（应用数学专业论文）微分包含的morse分解及应用.pdf

中文摘要 本文主要介绍集值动力系统和微分包含的m o r s e 分解理论及其在控制系统的 一个应用首先，介绍集值动力系统的m o r s e 分解理论的基本知识然后，通过应 用集值动力系统的经典理论，建立微分包含的不变集和吸引子的m o r s e 分解理论 并且从生存理论的角度出发，讨论微分包含解的可生存性我们得到：微分包含 吸引子的每一个m o r s e 集是孤立的完全生存集；吸引子的吸引域的边界是微分包 含的生存域进一步讨论了微分包含扰动系统的吸引子及其m o r s e 分解的稳定性 最后，应用微分包含的m o r s e 分解理论，研究控制系统中非参量控制流的m o r s e 分解希望在研究控制系统时可以直接应用微分包含的知识，从而减弱右端项的 限制条件 关键词：集值动力系统；微分包含；吸引子；m o r s e 分解；控制系统 a b s tr a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h em o r s ed e c o m p o s i t i o nt h e o r yf o rs e t v a l u ed y - - n a m i c a ls y s t e ma n dd i f f e r e n t i a li n c l u s i o nw i t ha p p l i c a t i o n st oc o n t r o ls y s t e m f i r s t ，w e g i v es o m eb a s i ck n o w l e d g eo ft h em o r s ed e c o m p o s i t i o nf o rs e t - v a l u ed y n a m i c a ls y s t e m s e c o n dw ee s t a b l i s h t h em o r s ed e c o m p o s i t i o nt h e o r yf o ri n v a r i a n ts e t sa n da t t r a c t o r s o fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o nb ya p p l y i n gt h ea b s t r a c tr e s u l t so ns e t v a l u ed y n a m i c a ls y s t e m w ea l s oh a v ea nu n d e r s t a n d i n go ft h ev i a b i l i t yf o rs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o nf r o m t h ev i e wo fv i a b i l i t yt h e o r y w ep r o v et h a te v e r ym o r s es e to fa t t r a c t o rf o rd i f f e r e n t i a l i n c l u s i o ni sa ni s o l a t e dc o m p l e t ev i a b i l i t ys e t ；s p e c i f i c a l l yw es h o wt h a tt h eb o u n d a r y o fa t t r a c t i o nr e g i o no fa t t r a c t o ri sav i a b i l i t yr e g i o n t h e nw ed i s c u s sa t t r a c t o ra n d i t sm o r s ed e c o m p o s i t i o nf o rt h ei n f l a t e ds y s t e mo fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o na n dp r o v ei t i s s t a b l eu n d e rs m a l lp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n s f i n a l l y , w ed e m o n s t r a t et h ec o n s i s t e n c yo f m o r s ed e