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量子与经典对应 摘要 1 9 2 6 年，量子力学建立。迄今为止，量子力学取得了巨大的成功，还没有发 现有与其相违背的实验，但不是量子力学所有的基础性问题都己经很好的解决。 本文研究了量子力学的基本性问题中的两个具体问题。一个是海森堡对应原 理在半空间谐振子中的应用的问题。另一个问题是约束体系的量子哈密顿中涉及 到的算符次序问题。 在本文中，我们首先对于半空间谐振子给出了包括位置、动量算符及其平方 的矩阵元，定态上的不确定关系等等量子力学的基本结果。由于位置矩阵元的结 果较复杂，我们借助海森堡对应原理对半空间谐振子的位置矩阵元及其平方的矩 阵元给出了很好的近似表达式。 然后我们讨论了约束体系中的算符次序问题。对于非约束体系，量子力学 动能表达式为t = 形。b 2 ，其中只为笛卡尔动量算符，这一结论与坐标的选取 无关。但是，对于约束体系这一结论不再成立。当我们将二维椭球面嵌入三维平 直空间后，就可以在三维直角坐标系中描述在这个二维椭球面上的运动a 动能的 正确形式为t = ，( t y , z ) 。1 只，( x ，y , z ) 只，其中只是厄密的动量算符，( t y ，z ) z 开z 为坐标x ，y ，z 的非平凡函数。于是，我们在二维椭球约束体系中扁椭球和长椭 球情况下得到了函数- ，；( x ，y ，：) ，给出了动能算符的明确形式，并讨论了相关问题。 关键词：量子力学；半经典近似；海森堡对应原理；算符次序；厄密算符 硕士学位论文 a b s t r a c t t h eq u a n t u mm e c h a n i c sw a sf o u n d e di n19 2 6s i n c et h e n ，i th a sa c h i e v e dh u g e s u c c e s sa n dn oe x p e r i m e n tw eh a v ef o u n di sd i s o b e d i e n tw i t hi t h o w e v e ln o te v e r y f u n d a m e n t a l q u e n i o n i ss t u d i e de n o u g ha n d a d e q u a t e l y i nt h i sp a p e rt w oc o n c r e t ep r o b l e m sc o n c e r n e df u n d a m e n t a lq u e s t i o n si nq u a n t u m m e c h a n i c sa r ed i s c u s s e do n ei st h eu s eo ft h eh e i s e n b e r gc o r r e s p o n d e n c ef o rt h e h a r m o n i co s c i l l a t o ri nh a l fs p a c e t h eo t h e ri st h eo p e r a t o ro r d e r i n gp r o b l e mi nq u a n t u m h a m i t o no fc o n s t r a i n e ds y s t e m s f i r s t l y , t h ee l e m e n t a r yq u a n t u m m e c h a n i c a lr e s u l t sf o rt h eh a r m o n i co s c i l l a t o r i n h a l fs p a c ea r ec a r r i e do u tt h e s er e s u l t si n c l u d ee x p e c t a t i o nv a l u e s f o r p o s i t i o n ， m o m e n t u ma n dt h e i rs q u a r e ，t h eu n c e r t a i n t yr e l a t i o ni nt h ee l g e n s t a t e s ，e r e s i n c et h e r e s u l to f e x p e c t a t i o nv a l u ef o rp o s i t i o no f t h eh a r m o n i co s c i l l a t o ri nh a l fs p a c ei sq u i t e c o m p l i c a t e d ，t h eh e i s e n b e r gc o r r e