（概率论与数理统计专业论文）带有离散分布跳的资产价格模型及其应用.pdf

摘要 摘要 在b l a c k - s c h o l e s m e 赡o n 期权定价理论中，布朗运动和正态分布有着广泛的 应用。但如果这一公式是完全正确的，由此解出的隐含波动率应该是唯一的，这 就和实际数据的研究结果相矛盾。为了更好地解决这一金融衍生品定价理论中的 “波动率微笑现象，带跳的凡何布朗运动被广泛缝应用于信用风险建模中去。为 了在定价时计算简便并得到显式解，我们通常令跳的高度服从对数正态分布或双 指数分布。 在本文中，我们用带有复合泊松跳的几何布朗运动来模拟股价过程或公司资 产过程，其中跳的高度服从离散的贝努里分布。在第二章，我们具体地对这样的 模型进行介绍，给出在定价理论中常觅的a 种假设及相应的解释，并计算出了股 价过程的对数所服从的概率密度函数。在第三章，我们给出关于欧式期权价格的 显式鳃表示。在第四章，我们将这一模型疲用于债券定价中去。应雳这种澎扩散 模型计算债券的价格是比较复杂的，因为当我们计算违约概率时，首达时的分布 没有闭解，因此我们应用蒙特卡罗方法来近似模拟资产过程在“跳”时刻的值，并 以此为条件计算出债券的价格。在最后一章，我们介绍几种通过样本值估计模型 参数的方法。为了得到简洁准确的表达形式，我们必须挑选适合模型的方法。由 于跳和前瑟豹连续部分是楣互独立的，我们采用累积量估计这种方法给出模型参 数估计的显式表达形式。 关键词：跳扩散模型，期权，可违约债券，首达时，蒙特卡罗模拟，参数估 计，累积量。 a b s t r a c t a b s t r a c t b r o w n i a nm o t i o na n dn o r m a ld i s t r i b u t i o nh a v eb e e nw i d e l yu s e di nb l a c k - s c h o l e s 。 m e r t o no p t i o np r i c i n gf r a m e w o r k b u ti fb l a c k - s c h o l e sm o d e li sc o m p l e t e l yc o r r e c t , t h ei m p l i e dv o l a t i l i t ys h o u l db eac o n s t a n tf o rd i f f e r e n ts t r i k ep r i c e sa n dd i f f e r e n ti r a - t u r i t i e s 。w h i c hc o n t r a d i c t s 蛾氇t h ee m p i r i c a li n v e s t i g a t i o n s 。t os o l v et h ee m p i r i c a l a b n o r m i t y ( c a l l e d “v o l a t i l i t ys m i l e ) i nd e r i v a t i v ep r i c i n gt h e o r y , g e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o nw i t hj u m p sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nc r e d i tr i s km o d e l s t h ej u m ps i z ei su s u a l l ya s s u m e dt oo b e yl o g n o r m a ld i s t r i b u t i o no rd o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s ow e c a ng e tt h ec l o s e df o r me x p r e s s i o n so ft h ep r i c eo fd e r i v a t i v e sa n dd e f a u l tp r o b a b i l i t y i nt h i st h e s i s ，w em o d e lt h es t o c kp r i c ep r o c e s so rt h ef i r m sa s s e tv a l u ep r o c e s s b yt w op a r t s ：ac o n t i n u o u sp a r td r i v e nb yb r o w n i a nm o t i o na n d a j u m pp a r t t h el o g a r i t h mo ft h ej u m ps i z e so b e yad i s c r e t ed i s t r i b u t i o n - b e r n o u l l id i s t r i b u t i o n i nc h a p t e r 2 ，w ew i l li n t r o d u c et h i sm o d e la n dg i v es o m ee x p l a n a t i o n sa n da s s u m p t i o n su s e di n p r i c i n gt h e o r y , a n dc a l c u l a t et h ed e n s i t yf u n c t i o no ft h el o g a r i t h mo ft h ep r i c ep r o c e s s i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h eac l o s e d f o r me x p r e s s i o no ft h ep r i c eo fe u r o p e a no p t i o n i n c h a p t e r4 ，w e u s et h i sm o d e li nb o n dp r i c i n g 。e v a l u a t i n gb o n d sp r i c ei naj u m pd i f f u s i o nm o d e li sc o m p l i c a t e d , a sw h e n w ec a l c u l a t et h ed e f a u l tp r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o n o ff i r s tp a s s a g et i m e si sn o ta v a i l a b l ei nc l o s e df o r m s ow eu s em o n t ec a r l om e t h o dt o s i m u l a t et h ef i r mv a l u ea tt h et i m eo ft h ej u m p sa n d a n a l y t i c a l l yc a l c u l a t eb o n dp r i c e s c o n d i t i o n e do nt h es i m u l a t e dj u m p s t h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i sp r e s e n t ss e v e r a l m e t h o d so fo b t a i n i n gp a r a m e t e re s t i m a t i o n sb a s e do ns a m p l ed a t af r o mt h em a r k e t s s o m ea r en o ts u i t a b l ef o ro u rm o d e l ，a sw ec o u l dn o tg e tt h ec l o s e d - f o r me s t i m a t i o n s 。 