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相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 摘要 随着近年来天文观测数据的日益精确和分析方法的日益完善，宇宙学得到 了极大的发展。i a 型超新星、宇宙微波背景辐射各向异性的探测和宇宙大尺度 结构等观测结果都表明，宇宙正在经历一个加速膨胀的阶段，这与宇宙甚早期 的短暂的加速膨胀不同。解释宇宙现今的加速膨胀现象便成为了宇宙学的一个 很重要的工作。人们认为宇宙中均匀地分布着一种有负压强并能为宇宙加速膨 胀带来源动力的奇异物质，称为暗能量，并提出了各种各样的暗能量模型。 本文首先介绍了现代宇宙学的背景知识，包括理论基础，标准宇宙学模 型的建立以及甚早期宇宙的暴胀。然后介绍了几种常见的宇宙学模型，并对 他们的演化做了简要讨论。接下来我们把全息暗能量和修正的c h a p l y g i n 气体 ( m c g ) 模型做了一种新的结合，探讨了用m c g 模型统一全息暗能量和暗 物质，并且全息暗能量和暗物质之间存在相互作用的情况。在此模型中，我 们详细地描述宇宙的演化情况，它是从减速膨胀向加速膨胀演化的。我们特 别讨论了相关宇宙学量的演化，如密度参数，全息暗能量的态参数以及减速 参数和转换红移。进一步，我们也给出了各宇宙学量的今天值，他们与近期 观测结果符合的比较好。并且这样的模型给出的结果能实现暗能量的态参数 从w - - 1 穿越w - - 1t ow x - 1p h a n t o m r e g i m e s f u r t h e r m o r e ，w ep u te m p h a s i su p o nt h ed i a g n o s t i c s f o ro u rm o d e l ，s t u d y t h ee v o l u t i o nt r a j e c t o r i e si ns t a t e f i n d e rs r ，q ra n d 伽一w p l a n e s , a n dg i v e t h ep r e s e n tv a l u e so ft h e m ，f r o mw h i c hw ec a nc l e a r l ys h o wt h a tt h ec o n s t a n t sc a n dbp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h ee v o l u t i o n 1 l i g hp r e c i s i o no b s e r v a t i o n sc o u l dd e t e r m i n e o fu n i v e r s e w eh o p et h a tt h ef u t u r e t h e s ep a r a m e t e r sp r e c i s e l y k e yw o r d s ：d a r ke n e r g y ；h o l o g r a p h i c ；m o d i f i e dc h a p l y g i ng a s ；i n t e r a c t i o n ； s t a t e f i n d e rp a r a m e t e r ；d i a g n o s t i c u 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论 文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发 表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均己在 论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等其他复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 签名日期：年月日 相互作用的修0 ：- c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 1引言 当我们提及“宇宙 一词时，总能想到其广袤、神秘而古老。而在物理学 领域里，它的具体含义是空间、时间和物质的总和，是物理学研究的最大对 象，是人类所面对的最巨大的客体。直观上看宇宙的分布并不均匀，因为恒星 和星系的分布有明显的结团性，但如果我们把空间的单位体积取得比超星系团 还大，计数测量表明，空间各处的星系数密度是接近均匀的。长久以来人们对 宇宙的研究也只是停留在精神和哲学领域，然而宇宙论只有在广义相对论诞生 以后才真正算得上是一门科学。宇宙学是一门研究宇宙大尺度结构和演化的学 科。1 9 1 7 年，爱因斯坦创建了广义相对论，宇宙学终于有了强大的理论基础， 从此才得以真正意义上的发展。