（理论物理专业论文）函数展开法及同伦分析法在求解非线性演化方程中的应用.pdf

摘要 近年来，对非线性问题的研究已成为人们关注的热点，非线性科学也在科学技术的 各个领域做出了重大贡献。非线性物理是非线性科学的一重要组成部分。许多非线性物 理现象都可以用非线性方程来很好地描述，所以得到非线性方程的解具有重要的意义。 本论文从两个方面研究了非线性方程的求解。 1 非线性演化方程的精确解 双曲函数展开法是近年提出的一种求解非线性演化方程孤立波解的有效方法。我们 讨论了双曲函数展开法，在原有方法的思想基础上提出展开函数应满足的2 个条件，扩 展为“双函数展开法”。并且，进一步作了改进，使其能够求解一些变系数演化方程和 非平面波方程。 j a c o b i 椭圆函数展开法可用来求解非线性演化方程的周期波解。在原法基础上，我 们提出了选择展开函数的一个简单原则。在此原则指导下，又构造出了许多不同的函数， 用它们作为展开函数可以得到非线性演化方程的更多精确解。 2 非线性演化方程的近似解析解 在非线性演化方程的解很难甚至无法得到时，可以求其近似解。同伦分析法就是求 非线性问题近似解的一种行之有效的方法。我们把这种方法用于求解非线性演化方程的 周期解，并且首次用于求解非线性演化方程孤立波的近似解析解，结果表明所得近似解 非常接近原方程的精确解。在此基础上，还提出了一种判断近似解近似程度的简单实用 的方法。 我们首次用这种方法求解了一不可积系统k d v _ b u r g e r s 方程，得到了其2 种类 型( 即单调型激波解和振荡型激波解) 行波解的高精度解析解，表明同伦分析法对于求解 一些不可积系统仍非常有效。 我们所用的方法，都可以借助计算机代数系统如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 得以部分甚 至完全实现。 a b s t r a c t r e c e n ty e a r s ，n o n l i n e a rp r o b l e m sb e c o m eah o tt o p i ci nm o d e mp h y s i c s a n dn o n l i n e a rs c i e n c ea l s oc o n t r i b u t e sg r e a t l yi nm a n yf i e l d st os c i e n c ea n d t e c h n o l o g y n o n l i n e a rp h y s i c si s o n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si nn o n l i n e a r s c i e n c e m a n yn o n l i n e a rp h e n o m e n ac a n b ew e l ld e s c r i b e db yn o n l i n e a r e q u a t i o n s t h e r e f o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u lw o r k t os e e kt h es o l u t i o n o fan o n l i n e a re q u a t i o n i nt h i st h e s i s ，t w oa s p e c t sa b o u ts o l v i n gn o n l i n e a r p r o b l e m sa r ed i s c u s s e d 1 f i n d i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so f an o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( n e e ) t h eh y p e r b o l af u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ( h f e m ) i so n eo ft h em o s t e f f i c i e n tm e t h o d sp r e s e n t e dr e c e n t l yf o rs e e k i n gt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so f n e e s t h i sm e t h o di si n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r