（应用数学专业论文）李三超系的若干性质.pdf

摘要 李三亲源于微分几何中r i e m m 对称空间全测地流形，李代数及 j o r d a n 代数的研究 1 9 9 3 年，s u 8 l l m uo k u b o 给出李三超系的概念，并 应甩三元乘法解y a m g - b a 础e r 方程本文中，我们给出了李三超系基本定 义及性质；其次，研究了李三超系的同态与扩张及相应的定理，并构造了 一类新的李三超系最后，给出了一些重要的线性李三超系 关键词：李三超系，线性李三超系，同态，扩张 a b s t r a c t l i et r i p l es y s t e m sa r o s ei n i t i a l l yi ns t u d i e so fr i e m a n n i a ng e o m e t r y , t h et o t a l l yg e o d e s i cm a n i f o l d s l i ea l g e b r a sa n dj o r d a na l g e b r a s 1 n1 9 9 3 ， s u s u m uo k u b og a v et h ed e f i n i t i o no fl i et r i p l es u p e r s y s t e m sa n da p p l i e d t h e i rt r i p l ep r o d u c tt os o l v i n gy a n g - b a 础e re q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，s o m e d e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fl i et r i p l es u p e r s y s t e m sa r ef i r s t l yg i y e n t h e h o m o m o r p h i s ma n dt h ee x t e n s i o no fl i et r i p l es u p e r s y s t e ma n ds o m et h e - o r e m sa r es t u d i e d m o r e o v e r ，an e wl i et r i p l es u p e r s y s t e mi sc o n s t r u c t e d ， f i n a l l 弘s o m ei m p o r t a n tl i n e a rl i et r i p l es u p e r s y s t e m sa r e 舀y e n k e yw o r d s ：l i et r i p l es u p e r s y s t e m s ，l i n e a rl i et r i p l es u p e r s y s t e m s ，h o - m o m o r p h i s m ，e x t e n s i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名。鏖二坐 日期：建! 望! 量! 丛 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规 定，即t 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：整坐指导教师签名：碰虐生 日期：姚。丝日期，型z ：! ：! ! f 学位论文作者毕业后去向 通讯地址：长藿圣运旺叁眵删专 电话，苎! 望丝丝7 邮编；z 主翌鱼 1引言 设r 是域f 上的李三系，对于y ，z et ，可以定义l ( y ，z ) ，r ( y ，：) e n d t 如下： l ( u ，。) ( z ) = i y ，蜀z 】，r ( y ，z ) ( z ) = k ，y ，：】，( v z t ) 现在取工( z 丁) = & 。