随后，实验物理学家验证了：光谱线的引力红 移、太阳引起的光线偏转、水星近日点的进动三大e i n s t e i n 提出的经典实验，更 充分地奠定了广义相对论的重要物理地位【卜3 】。 广义相对论建立不久，爱因斯坦就利用它建立了静态宇宙模型，这 也是当时人们对宇宙最普遍的认识。可是紧随其后，美国天文学家e d w i n h u b b l e 就发现了宇宙膨胀的迹象，这一发现使人们彻底摆脱了传统认识的束 缚。1 9 2 3 年f r i e d m a n n 的膨胀宇宙模型被提出。宇宙在膨胀，这意味着宇宙中所 有星系都在彼此远离。1 9 2 9 年，h u b b l e 进一步发现了星系退行的定量规律，即 各星系的退行速度与距离成正比，这就是著名的哈勃定律。随着广义相对论的 不断完善，如果宇宙在膨胀，那么在有限的时间以前，宇宙中的所有物质必定 集中在一个极小的点。基于这一重要依据，将宇宙学原理和爱因斯坦场方程相 结合，人们就得到了所谓的标准宇宙学模型或大爆炸( b i gb a n g ) 模型。 标准宇宙学模型的成功之处在于三个方面。首先，它预言了宇宙的膨胀， 这给出了一个从大爆炸到现在大约1 3 7 亿年的宇宙演化历史。其次，它预言了 宇宙微波背景辐射，这是大爆炸后大约1 0 万年时自由电子与原子核结合成中性 原子而遗留下的退耦光子。第三，它预言了轻粒子的丰度，这是当宇宙的温度 降至大约1 m e v 时核合成的遗留物。这些预言在观测和实验上都得到了很好的 验证，并且被称为现代宇宙学的三大基石。然而，标准宇宙学模型也有它的 ，缺陷，主要包括视界疑难，平坦性疑难，结构起源疑难和超重粒子疑难等。 针对这些疑难问题，g u t h 于1 9 8 1 年提出了暴胀模型，巧妙地解决了标准宇宙学 模型的这些缺陷。他认为，在宇宙早期的一段很短暂的时间内，宇宙发生了 一次近指数的加速膨胀，称其为暴胀。暴胀的机制为标量场真空能的对称性 1 相互作用的修正c h a p l y 百n 气体中全息暗能量模型的研究 自发破缺，标量场发生真空相变，释放出巨大真空能，使宇宙在1 0 - 3 3 秒内膨 胀e 1 0 0 倍，而宇宙随后又经历重加热，这一过程使宇宙在暴胀前后的温度不变。 暴胀模型有两大重要贡献，首先，它使标准宇宙学模型无法解释的一系列疑难 得到自然解决，更重要的是它预言了今天宇宙的密度参数q o 竺1 。尽管暴胀宇 宙模型对宇宙学的发展产生了深刻而积极的影响，但遗憾的是至今没有理论上 的证据说明暴胀确实发生过。 7 0 年代，通过对漩涡星系的白矮星m 3 3 旋转曲线的分析，人们认识到了宇 宙中绝大部分物质是不发光的，即我们通常所说的暗物质。1 9 9 8 年，超新星宇 宙学组( s c p ) 和高红移超新星组( h z s ) 几乎同时发现宇宙正在加速膨胀。 人们认为宇宙中均匀地分布着一种有负压强并能为宇宙加速膨胀带来源动力的 奇异物质，称为暗能量。近年来对i a 型超新星岫】、宇宙微波背景辐射各向异性 的探测【7 8 j 和宇宙大尺度结构p l l j 等观测结果，以及2 0 0 8 年公布的威尔金森各向 异性探测器( w m a p ) 和斯隆数字巡天( s d s s ) 等观测结果，精确地给出了 一系列重要的宇宙学参量的数据。结果表明，宇宙各部分成分所占的比例为： 暗能量约占7 3 ，是宇宙中最主要的成分，暗物质占2 3 ，重子物质仅占4 ， 即我们所能感知到的物质仅仅是宇宙极少的一部分。此外，s n e 与w m a p 5 的结 果相结合还指出，暗能量的态方程参数的今天值在一1 3 8 叫o - - 1 ；p h a n t o m 模型f 2 1 _ 2 3 】，它具有负的动能项，并且态方程参 数w 0 ，n p p + 劬 p c k = + 1 q = 1o rp = 几_ k = 0 【q 1o rp 0 ( p 十劬) 0 ，( 1 6 ) 因此我们需要让宇宙的总压强变成负的，且满勋 - - p 3 。暴胀时期，宇 宙处于真空能统治，态方程描述为w = 一1 。我们把宇宙经历的态方程满 足w = 一1 这样的时期称为d es i t t e r 阶段，在此阶段有p = 常数、毋= 常数，这 里研是暴胀期间的哈勃参数。因此，尺度因子的变化规律为 口。( e h k t 一如) ， ( 1 7 ) t i 代表暴胀开始的时间。它表明在真空为主阶段，宇宙是按指数律膨胀的。我 们以大统一破缺相变为例来看这阶段膨胀的剧烈程度，估出指数因子中何1 的 大小。用普通单位制表示，它是 月1 = 1 0 q 5 s 。 ( 1 8 ) 由此看来，如果真空为主阶段持续了1 0 3 3 秒，则在这短暂阶段中宇宙尺度因 子a 增大了e l o o 倍。这比标准模型在1 5 0 亿年内膨胀的倍数还多，所以人们把这种 惊人的膨胀叫暴胀。 如果我们考虑暴胀，那么在暴胀阶段宇宙以真空为主。真空能密度是个常 数，使得在这短暂阶段有 1 一扣口， ( 1 9 ) 1 1 一矗i 迅速减小。通常认为尺度因子。在暴胀阶段增大了4 3 个量级，那么1 1 一矗i 在这阶段就降低了8 6 个量级。