（课程与教学论专业论文）对高中数学课程中向量的研究.pdf

摘要 向量，具有代数和几何的双重属性，引入高中课程，对传统的教育模式以及课程结 构产生了很大的冲击和影响，尤其是空间向量引入立体几何，表现得更加突出，这一点 一线的教育工作者体会得尤为深刻。 本文通过调查、访谈，比较研究分析了向量引入高中数学课程的必要性、可行性以 及重要意义和价值，并详细地分析了向量在高中数学教学中的目标及内容设置，突出了 向量在整个高中数学课程中的重要地位和“工具”性作用。 接着，本文归纳总结了数学解题中向量法的解题思想方法，比较分析了向量法与传 统法的优势和不足，辩证地对待二者的地位和作用，并进一步分析了影响向量解题的因 素，期望通过比较研究，更大限度地发挥和体现向量的作用和价值，引起一线教师的重 视。 最后，根据分析、比较研究，反思向量在高中数学课程中地位和作用，并提出了关 于联系实际问题，强化向量学习，体现学生主动学习原则等几点建议，希望能够为中学 数学教育提供一点可行性的建议，为新课程的推广和实旋尽一份绵薄之力。 关键词：向量；数学课程；反思；建议 a b s t r a c t v b 曲o rh a sb o t ha l g e b i a i c 卸dg e o m e t r i cc h m c t e r i s t i c s n si l l 仕o d i l c t i o ni n t ot os e l l i o r h i g hs c h o o lc u r r i c i l l u m ，e s p e c i a l l yt h ei l l 仃o d u c t i o no ft h es p a t i a lv e c t o r h a se x e n c dg r c a t i l i f l u e n c eu p o nt h et r a d i t i o n a le d u c a “o n a lm o d e s 锄dc u n c u l u ms t r u c t u r c m a t h e m a t i c t e a d 地r sh a v e b e e ng r c a t l yi m p r e s s e db yt h ei n n u e n c e t h r o u g l ls u r v e y ，i n t e r v i e wa n dc o m p a r a t i v er e s e a r c h ，t h i st h e s i s 孤a l y s e st h en c c c s s i t y ， 印p l i c a b i l i t ya i l ds i 印i f i c 柚c eo ft h ei n 删u 甜o no fv c c t o ri n t 0s e n i o rh i 曲s c h o o lc 咖c i l l 啪 卸da l s oa i l a l y s e st h eo b j e c t i v e 姐dc o n t 如to fv e c 【o ri t h ec i l f r i c l l l 啪i nd e t a i l ，锄p h a s i z i n g v e c t o r si i n p o n 姐c c 孤df 岫i o na s “t o o l ”i nt h ec u r r i c u l 啪 w h a ti sm o r c ，t l l i st 量l c s i sm a k e sas u m m 盯ya b o u tt l l em 酣b o d so fs 0 1 v i n gm a t h 锄a t i c p m b l e m sw i t l iv e c t o r ，c o m p a r e sa n da n a l y s e st | i es t r e n 醇h sa n dw e a k n e s s e so ft h et 珀d i t i 咖i a l a l l dv e c t o rm e a n so fp m b l e m s o l v i n g ，d i a l e c t i c a l l ya n a l y s e st l i ep o s 协o n 孤df i l n c t i o o ft h e t w 0 强df h f t h e rd i s c u s st h ei n f l _ l l e n t i a lf a c t o r si nu s i n gv e c t o rt os o l v e 邮b l c m s t h e 黜t h o r h o p e st h a t l i sr e s e a r c hw i l lc a u s em a t h e m a t i ct e a c h e r st 0p a ym o f ea n 蛐t i o nt ov e c t o r 柚d 也u s m a k e f i i l l u s e o f i t a t l 嘲，a 删i n gt ot h e 壮a l y s i s 姐dc o m p 盯a t i v er c s e a r c h ，t l l ep a p e rr e n e c t su p o nt h e p i t i 锄df i l n c t i o no fv c c t o ri ns e n i o rh i g hs c h 0 0 lm a t h