6 7 ) ，并比较等号两边，的系数，我们得 到 昙c 等黔等形毒学，+ 吾学争 + 等毒等等形等m - 2 ， ：岔杀昙h p + 警矗昙h p + 等形筹杀昙l i l + 素会啊警+ 等毒哙学 + 等彤等矗c 等弼警 3 石 利用式( 3 6 3 ) ，方程( 3 6 9 ) 可简洁地表示为 鲁x o n 肋+ 誓形毒嬲- 恤 卅( 鲁l n 加x o ) 每形警。 q 7 同理将式( 3 5 4 ) 和式( 3 2 4 ) 代入方程( 3 6 8 ) ，并比较等号两边，的系数可 吾筹+ 等形磊2m - i + 吾毒兰等+ 等形去鲁 + 吾彘c 等彤簪+ 等形彘怠形等， 钟( 静越- 【彘噜阱o 7 将方程( 3 7 0 ) 和( 3 7 1 ) 代入式( 3 6 6 ) ，利用方程( 3 6 4 ) 我们得到 訾= 州口等形杀础m 一等形云硭m 脚1 1 占硝，譬彤警一础- e 嘭导十碟卜_ 驴 中国石油大学( 华东) 硕士论文 3 摄动与绝热不变量理论 弟草非元整力学糸统对称性明 嘏c 等卅p 等彬器一等形器， 巾笠a 形去监d t 一笠a 形矗型d t 】 i 钧t 钧ii 钧i 钧s 。 巾等彬去c 等彤学一等形去c 等彤争， = 一吁a j r 形毒哪咖等+ 毒警+ 毒c 等彬学， 叫i ) ( 等彤等) _ 掣【毒( 等酬 ( 3 7 2 ) 这表明錾正比于占“ 山 当z = 0 时，彤不存在，此时受扰动的系统变为未受扰动时的系统 ( 3 1 ) 和( 3 6 ) 则式( 3 6 5 ) ，( 3 6 4 ) 分别变为式( 3 5 3 ) 和( 3 5 2 ) 即h o j m a n 型 绝热不变量在z = o 时，回到n o j m a n 型精确不变量的形式 定理3 3 4 对于受到小扰动占形作用的非完整力学系统( 3 1 ) ( 3 1 6 ) ， 如果无限小群变换的生成元第( f ，口，d 满足确定方程( 3 6 1 ) 以及限制方程 ( 3 6 2 ) ，且存在某函数a = a ( t ，窖雪，占) 使得方程( 3 6 4 ) 成立， 则系统存在z 阶n o j m a n 型绝热不变量( 3 6 5 ) i f 明：宦坪3 3 4 的证明讨稗同宦理3 3 3 的证明讨稗 3 4 算例 例1 广义坐标下，非完整力学系统 工习1 吼2 + 薛) ， 厂= 赢+ 6 魄一b q 2 + ，= 0 ， 假设系统受到小扰动 f 3 7 3 ) ( 3 7 4 ) 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 f 彤= - s s m t ，占= 一占s f ， ( 3 7 5 ) 试研究该系统n o e t h 盯对称性的摄动及其导致的一阶n o e t h 盯型绝热不变 量 首先，求出未受扰动时系统n o e t h e r 对称性导致的n o e t h e r 型精确不 变量系统的运动微分方程为 磊= 五，q 2 = b t 2 ， ( 3 7 6 ) 由式( 3 7 3 ) ，( 3 7 4 ) 和( 3 7 6 ) 可得 力一南， ( 3 j 7 ) 于是方程( 3 7 6 ) 表为 磊= 一而1 ，q 2 = 一雨b t ( 3 7 8 ) 选取生成元 f o = 0 ，等= 一b t ，器= l ，( 3 7 9 ) 可以验证其满足n o c 吐l 盯等式( 3 8 ) 及限制方程( 3 1 2 ) ，因此生成元( 3 7 9 ) 是 系统n o e 也c r 对称性的生成元且有 诺= b q l ， ( 3 8 0 ) 系统存在n o e 吐财型精确不变量 如o = - 6 田l + 如+ 幻l = c d 册 ( 3 8 1 ) 其次，研究该系统受扰动后n o e 埘对称性的摄动及其导致的一阶 n o e t h e r 型绝热不变量我们有 s 等= - - 6 s i i l r ，占等一占c o s ，占等= 占鲁彤= 0 ( 3 8 2 ) 取生成元 f l = o ， 冒= 6 r ，美= l ， ( 3 8 3 ) 可以验证其满足受扰动后的n o 甜旧等式( 3 2 9 ) 及限制方程( 3 2 d ，因此生 成元( 3 8 3 ) 是受扰动后系统n o e t l 埘对称性的生成元由式( 3 2 9 ) 可得 第3 章非完整力学系统对称性的 中国石油大学( 华东) 硕士论文摄动与绝热不变量理论 吼= b q l + b t c o s t b s i n t + s i n t ，( 3 8 4 ) 由定理3 1 2 可得该受扰动后非完整力学系统的一阶n o e t h e r 型绝热不变 量 如l = 一6 f 磊+ 圣2 + b q i + f ( 一b t ( t 1 + 吼 + b q