从普朗克时刻算起，抵消掉暴胀前后上升的5 8 个 9 相互作用的修t e c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 量级，1 1 一丢l 还降低了2 8 个量级。这样一来，原来对宇宙初条件的苛刻要求就 没有了，平直性疑难也就不复存在了。 若宇宙曾在早期的某阶段发生过暴胀，视界疑难同样不存在了。如 图1 ( a ) ，如果没有暴胀，观测宇宙总比当时的视界大，而且越早大的越厉 害。前推到p l a n k 时刻，前者的线度是后者的1 0 2 8 倍。设想甚早期确发生过持 续a t = 1 0 0 h - 1 的暴胀，从图1 ( a ) 上清楚看到情况反过来了。观测宇宙在暴 胀前比当时的视界不再是大，而已是小了很多数量级，这样就没有疑难了。观 测宇宙范围内的密度和温度完全可能在暴胀前通过某种物理过程而均匀化。暴 涨后观测宇宙超出了视界，变成了内部各部分无法联系的系统，但是各部分已 均匀化的后果将保留下来。这既是背景辐射有各向同性的原因，也是今天宇宙 中各部分密度均匀的原因。 图1 ：暴胀对演化的影响。( a ) 暴胀对尺度变化的影响。( b ) 暴胀对温度的影响。 我们也可以通过图l ( b ) 看到宇宙温度的变化。除了重加热截断外，气体 的温度t 是与尺度因子口成反比的。在t 0 ，即要满足w - i 3 。我们知道，当宇宙中以辐射和相对 1 1 相互作用的修正c h 印l y 酉n 气体中全息暗能量模型的研究 论物质为主时，w = 1 3 ；而对于非相对论物质，伽= 0 。由此我们看到，如果 仅是建立在上述物质成分基础上，宇宙学模型与天文观测是不相符合的。如果 在肯定标准宇宙学模型的前提下，那么宇宙中就应该存在一种新的物质成分， 它具有负压强，并能使宇宙加速膨胀。这个新的物质成分就是暗能量，它在宇 宙成分中占有主导地位，并且它的状态方程应满足w 一1 3 。 i a 型超新星i 删、宇宙微波背景辐射各向异性的探测【7 ，8 和宇宙大尺度结 构 9 - 1 1 等观测结果，以及威尔金森各向异性探测器( w m a p ) 【1 2 ，1 3 】和斯隆数字 巡天( s d s s ) 等观测结果，精确地给出了一系列重要的宇宙学参量的数据。结 果表明，宇宙各部分成分所占的比例为：暗能量约占7 3 ，是宇宙中最主要的 成分，暗物质占2 3 ，重子物质仅占4 ，即我们所能感知到的物质仅仅是宇宙 极少的一部分。此外，s n e 与2 0 0 8 年w m a p 5 的结果相结合还指出，暗能量的态 方程参数的今天值在一1 3 8 训o - 0 8 6 1 2 ，1 3 】范围内。现在普遍认为，暗能量 在宇宙空间中均匀分布且不结团，且它的性质决定着我们宇宙的命运。 1 2 相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 3 常见的暗能量模型及其诊断 人们提出了越来越多的模型作为暗能量的候选者来解释当今宇宙的加速膨 胀。下面我们简单地介绍解释宇宙加速膨胀现象的几种常见的模型，并介绍不 同模型的区分与诊断的方法。 3 1宇宙学常数 3 1 1 宇宙学常数筒介 当人们发现了宇宙正在加速膨胀的事实时，为了解释这一现象，首先想 到的就是宇宙学常数f 1 4 ，1 5 】。因为在爱因斯坦最初建立的方程中，宇宙学常 数曾经出现其中。而宇宙学常数的引入却经历了相当长时间的波折和几次的 反复。爱因斯坦最初引入宇宙学常数的本意却是要得到一个稳定、静态的宇 宙。然而1 9 2 9 年哈勃定律的发现表明我们的宇宙在大尺度上不是静态的，从 而e i n s t e i n 弓i 进宇宙学项的原始动机不再成立，爱因斯坦方程中的宇宙学项被 摒弃。但是，当时用哈勃定律估算得到的宇宙年龄比地球还要小，因此一些 天文学家比如l e m a i t r e ，仍然坚持引进宇宙学项以解决宇宙年龄问题。后来宇 宙学项还被b o n d i ，h o y l e 等人用于构筑目前已被基本放弃的稳恒态宇宙模型 ( s t e a d ys t a t em o d e l ) 。随着观测精度的改善，到了二十世纪五十年代，由哈 勃参数的测定所给出的宇宙年龄与天体年龄之间的矛盾已大为缓和，而宇宙学 常数的价值再次遭到怀疑。在随后的几十年，宇宙学常数在理论和观测之间反 复游离徘徊，直到近几年来宇宙学的发展才又将宇宙学常数重新地摆在一个重 要的位地位。 接下来简要介绍一下宇宙学常数的引入。具体地，在爱因斯坦引力场方程 ( 3 ) 的基础上增加了一个宇宙项a 9 “。带有宇宙学常数的爱因斯坦场方程即为 1 吼y 一丢夕i r = 8 r a t , , y a 夕丘，( 2 1 ) 二 这里a 称为宇宙学常数，它提供的能量密度为肌= 丽a ，压强为m = 一鑫， 即能量密度是一个常数，态方程参数是w a = - 1 。结合宇宙中所存在的冷暗物 质，人们把这一模型称为l c d m ( 有时也写做人c d m ) 宇宙学模型。 1 3 相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 3 1 2宇宙学常数问题 由宇宙学常数得到的l c d m 模型不仅能够对当前宇宙的加速膨胀现象给予 解释，还能提供一个d es i t t e r 稳定宇宙。