（应用数学专业论文）平面非均匀水沙模型的数值方法及理论分析.pdf

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观 ( 1 e ) 7 百。“ & l ( 1 e ) i nt h i sp a p e r ，w es i m u l a t et h et r a n s p o r t a t i o no ft h em i x t u r eo fw a t e ra n d s i l ti nt w od i m e n s i o n a ls p a c eb yac h a r a c t e r i s t i c s d i f f e r e n c em e t h o d d r o v et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ed i s c r e t es o l u t i o n t h r o u g had e l i c a t ea 矗l y s i 8 ，w e o b t a i nl 2 _ e r r o re s t i m a t e sf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o n s k e y w o r d st h et r a n s p o r t a t i o no ft h em i x t u r eo fw a t e ra n d s l i t ，c h a r a c t e r i 8 t i c s ， d i f i e f e n c em e t h o d l 2 - e r r o re s t i m a t p 4 山东师范大学硕士学位沦文 平面非均匀水沙输运问题的特征差分方法与理论分析 51 引言 水流泥沙数学模型是问流模拟的一个分支，是定量预测水沙运动及河床演变 的重要手段。近年来关于这- - n 题的数值模拟已引起了水动力学工程师们的极大兴 趣。其意义表现在：可以模拟诸如三角洲的形成与发展、淤积区的扩展、淤泥和泥 沙输运及沉积而引起的河道变迁等水利水沙问题。对此问题深入细致的研究，有利 于人们更加清楚地把握河道水流泥沙的形态，对于治沙、防洪以及堤坝的建设与加 固等都有重要意义。 平面非均匀水沙输运问题由以下方程控制 水流连续方程( w a t e rc o n t i n u i t ye q u a t i o n ) 面o z 十百o ( h u ) + 掣扎 ( 1 抚a o踟 1 。一 水流运动方程( w a t e rd y n a a n i ce q u a t i o n s ) 瓦0 u + “瓦a u + ”塞+ ，甏+ ，掣一m “= o ，( 1 1 b )瓦+ “瓦十”丽+ 9 百i + 9 孑r m “2 u ， ) 瓦g q v + u 瓦o v + ”赛+ 9 甏+ 9 v x + 一v 2 一m ”= o ， ( 1 1 c ) 瓦+ “瓦+ ”瓦+ 9 西石+ 9 孑百一m ”2 u ， l l l 。) 泥沙连续方程( s i l tt r a n s p o r te q u a t i o n ) 箬+ 札筹+ w 筹一g s 一等( s ， ( 1 l d ) 百i + 札石j + ”万i d o 爿2 百1 3 爿+ ) ， ( 11 刚 河床变形方程( t h ee q u a t i o no fb o t t o mt o p o g r a p h yc h a n g e ) ，y ，百0 z o ：n u ( s s + ) ， ( 11 e ) ，y 丽2o “【6 6 + ) ， 【ll e j 其中，z 为水位高程，面为河底高程，h 为水深，日= z z o ，见f 唔1 ；u ，v 为垂线平均流速沿x , y 方向的分量，c 为谢才系数，c = j 日 ，n 为糙率系数；m 5 山东师范大学硕士学位沧文 为紊动粘性系数，s ，& 为平均含沙量及挟沙力；u 为泥沙沉速，c o 为泥沙扩散 系数，n 为恢复饱和系数，g 为重力加速度，7 7 为泥沙干容重。 