（概率论与数理统计专业论文）带吸收边界粒子系统的极限分析.pdf

摘要 摘要 本文考虑个粒子开始时被置于区间 0 ，1 l 内，并在整个实轴上独立地进行分支参 数为m 的临界分支布朗运动。对系统粒子的整体分布进行适当的尺度变换，从而得到： 当“_ v 伴随以不同形式趋于o o 时，相对应的极限分布满足某些随机偏微分方程。采用文 【3 ，4 ，5 ，1 0 ，l l 】中的方法，对弱收敛极限进行正则性分析。最后，通过用差商代替微商得 到了适合其中部分随机偏微分方程的更优结果 关键词：临界分支布朗运动，随机偏微分方程，正则性 垒里曼! 曼垒旦! a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，p a r t i c l e sa r ed i s t r i b u t e di t h ei n t er 、，a l 【o ，1 】，e a c hp e r f o r m sc r i t i c a l b r a n c h i n gb r o w n i a nm o t i o nw i t hb r a n c h j n gp a r 锄e t e rp i n d e p e n d e n t l 弘b ys u j t a b l es c a l i n g o f t h e d i s t r i b u t i o n o f p a r t i c l e s i n 乞h es y s t e ma n d t h a t p i s g o i n g t os o m e u i n i t s w h i l e i s g o i n g t oi i l 壬i i l i t y jaf e wo fs t o c h a s t i cp a r t i a ld i 伍e r e n t i a le q u a t i o n sw mb ea b t a i n e dt h r o u g hal i i i l i t i n g p r o c e d i l r e s f l l r t h e rs o m er e g u l a r i t ya n d y s i si st a k e nf o rt h el i m i t so fw e a kc o n v e r g e n c el l s i n g t h e i i l e t h o d so f b l o u n t ，( 【3 】，【4 】，【5 】) a n d k o t e l e n e z ，1 1 1 f i n a l l y ，ar e 6 n e dr e s i l l t f o rs o m eo f t h e s t o c h a s t i cp a r t i a ld i 髓r e n t i a le q u a t i o i l sc a nb eg a i l l e db ys u b s t i t u t i n gt h ed e r e n c eq u o t i e n t s f o rt h ed i 髓r e n tq u o t i e n t s k e y w o r d s ： c r i t i c 址b r a n c h i gb r o w i a m o t i o n ，s t o c h a s t i cp a r t 谢d i 髓r e t i a le q u a - t i o n ，r e g u l a r i t y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 支l j 孑轰 矿6 年r 月弓户 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：受1 j 3 坎 。6 年j 月；j 日 第一章引言 第一章引言 1 1 背景介绍 自然界中的万事万物均有自己的运动轨迹，虽然有许多必然的情形，但也有很多偶 然的因素，后者便需要用随机来描述，其中粒子的随机运动可以抽象地刻画自然界的许 多现象。分析问题的过程中，我们不仅关心具有固定参数的单个粒子的运动情形，同时 也对众多粒子不断变化的粒子个数和参数的极限情形有考虑。对于后者，在随机过程中 通常考虑分布极限的收敛，即随机过程的弱收敛。可以用两种方法来描述这一过程： 1 整体考虑。