（光学专业论文）矢量衍射理论在信息存储多层膜中的应用研究.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名黼 论文使用授权声明 日期：兰：2 ：! ：! # 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名 霄本摞 导师签名2 1 z ； ；皇 摘要 论文题目： 矢量衍射理论在信息存储多层膜中的应用研究 信皇科堂皇王翟堂瞳迸科堂皇王翟丕 2 q 鲤届硕士研究生要奎竖指导教师：整玉搓煎援 摘要 随着信息存储技术的日益迅速发展，人们希望进一步提高存储密度和存储速 度。目前主流的存储技术包括磁存储、光存储、磁光存储和半导体存储器等。其 中前三者均为多层膜结构。在光存储和磁光存储中，为了提高存储密度采用短波 长光源及高数值孔径光学系统，以高度会聚的短波光束获得足够小的光斑，来读 写亚微米尺度的存储单元。在磁存储中，为了获得足够小的记录单元，需要提 高磁性记录材料的矫顽力，这要求在信息写入过程中，为了使写磁场不致过大， 需要用激光对要写入磁区进行加热处理。在这些存储技术中，均涉及到光在存储 介质中传播以及由此引起的热量分布问题。为了获得性能优良的存储多层膜结 构，需要进行大量的数值计算。在数值模拟中，原先对于光在多层膜结构中的模 拟工作是采用平面波近似，即将入射光看作是理想的平面波。但是为了提高存储 密度，通常将短波长激光会聚成很小的光斑。这样，原来将入射光视为平面波的 近似就显得有些粗糙。它本身的参数不能完全反映出入射激光的性质，比如激光 光斑的大小，而这些性质在实际中需要被考虑进去。 为此，我们提出一种方案来解决上述问题，达到可以模拟任意形式光波在多 层膜结构或超晶格结构中传播的目的。我们结合了矢量衍射理论( 角谱分析) 和 光学矩阵法( o m m ) 以及复矢量叠加方法来实现获得任意波形在多层膜中传播 性质的目的。首先，我们用角谱分析将任意光波分解成一系列不同振幅和不同传 播方向的平面波，这样，复杂光波的传播问题被分解成一组简单的平面波传播问 题。对于平面波传播问题，采用比较成熟的光学矩阵方法处理。它以麦克斯韦电 磁理论为基础，从多层膜膜系的介质边界矩阵和传输矩阵出发，导出多层膜各层 之间的递推关系式，进而得到多层膜内各种光学和磁光性质。当每支平面波在多 层膜中传播性质由光学矩阵法得出之后，再用复矢量叠加而后得到最终的结果。 为了提高计算效率减少计算时间，在角谱分析过程中我们使用了快速傅立叶分解 复旦大学硕士毕业论文 摘要 算法( f l t ) 。它是计算离散傅立叶变化的优化算法，从而节省了大量的计算资 源和计算时间。 文中我们主要以高斯型激光为例，通过它在磁光多层膜结构中磁光效应的模 拟结果与实验结果的对比来验证我们的方法。同时计算了高斯波在磁光光盘中的 传播特性，包括光学响应和电磁场分布以及焦耳热损失分布；并比较了来自于不 同数值孔径光学系统的激光作为入射光得到的结果，得出光斑大小对高斯光在多 层膜结构中传播的影响关系。同时还与平面波近似进行了对比，结果显示大光斑 的高斯波( 直径 1 0 01 1m ) 可以作平面波近似。因为满足这个条件时，两种近似 得出的结果几乎一样。综上所述，这是一种在光盘设计和材料研究上非常有用的 模拟计算方法。 关键词：信息存储，磁光光盘，多层膜，角谱分析，数值模拟 中图分类号：0 4 3 6 3 ；0 4 3 6 4 ；0 4 4 1 1 ；0 4 4 1 6 复旦大学硕士毕业论文 2 摘要 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o ns t o r a g et e c h n o l o g y , m u c hh i g h e r s t o r a g e c a p a c i t y a n dd a t a t r a n s f e r s p e e da r ef l i r t h e rr e q u i r e d a tp r e s e n t t h e d o m i n a t i n gs t o r a g et e c h n i q u e s i n c l u d em a g n e t i c s t o r a g e ，o p t i c a ls t o r a g e ， m a g n e t o o p t i c a ls t o r a g ea n ds e m i e o n d u c t o rf l u s hs t o r a g e a m o n gt h e s es t o r a g e t e c h n i q u e s ，t h ef o h n e rt h r e eo n e sa r eo fm u l t i l a y e rt h i nf i l ms t r u c t u r e f o ro p t i c a l s t o r a g eo rm a g n e t o o p t i c a l ( m 0 ) s t o r a g e ，t h el a s e rb e a mo fs h o r tw a v e l e n g t