e m a t i cc u n i c l l l u ma i l do 纸r s s e v e r a ls u g g e s t i sl 诹ea s s o c i a t i n gp r a c t i c a li s s u e s ，e l i i l 柚c i n gt h el e a r i go fv e c i o r ，c t c ， w i t ht l l eh o p et h a tt h ct i l e s i s 啪p r o v i d ea p p l i c a b l es u g g e s t i 叫st 0m a t h e m a t i ct e a c h i l l ga n d c o n t r i b u t et ot l l ep r o m 娟o no ft l l en e wc u i r i c l l l u m k e yw o 哪s ：v 色c t o r ；m a t h e m a t i cc u i t i c u l u m ；i l l t r o s p e c t i o n ：s u g g e s t i o n s 1 i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：唾堑：睦日期：玉翌：? 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：篷! 鱼 指导教师签名：学位论文作者签名：i 遵! 塑指导教师签名： 日 期：o ：2 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 1问题提出的背景以及现状调查分析 1 1 问题的提出 在现实世界的各个领域，对事物的特性及采用度量来标记是常见的手段，但在这个 标记的过程中，有的只需要标记它的大小，如物体的质量等，我们称这种度量的结果为 标量( 纯量) ：而有的不仅需要大小还需要方向，如物体运动的速度等，我们称这种度量 的结果为向量( 矢量) 。 向量具有代数与几何的双重特性，因而成了代数学与几何学这两门传统中学数学课 程的汇合点。现代中学数学课程的编制趋势是，由以往的分科制普遍转变为混编制，而 向量内容即为这种混编制的教材体系提供了有力的支持。向量能够简化三角、平面几何、 立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种 几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节内容的 另一条主线，从而使这些知识在向量的联系下实现了有机的统一。 几何历史的发展，大概经历了实验几何、综合推理几何、三角学和解析几何等四个 阶段。我们国家九年制义务教育阶段主要让学生学习综合推理几何，以培养学生的推理 能力。到高中阶段主要让学生学习几何的代数化方法，这也是当前世界各国基础数学教 育所倡导应该达到的水平。几何发展的根本出路在哪里? 这个问题曾在数学界有过一阵 争论。 2 0 0 2 年新大纲指出“几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化 的需要”，向量学习的目的之一是“重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题 的能力”，“顺应几何改革代数化的方向”。( j 【1 6 】) 这其中的原因除了用代数方法研究几何问题能“以数释形”，有利于培养学生的逻 辑思维能力外，还有一个很重要的原因就是，随着信息技术的不断发展，很多现实生活 中的问题抽象成数学问题后，需要用计算机辅助处理。其中有关几何图形的问题计算机 是无法直接处理的，只有将几何图形“翻译”成代数语言，再编写程序，从而达到处理 几何图形的目的。 曾获全国科技大奖在机器证明方面有突出贡献的著名数学家吴文俊先生说：“对欧 几里得几何应该怎么看，我说明一下我的看法，我有一点倾向于恩格斯的数学关系。数 学研究的是数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除 了数量关系对于几何，对于研究空问形式，你要真正地腾飞，不通过数量关系，我 想不出有什么好办法。”吴文俊先生明确指出为了使中学几何“腾飞”，必须采取“数量 化”的方法，也就是要及早的引入坐标，使几何“解析化”，使几何可能计算，这是几 何机械化的开端，也是几何现代化开端。( j 【1 2 】) 自从2 0 0 0 年新大纲制定以后，向量已经是数学实验教材中独立成章的内容，而在 1 2 0 0 2 年离中数学教学大纲数学第二j l | 下b 中，又添加了“空间向量”内容，这样 比较系统地学习平面向量和空问向量，在教学实施中必然会遇到备种矛盾和困难。在 2 0 0 3 年新研制的高中数学课程标准( 实验稿) ，向量的分量进一步加重，“平面上的 向量”是必修的数学4 中的重要内容，“空闻向量”则是选修谍程系列2 的主要组成部 分。 2 0 0 5 年第3 期数学通报上刊爨的“陈省身先生访谈录”一文中，提到关于“现 在高中数学课程改革，教学内容要增加一些向量、算法、微积分、概率统计等内容”， 健认为“藏在高中是可以的，僵都应是讲一些最基零的摄念，向量当然要紧，向量使许 多数学代数化，有向量这个东西在数学墨头，你可以算出数强来，比如它可以把几何代 数化，代数使得你能算，可以解决很多问题，这些都可以安排一些最基本的东西” 所以对高中数学课程中向量的分析与研究，对当前新课程改革的实施有着非常重要 的意义和价值。 