s p o n d e n c ep r i n c i p l ei su s e dt og i v et h ea p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n sf o rp o s i t i o na n di t ss q u a r eo f t h eh a r m o n i co s c i l l a t o ri nh a l fs p a c e ，a n dt h e e x p r e s s i o n sp r o v et ob ev e r ya c c u r a t eb y n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s s e c o n d l y t h eo p e r a t o ro r d e r i n gp r o b l e m i n q u a n t u mh a m i t o n o fc o n s t r a i n e d s y s t e m si s d i s c u s s e d f o ra nu n c o n s t r a i n e ds y s t e m ，t h eq u a n t u mk i n e t i ce n e r g yo p e r a t o r c a nb ew r i t t e ni nt e r m so f r = 必 l b 2 w h e r e 只a f e c a r t e s i a nm o m e n t u m ，t h a ti s i r r e s p e c t i v eo f t h ec h o o s i n gi nc o o r d i n a t e b u t ，t h es a m er e s u l tc a n n o tb ea p p l i e dt ot h e c o n s t r a i n e d s y s t e m s i n c e t h em o t i o no na n e l l i p s o i d s u r f a c ei s r e p r e s e n t a b l e i n 3 - d i m e n s i o n a lc a r t e s i a nc o o r d i n a t e ，t h eq u a n t u m k i n e t i c o p e r a t o r t u r n st ob e 7 1 2 去胞舻) 。蹦( w ，：) 只，w h e r e c a r t e s i a nm o m e n t u m 只叭“。础h “ o p e r a t o r sa n df u n c t i o n sz ( x ，y ，= ) a r en o w n o n t r i v i a li nq u a n t u mm e c h a n i c ss ow e h a v et h ef u c t i o n s ，( 卫，y ，z ) a n dt h es p e c i f i cf o r mo f t h eq u a n t u m k i n e t i co p e r a t o ro n t h eo b l a t ee l l i p s o i ds u r f a c ea n dt h ep r o l a t ee l l i p s o i ds u r f a c e ，a n dw e a l s od i s c u s st h e i n t e r r e l a t e dp r o b l e m k e yw o r d s ：q u a n t u mm e c h a n i c s ；s e m i c l a s s i c a la p p r o x i m a t i o n ；h e i s e n b e r g c o r r e s p o n d e n c e ；o p e r a t o ro r d e r i n g ；h e r r n i t eo p e r a t o r i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：当女尼日期：2 呻f 年玉月孑侣 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 鸯嘏 专、睃移 日期：) o o j t 年如8 - b 日期：z m0 年r 、月矿日 硕士学位论文 第1 章绪论 在日常生活范围里，我们已经习惯于这样的概念，即：一个物体的性质，如 它的大小、重量、颜色、温度、表面积以及运动，全都可以从一物体到另一物体 以连续的方式变化。