（概率论与数理统计专业论文）随机环境中系统的可靠性分析.pdf

摘要 本文运用可靠性及随机过程的一般理论，对可修系统中的单部件系统、串联系统、 并联系统的可靠性问题进行了探讨。全文共分为四章： 第一章为绪论，介绍了可靠性数学理论的起源、背景和研究方法，以及本文的主 要内容等。 第二章、第三章分别研究了可随机选择修理工且修理延迟的单部件、串联可 修系统假定系统的寿命、延迟修理时间和修理时间均为一般连续型分布通过引 进补充变量法并利用广义马尔可夫过程和拉普拉斯变换方法求出了系统的可用 度、可靠度、维修频度、系统等待修理的概率等重要可靠性指标 第四章考虑随机选择修理工且可多重休假的两并联部件可修系统的模型。假 定部件寿命服从指数分布，修理时间和修理工的休假时间均服从一般连续分布， 利用广义马尔可夫过程和拉普拉斯变换方法，求出了系统的可用度、故障频度 及修理工处于休假状态和系统处于等待修理状态概率的拉普拉斯变换式和系统 稳态下相应的可靠性指标，以及系统可靠度的拉普拉斯变换式和首次故障前平 均时间的表达式 关键词：马尔可夫过程；可用度：可靠度；补充变量法；多重休假；故障频度 a b s t r a c t 1 1 l i sa r t i c l eh a sd i s c u s s e ds i n 酉ep a r ts y s t e m ，s e r i e ss y s t 锄锄dp a r a l l e ls y s t 锄b yu s i n g g e n e r a l 廿1 e 0 叫o f t h er e l i a b i l i t ya i l ds t o c h a s t i cp m e e s s ， 锄di tc o n s i s t so ff o u rc h 印t e r s c h a p t e rii sp r e f a c e w ei n 仃o d u c et h ef o l i a t i o n ，b a c k 冒o u l l do f 也er d i a b i l i t yt h e 0 巧， r e s e a r c hm “h o da n dm ep r i m a r yc o n t e n do ft 1 1 i st h e s i sa 1 1 ds oo n i i ls e c o i l da i l dt l l i r dc h a p t e r s ，as i n 酉ep a r tr 印a i r a b l es y s t e ma i l ds e r i e ss y s t e ma r e c o n s i d e r 、e di nw h i c hm er e p a i m e l lc a nb es e l e c t c d 砌f l d o m l ya n dt h er 印a i r t i i i l ec 褫b e d e l a y e dr e s p e c t i v e l y a s s u m i n gt l l a tm ew or ! k i n gl i f e ，t 1 1 er 印a i rd e l a yt i m e 锄dm er 印a i r t i m eh a v ea l ig e n e r a ld i s t r i b u t i o n s o m em a i nr e l i a b i l i t yi n d e xo ft h es y s t e m ，s u c h 弱 a v a i l a b i l i 饥r e l i a b i l i 饥r 印a i r e b l e 能q u e n c ya n dt h ep m b a b i l i t yo fr 印a i rd e l a y ，a r ed 耐v e d b yu s i n gm es u p p l e m e n t a d rv 撕a b l et e d i l i l i q u e ，t h eg e n e r a lm a r k o vp r o c e s sa 1 1 dt l l et o o lo f t 1 1 el 印l a c et 啪s f 0 咖 i nf o u r t l lc h a p t e r ，w es t u d yat w o u 1 1 i tp a r a l l e ls y s t 锄w i 廿lm u l t i p l ev a c a t i o n so f r 印a i r m e i lw h oa r es e l e c t e dr 锄d o m l y a s 汕n i n g l a tt l l ew o r k i i l gl i f eo ft h ep a r t sh 勰n l e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 1 er 印a i r 岫ea l l dm