c o m p o s i t i o no fa t t r a c t o rf o rt h en o n p a r a m e t r i cc o n t r o lf l o wa n dd i f f e r e n t i a li n - c l u s i o na s s o c i a t e dw i t ht h es y s t e m t h i si n d i c a t e st h a tt h em o r s ed e c o m p o s i t i o nt h e o r y o fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o nm a yb ea na l t e r n a t i v ec h o i c ew h e nd e a l i n gw i t hc o n t r o ls y s t e m ， w h i c hs e e i n st ob em o r ed i r e c ta n dc a l la l s ob ee x p e c t e dt ol o o s e nt h er e s t r i c t i o n so n t h er i g h t - h a n ds i d e k e yw o r d s ：s e t v a l u ed y n a m i c a ls y s t e m ；d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n ；a t t r a c t o r ；t h em o r s e d e c o m p o s i t i o n ；c o n t r o ls y s t e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗基堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：减镁谚 签字日期： 2 。影年，月对日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞基堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：硪暖柱 签字日期：2 g 年上月) 日 导师签名：以嫩j 签字日期：加薯年f 月2 多日 第一章前言 第一章前言 集值分析始于2 0 世纪3 0 年代，它在经济理论、控制理论、生存理论等 许多领域得到广泛应用，近几十年获得了飞速的发展，现已成为非线性分 析的重要组成部分集值动力系统主要用来描述存在多个解的微分方程、微 分包含和控制系统的动力学行为在2 0 世纪6 0 年代，国内外一些著作对集 值动力系统理论的研究已经取得了丰富的成果参见文献( 1 ，7 ，1 6 ，2 3 ，2 4 ，3 2 ，3 5 1 在微分领域，微分包含在描述经济、社会、生态等模型的动力学行为方 面得到广泛应用，成为研究动力系统不可缺少的数学工具微分包含有着十 分丰富的发展背景和非常广泛的应用领域，在研究经济学、生态学、系统理 论、对策论和控制理论中起着非常重要的作用参见文献4 ，1 7 ，2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 7 1 由于微分包含的解的存在不唯一性，我们得到了一些相对微分方程更加普 遍的结论，但是也使得对微分包含系统的研究相对微分方程更加复杂，因 此近些年来引起了诸多学者的研究兴趣 动力系统的m o r s e 分解理论是分析非线性系统动力学行为的强有力的工 具不变集和吸引子的m o r s e 分解理论在动力系统和控制系统等应用数学领 域起着至关重要的作用单值动力系统的m o r s e 分解理论可参见文献f 5 ，1 0 ，2 8 推广到随机动力系统的m o r s e 分解理论可参见文献【1 8 ，19 】推广到非自治动 力系统的m o r s e 分解理论可参见文献 3 0 】 本文主要介绍集值动力系统和微分包含的m o r s e 分解理论及其在控制 系统的一个应用 第二章介绍集值动力系统的m o r s e 分解理论的基本知识首先，给出集 值动力系统的吸引性、稳定性和不变性的概念和结论，然后，讨论不变集 和吸引子的m o r s e 分解，证明了吸引子的m o r s e 分解在参数小扰动下是稳定 的单值动力系统的排斥子、m o r s e 集、极限集均是不变的，然而在集值动力 系统的情形则不然因此把m o r s e 