水表向 、一 h j z o河床 ：兰盈滏望金 f i g 1 对平面非均匀水流泥沙输运问题的研究，已有大量的工作，文献 1 l 1 8 】分别采 用有限差分法、有限元方法、特征有限元法和有限体积方法等对该问题进行了数值 模拟，得到了很好的结果，解决了大量的实际问题，但目前相关的理论分析结果尚 不多见。 沿特征线的差分方法是数值模拟对流占优流动问题的一种重要的离散技术，与 标准的差分方法相比，其优点在于关于时间的截断误差较小，因而在不降低逼近精 度的前提下，可采用较大的时间步长计算；在流动的峰线前沿，可较好的避免数值 弥散和非物理的数值震荡现象。水流泥沙输运问题( 1 1 ) 由一组对流占优的流体流 动问题所构成，因而采用沿特征线的差分方法对其进行离散是适当的。本文中，我 们采用特征差分方法分别离散对流占优的连续性方程和动力学方程，建立了特征差 分格式，并采用b r o u w e r 不动点原理证明了离散格式解的存在唯一性，更进一步 通过严格的数值分析建立了该特征差分格式的l 2 模误差分析理论。 本文中m ，蚴( t = l ，2 ，8 ) 分别表示一般正常数，适当小的正数，m ( s l ，s 2 ，s ，) 表示与s 。，s 2 ，：s ，有关的正常数，在不同的地方具有不同的含义。 6 山东师范大学硕士学应论文 52 平面非均匀水沙输运问题的特征差分格式 为方便计，先对方程( 11 ) 进行等价变形： 由( 1l a ) 及日一z z o 可知， 箸+ 鲁+ u 筹+ u 筹+ 日c 塞+ 筹，卸酉+ 百+ u 瓦+ ”丽+ 爿【瓦+ 瓦j _ u ， 注意到( 1 - l e ) 可变形为 等：岩( s 一只) ， 砒 ，” 所以，( 1 1 a ) 可由下式表示 等+ “筹+ 。筹+ 日( 是+ 舅) + 等( s 一剐扎 ( z ，。) 7 百f + “百i + 。石了+ 矗( 瓦+ 丽) + 可( 6 一s * ) 2 o ：( 21 。) 由于水沙运动明显的对流占优，沿水沙运动的特征方向对( 2 1 a ) 进行离散是 适宜的。因此，首先定义水沙运动的特征方向。 令妒( u ， ) = f 瓦万干孑，则水沙运动的特征方向可定义为 r 刮叩) = 掣， 从而， a la ua ，u0 a f 一母况l 砂a z1 妒o y 或者， aaaa 砂爵2 瓦十“瓦十”瓦 至此，( 1 1 ) 可等价的表示为 矽筹+ 日( 爱+ 舄) + 等( s 一只) = 0 ， 讪盟o r + 夕( 鲁+ a 1 1 ) + 夕簪一n “= 0 砂券+ 9 ( 曾+ 筹) + 9 1 簪1 w = 0 妒筹一c o z x s + 并( s 一鼠) = 0 ， o 挑z o 一等( s s + ) = 0 7 ( 2 l a ) ( 2 1 b ) ( 2 l c ) ( 2 l d ) ( 2 l e ) 山东师范大学硕士学泣论文 作为模型仅考虑空间区域为q = i ：i = ( 0 ：1 ) 和时间区间为 0 ，t 】的情 形。为保证解的适定性，( l 1 ) 的初边值条件妇。f 给定，且具有适当的光滑性。 日( z ，g ，0 ) = 月j ( z ，) ，u ( z ，g ：0 ) = u o ( x ，g ) ，口( z ，可，0 ) = v o ( x ；9 ) s ( x ，g ，0 ) = s o ( z 目) z o ( x ，y ，0 ) = z o e ( z ，9 ) 日( z ，t ) = b ( x ，可，t ) ，( z ，可，t ) a nx 0 ，卅 u ( o ，可，) = c o ( y ，t ) ，u ( 1 y ，t ) = c j ( y ，t ) ，( ，t ) ( 0 ，卅 u ( x ，0 ，t ) = d o ( x ：) ，“( z ，1 ，t ) = d l ( z ，t ) ，( z ，t ) ，t o ，t 】 u ( o ：，t ) = p o ( y ，t ) ，w ( 1 ：，t ) = p l ( 可，t ) ，( g ，t ) ，( 0 ，t ( z ，0 ，t ) ：q o ( zt ) ，v ( x ，1 ，t ) = q l ( z ，t ) ( z ，t ) ，( 0 ，t s ( o ，y ，t ) = m o ( y ，) ，s ( 1 ，可，t ) = m l ( y ，t ) ，( y ，t ) ，( 0 ，t s ( x ，0 ，t ) = n o ( z ，t ) ，s ( x ，1 ，t ) = n 1 ( z ：t ) ，( z ，t ) ( 0 ，t 对q ( o ，卵进行剖分。