在各种形状、大小与颜色的苹果之间并无显著的等级。然 而，在原子范围内，事情是极不相同的。原子、粒子的性质，如它们的运动不具 有确定的轨道或速度，它们的能量和自旋并不总是显示出类似的连续变化，而是 常常相差一些离散的量。经典牛顿力学的一个假设是：物质的性质是可以连续变 化的。当物理学家们发现这个观念在原子范围内失效时，他们不得不设计一种全 新的力学体系量子力学。 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它是主要研究原 子、分子、凝聚态物质，以及原予核和基本粒子的结构、性质的基础理论。它与 相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理 论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。量子力 学足在旧量子论的基础上发展起来的。旧量子论包括普朗克的量子假说、爱因斯 坦的光量子理论和波尔的原子理论【l l 。 量子力学本身是在1 9 2 3 - - 1 9 2 6 年间建立起来的。 1 9 2 5 年，波恩、约当和海森堡抛弃了波尔的电子轨道概念及其有关的古典运 动学的量，发表了矩阵力学理论，认为观察者不能够同时确定某时刻电子在空间 的位置，也不能在轨道上跟踪它。 1 9 2 6 年。物理学家薛定谔把德布罗意的相位理论大大向前推进，建立了量子 力学的波动力学体系，找到了一个量子体系的物质波的运动方程，这就是我们熟 悉的薛定谔方程。 其后不久，薛定谔还证明了波动力学和矩阵力学的数学等价性；与此同时，玻 恩也做了大量工作，解释了波函数的意义。而冯诺依曼和狄拉克总结出了正则量 子化方案，该方案能够把描述古典力学的基本方程改造成为了量子力学方程。他 们所提出的量子力学新思想与波动力学相结合，建立起了完整的量子力学的理论 体系。 波恩等提出的量子力学形式可以称为代数形式。薛定谔提出的是局域形式 ( 微分形式) 。后来，费曼还提出过量子力学的整体形式( 积分形式) 。 尽管迄今为止所有的实验结果都支持量子力学，但却不是量子力学所有的基 础性问题都已经很好的解决。这其中最为大家所熟知的个例子就是爱因斯坦和 1 波尔之间的争论。爱因斯坦始终认为现有量子力学只是一个统计理论，不足以描 述统计系综中的单个系统，但是波尔却认为现行的量子力学理论已经完备的描述 了单个系统壮1 。这一争论的影响极其深远。这其中包括贝尔不等式的出现和实验 验证】。 本文研究了量子力学的基本性问题中的两个具体问题。一个是海森堡对应原 理在半空间谐振子中的应用的问题。另一个问题是约束体系的量子哈密顿中涉及 到的算符次序问题。下面，将先介绍海森堡对应原理在半空间谐振子中的应用的 问题，在第二章中我们将给出有关研究的具体细节。然后，绪论的第二部分将介 绍约束体系的量子哈密顿中涉及到的算符次序问题，而有关研究的具体细节我们 将在第三章中给出。 1 1 海森堡对应原理及其在半空间谐振子上的应用 海森堡对应原理最初的系统表述可见文献 5 9 ，与量子力学相容性的表述 可见文献 1 0 1 2 ，现代的表述可见文献 1 3 ，1 4 。早期利用海森堡对应原理主 要是用它来量子化经典体系。后来，海森堡对应原理曾用来计算各种不同势场中 量子力学矩阵元。 海森堡对应原理的基本表述指的是量子力学矩阵元( y 。( f ) 1 州虬( f ) ) 与经典力 学量厂( f ) 复数形式的f o u d e r 展开系数无之间的对应关系”l ： ( y 。( o l a f 。9 ) ) = ( + k i f l ) e x p i ( e 。一e ) t h * 五( n ) e x p ( i k c o ( n ) t ) ( 1 1 ) 其中国0 ) 为经典频率，五( 以) 、o j ( n ) 中的经典作用量，均用半经典符号j ( n ) 记 之。疋( 行) 不妨称为海森堡矩阵元。 近年来，海森堡对应原理吸引了广泛的注意，主要由于该原理在量子化经典 混沌体系时有很大的优越性，还由于高激发态r y d e r g 原子的研究要求有大量子 数时的量子力学的简捷表述o ”1 。 对简谐振子的研究已经有很长的历史 2 0 - 2 2 。1 9 2 6 年，薛定谔就对最简单的 高斯波包作了研究，该高斯波包是由谐振子平移得到( 实际上就是相干态) 。结 果表明，该高斯波包的中心像经典粒子一样做简谐振动，这一结果现在已经作为 谐振子运动的典型写入了教科书。而在文献中较多处理的是全空间谐振子，已 经有文献报道了海森堡对应原理在全空间谐振子体系中的应用【6 】。对于半空间谐 振子，文献中则较少提及。