1 2 现状调查分析 在长春希高中所饺翅的数学教科书，高中数学第二册有两个版本，嚣个舨本教材豹 对待态度有很大差别，主要体现在处理立体几何的方法选用上，a 版主要“图形位置关 系”展开，采用“几何综合推理”的策略，重点培养学生的空间想象能力、逻辑思维能 力、综合攘理能力以及表述能力；b 舨主要以“图形於性质”展开，采用“囱爨代数运 算推理”，也培养学生的空间想象能力，但更多是麓眼于几何与代数的融合，培养学生 数形结合的能力。( j 【3 1 】) 笔者在教育实习以及教育实践中了解到，有半数以上的学校在使用a 版教材。而 教师在其体的往焉上，又存在着两种倾向：一方瑟，一部分教师谣对新内容、新方法容 易采取回避的态度，面对具体的问题试图把能用甚至很方便地使用向量处理的问题，回 归到用传统几何综合推理方法去解；另一方面，一部分教师则走向另一极端，对于所有 海题不加区别、不分愤况地一概邦用向量代数运算推理方法去解。学生也存猩着嚣惑， 不是很明确到底是那种方法更适合，有些学生还觉得两种方法混淆在一起，那种都没学 会，负担加重了。 针对这个现象，笔者对长春市4 所中学高二的3 7 名教师以及1 个文科班，3 个理 科善逶斑和2 个理科实验班的3 1 5 名学生进行抽群，作了闻卷瀵奁窝访谈。结果发现， 有1 3 名教师选择教材时，认为a 版比较好，超过3 0 ；而在选择b 版教材的教师中， 认为需要增加课时才能保证向量知识的完整性的，占6 5 以上；在具体的教学中，普 遍认为空闻囱量遇到的困难魄平蘑向鐾多褥多，接受访谈的教师反映，在立体几何教学 中，运用空间向量比较传统方法，省去了很多作辅勘线的过程，只需要进行代数运算就 可以解决问题，但同时对教师和学生在空间图形的位置关系、空间想象能力上的要求比 较高，而学生在不学习传统立体几能的图形，空间结构，要做到这一点，困难比较大。 要使学生达至l 这样戆要求，势努簧臻拥教爆的教学任务和疆力，教师便产生了缀大 懿困感，在愿蠢立搏尼隽戆谖嚣进度安接豹纂旗上，怎撵翔入自爨方戆健知识完整? 波 管齐下，这样可行吗? 在接受访谈的教师中，有这样的想法的超过5 0 ，尤其是一魑 老教师( 教龄在2 0 年以上) ，他们对于传统方式处理立体几何很熟悉，引入向量这一王 其，对藤来戆翔谖结秘帮遴论模式逡或了缀大熬冲老秘劳藩，露麴量嚣零| 入势在必行， 如何熬合并且更好地为教育教学服务? 许多教师认为，开展比较广泛的培训是有必要 静，允其是在使用和推广掰课程标准骢教材，尤为重要，有这样簇求豹教师占8 5 巍被调查的学生中，没有接触邂空闻商爨的占2 l ( 由予按样所限，实际所占魄 例在半数以上，只有个别麓点中学在使用b 版) ，这些学生在解决立体几何时，采用的 是簧统法逶过敲大量、复杂熬辕韵线，来寻我强形蕊空瘸像置关系，鸯薅候缀疆难，“ 有时候做一道聪需要做4 、5 条辅助线，真的徽麻烦! ”而在学习平面向量也只是局限予 平面向量本身的学习，没有过多地恕向量与其他数学知识进行联系比较，只有1 0 左 右静攀生在教辩豹提示下去尝试，键大多无麓褥返，放弃了遴一步研究静瓣考。 谯使用b 版教材的学生中，9 0 的学生认为平面向攫比较简单，掌握得比较好，艇 要的闷题集中农空间南量，教，币在谫授立体几秘对，主疑采用良纛 弋数推瑰和传统几何 综合推理相结会的办法，脊的问题两种办法都讲。但怒7 3 的学生反浃，只要讲一种 就行了，两种办法接受起来困难很大，不知道什么时候该用什么办法；在运用向量解躐， 3 2 熬学生认必有点霾难，i 5 熬擘生认为缀滩，哭寿1 0 左套麴学生诀隽缀筵单；聪 在学习空间向鬣之后，认为向量法掌握得比较好的占4 3 ，两种办法都不太好的占2 0 ， 都能德心应手的占1 3 左右，学生誊欢用向爨更倾向予，不用做大量、复杂的辅助线。 簸闯卷中妻要霹鞋蓉疆：教拜辩传统方法还是穰袄羧，在楚壤商量方法与传统方法 的关系上，往往侧重于传统方法，即使运用也往往不是很熟练，要与传统方法进行对照， 这撵熬结果往彼会带来漾瓣上的紧张，嚣学嫩学习起来缀容易产嶷混淆，带来了不必溪 的、额外的负糖，这样教师会产生错觉，还怒原来的好l 有些教师已经意识捌向量知识 的重臻教育价值，但是由于原有知识的程式化、固定模式，尤其怒老教师，急需解决的 是薪谍程夔壤铡，及嚣熬每 充懿谈弱欠获，受赣课程黪攘广窝实濂终好充分瓣准套l 讽过调查、访谈阻及收集整理的数据，笔者还发现：向量知识尤其是空间向量在课 程设嚣中的地饿和作用，一线教师灏学生并不是十分明确和重视，为什么在高中数学教 材中凝弓l 入向豢? 弓l 入之稻如何定位? 与磊寄静知谖，谦程结掏如何整音联系? 学垒菇 应用向量解决蜜际问题悬，什么时候选用向擞，什么时候不合适选用向量? 是不是学习 了向豢，黄绞方法裁可敬放弃了骡? 这些一赢烧困扰着一线教师的难题，在圜内并没有系统详尽的研究，而这些问题盼 解决又迫在眉睫。吉林省在最近一两年内将推广使用薪课程标准的试用教材，而在新激 薅孛鹈量嚣蘧锭尤其突爨，工买徐毽笼菇重要，这势必绘瑗行熬教毒教学攒式带来受丈 的冲海。 掰以笔者试图通过比较研究，提出可行的建议，为掰课程的撰广实旌尽份力量鞠 责任。 2 高中数学引入向量的必要性、可行性及作用 2 1 高中数学教材中引入向量的必要- 性 2 1 1 向量的引入符合国际数学课程改革的思路 随着国际数学教育的不断发展，各国的数学课程改革也在不断深入。很多国家在不 断地改革过程中把函数与微积分、概率统计、向量几何学作为高中数学的核心内容。