分解理论推广到集值动力系统需要解决很 多数学分析的技术困难参见文献i p 8 】 第三章研究微分包含的m o r s e 分解理论考虑微分包含 z 0 ) ，( z ) ) ，t 0 首先，如果微分包含的解在有限时间内不会爆破，则能达映射f 是r ” l 第一章前言 上的集值动力系统从而可以应用集值动力系统的经典理论，建立微分包含 的不变集和吸引子的m o r s e 分解理论 然后，从生存理论的角度出发，讨论微分包含解的可生存性生存理论 是利用微分包含来研究不确定系统在各种约束条件下状态演变的前沿领域， 适用于解决经济、生物、社会等含不确定因素较多的宏观复杂大系统问题 它采用微分包含的形式描述系统的动态与约束之间的联系，揭示其潜在的 调节反馈参见 2 3 】生存理论研究系统从某一初始状态开始，随着外界环境 的变化而不断演化，寻求系统的可生存性因此研究吸引域的可生存性从生 存理论的角度有一定的价值我们得到：微分包含吸引子的每一个m o r s e 集 是孤立的完全生存集；吸引子的吸引域的边界是微分包含的生存域并且对 生存域的相关定义和结论从生存理论的角度作了初步介绍 最后，讨论微分包含吸引子的m o r s e 分解的稳定性考虑扰动系统 z 7 ( t ) - 历- - a v ( x + 入雪1 ) 十入雪1 当入充分小时，扰动系统存在吸引子和吸引子的m o r s e 分解，并且在小扰动 下吸引子及其m o r s e 分解是稳定的 第四章主要研究微分包含和控制流的m o r s e 分解之间的关系动力系 统的m o r s e 分解理论在控制系统中起着非常重要的作用然而，在控制系统 z 他) = ，( z ( ) ，札( t ) ) 中应用单值动力系统的m o r s e 分解理论，需要对等式右端 加一些严格的限制条件，以保证解的唯一性和所要求的控制流的性质参 见 1 z - 1 5 1 本章在文献 1 2 】基础上，受到引理4 1 和引理4 2 的启发，讨论微分包含 和非参量控制流的m o r s e 分解之间的关系希望在研究控制系统时可以直接 应用微分包含的知识，从而减弱右端项的限制条件 2 第二章集值动力系统的基本知识 第二章集值动力系统的基本知识 2 1 集值动力系统的吸引性、稳定性和不变性 在本文中，假设x 是完备的局部紧的度量空间，d ( ，) 是x 上的度量 2 x 表示x 的所有子集构成的集合对x 的任意非空子集a 和b ，分别定义 h a u s d o r f f 半距离和h a u s d o r f f 距离为： d h ( a ，b ) = s u pd ( x ，b ) ， 珏( a ，b ) = m a x d h ( a ，b ) ，d h ( b ，a ) ) ， 筇a 其中d ( x ，b ) 2 聪d ( z 6 ) 为方便起见，记d u ( 0 ，b ) = 0 设ac x ，a 的闭包 记作a ，a 的内部记作i n t a 称x 的子集y 是a 的邻域，如果aci n t v 记 b ( a ，r ) = x ：d ( y ，a ) 0 为半径的a 的邻域 定义2 1 ( 参见f 3 l 】) 称集值映射g ：r + xx _ 2 x 为x 上的集值动力 系统，如果g 是非空的闭值映射，并且满足下述公理： ( 1 ) 半群性质：a ( 0 ，z ) = z ；c ( t ，g ( s ，z ) ) = g ( t + s ，z ) v x x ，8 ，t r + ； ( 2 ) 对每一个固定的茁，a ( t ，z ) 在h a u s d o r f f 距离意义下关于t 是连续的； ( 3 ) 在任意的紧区间j 上，c ( t ，z ) 关于z 是一致上半连续的 下面始终假设存在x 上的集值动力系统g ，c ( t ，z ) 也记作g ( ) z 对任意 的vcx ，icr + ，记g ( i ) v = u ( 托) ，yc ( t ，z ) 首先关于g 给出吸引性，稳定 性和不变性的概念和结论 定义2 2设a ，y 是x 的两个子集，称a 吸引y ，如果 d h ( c ( t ) v , a ) 一0 ，t - 。 a 的吸引域a ( a ) 和一致吸引域q 。( a ) 分别为 q ( a ) ：= z xia 吸引z ) q 。( a ) ：= z xia 吸引z 的某一个邻域u 】1 、 定义2 3设acx ，称a 是l y a p u n o v 稳定的，如果对任意的 0 ，存 在5 0 ，使得 c ( t ) b ( a ，5 ) cb ( a ，g ) ， v t 0 3 第二章集值动力系统的基本知识 定义2 4 如果a 是l y a p u n o v 稳定的，并且f l ( a ) ( 或q 。) ) 是a 的邻 域，则称a 是渐近稳定的( 或一致渐近稳定的) 注：( 参见 8 】) q 缸( a ) 是开集，并且a 吸引吼( a ) 中的每一个紧子集k 如果a 是紧的，并且是渐近稳定的，则a ( a ) = q 。