本文的第二章节是应用海森堡对应原理研究半空间谐 振子的运动，然后用数值方法比较了半空间谐振子的量子力学矩阵元和海森堡矩 阵元【2 4 】。 硕士学位论文 1 2 约束体系量子哈密顿中算符次序问题 量子力学理论最基本的问题就是量子化。但是，量子化本身在理论上却不是 一个完全解决了的理论问题。狄拉克指出：i e n 量子化只适用力学坐标和动量对 应直角坐标的情况，通常的正则量子化应用于约束体系时变得很繁琐 2 5 - 2 7 1 。即使 对非约束体系，李政道评述道：“在一个确定的量子力学的物理系统中，算符相 乘的次序应如何决定，要看计算结果是否与实验相符。由此来决定那一个系统的 正确的哈密顿函数”【2 8 】。 正则量子化指的是，在经典力学中，笛卡尔坐标吼及其相应的动量p ，满足泊 松括号； p ，q ，j 1( 1 2 ) 这个关系在量子力学中变为如下对易关系： b ，q ，j _ 一i h 屯( 1 3 ) 在量子力学里中，力学量都是用厄密算符表示的。于是，i e n 坐标吼和动量p ，也 应该是厄密算符。 哈密顿量作为正则坐标与正则动量的函数，在经典理论与在量子理论中是不 完全一样的。量子力学动能算符总可写成口”： r = 一二l v 2f 14 1 2 m 对于这一式子的正确性是毋庸质疑的。在正则量子化的框架内，它可以由如下两 种方式导出： 方式一：首先在直角坐标中写出： r = 二p ? ( 15 )2m 掣 然后量子化动量p ，= 一i h o m 。，再利用坐标变换变到合适的坐标下。 方式二：在k l e i n e r t 构造的哈密顿中，得”0 】： ，一h2善(g-l4酉(。，gi22m g ”苦，g 4 ) ( 1 s ) 爿、。却。 。 ( 1 4 ) ( 15 ) 两式和( 1 6 ) 是完全等价的。不幸的是，只有对非约束体系，动能算符 ( 1 5 ) 和( 1 6 ) 中的动量算符是满足厄密性要求的。对约束体系来说，不能要求( 1 5 ) 和( 16 ) 式中的动量算符仍然是厄密算符。 以二维约束体系为例来说明这一问题。二维约束体系上的运动，就是一个曲 面上的运动。需要两个参量来对这个曲面进行曲面化( 例如甜，v ) 。举一个简 单的例子如下：球面转子是一个二维约束体系，球面转子动量算符的z 分量p ；可 以写成如下形式： 量子与经典对应 n ：m 拿 刊方( 业业刍扣c o ，s _ _ _ o a r刍d ，d 口 ( 17 ) 其中对，的导数部分s i n 8 c o s 9 善消失，而正是这一项的消失使得p 。不再厄密。 凹 这在物理上是不能令人满意的。在经典力学中，( 15 ) 式是确定无疑的。而在量子 力学中，我们应当要求一个类似但有物理意义的式子与( 1 5 ) 式对应。在( 16 ) 式 中，如果考虑到算符的次序问题，p ，原来可以是厄密的。由此，我们猜测应当代 之以下式p 1 】： 丁= 圭了_ ，( x ，y ，z ) 只 2 m 午，( x ，y ，：) “” ( 1 8 ) 其中，p 是厄密化之后的动量算符，z ，z ) 为待求函数。这是一个新的算符次 序问题。 在本文的第三章节中，我们将对在具体二维约束椭球体系包括扁椭球面与长 椭球面上的运动进行研究，给出这种情况下关系算符次序问题的待求函数 ，( t y ，：) 、厄密化的动能算符研及动能表达式，蒡讨论了相关问题a 4 第2 章半空间谐振子的量子力学和半经典近似 2 1 前言 简谐运动广泛存在于自然界中。在近代物理的各个领域中，线性谐振子常常 被用来作为量子客体的唯象模型，其研究有着广泛的应用背景”】。方面是因为 在选择恰当的坐标后，任何体系在平衡位置附近的小振动( 如分子的振动、晶格 的振动、原子核表面的振动、辐射场的振动等等) ，常常可以分解为若干彼此独 立的一维简谐振动，而一维简谐振动又恰好是少数几个可以严格精确求解的量子 力学问题之一口“。另一方面，也许是更重要的方面，是因为往往将简谐运动作为 复杂运动的初步近似，在谐振子基础上，根据微扰理论计算微扰力学量算符矩阵 元，可以得到要求精度内的各级修正，从而得以研究各种复杂运动【3 ”。所以，无 论在理论上或是在应用上，谐振子运动的研究都有其重要意义。国内许多学者对 金空间谐振子的细分领域进行了一系列的深入探讨，形成了一套相对较完善的理 论体系1 3 5 - 3 9 j 。 可是，在文献中对半空间谐振子的处理还不多。有些教材给出了半空间谐振 子体系的波函数和能级的解析结果。有些文献对半空间谐振子的其它一些性质进 行了数值运算【加】。 半空间谐振子是严格可解的简单量子力学体系之一。这一简单体系不仅具有 理论上的重要价值，还具有实际的意义。在理论上，半空间谐振子可能是为数极 少的具有等间距能级的量子体系之一。而等间距能级是体系的周期与体系的能量 无关的必要条件】。在实际应用中，磁场中异质结里电子垂直于磁场方向运动， 就可以用半空间中的谐振子来作近似处理【4 2 】。 