例 如，日本：高中有平面几何选修课，高三选修有少量的向量几何；美国：没有综合法的 几何学，但有向量矩阵表示的几何变换；英国：没有综合法的立体几何，但有向量方法 处理线面关系；法国：有少量的综合平面几何，利用向量处理立体几何图形是几何的重 要内容；德国：非常艰深的数学，超过我国大学的高等数学，尽管只有不多的向量几何， 却重视变换几何：俄国：以上所列国家中综合几何要求最高的，唯一列有“三垂线定理” 的国家，同时要求向量几何、变换几何。( m f l 4 1 ) 总体上看，用向量处理或代替综合几何，是国际数学教育的一个特点。1 8 9 9 年希 尔伯特的几何学基础的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的 公理化模式，以此为推动力，数学总体上在这个方面的研究几乎穷尽，而中学的综合几 何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形，如果我们的几何教学仍停留于此， 那么我们的数学教育会与国际数学教育的发展相去甚远。 从国内数学课程的现状看，九年义务教育的实施，数学课程从内容到形式，较实施 义务教育前，要求有所降低，知识面有所扩大。而原有的高中数学课程教材存在比较多 的缺陷，如教学内容陈旧。在传统教材中，除集合思想有所渗透外，其他内容基本上只 包括1 7 世纪以前的代数、几何内容，而在其他一些国家占有重要地位的概率统计、向 量、微积分初步等很有实用价值的内容均无所涉及。有些价值不大的内容又贪多求全。 高中新课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统， 重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，并力图改变目前数学课程及实施过 程中的某些“繁、难、偏、旧”状况，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解， 重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容。以工具性为主要特点的向量作 为有实用价值的内容之一，选入高中数学新教材是合情合理的，这也符合国际数学课程 改革的思路。 2 1 2 向量的引入有助于学生了解现代数学与中学数学的联系 一般来说，现代数学是指1 9 世纪3 0 年代以后诞生的数学。非欧几何、抽象代数、 集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等都是现代数学的内容。现代数学的 主要特点是内容的高度抽象性。 中学数学，是指在中学数学教材和课外活动( 数学竞赛等1 中所包含的数学。随着中 学教材的改革和更新，中学数学的内容也在不断变化和发展。 一4 一 尽管现代数学的高度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学发展的历史来 看，现代数学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学，变量数学的原型 与特例又来自于常量数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系 之中。 中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是现代数学的基础，是现代 数学中许多( 不是全部1 概念和理论的原型和特例所在。 作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学 知识结构体系。由向量数与形的双重身份，使它成为中学数学知识的交汇点，通过对传 统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学 向高等数学的过渡奠定一个直观的数学基础。 下图给出了向量与其他知识连接的几种常见情况： 向量 解析几何：两点间距离公式即模长公式；直线的方向向量； 垂直、平行对称等 利用向量的旋转或数量积计算、证明三角问题 代数中应用：函数的问题( 如最值) 、不等式证明、解方程等 几何：度量、角度、平行、垂直、距离等 复数：运算 2 1 3 向量的引入有助于改善数学问题的处理方法 利用向量处理问题，能减少人们对空间形式的依赖和想象，避开繁难的思维构思， 缩短推理过程。如利用向量处理三角问题，求异面直线的距离等问题，这样做与旧教材 中处理法相比，方法更加集中、简便，过程更流畅，降低了教学难度，节省教学时间， 为增设微积分、概率、统计等内容腾出空间。 2 1 4 向量的引入有助于培养学生的思维能力 向量内容在教材中的呈现特别注意对学生思维能力的培养。对知识的处理，都尽量 设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式。 这样的处理，可以发挥学生学习的主体性，培养学生的思维能力。例如，平面向量基本 定理的引入，先让学生思考教科书图5 1 7 中的向量口与向量已、岛之间的关系，联 想到实数与向量的积的这一概念，再通过图作出，最后给出平面向量基本定理。对于解 斜三角形，教科书是这样引入的“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，己会根据 直角三角形中的边与角求出未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢? 也就是如何根 据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角? ”通过设问，引起学生思考。