hi s u s u a l l yc o n v e r g e di n t os m a l ls p o tt h r o u 【g hah i g hn u m e r i c a l 印e r t u r eo p t i c a ls y s t e mt o r e a do rw r i t ei n f o r m a t i o ni ns m a l lr e c o r d h a gd o m a i ni no r d e rt og e tl l i 吐a r c a ld e n s i t y o fr e c o r d i n g i nm a g n e t i cr e c o r d i n g , t h em a t e r i a lw i t hh i g hc o e r c i v ef o r c ei su s u a l l y u s e dt oh a v et h er e a ：o r d i n gd o m a i ns m a l le n o u g hf o rh i g ha r e a ld e n s i t y h o w e v e r , d u r i n gw r i t i n gt h ed a t a , al a s e rb e a mi su s e dt oh e a tt h er e c o r d i n gd o m a i nt od e c r e a s e t h ec o e r c i v ef o r c es ot h a tal o w e rm a g n e t i cf i e l dc a nw o r k a l lo ft h e s et e c h n i q u e s i n v o l v et h ep r o b l e mo ft h ep r o p a g a t i o no fl a s e ri nt h em u l t i l a y e rt h i nf i l ms t a c k s i n o r d e rt og e tao p t i m i z e ds t r u c t u r eo ft h em u l t i l a y e rt h i n6 l mw i t hg o o dp e r f o r m a n c e i t i sn c c , e s s a r yt od oal o to fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n p r e v i o u sw o r k sf o rt h i sk i n do fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nu s u a l l ya d o p t e dp l a n e w a v ea p p r o x i m a t i o n ，n a m e l y , t h ei n c i d e n tb e a mw a sr e g a r d e da sa ni d e a lp l a n ew a v e h o w e v e f i no r d e rt oi n c r e a s et h ea r e a ld e n s i t yo fr e c o r d i n g , al a s e rb e a mo fs h o r t w a v e l e n g t hi sc o n v e r g e di n t oas m a l ls p o td u r i n gt h ep r o c e s so fr e a d i n ga n dw r i t i n g d a t a i ti sr o u g ht ou s et h ep l a n ew a v ea p p r o x i m a t i o ni n s t e a do fac o n v e r g e dl i g h t b e a m 0 r eo ft h er e a s o n si st h a ts o m ep a r a m e t e r so nt h el a s e ra r en o ti n c l u d e di n p l a n ew a v em o d e ，s u c ha st h es p o ts i z e ，w h i c hm u s tb ec o n s i d e r e di np r a c t i c eu s e w eh a v ep r o p o s e dan e wm e t h o dt os o l v es u c hp r o b l e m sa b o v e t h em e t h o d a i m sa tc a l c u l a t i n gt h ep r o p a g a t i o no faw a v ew i t ha r b i t r a r yp r o f i l ei nm u l t i l a y e rf i l m s