空问步长为h = 1 j , 剖分节点分别为。，= i h ，协= j ，i ，= 0 ，1 ，j ；时间步长为a t = t n ，剖分节点分别为t ”= n a t ，n = 0 1 ，n 。 令舀= ( z t ，协，“) ，并记 嘲= 毛蛇 一咖? 一螺 凡 岛蟛= 屯旺z ，岛吩= 毛嫒，一z 2 n = 纽_ 垫h 2 ，2 n = 毋舀+ 1 2 曲吕十为一- 在( 翰，协，t n ) 处，用沿特征线的向后差分逼近砂百o w ， 妒( ”弓，i 八百o w n 妒( 廿舀，喝) 卷筹尝器蒜 ：监二堕： t 其中，w 可为h ，1 1 ：v ，s 中的某一函数，耳= 甄一u 3 t ，霹= 珊一喝t 由 1 知c ，a a w ，= w n 百_ 面广n - - i 十。( | | 譬怯( ，q 。：l 。( n ) ) a t 8 山东师范大学硕士学位论文 设“麓：u ，z o h 玎为( 2 2 b ) 一( 2 2 e ) 在节点( ，劬，俨) 的数值解，u ：。( z ，) ， ”：1 1 ( 。，9 ) ，霸。( 。，f ) ，丽1 ( z ，) 是由u 蜘n - - 1 ，”铆n - 1 ：s 赫1 ，z 蔬；在豆上分片二次插值 得到的函数，其定义将在本文第三节给出。并令 霹= 甄一u ：i 1 a t ，谚= 珊一u 盔j 1 a t 褊1 = 研 1 ( 霹，谚) ，醒孑1 = z 嫒。( 霹，霹) ， 嚼1 = v h ”1 ( 耳，霹) ，1 = 嚣_ 1 ( 露，玎) - 则原问题( 1l b ) 一( 1l e ) 沿特征线的有限差分格式可定义为：求 u z 圳赡i ，5 咒，z 赢。) 使得 堑a 型t + g 碾巧+ 如1 ) + 9 攀翁糍掣咱( 跏z 玎+ d ) 扎 f 23 b 1 笺掣+ 9 ( 毛。+ 屯1 ) + 9 鼍箝糕掣刊磋”岛+ j ) 扎 ( 23 b ) 笺掣一g ( 咿- 2 蜘n + 6 胁2n 玎) + 嚣( 一s , s j ) = o ， ( 2 3 d ) 攀一等( 一) = o ， ( 2 3 e ) u 2 ：，= u o ( 甄，) ，w 2 订= v o ( 协) ：硼。，= s o ( z 。，珊) ，z & 。，= 蜀日( 协) 其中，i ，j = 1 ，2 ，j l ；n = 1 ，2 ，n 对于( 1l a ) ，我们采用特征有限元进行数值模拟。定义 内积 = 厶妒u 出，垆，叫l 2 ( n ) ；l 2 范数1 | l 妒i i l = t l l 妒| l 。= 1 2 ； 最大模川妒，o 。= e s s s u p 。n t ol ，其中e s s s u p 表示本性上确界 设w 为一个b a n a c h 空间，空间w 上的范数为1 1w ，影射西：【0 ，t 寸w ， 定义：i i 咖i i 驴( 0 z ，) = i i 咖i | 知d t 记u = ( u ，u ) ，则( 2l a ) 可化为 砂8 h ，+ h ( v + 等( s 一& ) = o ， ( 2 4 ) 其弱形式为 + + 等 _ o ) v y 日1 ( 吼( 2 5 ) 山东师范大学硕士学位论文 设t 为n 的拟一致剖分，k 表示剖分单元，h 表示k 的直径，2z 紫x 饥， 定义k 为日1 ( q ) 的有限维子空间，它由k 上的分片次数为k 的多项式构成，且 满足如下的逼近性质 h i n f h y ki t l s m 妒i i l l , v y h 1n 耻 及逆估计性质s m g 5 川，v 令x = ( z ，可) ，叉= x u ”a t ，戈= x 一叼一a t ，其中，叼= ( ： ：一1 ) ，u ：一， w ：- 1 分别为前文提到的二次插值函数方程( 2 4 ) 的特征有限元离散格式可定义 为：求卿： 0 ，t _ k 使得 + + 警 = o ，v y k ，( 2 6 ) 初始条件：础= 鼠畔) ，其中商( x ) 为凰( x ) 的l 。