（应用数学专业论文）一类常微分方程自由边值问题解的存在性及数值计算方法.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 本文讨论了由金融控制问题中提出的常微分自由边值问题( n f b v ) 解存在性和数值计算方 法 在简述了与问题有关的发展动态后，首先我们证明了n f b v 问题可以转化成等价的带约束 条件的两点边值问题，并对这样的两点边值问题进行了数值试验试验结果表明用牛顿型方法 直接求解化归后的问题时计算总是失败。从数值 j 涨中我们还发现导致失败的原因主要是约 束条件不能满足 为了克日哒一困难，我们采用对换问题中的些参数和一j 些待定的控制参数的位置，并 从约束条件的讨论入手，先对线性方程的自由边值问题( l f b v ) 进行了研究，给出了l f b v 问 题解的存在性的些龋受条件和个充分条件由于我们的分析方法是构造性的，所以可以进 行数值计算对个特定的l f b v 问题我们给出了计算实例 最后对n p b v 问题提出了种直接使用牛顿壁叻蝴亍；| 剀首计算的迭干弋_ 各式，并采用同 伦技巧克服了初值选取的困难个数值算例说明了这种方 虫不仅能成功地数值求解n f b v 问 题，而目太大降低了用牛顿法直接计算等价的具有约束条件的两点边值问题时的工作量本文 给出的数值结果说明了本文中建立的数值方法是有效的其基本思想也适用与金融控制中类 似问题 关键词：常微分方程，自由边值最优控制策略，同伦技巧 上海大学硕士学位论文 i nt h i st h e s i s t h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e sa n dn u m e r i c a lm e t h o df o rac l a s so f f r e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( n f b v ) o fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h a tp r o p o s e d b yf i n a n c ec o n t r o la r ed i s c u s s e d f i r s t l y i ti sp r o v e dt h a tt h en f b vp r o b l e mm a yb et r a n s f o r m e di n t oe q u i v a l e n t t w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o fqd e w i t hc o n s t r a i nc o n d i t i o n s s o m en u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n s o ft h i s e q u i v a l e n tt w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m a v e a c c o m p l i s h e d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t i tw i l lb ef a i i e df o rs o l v i n gt h e e q u i v a l e n tt r a n s f o r m e dp r o b l e mb yu s i n gn e w t o n sm e t h o dd i r e c t l y f r o mt h en u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n s ，w ef i n dt h em a n l yc a u s eo ff a i li st h a tc o n s t r a i nc o n d i t i o nc a n n o tb es a t i s f i e d i no r d e rt oo v e r c o m et h isd i f f i c u l t y s o m ep a r a m e t e r si nt h ep r o b l e mn f b v a n ds o m ec o n t r o lu n k n o w nq u a n t i t i e se x c h a n g ep o s i t i o n s f i r s t l y ，f r e eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo f1 i n e a re q u a t i o n ( l f b v ) i sr e s e a r c h e d s o m ee s s e n t i a lc o n d i t i o n sa n da s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o r 吲p r o b l e ma r eg i v e n a so u r a n a l y t i c a lm e t h o di sc o n s t r u c t i v e ，t h em e t h o dm a yb eu s e di nc a l c u l a t i o n w eg i v e n u m e r i c a lr e s u l tf o ral f 吧vp r o b l e mb yu s i n gt h i sp r o c e d u r e f i n a l l y an u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gp r o b l e mn f b vb yu s i n gn e w t o n t y p em e t h o d d i r e c t l yi sp r o p o s e d a n dt h eh c m o t o p yt e c h n i ci su s e dt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t y o fs e l e c t i n gi n i t i a lv a l u e an u m