t l ( 2 ：i ，玑) ，即为所有l ( z ，y ) 线性张成的子空间， 则l ( t ，t ) 是e n d t 的一个子李代数 所谓李三系是一个线性空间丁，带有一个三元线性运算 ，】满足以 下条件v a ，b ，霸y ，2 t ， 1 ) 睁，。，y 】= o ； ( 1 ) 2 ) p ，y ，z 】+ 函，而叫+ z ，z ，鲥= o ； ( 2 ) 3 ) 【n ，b ，b ，y ，：】1 ；【o ，b ，z 1 ，y ，z 1 + p ，【0 ，b ，引，z 1 + ky ， a ，b ，z 】 ( 3 ) 李三系于2 0 世纪4 0 年代开始形成，经过几十年的发展，至今已是具 有丰富，深刻内容的数学分支李三系的发源地主要有微分几何、李代数 及j o r d a n 代数等，其出现与色c a f t a n 关于r i e m m a n 对称空间的工作有 密切的关系 1 李三系的微分几何背景 如果r i e m m a n 流形m 中存在等距变换s o 满足；s 3 = i d ；p o 是8 0 的 孤立不动点，则称点p o 为m 的对称中心，s o 为关于m 的中心对称如 果r i e m m a a 流形m 的每点都是对称中心，则称m 为r i e m m a n 对称空 间e u c l i d 空间，n 维球面、g r a s s m a n 流形及射影空间等这些常见的空 间都是i l i e m m a n 对称空间 r i e m m a n 对称空间m 的等距变换群i ( m ) 是可递作用于肘上的李 变换群，因而m 是齐性流形，于是m 型i ( m ) k ，其中k 是肘中某点 p o 的迷向子群，即k 一 i ( m ) i k ( p o ) = p o 如果8 0 是关于p o 的中心 对称，则由 e t 9 ) = s o g s o ，v g f ( m ) ， 定义的口是i ( m ) 的对合自同构，而且 k = 詹i ( m ) l e ( k ) = 后) 李群j ( m ) 的对合自同构8 ，诱导出i ( m ) 的李代数g 的对合自同构， 仍以目表示，则有 口苎t ；p ， 1 其中e = 扛g l e ( x ) = z 为k 的李代数，p = y g 目( y ) = 一y ) 同构于 m 在p o 处的切空间朋；。，m = e x p p 此时 此时p 对于三元运算 降，e t ，c p ，一t ，忙，p 】p 陋，y ，2 】= 【陋，们，2 ，z ，y ，z p 构成李三系 结合于，( m ) 及其对合自同构，丘c a r t a n 给出了实单李代数与r i e m o m a n 对称空间的分类 r i e m m a n 流形m 的子流形s 在其中的一点p 称为测地的，如果通过 p 点与s 相切的m 的测地线是s 的曲线如果m 的连通子流形s 在每 点都是测地的，换句话说，s 的测地线也是m 的测地线，则称s 为m 的 全测地子流形 如果s 是r i e m m a n 对称空间m 的全测地子流形，p o s m ，则 s 在p o 处的切空间s 。= s 是m 在p o 处的切空间a = p 的子空间，此 时s = e x 舻，而且对于三元运算k y ，z = 呤，外z ，s 也是李三系，称为p 的子( 李三) 系 反之，若s 是李三系p 的子系，则在s = e x 弘上有自然的微分结构使 其为m 的全测地子流形，且s 矗= s 2 李三系的李代数背景 李三系可自然地由李代数，李代数的对合自同构得到 在一个李代数g 中定义三元运算 k ，y ，z 】= 【z ， ，z 】，v x ，y ，。g ， 自然，g 对此三元运算构成李三系 如果口是李代数g 的对合自同构，则g 有分解 此时有 g = e + p ， t = $ g l o ( z ) = z ) ， p = y g l e ( y ) = - y t ，明t ，【p ，p 】t ，【p ，嘲冬p 2 在p 中定义三元运算 陋，y ，司= 【k ，鲥，刁，比，y ，z p 则p 成为李三系 特别，若g 是李代数，在 g og = ( z ，y ) l x ，y g 中定义线性变换口为 目( z ，y ) = ( y ，z ) ，v ( z ，y ) g og 则p 是g og 的对合自同构，此时( ( z ，一z ) | $ 9 ) 是李三系 3 李三系的j o r d a n 代数背景 j o r d a n 代数是与量子力学中介子场相关的一种代数体系所谓j o r d a n 代数是一个线性空间 其中有二元双线性运算t ，) 满足。 