另外，向 量的引入注意到数学思想方法的渗透。在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容 渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海航行时的位移，渗透数学建摸的思想。通过介 绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点 “形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。向量的坐标实际是 把点与数联系了起来，从而把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方程研究几何问 题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题。因此这部分知识还渗透了数形结合的 解析几何思想。 综上所述，向量进入中学数学是十分必要的。 2 2 高中数学引进向量的可行性 向量作为一种理论工具在几何中的运用，却是1 9 1 8 年著名数学家韦尔但w e y l ， 1 8 8 5 1 9 9 5 1 提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为 辅助结构，将向量空问的元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定点空间的 维数。韦尔的公理体系使欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言。学生在义务教育 阶段已经学习了欧几里得几何的基本理论，在高中阶段使学生学会用向量的方法处理几 何问题，学生不但有一定的数学基础，而且也符合学生的认知规律。另外中学教师丰富 的几何教学经验，以及现代教育技术的迅猛发展及普及，在中学阶段引入向量是完全可 以接受的。 2 2 1 学生己有平面坐标几何基础和物理速度、位移、力等矢量知识，为向量的 学习做了很好的铺垫准备工作。 在义务教育阶段，学生学习了平面几何的基本理论与方法，这为学生进入高中阶段 学习立体几何奠定了数学基础；另外在义务教育阶段，学生在学习平面直角坐标系的基 础上学会了用坐标表示点，用方程表示曲线，这为学生在高中阶段学习向量的坐标表示 埋下了伏笔；义务教育阶段物理中的速度、位移、力和加速度等矢量概念的学习又为向 量的学习提供了实际的背景支持。高一物理课中的位移、力、速度、加速度等多次用到 矢量的加法与减法，使学生在后来向量运算的学习中显得游刃有余。因此，在实际的教 学中，如果能选择适合学生年龄特点的合适的教材处理方式和教学方法，那么学生向量 的学习和应用将变得更容易接受。比如：在初中阶段引入向量空间的做法就值得商榷， 而许多国家的中学几何课程都采取折中的方案，也即保留了简化的欧几里得公理系统， 并在适当的时候引进向量的几何形式( 有向线段或者平移算子) ，以及向量的加法、数乘 和内积，这种方案可以使得学生向量的学习和应用变得更容易接受。 2 2 2 、教师丰富的几何教学经验和越来越完善的继续教育培训，是向量教学得 以顺利进行的有力保障。 数学教育改革的关键在教师，教师的知识功底：敬业精神、教育观念等都会对教学 效果产生巨大的影响。中学教师都有丰富的几何教学经验，这和中考、高考中平面几何、 一6 立体几何所占的固定的分数也有很大的关系，中学教师在几何证明的难度、技巧及运算 上都有很好的功底和教学经验，这使得教师们在把传统的综合几何转移到用向量代数处 理几何问题时有很好的经验支撑和直观背景，而且可以使之迁移到学生的学习过程中 去，这一处理也使得教师可以从繁杂的技巧证明和运算中解脱出来，有更多精力和时间 去引导学生更好地理解数学。这就为在中学阶段向量教学的顺利进行提供了强有力的保 障。 2 2 3 现代教育技术为向量的顺利教学提供了技术上的有力支持。 信息时代，数学教育面临着前所未有的机遇和挑战，信息技术的飞速发展必然对数 学教学产生深刻影响。随着新课程改革的不断深入，数学教学内容及教学方式发生了变 化。计算机辅助教学是越来越受学生和老师喜爱的教学方式之一 自从1 9 5 8 年i b m 的研究中心利用计算机进行小学二进制的数学教学开始，计算机 辅助教学已经逐步发展起来。特别是近十几年来，随着计算机的发展，出现了许多高质 量的数学软件( 如一些数学软件包m a t h c a d 、m a t l l e m a t i c a 、m a p l e ，几何画板，z 十z 智能教育平台等) 。许多教师也在逐步地应用计算机和图形计算器( 如内置了计算机代 数和交互式平面几何的9 2 1 辅助他们的数学教学。另外，人们可以利用网络获取更 多的信息，可以实现同步的远距离学习。所有这些，对于我们的传统教育方式都产生了 很大的冲击。利用信息技术，可以做许多传统教育方式难以办到的事情。信息技术支持 下的数学教学方式主要有：用计算机进行课堂演示；利用计算机进行自主的探究式学习； 利用计算机进行知识复习和学习评价；利用网络进行合作学习等。 数学是研究数量关系和空间形式的科学，而向量本身就具有数和形的双重特征。 利用向量的数值运算可以刻画几何图形的特征，同时利用现代教育技术可以使向量的平 移、旋转更生动更直观。尤其是利用几何画板研究向量的运算及应用更有利于学生 向量的学习。 综土所述，向量进入中学数学是完全可行的。 