b a s e do nt h eh f e m ，w ef i n d t w oc o n d i t i o n st h a tt h ee x p a n s i o nf u n c t i o ns h o u l db es a t i s f i e d w et h e nc a n c h o o s et h eo t h e rf u n c t i o n s ，w h i c ha r eo n l yn e e dt os a t i s f yt h et w oc o n d i t i o n s ，a s t h ee x p a n s i o nf u n c t i o nt oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n so fan e e w ea l s o m o d i f i e dt h i sm e t h o dt os o l v es o m en o n p l a n a rw a v ee q u a t i o n so rn e e st h o s e w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ( j e f e m ) i sa n o t h e rd i r e c t a n df o r w a r dm e t h o df o rs o l v i n gt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fan e e b a s e do nt h i s m e t h o d ，w ep r e s e n t e das i m p l ep r i n c i p l e u n d e rt h eg u i d a n c eo ft h i sp r i n c i p l e ，w e f o rc h o o s i n gt h ee x p a n s i o nf u n c t i o n c o n s t r u c t e dm a n yk i n d so ff u n c t i o n s ， w h i c hc a nb es e l e c t e da st h ee x p a n s i o nf u n c t i o nt of i n dt h ee x a c ts o l u t i o n so fa i i n e e 2 s e e k i n g t h e a p p r o x i m a t i o n a n da n a l y t i c a ls o l u t i o no fan o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n w h e nt h ee x a c ts o l u t i o n so fan o n l i n e a rp r o b l e mc a nn o tb ef o u n do ri t i s v e r yd i f f i c u l tt og o t ，w em a ys e e kt h ea p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n s t h eh o m o t o p y a n a l y s i sm e t h o d ( h a m ) i so n eo ft h ep o w e r f u la n de f f i c i e n t m e t h o d sf o r o b t a i n i n gt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so fan o n l i n e a rp r o b l e m w ea p p l i e dt h e h a mt of m dt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fan e e 。