与之相对应的是反应扩散模型，包括全局随机模型一带跳的m ”k o v 过 程，和局部随机模型一一带跳的时空m ”k o v 过程。曾在文【2 】【1 2 】和【1 3 】中给予讨论。 其中在全局随机模型中，所有的粒子被看作个整体，通过转移概率，应用d y n l 【i n 公式 便可得到一个等式，进而获得对应的大数定律和中心极限定理。而在局部模型中，空间 被分解成许多小块，对每一小块应用全局模型中的方法，进而让所分小块的个数趋于无 穷，便可获得整体分布极限的大数定律和中心极限定理。因为此模型对应于具有核方差 的随机偏微分方程，因而对其进行正则性分析便可获得关于随机偏微分方程存在空间 即定义域的结果。 2 逐个考虑。首先对每一个粒子进行分析，进而把结果合在一起并取极限便可获得 所有粒子的极限分布。这种模型曾在文【1 4 】中讨论。文【1 4 】中，起初服从p o 豳o n 分布 的无数粒子在实轴上进行临界分支布朗运动。分析过程中，首先应用i t 6 公式分析单个 粒子，进而综合所有粒子的结果便得到粒子的整体分布。伴随参数的不同极限情形对整 体分布进行不同的尺度变换，便得到一系列存在于光滑速降函数空间中的随机偏微分 方程。 1 2 本文的主要工作 本文中，首先考虑有限个数的粒子被随机投放在一个固定的区间【o ，1 1 ，然后粒子便 在整个实轴上进行临界分支布朗运动。分析每一个粒子的情形，综合后得到个粒子的 整体分布所满足的等式。修改文【1 4 】中的尺度变换，令粒子个数和分支参数取极限， 即得整体分布的极限所对应的四个随机偏微分方程。 接着，分析上述极限过程的弱收敛。即可得到四个随机偏微分方程的正则性结果。 这是相对标准的方法。 最后，着重对如上的正则性分析进行了修改，得到了更优的结果。用差商代替微商， 降低了所需函数的光滑程度。同时对弱收敛进行了更为复杂的研究和分析，得到了更加 细致的结果。此时并不是对四个随机偏微分方程都成立，仅其中的两个满足分析过程中 的条件，这说明对于令两个随机偏微分方程而言，起初的正则性结果便是最优的。 第二章预备知识 第二章预备知识 首先列出本文中常用的一些记号t 令 v m ) ：= 掣，( 小= 掣， v 专他) ：= k m + 壶) 一m ) 】， 和 ，( z ) ：= k 2 【m + 去) 一2 m ) + m 一去) 卜 考虑区间【o ，l 】上的个粒子，令其初始分布为弼。为了跟踪每个粒子的运动轨迹， 按照文【1 4 】中的方法给分支粒子进行编号，并给出下面的定义。 定义2o 1 粒子q 的运动轨迹b 。：对不同的q ，b 。= 印，t o ) 为j r 上的独立的标准布朗运动。 粒子n 的寿命s o ：对不同的a ，s o 为参数“的独立同分布的指数随机变量。 粒子。的分支个数。：对不同的q ，。独立同分布于p ( 。= o ) = p ( 。= 2 ) = 。 由定义2 1 可得粒子a 的出生时刻 p c a ，= 三芽i l s 。一j 薯贝。一= 2 j = 1 ，2 ，一i n | 。 和死亡时刻( ( a ) = 卢( n ) + s 。 令x 。( t ) 表示t 时刻粒子。的位置，则 胃= 孺峨喜裟臻 其中胪( t ) = 如( 。) s ；) 上，檀满足 韶( 奶= ”8 ( 纠+ ；j ( 。韶( 纠d s + c z z 1 ( z ) z 。( 出，d s ) + z 2 j ( 1 v ? 叭蜊s ) 和 帮( ) = z 1 g t ( 妒，) 胡( d ) + c z 。z 1 g t 一。( 妒，g ) z 。( 出，d s ) 帮( ) = g t ( 妒，) 胡( d ) + cf g ( 妒，g ) z o ( 出，d s ) j 0j 0j 0 + j ( 。z 1 g t 一。( v 毋，v ) h ，。( 出，d s ) 。 下面定义 “( x p ) ：= ( 礴。) ) + o ( s ) v 矗咖( x ? ) d b ； 、 j 0 + 新州s m 孵油， ( 3 1 ) 其中k = k ( ) 为依赖于的正常数。这样便可避开起初在( 21 ) 中应用i t 6 公式，得到相 对于定理( 3 o 2 ) 更优的结果。但此种方法并非适合定理( 3 _ 0 1 ) 中所有的随机偏微分方程， 仅后两种。 定理3 0 3 1 当一o o 时，若p 一o ，且箐一o ，醒在空间9 ( ( o ，t 】，且一2 ) n9 ( ( o ，引，n 。) ( a ；) 上满足 醒( 咖) = q 3 ( 毋) + z 醒( 庐) d s + z 。