投影 从而原问题( 1 1 ) 的沿特征线的离散格式可定义为：求 日嚣，“赫， ，懿j ，z 繇。，) 使得 + + 等 = o ：v y 蚝，( 27 口) 簪+ g ( 6 。z o n h o + 矗1 ) + 9 堑( 缨h l j 群) h h l j 咱( 醒u z 灯+ d 瓢，) = o ，( 2 7 b ) 堑a 蓝t + 9 ( 屯硪。h 。n 。- 1 ) + 9 毪鬻1 ( 酲口岛+ d ，2 n ，) _ o ) ( 27 c ) 学c o ( a ：s + 6 p 2 u 砸nj ) + 面并一( s 饬s ) = o ， ( 2 7 d ) = 业! ! ：；尘盟一孑( s 最，一s ) = 0 ， ( 2 7 e ) 磁= n d x ) ，t 2 ”= u , 8 ( 2 9 i ，珊) ， 2 ”= v o ( x i ，协) ，戳玎= 函( 如，蜥) ，诒巧= z o o ( z 。，珊) 其中，i ，j = 1 ，2 ，j 一1 ；n = 1 ，2 ，n 差分格式的计算顺序是：已知t = t ”。1 时刻的逼近解 日：一，u 葛1 ，w 葛1 ，1 ，z 蕊；) ( i ，j = 0 ，1 ，i ，) ，先求出分片二次差值多项式饥 ( z ，y ，t n - 1 ) ，v h ( z ，y ：t “1 ) ，瓯( 。，可，扩- 1 ) ， 据此，计算 嗡1 ，蠕1 ，嘶1 ( i ，j = 0 ，1 ，j ) ，然后把它们连同z 。n ，1 ，1 ，( i ，j = 0 ，1 ，j ) 的值代入( 2 7 b ) 一( 2 r e ) ，即得方程组t = t “时刻的近似值 扎毪，口盔，s 最，蜀i ，) ( i ，j = 0 ，1 ，j ) ；再由 u 蕊，w 盔，s 急j ( t ，j = 0 ，1 ，j ) 求出分片二次差值多项式 u h ( 。，g ，护) ：( z y 8 ) ，乳( 。，y ，护) ，即叼= ( u h ( x y ，纠：v h ( z ，俨) ) ，把叼，嚣代 1 0 山东师范大学硕士学位论文 入( 2 7 a ) 可求得t = t ”时刻h “的有限元近似解日： 下面给出关于差分格式边界情形的处理方式。首先，z ；= 0 ，几0 对i 1 ：若 霹0 ，则( 2 3 ) 仍适用；若霹o ，则用特征线与边界的交点取代霹，此时，j 船， 0 婶 t ，使得。? 一“筋1 坷= o ；或j 譬，0 蚜 a t ，使得聍 荡1 蟹= 0 ( 也可能同时出现) 。这时，差分格式( 23 ) 变为： 左边界 或下边界 虹掣型州d z 十炙1 ) + g 毪筹警芷 5 n ( 鹾+ d ”2 u n 巧) = 0 ， 堑警型+ 9 ( 如强彬地1 ) + 9 毪擎 n ( d 。2 , n ”+ 骘2 “峋n ) = 0 ， 墅竽一岛( 饿2n ，+ 懈2 ，) + 嚣( 一s ) = o 皇堕i i j ；塑堕一半( s 恐j s 3 j ) = 0 虹警塑+ 9 ( 如巧+ 疋1 ) + 9 毪努 一r ( d 。2 u n m ，+ 2 u n 峋) = 0 ： 堑弩塑刊矗缀巧+ 如1 ) + f 毪磐 n ( 6 。2 w ，n 。巧+ 2u n q ) = 0 ， 墅警塑一函( 6 挑2n 玎码2 剐n + 荣( 一s 岛) = o 删a t 一予( 咒，职，) ：o 另外，对于右边界和上边界的情形可类似考虑；对于有限元逼近( 2 6 ) 的边界情形 同样考虑用特征线与边界的交点取代x ，这里不再具体给出。 注：特征离散格式( 2 7 ) 解的存在唯一性将在文章的最后一部分给出。 山东师范大学硕士学位论文 3 l 2 。误差估计 53 1 误差方程 注意到，可尹_ 1 ( z ，可) = ( i ，甄t n - 1 ) ( w 代表h ，u ，v ，s ) ，并用网格节点上的函 数值近似表达( 11 b ) ( 1 1 e ) 中的导数值，得到下列截断误差方程： 簪+ 口他锔+ 民磁) + 9 罐簿咄( 黜+ e 2 i j 掣+ 口( 6 梳十西嵋) + 夕锊1 ( 鹾喝+ 删2 n e 3 i j ， 翌雾一函( d 。