ev a c a t i o l l so ft h er e p a i m e nh a v ea l l g e n e r a ld i s t r i b u t i o n b yu s i n gv e c t o rm a r k o vp r o c e s st h e o r ya i l dl a p l a c e 仃a n s f o r 珏lm 武h o d ， w eo b t a i nt h ca v a i l a b i l i t ) r ，m ef a i l u r c 丘e q u e n c yo ft l l es y s t e m 锄dm el 印l a c e 仃觚s f o m a t i o n o ft h ep r o b a b i l i 够o fr 印a i m a l lb e i n gv a c a t i o nc o n d i t i o n ，m es y s t e i l lb e i n gw a i tr 印a i r e da n d s o m er e l a t e ds t a t i o n a 珂r e l i a b i l i t yi n d i c 懿o ft h es y s t e m t h 饥w eo b t a i nt l l el a p l a c e 仃a j l s f o 肌a t i o no ft l l er e l i a b i l i t ya n dt h ee x p r e s s i o n so fm em e a i lt i l i l et of i r s t 黼l u r e k e yw o r d s ： m a r k o vp r o c e s s ；r e l j a b j l i 奶a v a 订a b m 班s u p p l e m e n t a 眄 v a r i a b l e m e t h o d ；m u l t i p l ev a c a t i o n ；f a n u r ef r e q u e n c y 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 日期：年 月 日 导师签名黎。膏参 日期：7 年 j 只| 、日 第一章绪论弟一早珀下匕 1 1 可靠性的起源 可靠性数学理论大约始建于上世纪3 0 年代，最早被研究的领域之一是机器 维修问题。另一个重要的研究工作是将更新论应用于更换问题。可靠性问题只是 在二次世界大战前后，才真正开始受到重视。其基本原因之一是许多复杂系统， 如航空电子设备、通信系统以及武器系统都暴露出低下的可靠性水平，因此，复 杂化和可靠性之间存在着尖锐的矛盾。如今，可靠性学科已渗透到各个工业部门， 可靠性已成为产品质量指标和产品是否具有竞争力的重要标志。 可靠性问题萌芽于2 0 世纪2 0 年代，3 0 年代人们对这个问题有了进一步的 认识。可靠性与人们的工作和生活休戚相关。因为产品故障造成的后果随时都能 感觉到。有的也许只是造成生活上的不便，有的可能带来经济上的损失。但是有 的系统的失效会对社会造成不可挽回的损失，如大型客机的失事、核电站放射性 物质的泄漏等。产品可靠带来的成功经验，产品不可靠带来的失败和教训，使人 们逐渐加深了对可靠性问题的认识。由此可见，可靠性问题是人们在社会实践的 基础上，随着客观形势的需要而产生和发展起来的。它的诞生、发展是社会的需 要，与科学技术的发展，尤其与电子技术的发展密不可分。这是因为随着科学技 术的进步，电控设备在科研、工农业以及民用等方面的应用越来越广泛，电子系 统越来越复杂，使用环境也越来越严酷恶劣。因而对电控设备提出了更高更强烈 的可靠性要求，以满足用户使用的需要。这既推动了可靠性技术的迅速发展，又 使得进一步提高产品的可靠性愈来愈困难。为了解决人们对可靠性的需求，我们 不得不将可靠性作为一门工程学进行专门的研究，从而形成可靠性工程。可靠性 工程是指为了达到产品的可靠性要求而进行的有关设计、实验、生产等一系列的 工作。它于4 0 年代起源于军事领域，经过半过多世纪的发展，现已成为一门涉 及面十分广泛的综合性新兴学科j - 它涉及数学、物理、化学、电子、机械、环境、 管理以及人机工程等多领域。虽然可靠性工程起源于军事领域，但随着社会的进 步，科学技术的发展，可靠性工程得到了全面的发展，推广应用于国民经济的各 部门和领域。从它的推广应用给企业和社会带来的巨大经济效益的事实上，人们 更加认识到提高产品可靠性的重要性。产品竞争是经济发展的必然趋势，随着工 业技术的发展，可靠性已成为今后世界市场产品竞争的焦点之一。 1 2 论文研究的背景 可靠性理论是以产品的寿命特征作为主要研究对象的一门综合性和边缘性 学科，它涉及到基础科学、技术科学和管理科学的许多领域。从学科的性质来看， 可靠性是系统工程的重要分支，它的任务是研究系统或设备在设计、生产和使用 的各个阶段、定性与定量的分析、控制、评估和改善系统或设备的可靠性，并在 设计中达到可靠性与经济性综合平衡。