1 ) o ，6 ) = 6 ，o ) ，v a ，b ，； ( 4 ) 2 ) “o ，o ) ， o ，”) = o ， o ，n ) ，6 ) ) v a ，b j ( 5 ) 如所周知，如果a 是一个结合代数，定义 0 ，6 】= a b k ，v a ，b a ， 则a 对【，】成为李代数再定义 【n ，b ，c 】= 【o ，6 】，c 】，v a ，b ，c a 则月对【，】成为李三系 如果a 是一个结合代数，定义 和吣= a b + b a ，v a ，b a ， 则a 对( ，) 成为j o r d a n 代数 事实上， ，) 的交换性与双线性性是明显的又 。，o ) ，如，”) 一 2 a 2 ，a b + h a = 2 a 3 b + 2 a 2 b a + 2 a b a 2 + 2 b a 3 ； n ，“o ，n ) ，6 ) = 口，2 a 2 b + 2 b a 2 ) = 2 a 3 b + 2 a 2 b a + 2 a b a 2 + 2 b a 3 3 ( 6 ) 因而a 对 ，) 成为j o r d a n 代数这样的j o r d a n 代数称为特殊的j o r d a n 代数 存在非特殊的j o r d a n 代数 在特殊j o r d a n 代数( 以， ，) ) 中定义 f 0 b ，c = 6 ，c ) ，o ) 一“o ，c ) ，6 ) ，v a ，b ，c a 则a 对 ， 事实上， 成为李三系 我们有 ( 8 ) “6 ，c ，o ) 一“。，c ) ，6 ) = b c + 西，口) 一 a c + c a ，6 ) = a b c + o 幻+ b c a + c b a a c b c a b b a c b c a = 【o ，b ) c c k ，6 于是( a ，【， ) 就是由( 6 ) 定义的李三系 一般地，j o r d a n 代数( 4 ， ，) ) 对由( 8 ) 定义的三元运算，也构成李 三系 很明显，( 8 ) 定义的运算是三重线性的，而且 x ，z ，y 卜0 又由 。，y ，。 = ( ，。) ，z 一 z ，z ) ) ， y ，：，x 】= “z z ，y ) 一“，z ) ，z ) ， k ，z ，y 】= “y ，z ) z ) 一“，z ) ，z ， 知j e m o b i 等式成立也可以证明( 3 ) 成立，但比较麻烦，此处略去 李三超系的概念是在解y a n g b a x t e r 方程的过程中逐渐被引入的1 9 9 3 年，s u s u m uo k u b o 应用三元乘法解y a n g - b a x t e r 方程进而，在【7 】中， 他给出了李三超系和左变换的定义，并且给出了许多具体的例子在 8 中 他又讨论了q u a s i c l a s s i c a l 李三超系，并且在给出了很多例子后，将其应用 于解y a n g - b a x t e r 方程虽然李三超系的概念很新，但它已被普遍接受正 如李三系与李代数的关系一样，李三超系和李超代数也有着密切的联系物 理学家通常称李超代数为丕一阶化李代数通常说来，l i 是个l 6 一模， 是一个一般的李代数李代数的很多重要的性质对李超代数未必成立 例如，李代数的l i e 定理和l e v i 定理通常对李超代数都不成立又如，大 家熟知的，一个半单李代数可以分解成单李代数的直和，但这对李超代数 并不成立类似地，李三系的一些结论对李三超系也未必成立 本篇论文主要运用李三系、李代数和李超代数的知识及手法来研究李 三超系本文中，我们给出了李三超系基本定义及性质；其次，研究了李三 4 超系的同态与扩张及相应的定理，并构造了一类新的李三超系最后，给 出了一些重要的线性李三超系 5 2李三超系基本定义及性质 下文中所涉及的子系与理想均为一个李三超系的z 2 一阶化子空间 定义1 设域f 上z 2 - 阶化线性空间? ，有一三元线性运算( ， ( 即 tx tx t 到t 的三重线性映射) 满足以下条件： ( 1 ) f ( $ ，y ，z ) 三( a ( x ) + 口( ) + 口( z ) ) ( m o d 2 ) ； ( 2 ) 陋，y ，z 】= 一( 一1 ) ”b ，。