本章运用厄密多项式的递推关系讨论了半空间谐振子，给出了包括位置、动 量算符及其平方的矩阵元、定态上的不确定关系等等。并利用海森堡对应原理进 一步给出了半空间谐振予的位置算符x 的矩阵元及其平方的近似表达式。最终， 对半空间谐振子的量子力学矩阵元和海森堡矩阵元进行数值比较，验证了海森堡 对应原理的有效性。 本章第二部分第l 小节处理了半空间谐振子的量子力学矩阵元；然后，在第 2 小节中我们给出了半空间谐振子对应的海森堡矩阵元；最后，第3 小节是用数 值方法比较了半空间谐振子的量子力学矩阵元和海森堡矩阵元，对于位置算符x 的矩阵元将其数值结果表示在图2 1 和图2 2 中。 e 量子与经典对应 2 2 半空间谐振子的研究 2 2 1 半空间谐振子的量子力学结果 全空间中谐振子归一化的定态波函数为阳】： ( x ) ：。e x p 卜! ! 当日。( 鲫) ( 21 ) 其中，口= 等生刀印= 0 1 2 ，3 ) ，为归一化系数【4 3 1 。：【善l i i ( 22 ) 石i 2 n 川 对于半空间 o ) 中谐振子，由于边界条件( 0 ) = 0 ，所以只有量子数为奇 数的定态波函数才会存在，可得其m ( m = 0 ，1 ，2 ，3 ) 个定态波函数归一化的 表达式为： 丸( 功：。e x p 【一! 璺当日。( 积) o )( 23 ) 其中。为归一化系数： 虬= 玎i 2 ( 2 m + 1 1 f 2 m4 - 1 1 1 第m 个定态的能级e 。为： 1 e 。= ( 2 m + 冲 下面计算位置算符x 的矩阵元z 。： = j ：九( 砷x 办( x 胁 当m ，时，与我们预想会出现简单结果的情况不一样， 后【附录a ，得到如下结果： h f l ，。、l + 1 ) 乙+ 寺，州+ 1 ) 】 一 其中，。，取值如下： 当m 1 。实际上，口和f 取值变化就定义了一系 列的扁椭球体。当9 - _ 。时，扁椭球体演变成半径为d f 的球体n 将方程改写成 叩、妒和f 参数形式： z = 口卵c o s p y2 a e r s i n 口 1 4 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 硕士学位论文 ：= d ( f 2 一1 ) ( 1 一叩2 )( 36 ) 参数叩 - 1 ，1 】，妒【o ，2 口】。 直角坐标y ，y 和z 的微分算符；，昙和昙在用叩、p 和f 做参量的坐标系 麟 o y ( 下表示为： 旦：塑旦+ 旦竺旦+ 塑旦 f 3 7 1 瓠ma q 瓠8 9 融瓦 旦：塑旦+ 塑旦+ 堡旦( 3 8 ) 砂砂却砂却砂骘 旦：塑旦+ 塑旦+ 塑旦f 3 9 ) a za qa za 9 8 z 因为在经典力学中是椭球体系是二维约束体系，r 、p 和f 只有两个是可以 独立变化的，于是我们取芎为常量，即它对应的微分因子祟= 祟= 粤= o 。上面 。 融洲 犯 所得的方程f 37 3 a c 3 r 一一s i n 马 ( 31 0 ) f 7 7d 妒 旦：塑旦+ 塑旦 却耐8 n 匆a 9 ：三( 型鲫昙+ 型刍 ( 3 1 1 ) a g 一q o qg 叶c 争 旦：塑旦+ 塑旦 出 出a 玎出a p 一! 翌鲨二1 2 1 1 二盘旦 一口 f 2 一町2a 7 7 ( 3 1 2 ) 将上面求得的微分算符昙、昙和导带入( 3 1 ) 式，可以给出正确的动能算符 傩 o y o 表达式如下所示： 舟2 r = 一二 2 m 亢2 ，a 2 a 2 a 2 、 一丽( 虿+ 万+ 可) 2 m 口2 g 2 7 2 )c 宰南c 叩而寺+ c 矿1 一 功 旦却i 塑缸盼i旦卸里；擎 警瓦： 量子与经典对应 由方程式组( 31 0 3 1 2 ) 给出的微分算符昙、_ = 0 - i 0 一，我们可以得到动量算 o x洲出 符只如下： 以叫嗉一等c 霄南一百s i n , p r 旁 b d yn f + 一，7 d 卵cd 胪m 昙：一堕( 壁磐晏+ 业昙) ( 3 1 5 ) 。 毋 n 5 一q o q g r ld 9 p ：嘞导：一堕煎丛攀三 ( 3 1 6 ) 出口 f 一r 。o r 注意到，式( 3 1 4 31 6 ) 中求得的动量算符a 为非厄密的动量算符。利用对称 化方法立容易求得厄密化后的笛卡尔动量算符只，。和只如下所示： i 口hj 堡学篙孕南+ 西1t 面0g 鲤华 一一s i n 够, _ 0 一土 兰g 里坐】) ( 31 7 ) g r 却2 9 。却6f 叩“ 。 。一鲁c 眢南+ 去岳g 眢， + 一c o s p i 0 + 圭【兰c o s p ) g ( 31 8 ) + 一i + i l i q0 9z gd 9q 只一詈c 丛产南吲1 2 9 南g 坐掣r ， 切 2 口、 f2 7 7 2a 玎。