可靠性是一门新兴学科，它包括可靠性数 学、可靠性物理( 失效物理) 及可靠性工程。随着科学技术的发展，可靠性水平的 高低关系到产品的竞争能力，只有高可靠性的产品，才能在国内、国外市场的激 烈竞争中取胜。要提高产品的可靠性，需要在材料、设计、工艺使用维修等多方 面去努力。因此可以说可靠性的改善主要是一个工程问题和管理问题。可靠性理 论是以产品的寿命特征作为其主要研究对象，可以说，可靠性理论是一门定量的 学科。 一般说，产品的寿命是一个非负随机变量。研究产品寿命特征的主要数学工 具是概率论。因此可靠性问题反过来刺激了概率论中一些新领域的发展。这样可 靠性数学成了应用概率论和应用数理统计的一个重要分支。同时在可靠性的研究 中，又与决策问题和各种最优化问题有紧密的关系，这就决定可靠性数学又是运 筹学的一个重要分支。 在解决可靠性问题中所用到的数学模型大体可分为两类：概率模型和统计模 型。概率模型是指从系统的结构及部件的寿命分布、修理时间分布等等有关的信 息出发，来推断出与系统寿命有关的可靠性数量指标，进一步可讨论系统的最优 设计、使用维修策略等等。统计模型是指，从观察的数据出发，对部件或系统的 寿命等进行估计、检验等。 1 3 国内外研究现状及发展趋势 在一些可修系统的文献中，作者都假定部件故障后立即进行修理，但是在实 际情况下，部件故障后会由于种种原因而不能立即得到修理；另外，在部件完好 的情况下，修理工可以休假或者从事其它的工作。从这一角度出发来研究可修系 统的可靠性问题更具有重要的理论意义和实际意义。针对这一情况，许多学者都 将修理工休假纳入可修系统模型中，从而对系统进行分析。这里所谓的修理工“休 假”主要包含单重休假和多重休假，“修理延迟 也可看作是“修理工休假 的 广义概念。“单重休假 是指当系统中所有部件正常工作时，修理工就去进行一 次休假，如果修理工休假转来发现系统( 部件) 己处于故障状态，则修理工就立即 修理系统( 部件) ：如果修理工休假转来发现系统( 部件) 仍然正常，则修理工就呆 在系统中，在此期间若系统( 部件) 发生故障就立即修理，系统( 部件) 修复后立即 转为工作状态，修理工又去进行一次休假。“多重休假”是指当系统正常工作时， 修理工就去进行一次休假，如果修理工休假转来发现系统( 部件) 仍然正常，则进 行下一次休假；如果修理工休假转来发现系统( 部件) 已处于故障状态，则修理工 就立即修理系统( 部件) ，系统( 部件) 修复后继续进行休假。对于修理工单重休假 2 及修理延迟的可修系统，许多学者己经做了大量的研究。苏保河 3 1 ，3 2 对修理 工空闲时可休假或修理工可到系统外工作的两部件串联可修系统和n 部件串联 可修系统进行了可靠性分析，求出了系统的可靠性指标。另外，苏保河和高博 3 3 还研究了修理工具有休假的两相同部件并联可修系统，在求得系统可靠性指标的 同时还对系统进行了效益分析。孙海珍和苏保河 3 4 研究了具有休假的两不同部 件并联系统。刘宝友 3 5 对修理工可休假的两不同部件冷贮备可修系统进行了可 靠性分析。毛勇和李才良等 8 分析了修理延迟的单部件可修系统，利用m a r k o v 更新过程的方法求得了系统的可靠度、可用度和故障频度等一系列可靠性指标。 唐应辉等 3 6 ，3 7 应用更新过程理论的方法对修理延迟的n 部件串联可修系统和 修理延迟的两个不同型部件冷贮备系统分别进行了分析，得到了该系统的一些重 要可靠性指标。唐应辉等 4 3 还利用全概率分解技术和l a p l a c e 变换等工具研究 了修理工单重休假的单部件可修系统。苏保河 4 4 研究了修理工可对系统外顾客 服务的两部件冷贮备可修系统，利用向量m a r k o v 过程方法求出了系统的可靠性 指标，并且进行了经济分析。另外，还有一些文献研究了特殊情况的休假可修系 统。练肇通 4 5 在修理工空闲时进行延误休假的假设下，研究了两相同部件的可 修系统，并作为特例讨论了修理工进行不延误休假的情况。j a i n 等 4 6 研究了带 有温贮备部件和两个修理工的机器维修模型( n ，l ) 转换策略，他要求修理工甲不 休假，而修理工乙只在故障部件少于l 个时休假。这是个较为特殊的休假例子。 上面介绍了关于修理工单重休假文献的一些情况。然而，在有些情况下，当修理 工一次休假结束后若系统中无故障部件，则修理工并不留在系统中等待，而是继 续进行休假或从事系统外的一些工作，这样有可能会创造更多的经济效益。从这 一角度考虑，修理工进行多重休假更具有理论意义和实际价值。因此，一些学者 对修理工多重休假的可修系统模型进行了分析和研究。练肇通 4 7 对修理工可多 重休假的n 个同型部件组成的一个一般系统进行了可靠性分析。刘鸣和苏保河 4 8 研究了修理工多重休假的两部件冷贮备可修系统，在部件寿命服从指数分 布，其它随机变量服从一般分布的条件下，利用向量m a r k o v 过程方法求出了系 统的稳态可用度和稳态平均故障次数等可靠性指标。