2 a d n + 蟛2 。巧n ) + 嚣( 岛s 岛) = 呦， 掣：等( 霸一) + e 。护 沿用中的记号，当。三o 。时，定义 j l i i 血怯= m a x ( ( z ，y ) l ：i z 一甄i m + a t ，阿一玑 m 4 a t h 2 z ，j = 1 这里m + 2 ( ) 器凳f o ，卅( 1 u i + ) 利用t a y l 。r 展式，易证： e 勃= ( 啪筹) ( 黝，协，俨) 一蔓l ；乎二】+ ( 目o 。z ，、z ：，蜥，俨) 一9 5 。 一【( n u ) ( 甄，y j ，t “) 一吼( 鹾乱0 + 占2 u 。n j ) m i l 券i i l 。( 。p 乎) a t + m ( i i 札1 1 3 ，。，i i z i l 2 ，。) ， e = ( 妒而o v ) ( z 。，珊，护) 一生丢 + ( 9 甏) ( 耳，珊，护) 一9 5 ，蜀 一【( n u ) ( 甄，y j ，俨) 一n ( 酲喝+ 鸳喝) m i i i 0 2 u i l 。( p 一，弘) t + n 彳( u l | 3 ，。， i z l l 2 ，。) ， e 轴= 【( 妒o 。，s ，、x 。：珊，扩) 一学 一岛 ( ”) ( 筑：珊，扩) 一( 鹾s 嚣十6 ；岛) i l l 豁峙俨；弘) a t + m ( 1 l s l h ，。) ， 嘞= ( 鲁) ( 孔，协，扩) 一鱼a 型t m 1 10 础2 z o 忆，( 。；铲 于是ie 勃i + ie 勤i + le 毫，i + ie 勤i m i a t + m z 其中 ( 3 l b ) f 3 1 c 1 ( 3 1 d ) ( 3 l e ) 山东师范大学硕士学位论文 蛆= m ( f f 器慨，q 。，孓) + l l 嚣慨，u 。；弘) + r l 寡怯( ，“。乎) + l l 写剡口，：，剐 n 如一m ( i i 仳i i3 ，。，l i v l l 3 。，l l z | l 。，。) 下面导出误差方程。记荪，= 叼一蛾，= 吩一“锄：= 略一”嵇，岛= s 己一s ：_ 小岛0 t 5 = z 3 一z ；饥i ：h h h = 1 h 一套 一l h h 一蠢1 一e i i q h i 其中， 膏v h 为日的三2 投影 因为 c ：三日；1 礼 所以 c 2 口：三日；， 令 f ( x ：y ) = z z 。+ 2 ，f ( z ) = 二；， r 一 。 则f ( z ，可) ，( z ) = 他。掣从而， 垡型生! ) 2 + ( 喝) ：u 勋、( u j 2 十( u 矧2 ( c ；) 2 h ； ( c 葛1 ) 2 h 葛1 = f ( 扎“，口7 ) ，( h “) f ( “2 ：赡) ，( 上瑶n 。1 ) = ( f ( u “， “) 一f ( “z ，, o n ) ，( j 【，“) + f ( 嚣，计”) 一f ( u 嚣，甜譬) ，( h “) + f ( 札2 ；口2 ) ，( 日”) 一f ( h “。) 十f ( “2 ，“2 ) _ 厂( 日”1 ) 一，( 日0 _ 1 ) 下面利用带积分余项的t a y l o r 展式对上式进行逐项分析 f ( u “，俨) 一f ( 乱xv n ) = 鹰r ( 刚“) 幽 = 层r ( “+ 目n “ 一u “) ：1 ) n ) d 卵( u ”一u 2 ) = 豆( 沪) 器， 其中，r ( 卵，护) = 片r ( u “+ 卵( x 一札“) ，, u n ) d 卵，卵( o ，1 ) 同理可得，f ( u 2 ，俨) 一f ( 札x ，嚷) = r ( u ”，昭) ，孵( 0 ，1 ) ； f ( h “) f ( h 一1 ) = 五( s ? ) 豆( r ? ) t ，8 ”1 ( o ，1 ) ，t “1 ( o ，1 ) ； ，( 仃“1 ) 一，( 日嚣一1 ) = 五( 。