t r u c t u r eo rs u p e r - l a t t i c es t r u c t u r e i nt h i sw o r k ，t h ev e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r ya n d o p t i c a lm a t r i xm e t h o da l ec o m b i n e dt oi n v e s t i g a t ei n t ot h ep r o p a g a t i o no fl i g h ti n m u l t i l a y e r 丘l ms t r u c t u r e f i r s t al i g h tb e a mw i t ha r b i t r a r yp r o f i l ew a sd e c o m p o s e d i i l t oas e r i e so fp l a n ew a v e sw h i c hd i f f e rw i t hd i r e 斌i o no fp r o p a g a t i o na n da m p l i t u d e w i t ha n g u l a rs p e c t r u ma n a l y s i s t os o l v et h ep r o p a g a t i o np r o b l e mo fp l a n ew a v e ， 0 p t i c a lm a t r i xm e t h o df 0 m m ) b a s e do nm a x w e l l se q u a t i o n si sa ne f f e c t i v e a p p r o a c h t w oi m p o r t a n tm a t r i c e s t h em e d i u mb o u n d a r ym a t r i xa n dt h em e d i u m p r o p a g a t i o nm a t r i xa r ei n t r o d u c e di nt h em e t h o d w i t ht h e s em a t r i c e s i ti sa b l et o a p p l yt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n st od i r e c t l yo b t a i nt h em a g n e t o o p t i c a lc o e f f i c i c a t s a f t e rt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e sf o re a c hp l a n ew a v eh a v eb e e nd e t e r m i n e db yt h e o p t i c a lm a t r i xm e t h o d t h ef i n a lr e s u l i sf o rt h ep r o p a g a t i o no fi n c i d e n tb e a mw i t h a r b i t r a r yp r o f i l ei nt h er e c o r d i n gm e d i u m ，s u c ha sm 0s i g n a l ，j o u l el o s s ，e l e c t r i ca n d m a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o n se t c ，w e r eo b t a i n e dt h r o u g hc o m p l e xs u p e r p o s i n go ft h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fe v e r yb r a n c h e so fp l a n ew a v e f o rs a v i n gt h ec o m p u t i n gt i m e o rr e s o u r c e s ，t h ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f r ) a l g o r i t h mw a su s e df o ra n g u l a r 复旦大学硕士毕业论文 3 摘要 s p e c t r u ma r i a b 7 s i s i no r d e rt o t e s tt h ev a l i d i t yo ft h ed e v e l o p e dm e t h o d ，s u p p o s i n gag a u s s i a n b e a mi si n c i d e n to nam om u l t i l a y e rs t r u c t u r e t h es i m u l a