，z 】； ( 3 ) ( 一1 ) ”睁，y ，：】+ ( 一1 ) v 2 阿，2 ，z + ( 一1 ) 。k ，z ，y = o ； ( 4 ) m ，口， z ，y ，。】 = f “，v 叫，y ，z 】+ ( 一1 ) ”) 2 k ，阻， ，y ，z 】 + ( 一1 ) ( ”+ ”) ( 2 + 纠 z ，y ，阻，口，z 】 v u ，u ，z ，y ，z t ，盯( 。) 表示z 的次数，在不混淆时，( 一1 ) 2 中的。表 示x 的次数 则称丁是一个李兰超系若沌，y ，。t 有陋，y ，z = 0 ，则称t 为交 换( a b e l ) 李三超系 例l 若口是李超代数，则g 对三元运算 陋，y ，z 1 = i x ，g l ，习，比，y ，z 玑 成为李三超系 定义2 若李三超系丁的z ：一阶化子空间s 满足慨司至s ，则称 s 为丁的子系 李三超系的子系有以下性质： 1 李三超系丁的子系s 仍是李三超系 2 若毋，是李三超系t 的子系，则岛ns 2 也是丁的子系 定义3 若李三超系t 的z 2 一阶化子空间，满足【，丁，刀，则称 j 为丁的理想 t ， o ) 都是丁的理想，称为平凡理想 李三超系的理想有以下性质； 1 李三超系丁的理想，是丁的子系，仍是李三超系 2 。若，是李三超系? 的理想，则【t ，刀j ，阿丁，引， 3 若，l ，2 是李三超系丁的理想，则 n 屯，1 + 如也是丁的理想 4 设，s 分别是李三超系r 的理想，子系则，+ s 为t 的子系 事实上， ，+ s ，+ s ，+ s 】至j + 【s ，只司j + s 5 。李三超系r 的子集 c ( t ) = z t l x ，y ，z 】= 0 ，z t ) 6 是f 的理想，称为t 的中心 显然c ( t ) 是丁的子空间，又z g ( 丁) ，协，甜，y ，z t 有【z ，y ，习，t ，叫= 【0 ，口，1 1 ) 】= 0 故c ( t ) 为r 的理想 6 若z c ( t ) ，则坳，z t ，有扛，y ，2 l = y ，z ，2 l = b ，：，卅= 0 定理1 设，是李三超系丁的理想记商空间t i 中元素为圣= o + ， 其中o t 在丁，中定义三元运算 【孟1 ，牙2 ，牙3 】_ 两_ ；i 瓦i ，垤t t i 则t 1 为李三超系，称为t 对j 的商李三起系 证先证式的合理性设五= 执，即玑一如i ，或y l e 戤( m o d i ) 因此由理想的性质2 知 y l ，抛，鲥 = 【x l + ( 可1 一z 1 ) ，x 2 十( y 2 一z 2 ) ，2 ：3 + ( y s z 3 ) 兰p l ，x 2 ，勋】( m o d l ) 即 瓦而= 面而 即* 式是合理的关于李三超系定义中的四个条件可以很容易地直接验证， 故t i 是李三超系 口 定理2 设丁是李三超系，则下列结论成立： ( 1 ) 丁( 1 ) = 阢t ，卅是丁的理想 ( 2 ) 若，是理想，则t i 交换当且仅当，2 r ( ”特别地，t t ( 1 ) 是 交换李三超系 证( 1 ) 由旷( ”，z 习c o _ i t , t ，t = t c ”，知丁( 1 ) 是理想 ( 2 ) t i 交换当且仅当比，y ，z t ，k ，y ，纠，当且仅当丁( 1 ) ， 又耽，y ，2 t ，睁，y ，z 丁( 1 ) i 故叫丁( 1 ) 是交换的 口 定义4 若李三超系丁非交换，且无非平凡理想，则称为单李三超系 若丁为单李三超系，则t ( i ) = t 例2 设g 是一个单李超代数，则g 作为李三超系，是单李三超系 事实上，设，是李三超系的理想，于是由理想的性质3 有 g ，g ，i = 【g ，i 】i ，即，为李超代数的理想因而，是平凡理想故g 是单李三超 系 定义5 若李三超系丁有非平凡理想，l ，毛使得t = ；如，则称t 是可分解的，此时记t = i i 0 1 2 ， 7 例3 若李超代数9 有理想直和分解g = 9 1e 驰则此分解也是李三超 系的理想直和分解 例4 单李三超系是不可分解的 若t = ，1 0 如，贝0f j l ，如，t 十【j 1 ，z 厶】+ 1 2 ，zj 1 = t o ) 定理3 设l ( 1 j k ) 是李三超系丁的理想，且 k t = 1 1 0 如o o i k = 0 易 j 2 1 则有以下结果： 1 ) i j 时，陬，乃，邪+ 陬，r ，易 = o ) 2 ) i i 的理想j 是丁的理想， 3 ) 若 有理想直和分解厶= 熏扬，则 证1 ) i 7 时， 【j ；，了 + 【五f 五nb = o ) 2 ) 由结论1 ) ，有j i ，f i 时，u d ，i i 卜 o ) 因此 r kk 1 z z7 1 = l 工o o ，o ，j l = z 厶， z l j = lj = 1 j 散，是丁的理想 3 ) 这是结论2 ) 的直接结果 8 口 k n o 触 。o = r 3李三超系的同态与扩张 定义1 设v = k o k 与w = w o o w i 是域f 上的李三超系，y 到w 的线性映射，满足：，( k ) w ：抑q ，7 z 2 则称，是y 到w 的，y 次映射 定义2 设乃与是是域f 上的李三超系，五到正的线性映射，满 足： ，( k ，y ，z 1 ) = 【，( z ) ，( ) ，f ( z ) l ，b 乞，y ，z 丑 则称，是五到乃的同态映射如果t 1 = t 2 = t ，则称，是丁的自同态 如果，还是线性同构映射，此时称，是李三超系的同构映射，并称乃 与死同构，记为乃垒疋如果n = t 2 = t ，则称，是r 的自同构 很明显，同态与同构有以下一些性质 1 若，是乃到正的同态，9 是乃到死的同态，则口j f 是乃到 瓦的同态 2 若，是五到乃的同构，则，- 1 是乃到正的同构 3 同构关系是等价关系 4 设，是李三系丁的理想，则r 到引j 的自然映射7 r 是李三超系 的同态映射， 定理1 设乃，死是李三超系，是乃到乃的同态映射，则有以 下结果t 1 ) ，( 五) 是乃的子系 2 ) k e r f 是乃的理想，且五k e r f 垒，( t z ) 3 ) 乃k e r f 的子系，理想与正的包含k e r f 的子系，理想一一对应 4 ) 设& 是乃的包含k e r f 的理想，则 丑& 兰，( 冗) ，( s 1 ) 证1 ) ，( 7 i ) 是丁2 的子空间，又v z ，y ，z 7 1 ，从 ，( z ) ，( ! ，) ，( z ) = ，( p ，y ，z 】) 知，( 乃) 是乃的子系 2 ) k e r f 是五的子空间，设z k e r f ，y ，z 乃，从，( 扛，y ，。】) = 【，( 石) ，( ) ，( 。) = 0 知 z ，y ，z k e r f ，故k e r f 是n 的理想设丌是乃 到丑k e r f 的自然映射，于是有霸k e r f 到，m ) 的线性同构映射，使 得f t r = f 而且v ”( z ) ，7 r ( g ) ，7 r ( z ) t t k e r ，1 有 ，( 【”( z ) ，”( y ) ，r ( z ) 】) 9 = 乃( k y ，：】) = ，( 【z ，9 ，z 】) = ，( z ) ，( 可) ，( z ) 】 = 咖( z ) ，丌( ) ，丌( z ) 故，是李三超系的同构 3 ) 由于t l k e r ，的子空间”( s ) 与噩的包含k e r f 的子空间。 ( s ) ) = s 一一对应，又 丌( z ) ，7 r ( ) ，7 r ( 。) 