m o r e o v e r , t h i sa p p r o a c hi sf i r s t l y a p p l i e dt os o l v et h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fm a n y n e e s t h er e s u l t si n d i c a t e t h a tt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so b t a i n e db yt h eh a m a r ev e r yc l o s et ot h e c o r r e s p o n d i n ge x a c ts o l u t i o n s w ea l s op r o p o s e das i m p l ea n dp r a c t i c a lw a y t o c h e c kt h ev a l i d a t i o no ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n sg o tb yt h eh a m b yt h ee n do ft h i sp a p e r , w ef i r s t l ya p p l i e d t h eh a mt os o l v ea n o n i n t e g r a b l es y s t e m ，t h ek d v - b u r g e r se q u a t i o n w eo b t a i n e dt w ok i n d so f t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so f t h ek d v - b u r g e r se q u a t i o nw i t hh i g ha c c u r a c y f r o m d e t e r m i n i s t ya n a l y s i s w ek n o wt h a tt h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n i se i t h e r m o n o t o n ew a v es o l u t i o no ro s c i l l a t i o nw a v es o l u t i o n t h er e s u l t si n d i c a t et h a t t h i sm e t h o di ss t i l lv a l i df o rs o l v i n gs o m en o n i n t e g r a b l es y s t e m s a l lt h em e t h o d sw ep r o p o s e dc a nb ep e r f o r m e dp a r t i a l l ye v e nc o m p l e t e l y w i t ht h eh e l po fc o m p u t e ra l g e b r a i cs y s t e m ，s u c ha sm a p l eo rm a t h e m a t i c a i i 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：乒生垒一 日 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：夕趋导师签名： i 至堕亟日期：垫巡 第一章物理学中的非线性演化方程 自然界有着五彩缤纷的波动现象，波动成为物理学中的一个基本问题【l - 4 1 微风吹 过。水面荡起一圈圈涟漪，实际就是传播的水波；歌声伴随着优美的旋律响起，是音乐 的声波；电视打开，能够看见丰富多彩的节目，是靠电磁波；我们眼中有着五光十色的 世界，是因为有光波；伴随巨大破坏力的地震波，使人畏惧这方面的例子真是不胜枚 举在微观世界中，组成宏观物质的原子、电子、原子核等一切微观粒子更是表现为物 质波 在现代物理学中，人们总是把这些波动行为作为运动的基本形态来研究不论它们 怎样复杂地运动。总可以把它们看成一些基本模态的线性叠加结果这样建立起来的理 论属于线性理论，如经典力学、分析力学、量子力学、电动力学等都属于这个范畴但 理论和实践表明，这种理论只适合于波的振幅极小，以至于可以忽略波或粒子问的自相 互作用的情况 但是，自然界中不是一切物质的运动或振动与波动都是小振幅的，或能忽略自相互 作用的其实，相反情况即非线性效应才是最普遍的严格说任何物理系统都存在程度 不同的非线性作用，如我们常见的固体的热胀冷缩现象、激光现象、超导现象、超流现 象、非线性晶格、液晶碍1 等 对这些非线性现象的描述，在数学上体现为非线性演化方程下面是一些在很多研 究领域都出现的非线性演化方程 1 1b u r g e r s 方程 b u r g e r s 方程是非线性耗散( 热传导、扩散和黏性) 方程，其一般形式是 坼+ “虬一l ，；o = 0 ，( 1 1 ) 其中y 0 ，为耗散系数 b u r g e r s 方程是湍流统计理论的一个简单模型删，它也可以作为描述人口演变的动 力学模型【9 ，1 0 1 在文献【1 1 】中，b u r g e r s 方程被用来描述交通流文献 1 2 】中，考虑有限振 幅波在介质中的传播时，对粘滞热传导介质，导出的控制方程即为b u r g e r s 方程考虑在 细杆中传播的小振幅波，若粘性和热传导效应不容忽略，则控制方程可归结为b u r g e r s 方程【1 3 】关于该方程的更多介绍，请参看文献 1 4 ，1 5 】 相对而言，b u r g e r s 方程比较简单，所以很多数值方法都常用它来检验其求解非线性 问题的有效性【1 删 1 2k d v ( k o r t e w e g - d e v r i e s ) 方程 k d v 方程是非线性的频散方程，其一般形式是 鹎+ 口i u x + 胁k = 0 ，( 1 2 ) 其中口是非线性项系数，为频散系数 k d v 方程是数学物理领域内一基本方程，对它的研究促进了非线性科学的发展，最 终形成了研究非线性现象的一门理论孤立子理论孤立子首先由英国科学家s c o t t r u s s e l l 于1 8 3 4 年观察到，直到6 0 多年后的1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d e v r i e s 研究了浅水波 的运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程，才从理论 上解决了这一问题嘲 现在不断发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用下的波动方程和方程组，在长波 近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结为k d v 方程】例如：( 1 ) 冷等离子体的 磁流体波的运动；( 2 ) 非线性晶格的振动；( 3 ) 等离子体的离子声波；( 4 ) 在弹性杆中的纵向 色散波动；( 5 ) 在液、气两种混合态的压力波运动；( 6 ) 在一个管底下部的流体的转动；( 7 ) 在低温下非线性晶格的声子波包的热激发；( 8 ) 血管中血液的流动鲫；( 9 ) 凝聚态物理；( 1 0 ) 超导物理；( 1 1 ) 生物物理 2 5 j 等 1 3k d v - b u r g e r s 方程 k d v - b u r g e r s 方程是既包含频散作用又包含耗散作用的非线性演化方程，其一般形 式是 u t + “虬一十“。= 0 ，( 1 3 ) 其中v 是耗散项系数，为频散系数 在研究液体内含有气泡的流动时，控制方程可归结为k d v - b u r g e r s7 维t 2 6 j 文献 2 7 2 9 q h ，把k d v - b u r g e r s 作为研究湍流的模型，并应用该模型研究了能量逆转和间隙 湍流问题研究细长杆中纵向应变波的传播时，也可导出k d v - b u r g e r s 方程【3 0 】 1 4k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程 3 1 3 3 1 k d v - b u r g e r s - k u r a m o t o 方程又称为b e n n e y 方程，其一般形式是 坼+ u , x + 口+ “埘+ ，= 0 ，( 1 4 ) 其中盯表征耗散作用，为频散系数，y 表征不稳定作用 k a w a h a r a 3 q 非常明确地指出，对于一个耗散和频散的动力系统，即便有较大的 r e y n o l a s 数，也不一定足以产生不规则的湍流运动，必须考虑流动的不稳定性因此 他认为必须同时考虑不稳定、耗散和频散的作用，提出研究湍流运动，要应用b e n n e y t 3 2 】 方程，即方程( 1 4 ) 他对该方程作了数值分析，再次确定了混沌与湍流之间的联系 1 5 m k d v 方程 m k d v 方程又称为变形( 改进、修正) 的k d v 方程，其一般形式是 + t 端2 + = 0 ，( 1 5 ) 其中盯表征非线性作用，口为频散系数 m k d v 方程一般是用摄动法求解较复杂的非线性演化方程时，高阶近似所满足的方 程如文献【3 4 】中在研究非线性弹性体中波的传播时，就得到了该方程文献【3 5 】在研究 处于强磁场中的等离子体，当粒子、电子和离子具有涡旋分布时波的传播时，也得到了 此类方程 1 6 非线性k l e i n - g o r d o n 方程 非线性k l e i n - g o r d o n 方程的普遍形式为 一够。