刘仁彬和唐应辉 4 9 考虑了 具有多重延误休假的单部件可修系统，假定部件的寿命、修理时间和修理工的休 假时间均服从一般连续型分布，修理工的延误休假时间服从指数分布，通过使用 补充变量法和广义马尔可夫过程方法，得到了系统的一些主要可靠性指标。岳德 权等 3 0 研究了修理工可进行多重休假的带有一个冷贮备部件的g a v e ：并联可 修系统，假定部件的工作时间服从指数分布，修理时间和修理工的休假时间均服 从一般连续分布，利用向量m a r k o v 过程理论和l a p l a c e 变换的方法，求出了系 统可靠度的l a p l a c e 变换式、系统首次故障前平均时问的表达式、系统的稳态可 用度和稳态故障频度等可靠性指标：此外，还通过数值比较考察了系统参数对系 3 统稳态可用度的影响，并对系统进行了效益分析。修理工具有休假的可修系统是 近些年来在可靠性理论中发展起来的一个具有实际意义的可修系统模型。它是将 排队论中的“休假 概念引入到可修系统中的一个新的模型，对这一模型的研究 在外文文献中很少见，国内也只有少数学者进行这方面的研究。休假可修系统模 型在实践中具有很广泛的实际意义和价值，因此对这方面的研究还有很大的研究 空间和潜力。 1 4 研究的目的及意义 可修系统是可靠性理论中一类重要系统，也是可靠性数学的主要研究对象之 一。研究可修系统的主要数学工具是随机过程理论。在实践中，为了改善系统的 可靠性，经常采用维修的手段。对于失效后可以修理或更换零部件使之恢复正常 的系统，我们称之为可修系统。可修系统是由一些部件和一个或多个修理设备( 修 理工) 组成，主要可靠性指标有：系统首次故障前时间分布、可靠度、系统的平均 故障次数、系统的平均开工时间和平均停工时间等。对不同的实际问题人们感兴 趣的可靠性指标不完全相同，上述这些指标则从各个不同侧面反映了可修系统的 可靠性。当构成系统各部件的寿命分布和故障后的修理时间分布，及其它所有出 现的有关时间分布均为指数分布时，只要定义适当的系统状态，这样的系统总可 以用马尔可夫过程来描述。 常规可靠性分析理论认为随机性是影响结构安全的唯一不确定性因素。并且 假设结构状态只有安全、失效两种模式，这显然是不合理的。一个对象是否属于 某一概念难以判定，从而由于不可能给某事物以明确的定义和评定标准而导致了 不确定性。因为工作状态到失效状态是个渐变的过程，界线是不明确的，而是模 糊的，并且工程中大多数结构系统的参量除了具有随机性之外也还具有模糊性， 如果这时还是用常规可靠性理论对结构系统进行可靠性分析，得到的结果就不能 完全反映实际情况。这种不确定性己经引起了人们的重视，在一些问题上由于不 恰当地使用常规可靠性理论而使计算结果与实际完全不一致的情况时有发生。因 此，在可靠性分析中引入一种新的理论一模糊理论来解决这些问题就成为必然趋 势。模糊可靠性模型是当今可靠性学科研究的热点问题。尤其是用模糊可靠性理 论来研究可修系统显得尤为重要。目前，关于这一方面的内容国内外的文献还比 较少。 1 5 可靠性的研究方法 可靠性的理论基础是概率论、随机过程和数理统计，并且在对其研究的过程 中，常常需要考虑用到各种概率分布，如泊松分布、指数分布和威布尔分布等， 而且我们研究它的数学工具通常是微分方程和l 变换及l s 变换等。在可靠性理 4 论的研究中，主要的研究方法有： ( 1 ) 马尔可夫更新过程分析法：在马尔可夫过程及半马尔可夫过程中选择合 适的再生点，对于研究系统的可靠性而言，方法简便且意义重大。这也是可靠性 研究中常用的重要方法之一。 ( 2 ) 补充变量分析法：这是研究非马尔可夫型可修系统的一类重要方法，它是 通过引进补充变量，使要讨论的问题变为一个广义的马尔可夫过程。然后，利用 初始条件，建立微分方程，从而求出有关的可靠性指标。 ( 3 ) 故障模式与效应分析法( f m e a ) ：这是一种“自下向上”由因到果的逻辑归 纳法，是一种定性的分析方法。它首先分析系统部件的各种故障模式及其发生的 概率，然后分析它们对于部件状态的影响，进而分析部件对子系统状态的影响， 最后再分析子系统对系统状态的影响。实际上，也就是分析系统单元故障模式对 系统产生什么影响和影响程度大小的方法。 ( 4 ) 故障树分析法( f t a ) ：它是有关系统可靠性设计评审的一种重要方法，主 要用于可靠性预测，是一种图形演绎法，以系统的故障作为分析对象，用图形表 示出其发生的原因( 直接的、间接的、硬件的、软件的、环境的和人为的等) 之间 的逻辑关系。该图形即称为故障树( 倒置的) ，然后根据故障树分析系统发生故障 的各种可能途径( 即模式) 和可靠性指标等。f t a 在以下几方面尚待做深入研究： 自动建树、非单调关联系统f t a 、多状态系统f t a 、相依底事件f t a 、f t a 的组合 爆炸困难( 计算量随故障树规模指数增大) 、可修系统的首次故障分布、平均寿命 分布计算及数据等。 ( 5 ) 状态转移链法：这是在马尔可夫型可修系统的基础上导出的一种分析不 可修系统可靠性的方法，它也是基于系统失效的可靠性分析模型，是现行计算不 可修系统可靠性中一种有代表性的方法。