s i n c et h ej u m p sa r ei n d e p e n d e n to ft h ec o n t i n u o u sp a r t ，w eu s ec u m u l a n tt oe s t i m a t e t h ep a r a m e t e r sa n dg i v ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n s k e yw o r d s ：j u m pd i f f u s i o nm o d e l ，o p t i o n , d e f a u l t a b l eb o n d , f i r s tp a s s a g e t i m e ，m o n t ec a r l os i m u l 撕o n ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，c u m u l a n t 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为冒的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 硼3 年支月 、妻 影百 t bh 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名； 笋虿岁 、 1 1 一 少柝 c h a p t e r1i n 付o d u c f i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n b r o w n i a nm o t i o na n dn o r m a ld i s t r i b u t i o nh a v eb e e nw i d e l yu s e dt os t u d yo p t i o n p r i c i n ga n d t h er e t u r no f a s s e t s ，f o re x a m p l e ，d u f f l e 【l 】，h u l l 【2 】，i n g e r s o l l 3 1 ，k a r a t z a s a n ds h r e v e 【4 】，m e r t o n 【5 】，e l l i o ta n dk o p p 【6 】t h i sl o n gh i s t o r yc a nb ed a t e db a c k t o1 9 7 3 ，b l a c ka n ds c h o l e s 【7 】u s e dg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nt om o d e ls t o c kp r i c e , a n dp r o p o s e daw e l l k n o w no p t i o nv a l u a t i o nf o r m u l a , w h i c hh a sb e c o m et h es t a n d a r d m e t h o do f p r i c i n go p t i o n s 。t h i sf o r m u l ac a l c u l a t e dt h ep r i c eo fac a l lo p t i o nt ob e ： c = s ( d 1 ) 一k e 一 t n ( d 2 ) ， w h e r ed l = 蛙学，如= d l 一拶行，si st h ep r i c eo f u n d e r l y i n gs t o c k , ki s t h es t r i k ep r i c e ，ti st h et i m er e m a i n i n gu n t i le x p i r a t i o n ，a n dri st h er i s k f r e ei n t e r e s t r a t e m e r t o n 【8 】a l s op a r t i c i p a t e di nt h i sm o d e l sc r e a t i o n ，a n dt h e nh ea p p l i e dt h e f r a m e w o r ko fb l a c ka n ds c h o l e st ot h ep r i c i n go fac o r p o r a t eb o n d i nt h ef o l l o w i n g y e a r s ，t h e r ea r em a n yp a p e r sc o n c e r n e dw i t ht h ec l a s s i c a lb l a c k - s c h o l e s m e r t o nm o d e l ， s u c ha s ，b l a c k - s c h o l e sm o d e lf o r t h ec a l la n dp u to p t i o n s ；b l a c km o d e l 【9 】f o ro p t i o n s o nf u t u r e sc o n t r a c t s ；h e a t h ，j a r r o wa n dm e r t o nm o d e l 【1 0 】f o ro p t i o n so nb o n d s d e s p i t et h es u c c e s so fb l a c k - s c h o l e s m e r t o nm o d e lb a s e do nb r o w n i a nm o t i o n a n dn o r m a ld i s t r i b u t i o n ，a l la b n o r m i t yc a l l e d “v o l a t i l i t ys m i l e ”，e m e r g e df r o mm a n y e m p i r i c a li n v e s t i g a t i o n s ，h a sg o t t e nm u c ha t t e n t i o nr e c e n t l y m o r ep r e c i s e l y , i ft h e b l a c k - s c h o l e s - m e n o nm o d e li sc o r r e c t ，t h e nt h ei m p l i e dv o l a t i l i t ys h o u l db ec o n s t a n t ； b u tm a n ye m p i r i c a li n v e s t i g a t i o n ss h o wt h a tt h ei m p l i e dv o l a t i l i t yc u r v er e s e m b l e sa “s m i l e ，w h i c hm e a n si ti sac o n v e xc u r v eo ft h es t r i k ep r i c e m a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n et om o d i f yt h eb l a c k - s c h o l e sm o d e lt oe x p l a i n t h i sp h e n o m e n o n t h ef o l l o w i n ga r ed i f f e r e n tm o d e l sp r o p o s e dt oi n c o r p o r a t et h e “v o l a t i l i t ys m i l e ( 妨s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l 。