t e dr e s u l t so ft h e m a g n e t i c - o p t i c a le f f e c tf o rt h em om u l t i l a y e rs t r u c t u r ew e r ec o m p a r e dw i t ht h o s eo f e x p e r i m e n t ，a n dt h e ya r ec o n s i s t e n tw i t he a c ho t h e r s i m u l t a n e o u s l yt h eo p t i c a l r e s p o n s e s ，e l e c t r i ca n dm a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o n sa n dj o u l el o s sp r o f i l e sf o rt h em o d i s ki r r a d i a t e db yag a u s s i a nb e a mf r o md i f i e r e n tn a s y s t e mh a v eb e e no b t a i n e d t h e r e l a t i o no ft h es p o ts i z et ot h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e sw a sa l s oo b t a i n e d t h e c o m p a r i s o nb e t w e e nt h er e s u l t sf o rg a u s s i a nb e a ma n dt h o s ef o rp l a n ew a v es h o w s t h a tt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fag a u s s i a nb e a m o b v i o u s l yd i f f e rf r o mt h o s eo fa p l a n ew a v e , e s p e c i a l l yw h e nt h es p o ts i z ei ss m a l le n o u g h h o w e v e rag a u s s i a nh e ：锄 w i t hl a r g e rs p o td i a m e t e r ( e g g r e a t e rt h a n1 0 0 m ) c a nb et r e a t e da sa p l a n ew a v ei n s i m u l a t i o n ，a st h et w os e t so fd a t aw e r ed o s et oe a c ho t h e r i ns u m m a r y , au s e f u la n d e f f e c t i v et o o lh a sb e e n d e v e l o p e df o r t l i e d e s i g no fm u l t i l a y e r s t r u c t u r ef o r i n f o r m a t i o ns t o r a g et e c h n o l o g yi nt h i sw o r k k e yw o r d s ：i n f o r m a t i o ns t o r a g e ，m a g n e t o - o p t i c a ld i s k , m u l t i l a y e r , a n g u l a ra n a l y s i s , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n c l c ：0 4 3 6 3 ；0 4 3 6 4 ；0 4 4 1 1 ；0 4 4 1 6 复旦大学硕士毕业论文4 第一章绪论 第一章绪论 随着技术的发展，人们要处理和传输的不仅仅是数据、文字和声音，还有高 清晰的动画和图像。这就要求我们处理信息的速度更快( 以m s 、p s 来计算) ；存 储信息的容量更大( 以g b 、t b 来衡量) 。因而对于日益发展的信息技术，高速 高容量的存储技术成为技术进步的关键之一。 现今多层膜存储技术主要包括磁存储、光存储等。以硬盘为代表的磁存储采 用磁性材料的不同磁化方向来记录信息。为了提高其容量和速度，光辅助( 或称 为热辅助) 磁记录f 1 3 】成为磁存储的发展方向。热辅助记录技术是实现超高密度 记录的手段之一，由世界最大的硬磁盘驱动器制造商之一的s e a g a t e ( 希捷公司) 提出。其原理是：所有磁性材料都具有一个居里点温度，当磁性材料被加热到该 温度时，材料的矫顽力降为零。介质材料的矫顽力较低时，容易记录，但信号易 被干扰擦除；相反，当介质材料的矫顽力较高时，记录信号稳定，但要求记录磁 头具有强度更高的记录磁场，所以采用传统磁头几乎不可能完成记录。