但宇宙学常数在理论上存在着一定的 困难。 ( 1 ) 如果把宇宙学常数看作是真空零点能，则观测给出的宇宙学常数要比 理论预期值一一普朗克能量密度p 1 0 7 a g e v 4 一一大约小1 2 0 个量级，这就是所 谓的旧的宇宙学常数问题( c o s m o l o g i c a lc o n s t a n tp r o b l e m ) 。 ( 2 ) 为什么暗能量密度与物质密度现在处于同一个量级，即肌一胁，这 就是所谓的巧合性问题( c o i n c i d e n c ep r o b l e m ) 【1 7 1 8 】。由于两者随宇宙时间的 演化不同，今天要想使它们处于同一量级，就必须在宇宙早期精调暗能量密度 到一个难以接受的程度，这就是所谓的精调问题( f i n e t u n i n gp r o b l e m ) 【1 6 】。而 巧合性问题和精调问题就构成了新的宇宙学常数问题。 为了缓和这些问题，可以假定态方程参数是随宇宙时间演化的量，而不是 一个常数。接下来介绍动力学演化的暗能量模型，首先就是标量场暗能量模 型。 3 2标量场暗畿量模型 宇宙学常数模型给出态方程是不随时间演化的，即叫a = - 1 。然而近 年来许多观测数据表明暗能量的态方程加很可能是随时间演化的。因此， 粒子物理中的标量场很自然地成为了暗能量的候选者。迄今为止，人们已 经提出了许多著名的标量场模型，如i q u i n t e s s e n c e ( 精质) ，p h a n t o m ( 幽 灵) ，q u i n t o m ( 精灵) ，k e s s e n c e ( 动能精质) ，t a c h y o n ( 快子) 等等。下 面我们来介绍这几种标量场模型，并讨论其态方程的演化。 3 2 1 q u i i l t e s s e n c e 模型 考虑一类空间均匀的标量场，在其自作用势中缓慢滚动因而提供了足够 的负压强以驱动宇宙加速膨胀，其机制与宇宙甚早期的暴胀过程的实现机 制( “暴胀子刀场) 是非常类似的。这种动力学暗能量标量场一般被称为 “q u i n t e s s e n c e 叫1 9 ，别。通常把它考虑成一个正则实标量场，在均匀一各向同性 1 4 相互作用的修正c h a p l y 百n 气体中全息暗能量模型的研究 的字宙模型中，它与引力最小耦合，冥拉格明日密度司写为： c2 秒p 钆咖巩咖一y ( ) ， 其中夕是度规鲰p 的逆，y ( ) 是场的势。由公式 一2 差饥c ， 可得到关于标量场西的能量动量张量表达式： t 肛v - - - - - g 咖o v 一乳y 吾夕口卢瓦如+ y ( ) 】， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 在平直的p r i e d m a n n 时空下，由方程( 2 4 ) 可以得至l j q u i n t e s s e n c e 的能量密度和 压强，分别为 砌：一p 。：丢函2 + y ( ) ，鳓：一矿 ：丢函2 一y ( ) 。 ( 2 5 ) 把方程( 2 5 ) 代入方程( 8 ) 可得 要：一竿【参2 一y ( 卅 ( 2 6 ) 五2 一丁一y 【钏。 l 驯 从方程( 2 6 ) 可知，宇宙加速膨胀需满足的条件是护 y ( ) 。而由方程( 2 5 ) 和态方程叫定义式，q u i n t e s s e c e 场的态方程参数为 郇三焉= 筹2 粥v 。 筋妒z +( 矽) ( 2 7 ) 利用宇宙加速膨胀的条件易2 y ( ) ，我们发现q u i n t e s s e n c e 描述的标量场的态 方程参数的范围是：- 1 蛳 一吾，可见当q u i n t e s s e n c e 标量场沿着较平缓的 势向下滚动时，其态方程可以小于一 ，因此可以驱动宇宙加速膨胀。 3 2 2p h a n t o m 模型 近期的观测数据表明，暗能量态参数取值范围是一1 3 3 叫 - 0 7 9 ，因此 无法排除w - 1 的可能。而q u i n t e s s e n c e 标量场模型显然无法满足这一点，于是 人们引入了这种所谓的p h a n t o m ( 幽灵) 暗能量模型【2 1 刮。在这一模型中，暗 能量的态方程参数小于一1 。由于普通的标量场模型无法提供满足w - 1 ，的暗 能量态方程，人们只能利用一个非正则标量场来实现动力学的幽灵暗能量，其 】5 相互作用的修正c h 印l y 舀n 气体中全息暗能量模型的研究 关键点是在拉式量的动能项前面添加一个负号。而正常情况下“负动能是不 可能存在的，所以p h a n t o m 模型又被成为“鬼场 。p h a n t o m 场与引力也有着 最小耦合，其拉氏量密度为 c = 一言9 p 瓯乱一y ( ) ， ( 2 8 ) 相应的能量密度和压强分别为 脚：一万咖0 2 + y ( ) ，p c = 一昙参2 一y ( 砂) 。 ( 2 9 ) 因而态方程参数为 旷虬p c 期。 ( 3 0 ) 根据方程( 3 0 ) ，显然p h a n t o m 场的态方程参数总是小于一1 。p h a n t o m 暗能量 的最大特点是其能量密度随着宇宙的膨胀而增大，因此当它主导宇宙之后，其 巨大的斥力效应会在有限的时间之内撕裂宇宙的时空。因此，这个模型因而预 测了宇宙的最终命运是大劈裂( b i gr i p ) 。 3 2 3 q u i n t o m 模型 近期的观测数据表明暗能量态方程在近期的演化中越过一1 。对于与引 力最小耦合的标量场理论，无论是q u i n t e s s e n c e 场还是p h a n t o m 场都无法给出 状态方程越过一1 的结果。张新民等人提q u i n t o m 模型 2 4 ，矧。q u i n t o m 模型的 最简单的标量场实现是构想暗能量由两种成分组成，一种是q u n t e s s e n c e 标量 场妒，另一种是p h a n t o m 标量场。随着宇宙的演化，q u i n t e s s e n c e 场的能量密度 衰减而p h a n t o m 场的能量密度增加，早期的q u i n t e s s e n c e 场占主导过渡到晚期 的p h a n t o m 场占主导，以此实现态方程从过去的大于一1 穿越到现在的小于一l 。 q u i n t o m 的拉氏量密度为 1 c = 专f ( t ) o p q o p q y ( q ) ， ( 3 1 ) 厶 其e l ( t ) 是一个与温度或标量场有关的无量纲参数。在宇宙演化的过程 中，当，( t ) 从正值变化到负值时，暗能量从q u i n t e s s e n c e 标量场的角色转换 到p h a n t o m 标量场的角色，即当f ( t ) = o 时，暗能量的态方程参数穿过宇宙学 常数边界。 1 6 相互作用的修正c h a p l y 酉n 气体中全息暗能量模型的研究 假设暗能量是由q u 毗e s s e n c e 场妒和p h a n t o m 场咖构成，则q u i n t o m 场的能量 密度和压强分别为 舳= 一三护+ 丢驴2 + y ( 咖) ，p q = 一去函2 + 丢眵2 一y ( 咖) ， ( 3 2 ) 其中y ( ，妒) 是q u i n t e s s e n c e 和p h a m o m 之间的相互作用势。相应的态方程参数 为 蛳芝p 加q 一等渊。 ， 表达式( 3 3 ) 表明，当驴2 函2 时，加q 一1 ；而当驴2 参2 时，w q q 咖，对于p h a n t o m 模型( 口 o ) ，o m ( x ) q 咖，因此模型为q u i n t e s s e n c e 型；而当c = 0 8 时，o r e ( z ) 在过去从 开始的大于q 咖演化为穿越q 咖，模型从q u i n t e s s e n c e 型演化为p h a n t o m 型。从此 图中我们也可以看到c 的不同值决定了宇宙不同的命运。 3 6小结 在本章中我们首先介绍了各种不同的暗能量模型。具体地，先对宇宙学常 数及其问题进行了介绍，然后把标量场暗能量模型、c h a p l y g i n 气体模型以及 全息暗能量模型进行了简要的归类，对他们的演化给出了必要的分析。最后， 作为区分不同暗能量的方法，我们给出了s t a t e f i n d e r 诊断和o m 诊断。下章中我 们主要讨论相互作用的m c g 中全息暗能量模型。 相互作用的修l 芷- c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 岜 e o 一一一一c = 0 8 - - - - - - 一c = 1 一一- 一c = 1 2 。- - 一， 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一： 一， 一7 l c d m z 图2 ：全息暗能量模型的o m 诊断。c = 0 8 ，1 ，1 2 。 4相互作用的m c c - , 中全息暗能量模型的研究 c h a p l y g i n 气体及其推广模型通常被作为暗物质和暗能量的统一模型。下 面我们根据文献f 3 7 ，3 8 】中对m c g 模型的讨论结果，进行一种新的尝试。我们 将m c g 模型视为暗物质和全息暗能量的统一模型，来讨论其中全息暗能量的 演化。在此模型中，全息暗能量和暗物质之间存在相互作用，而相互作用项也 以具体形式给出。在此模型中暗物质和全息暗能量之间相互作用的存在是必需 的，对此我们将做出进一步解释。 4 1相互作用的m c g 中全息暗能量模型的演化 考虑空间平直的f r w 宇宙由m c g 流体和重子物质m 组成，于是有 p w t = p m c g t - p b ，( 5 4 ) 这里能量密度p m g g 可以分解为暗物质( d m ) 和暗能量( d e ) ，即 p m o a = p x + p d m 2 3 ( 5 5 ) 相互作用的修t 芷- c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 并且触代表全息暗能量，其定义式由方程( 4 4 ) 给出。