+ 矿( 砂= 0 ，( 1 6 ) 其中c o 为常数，矿 ) 为系统的势能；矿，( 。) ；华，它是”的非线性函数 a , 在方程( 1 6 ) 中，若取 矿 ) = 露0 - c o s u ) ， ( 石= 雌t ) ( 1 7 ) 则它可化为 一露+ 露s i n u = 0 ，( 1 8 ) 方程( 1 8 ) 称为s i n e g o r d o n 方程 常见的k l e i n - g o r d o n 方程还有 一露+ 鲫一, a n 2 = 0 ， ( 1 9 ) 及 一蠢z k + 口“一p 3 = o ( 1 1 0 ) 方程( 1 1 0 ) 称为立方k l e i n - g o r d o n 方程 s i n e - g o r d o n 方程在非线性光学中有着广泛的应用【矧 1 7 f i s h e r 方程 f i s h e r 方程是非线性的反应一扩散方程，其最简单的一种形式为 m y 一砌( 1 一“) = 0 ( v o ，k 0 ，( 1 1 1 ) 其中y 和k 分别称为扩散系数和反应系数 f i s h e r 最早提出用此方程来描述基因的变化【3 1 ，此方程也可用来描述人口的增长， 燃烧的火焰 3 s l 等 1 8b o u s s i n e s q 方程 b o u s s i n e s q 方程的一般形式为 一矗一口够一一( 甜2o = o ， ( 1 1 2 ) 其中口，p 均为正常数 该方程常用来描述浅水中的非线性波【3 9 】 1 9 非线性s e h r 6 d i n g e r 方程 非线性s c h r o d i n g e r 方程，简称为n l s 方程，又称立方s c h r 6 d i n g e r 方程，它是描写 非线性波的调制( 即非线性波包) 方程，其一般形式为 f + 盯”。+ p l u l 2 “= 0 ， ( 1 1 3 ) 其中口和分别称为频散系数和l a u d a u 系数 非线性s c l 响d i n g 日方程的应用非常广泛它可以用来描述深水中的非线性波。9 1 ，非 线性光学现象【4 0 1 ，弹性杆中的调制波l ，非线性电子线路中的波【4 2 】，热尘埃等离子体中 的波【4 3 】等 1 1 0k p ( k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ) 方程 k p 方程的一般形式为 昙陲鲫瓦0 u + 窘悖雾- o ( 1 1 4 ) 夏l 百+ 鲫瓦+ 丽i + 萱酽- 0 ， ) 其中盯、卢和气为常数 k p 方程可以认为是k d v 方程在2 + 1 维空间的推广，它在2 + 1 维方程中起的作用与 k d v 方程在1 + 1 维方程起的作用同样重要【4 纠9 】，如热尘埃等离子体中的尘埃声波的传播 便可用该方程来描述p 0 1 更多的非线性演化方程，请参看文献 3 6 ，5 1 对非线性演化方程的求解，是个古老而又具有重要意义的研究课题但由于非线性 方程的复杂性。至今仍有大量的重要方程无法求出精确解即使已经求出精确解，也各 有各的技巧，到目前为止仍无一个普适的、通用的方法 本论文首先探讨了求解非线性演化方程精确解的双曲函数展开法【5 2 】和j a e o b i 椭圆 函数展开法1 5 3 1 ，并对这两种方法进行了一定的扩展，使其可以求解更多非线性演化方程 的更多精确解 同伦分析法i 蚓是求解非线性问题近似解析解的一种强有力的方法本论文也讨论 了如何把该方法应用于求解非线性演化方程的孤立波解和周期波解的近似解析解， 第二章函数展开法在求解非线性演化方程中的应用 对非线性演化方程的求解是非线性科学的一重要组成部分在过去的几十年中，非 线性数学物理研究领域内的一大重要成果就是发现了各种精巧的方法，如逆散射法、 b i c k l u n d 变换法 1 4 , 5 5 , 5 6 、h i r o t a 双线性法【舭1 、d a r b o u x 交换法1 1 5 , s t l 、延拓法【5 8 t 5 9 1 、p a i n l e v 6 分析法1 6 0 , 6 ”、“e 群法【6 2 , 6 3 1 等但到目前为止，对非线性演化方程的求解，仍然没有一个 普适的方法 近年来，很多数学家和物理学家又提出许多新的方法去求解非线性偏微分方程，如 齐次平衡法1 6 4 - 7 0 1 、t a n h 函数法【7 1 7 5 1 、s i n e c o s i n e 法1 7 6 7 8 、双曲函数展开法1 5 2 , 7 9 - - s 1 1 、j a c o b i 椭圆函数展开法【5 3 8 2 - - 8 6 1 