2 3 高中数学教材中引入向量的意义和价值 2 3 1 优化学生认识的结构 根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上， 学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。如 学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得 到同化，充实了学生的知识结构。在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学 知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。 2 3 2 培养学生的思维品质 中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学 思维能力的基本条件。向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。利用 向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及 有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是 本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性： 以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一 法多题，培养学生思维的聚合性。在向量教学中强化数学思想方法，优化思维品质。 2 3 3 培养学生建模能力 向量一章的内容，突出的是知识的应用。新课标准把数学建模能力列为学生学习数 学需完成的知识。向量的工具作是显然的。这里可以借助物理问题，通过把物理问题转 化为数学问题，建立数学知识与物理知识的联系，即把物理问题抽象成数学问题，然后 利用数学模型解释相关物理现象，培养学生建模能力。 2 3 4 强化思想品德教育 用辩证唯物主义的观点学习和应用向量，学生会领悟到数学来源于实践，反过来作 用于实践，以及反映在数学中的辩证关系，从而受到辩证唯物主义观的教育。培养学生 的学习兴趣，实事求是的科学态度、独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。 2 3 5 养成数学文化素养 向量以其独特的内容、形式和功能，反映了人类文明的优秀文化成果，作为知识的 继承者，学生学好向量，完善知识结构，养成自身的数学文化素养。 3 高中数学教材中向量内容设置分析 3 1 高中数学向量教学的目标 3 1 1 高中数学向量教学的目标 向量知识作为高中数学内容的一部分，其教学目标必然服从于高中数学总的教学目 的，但是，向量作为特定的教学内容，又有其特有的具体教学目标。笔者认为中学向量 教学应实现下列目标： ( 1 ) 理解向量概念，掌握基本运算，并能欣赏由向量的良好运算性质所体现出的数 学美 在中学向量教学中，应该使学生了解向量概念产生的客观背景和作用，理解向量概 念的含义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积等基本运算。 在学习向量之前，学生已经熟悉了数的运算。向量如同一般的数一样具有良好的运 算性质。教学中应该让学生充分比较向量运算中加法结合律、交换律，数乘及内积的分 配律等与数字运算中相应运算律的关系。从而使学生体会到数学的简洁美、统一美和丰 富美。 ( 2 ) 理解向量的工具价值，能利用向量解决有关的实际问题和数学问题。 使学生理解向量的多种工具作用。比如利用向量解决力、速度、位移等的分解与合 成：利用向量的数量积运算解决有关长度、角度的计算及有关平行、垂直等位置关系问 一r 题要求学生能够利用向量工具证明或解答平面几何、立体几何、解析几何、三角以及 代数等数学分支中的一些定理和命题，并形成一定的秘墙向量工具解决实鼯问题和数学 问题的技能。 ( 3 ) 通过向量的教学，使学生体会到数学各分支之间的广泛联系，并进而加深对数 学本质豹理青孚。 向爨为数学联系提供了蘑要桥梁。教学中应该努力使学黛理解这种联系，并促使他 镌叁觉蟪剩用这种联系去 鸯建和改善垂己的认知结构。 从数的运算发展到向量运算，使学生对数学的操作对象有了新的认识。而向量运算 律与数的运算律之问的高度相似性又使学生领略到了数学中不同避算对象之闻在结构 化观点下的和谐统一性。将几何问题、三角问题等转化为向量运算特别是坐标形式的向 最运算问题，则充分描示了数学中化归恩想的深刻含义同时也显示了其巨大的威力。 3 1 2 向量教学需要宪成的任务 除此之外，要想能熟练而正确的利用向量来解题，向量教学的成果是起着基础作用。 因此，翔量教学需要完成豹任务如下： ( 1 ) 挖掘课本“省略词或语”的内涵 教耪中的“省略语或词”的背后往往隐含着许多知识，挖掘箕 每涵，严密解释，有 利于研究和应用向量知识。 例如：教材上有这样一句话：想一怨：向援的数蹩积满足结合律吗? 我们知识对予 实数a 、b 、c 有( ab ) c = a ( b c ) ，僵对于向曩口，矗，c ，要弓l 导学生从两方瑶考虑。一方面 _ 从数量积的角度考虑，( 4 6 ) c 和口( 扫c ) 6 都没意义，骜然更淡不上樱等， 攀实上，口6 是一个实数，实数与向量不存在数量积。另方嚣，从数量积和向量乘 _ 一 _ 积的螽度考虑，( 4 扫) c 表示个与c 共线的向量，口( 6 c ) 表示一个与痒共线 的向量，4 与c 一般不共线。