其特点是能够准确考虑系统各部件之间 的功能相依结构的动态转换、故障相关以及维修相关等因素，更方便地考虑复杂 系统的监控方式、监控覆盖率及余度降级过程。 ( 6 ) 模糊可靠性理论： 目前，在模糊可靠性理论研究中主要有两条途径：一种是以模糊集合描述模 糊随机现象，利用l a z a d e h 给出的模糊事件的概率定义结构的模糊可靠度：另 一种是以模糊随机变量为基本变量描述模糊随机现象，把模糊可靠性问题转化为 常规可靠性问题来处理。 1 6 本文的研究内容概述 本文是在现有可靠性研究结果的基础上，针对修理工水平的不同及修理延迟 或修理工休假的情况，研究了单部件可修系统及串、并联可修系统的一些可靠性 指标。从这一角度出发来研究可修系统的可靠性问题具有重要的理论意义和实际 5 背景。 第二、三章研究了可随机选择修理工且修理延迟的可修系统假定系统的寿 命、延迟修理时间和修理时间均为一般连续分布通过引进补充变量法并利用广 义马尔可夫过程和拉普拉斯变换方法求出了系统的可用度、可靠度、维修频度、 系统等待修理的概率等重要可靠性指标 第四章研究了随机选择修理工且有休假的两并联可修系统假定部件寿命 服从指数分布，修理时间和修理工的休假时间均服从一般连续分布，利用向量 m a r k o v 过程理论和l a p l a c e 变换的方法，求出了系统的可用度、故障频度及修 理工处于休假状态和系统处于等待修理状态概率的l a p l a c e 变换式和系统稳态 下相应的可靠性指标，以及系统可靠度的l a p l a c e 变换式和首次故障前平均时间 的表达式。 6 第二章随机选择修理工且修理延迟的 可修系统可靠性分析 2 1 引言 本章研究了随机选择修理工且修理延迟的可修系统假定系统的寿命、延迟 修理时间和修理时间均为一般连续分布通过引进补充变量法并利用广义马尔可 夫过程和拉普拉斯变换方法求出了系统的可用度、可靠度、维修频度、系统等待 修理的概率等重要可靠性指标 大多数文献所研究的可修系统u - 7 1 ，都是假定系统故障后能够立即得到修理 但在实际中情况并非如此而是常常有一段随机等待时间，例如修理工外出或需要 请修理工等文献 8 虽然所研究的可修系统是假定系统发生故障后有修理延迟， 但修理工是固定的文献 9 虽然所研究的可修系统是假定系统发生故障后可随 机选择修理工，但系统能够立即得到修理且系统寿命服从指数分布针对以上文 献的不足，考虑到实际应用中系统故障后可选择不同水平、不同费用的修理工且 存在修理延迟，如洗衣机、电视机等家用电器出现故障后就要选择修理工且需要 一定的等待时间，利用广义马尔可夫过程和拉普拉斯变换方法，在系统故障后随 机选择修理工以及系统的寿命、等待修理时间和修理时间均为一般连续型分布的 假定下得到了系统的可用度、可靠度、维修频度和系统等待修理的概率等重要可 靠性指标 2 2 系统的状态方程组 2 2 1模型假设 在建立系统的状态方程前首先给出如下几个假设： 1 ) 系统有三种状态：正常、故障等待修理、故障修理系统处于正常状态的 时间x 服从一般连续型分布为f ( f ) 且 f ( f ) = f 厂( 功出- 1 一e x p ( 一f a ( x ) 出) ，去= r 船( 晚( 去 o ) 2 ) 系统故障后立即随机选择第一类修理工或第二类修理工进行修理选择第 一类修理工的概率为p ，选择第二类修理工的概率为q = 卜p 等待第一类修理工 修理的时间彤，修理时间x ，等待第二类修理工修理的时问吸，修理时间e 都服 从一般连续型分布，且分布函数分别为q ( f ) ，g l ( f ) ，皿( f ) ，g 2 ( f ) ，且有 q ( f ) = f 啊( 们挑= 1 一e x p ( 一f a ( 叻，= j c o 棚。( 吐( 去 o ) ： 7 g l ( r ) = f g - ( y ) 咖= l e x p ( 一f “( y ) 砂) ，去2j c o 幽( 吐( 去 。) ； = f 红( 计咖_ l e x p ( 一f 五( 们，去= f 崛，( 去 o ) ； 啪) = f 9 2 ( y ) 方小e x p ( 一胁肭，去2j c o 崛( f ) ，( 0 ) 3 ) 随机变量石，嘶，彬，x ，艺相互独立 4 ) 部件修复如新，开始时系统处于工作状态 夕22 秦熔特杰乃特衣古程 根据模型的假设可得系统的状态如下： 状态0 ：系统正常： 状态( 1 ，l ，o ) ：系统故障，等待第一类修理工修理： 状态( 1 ，1 ，1 ) ：系统故障，第一类修理工正在修理： 状态( 1 ，2 ，0 ) ：系统故障，等待第二类修理工修理： 状态( 1 ，2 ，1 ) ：系统故障，第二类修工正在修理 用( f ) 表示系统在时刻t 所处的状态，则 ( f ) ，f o 是一个取值于状态空间 j = o ，( 1 ，1 ，0 ) ，( 1 ，1 ，1 ) ，( 1 ，2 ，o ) ，( 1 ，2 ，1 ) 