根据q x = 触p c 和p c = 3 赠日2 ，方程( 4 4 ) 变为 _ h r h 。志。 ( 5 6 ) 将未来事件视界的定义式( 4 4 ) 的方程两边对时间亡求导，得到 赢= a 厂一d t - 1 = 日r - 1 = j t a志乩 ( 5 7 ) 、sz x 由方程( 5 7 ) 和( 4 5 ) ，我们有 威= 一6 c 2 蟛巧3 赢= 一2 h ( 1 一妄瓦) 似， ( 5 8 ) 等价地， 政= - 2 ( 1 一言 q x ) 纵， ( 5 9 ) 其中撇号代表对l a a 求微商。 我们考虑暗物质和全息暗能量之间有相互作用的情况，而在此模型中这个 相互作用是必须存在的。因为当无相互做用时，暗物质的能量密度按照冷暗 物质方式演化：p e l m = 伽d m ( 1 + z ) 3 ，而m c g 得能量密度也可通过定义求得， 贝, u p x = p m c g 一，这未必与全息暗能量的定义相符。而当假定暗能量为全息 暗能量时，其能量密度由方程( 4 4 ) 给出，可看做已知，此时暗物质能量密度 为p d m = p m c g p x ，不再按照冷暗物质演化，二者的差距便可视为相互作用的 结果。 我们注意到整个m c g 流体满足能量守恒方程，而相互作用的存在导致全息 暗能量和暗物质分别都不满足能量守恒方程。因次两部分分别满足如下方程： + 3 日p d m = q ， ( 6 0 ) 威+ 3 h ( 1 + w x ) p x = 一q ， ( 6 1 ) 其中叫x 代表全息暗能量的态方程，q 是相互作用项，它可以具体表示为q = 3 b 2 h p m c g ，b 2 是耦合常数，能够代表耦合强度的大小。如果我们将方程( 6 0 ) 和( 6 1 ) 中对时间亡求导的部分换为对l n a 求导，则方程( 6 0 ) 和( 6 1 ) 可以等 价地表示为 如十3 = 3 b 2 p m c g ，( 6 2 ) 以+ 3 ( 1 + w x ) p x = 一3 b 2 p m c g ， ( 6 3 ) 2 4 相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 由方程( 5 9 ) 和( 6 3 ) ，可以求得全息暗能量的态方程 叫x = 一亏1 ( 1 + 兰c 佤) _ 6 2 警。 ( 6 4 ) 进一步，根据p t i e d m a n n 力- 程，有 婺：( 1 一q 烈1 + 罢佤) _ 3 6 2 q 。 ( 6 5 ) 因此，我们能得到全息暗能量的密度参数q x 满足的微分方程 婺- ( 1 一叫( 1 + 詈佩_ 3 b 2 q ， ( 6 6 ) 其中q m g g 的表达式己由方程( 4 0 ) 给出。因此将方程( 6 6 ) 重新写为 墨_ ( 1 嘞) ( 1 + 考厄拶生呲生监坚o ( 6 7 ) 暗物靥和重子物靥的密序参粒可分另i f 写为 q d m = q m c g q x ，( 6 8 ) q 6 ：q o 虿b a 一- 3 。 ( 6 9 ) 方程( 6 7 ) 对于任意给定的常数c 和b 可以通过对a 的数值积分解得。文 献【3 7 】中对a 的限制是一o 3 5 焉a 焉o 0 2 5 。因此这里我们取a - 0 0 2 5 ，a 占 o 7 7 。进一步，利用关系式a a o = ( 1 + z ) ，我们可以画出q x ，q d m 和，如 图3 ( 这里取q = 0 5 ，q 腻= o 7 3 ，q o 拥= o 2 3 ，q = o 0 4 ) 。 设q x 和q d m 相等时刻的红移为旎，则在乙处q x = q 咖= q m c c ( z c ) 2 。从 图3 可知，当取一个确定的常数c ( 或6 ) 而耦合常数b ( 或c ) 不同时，相应 的值也不同。表1 中列出了不同情况下讫的值。 b 200 0 40 0 7 0 1 z c 0 5 2 0 6 10 6 90 8 0 ( b ) c = 0 9 表1 ：q x = q d m 的时刻对应的红移z c 。 同而b 2 = 0 1 。 c0 81 01 21 5 z c 0 7 00 9 21 1 61 5 1 ( b ) b 2 = 0 1 ( a ) b 2 的取值不同而c = 0 9 ： ( b ) c 的取值不 从图3 ( a ) 和表1 ( a ) 我们可以清楚地看到，当参数c 取固定值时，耦合强 度b 越大，相应的名值越大。这表明对于越强的相互作用来说，q x 和q d m 相等的 相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 图3 ：全息暗能量、暗物质和重子的密度参数演化图。( a ) 常数c 固定而常数b 取不同 值； ( b ) 常数b 固定而常数c 取不同值。图中黑点代表q x = q d m 的时刻。 情况发生的越早。