s e ef o re x a m p l e ，h u l la n dw h i t e 【1l 】，h e s t o n 1 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 【1 2 】 娲= t z & a t + 佤& d 孵， 龇= k ( 毋一v , ) a t + 矿瓜西w 乎 ( 妨c o n s t a n te l a s t i c i t ym o d e l ( c e v ) s e ef o re x a m p l e ，c o xa n dr o s s 【1 3 ，c o x , i n g e r s o l la n dr o s s 1 4 d s t 一举s 凌拶韶+ 1 d w t ，s ( o ) = s ( c ) n o r m a lj u m pm o d e l s ，f i r s tp r o p o s e db ym e r t o na n dw i d e l yu s e ds i n c et h e n ，f o r e x a m p l e ，d u f f l e 【l 】 n ( t ) 娲= s t m l t + , r a w t + d ( k 1 ) 】，s ( o ) = s ， i = 1 w h e r e 冠全i nm i sn o r m a ld i s t r i b u t e d ( 惑) d o u b l ee x p o n e n t i a l d i s t r i b u t e dj u m pm o d e l s e ef o re x a m p l e ，k o u 【1 5 。t h e l o g a r i t h mo ft h ej u m pp r o c e s sh a sad o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nw i t l lt h ed e n s i t y f ( x ) 一p 野l e 一镎搏t o + g 啦e 一搬茹t 0 。i nj u m pd i f f u s i o n m o d e l s ，t h ed o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o np r o c e s sg i v e su sa ni m p o r t a n te x a m p l e i n t h ep r i c i n gt h e o r yo fd e f a u l t a b l eb o n d i to f f e r sar a r ec a s ei nw h i c ha n a l y t i c a ls o l u t i o n s o f t h ef i r s tp a s s a g et i m e sa r ef e a s i b l e 。b e c a u s eo ft h e j u m pt i m e ，w h e na j u m pd i f f u s i o n p r o c e s sc r o s s e st h eb o u n d a r yl e v e lb ，s o m e t i m e si tm a yi n c u ra n “o v e r s h o o t ”o v e rt h e b o u n d a r y b u ti ft h ej u m ps i z eh a sa ne x p o n e n t i a l - t y p ed i s t r i b u t i o n ，t h eo v e r s h o o tp r o b - l e m sc a nb es o l v e da n a l y t i c a l l y t h a n k st ot h em e m o r y l e s sp r o p e r t ya s s o c i a t e dw i t ht h e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 。i ti sv e r yi m p o r t a n tt h a tw ec a nu s et h i ss o l u t i o nt oc a l c u l a t e t h ed e f a u l tp r o b a b i l i 锣o fb o n d s i nt h i st h e s i s ，w ei n t r o d u c eam o r eg e n e r a lm o d e lw h o s ej u m ps i z eo b e y sd i f f e r e n t d i s t r i b u t i o n s 。t h em o d e lt h a tw ep r o p o s ef o r t h ep r i c eo fa nu n d e r l y i n ga s s e t 蕊s t o c k a n daf i r ma s s e tv a l u e ) i sv e r ys i m p l e i tc o n s i s t so ft w op a r t s ，ac o n t i n u o u sp a r tm o d e l e d b yag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，a n daj u m pp a r t , w i 也t h el o g a r i t h mo ft h ej u m ps i z e 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n h a v i n gab e r n o u l l id i s t r i b u t i o na n dt h ej u m pt i m e sc o r r e s p o n d i n g t ot h ee v e n tt i m eo f ap o i s s o np r o c e s s w eo r g a n i z et h i st h e s i si nt h ef o l l o w i n gw a y i nc h a p t e r2 ，w e w i l li n t r o d u c et h i sm o d e la n dg i v es o m ee x p l a n a t i o n sa n da