、同伦分析法【5 卅等双曲函数展开法和j a c o b i 椭圆函数法在求解 非线性演化方程的精确解时，具有很多共同点它们不仅仅是一种方法，更是一种思想 在实际应用中，这种思想可以推广开来，从而形成各种具体的方法，我们统称之为“函数 展开法” 本章第一节对函数展开法的基本思想进行了简述第二节中推广“双曲函数展开法” 为“双函数展开法”，并使其可用于求解一些变系数的非线性演化方程和非平面波方程 作为例子，我们用这种方法求解了变系数b u r g e r s 方程、含时线性势g r o s s p i t e a v s k i i 方 程、柱( 球) k d v 0 j u r g e r s ) 方程第三节中推广“j a c o b i 椭圆函数展开法”为“三函数展开 法”，并得到了若干非线性演化方程新的精确周期解 第一节函数展开法的基本思想 “函数展开法”的思想，源于双曲函数展开法和j a c o b i 椭圆函数展开法故这里以 这两种方法来说明其基本思想。为描述方便，设该非线性系统只含一个方程、一个未知 函数，自变量为x , t 若为方程组或自变量个数更多的情况，也可类似地描述 设此非线性演化方程为 e ( u ，吩以，) = 0 ，( 1 。1 ) 其中“= 甜( x ，t ) ，为未知函数；p 一般是其宗量的多项式函数考虑其行波解 u ( x ，f ) = ( d ，善= 缸一研+ ，( 1 2 ) 这里七为波数，为波的圆频率；波速为d = 孚；七与国均为待定常数；，为任意常数，决 斥 定于波的初位相经变换( 1 2 ) ，方程( 1 1 ) 化为关于妒的常微分方程o d e d ( 妒，妒，”，) = 0 ( 1 3 ) 因此，只要求得了方程( 1 3 ) 的精确解，就得到了方程( 1 1 ) 的精确行波解由变换( 1 2 ) 可知，这种波在行进过程中，波数、波的圆频率、波速、波形均不变 1 1 双曲函数展开法【5 2 】 双曲函数展开法是建立在多数非线性波方程的孤立波解都具有双曲函数形式的基 础之上的此方法的本质在于对非线性波方程的解做了先验的假设，即孤立波解，它可 以表示作双曲函数的某种叠加和组合 引入函数厂，g ，其中 厂= 忑i 万，g = 嵩， ( 1 4 ) 称为展开函数，它们满足以下耦合关系 骞一庸，寿= l - 9 2 - 矿，9 2 小2 矿+ ( ，2 - 1 ) ，： ( 1 5 ) 假设方程( 1 3 ) 的解为 = q 厂+ 包，- 1 9 ， ( 1 回 其中a o ，q ，岛( f = l ，2 ，m ) 是待定常数，m “通过平衡微分方程o d e 的最高阶微分项和非 线性项的阶数”来确定接着把( 1 6 ) 式代入( 1 3 ) 式，再利用( 1 5 ) 式化简所得方程，使得方 程各项中 只有，和g 的幂次项； ( i dg 的幂次不大于1 然后合并厂和g 的同次幂项并取系数为零，就可得到一个包含所有待定系数的非线性代 数方程组( n o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o ns y s t e m , n a e s ) 求解此n a e s 最终可有希望得到 非线性演化方程的精确解 以上工作手工推导比较麻烦，借助计算机代数系统如m a p l e ，m a t h e m a t i e a 等可以快 速高效的完成 1 2 j a c o b i 椭圆函数展开法【5 3 1 前面介绍的方法能够求得很多非线性演化方程的孤波解和冲击波解，但不能求得非 线性演化方程的周期波解鉴于这一点，刘5 3 ，协蛔提出了j a c o b i 椭圆函数展开法这种 方法包含了双曲正切函数展开法，也可求得方程的孤立波解和冲击波解其基本思想是： 把方程( 1 3 ) 的解表示为j a e o b i 椭圆函数的有限项级数，从而把微分方程的求解转化为代 数方程的求解 下面以文献【5 3 】中所述j a e o b i 椭圆正弦函数展开法来说明之 引入函数 ，( 掌) = s n ( d ，g ( 善) = c a ( 善3 ，矗( d = h l ( 掌) ，( 1 7 ) 其中s n ( 0 、c 1 1 ( 善) 和血( 善) 分别是j a c o b i 椭圆正弦函数、j a e o b i 椭圆余弦函数和第三类 j a e o b i 椭圆函数，它们之间满足关系 否a f = g h ，面a g = 帆罢= 一，2 唐， ( 1 8 ) 和 9 2 = l 一，2 ，h 2 = 1 一，2 ，2 ， ( 1 9 ) 其中，是j a e o b i 椭圆函数的模数有关j a e o b i 椭圆函数的知识，请读者参看相关资料，如 文献 8 7 。8 8 等 设方程( 1 3 ) 的解可表示为 = q 厂。