】_ ( ky ，z 】) ，故7 r ( s ) 为子系( 理想) 当 且仅当s 为子系( 理想) 4 ) 由于岛是五的理想，于是，( s 1 ) 是厂( 丑) 的理想设7 r 1 是，( 正) 到f ( t 。) i f ( s ，) 的自然同态，于是l r l f 是噩到，( 乃) ，( & ) 的同态，且 k e r ( t r l ，) = s 1 于是a & 笺，( 乃) ，( & ) 口 推论1 设，s 是李三超系丁的理想，子系则s n ，为s 的理想， 且( s + s ) s 型s ( s nj ) 推论21 1 ，如是丁的理想，且厶1 2 则t 1 2 兰( t i i ) ( 1 2 1 1 ) 这两个推论是明显的 定义3 设乃，死，正，正+ 1 f 都是域f 上的李三超系，又正是正 到正+ 1 ( i = 1 ，2 ，) 的同态，如果五( 正) = k e r ， + i ( i = 1 ，2 ，) ，则称 乃立乃垒正厶珥，一f i + l 为正合序列 在正合序列中 ( 正) = k e r 五+ 1 是丑+ ，的理想，且 + i ( 丑+ ) 笪互+ 1 矗( 正) 定义4 设n ，疋，t 是域f 上的李三超系，如果丑与r 的个理想 i 同构，t i 与t 2 同构，则称丁是疋通过乃的扩张，称为此扩张的 核 如果t 中有子代数s 使得t = s + s ，则称此扩张为非本质扩张 如果丁中有理想，1 使得t = 1 1 0 1 ，则称此扩张为平凡扩张 如果j 互c ( t ) ，则称此扩张为中心扩张 丁为死通过乃的扩张，即有矸到，的同构，可视为正到t 的同 态，而t i i 筌t 2 即有r 到咒的满同态9 使得k e r g = j 于是有正合序列 0 一乃上t 土疋一0 1 0 定理2 设瓦，是，t ，t ，都是域f 上的李三超系且? 是t 2 通过瓦 的扩张，则有以下结果； 1 ) 若r 与丁同构，则t 也是疋通过五的扩张 2 ) 若丁与丁都是乃通过丑的扩张，h 是丁到r 的同态，且有 可交换的同态图表 死上丁与疋 i d 土 工上i d 乃二r 孔 则h 是丁到r 的同构 证1 ) 由于丁是乃通过死的扩张，故有正合序列 0 一正上丁与死一0 再设 是丁到t 7 的同构于是h ，是五到丁7 的单同态，咖。是r 到乃 的满同态z k e r g h _ 1 当且仅当h - 1 ( z ) k e r g = ，( 乃) ，即o h f ( n ) 因此h f ( 孔) = k e r g h 因此t 7 是乃通过乃的扩张 2 ) 设z k e r h 互k e r ( 9 7 h ) = k e r g = ，( 乃) 故有y 丑，使得 z = ，( ) 于是，7 ( y ) = h f ( y ) = h ( x ) = 0 由于k e r ，= 0 ) ，故y 一0 于 是z = 0 ，因而k e r h = 0 ， 又由g ( ( 丁) ) = g ( t ) = t 2 ，于是g ( ( 丁) + k e r 9 7 ) = t 2 ，h ( 7 ) + k e r 9 7 k e r 9 7 ，因此h ( t ) 4 - k e rg ，= h ( t ) + ，7 ( n ) = r 又，7 ( 乃) = h f ( 乃) ( r ) ， 故h ( t ) = t h 是丁到丁7 的同构 口 定理3 设丁，正，乃是域尸上的李三超系，且丁是t 2 通过乃的扩 张，对应正合序列，则有以下结果： 1 ) 若丁是非本质扩张，即有子系s 使得t = s 阜，m ) 则9 i s 是s 到孔的同构( g l s ) 1 是死到丁的同态 2 ) 设9 1 是乃到丁的同态，且g g i = i d n ，则g l ( 疋) 是丁的子系， 且t = g l ( 疋) 阜，( 乃) 即丁是非本质扩张 证1 ) 因为s n ，( 丑) = s nk e r g = 0 ) ，g ( t ) = t 2 因此g l s 是s 到乃的线性同构，又g 是李三超系的同态，故g i s 是s 到死的李三超系 同构，( g l s ) _ 1 是死到丁的同态 2 ) 因为g l 是李三超系的同态，故吼( 乃) 是r 的子系又9 9 1 = i d t 2 ， 吼( 死) n ，( 正】= g l ( 正) 1 7 k e r g = o ) 于是t = 9 1 ( 死) 阜，( 五) 口 设丁是域f 上的李三超系，丁是t 的1 维中心扩张因此有t 的 l 维理想f c ，使得t f c 兰t 作为线性空间，可认为r = t + f c 定理4 设? 