z 1 ( z ) z 0 ( d z ，d s ) ， 醒( 咖) = q 3 ( 毋) + 醒( 庐) d s + ( z ) z 0 ( 出，d s ) ， j 0j 0j 0 且q p 在空间9 ( ( o ，列，n 。) ( a ；) 上满足 嘏( ) = z 1g t ( 也g ) 胡( 由) + z 。z 1 g t s ( ，g ) z 。( 出，d s ) ； 嘏( ) = g ( 也g ) 胡( 由) + g 一。( ，g ) z o ( 出，d s ) ； j 0j 0j 0 第三章主要结果 2 当一。o 时，若p 一o ，且箐一c 2 ，棚在空间9 ( ( o ，卅，n 2 ) n9 ( ( o ，】，日一n ) ( a ；) 上满足 确( 妒) = 稍( 妒) + j ( 。砖( 咖) d s + c z 。j ( 1 币( z ) z 。( d z ，d s ) ； 确( 妒) = 稍( 妒) + 砖( 咖) d s + c 币( z ) z o ( 出，d s ) ； j 0 j 0j 0 且q 2 在9 ( ( o ，卅，n 。) 陋 ；) 上满足 q ( ) = z 1 g c ( a ) 璃( 咖) + c z z 1 g t 一。( 庐，v ) 驴( 妇，d s ) a q ( ) = g ( a ) 璃( 咖) + c g ( 庐，v ) 矿( 妇，d s ) a j 0j 0j 0 6 笙堕望窒闷! 益占塑塑坚篁 第四章空间器上的弱收敛 通过简单计算可知，算子的格林函数为 g t ( 刚) = 【f ( z ，2 n + ) 一r ( z ，2 n 一) 1 一 其中f ( z ，) = 茄磊e 印( 一堕云苎! 三) ，且g 如，p ) r ( z 州+ 凰( z 劫，日( z 朋连续且在紧 集上有界。于是我们有 引理4 o 1 存在一个取值于；上的过程 t ，t o ) 满足( 2 2 ) 。且它可以表示为 ( 咖) = z 1 g 咖川础( + 丽j ( z 1 g h ( 加) z ( 妣删 ( 咖) = g ( 也可) x ( d y ) + 、7 j i i i g t 一。( 毋，) z ( d ”，d s ) j 0j 0j 0 + 万z 。j ( 1 g t 一。( v 毋，g ) w 。( 曲，d s ) 。 ( 4 1 ) 且q 可以扩展为售上的随机过程，此时q 是唯一的。 令 v n2 素x 3 为空间尺度化后的初始分布，则可得 引理4 0 2 若s t 些! 导 o o ，则在备9 ( ( o ，卅，为) x 9 ( ( o ，卅，笛) 上，( y ，z ) 弱 收敛于( y o ，w o ，z o ) 。 证明：首先，证明三者分别是胎紧的，此可参看文【1 4 】。 其次仅需证明有限维分布收敛。 用硒，j = l ，2 ，标记初始时的个粒子，定义 v j ：鼍x o j ， 则y = y 1 + + y v 。 同时，定义w 1 ，”和z 1 ，z “，则 w ：! 竺：尘! ! ! u n 且 ：丝：兰竺。 、，| 】v 注意到 e 【y 州( 删2 = e i z l ( z ) 斋硒( 如) 】2 导s o 。， e 【w ( ) 2 = e t = e 杉，( 2 ) d s g t o o ， 蔓堕童至塑：墨占塑望堕篁 和 e f j ( 毋) 】2 e t j ( 毋2 ) 如t | | 掣慨= 吲( 。) 1 2 ( 1 + n 2 ”2 ) 1 n 2 彬( 1 ) 】2 ( 1 + n 2 2 ) ” n e i | 掣i 罡。2 e 【掣( 1 ) 1 2 ( 1 + n 2 ”2 ) 一。 2 e t ( 1 + 几2 丌2 ) 一。 = 斋e 和( 1 ) a s 莓( t m 2 广 2 亡【( 1 + n 2 7 r 2 ) 咄】m ( t ) 其中m ( t ) 是只与t 有关的常数。由此可得 z ，t ( o ，卅) 是相对紧的。 9 第五章定理31 中弱收敛的正则性 又当6 0 时， 掣( 川) _ z 巳z 善( + m 2 确一。专e 厂枷油 s 2 6 ( 1 + m 2 ”2 ) 一。 _ 0 。 则根据k u r t z 准则，不难看出 z 。v ) 相对紧。 同时，因为 z v ) 为m ”k o v 过程列，且v l 。， e e 印。