， 1 1 0 ( 1 1 0 ) 其中，a s ( i = 0 ，1 ，所) 是待定常数，m “通过平衡微分方程o d e 的最高阶微分项和非线 性项的阶数”来确定 把( 1 1 0 ) 代入方程( 1 3 ) 反复利用( 1 8 ) 便可以把方程中的所有导数项化为厂，g 和h 的多项式；再反复利用( 1 9 ) 式，便可使得方程中g 和厅的幂次不大于1 化简该方程后令 ，。、厂g 、厂h 、g ho = 0 , 1 ，2 ，) 项的系数为0 ，就得到一包含所有待定常数 七，t o ，q ( f = o ，l ，珊) 的非线性代数方程组n a e s ，解此n a e s 就可以得到( 1 1 ) 的精确解 当r = l 时，( d = t a r m ( 孝) ，所以该方法包含了双曲正切函数展开法 其它类型的j a e o b i 椭圆函数展开法，只不过选取的展开函数 g 和| i 与这里不同( 从 而函数关系也跟( 1 8 ) 、( 1 9 ) 不同! ) ，具体求解过程和这里完全一样 这种方法用到了三个函数f ，g 和h ，不妨称之为“三函数展开法”， 以上过程的实现，完全可以借助计算机代数系统如m a p l e 或m a t h e m a t i e a 完成 1 3 l 结论 前面介绍的双曲函数展开法和j a e o b i 椭圆函数展开法，虽可用来求解非线性演化方 程不同类型的精确解，但就方法来说，应属于同一类的它们的共同特点是： ( 1 ) 均求方程的行波解 由变换( 1 2 ) 可知，这2 种方法能够求得的行波解，波形、波数、频率、宽度、速度 均不随时间变化。 ( 2 ) 最终均是把微分方程化为代数方程来求解 为达到此目的，通过引入1 个或数个展开函数，把解先验地表达为展开函数的有限 项级数当然，并不是所有的o d e 都可化为展开函数的多项式。也不是随便引入展开函 数就能把o d e 化为它们的多项式所以，该方法也只是针对某一类方程来求解的在选 择展开函数的时候，要能够保证化o d e 为多项式方程 这类方法的最大好处可能是能够实现机械化计算正因为如此，该方法提出后迅速 得到了广泛的推广与应用。有很多复杂的非线性演化方程，在以薪用手工来解基本是不 可能的现在借助高速电子计算机，解一些复杂的方程，已有了可能性和现实性 在很多情况下，由上面方法得到的非线性代数方程组也是很复杂的如何更有效地 求解这样的代数方程组，是个值得研究的问题 第二节双曲函数展开法的推广与应用 这一节，作为应用的例子，我们用双曲函数展开法求解了组合k d v 方程，而且提出 了选择展开函数的2 个条件，从而把这种方法推广为“双函数展开法”推广后的方法， 能够比较自由地选择展开函数，如三角函数、其它类型的双曲函数等，而不仅局限于文 献【5 2 】中所用的函数通过选择新的展开函数，得到了m k d v 方程和组合k d v 方程许多 新的精确解后面2 部分内容中，对双函数展开法做了进一步推广，使其可用来求解一 6 些变系数的非线性演化方程作为例子，求解了变系数b u r g e r s 方程、含时线性势 g r o s s - p i t e a v s k i i 方程最后一部分内容是对2 个典型的非平面波方程一一柱 ( 球) k d v u r g e r s ) 方程进行了求解，得到了它们的近似解析解，该解与数值结果吻 合的非常好 2 1 扩展双曲函数法及其应用 本节中，我们提出了选择展开函数的两个条件，从而把前面介绍的双曲函数展开法 推广成为“双函数展开法”通过选择其它展开函数，得到了m k d v 方程和组合k d v 方 程的更多精确解这种方法也同样适用于求解其它非线性发展方程( 组) 作为应用的例子，我们先用前面介绍的“双曲函数展开法”求解m k d v 方程和组合 k d v 方程，然后发现和总结出展开函数应满足的2 个条件。最后用扩展后的方法求解 m k d v 方程的新型孤立波解 2 1 1m k d v 方程的孤立波解 考虑m k d v 方程 t + a z 产 x + ；8 叫= 0 把变换( 1 2 ) 代入方程( 2 1 1 ) ，得常微分方程 一矿+ 口七2 + p k 3 ”= o 由前述平衡原则得州= 1 ，故设方程( 2 i 2 ) 具有下列形式的解 = + q ，+ 岛g 石玉仁等，物理学报，2 0 0 3 ，5 2 ( 2 ) ：2 6 7 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 i 3 ) 把( 2 1 3 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，反复利用( 1 5 ) 式并借助计算机代数系统m 砌衄m t i c a 可得方程 ( 2 1 2 ) 对应的n a e s 为 一玛( 7 ，2 矿一4 卢驴+ 俨一1 ) 口瑶七+ 2 口蠢詹+ 3 产。