对于高矫 顽力介质，在记录过程中，需要采用激光照射等手段将记录介质上一个非常小的 区域瞬时加热，使其温度达到居里点附近，由于介质的矫顽力降低，容易用记录 磁场相对较低的磁头在该位置记录一位信息。当激光除去以后，随着记录区域的 冷却，该记录区域将很快恢复到原来的高矫顽力状态，所以该记录位将是非常稳 定的。采用这种方法既可以克服高矫顽力介质记录的困难，又能改善信息位的热 稳定性，从而获得非常高的面记录密度。 光存储是继磁存储之后新近兴起的重要信息存储技术，它具有无磨损、信息 容量大、存储寿命长、信息质量高、信息位的价格低和能形成光盘库等优点。光 存储技术主要是利用激光在材料中记录信息，目前发展到可擦写光盘存储技术， 如c d r ，d v h i ，m o 光盘等等。光存储光盘主要包括磁光型和相变型。 磁光存储f 4 ，5 】，采用磁记录、光读出的方法，可重复擦写；即用一束强激光 聚焦到磁光记录介质薄膜上，热磁写入和擦除信息，利用磁光克尔效应读出信息。 它是磁记录和光记录结合的产物，兼具磁存储高稳定、长寿命等优点，又具有光 存储的非接触读写、盘片可自由更换的特点。在日本的磁光存储国家大型研究项 目之后，磁光存储容量已经达j ! j j l 0 0 g i n 2 ，成为一种颇受关注的下一代光存储技 术f 6 ，7 1 。存储介质材料及其结构组成是磁光存储的研究关键之一。磁光介质必需 具有显著的垂直磁各向异性，磁光效应强，写入噪声小( 非晶态膜系) ，材料稳 定性好等主要特征。现在主流的磁光存储材料是稀土一过渡( r e ，t m ) 族金属材料， 尤其是重稀土金属与过渡金属的合金，如t b f e c o 、g d f e c o 等合金材料【8 1 0 。 在这类材料中，过渡金属的磁矩与重稀土金属的磁矩反平行排列，因此这类材料 具有亚铁磁性。适当选择稀土金属、过渡金属的组份，可形成具有垂直各向异性、 复且大学硕士毕业论文 5 第一章绪论 并具有合适的补偿温度点的薄膜材料。这类非晶薄膜不会在晶界面产生噪声，易 产生垂直磁化并有一定的克尔角值，能够成为优良的磁光存储材料【1 1 】。擦写时 激光照射使温度稍高于材料的补偿点时，其矫顽力随温度的上升急剧下降，此时 用很小的磁场就可以对记录区进行擦写。磁光存储通过材料不同磁化状态记录信 息，如可规定记录点的磁化向上为1 ，向下为0 。而信号的读出则根据磁光克尔效 应的测量原理，读出的线偏振光聚焦并经过记录点上，由记录点不同的磁化状态 使读出光的偏振面产生不同的偏转角，从而分辨出记录点所记录的不同信息。目 前磁光盘可通过缩短记录激光波长、磁超分辨读出技术( m s r ) 、磁畴放大读出 技术( m a m m o s ) i x 2 】、畴壁移动检测技术( o w l ) d ) 1 1 3 ，1 4 】等方法使记录密度大 幅度提高，应用和发展前景广阔。 相变光存储利用激光使存储介质在非晶态和结晶态之间发生可逆变化而实 现 1 5 1 7 1 。介质的结晶态处于吉布斯自由能的最低位置，是介质的稳定态；非晶 态处于自由能较高位置。相交材料在不同功率密度和脉宽的激光作用下，会发生 晶相与非晶相之间或晶相i 与晶相之间的可逆相变，导致材料的某些物理或化学 性质( 如反射率、折射率等) 也发生相应的可逆变化。通过这些性质上的不同可 以达到分辨不同存储信息的目的。而这种不同相之间的可逆变化是相变光盘信息 写入和擦除的机制。一般信息写入时激光功率较高、脉宽较短，材料由晶相变为 非晶相或由晶相1 变为晶相i i ；擦除信息时激光功率低、脉宽较长，材料由非晶相 变为晶相或由晶相i i 变为晶相i ；信息读取则采用不会引起材料相变的低功率密度 激光照射相变材料并测其反射率来完成。 以上各种存储技术研究和开发都是基于薄膜的研究。目前，在大量磁学或光 学器件中材料都以其薄膜形态存在，并表现出优异和独特的磁性或光学性质，如 各向异性磁电阻；同时还出现人工设计的超晶格或多层膜、三层膜、隧道结膜 等等。在磁存储和光存储技术方面，如何更好选择薄膜记录材料，选择更好的多 层膜厚度或结构都是研究的焦点。当激光被引入信息记录技术时，磁性薄膜或多 层膜的光学性质及其与激光的作用越来越引起人们的兴趣。 当激光运用于多层膜存储领域之后，不论在磁存储还是光存储中都发挥了至 关重要的作用。可以看到以上三种不同的存储技术都不约而同采用了激光作为提 高存储密度或减少记录时间的手段。而激光的一些参数决定了存储技术的改进， 比如激光的入射光斑的大小与记录密度密切相关。光斑越小，写入数据所占的面 积越小，能分辨的数据单元越小，一张光盘包含的数据量也就越大；同时光斑的 大小对薄膜内电磁场的分布、热分布以及其他性质也存在着影响。在存储系统中， 由于光的衍射极限，光波被聚焦后的光斑直径与光波波长成正比，与数值孔径成 反比，即d = 1 2 2 2 n a ，其中d 是光斑直径，m a 是数值孔径。而存储密度与( 乩4 复旦大学硕士毕业论文 6 第一章绪论 五) 饿正比。所以通过提高系统数值孔径和减小激光波长能够达到增加存储密度 的目的。 在以前用计算机对多层膜存储的数值模拟c o i l 8 ，我们使用平面波近似。即 将入射光波近似成为理想的平面波，这样大大减少需要考虑的参数，减小了建模 和程序的复杂程度。