n 日n - 1 ：卢? ( o ：1 ) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 其中，咒( “”，毋) 二= 日( 扩，沪+ 毋( ”：一, u n ) ) 羽；， j 0 厂1， 知( s ? ) = ，h ( h ”+ s ? ( h ”1 一日“) ) d s ? j 0 豆( = z 1 凰( 严一r ? t ) d r ? ， h ( 锻1 = | h o h “一l + 晖i h i 一1 j0 黜避( c 5 ) 2 h 。一雾 同理 f ( h “) 丘。( 卵，”) 器+ f ( h “) 豆( u ”，昭) 嚣+ f ( u ：嵋) 五( s ? ) 豆( r ? ) t + f ( u ：，”：) 五( 卯) 穿1 ( 32 0 ) 竖近互塑一鱼堑互正匝 ( c ；) 2 ( 嚷i 1 ) 2 h 葛1 = f ( h “) 丘( u “) 器十f ( h “) 豆( ”，叼) 器+ f ( u ：乱：) 五( s ；) 豆( r ；) + f ( w ：，u x ) 7 ( 成n ，日n - 1 ( 3 2 b ) p 1 。其中，f v 伸k3 i 札“) = r ( 矿+ 鳄( 口：一矿) ，矿) 删；，孵( 0 ，1 ) ， j 0 f j ( u ：，目：) = ，j ( 口：，“”+ 日? ( u ：一“”) ) d 口? ，目：( 0 ，1 ) 0 屈( s ；) = 知( “+ s t ( n “一1 一h “) ) 幽；，s ；( 0 ，1 ) j 0 ，l 、 凰( r ；) = 凰( 扩一r ；z ) d r ；，r ；( 0 ，1 ) j 0 p l - ( p 7 ) = ，日( 日”1 + 腭( 哪一h ”1 ) ) d 雕，霞( 0 ，1 ) 0 1 4 山东师范大学硕士学位论文 至此 ： + + + + + 警 ， v l i 坛，( 3 3 a ) 暨鱼篙控+ 9 限琶。可+ 6 x 圹h i j l + 以( g i 3 一霸一1 ) + 9 _ 厂( 确) 只。( ，。吕) + ，( 霸) 玩( u ：圳) 最，+ f ( “。y n 。m ：，。n ) f 耐 + f ( “改j ， 恶，) ，日( s ) 日j ( r 磊j ) z x t 一n ( 匪孙+ 6 p 2 。n 玎) = e 象， ( 33 b ) 垒篓专乒兰盟+ 9 吼饯玎+ d 。耐+ 屯( 霸一霸一1 ) + 9 ，( 嘲) r ( 日，u 3 ) 品， + ，( 日昌) 豆( ”矗，) 鬣，+ f ( 昵，“2 。) 五( 卢萎，) g 菩孑 + f ( 螅j ，u z “) ，日( s 勃) 凰( r 勃) t 一rc ( 6 。2 。n 。j + 2 哪n ) = e 3 i j ， ( 3 3 c ) 竖笠掣一g o ( 2 哂n + 6 加2n 。) + 寿嚣 + ( 鸶一嚣) ( 一s , s j ) = e 轴，( 3 , 3 d ) 筚一等鼢= e 岛， ( 3 3 e ) 对甄h 任意网格函数y 、z ，定义内积和范数如下： ( y ，z ) j 一1j l z ) ，= y i j z i j h 2 t = 1i = o 瞰司= y i j z i j h 2 t ，j = o v i i 2 = ( y iy ) ， l v l l ：= k y ) 。 | y 幛= r l ，) ， 【v i i 2 = m y l ， ，一1 “yi ，lz1 ) = 忆jl 2 2 蚓m a x j 吲， 1 5 u炉 科 胪 强 芦 h 铷 l i z z r ， 山东师范大学硕士学位论文 为进行误差估计，首先对真解和离散解作如f 、假定： 口1 ) ：假定问题( 1 1 ) 的解h ，w ，s ：z ，2 o 存在唯一且有文中论证所需的光滑性。 根据日的实际意义，不妨假定日有正的上下界皿，日4 。另外，假定问题( 1 1 ) 的 系数及定解数据是有界的，记为m ” ( t 2 ) ：对问题( 1 1 ) 的数值解作如下的有界性归纳假设，存在正常数k + ，k + ，对 n = 0 ，1 ，满足： o 风日嚣k + ，| l “：1 | o ，。k + ，i l ：【i o , o o k + ， 川v 叼j i t o 。