s s u m p t i o n su s e di np r i c i n g t h e o r y , a n dc a l c u l a t et h ed e n s i t yf u n c t i o no ft h el o g a r i t h mo ft h ep r i c ep r o c e s s i n c h a p t e r3 ，w eg i v et h eac l o s e d f o r me x p r e s s i o no ft h ep r i c eo fe u r o p e a no p t i o n i n c h a p t e r4 ，w eu s e t h i sm o d e li nb o n dp r i c i n g e v a l u a t i n gb o n dp r i c ei naj u m pd i f f u s i o n m o d e li sc o m p l i c a t e d ，a sw h e nw ec a l c u l a t et h ed e f a u l tp r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no f f i r s tp a s s a g et i m e si sn o ta v a i l a b l ei nc l o s e df o r m 。s ow eu s em o n t ec a r l om e t h o dt o s i m u l a t et h ef i r mv a l u ea tt h et i m eo ft h ej u m p sa n da n a l 妒c a l l yc a l c u l a t eb o n dp r i c e s c o n d i t i o n e do nt h es i m u l a t e dj u m p s t h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i sp r e s e n t ss e v e r a l m e t h o d so fo b t a i n i n gp a r a m e t e re s t i m a t i o n sb a s e do ns a m p l ed a t ag o tf r o mt h em a r k e t s s o m ea r en o ts u i t a b l ef o ro u rm o d e l ，a sw ec o u l dn o tg e tt h ec l o s e d - f o r me s t i m a t i o n s s i n c et h ej u m p sa r ei n d e p e n d e n to ft h ec o n t i n u o u sp a r t , w eu s ec u m u l a n t , s e ek e n d a l l a n ds m a r t 【1 6 ，t oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r sa n dg i v ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n s 3 c h a p t e r2t h ea s s e tp r i c em o d e l c h a p t e r2 t h ea s s e t p r i c em o d e l 2 1m o d e ld e s c r i p t i o n t oi n t r o d u c eo u rm o d e l ，w es t a r tw i 珏lap r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，芦，p ) t h em o d e l t h a tw ep r o p o s ef o rt h ev a l u eo fa nu n d e r l y i n ga s s e t ( f o re x a m p l eas t o c ko rm a r k e t v a l u eo ff i r r na s s e t ) c o n s i s t st w op a r t s ：ac o n t i n u o u sp a r tm o d e l e db yag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n , a n da j u m pp a r t i nm a n yl i t e r a t u r e s ，t h el o g a r i t h mo ft h ej u m ps i z e sa l e a s s u m e dt oh a v eac o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nv a l u e di nr + o rr t h em o s tp o p u l a rd i s t r i b u t i o n sa l en o r m a ld i s t r i b u t i o na n dd o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 。b u ti nr e a l i t y , t h e j u m p so ft h eu n d e r l y i n ga s s e tv a l u ep r o c e s sa r ea l w a y sb o u n d e d 。s o i nt h i st h e s i s ，w e a s s u m et h e yo b e yad i s c r e t ed i s t r i b u t i o n - b e r n o u l l id i s t r i b u t i o n 。f u r t h e r , t h ej u m pt i m e s c o r r e s p o n dt ot h ee v e n t t i m e so fap o i s s o np r o c e s s 。m o r ep r e c i s e l y , u n d e rt h em e a s u r e p t h ef o l l o w i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni su s e dt om o d e lt h ea s s e tv a l u ep r o c e s s 磁， 警= # d t + c r d m 删釜( k _ 1 ) ) ，忡) ：k ， ( 2 1 ) w h e r e 磁k o i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n ， 兢 oi sap o i s s o np r o c e s sw i t hi n - t e n s i t yp a r a m e t e ra ，a n dkm ，蚝a r ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o m v a r i a b l e s 。