( a ) 因此，对于紧集来说 渐近稳定和一致渐近稳定是等价的 定义2 5设区间icr 1 ，称映射7 ：i x 为g 的轨线，如果7 满足 7 ( t 2 ) g ( t 2 一t 1 ) 7 ( t 1 ) ，v t l ，t 2 j ，t l t 2 当j = r 1 时，称1 是g 的完全轨线过z x 点的完全轨线是指7 ( 0 ) = z 的 完全轨线 定理2 1 ( 参见【1 1 】) 每一条轨线都是连续的映射并且设y g ( t 1 - t o ) z ， 其中t o t 1 ，则存在 t o ，t l 】上g 的轨线，y ，使得7 ( t o ) = z ，7 ( t t ) = y 定理2 2 ( b a r b a s h i n 定理，参见 1 1 】) 设 t o ，t l 】是紧区间，是一列定义 在 t o ，t l 】上的轨线，并且( 幻) 一x o ，则存在的子列。和轨线7 0 ，使得 ；在 t o ，e l 】上一致收敛到伽 定义2 6设集合acx ，如果对所有的t 0 ，都有a ( t ) aca ，则称a 是正不变的 如果对所有的t 0 ，都有acg ( t ) a ，则称a 是负不变的 如果a 既是正不变的，又是负不变的，则称a 是不变的 定义2 7设集合acx ，如果对任意的z a ，有c ( t ) zna 毋，v t20 则称a 是正弱不变的 命题2 1( 参见【8 】) 设acx 是非空子集，如果a 是负不变的，则对任 意的z a ，存在( 一o o ，0 】上g 的轨线7 ，使得7 ( 0 ) = z ，7 ( ( 一o o ，o 】) c a 命题2 2 ( 参见 8 】) 设acx 是非空闭子集，如果a 是正弱不变的，则 对任意的z a ，存在【0 ，+ o 。) 上g 的轨线，y ，使得7 ( 0 ) = z ，7 ( 【0 ，+ 。) ) ca 闭子集a 的正弱不变性足以保证命题2 2 成立参见r o x i n 1 1 1 定理7 1 4 第二章集值动力系统的基本知识 定义2 8设集合acx ，如果对任意的x a ，存在a 的邻域u ，使得 过x 点的g 的完全轨线7 ，如果7 ( r 1 ) cu ，有7 ( r 1 ) ca ，则称a 是孤立的 定义2 9设集合acx ，定义a 的u 一极限集为 w ( a ) ：- - - - xij k _ 和y n a ( t 。) a ，使得一耖) 定义2 1 0设7 是陋，+ 。) ( 或( 一，d 】) 上g 的轨线，定义7 的u 一极限 集( 或a 一极限集) 为 u ( 7 ) ( a ( ，y ) ) ：= 和xi | 一+ o o ( 或一o o ) ，使得- y ( t 礼) _ z ) 命题2 3 ( 参见 8 】) 设a 是x 的非空子集，7 是 a ，+ o 。) 上g 的轨线假 设存在t 0 ，使得g ( p ，。o ) ) a 和7 ( 陬+ 。o ) ) 是x 的准紧集，则 ( 1 ) u ( a ) ，u ( 7 ) ( 或a ( 7 ) ) 是非空的紧的负不变的( 或正不变的) ； ( 2 ) u ( a ) 吸引a 并且。u 翟d ( ，y ( t ) ，u ( 7 ) ) = 0 ( 或1 i md ( ，y ( t ) ，口( 7 ) = o ) 岬r l ur l ， 定义2 1 1设4 是x 的紧子集，如果存在a 的邻域u 使得a = u ( u ) ， 则称4 是g 的吸引子u 称作是4 的吸引邻域如果4 是g 的吸引子，并且 ) = x ，则称4 是g 的全局吸引子 命题2 4( 参见 8 】) 设4 是g 的吸引子，则a 是不变的，并且4 是一 致渐近稳定的 注：在一般情况下，不能保证集值动力系统的u 一极限集的不变性，但 是当a = u ( u ) 是g 的吸引子时，4 是不变的由 8 】知4 是一致渐近稳定的 从而q ( a ) = q “( a ) 因此当a 是吸引子时，不再区分q ( 4 ) 和吼( 4 ) 2 2 吸引子一排斥子对 在本节中，设x 是完备的局部紧的度量空间，g 是x 上的集值动力系 统，s 是g 的紧的不变集a l s 表示g 在s 上的限制由于s 是不变的，所以 a l s 是s 上的集值动力系统设4 是s 的紧子集，称4 是g 在s 