k 4 注：归纳假设( t 2 ) 的正确性将在本节末给出证明 由( t 1 ) ，不妨设0 甄日k + ：从而0 1 时出现此 项；当= 0 ，1 时，没有此项【2 1 所以，当2 时( 以下均考虑这种情形) ： 瞻川2 m 3 t 劫孵i l l 2 + 郴矿第函咿叫n ) ) + e a te 疋管睦+ 嗡。惦+ l 阻擘瞻+ 瓯管旧 m = l n + m 3 a t ( | 【of i 2 + 【| 等旷+ f | g1 1 2 + 群) 1 7 山东师范大学硕士学位论文 由于= 日一风= o h 一船，所以利用= 角不等式口j 得 毋。慨t 白旧。+ m ( a 铲川等川孙t 职 n r n = l + e a t ( 1 1 5 。器1 1 ：+ j i 屯拿i 曙+ 1 【瓦o1 i ：+ f 【6 ，1 1 ；) ( 3 4 n ) m n + 慨t ( i to 1 1 2 + | | 等i i 2 + 惝lj 2 + 睇) 在( 3 3 b ) 两边点乘器九2 后，有 壶( 器一器一，嚣) 一r r 5 2 c 。n + 2 钿n ，船】 = 击( 铲一驴一，器) 一g 阻鼠叼+ 以赢? + 如( 田一嘲一1 ) ：器) z 一9 ( ，( 日“) r ( 卵，”) 器，嚣) + ( f ( h “) r ( 扩，叼) 器：器) + ( f ( u z ，”。n 。s n 。，h 。r “) t ，器) + ( f ( u ：，u ：) 知( 卯) 矿1 ：器) = 茎。最 类似可得， 壶( 器一爵，器) 一n 2 白n + 2 白n ，绷 = 击一伊，器) 一9 陬。j + 6 ，耐+ 如( h 昌一塌1 1 ) ，器) z 一9 ( ，( 日”、j a f v 肿3 ，札“) 嚣，嚣) + ( f ( h “) r ( 俨，钌) 船，器) + ( f ( ”2 ，札2 ) 知( s ) 日t ( r ；) t ，嚣) 十( f ( 。2 ，“2 ) - 厂h ( 厦n ， n h - 1 ，器) = 叁。q ( 34 b ) ( 3 4 c ) 击( ；一砖一1 ，；) 一g o 【6 。2 s n + 6 ；，船 = 壶f 一一”妒( 带涨g ) ) 一( ( 器一霹a u ) ( 铲一霹) ，铅) + ( e 2 ，器) = 叁。d i - i 1 t ， c z “o 一艺了1 ，) = 孑( 嚣，免) + ( e ，乞) = 圣。蜀 ( 3 4 e ) 山东师范大学硕士学位论文 把( 34 b ) 一( 34 e ) 各式相加得 壶( 器一诒，器) + 面1l 白n 一爵，嚣) + 瓦1 、 s n 一露，嚣) + 壶( 。一筹1 ；玩) 一n ( 鹾2 。n + 6 。2 n ，器)n ( 2 铴n + 彰2 n ，器) 一c t o ( 醴器+ 2 5 n ：铅) = ：。日。+ 苎。g + ：。d ：+ 圣。厩 ( 3 5 ) 53 2 二次插值与几个引理 为考虑嚣1 的计算，引入二次三角插值。记 k i i 垒 z i 一1 ，x i + 1 玑一1 ，可。+ 1 硝垒a a b d ， 碣垒a b c d dg a b f i g 2 用7 r 表示由硷或赡中6 个节点得到的二次三角插值函数 当( z ，y ) 吾，即y y i 一( z 一5 9 i ) 时， ( 7 r 口) ( z ，y ) = 叼+ j ( 如 ”l 一砖 埘一l + 2 ( 珐仇，j ) ( z 一甄) 十j ( 屯仇一l ，j g j y v _ 一1 j + 2 5 f v i ，) 一协) + 岛( 劬巧) ( z 一甄) ( 9 一珊) 十；岛( 如仇护1 ) 0 一翰) 24 - j 南( 轨，) ( 协) 2 ( 36 a ) 山东师范大学硕士学位沧文 当( z ：) 尺茜，即y y i 一( 茁一z 。) 时 + 如( 屯) ( z 一甄) ( 一蚴) + j 岛( 如仇，+ 1 ) 一翰) 2 + j 曲( 忉) 一珊) 2 ( 3 6 b ) 对时间和空间步长的限定( t 3 ) ：假设步 之f 和h 满足条件 嘏嚣 l u 蜘n - 1 l 些h 1 弧i 2 - t h 0 2 x 】1 n - 1 l