但是随着记录密度的增加，入射激光被聚焦得更小，入射光 的性质与平面波相比显示出明显的差异，所以平面波近似可能会显示出它的粗糙 性和局限性。例如平面波近似就不能反映出光斑大小对存储的影响等等。所以如 何解决激光在多层存储薄膜中的传播问题是我们关心和急待研究的问题。解决了 这个问题就能进一步减少我们引入近似带来的误差，并与实验条件更加接近，从 而提高模拟的真实性和可靠性。我们已经掌握了目前相当成熟的用平面波近似对 行多层膜光盘结构模拟的方法一光学矩阵法( o p t i c a l m a t r i xm e t h o d , o m m ) 。我们 希望在已有方法的基础上，提出一种新的研究方法把激光模型引入到我们的计算 中来，在提高工作效率和准确性的同时还简化了我们工作的复杂程度。 在这样的思想指导下，我们考虑结合矢量衍射理论( 即角谱分析方法) 【1 9 和光学矩阵法 2 0 ，2 1 1 ，通过三步来实现目标。首先运用角谱分解，将高斯分布的 激光光波分解成一系列沿不同方向传播、不同振幅的理想平面光波。这样我们成 功地把复杂的高斯波传播问题化成多个较简单的平面波传播问题。之后，我们用 光学矩阵法分别解决分解后多个平面波的传播问题，然后每支平面波在材料中传 播的光学或磁学响应被计算得到，例如：材料与光波作用的电磁场分布、克尔效 应和焦耳热效应等等。最后，通过对各支平面波的各种光学性质和其他效应的叠 加或合成得到相对于原先入射激光的结果。 这里先简单介绍一下矢量衍射理论，更具体的阐述和运用将在下一章中说 明。根据衍射理论，衍射屏上的每一个面元，均看作是一个发射次级光波的子波 源，透射光场则是由各个面元产生的子波在空间的线性叠加结果。显然各个子波 总存在方向对应相同的一簇波面法线。因此，各个子波中具有相同波面法线方向 的分量的集合，实际上就构成了一个特定方向的平面光波分量。这就是说，透过 衍射屏的光波场，也可以看作是由一系列取向不同的平面波分量的线性叠加结 果。此即矢量衍射理论【2 2 】。根据上述理论的延伸可以得出，任意模型的光波都 可以被分解成一系列不同方向的平面波分量，这一系列平面波经过传播之后再进 行线性叠加依旧能还原为原来波形的光波。所以利用上述的分解和叠加的过程， 我们可以把任意光波作为入射光引入到我们的计算中来然后进行分解加以解决。 这不仅解决了激光光波在多层记录薄膜中传播的问题，也为以后其它模型光波运 用到多层膜结构问题提供了解决途径。 复旦大学硕士毕业论文 7 第一章绪论 在第二章中，我们重点介绍角谱分析方法及其算法。在第三章中，我们将介 绍光学矩阵法的原理和应用。之后在第四章中，我们选取一些实例进行计算，并 将计算结果与实验结果进行比较来验证我们方法的准确性。最后，第五章将叙述 我们计算实际光盘结构的结果并得出一些结论。最后，第六章给出论文工作的总 结。 复旦大学硕士毕业论文 8 第三章光学矩阵法 第二章角谱分析方法 泛函理论中，在h i l b e t t 空间内，某个边界条件下一个问题的解，总能找到一 组完备的本征函数，这组本征函数有的有限、有的无限而且正交。那么这个问题 的解总能用这组本征函数来展开。 在我们现在要解决的任意分布的光波在多层膜结构传播的问题中，本征函数 为一系列的平面波。因此入射的任意波就能用这一组本征函数展开，变成一组平 面波在多层膜结构中传播的问题。这里运用的就是上章提到的矢量衍射理论，即 角谱分析方法【2 3 】。 2 1 角谱分析的基本概念 首先假设某个未经特殊说明的单色光源把一个沿z 正方向传播的波投射到图 2 - l l 拘x y 平面上。令此平面上的复电场用e ，y ，0 ) 表示，在砂平面上的复场有一 个二维的傅立叶变换式( 2 2 d , 节中详细论述) ，由下式给出： e ( x ，y ，q 。lla ( l ? l ) e x p y 2 口( l x + f , y ) l d l d f , 4 2 1 其中j r 一，是空间频率。上式表示了入射光波的场分布由一系列具有不同空间频 率的基元场的线性叠加。它的逆变换可以如下表示： a ( l f 0 。lle q ，y ，o ) e x p 一l h u + | ，蝴蛐 4 2 z 这一方程表示基元场由原来的场分布决定。 另一方面，如果不考虑时间关系，一个平面波可以表示为： ，- e p o ，y ，z ) 一e x p y 二( a x + y + r z ) 】 2 3 经过对比，前面在傅立叶变换中的复指数方程e x p 【j 缸( ，声+ y ) 】可以被看成是 一束平面波。平面波的方向余弦口，p ，y 与，关系表示为： a t 九f 1 8 t 九f ，。y 、9 - 而 从上面的分析我们看到通过这一系列的变换，任意模式的光波都可以用这样平面 波的叠加来得到，叠加的平面波为8 x p 【，扬( ，+ ，) ，) 】，它的振幅是彳( 正，) ， 复旦大学硕士毕业论文9 第三章光学矩阵法 也可以看成振幅为1 的平面波上的叠加权重。函数 4 呼号，o ) 一应e y ，0 ) e x p 【一，h 呼z + 鲁y ) 蚴， 被称为场分布e o ，y ，o ) 的角谱。 x j ， 图2 - 1 光入射示意图 在这里我们举一个例子。假设一个沿x 方向极化的高斯光波沿着z 轴正方向投 射至崎平面上。