中的吸引子 指4 是a l s 的吸引子吸引子a 在s 中的吸引域记作q s ( 4 ) 5 第二章集值动力系统的基本知识 定义2 1 2设4 是g 在s 中的吸引子，定义 4 = z su ( z ) 4 0 ) 称4 + 为g 在s 中和么对偶的排斥子称( 4 ，) 为g 在s 中的吸引子一排斥 子对 命题2 5( 参见 6 】) 设，) 是g 在s 中的吸引子一排斥子对，u 是 4 的一个邻域，则对垤 0 ，s t 0 ，使得 c c t ) zcb ( a ，e ) ，v t 正z s 矾 证明：设k = s i n t u ，则kcq s ( 4 ) 是紧子集，从而4 吸引k ，则有 d s ( a ( t ) u ，a ) _ 0 ，t 一+ 所以对v x s uck 和v 0 ，存在t 0 ，使得 对v t t ，有g ( t ) xcb ( 4 ，e ) 从而结论成立证毕 定义2 1 3设集合acx ，如果对任意的x a ，存在过z 点的g 的完全 轨线7 ，使得7 ( r 1 ) ca ，则称a 是弱不变的 命题2 6( 参见f 6 】) 设4 是g 在s 中的吸引子，是和a 对偶的排斥 子，则 ( 1 ) a + = s q s ( 4 ) = s q ( 4 ) ； ( 2 ) 是紧的，并且是弱不变的 证明：( 1 ) 假设z s ，则u ( z ) 是非空的紧集，并且u ( z ) c4 当且仅当 z q s ( 4 ) 首先证明a + = s q s ( 4 ) 若z 4 + ，即u ( z ) 4 仍贝0u ( z ) 茌a 从而zgq s ( 4 ) ，所以x s a s ( 4 ) 得到a + cs 舻( 4 ) 另一方面，若z s q s ( 4 ) 即z s ，但是z 譬q s ( 4 ) ，则 u ( z ) 茁a 从而u ( z ) 4 0 即z a 得到s q s ) ca 又因为s 是不变集，所以q s ( 4 ) = snq ( 4 ) 则s q s ( 4 ) = s q ( 4 ) 从 而第二个等式成立 ( 2 ) 由( 1 ) 即知是紧的 下面来证明是弱不变的首先，4 + 是负不变的事实上， ， s = g ( t ) s = c ( t ) ( a s ( 4 ) ua ) = a ( t ) a s ( 4 ) uc ( t ) a cq s ( 一4 ) uc ( t ) g 因为q s ( 4 ) u4 + = s ，并且4 nq s ( 4 ) = 0 ，所以么+ cg ( t ) 4 6 第二章集值动力系统的基本知识 假设v x a ，由命题2 1 和的负不变性，存在( 一o o ，0 】上的轨线7 一， 使得7 一 0 充分小，使得矿nb ( a ，) = 0 由命题2 5 知， 存在t 0 ，使得 a ( t ) ycb ( 4 ，) ，v t y s v( 2 1 ) 因为u ( z ) 是紧的，如果w ( x ) cq s ( 4 ) ，则a 吸引u ( z ) ，从而4 吸引z ，得到 zcq s ( 4 ) ，矛盾所以w ( x ) na + 谚从而存在t 。一十o 。，y n a ( t n ) z ，使得对 所有的礼都有y n v 设是 0 ，k 】上的g 的轨线，满足( o ) = z ，( k ) = y 竹 定义 = s u p a 0i ( o ，7 - 】) cy ) 则( ) o vcs y 从而存在子列仍记作，使得_ + o 。事实上， 如果有界，即对所有的n ，假设8 ，则由( 2 1 ) 知，对充分大的佗使得 t 。 t + s ，有 = ( k ) a ( t n 一) ( ) b ( a ，) 得出矛盾所以( 【o ，+ 。) ) cv 由b a r b a s h i n 定理，存在【0 ，+ ) 上的轨线7 + ， 使得7 + ( o ) = z ，矿( 【0 ，+ o o ) ) c 矿事实上，y + ( o ，+ 。) ) ca + 否则，当t 一+ o 。 时，有d ( 7 + ( ) ，a ) _ 0 矛盾 从而得到g 的完全轨线7 ，使得，y ( ( 一o o ，+ 。) ) ca 。