的随机过程由假设可知它不是马 尔可夫过程，为此引入补充变量如下： x ( t ) 表示“当( f ) = o 时，系统在时刻t 所处的年龄 ： i ( f ) 表示“当( f ) = ( 1 ，1 ，1 ) 时，系统在时刻t 已用去的第一类修理工的修 理时间： k ( f ) 表示“当( f ) = ( 1 ，2 ，1 ) 时，系统在时刻t 已用去的第二类修理工的 修理时间 ： 彬( f ) 表示“当( f ) = ( 1 ，1 ，o ) 时，系统在时刻t 已等待的第一类修理工修 理的时间 ： ( f ) 表示“当( f ) = ( 1 ，2 ，o ) 时，系统在时刻t 已等待的第二类修理工修 理的时间 ，则 ( f ) ，x ( t ) ，k ( f ) ，形( f ) ，f o ，f = 1 ，2 ) 构成一广义马尔可夫过程m ，进一步 系统的状态之间的转移情况如图2 2 1 所示为了得到系统的状态方程，现在定 义系统的状态概率如下： r o ，x ) 出= p ( f ) = o ，x x o ) x + 出) 量1 f ，1 ) ( f ，y ) 砂= 尸 o ) = ( 1 ，f ，1 ) ，y k ( f ) y + 咖) 鼻u ，o ) ( f ，w ) d w = 尸 ( f ) = ( 1 ，f ，o ) ；w 彬o ) w + d 们，f = 1 ，2 根据状态转移图，并利用概率分析方法可得各状态的概率偏微分方程组 aa ( + + 兄( x ) ) r ( f ，x ) = o ( 1 ) 8 边界条件： ( 昙+ 未州嗍。 0 ) ( 圳= o ( 昙+ 杀+ 肿峨- ，- 彤，加o ( 旦+ 毛+ 五( w ) ) 期( 厶w ) = o ( 昙+ 熹圳螂z “) - o ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 昂( f ，o ) = r h ( y 圪l i t l ) ( f ，y ) 咖+ f 鸬( j ，圪。 2 1 ) ( f ，y ) 砂+ 万( f ) ( 6 ) o ) ( f ，o ) = j c o 以( x 战( f ，z ) 出 ，1 ) ( f ，o ) = j c o a ( 嗍1 1 o ) ( f ，川挑 ，0 ) ( f ，o ) = j c o g 五( x 峨( f ，x ) 出 鼻，2 。) ( f ，o ) = f 五( w ) 嵋。 2 ，。) ( f ，挑 初始条件异( 0 ，x ) = 万( x ) ，其它为o 其中万( ) 为狄拉克函数 2 3 状态方程组的求解 记歹o ) = 1 一厂( f ) ，厂+ o ) = j c o p - 盯厂o ) 衍= 丘 厂( f ) 】 即厂+ ( s ) 为厂( f ) 的印肠卯变换，简记为：l 变换分别对( 1 ) 一( 1 0 ) 式做己印肠c p 9 ) ) ) ) 7 8 9 o ) ( ( ( 1 1 ( 1 k 变换，并利用初始条件( 1 1 ) 可得 ( s ，功+ 掣：一旯( x ) g ( j ，功+ 万( 力 口x 嵋，。o ) ( j ，川+ 华= 一五( w ) 磁。0 ) ( j ，w ) 如川+ 萼笋一肿吼如川 峨：期+ 譬磐咄( w ) 叻 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 知川+ 笋一柚“叫) ( 1 6 ) g ( s ，o ) = r “( y ) 巧1 。) ( s ，y ) 咖+ f 腹( 少) 鼻乙) ( j ，y ) 咖+ 万( 5 ) ( 1 7 ) 。) ( s ，o ) = f p 五( x ) 牙( 蹦) 出 焉u ，( s ，o ) = j c o a ( 喊，( j ，叻咖 磁：o ) ( s ，o ) = 厂g 兄( x ) g ( j ，工) 出 磋： i ) ( j ，o ) = j c o 五( 峨：o ) ( j ，”挑 由( 12 ) 一( 1 6 ) 式得 碍( j ，工) = 巧( s ，o ) f ( 石) e x p ( 一麟) 硪l o ) o ，w ) = 巧 l o ) ( s ，o ) q ( w ) e x p ( 一s w ) 鼻) ( s ，y ) = 巧 l 。) ( j ，o ) g i ( y ) e x p ( 一砂) 硪：，。) ( s ，叻= 最乙) ( j ，o ) 4 ( w ) e x p ( 一州 二：2 1 ) ( j ，少) = 巧，2 1 ) ( 占，o ) g 2 ( j ，) e x p ( 一砂) 将( 2 2 ) 一( 2 6 ) 代入( 17 ) 一( 2 1 ) 式得 露( j ，o ) = r “( y ) 巧 1 。) ( s ，o ) 互( y ) e x p ( 一砂) 咖 + r 心( y ) 巧2 i ) ( s ，o ) 五( y ) e x p ( 一砂) 咖+ l 味 l 。) ( s ，o ) = i _ p 允( 埘( s ，o ) 户( 力e x p ( 一蹦) 出 l o ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 焉u ) ( s ，o ) = r a ( 以只山( s ，o ) 豆( w ) e x p ( 一s 咖 曩：o ) ( s ，0 ) = f 以( 工烤( s ，o ) 户( x ) e x p ( 一麟) 出 磁：m ( s ，o ) = r 五( w 岷0 ，( s ，o ) 履( w ) e x p ( 一州咖 将( 2 8 ) 一( 3 1 ) 式代入( 2 7 ) 式并整理得 碍( j ，o ) = ( 1 一。