掣( ) ) = e e 印( t z ( 妒) ) = e 印( 一嘉z 2 e ( 矿) d s ) ，e 印( 一；e ( 2 ) ) 。 则可知其有限维分布也是收敛的。 口 引理5 o4 当a ：时我们有 0 骢耶啪s t 忡一p n ) 心= o 。 证明：注意到 忡一r ) 幢= ( 机) ( 1 + 2 丌2 ) - 0 = 【z 。产蹦“( 圳s ) 】2 ( w 确1 s 2 皑( 1 ) 】2 ( 1 + 2 ”2 ) ”击， 又 e s 毗! t 掣( 1 ) 】2s4 e 【硝( 1 ) 】2 = 4 t ， 则当o ；) 上，过程列 u 。) 弱收敛。 证明：对掣作变换，得 j ( 弘一加) z ，d s ) = 枷) + z 。小- 5 ( 她脚蛐 定义映射 r ，( z ) ：= ，( 如) 机( z ) ， 0 m 曼“ 第五章定理3 1 中弱收敛的正则性 且 卢，( 吼) ：= r ，( 吼) + z 2z 1 g 一( ，g ) p n 厶( 口) d 9 d s 。 我们可知：对任何a 1 ，a 2 ，映射 卢：9 ( ( o ，t 】：凰，。) 9 ( ( o ，卅： k ) 连续。 因为( z v ) 弱收敛和文【9 】中的连续映射定理知，在9 ( ( o ，t 】：月0 。) 上，p 磊( 毋) 弱收 敛。同时根据文【9 】中第三章问题1 8 和引理4 2 可知 u ) 的弱收敛。 口 注：因为映射 1 】f ，t 舰( 妒) 为线性，且对于任意一组标准正交基 毋。) ， 聊( 妒。) d o o s 。 n 则脱为一个l 2 ( 【o ，1 】，留) 上的有界线性泛函。那么对于任意的妒铲，存在一个函 数舰( 。) ，满足 如( 妒) = 以( z ) 妒( z ) d z 。 j 0 可以断言，对于固定的z ，映射尬一尬( z ) 、连续。实际上，假设舰和帆为两个鞅测 度。我们有 地( 。) 一肌( z ) = 眦( 如) 一肌( n ) 】咖n ( z ) ， n 则 e ( z ) 一肌( z ) 】2 =e ( 。) 一胍( 咖。) 2 e i | 一批j 1 2 。 由于我们在得到方程( 2 3 ) 时应用了方程( 2 2 ) ，即i t 6 公式，故其后所考虑的函数曲都必须 是二次连续可微的。考虑到s o b o k v 嵌入定理，便易得定理3 o 2 的结果。 第六章关于正则性的进一步分析 第六章关于正则性的进一步分析 由于方程( 2 2 ) 中i t 6 公式的应用，使得前面所考虑的函数咖必须二次连续司微，这个 条件过于苛刻。在这一节中，我们用差商代替微商，避开i t 6 公式，达到降低函数的可微 性目的，从而使微分方程的定义域进一步扩大。 首先根据的定义，我们有 ( ) = 耐( ) + ；z 彬( k ) 出+ 、，丙石z 。z 1 西( z ) ，d s ) ( ) = 耐( ) + ；彬( k ) 出+ 、7 丙石ff 西( z ) ，d s j 0j 0 j 0 + 何j ( 。z 1 v 她胪( 圳s ) 。 由上式可得 q ，( ) = 稿( 卅 两鬲z 。j ( 1m ) ( 删s ) + 何z 。z 1 v 帕胪( 蛐) + 新彬( 删d s + ( 沪q ，( 俨) 。 且 q v ( ) ：f 1g ( ，g ) _ ( 由) + 扣面f 1g 墨。( ，) ( 蛾d s ) q 2 上g 蜘( 由) + 丽上上g 墨澎，奶( 蛾如)j 0j 0 ，u + 何j ( 。j ( 1 幽v 劬， ， + g f ( 咖一k ，可) 叩y ( d ”) 。 j 0 现在我们限制k 为奇数且对于j = 0 ，2 ，k 一1 ) ，定义 纸小) ：= 州譬) 脚) ， 和 风= 一2 k 2 ( 1 s 等) ， 其中c 1 2 凤k c 2 k 2 ，o o ，存 在光滑函数每，使得 愀z ) 一妒( z ) i i 丙云。 注意到 【i ( 毋) 一q y ( ) 1 1 1 。耳 其中 3 彬( 机，) 一( 乒) 】2 + 彬( 西) 一( ；酝) 】2 k + 【1 ，( 声& ) 一( 咖& ) 1 2 ) ( 1 + 凤，) 一。， _ r ( 西k ，) 一( 西& ) = 上1 陬( ) 一璐( 9 ) 】( 由) o ( 去) ( 1 ) ， 且 q ，( 啦) 一( 破) 壶( 1 ) ( $ ) 一q f ，( 芒) e q ，( 1 ) 。 则 e 0 ( 咖) 一q ，( 咖) 0 1 。 