，所以4 + 是弱不变 的证毕 命题2 7( 参见 6 】) 设4 是g 在s 中的吸引子，7 ：r 1 _ s 是过z s 点的完全轨线则 ( 1 ) 如果u ( ，y ) na d ，则7 1 ) ca + ；如果a ( 7 ) na 谚，则7 ( r 1 ) ca ； ( 2 ) 如果zga ，贝0a ( 7 ) ca + ；如果zga + ，贝0u ( ，y ) ca 证明：对相应的单值动力系统的证明稍作修改即得( 参见 2 6 ) 2 3 不变集的m o r s e 分解 定义2 1 4设s 是x 的紧的不变子集朋= m 1 ，i v 是s 的有序子 集族如果g 在s 中存在一列递增的吸引子序列0 = a oc4 1c c = s ， 7 第二章集值动力系统的基本知识 使得 m k = a kf 3 代一l ，1 k 礼 则称m = m 1 ，m n 是s 的一个m o r s e 分解 上述定义中的每一个集合m k 称为s 的m o r s e 集m o r s e 集有可能是空集 例如当a k = 4 七一l 时，则m k = 0 定理2 3( 参见 6 】) 设朋= m 1 ，) 是s 的一个m o r s e 分解，相应 的吸引子序列为0 = a 0ca 1c c 厶= s ，则 ( 1 ) 对每一个k ，( a 一1 ，m k ) 是a 中的吸引子一排斥子对； ( 2 ) m o r s e 集m k 是互不相交的弱不变的紧集； ( 3 ) 如果7 是g 在s 中的完全轨线，则或者存在某个慨使得7 ( r 1 ) cm k ， 或者存在指标i ； ( 5 ) 如果s 是孤立的，则a 也是孤立的 证明：定理( 1 ) ( 5 ) 的证明除m k 的弱不变性外和单值动力系统的证明 类似参见【2 6 】第三章的定理1 7 尥的弱不变性由吸引子的不变性和排斥 子的弱不变性即得 命题2 8设s 是g 的吸引子，朋= m 1 ，螈) 是s 的一个m o r s e 分 解，则每一个m o r s e 集m k 是孤立的 证明：只需证明存在m k 的邻域u ，使得任意的z m k ，如果过z 点的 完全轨线7 包含在u 中，则有7 ( r 1 ) c 慨事实上，由于呱是紧的，可以取 到m k 的邻域u ，使得ucq ( s ) ，并且 un 舰= 仍， v i k ( 2 2 ) 设任意的x m k ，过x 点的完全轨线，y 包含在u 中由于s 是g 的吸引子， 由命题2 7 知，7 包含在s 中，从而由定理2 3 ( 3 ) 知，或者存在某个地使得 8 第二章集值动力系统的基本知识 7 ( r 1 ) c 慨，或者存在指标i 0 ，使得对任意的o ， 0ld ( t e ( t ) ，, 4 0 ) 2 耐当e 一0 时，t s _ + 。 若不然，则存在z 。的子列z 。：= z 。_ z o 4 0 ，使得k ：= t 。是有界的由定 义2 1 中公理( 3 ) 知，当佗_ 。时， d ( ，k 。( t n ) ，a o ) = d ( ，k 。( t n ) ，a ( t 。) a o ) 妇( g ( t n ) z n ，a ( t n ) 2 0 ) 寸0 9 第二章集值动力系统的基本知识 与d ( t e ( t e ) ，a o ) 6 矛盾所以镌( o ，t e 】) c 雪( 凡，6 ) 设 ( t ) = 7 e ( t 。+ t ) ， v t - r e ，o 】 则既是 - t 。，0 】上的g 的轨线由b a r b a s h i n 定理( 定理2 2 ) 知，可以取的 子列：= e r e 。，使得当e 。一0 时，在任意紧区间耻，0 】上，一致收敛到g 的 轨线盯：( 一o o ，o 】_ 豆( 山) 又因为d ( a n ( o ) ，4 0 ) = 6 ，所以 d ( 盯( o ) ，, 4 0 ) = 5 ( 2 3 ) 我们把盯延拓为g 的完全轨线仍记作盯由口( o ) f l ( a ) ，得a ( r 1 ) q ( a ) ， 则盯限1 ) a 又由于盯( ( 一o 。，0 】) c 豆( a o ，6 ) ，从而a ( a ) cb ( a o ，5 ) na 类似命 题2 7 ( 1 ) 的证明过程，可知盯( r 1 ) , 4 0 ，与( 2 3 ) 矛盾所以，a 在x 中是 l y a p u n o v 稳定的 取0 5 0 0 和紧子集a ，存在p 0 ，使得当p ( 入，入o ) 0 ，使得当p ( 入，知) 0 充分小，由引理2 1 ，对所有的0 k n 有豆( a a ，) cq ( a ( 入) ) ，并且对每一个固定的k ， a ( 入) cb ( a ，) cb ( a k ，) cq ( 4 七( 入) ) v i k ， 所以对所有的i k ，a ( a ) ca ( 入) 因此 仍= 4 0 ( 入) c4 1 ( 入) c ca n ( 入) = 4 ( 入) 是一列递增的g a 的吸引子序列 设m k ( ) t ) = a ( 入) n a 。