( s ) 耳( s ) g ：( s ) 一旷( s ) 磁( s ) g ：( j ) ) 。1 由( 2 8 ) 一( 3 1 ) 式可得 或，0 ) ( s ，o ) = p 昂( s ，o ) 厂( s ) 焉i i ) ( j ，o ) = 比( s ，o ) 厂( s ) h ：( s ) 味2 。) ( j ，o ) = g 昂( s ，o ) 厂( j ) 巧 2 1 ) ( s ，o ) = g r ( j ，o ) 厂( j ) h ：( s ) 将( 3 2 ) 一( 3 6 ) 式分别代入( 2 2 ) 一( 2 6 ) 式得 碍( s ，x ) = 露( s ，o ) f ( 工) e x p ( 一麟) 焉。o ) ( j ，w ) = p 焉( s ，o ) ( s ) 属( w ) e x p ( 一s w ) 或l 1 ) ( s ，y ) = 睹( s ，o ) 厂o ) 耳0 ) 五( j ，) e x p ( 一砂) 焉： o ) ( j ，w ) = g 焉( s ，o ) 厂( j ) 疗：( w ) e x p ( 一s 们 磁： 1 ) ( s ，少) = 鸟焉( s ，o ) 厂( s ) 绣( j ) 五( 夕) e x p ( 一砂) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 2 4 系统的可靠性指标 定理2 4 1 系统在时刻t 的瞬时可用度4 ( f ) 的变换式为 躺) 2 i 而丽黧丽 “2 ) 证明：根据系统瞬时可用度的定义【1 1 可知 4 ( f ) 2 上昂( f ，x ) 出 将上式关于t 取l 变换，由( 3 7 ) 及( 3 2 ) 式可得( 4 2 ) 式 定理2 4 2系统的稳态可用度为 名一1 4 2 矛再丽矛污丽葡 证明：由托贝尔定理和洛必达法则得： 4 = ! 骢厶( f ) = 蛳“( s ) = 蛳sf 巧( s ，o ) 户( 力e x p ( 一跗) 出 = 蛳而鼎鬻 五叫 名叫+ p ( 订1 + 所1 ) + g ( 力1 + 版1 ) 定理2 4 3 系统的可靠度和首次故障的平均时间分别为 尺( f ) = p x f ) = l 一，( f ) 脚聊= e = 三 定义2 4 1 系统在时刻t 处于等待修理状态的概率称系统在时刻t 的瞬 时等待修理的概率，记作b ( f ) 定理2 4 4 系统在时刻t 的瞬时等待修理的概率变换式为： 蹦= 砑器器警 ， 证明：根据系统状态转移图和系统瞬时等待修理的概率定义利用文献 1 0 中方法可知： 为 b ( f ) = j c o 舶w ) 咖+ j c o 以w ) 咖 将上式关于t 取变换并利用( 3 2 ) 、( 3 8 ) 、( 4 0 ) 式可得( 4 3 ) 式 定理2 4 5系统稳态等待修理的概率为 8 ： 鹃：! 丛! 。 力- 1 + p ( 百1 + 所1 ) + g ( 巧1 + 版1 ) 证明：同定理2 4 2 这里不再重复 定理2 4 6 第一、二类修理工的瞬时维修频度嘭( f ) 、吸( f ) 的变换分别 响= 胁“叫舻而谢瓮篱 咖，= 胁“叫舻砀东舞罄 定理2 4 7第一、二类修理工的稳态维修频度分别为： 彤= 再丽焉寰万丽 啥万丽再篆素巧雨 证明：同常弹2 4 2 玟单不再萤每 1 2 3 1 引言 第三章随机选择修理工且修理延迟的 串联可修系统的可靠性分析 第二章研究了随机选择修理工且修理延迟的单部件可修系统这一章继续研 究可随机选择修理工且修理延迟的串联可修系统假定系统的寿命、延迟修理时 间和修理时间均为一般连续型分布通过引进补充变量法并利用广义马尔可夫过 程和拉普拉斯变换方法求出了系统的可用度、可靠度、维修频度、系统等待修理 的概率等重要可靠性指标 3 2 系统的状态方程组 3 2 1模型假设 在建立系统的状态方程前首先给出如f 儿个1 炭设： 1 ) 系统有三种状态：正常、故障等待修理、故障修理系统处于正常状态的 时间x 服从一般连续型分布为f ( f ) ，且 ，( f ) = f 厂( z ) 出= l e x p ( 一f 五( x ) 出) ，去= j c o f 卵( 吐( 去 o ) 2 ) 第i 个部件故障，系统故障系统故障后立即随机选择第一类修理工或第 