s 【d ( 去) + 南+ 嘉】e 彬( 1 ) 】2 ( 1 + 凤，x ) = 【d ( 等) + e ( 1 + 去) ( 1 + 鲰) 。 故知( 6 1 ) 成立。进而可得( 6 2 ) 。 口 引理6 o 6 如果当一o 。时，满足羔 l 。则当a ；且s 即箐 0 ， h ms 印p b t m t i i ( j r ，k ) r y ，k l i 。，k e 1 = o ( 6 3 ) 且 h ms t p p 【s t 砘曼t l l ( j 一斥，k ) u y ，i i 。，2c 】= o ， ( 64 ) 其中 彰( 班= z j ( 1g 墨门蚰) w ( d 州s ) 1 3 第六章关于正则性的进一步分析 k ( ”= j ( j ( 1 g m 奶，d s ) 且 r ，k ，：= 咖m 如 m 茎k 证明：首先我们处理一。令毋( z ) ；1 ，z 【o ，1 1 ，带入( 2 2 ) ，知 ( 1 ) = 秽( 1 ) + 。+ 瓜z z 1 ( 如1 d s ) 。 则 e q y ( 1 ) = 稿( 1 ) = 。 注意到 e s 啦! 掣( 1 ) s 耶冁垒掣( 1 ) 】2 ) ；曼2 e 掣( 1 ) 1 2 ) 2 ， 则有 e s 叫9 横( 1 ) = e 耐( 1 ) + 、丙石i e s u p j ( t 掣( 1 ) s + 2 、i 五鬲+ e 、，矿石i 。 又因为s 婶箐 o 。，则存在p ( e ) o o 使得 r = t n 坤，亩档( 1 ) p ) 满足s 叩p 一墨t ) e 。故可在证明中用以# 代替一。 对于固定的o 和o u t ，令 帆( 咖) = e 一凤，x ( “) d 跟，( k ，) 。 注意到m 是【o ，t 】上的均值为。的鞅，且m ( t ) = ”( 毋k ，) 。则当收敛到一时 若2 k 2 肛v ，可得 脚胚叫川淼斋仙 又 ，u1 u s 2 t8 氓“。1 专q ，( 球) d s k e ( n t ) 2 2 e z p ( 一e 叩( 1 一r o ) ) l k e r ( ) ：= j ( 2z 1 g 墨。( v 咖，g ) ( 由，d ( s r ) ) 。 对于固定的k 0 和o us t ，令 帆：= k j ( z 1e 咂一( t 1 吼州( d 洲( s ) 。 注意到是【o ，q 上的均值为o 的连续的鞅，且( t ) = k 最( 毋k ，) ，则 。= 2 z 。z 1e 邓t “h 司 v 咖t k ( 训2 专”，( v ) d ”幽 s t t 2 2 氏小叫专枷冲 已知对于固定的鞅m ，e 印( o m 一 q 2 ) 也是一个鞅，称为指数鞅。特别的， 若o = 1 ，我们有，当 t h ( ) ，p n e 时， e e z p ( 尬) = e e 印( ； t ) e 印( ； ( 啪。 则我们有 e e 印( t ) e 印( ；c t p ) 且 p ( 七2 口( r ( 咖k ，) ) 2 m 一2 7 ) sc ( p ) e 印( 一七1 一。) 。 则下面依据祥，k 的证明可得( 6 3 ) 。 应用第四章中类似的方法，我们便可得到过程列 【，”，) 和 f c ， 弱收敛。 同时，根据引理6 0 1 ，6 0 2 和定理3 0 1 可知：只有当p _ v = e ，0 1 时，可以找到 合适的 k 一r ，： r 半。 此时通过观察易知，仅定理3 o 1 的后两种情况的极限条件满足，即只有后两种情形 的正则性可以改进，故得定理3 o 3 。 口 1 6 第六章关于正则性的进一步分析 注：定义 庐( 霹) ：= ( 嘲a ) ) + j c 胪( s ) v 之舭 ) 8 霹 ，t + 搿暇班酬删s 。 实际上也可用庐代替，可是通过分析不难发现，无法找到合适的肛 和k ( ) 满足相应 的条件。 附注：可进一步考虑的问题 本文中，实际上仅考虑了简单的吸收边界的情形，进而关于其他粒子系统包括具有 吸收边界和混合边界等都有很好的研究价值。同时如果粒子存在的区域不是一个区间 而是一个平面区域或者空间区域，此时不仅弱收敛问题，而且首中时问题等都具有极其 重要的现实意义。 1 7 致谢 致谢 在硕士学位论文完成及即将毕业之际，我谨向曾经给予我帮助和支持的老师和同 学表示衷心的感谢 首先要感谢的是吴荣教授、王永进教授、张春生教授和郭军义教授。特别是我的导 师王永进教授。