t , 一1 ( 入) ，则m ( a ) = 尬( 入) ，( 入) ) 是4 ( 入) 的一个 m o r s e 分解下面证明钆( 入) cb ( a k ，) 事实上，由定理2 3 知，m k ( x ) 是g x 在 九( 入) 中和九一1 ( 入) 对偶的排斥子因此，由命题2 6 ( 1 ) 知 l 靠( 入) = 4 角( 入) q 一4 t ( 入) ( 4 知一l ( a ) ) = a k ( x ) q ( 4 知( 入) ) 由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得 m k ( x ) cb ( a 詹，) v k = b ( a k ，) ( 啻( 4 七，) b ( a k l ，e ) ) cb ( a ，) ( b ( 4 南；e ) b ( 一l ，) ) = b ( 4 知，) nb ( a i 一1 ，) ) cb ( 磊，) 证毕 定理2 8假设吼在入o a 时满足引理2 1 中的连续性条件( g ) a 是 g = g x o 的吸引子，m = m 1 ，螈) 是一4 的一个m o r s e 分解，则对任意紧 子集kcq ) 和垤 0 ，存在j 0 ，使得当p ( 入，知) 0 ，取占1 0 充分小，使得当p ( 入，a o ) 0 充分小，当p ( 入，入o ) 0 ，取6 = m i n 6 】，如】- ，当p ( x ，x o ) 0 和区间 0 ，r ) 上满足初值条件x ( 0 ) = z 的解z ( ) 解的全局存在性可参见 3 ，3 6 1 定义3 2定义微分包含( 3 1 ) 的能达映射f ：r m r + _ 2 为 f ( z ，t ) = z ( t ) iz ( ) t ( 【o ，叫) ) ，v ( z ，t ) r m r + 引理3 1( 参见 7 】) 设，= 0 ，刁，t o 。对任意的序列如一0 ，区间， 上绝对连续和一致有界的函数列z 。( - ) 满足 ( t ) - 历- a f ( x 。( t ) + 6 r i b , ) + 6 n b l ， 则存在子序列z 。( ) 在区间j 上一致收敛掰微分包含( 3 1 ) 的解z ( ) 1 4 第三章微分包含的m o r s e 分解 引理3 2 ( 参见 7 】) 设y 是r 仇的紧子集，0 0 ，使得 6 日( f ( k t ) ，f ( us ) ) mj t s l ，v s ，t 【0 ，司 定理3 1 ( 参见【7 】) 如果微分包含( 3 1 ) 的解在有限时间内不会爆破， 则f 是r m 上的集值动力系统 证明：由引理3 3 ( 1 ) 知，对任意的( z ，t ) r mxr + ，f ( z ，t ) 是紧集显然 f 满足定义2 1 半群性质( 1 ) 由引理3 3 ( 2 ) 知，f ( z ，t ) 在h a u s d o r f f 距离意 义下关于t 是l i p s c h i t z 连续的，从而满足定义2 1 ( 2 ) 下面证明f 满足定义 2 1 ( 3 ) ，即证f ( t ，z ) 关于z 是上半连续的，并且在任意的紧区间，上，f ( t ，z ) 关于t 一致连续 若不然，则存在x o r ”，e o ，t 0 和点列z 。_ z o ，t n 0 ，卅，使得对每 一个n ，y n f ( z n ，t n ) ，有 d ( y n ，f ( x o ，t n ) ) o( 3 2 ) 假设对所有的佗，i b ，t n t o 0 ，纠设z 。( ) & 。( r + ) ，使得z 竹( k ) = y n ， 则由引理3 1 和引理3 3 知，存在x n ( ) 的子列z 。( ) 在 0 ，t 上一致收敛到微 分包含( 3 1 ) 的解z ( ) ，则必有z ( ) & 。( 【o ，卅) ，因此对任意的t 1 0 ，卅，z ( t ) f ( x o ，t ) ，与( 3 2 ) 矛盾证毕 下面假设微分包含( 3 1 ) 的解在有限时间内不会爆破类似集值动力系 统，给出微分包含的吸引性、稳定性和不变性的一系列定义 定义3 3设m ，y 是r ”的两个子集，称m 吸引y ，如果 妇( f ( k t ) ，m ) 一0 ，t _ + 1 5 第三章微分包含的m o r s e 分解 m 的吸引域q ( m ) 和m 的一致吸引域q 。