按照上面的理论，入射高斯光波被看成一系列平面波k 1 磁的 叠加，如图2 - 2 所示。每支平面波沿不同的方向传播，具有不同的方向余弦和不 同的振幅。它们各自的极化方向也不再沿x 方向，是由波矢量方向和x 方向决定， 极化方向p 位于各自波矢量和x 轴组成的平面内，并垂直于光波传播方向。 图2 - 2 激光分解示意图 2 2 角谱分析的实现一傅立叶变换 上面我们提到通过傅立叶变换推导出将任意的光波分解为不同空间频率的 一系列平面波的设想。傅立叶变换即是实现角谱分解的出发点和数学工具。 复旦大学硕士毕业论文 1 0 第三章光学矩阵法 傅立叶变换来源于傅立叶级数。一个周期函数，( f ) ，周期为f 三，它满足 ， 狄里赫利条件，即函数在一个周期内有有限个极值和第一类间断点( 所谓第一类 间断点就是函数的不连续点，在该点附近函数的值有限，其左右极限存在) ，则 ，( f ) 可展开成三角级数： ，o ) 一了a o + ( c o s 纫删f + 丸s i n 2 石v t ) 2 5 - - 1 其中的傅立叶系数口。、a 。、吒表示如下： 口。- 三f ( t ) d t -0 n 一。镏啷h 删t 以哥，( f ) 8 如铆础 2 6 按照上述的泛函理论的理解， 仕c o s 2 ：r v t ，s i n 2 z r v t ，c o s 4 ：r v t ，s i n 4 j j r v t ，c o s 2 n v t ，s i n 2 r r n v t ， 是函数在一个周 期内的一组完备正交本征函数集。 在数学表达上，也可以等效地把周期函数，( f ) 展开成指数傅立叶级数形式， 即： ，( f ) - c 。e x p ( j 2 石n v t ) 2 7 其中 e - 暂厂( f ) e x p ( 一，幼删f 渺，厅一o ，+ 1 ，2 ， 2 8 e 一般是频率的复函数，上式一般被称为频谱函数。【2 4 】 由傅立叶级数引申，当，o ) 满足狄里赫利条件且绝对可积，定义一维傅立叶 变换为： f ( k ) 2 f f ( t ) e x p ( 一i 2 k t ) d t 2 9 复旦大学硕士毕业论文 1 1 第三章光学矩阵法 而对于二维非周期函数，o ，) ，) 在整个无限的砂平面上满足狄里赫利条件，且 ， ，) ，) 蚴，存在，则二元函数的傅立叶变换定义为： ，( 宇，叩) 。f f f ( x ，y ) c x p 一2 厅( 毒x + t 7 ) ，) h 6 ：方 它的逆变换定义为： ， ，y ) 。f f r ( 亭，7 ) e x p 口2 石( 缸+ 卵) ，) ) z 亭d ，7 2 1 0 2 1 1 2 3 算法的实现一快速傅立叶变换( f l w r ) 尽管上面的傅立叶级数和傅立叶变换具有非常优美的数学结构和物理意义， 但并不能马上应用，因为他们都无法用有限字长的计算机作逻辑上的运算。为此， 我们必须建立傅立叶变换的数值方法，并由此导出离散傅立叶变换( d f t ) 。数 值分析中，通常采用抽样的方法，观测，o ) 的一些离散值，然后利用数值积分将 傅立叶变换离散化。 函数抽样是函数插值的逆过程，假定用取2 m + 1 个互相间隔为血的节点的 方法，当一个连续函数，o ) 离散化为一个序列： f ( - m a t ) ，( 一缸) ，厂( o ) ，( f ) ，厂 ) 。于是当m 充分大时，有： 册址 f ) 。ff ( t ) e 。砌d t 2 1 2 一m 6 t 现在我们把2 1 2 式中的求积函数当成周期为2 川的函数，以 i a t ，一o ，1 ，2 ，加为节点，对2 1 2 式用复化梯形公式做数值积分得 f ) 一a t 罗，p 缸弘一“ 2 1 3 ，焉 对k 进行离散化，取七一j ( m a t ) ，= 0 ，1 ，2 ，。朋一1 ， 则上式可改写为： f ( 击) ，m 萎- 1 ，弦侧佃 2 “ 这就是一维傅立叶积分的离散表达式。 在上面，我们普遍遇到了带有复指数乘积项的和式。实际上，这种特殊的数 据结构可利用以下更为一般的方式定义。给定n 个实或复的数列： 复旦大学硕士毕业论文 第三章光学矩阵法 ，( o ) ，f o ) ，f ( n 一1 ) ，定义： f 0 ) 一，o 弦“i , j , k - 0 ，1 ，甩一1 2 1 5 厕 为t 怨) ) 的离散傅立叶变换，简称d f t 。 首先说明，由2 1 5 式确定的序列 f ) 可以恢复为原序3 o f ( t ) 。事实上，在 2 1 5 式两边同乘以e 2 础加，并对七从o 到肛1 求和得： 篆f ( 七) e2 嘶“。篆磊厂( f ) e 2 砒“。“ 。磊，( f ) 荟【州卜。“r 吲舻，萎，川g 淼 2 舶 注意到2 1 6 式的和式中分子部分为0 ，从而 f ( j ) 一三罗f 弘撕i n ，- o ，k ，一一1 2 1 7 万f = 6 我们称2 1 5 式与2 1 7 式互为逆变换，并称 曩 和 雕) ) 为离散傅立叶变换对。 可以通过抽样获得一组的离散值，并利用d f r 转换为另一组对应的数据。 应用傅立叶变换离散化，上面的连续傅立叶变换方程式2 1 和2 2 被化为离散 傅立叶变化，如下 砸川2 摹。