磷七一口醒_ | 一6 r c t a o a l k - 埘户+ ；0 ， 一p 口l 矿+ 2 r 口伽磷i 一口口l 研_ j 一。碣印k + w a l = 0 ， 一量口胡一3 k 俨一1 ) ( 2 3 k 2 十口日) 口l = 0 ， 靠( 产一1 ) b l ( 3 口前+ ( r 2 1 ) ( 6 i l k 2 + 口6 ) ) = o ， 一2 七口锄斫+ 2 七，( 3 驴+ 2 口研) d t - 2 k ( r 2 一1 ) 口鳓磷= 0 ， k r c r b l 碚一2 k e t a lb l a o - r b l ( - # k 3 一o6 七+ 西= o ， ( 2 1 4 ) 一k b l ( 4 ( 尸一1 ) a 锄a l + ，( 一5 口皤一3 酽一1 ) ( 4 ? k 2 + 口6 ) 势= o 利用计算机代数系统对此代数方程组进行求解，最终得n 删v 方程( 2 1 1 ) 的三组精确解： 第一组： 毗忸捱菇黑器绦 叫， 其中国= 气等笔孚，七为任意非零常数，f 为任意常数( r 2 ”当r = 。时，该解为 m k d v 方程熟知的钟形单孤子解 u ( x ，) = t 属刁石眦缸一c o t + 1 ) ( 2 i 6 ) 显然，当筇 o 时该解才存在( 不考虑复数解! ) 第二组： u ( x ，t ) = fk q r g 瓦 - a t a n h ( k x - c o t + 1 ) ( 2 1 7 ) 其中国：- 2 k ，p ，i 2 ；一1 ，七为任意非零常数，为任意常数该解为m k d v 方程的扭结 形孤立波解显然，该解仅存在于n 猡 o 的情况下( 不考虑复数解! ) 第三组： 俐= 毛笔篙+ 啦璧羔踹， 其中国= 一三七3 ，f 2 = 一1 ，砰= 乞2 = l ，i 为任意非零常数，为任意常数在各参数 为实数的情况下，要使( 2 1 8 ) 式为实函数，则应口 1 , 0 0 第二组： 俐一石3 警t a n h ( 缸唰“) ， 叫3 ) 其中t ，为任意常数，国= - 2 七3 9 k 口若要求甜为实函数，则应口 。 第三组： 俐一争劣老端， 叫4 ， 其中七，为任意常数，埘= 一k ( 1 8 磊+ o r k 一2 ) ，= 士1 若要求“为实函数，也应护 o 2 1 3 方法的扩展 实际应用中可以发现，前面介绍的双曲函数法，由于限定了函数厂和g 的具体取法， 所以其能够找到的解的类型就受到了限制实际上，我们还可以取其它类型的函数，和 g ，只要它们满足以下两个条件 ( i ) 考，寒都是艄和g 的多项式，即面a f = p l ( f g ) ，妾= p 2 ( f g ) ； ( i i ) 9 2 可以表示为，( d 的多项式，即9 2 = 只 这种方法的思想就可以推广开来，以找到非线性发展方程的更多的精确解不难知道， 这里条件( i ) 保证了，和g 对手的各阶导数都是厂( 0 和g g ) 的多项式，从而可以做到上 一节中的( i ) ；条件( i i ) 保证了可以做到上一节中的( i i ) 由于满足条件( i ) 和( i i ) 的函数有很多，故可以很方便地选择合适的厂( 参) 和g ( o 来求 解非线性演化方程这里用到了两个函数，( p 和g 俘) ，故可称其为“双函数展开法” 值得说明的是：若取g = o ，则前面条件( i i ) 自然满足，条件( i ) 变为 d “r c = c o + q f + + c 。f ( 2 h 5 、 上式中取不同的聆，就可以确定出不同的函数j 厂来这样确定的函数均可以作为展开函 数去构造其它非线性演化方程的精确解具体演算过程和前面介绍的“双曲函数法”基 本一样，这里不再赘述这种方法只需要一个展开函数，故可称其为“单函数展开法”， 如t a n h 函数展开法【7 i 扔】就是典型的一种 下面举两例来看双函数展开法的应用 2 1 4 组合k d v 方程的其它精确解 取展开函数 ，( 掌) 2 i ：i 1 吾矗孑，g ( 善) = ；c o i s 五h 矗孑， ( 2 1 1 6 ) 则有 嘉= - 唐噻= l - 9 2 - 矿，9 2 - 1 _ 2 州，2 + l 叫7 ) 用和前面同样的方法，得方程( 2 1 1 0 ) 在此时对应的n a e s 为 - b l ( 7 ，2 妒+ 4 p + 酽+ 1 ) 学碚】i + 2 一霹j + a , a o 缓k + o 嵋k - 1 8 r a l k + 6 a o ( ，2 一一口lr + 1 ) 七一脚户