( m ) 分别为 f l ( m ) ：= z r ”im 吸弓i z q u ( m ) ：= z 酞im 吸引z 的某一个邻域u ) 定义3 4设mcr ”，称m 是l y a p u n o v 稳定的，如果对任意的e 0 ，存 在6 0 ，使得微分包含( 3 1 ) 的任意一个解z ( ) ，当x ( 0 ) b ( m ，6 ) 时，有 z ( t ) b ( m ，) ，v t 0 定义3 5如果m 是l y a p u n o v 稳定的，并且q ( m ) ( 或q u ( m ) ) 是m 的邻 域，则称m 是渐近稳定的( 或一致渐近稳定的) 命题3 1如果m 是酞m 的紧子集，则m 是渐近稳定的当且仅当m 是 一致渐近稳定的 定义3 6设集合vcr m 如果对微分包含( 3 1 ) 的任意一个解z ( ) ，当 x ( 0 ) v 时，对v t 0 ，都有z ( ) v ，则称y 是正不变的 如果对任意的y v 和t 0 ，微分包含( 3 1 ) 至少存在一个解z ( ) s v ( 0 ，胡) ，使得x ( t ) = y ，则称y 是负不变的 如果y 既是正不变的，又是负不变的，则称y 是不变的 定义3 7设集合vcr m ，定义y 的u 一极限集为 w ( v ) = y r ”ij t n _ o o 和微分包含的解z ( ) ，使得x ( 0 ) k z ( k ) 一可) 定义3 8设么是r m 的紧子集，如果存在4 的邻域u 使得a = u ( u ) ，则 称4 是微分包含( 3 1 ) 的吸引子矿称作是4 的吸引邻域如果4 是微分包含 ( 3 1 ) 的吸引子，并且q 。( 么) = r m ，则称4 是微分包含( 3 1 ) 的全局吸引子 命题3 2设4 是微分包含( 3 1 ) 的吸引子，则a 是不变的，并且么是 一致渐近稳定的 1 6 第三章微分包含的m o r s e 分解 3 2 微分包含的m o r s e 分解 定理3 2设f 是r m 上的集值动力系统，q 是r m 的局部紧子集如果 q 是正不变的，则f 也是q 上的集值动力系统 证明：类似定理3 1 的证明过程，易得f ：q r + _ 2 n 也是q 上的集值 动力系统 由上述定理，我们只要把微分包含( 3 1 ) 的能达映射f 限制在局部紧 的正不变集上，而不需要对，作任何其它假设，便可由第二章2 2 、2 3 集值 动力系统的经典结论建立微分包含的m o r s e 分解理论，由于只是前面内容的 重复，因此省略在用到相关的结论时，直接引用 引理3 4( 参见 7 】) 对微分包含( 3 1 ) 中任意的( z ，t ) r ”r + ，f ( z ，t ) 是连通的 证明：设v ( z ，) r , n r + ，由文献【2 9 】知，s ( 0 ，1 ) 是g ( 【0 ，t l ；r m ) 中一列 递增的紧的可缩子集的交集，从而f ( z ，t ) 是r m 中一列递增的紧的可缩 子集如的交集则f ( z ，t ) 是连通的若不然，则存在r 的两个开子集u 和 y ，纱nv = 仍，使得 f 0 ，t ) cu uk f 0 ，t ) nu 仍f ( z ，t ) n 矿( 3 3 ) 则对充分大的佗，有a 礼cuuv 否则，对每一个1 7 , ，由于如是一列递增的 序列，则存在y n 如，使得y nguuv 由厶的紧性，假设一y ，则对每 一个佗，有y i t 又因为 f ( z ，t ) = na 竹， n e 所以y f ( x ，t ) 从而对充分大的n ，有y n uuv 矛盾因此对充分大的n ， 有cuuv 另一方面，由f ( x ，t ) 和( 3 3 ) ，得a nnu 0 厶nv ，同 的连通性矛盾证毕 下面给出本节的主要定理 定理3 3设a 是微分包含( 3 1 ) 的吸引子，记q = q ( 4 ) 则从q 的边界 勰上任一点出发，微分包含( 3 1 ) 至少存在一个解仍停留在a q 上 1 7 第三章微分包含的m o r s e 分解 证明：即证对任意的x 0 a q ，微分包含( 3 1 ) 至少存在一个解z ( ) ，使 得x ( o ) = x 0 ，对所有的t 0 ，有z ( t ) 0 1 2 设x 0 0 1 2 ，则存在点列 】，q ， 当n 一十。时，有z 。_ z o 对每一个n ，设微分包含( 3 1 ) 从x 。出发的解记 为& 。( ) 对任意的闭区间【0 ，a 1 】c 【0 ，1 1 ，因为当7 1 , 一+ 时，& 。( o ) = z 。_ x 0 由定 理2 2 ( b a r b a s h i n 定理) 知，存在& 。( ) 的子列仍记为& 。( ) 和微分包含( 3 1 ) 从x 0 出发的解& 。( ) ，使得& 。( ) 在【0 ，a l 】上一致收敛到& 。( ) 因此 & 。( t ) 一& 。( t ) ， 札_ + 。o ，v t 【0 ，1 1 对任意的闭区间 0 ，a 2