毗，) 吲牡圳 2 1 8 彳( ，) 。砉荟e 町慨哪 2 1 9 其中形一e “肺，m n 2 通过估算可以很明显发现，在2 1 9 式中，对于每一对( ， ) ，直接计算 a ( l ，) 需要次复数乘法和一1 次复数加法。在整个计算中有对( 正，) ，就 需要2 次复数乘法和( - 1 ) 次复数加法，非常消耗计算资源和计算时间。凯莱和 卡柯提出了一种专门用于处理d f r 的快速算法，即快速傅立叶变换( f 兀) 【2 5 。 复旦大学硕士毕业论文 第三章光学矩阵法 为了说明h 叮的优越性，我们从最简单的情形入手。对于f f t 一般待变换的 序列中的个数为2 7 ，r 为正整数。为了更加直观，这里我们假定，= 2 ，并用矩阵表 示加以说明。则2 1 5 式可改写为如下的矩阵形式： ，( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 时 聊 孵 聊 时 孵 孵 孵 ，( 0 ) q ( 2 ) ，( 3 ) 注意到w 曹al ，则2 2 0 式还可简化为 f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 11 11 1 w ：w ：w ： 1 砑明孵 1 叼孵孵 ，( 0 ) f q ，( 2 ) ，( 3 ) 2 2 1 以后的式子中没有把砑写成1 ，完全是为了推广的需要。第二步我们要做的是， 把上述矩阵分解为两个矩阵的乘积： f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 引进 ( o ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 则 f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 1 砑 1 孵 0o 00 ( o ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0o o0 1 时 1 孵 1 孵 1 孵 00 00 1 0 时0 01 0 时 1 0 孵0 01 0 孵 ，( o ) ，( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 00 oo 1 时 1 叼 ( o ) 五( 1 ) ( 2 ) 五( 3 ) ，( 0 ) ，( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 2 2 4 于是求解- f ( k ) 分成了两次矩阵运算。下面我们来分析一下这个过程的工作量。 复旦大学硕士毕业论文 1 4 o砑。呀 时。嘭o o 1 0 1 1 o 1 o 第三章光学矩阵法 计算f d o ) 需要的一个复数乘法和一个复数加法，即l o ) 一，( o ) + 职，( 2 ) 。这里 没有用1 代替矸翟是因为在一般情况下这一项通常不为1 。计算五( 1 ) 需要一个复数 乘法和一个复数加法。计算五( 2 ) 只需要一个复数加法，这是因为孵一一时，从 而 ( 2 ) 一，( o ) + 砑，( 2 ) i f ( o ) - w 4 0 f ( 2 ) ，其中埘，( 2 ) 在计算五( o ) 时已经计算 过。同样的原因，计算五( 3 ) 只需要一个复数加法。总结上述算法可知，计算 ( f ) 共需4 个复数加法和个2 复数乘法。类似的，计算，2 ( f ) 也需要价复数加法和2 个 复数乘法。于是计算f ) 共需要8 个复数加法和4 个复数乘法。如果直接利用2 1 2 式进行计算，则共需要1 6 个复数乘法和1 2 个复数加法。显然，上述分解算法具 有更高的效率，这正是f 兀算法的优越性。 更一般的，对n - 2 ，f f r 算法将把原矩阵分解为r 个n x n 矩阵的乘积， 每个因子矩阵具有最小数据的复数加法和复数乘法运算。如果推广上述结果，则 当一2 7 时，f f t 需要班个复数乘法和n r 个复数加法。相应的，直接算法需要2 个复数乘法并f i n ( n - 1 ) 个复数加法，两者的工作量之比为：乘法2 n r ，加法( n - 1 ) r ， 如鼎v = 1 0 2 4 ，则h 呵算法的乘法运算次数将降低为直接法的二百分之一，显然工 作量节省相当可观。 现在我们用一般表示方法来说明如何在程序中实现二维快速傅立叶变换。上 面方程2 1 6 中的序列e ( x ，| ) ，) 0 ，y 一0 ，】，n 一1 ) 按照们，0 ) ，以o ，1 ) ，e ( o ，行一1 ) ， e ( 1 ，o ) ，这样的顺序进行排列，如此就将二维的序列变化成一维的序列例 如= o ，1 ，叽1 ；n = n 2 ) 。同时我们将，4 以矗) 按同样的方法排列成一维的序歹岫( 目。 之后就可以将方程2 1 8 分成两部分的和，各自包括前m 2 点和后 坦点。在使用对 称性质和周期性质 w ：”“一w ：w 一w ： 2 2 5 之后，我们得到： 彳 ) 2 砉【薹e 似) 町“+ 。；2 e ) 町“】 2 2 6 以盖= 6m = 1 【誉1 e 劬) 町“+ 町圳2 苫1 + 譬孵2 【磊e 劬) 町“+