而对于固定的耦合强度b 而言，图3 ( b ) 和表1 ( b ) 中也给出 了类似的结果。 进一步，由方程( 6 4 ) 给出的全息暗能量的态参数的演化曲线在图4 中 画出。从图4 中我们很容易看到，态方程w x 能够穿越p h a n t o m 边界w x = 一1 。 图4 ( a ) 表明，当常数c 取固定值时，耦合强度b 越大，态参数w x 对一1 穿越发 生的越早。相反地，图4 ( b ) 告诉我们，当耦合强度b 取固定值时，c 的取值越 大，态参数w x 穿越p h a n t o m 边界发生的越晚。特别地，当b 2 = 0 ，即没有相互 作用时，此模型会退化为李淼等人提出的全息暗能量模型【4 2 】。图4 相应的态参 数的今天值在表2 中列出，与w m a p 5 的观测数据一1 3 8 w o x 一0 8 6 符合的 很好。 另外，减速参数定义为 g = 一警= 一皂r a r g - - 1 0 ( 7 0 )g2 一百= 一一上ol ，u j o 一 利用f r i e d m a n n 方程，式( 7 0 ) 可进一步表示为 ，口= 丢一互1q x 一1 c q 3 2 _ 虿3 b 2q 删。 ( 7 1 ) 图5 所刻画的是减速参数的演化曲线。从图中我们可以看到宇宙的演化 是从减速膨胀到加速膨胀的。而且，当c ( 或6 ) 一定时，b ( 或c ) 越大，加 速膨胀发生的越早。进一步，我们在表2 中也给出了一些相关宇宙学量的今 相互作用的修f f - - c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 ( a ) 屋 ，。，。 么t ! ， 一问 嗍卫= o 吆 雾? - 一b 。- _ 0 0 4 - 矿= 0 ，0 6 图4 ：全息暗能量态参数的演化。( a ) 常数c 固定而常数b 取不同值：( b ) 常数b 固定 而常数c 取不同值。 天值，如咖，口0 和转换红移z t 。表2 ( a ) 列出了当c = 0 8 时，w o x = - 1 0 8 4 士 0 0 4 ，q o = - 0 6 8 8 士0 0 4 3 ，z t = 0 8 1 5 士0 1 6 1 ；表2 ( b ) 告诉我们当6 2 = 0 0 4 时，w 0 = - 1 0 7 84 - 0 1 2 1 ，q o = - 0 6 8 士0 0 3 4 ，z t = 0 8 6 1 土0 。0 4 。容易看 出态方程的今天值w o 基本都在( 一1 3 8 ，一0 8 6 ) 【1 2 1 3 】范围内，这与w m a p 5 观 测数据符合的很好。减速参数的今天只口。基本都符合q o = - - 0 6 3 士0 1 2 ，而这 正是s n e 和c m b 数据分析支持的结果，而转换红移纫的值也与g r b 和s n ei a 数 据z t = 0 7 3 士0 0 9 1 6 9 相符合。 qq 图5 ：减速参数q 的演化。 ( a ) 常数c 固定而常数b 取不同值：( b ) 常数6 固定而常数c 取 不同值。 2 7 相互作用的修_ 正- c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 表2 ：w o x ，9 0 和幻相应的今天值。( a ) c = 0 8 而常数6 取不同值： ( b ) b 2 = 0 0 4 而常 数c 取不同值。 4 2相互作用的m c g 中全息暗麓量模型的诊断 4 2 1 s t a t e f i n d e r 参数7 一s 和7 一g 诊断 接下来，我们将对相互作用的修i t ：c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的进 行诊断。在f r w 宇宙框架下，利用总密度的能量守恒方程p - i - 3 h ( p + p ) = 0 ，s t a t e f i n d e r 参数可表示为： r = 1 + 1 9 ( p + 矿p ) i 6 ，s = 学。 ( 7 2 ) 再利用f r i e d m a n n 方程，我们可以得至i j s t a t e f i n d e r 参数的具体表达形式： r = 1 一号q x 畋+ 3 毗w x ( 1 一去佤) ， ( 7 3 ) 8 - - 一熹+ 昙( 1 一三瓜) ， ( 7 4 ) 一最+ j ( 1 _ ：、q x ) ， ( 7 4 ) 这里撇号是对l n a 的微商。再由方程( 6 4 ) ，叫生可以写成： 畋= 一旦3 c v 佤x b 2 ( f y 蝴m v a 一坠f i x 墼f i x ) 。( 7 5 ) 对方程( 6 7 ) 求数值解，得到方程( 7 3 ) 和( 7 4 ) 中r 和s 的演化。图6 中画 出了s t a t e f m d e r 参数8 7 平面演化图。 图6 ( a ) 和( b ) 给出了两种不同情况下的8 7 图的信息，分别是c = 1 而6 取不同值和b 2 = 0 1 而c 取不同值。