是域f 上的李三超系，f c 是域f 上的1 维线性空间 在t = t 4 - f c 中定义三元运算 ， o 如下t 肛1 + a l e ，t 2 + a 2 c ，t 3 + a 3 c o = t l ，t 2 t 3 + 妒( 1 ，t 2 ，t 3 ) c ， v t t ，a 。f ，i = 1 2 ，3 则t 为李三超系当且仅当妒满足下面条件， 1 ) 妒是丁上三重线性函数； 2 ) 妒( t 1 ，t l ，t 3 ) = 0 ，v t i ，t 3 丁； 3 ) ( - 1 ) t l t 3 妒( t 1 ，t 2 ，t 3 ) + ( 一1 ) 2 。z 妒( 如，t 3 ，t 1 ) + ( 一1 ) t 3 1 2 妒( 如，t l ，t 2 ) = 0 ， v t l ，t 2 ，t 3 r ； 4 ) 妒0 l ，t 2 【t 3 ，t 4 ，t s ) = 妒( p 1 ，t 2 ，t 3 ，t 4 ，f 5 ) + ( - 1 ) 2 z + 。2 ) t 3 妒( t 3 ，【t l ，t 2 ，t 4 ，t 5 ) + ( 一1 ) z + b ) ( t 3 + t 4 妒( t 3 ，t 4 ， t l ，t 2 ，5 ) ， 1 ，如，3 ，t 4 ，t 5 t 证根据李三超系的定义直接验算就可证明此定理 口 容易看出，此时f c c ( 于) ，且7 f c 兰t ，因而于是丁的1 维中心 扩张 4线性李三超系 设y 是域f 上的阶化线性空间，g t ( v ) 是y 的所有线性变换构成的 李超代数，于是g t ( v ) 对 【a ，b ，q = 【i a ，b 】，g 1 ，v a ，b ，c g l ( v ) 由李三超系的定义可得g t ( v ) 是李三超系 特别若d i m v = n 是有限的，则李超代数g l ( v ) 同构于，上所有n 阶 方阵g l ( n ，f ) 构成的李超代数，李三超系g t ( y ) 同构于f 上所有t l 阶方阵 g l ( n ，f ) 构成的李三超系 定义1 孪三超系g t ( v ) ( 或g l ( n f ) ) 的子系丁称为线性李三超系 定理1 设v 是域f 上的阶化线性空间则g t ( v ) 的子空间p 为线性 李三超系当且仅当v a ，b ，c 钆 【a ，b ，e 】= a b c 一( 一1 ) a b b a c 一( 一1 ) c ( 十b ) c a b + ( 一1 ) a 8 + c + c 口c b a 证由线性李三超系的定义即可得此定理 口 定理2 线性李超代数作为李三超系都是线性李三超系 证由线性李三超系的定义即可得此定理 口 为叙述方便，使用下面符号 r o w 。a ：表示矩阵a 的第i 行 c o l a ：表示矩阵a 的第i 列 e n t ，a ：表示矩阵a 的第i 行，第j 列处的元索 置f ：表示第i 行，第j 列处的元素为1 ，其余元素为o 的矩阵 定理3p = a g t ( n ，f ) e n t i j a = 0 ，( i j ) 兰0 ( m o d e ) 是线性李三 超系 证显然p 有基 日j f “一j ) 三1 ( r o o d 2 ) 注意到 e t l e k l e f3 = 6 ik 6 l ，e i 5 故j = k ，f = r 时。i 一8 = ( i k ) + ( k f ) + ( ? 一s ) i1 ( m o d 2 ) 因而p 是线性李三超系 口 p 中的上三角矩阵，下三角矩阵的子空间分别记为p + ，p 一，它们都是p 的子系 定理4 睁 a g t ( n ，f ) t e n t i j a = 0 ，0 一j ) 三1 ( r o o d 2 ) 是线性李超 代数，亦为李三超系 证显然t 有基 e , j l ( i j ) 兰0 ( r o o d 2 ) 注意到 e l3 e k t = 6 k e t 故j = k 时，f f = ( i k ) + ( k f ) ；0 ( m o d 2 ) 因而l 是线性李超代 数，故为李三超系口 t 中的上三角矩阵，下三角矩阵的子空间分别记为4 ，e 一，它们都是t 的子系 以下用f ”“表示仇行，n 列的矩阵的集合，这是m n 维线性空间 定理5g l ( n ，f ) 的子空间 p = ( 三吾) a f ，- ，b