二类修理工进行修理选择第一类修理工的概率为b ，选择第二类修理工的概率 为吼= 1 一只等待第一类修理工修理的时间，修理时间x ，等待第二类修理 工修理的时间吸，修理时间k ，都服从一般连续型分布，且分布函数分别为 q ；，g l ，g 2 ，且有 且如) = f 姒w ) 咖_ 1 - e x p ( 一f 九( w ) ，老2r 嘲如) ( 砉 o ) ； 且，( f ) 2 上7 l l r ( w ) 咖_ 1 一e x p ( 一上九( w ) ， 2j ：嘲，( f ) ，( 寺 o ) ； 删= 胁肭_ 1 一p ( _ 胁y 川去2f 慨，( 咄 如) = f 姒w ) 挑_ 1 一e x p ( _ f 姒w ) ，老2f 吼形) ( 玄 0 ) ； g 2 如) = f 鼠( 力砂_ 1 一e x p ( 一f 鸬如) 们，去2f 掰g 2 如) ( 去 o ) 3 ) 随机变量x ，彬，i ，艺，相互独立( i = l ，2 ，n ) ： 4 )部件修复如新，开始时系统处于工作状态 3 2 2 系统状态及状态方程 1 3 根据模型的假设可得系统的状态如下： 状态0 ：系统正常： 状态( 1 ，i ，o ) ：第i 个部件故障，系统故障，等待第一类修理工修理： 状态( 1 ，i ，1 ) ：第i 个部件故障，系统故障，第一类修理工正在修理： 状态( 2 ，i ，o ) ：第i 个部件故障，系统故障，等待第二类修理工修理： 状态( 2 ，i ，1 ) ：第i 个部件故障，系统故障，第二类修工正在修理 用( f ) 表示系统在时刻t 所处的状态，则 ( f ) ，f o 是一个取值于状态空间 j = 0 ，( 1 ，i ，0 ) ，( 1 ，i ，1 ) ，( 2 ，i ，0 ) ，( 2 ，i ，1 ) ，i = 1 ，2 ，n 的随机过程由假设 可知它不是马尔可夫过程，为此引入补充变量如下： x ( t ) 表示“当f ，) = o 时，系统在时刻t 所处的年龄 ： z ) 表示“当( f ) = ( 1 ，i ，1 ) 时，系统在时刻t 已用去的第一类修理工修 理第i 个部件的时间 ： k ) 表示“当( f ) = ( 2 ，i ，1 ) 时，系统在时刻t 已用去的第二类修理工的 修理第i 个部件的时间： 彤，( f ) 表示“当( f ) = ( 1 ，i ，o ) 时，系统在时刻t 已等待的第一类修理工修 理第i 个部件的时间”： 暇，( f ) 表示“当( f ) = ( 2 ，i ，o ) 时，系统在时刻t 已等待的第二类修理工修 理第i 个部件的时间 ，则 ( ，) ，x ( t ) ，写( 于) ，( ，) ，0 ，= 1 ，2 ；= 1 ，2 ，栉) 构成一广义马尔可夫过程，进一 步可得系统的状态之间的转移情况如图3 2 1 所示 p 圈舭卫 纰一 图3 2 1 状态转移图 为了得到系统的状态方程，现在定义系统的状态概率如下： 只( f ，功出= 尸 ( f ) = o ，x x ( f ) x + 出) 鼻。1 ) ( f ，y ) 咖= p ( f ) = ( f ，1 ) ，y 巧( f ) y + 咖) 0 _ o ) ( f ，w ) 口w = p ( f ) = ( f ，_ ，o ) ，w o ) w + d 曲，f = 1 ，2 ；_ ，= l ，2 ，以 根据状态转移图，并利用概率分析方法可得各状态的概率偏微分方程组 1 4 ( 昙+ 昙川蝴亿功= o ( 昙+ 未饥( 嗍u m 以们= 。 ( 昙+ 品帆( 眦列彤川= o ( 昙+ 未境( 嗍：加彤，w ) = o ( 昙+ 杀讹( j ，姚m 以y ) i o 边界条件： 昂( f ，o ) = 喜( f h ，( 少嵋。川) o ，y ) 咖+ f 鸬，( 少斥巾) ( ，少) 砂) + 万( f ) 昂舶) o ，o ) = f 只名( x 蛾p ，功出 昂”) ( ，0 ) = j c o 丑，( 嘲v ( f ，w ) 咖 尼加) ( f ，o ) = f 吼兄( 石城o ，砷出 尼一f ，o ) = j c o 五，( 啷： 。，o ，叫咖 初始条件r ( o ，x ) = 万( 功，其它为o 其中万( ) 为狄拉克函数 3 3 状态方程组的求解 记灭r ) = l 一厂( f ) ，厂o ) = f p 一盯厂( f ) 衍= 丘 八f ) 】 即厂。( s ) 为厂( f ) 的l 印肠c e 变换，简记为：变换分别对( 1 ) 一( 10 ) 式做l 印肠c p 变换，并利用初始条件( 1 1 ) 可得 曙( 蹦) + 望粤：五( x ) 巧( 蹦) + 艿( x ) ( 1 2 ) 踱油心，w ) + 挈= 一 ，( 川巧 。如，们 ( 1 3 ) “小誓掣= 州崛“蹦) ) 1 5 、，、-，、j、，、， n q 、，、，、，、，、，、， 0 h ，k，k 如，w ) + 譬磐叫删心，们 川心+ 譬岩= 吲夕i ) ( 蹦) 露o ，o ) = 窆( f m ；( y ) 焉孙) ( j