注意到图中的星号对应的是l c d m 模型 的点( 0 ，1 ) ，而图中的黑点代表的是8 和r 的今天值。箭头代表s t a t e f m d e r 曲 线的演化方向。从图6 ( a ) 中我们可以发现当c = l j l b 2 = o n ，演化曲线将被 吸引到l c d m 的固定点，这意味着模型在遥远的将来会表现的像l c d m 模型， 而宇宙也会进入d es i t t e r 稳定相。在这种情况下相互作用不存在，而模型也退 2 8 相互作用的修正c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 图6 ：相互作用的m c g 中全息暗能量的s t a t e f i n d e r 参数8 7 平面演化图。 ( a ) 常数c 固 定而常数b 取不同值；( b ) 常数b 固定而常数c 取不同值。 化为全息暗能量模型【4 2 】。然而当6 2 = 0 0 3 ，0 0 7 和0 1 时，不同的演化图像将随 之显现出来，并且相互作用越强，图像离l c d m 的“距离”就越远。但当相互 作用存在时，宇宙在遥远的未来将不会进入d es i t t e r 稳定相。根据图6 ( b ) ， 当6 2 = 0 1 而c 取不同值的情况，s t a t e f i n d e r 从同一点开始演化而在将来却各自 走向大不相同的方向。在此图中显见当b 2 = 0 1 ，c = 0 8 时，这个模型下的 宇宙的演化在过去能穿过l c d m 固定点。经分析，我们可以发现常数c 和b 在 宇宙的演化过程中起到了至关重要的作用，他们共同决定了宇宙的演化行 为和宇宙的最终命运。c 和6 值只能通过观测来确定，s t a t e f i n d e r 参数的今天值 ( s o ，伯) 已经给出，图6 ( a ) 中对应于( 0 0 2 0 ，0 9 4 0 ) ， ( 0 0 3 8 ，0 8 8 3 ) ， ( 0 0 5 6 ，0 8 1 5 ) 以及( 0 0 6 7 ，0 7 7 1 ) ，图6 ( b ) 对应于( - 0 0 8 9 ，1 3 4 5 ) ， ( 0 0 6 7 ，0 7 7 1 ) 以及( 0 1 7 1 ，0 4 7 2 ) 。 进一步，我们用s t a t e f i n d e r 的口一r 平面图对不同的耦合进行诊断是有 帮助的。我们在图7 中画出了此模型的r ( g ) 的演化图像。从图7 中可以看 出，l c d m 模型的演化曲线是一条水平的直线，l c d m 模型从点( q = 0 5 ，r = 1 ) 开始演化，此点对应于以物质为主的s c d m ( 标准冷暗物质) 宇宙，结束 于点( 口= - 1 ，= 1 ) ，此点对应于s s ( 稳态) 宇宙，即d es i t t e r 膨胀。如 图7 ( a ) ，当耦合不存在时，模型将退回到全息暗能量模型，并且r ( q ) 的演 化也是从( 0 5 ，1 ) 到( - 1 ，1 ) 。然而，当相全息暗能量和暗物质之间的互 作用存在时，宇宙的演化既不从s c d m 开始也不结束于s s 。从此图中我们可 以清楚地看到不同的相互作用对宇宙演化的影响，相互作用越强，演化曲线 相互作用的修f f - c h a p l y g i n 气体中全息暗能量模型的研究 与s s 的“距离 越远。此外，图7 ( b ) 给出当耦合常数b 相同而常数c 不同时 的不同演化曲线，而不同的c 导致了宇宙虽然有相同的起点，最终却有不同 的命运。同样我们发现口一r 图也是区分此模型不同相互作用的有效方法。图 中的黑点代表的是今天值( q o ，r o ) ，图7 ( a ) 中分别为( 一o 4 8 9 ，0 9 4 0 ) ， ( - 0 5 3 2 ，0 8 8 3 ) ，( 一0 5 9 0 ，0 8 1 5 ) 以及( - o 6 3 3 ，0 7 7 1 ) ，图7 ( b ) 中 分别对应为( - 0 7 8 9 ，1 3 4 5 ) ，( 一0 6 3 3 ，0 7 7 1 ) ，( 一0 5 2 9 ，0 4 7 2 ) 以及 ( - 0 4 2 5 ，0 2 4 1 ) 。 q 图7 ：相互作用的m c g 中全息暗能量的s t a t e f i n d e r 参数q r 平面演化图。 ( a ) 常数c 固 定而常数6 取不同值；( b ) 常数b 固定而常数c 取不同值。 4 2 2 伽一叫7 诊断 接下来我们将用w w 7 平面图对模型进行诊断，这里w 7 代表w 对l n a 的微 商。这种方法作为s t a t e f i n d e r 诊断的一种补充已经被越来越多地使用。它最 初由c a l d w e l l 和l i n d e r 7 0 1 提出用来探究q u i n t e s s e n c e 暗能量模型的演化行为并测 试q u i n t e s s e n c e 的极限情况。随后，此方法在文献 7 卜7 4 】中被广泛地应用于不同 模型的分析。结合方程( 6 4 ) 和( 7 5 ) ，我们在图8 中画出了伽一w 7 平面图