在这些年中，王老师不断地以他自身对待科学的热忱、治学严谨的态度 以及对培养研究生高度负责的精神感染着我。特别的，在此次我的硕士论文的选题、资 料查询、开题、研究和撰写的每一个环节，无不得到导师的悉心指导和帮助，在论文初 稿成形之后，王老师还一次又一次地指出其中的不足之处，其精益求精的治学态度深深 地印在了我的心里。同时在生活中，王老师也给予我和其他同学无微不至的关怀，使我 们深深地感受到生活在大家庭中的温暖。这些年来王老师教会我的不仅是如何完成学 业，取得学位，更重要的是教会了我如何做人，如何做事。 这里还要感谢本专业其他同学的关心和帮助，感谢邢永胜、马世霞、任俊柏、李晋 枝、邢小玉、王学强、薄立军、江一鸣、张立东、陈玮、卫廷廷、吴文涛、李小瑜和唐 丹。同时也要感谢整个概率专业的其他同学，和大家的交流开拓了我的科研视线，也成 为了我研究生生活重要的组成部分。 除此之外，我还要感谢南开大学数学学院研究生2 0 0 3 级所有同学，和你们相处的三 年是我一生宝贵的记忆。 最后我要感谢的是抚育我长大的父母，是我的父母把我带入了这个世界。二十六年 来，是我的父母伴随我走过生活和学习中的风风雨雨。父母为了让我学有所成，默默无 闻，倾尽了心血。 还有许多我无法一一列举的师长和朋友给了我指导和帮助，在此衷心的表示感谢。 1 8 参考文献 参考文献 1 】a d a m s ，r a ( 1 9 7 5 ) ：s o 幻f e s c a c a d e m i c ，n e wy b r k 2 】a r n o l d ，l a n dt h e o d o s o p u l u ，m ( 1 9 8 0 ) d e t e r m i n i s t i c1 i m i to ft h es t o c l l 舾t i cm o d e lo fc h e m i c a l r e a c t l 0 璐w i t hd i f l l s i o na 咖讯a p p fp r d 6 曲1 2 ，3 6 7 3 7 9 3 】b l o u n t ，d ( 1 9 9 2 ) ：l a wo f l a r g en u m b e r si nt h es u p r e m u m o r mf 打ac h e m i c a lr e a c t i o nw i t h d i 勖s i o n4 n n j 4 p p f p r d k 6 2 ，1 3 1 一1 4 1 4 】b 1 0 u n t ，d ( 1 9 9 4 ) ：d e n s i t yd e p e n d e n t l i i i l i t sf o ran o n l i n e 盯r e a c t i o n - d i m l s i o nm o d e l _ a n n 尸m 6 口6 2 2 2 0 4 0 - 2 0 7 0 5 】b 1 0 u n t ，d ( 1 9 9 6 ) ：d i 肌s i o nl i m i t sf o ran o n l i n e a rd e i l s i t yd 印e n d e n ts p a c 争t i m ep o p u l a t i o nm o d e l j 4 n n p r d 6 0 62 4 6 3 9 - 6 5 9 6 】d 8 w s o n ，da ( 1 9 7 2 ) ：s t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o 衄m o 矾b i o s c 1 5 ，2 8 7 - 3 1 6 【7 d a 咖n ，d a ( 1 9 7 5 ) ：s t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o 璐8 i l dr e l a t e dm e a s u r ep r o c e s s e 8 ，胁崩一 u d n 把 n 山5 1 5 2 【8 】e n g e l ，k a n dn 8 9 e l ，r ( 2 0 0 0 ) ： o n e - p d m m e t e rs 唧细印s ，0 re u o 乜i d ne 弘。蜘瑚s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy b r k 9 】e t h i e r ，s n a n dk u r t z ，t