a 卵6f 2 2 。7、 其中，度规系数g = 口2 f 7 7 鱼塑- 1 ) 。 那么，用厄密化后的笛卡尔动量算符只表达式( 3 1 7 3 1 9 ) ，我们可以给出二维约 束体系扁椭球的量子化动能算符是： t = 去( p ：+ p ；+ p ：1 = 一羔志c c 芋南c 町扛孑寿+ 哮一鲁， + 止掣 ( 3 2 。) 将量子化动能算符表达式( 3 2 0 ) 与动能算符的经典对应表达式( 3 1 3 ) 相比较， 不难发现式( 32 吼匕式( 3 1 3 ) 多出一项羔瓣。这多余一项的存在 硕士学位论文 丁2 玄巧+ 巧+ p ) ( 3 2 1 ) 由文献 3 l 】，我们猜测动能算符依赖于笛卡尔力学量的正确形式： 卜- ! l 2 m 莩赢取t 只力鼻 ( 32 2 ) 用厄密化后笛卡尔动量算符只式( 31 7 3 1 9 ) ，给出动能算符的正确形式表达 式如下： ，一鼍砑再南( 柏 r 2 - 2 92 肟2 叫( 云c o s 妒( s 抽砌2 ) 募 - , 7 f 2c 。s 妒( 叩：一1 ) + ( ( 吲0 2 f z ) + r - 2 ( 叩z 一1 ) 要) 寻s i n 妒( c o s o ( 叩：一fz ) 娶堋：s i n 妒( 叩：一1 ) 要) ) ) 2 6 7 ：一f ：) ( ；( c 。s 妒( 玎：一f ：) 导+ 7 - 6 - 2s i n p ( 叩：一1 ) 拿) ( c o s t a 6 7 ：一f ：) 耍+ r e - 2s i 岬( ，7 ：一1 ) + c 一砉玎4 1 7 2 - 1 ，c f2 - 1 ) 筹筹一c 暑s i n 咖2 一f 2 ”s i n 咖2 一一嚣 + c 。s 咖2 - 1 ) 嚣) 品+ - w 2c o s q ，( 叩2 - t ) ( _ s i n 砌2 。一嚣 堋2c o s 妒( 7 2 - 1 ) 马善+ 2 ( ( 7 12 _ g 2071 o 7 1) 等 a 蠕2 ( 国4 - 2 刁7 ) 嚣0 州 1 ) 幻2f ) 争) ) ) ) ) ( 32 3 ) no h 于是，我们用动能算符式( 3 2 3 ) 将其作用到波函数上所得各项表达式的系数与 正确的动能算符表达式( 31 3 ) 将其作用到波函数上所得各项表达式的系数进行比 较，发现：两者对波函数求二阶偏导所得到的系数是完全相等的，而对波函数求 一阶偏导以及不求偏导时系数之间关系可以给出关于，的三个微分方程。方程组 表示如下： 1 7 怒c q ：_ q 2 ，掣一丽s i n2 q c r 2 _ ；2 ，掣 + 呈尝( 1 一叩z ) 重量! 誓蔓皇+ 兰尝( 1 - r 2 ) 重幽 ( r , 伊) 、 却正( r , p ) 、 7 o r + 焉( r 2 - 1 ) 等吩2 叫- o ( 3 2 4 ) 黑( 叩：一fz ) 星量盟一黑( 叩：一f ：) 掣 2 _ ( r , 妒) 77 0 o 2 ( 叩，p ) w 7 a p +尝(1-r2)地丝+尝(1-r2)掣婴o ( 7 7 ，伊) 、 。 r ( 7 7 ，妒) 。 却 + 杀( 卜1 ) 掣：o ( 3 2 5 ) 六( 叩) ”。却 ”7 怒盯f ) 掣+ 丽c o s 2 9 t - 2 - - f 2 ) 掣 + 磐( 1 - r 2 ) 业也一磐( 1 - q2 ) 掣婴：o ( 32 6 ) 2 f , ( 刁，p ) 、 c g r 2 a ( ，7 ，妒) 、 。 a 叩 、 。 将这个微分方程组分离变量，令： z = x 1 ( 叩) l ) ( 32 7 ) 五= x 2 0 7 ) ) y 2 ( 妒)( 32 8 ) 正= x 3 )( 3 2 9 ) 于是，方程组( 3 2 4 3 2 6 ) 改写为： 2 c o s 2 妒( 1 - r 2 ) x 删r ( x ) + 2 ws i n 2 o ( i - r 2 ) 鬻吻 l - r 2 丽x y ( x ) + s 们妒( r 2 _ q 2 ) 端- s m 妒( r 2 _ 2 ) 端吖鸭2 - 0 ( 3 3 0 ) 帕娜o s 妒( 1 - 1 7 2 ) 器喘2 s m 卿s 硼吖) 器 + s i n 2 衙誓) 鬻+ c o s 2 砌2f ，y 删y 2 ( 万q t ) 枷 ( 3 3 1 ) c o s 2 9 ( 7 7 4 - - 2 r = + 1 ) 器怫2s i l l 2 p ( r 4 - - 2 叩2 + 1 ) 器 州f 私产1 ) 器一s i n 卿s 撕4 0 和f 1 。实际上，口和f 取值变化就定y t 一系列的长椭球体。