进而弓l 导学生探索“= ”成立的条件，以开拓思路。这样 可以培养学生严密的逻辑思维。 ( 2 ) 新、l 习知识和数学方法融会贯通 向景一章中隐含了大量的数学思想方法。如向量是数形交融的典型知识，数形结合 愿想在本章中体现的漆漓尽致；向量来源予现实，又回归予解决豹实际翔越中的建摸忍 _ - -_呻 想方法：如由数量织的分配律；f 4 ) 吻= 五疽扫= ：( a6 ) ，证明时须对a o ，a ：o ， a o 进行讨论等反映的分类讨论思想等。这样，不仅可以借助已有的认知来学习向量， 丽且反过来可以从数学愚想方法上了解向量与其它知识的联系，实现蠢量解蘧豹功能。 ( 3 ) 反例的教学 反例对于帮助学生学习和应膈知识的作用是显然的。从心理学角度分析，反例的错 误通常是由思维定势负效廒造成的。学生在应用知识孵题时，首先对问题进行模式辨认， 当解决类似新的问题时，学生心理上往往有试图将新闻题纳入到已建立的模式中去加以 解决的倾向，这样很容易造成对概念片面的、孤立的甚至错误的理解，不能正确认识问 题的关键特征。这启发我们在教学中，要依照概念形成方式进行教学，扎扎宴实城完成 概念形成的每一个步骤，通_ 过概念形成过程的展示，帮助学生主动获取信息，并通过学 生活动将概念内仡到自身戋日识结构中去。反对“框架型、对套路、反复练”的获取知识 的方式。选择遥当的反例，能提供最有利予辨别的信息，对概念谈谈妁深纯具有重要作 用。它使学生对概念的理解更加准确，在处理闽题诞以排除无关特征的干扰，抓住概念 的本质属性。它有利于壤养的创新意识、创新能力的培养。 ( 4 ) 类比与转化深入向量知识点的学习 类比是学习向量的一种行之有效的方法。若能合理利用，会实现教师的教的挥洒自 如，学生的学的轻而易举。例如向量运算和数蟹运算之间的类比，可以减少或防止负迁 移的产生，使学生认清向量运算的对象，并正确运羽向量的运算法则，实现知识的同化。 转化是学习向量的另一种行之有效的方法。首先向量的表示方法主要有三种：凡何 法、字母法、坐标法。它们各有所长，彼此互补，利用向量表示形式之间的转化，我们 能从多角度地探究间一向量问题，以求问题解决的最优化。其次向量的坐标表述形式将 向最的代数运算与数量代数运算联系起来；最后利用向量的双重属性，搭起了“数”与 “形”的桥梁，这样，我们可以将许多问题转化为代数问题来解决。 3 2 高中数学教材中向爨内容分析 在高中阶段，系统地讲授向最知识，在我国数学教材史上还是首次。如何把大纲中 的内容组织成既适合于教又适合于学，并能取得良好教学效果，是教科书编写对必须考 虑的润趣。新谦程标准中平面向量安排在数学4 中，空间向量安排在选修2 中，在学习 的流程中，体现了平西向量尚空阀向量推广韵过程。 3 2 1 “平嚣向量”内容分板 “平面向量”被编排在人教版全困制黹通赢级中学( 、戚验修订本) 数学第一艇( - f ) 中， 主要内容有：向量的概念及其表示向量的加法向量的减法数乘向量f 大纲 中称为实数与向量的积) 向量共线的充要条件和平面向甓的基本定理向量的内 积( 大纲中称为向量的数量积卜向登的应用。 “商量”章一开始，从祝船航行的距离和方向两个要素出发，抽象磁向量的概念， 并重点说明了向量与数量的区别，然后奔绍了向量的几何表示、向量的长度、零彝量、 单位商量、乎行向量、共线向量、相等向握等基本概念。 向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识。教材先讲了向 量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的 加法和减法统一了起来。教科书又通过向量的加法引入了实数与向量积的定义，接着给 出了实数与向量积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平面向量的基本定理， 这群为矗面介绍平面向爨的坐标表示葵定了理论基础。 教材通过建立直角坐标系，给出了向量的翳一种表示一坐标焱示式，这样就使得囱 量与宅瓣坐拣建立踅了一一瓣痰关系，然嚣绘爨了蠢量豹热法、减法及实数与淘量静羧 的坐栎运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭超了稀梁。教材在向量坐标运 算的撼础上，还导出了线段的定比分点坐标袋式和线段的中点嫩标公式。 向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数爨积 能有效地解决线段垂直的闯题。把向量的数熬积应用到三角形中，还能鳃决三角形边角 之瓣瓣蠢关闻逶。正弦定璞、余弦定理是关予经意三惫形透受之阗关系熬秀令重要定遴， 教科书通过囱量的数量授把三角形豹边与凳联系起来，箍导出了潺瓶个定理，并运耀途 两个定理初步解决了测量、工业、几何等方颟的实际问题。 为了培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够 发现问题和提出问题，学会分析问题和创造憷地解决问题，本节巾安排了一个实习作渡 弱磷究经课题，教学串要潮黻实藏。 零章孛还安撵了两个溺读毒| 瓣，帮“囱爨豹三耱类型”释“入 j 早麓怎样溺鲎堍球 的半径”。 本章重点是向量的檄念，向量的几何表承和坐标表示，向量的线性运算，平面向嫩 的数嫩积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点鼹 向鬈豹概念，向量运算法劐瓣理解和运用等。 鞠醺：之下，在营邋蹇中数学瀑程蠢准审对乎瑟淘量囊餐设嚣主毒些改动。