t h e ns e tx 垒l o gya n dxi sb e r n o u l l id i s t r i b u t e dw i t hd e n s i t y p ( x = - l ) = p ，p ( x = 三) 一g ，( 2 2 ) w h e r ep + q = 1 弘，仃a r ep o s i t i v en u m b e r s t h ed i f f u s i o np a r ti ne q u a t i o n ( 2 1 ) c h a r a c t e r i z e sa “n o r m a l ”f l u c t u a t i o no ft h e f i r ma s s e tv a l u e ，d u et og r a d u a lc h a n g e si ne c o n o m i cc o n d i t i o n so rt h ea r r i v a l so fn e w i n f o r m a t i o nw h i c hc a u s e sc h a n g e so ft h ef i r ma s s e tv a l u e t h ej u m pc o m p o n e n td e s c r i b e st h es u d d e nc h a n g e so ft h ef i r ma s s e tv a l u ed u et ot h ea r r i v a l so fi m p o r t a n tn e w i n f o r m a t i o nw h i c hh a sal a r g ee f f e c to nf i r m sm a r k e tv a l u e g i v e nt h ef a c tt h a taf i r m a s s e tv a l u em o v e sc o n t i n u o u s l ym o s to ft h et i m ea n dm a y d r o pd r a m a t i c a l l yw h e nt h e 4 c h a p t e r2t h ea s s e tp r i c em o d e l e v e n to fd e f a u l to c c t l r s ，aj u m pd i f f u s i o np r o c e s sf o r t h eu n d e r l y i n ga s s e tv a l u es e e m s a p p r o 研a t ef o rm o d e l i n gt h ef i r m sc r e d i tr i s k 2 2t h ee x i s t e n c eo fe q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e i nt h i ss u b s e c t i o n ，w ea i mt ou s et h eg i r s a n o vt h e o r e mt of i n da l le q u i v a l e n t p r o b a b i l i t ym e a s u r eu n d e r w h i c ht h ed i s c o u n t e da s s e tv a l u ep r o c e s si sam a r t i n g a l e b u t i n0 1 1 1 m o d e l ，w em u s te x t e n dt h et h e o r yo fs t o c h a s t i cc a l c u l u st oi n c o r p o r a t ep r o c e s s e s w i t hj u m p s f i r s t l y , w eg i v et h ee x t e n d e di t 6f o r m u l af o rg e n e r a ls e m i m a r t i n g a l e s 【1 7 】 t h e o r e m2 1 ( e x t e n d e di t 6f o r m u l a ) l e tx 一( x 1 ，x 嚣) b ea nn - t u p l eo f s e m i - m a r t i n g a l e sa n df ：r nh r 礼h a sc o n t i n u o u ss e c o n do r d e rp a r t i a ld e r i v a t i v e s t h e n 嚣x i ss t i l las e m i - m a r t i n g a l ea n dt h e f o l l o w i n g f o r m u l ah o l d s ： ，( 五) 一，( 弱) = 壹= 1e 差( 咒一) d 砖 + - 1 ，曩件彘( 刖删砩 僻3 ， + ，( 咒) 一，( 五一) 一妻差( 托一) 窭) o o ， 厶t = e x p ( f o t a s d 尥+ t a ( 1 + a 。一e a 。) d s ) ， t h e n , f o r ( 2 4 ) w h e r ed m , = d n , 一天幽i st h ec o m p e n s a t e dp o 泌o np r o c e s s , 珞c a l l e dap o i s s o n e x p o n e n t i a lm a r t i n g a l e 鼢s tw r i t e z t 垒c 姒+ f ：入( 1 + c r s - - e a 。油， 5 c h a p t e r2t h ea s s e tp r i c em o d e l s ot h a tl t = e 磊t h e nb yo u re x t e n d e di t 6f o r m u l a 矗邑 l t d z t + ( 一e z t 一理+ e z t - + 撕一e 磊) d n t 厶一吼d m t + a l t 一( 1 + o t t e 毗) 如一厶一( 1 + o t t e a t ) d n t 厶一( e 魁一1 ) d m t s i n c et h ec o m p e n s a t e dp o i s s o np r o c e s sm ti sa ? - m a r t i n g a l ea n d 龇i sb o u n d e d ， l t ) t o i sa l s oa ? - 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n i k o d y md e r i v a t i v ew i t hr e s p e c tt opi sg i v e n 缈 婴i ：厶 四l 最 w h e r el o51a n d d r l _ _ _ 3 t ：o t d w t 一( 1 一c t ) d m t ， t h ep r o c e s s xk o d e f i n e db yx t 一眠一片o s d s 妇掰s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o na n d 魁，獭sap o i s s o np r o c e s sw i t hi n t e n s i t y t m t e ou n d e rq 6 c h a p t e r2t h ea s s