当f 斗m 时，长椭球体演变成半径为口f 的球体a 将方程改写 成r 、p 和f 参数形式： r = d g 2 1 ) ( 1 - r 2 ) c o s _ 5 p ( 3 4 5 ) y = 口( f 2 一i ) 0 一叩2 ) s i n p ( 34 6 ) z = a r ( 3 4 7 ) 参数r 卜1 , 1 】，妒【o ，2 r e 】 直角坐标芏，y 和：的微分算符兰、晏和兰在用砰、垆和f 做参量的坐标系 靠洲 。z f 表不为： 8a n08 988 8 &良a 7 7 盘却叙以 aaa 7 7 aa 9 aa f 砖a q 谚如务a 5 匆 a a 叩a ，a 伊a a fa e z a z ( o r a za 母 a ：8 2 0 ( 34 8 ) ( 3 4 9 ) ( 35 0 ) 硕士学位论文 因为在经典力学中是椭球体系是二维约束体系，r 、妒和f 只有两个是可以 独立变化的，于是我们取f 为常量，即它对应的微分因子祟= 李= 冬：o 。上面 所得的方程f 3 4 8 35 0 ) 需改写为： 旦：旦亟+ 旦塑 西叻缸却玉 一1 ，c o s 驴叩( 叩2 一1 ) ( 1 一f 2 ) a 。d 、 f2 一玎2 a 7 7 一下；些坠i 兰) ( 35 1 ) ( 玎2 一1 ) ( 1 一f 2 ) a 9 。 旦：旦塑+ 旦鲤 砂却砂a 妒砂 1 ，s i n 伊叩( 叩2 1 ) ( 1 一f 2 ) a i 。一一 f 2 一蟹2却 + 下害妥当 ( 35 2 ) ( 可2 1 ) ( 1 一芎2 ) d p 旦：旦塑+ 旦望 却& a p 出 ：三血三1 2 旦f 35 3 ) 口r 2 一f 2a 叮 将上面得到的微分算符导、昙和导带入( 31 ) 式，求得正确的动能算符表达 式如下所示： 7 ：一旦 2 m h 2疗2e 2方2 、 一丽丽+ 矿+ 拶 一h2瓦岛co-r22m ，寺口2 ( f2 一叩2 ) 、a 叮、。a 叩 + c 奇+ 寿争 5 4 ， 由方程式组( 3 5 1 _ 3 5 3 ) 给出的微分算符昙、言和量，我们可以得到动量算 符只如下： 2 l 量子与经典对应 p x 2 一m _ = i 口h ( _ r c o s 4 产( r ；- 可l 。) ( 1 - f2 ) d a 万+ 丽j ( r 2 等蓊旁( 3 s s ) 口 f 一可。d 叩一1 、r 1 一f2 ) a 妒 、 。 p v = 一j 凡= 一 ：堕f 型! 竺望二! ! ! ! 二鱼旦一! 竺! 堡马 一日。 f 2 一刁2 o r 而2 一1 ) ( 卜f2 ) 却 p ：= 一i h 导= 一 。= 塑熊二! ! 旦 df 2 一叩2 a 叩 ( 35 6 ) ( 35 7 ) 注意到，式( 35 4 3 5 6 ) 中求得的动量算符p i 为非j 巳凿明动堂舁付，7 f u 用羽孙 化方法华容易求得厄密化后的笛卡尔动量算符：! ! ! 竺下： 只竺。了-1)(1-92)cos妒aa1 7a r + 三2 9 0 0 7 1 9 也睾学r l 螋 、 c 一f 一 十靠斋品+ 瓦1c 品g 丽南 。5 8 + 丽f 菰f 蚕面十瓦。面s 丽严菰f 万川 。 。=iih(_77sin(p4(r2-i)(i-gz)+一1【苦grsinp、(q2_-do-g：)q2rl 07 7 2 9 一 。y 一口、f 2 2a 叩。 。 一而考蒜品一去c 茜g 丽南d 。5 一而f 菰i 秀面一万。面8 丽严面f 孬川 。 p 等c 僻南+ 去茜g 智， 6 其中，度规系数占= 口：抓孑= 孑而。 那么，用厄密化后的笛卡尔动量算符p 式( 3 5 8 3 6 0 ) ，我们可以给出= 维约束体 系长椭球中的量子化动能算符是： t = t 哎+ p ；+ 霉) z m 一2 舻, a ( d 1 - r = ) 7 - 7 a 们寿+ ( 击+ 者争 一 吼”7 7 7 丽7h l - 叩2 。f 2 1 却2 7 生：熊= 垄：! ! ： 2 m4 a 2 g 2 一叩2 ) ( f2 1 ) r 3 6 1 ) 将量子化动能算符表达式( 3 6 1 ) 与动能算符的正确表达式( 3 5 4 ) 相比较，不 难发现越6 1 煳( 3 5 4 ) 多出一项丽h a 硒9 2 ( f r ：- 磊2 9 2 + 丽1 ) 2 。这多余一项的存在说 明动能算符不能写成下面的形式： 硕士学位论文 ，：l 2 m ( 36 2 ) 由又献 31 ，我们猜测动目算符依赖于笛卡尔力学量的正确形式： ，= 一1 2 mf z - - a 赢讹舻) 只 (3-63)y，z ( x ，：) “”“ 、 用厄密化后笛卡尔动量算符只式( 3 5 8 3 6 0 ) ，给出动能算符的正确形式表达 式为如下： r ：兰二一( f z ( 玎zz ：+ 1 ) ( 一_ 2c 。