黧翻 强调了向量概念的集合背景，强调理解向量运算( 加、减、数乘、数量积) 及其性璇豹 几何意义；强调了数学建模，突出了向量的模烈特点；强调了向擞知识与其他数学知识， 以及其他学科知识的联系。同时，删减了平面内两点间的距离公溅、线段定比分点及中 点坐标公式、平移公式等淹容。 3 。2 。2“空阉爨爨”蠹容分舞 “缀闽囱量”被编排农入教敝全日糕普邋离级中学( 试验修谤本) 数学第二翡f f ) 中， 它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”( 简称“9 ( b ) ”) 中。含有空间向量的商 二下学期的数学教科书简称“第二册( 下b ) ”；与它平行且仍用传统方法来阐述高中立 体几何内容的教科书简称“第二册( 下a ) ”。瓣本教科书第九章的露名一样，并且都耀 3 6 漾瓣逶露教学。“空瀚囊量”这部分内容爨蠢“必学”秘“逡攀”嚣重瞧。按照大缀 第l o 援的辩注蕊定“誊线、平面、简单凡傅体豹教学内容和教学疆标在9 誉帮9 ( b ) 两 个方案中只选一个执行”。9 ( b ) 具有选学的性斌，但大纲把“直线、平面、简单几何体” 作为必学内容，如果学生不按“第二册( 下a ) ”教科书来学习，那么空间向量对于他们 就是必学内容。所以“空间向量”这部分内容鼹有“必学”和“选学”两重性。 教枣砉静第一大节“空阙瓣壹线和平蘑”中宠使臻综合推理方法学习空阕图形的一蹙 羹本攥痰。毽莛，与“第二辑f 下趱”教辩零稠魄，练台蕹理谢练鹣要求要弱一些，这 是因为有些问题将来用宅问向量来处理更为简捷。相应地，在第一大节中，三垂线定理 及其邋定理的解题训练也安排得较少。虽然大纲中未提到空间向擞的“平移”，但由于 我们把窳间向量看作空间的”一个位移”，所吼在第一大节中学习空间直线平行关系传 递性的基础上，引入了平移概念。此外，还更新了传统教材中的一些例、习题，目的也 是为了帮助学生理解空间向量的内容。 教材的第二大节“空间向量”分为两个小节。( 1 ) “空间向量”的第一小节，是整 章的重点。本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间。有了平面向量以及第一大 节中空间平行概念的基础，这种推广对学生已不再有很大困难，但仍要一步步地去进行。 例如，要一步步地验证空间向量的运算法则及运算律。这样做，既可以温故知新，又可 以进一步培养空间想象能力。将平面向量推广到空间向量后，必须探究共线向量定理和 平面向量定理能否推广到空间。在得出肯定的结论后，再由这两个定理推出空间与平面 的向量表达式。有了这两个表达式，学生就可以方便地解决空间的某些共线与共面问题。 在学习共线向量定理和共面向量定理后，学生进一步学习空间最重要的定理一空间向量 基本定理。此定理是将空间几何研究进行数量化的基础，它使空间的结构变得简单明了： 整个空间被三个不共面的基本向量所确定：空间的点或向量与三维实数组( x ，y ，z ) 之 间具有一一对应的关系。本小节最后安排向量的数量积。将平面内两个向量的数量积推 广到空间，最重要的是让学生建立起向量在轴上的投影的概念。为了减轻学生负担，教 科书没有证明数量积的几个运算性质，留给学有余力的学生自己去完成。 ( 2 ) “空间向量”的第二小节，首先引入空间直角坐标系，使向量运算完全坐标化。 在去掉基底后，空间向量与三维实数组一一对应，这样就使运算更加方便。然后教科书 给出空间两个最基本的公式一夹角公式与距离公式。在本小节中，作为向量坐标计算的 例题，还顺便证明了定理“如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行” ( m 9 1 4 1 4 2 ) 。这个定理也是要求学生掌握的。 教材的第三大节“夹角和距离”也分为两个小节。“夹角”包括“直线与平面所成 的角”与“二面角”；“距离”包括“直线到平面的距离”、“点到平面的距离”与“异面 直线的距离”。第一小节中还含有两平面垂直的判定和性质。这一大节不仅要求学生掌 握上述关于夹角、距离的概念，以及两平面垂直的判定和性质，还要求能灵活运用勾股 定理，正弦、余弦定理以及向量的代数方法进行有关的计算与证明。教科书在处理具体 问题时，采取了实事求是的态度：凡是用向量比较容易解决的问题，就以向量为“通法” 来解决；而对有些直接使用勾股定理和三角知识比较容易解决的问题，仍用传统方法去 对待。 教材的第四大节是“简单多面体与球”，这一大节既是对简单几何体基础知识的重 点讨论，又是对前面空间图形基本性质与空间向量等相关知识的综合运用。所以说，学 生如果用空间向量知识去处理在第一大节中遇到的问题，也是应该欢迎甚至提倡的。 教科书用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别 是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系等几 何问题增加一种理想的代数 具，从而提高学生的空间想象能力。 4 向量在数学解题中的应用与比较研究 4 1 向量法解题的思想策略 4 1 1 向量法解题的思想 数学思维是抽象的，数学解题的思想是具体的，由于向量的双重身份，借助向量解 题的思想就更具鲜活性。现就几种常见的向量法解题的思想做出简单的阐述。 ( 1 ) 建模的思想方法 构造模型是中学数学中重要的思想方法之一，运用它可以迅速地研究某些实际问 题，即： 实际问题抽象数学问题运算推理解决问题+ 返回原问题 向量中，不少知识点和问题蕴含着这一思想方法。如向量的加减法法则可归结 为平行四边形或三角形模型；有关