l + b t c o s t b s i n t + s i n t ) ( 3 8 5 ) 例2 广义坐标下，非完整力学系统 l = 去m ( 圣? + 匠+ 爵) 一m g q s ， ( 3 8 6 ) ，= 口卜篚一磊= o ，( 3 8 7 ) 假设系统受到小扰动 占= 一嘶，肼：= 西2 ，姗j = 一咄，( 3 8 8 ) 试研究该系统m e i 对称性的摄动及其导致的一阶n o e t h e r 型绝热不变量 首先，研究未受微扰时系统m e i 对称性导致的n o e t h e r 型精确不变量 系统的运动微分方程为 嘲l = 2 幻l ，( 3 8 9 ) m 2 = 2 砑2 ，( 3 9 0 ) m q 3 + 以g = - 2 幻3 ，( 3 9 1 ) 由式( 3 s 6 ) ，( 3 8 7 ) 和( 3 8 9 ) ( 3 9 1 ) 可得 a m g ， (392)4 t ) 3 一7 于是有 4 = 一号笋，4 = 一m ，g j q _ _ _ 3 _ 2 ，4 = 三孵 (393)2 地7 。2 尊3 3 。7 选取生成元 f o = o 等= = 0 ，等= 1 ， ( 3 9 4 ) 可以验证其满足m e i 对称性判据方程( 3 3 2 ) 及限制方程( 3 3 3 ) ，因此生成 元( 3 9 4 ) 是系统m e i 对称性的生成元将式( 3 9 4 ) 代入式( 3 3 4 ) ，可找到规 第3 章非完整力学系统对称性的 ! 里互鎏盔堂! 兰奎! 堡主丝奎堡垫兰丝垫至壅量里堡 范函数 g 品= 去昭， ( 3 9 5 ) 则未受扰动系统( 3 8 6 ) ，( 3 8 7 ) 的m e i 对称性导致n o e t h e r 型精确不变量 i n o = 喇3 + 啷= c 0 7 1 8 t ( 3 9 6 ) 其次，研究该系统受扰动后m e i 对称性的摄动及其导致的一阶 n o e t h e r 型绝热不变量取生成元 f l = o ，爿= 昆= o ，募= 1 ，( 3 9 7 ) 可以验证其满足受扰动后系统的m e i 对称性判据方程( 3 4 1 ) 及限制方程 ( 3 4 2 ) ，因此生成元( 3 9 7 ) 是该受扰动系统m e i 对称性的生成元由式 ( 3 4 3 ) 可得 吼= 去嚼+ 劬， ( 3 9 8 ) 由定理3 2 4 可得该受扰动后非完整力学系统的一阶n o e t h e r 型绝热不变 量 = 鸭+ 丢啷州坍蟊+ q 3 + l m g t ) ( 3 9 9 ) 例3 广义坐标下，非完整力学系统 l = - l 1 吼2 + z ) ， ( 3 1 0 0 ) f = 口2 一嘻= 0 ，( 3 1 0 1 ) 假设系统受到小扰动 占= 一e s i n t ，e = 一s c o s t ， ( 3 1 0 2 ) 试研究该系统l i e 对称性的摄动及其导致的一阶h o j m a n 型绝热不变量 首先，研究未受扰动时系统l i e 对称性导致的i - i o j m a n 型精确不变量 系统的运动微分方程为 磊= - t l ，玩= a ， 3 7 ( 3 t 0 3 ) 第3 苹非完整力学系统对称性的 里互塑盔堂! 兰查! 堡主堡茎塑垫量丝垫至壅量里堡 由式( 3 1 0 0 ) ，( 3 1 0 1 ) 和( 3 1 0 3 ) 可得 五= 南， ( 3 1 0 4 ) 于是方程( 3 1 0 3 ) 表为 萌一熹，玩= 南 ( 3 1 0 5 ) 选取生成元 并= o ，器= + 噍一q 2 ) 3 ，( 3 1 0 6 ) 可以验证其满足确定方程( 3 5 1 ) 及限制方程( 3 4 8 ) ，因此生成元( 3 1 0 6 ) 是 未受扰动非完整力学系统( 3 1 0 0 ) ，( 3 1 0 1 ) l i e 对称性的生成元由式( 3 5 1 ) 可得 a o = ( 1 + f 2 ) 啦，( 3 1 0 7 ) 根据定理3 3 2 系统存在h o j m a n 型精确不变量 o = 一3 ( 0 l + 晚一q 2 ) 2 = c o n s t ( 3 1 0 8 ) 其次，研究该系统受扰动后l i e 对称性的摄动及其导致的一阶 h o j m a n 型绝热不变量我们有 占等彤= - e s i n r ，占等一占删，s 等吸- - - - 6 等彤= 0 ( 3 1 0 9 ) 取生成元 鲁= o 皇= 3 ( 或+ t q 2 - q 0 2 t s i n t ，( 3 1 1 0 ) 可以验证其满足受扰动后系统的l i c 对称性确定方程( 3 6 1 ) 及限制方程 ( 3 6 2 ) ，因此生成元( 3 11 0 ) 是受扰动系统l i e 对称性的生成元由