sp2 卜一m4az(r：-1)(r：-q：)3(gz_1)k-0(77-2q“)一万5p ( s i n 妒( 卵z 一一娶+ r c o s 。o ( 町：一1 ) ( f ：一1 ) 篓) + ( ( ( 叩2 2 芎2 + 1 ) + 了12 叩( 叩2 1 ) ( f 2 1 ) 一s i n 妒( - c o s p ( 卵：一f ：) 要郴i n 妒( ，7 z 1 ) ( f ：一1 ) ) ) 一2 ( r 2 一一毒( - - c o s o ( r 2 一fz ) 兰+ 叩s i n 妒( q2 1 ) ( f2 一1 ) 吴) ( - c o s , p ( 叮：一f ：) 篓+ 叮s i n 妒( 玎z 一1 ) g ：1 ) 羁 + ( 一2 f ：( 矿一1 ) ，( f ：一1 ) 要吴+ ( 2 s i n 妒( 叩：一f ：) ( s i nc p ( 矿一芎：) 要 j 30 7 o q，i g 9 邯唧( r ：- 1 ) ( f 2 - 1 ) 势毒+ r c o s o ( * 7 2 - 1 ) ( 6 2 - 1 ) ( s i 咧7 7 2 2 _ f 石l 邯o s 妒0 7 2 - 1 _ 1 ) 嘉q ( 一( r 2 _ _ 2 0) 2 鲁行d 卵0 p + ( 7 7 2 1 ) g - 2 一1 ) ( ( 叩3 2 r 9 2 + 町) 旦o r + ( 叩2 1 ) ( 叩2 一f 2 ) 寺) ) ) ) ) ) ( 36 4 ) d 行 于是，我们用得到的动能算符式( 36 4 ) 将其作用到波函数上所得各项表达式的 系数与正确的动能算符表达式( 3 5 4 ) 将其作用到波函数上所得各项表达式的系数进 行比较，发现：两者对波函数求二阶偏导所得到的系数是完全相等的，而对波函 数求一阶偏导以及不求偏导时系数之间关系可以给出关于z 的三个微分方程。方 稗绸可以表示如下： 量子与经典对应 蒜吖) 掣一蔫酽百) 掣 +而2,7c o s z 妒l 町2 一v 2 f2 + q 2 1 ) 掣 ，【7 7 ，伊) d 叩 + 噤( 叩：_ r 2 - z + f z 一1 ) 掣 _ ，2 抑，妒) d 7 7 + _ 2 , 7 f f 2 ( 、叩2 1 ) 掣+ 2 f 2 - 1 72 ：o ( 36 5 ) ，l lc 1 7 揣酽们掣一揣们掣 + 糯c , t z _ , tz f f 2 + ，- 1 ，掣 + 薷c , 7 ：_ , 72 f f 2 + i f ：- l ，掣 + 赢c , 7 4 _ 2 叮z + 1 ，等一。 菊s i n2 刺p - r ：) 掣+ ：触c o s 2 c p ( 芎2 , 7 2 ) 掣 +而17s i n 2 p 盯百 产1 ) 掣 一丽,7s i n 2 q 盯彳 产1 ) 掣2 。 将这个微分方程组分离变量，令： z = x l ( r ) y y l ( 9 ，) = x 2 ( q ) y y 2 ( 妒) a = x 3 ( 叩) 于是，方程组( 3 6 5 3 6 7 ) 改写为： 一2 町c 。s 2 9 ( ，：f f ：_ 7 2 _ f - + 1 ) 而x r ( x ) 匈s i n2 妒( , 7 z ( 2 _ , 7 2 _ qz + 1 ) 豢 均2 彳f + 1 ) x 趟3 ( 。x ) ) _ s i n 2 妒卵) 鬻 + s i n 2 p ( , tz _ q 2 ) 器喀2 + l _ o) y z l 妒j 2 4 ( 3 6 6 ) ( 36 7 ) ( 3 6 8 ) ( 36 9 ) f 37 0 ) ( 37 1 ) 硕士学位论文 一7 2c o s 2 p ( 叩2 f 2 一矿 一叩2s i n 2 p ( 7 7 2 f 2 一r 2 ) 鬻 f + 1 ) 嚣 均4 9 2 _ 2 r f - g = + q 2 ) - r s i n ( o c o s p 铆z _ 6 2 ) 鬻 郴i n 卿s 耐f ) 器_ 0 一俩删村f 2 一矿一芎2 + 1 ) 而x r ( x ) 堋n 卿s 耐产扛 1 ) 裟 “n 2 哟2 ) 鬻一s 2 哟2f ) 鬻_ o 勋，= 器一舻哿m = 器 们( 加器棚( 加搿 代入方程组( 3 7 1 3 ，7 3 ) 。于是，方程组( 3 ，7 1 37 3 ) 改写为。 一2 叩c o s 2 妒( 叩2 f2 - r 2 一f 2 + 1 ) w l ( r ) 一2 r s i n2 妒( 7 7 2 f 2 - r 2 一f 2 + 1 ) w 2 ( r ) + 2 r ( r 2 f 2 一r 2 一f 2 + 1 ) w 3 ( r ) 一s i n2 ( 0 0 7 2 一q 2 ) “1 ( 妒) + s i n 2 l p (