f a x ，p + g = 礼 是线性李三超系 证只要注意到 ( 兰a 1 ) ( 兰a 2 ) 一0a 1 8 2 a 3 b l a 2 8 3 0 知p 是线性李三超系 1 4 ( 兰吉) 参考文献 f l 】1n j a c o b s o n ，l i ea n dj o r d a nt r i p l es y s t e m s ，a m e r j m a t h ，7 1 ( 1 9 4 9 ) ，1 4 9 - 1 7 0 【2 】i b a r sa n dm g u n d a y d i n ，c o n s t r u c t i o no fl i ea l g e b r a sa n dl i es u p e r r d g e - b r a s 如mt e r n a r ya l g e r o s ，j m a t h p l a y s 2 0 ( 1 9 9 7 ) ，1 9 7 7 - 1 9 9 3 【3 】s b e r m a n ，o nd e r i v a t i o n so f l i ea l g e b r a s , c a n a d j m a t h ，2 8 ( 1 9 7 6 ) ，1 7 4 - 1 8 0 f 4 】v g ，k a c ，a u t o m o r p h i s mo f ，汛慨o r d e ro fs e m i s i m p l el i ea l g e b r a s ，f u n c t a n a l a p p l ，3 ( 1 9 6 9 ) ，2 5 2 2 5 4 5 】k m e y b e r g ，l e c t u r eo na l g e b r a sa n d7 y i p l es y s t e m s ，l e c t u r en o t e s ，v i r g i n i a u n i v c h a r l o t t e s v i l l e f 6 】a s a 宙ea n ddw i n t e r ，o nh o m o g e n e o u ss p a c e sa n dr e d u c t i v es u b a l g e b r a so ， s i m p l el i ea l g e b r a s ，t r a i l s a m e rm a t h s o c ，1 2 8 ( 1 9 6 7 ) ，1 4 2 - 1 4 7 ms u s u m uo k u b o ，p a r a s t a t i s t i c sa sl i e s u p e r t r i p l es y s t e m s ，j m a t h p h y s ， 3 5 ( 6 ) ，j u n e1 9 9 4 【8 】s u s u m uo k u b oa n dn o r i a k ik a m i y a ，q u a s i - c l a s s i c a ll i es u p e r a l g e b r aa n d l i es u p e r t r i p l es y s t e m s ，c o m m i nh t g ，v o t 3 0 ，n o 8 ( 2 0 0 2 ) ，3 8 2 5 - 3 8 5 0 【9 s u s u m uo k u b o ，t r i p l ep r o d u c t sa n dy a n 9 - b a x t e r e q u a t i o n 睢o r t h o g o n a la n d s y r n p l e c t i ct e r n a r ys 驷t e m s ，j m a t h p h y s ，3 4 ( 7 ) ，j u l y1 9 9 3 【1 0 】m s e h e u n e r t ，t h et h e o r yo fl i es u p e r a l g e b r a s ，s p i n g e r - v e r l a gb e r h nh e i d e l - b e r g ，1 9