r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h a tt h i sm e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e r n o to n l yc a ns o l v en f b vp r o b l e ms u c c e s s f u l l yb u ta l s om a yr e d u c eg r e a t l yc a l c u l a t i o n f o rs o v i n ge q u i v a e n tt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l c r nw i t hc o n s t r a i nc o n d i t i o nb y u s i n gn e w t o n t y p em e t h o dd i r e c t l y i nt h et h e s i s ，t h es a t i s f a c t o yn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ef e a s i b i l i t yo ft h em e t h o d p r o p o s e dint h ep a p e r t h eb a s i ci d e ao fm e t h o da d a p t st oa n a l o g o u sp r o b l e m si nf i a n c 6 c o n t r 0 1 k e r w o r d s ：o r d i n a r y ：f r e eb o u n d a r yv a l u e ：o p t i m u mi m p u l s e c o n t r o l h o m o t o p yt e c h n i c 第一章引言 第一章引言 1 1 概述 一 众所周知，任何投资都有风险，而对于从事金融市场和资本市场中的 经济活动者而言，由于市场中有许多不确定性因素的存在，则具有更大的 风险近年来经典和脉冲控制策略在金融问题中已经得到了许多应用并 且建立相应的控制理论经典和脉冲控制中的一个基本方法是通过i t o 公 式、b e l l m a n 动态规划原理和拟变分不等式把控制问题化归为偏微分方程 或常微分方程的自由边值问题 i r c b u c h l y 和rk o r n 川考虑了一个具有固定和成比例交易费用的 投资组合的最佳投资策略问题，他们运用i t o 公式、b e l l m a n 动态规划原 理和拟变分不等式把这个问题化归为含有三个调控参数，“，u ( 0 ， “ u ) 常微分方程的多点边值问题： 1 2 c r2 v ( x ) + 叩矿g ) + 【( 1 一x ) 万一足o 2 x 2 一p y g ) = o x e 。，【，】 v ( o ) = y ( ，) 一k x ( 一l ) v x o ，u 】 v ( u ) = 矿0 ) 一k k ( u 一”) y ( ，) = k 矿0 ) = 矿p ) = 一k y 0 ) = v ( u ) 一k k ( x u ) v x u 其中，u 是待定顶的常数 1 中给出了( 1 t1 ) 的解析解，从而证明 丁域优控制策略存在性，最后他们还对给定的一组参数求出三个调控参数 f ，1 , 1 ，u 和价值函数v ( x ) rk o r n “1 于1 9 9 9 年把金融管理中的脉冲控制理论运用到现金管理问 题，对有交易费用和没有交易费的现金管理问题也利用拟变分不等式把这 些问题化归为含有三个调控参数，“，u ( 0 ? l f u ) 非线性常微分方程的 多点边值问题当微分方程中的线性项不出现时，文中也对这样的多点边 值问题给出了解析解此外，文中还若干计算结果，同时分析了数值结果 的经济意义 刘柏清和朱正佑”1 讨论了有关具有非常数回报率的证券指数跟踪的简 单脉冲控通过i t o 公式、b e l l m a n 动态规划原理和拟变分不等式把控制 第一章引言 问题化归为含有四个调控参数l ，“，u ( 0 三 ，s “ u 1 ) 的一个常微分方 程的多点自由边值问题： j 押。g ) + 可y 。g ) + 丢( 叭砌2 一p 矿b ) + 厂g ) = 。 x 【0 ，1 】 v ( l ) = v ( 4 一k k ( t l ) y p i 黔i 参：七p 一“) ( 1 2 ) v ( ，) = 矿( ) = k v ( ) = y 砂) = 一k 其中，( x ) = 丌o + ( c 一万o ) x 一( 名f 2 + c k 2 由于( 1 2 ) 的控制参数比( 1 1 ) 中的控制参数多，同时，控制常微 分方程中又含有非线性项因此， 3 中没有给出( 1 2 ) 的解析解，甚至 当( 1 2 ) 中不出现非线性项时，也给出没有给出任何关于( i 2 ) 的解的 存在性和数值计算方面的结果 e a s t h a nj ，h a s t i n g ”1k 在1 9 8 8 给出了常微分方程的多点边值问题的 解析解，全面解决了投资组合理论的最优化的控制问题 然而，对大部分金融控制中给出的常微分方程的多点边值问题通常都 没有解的存在性定理所以。为了说明理论的合理性和实用性，一些文章只 对一些特定的参数具体构造了问题特定的解在文献“1 ，在把控制金融问题 化归为求解一个常微分方程自由边值问题后，对问题的一组参数，进行数 值求解得到了四个调控参数和相应微分方程的解，最后，还利用数值方法 给当问题中的一个参数变化而其他它参数固定时，四个调控参数变化图形 在文献”3 中也进行类似的工作但是这些工作都没有进行系统的理论分析 和有关数值方法的系统讨论 本文试图对金融中提出的多点自由边值闯题作进一步的完整的理论分 析和数值计算方法的研究力图给出一套一般适用的计算方法 通常常微分方程多点边值问题可以化归为非线性两点边值问题而求解 非线性两点边值问题已有许多成熟的理论和方法 求解两点边值问题的基本方法有两类方法，直接离散法和初值法前者 把问题直接离散成有限维的非线性方程组，后者则通过解一些常微分方程 的初值问题把原问题化成非线性方程组的求解 最直观的直接离散方法是差分法h b k e l l e r “1 在1 9 6 8 年用通过差分 代替微分的差分格式把求解两点边值问题转化成有限维的非线性方程组 第一章引言 来求解，并且证明了迭代格式是收敛的以及边值问题的解的存在性和唯一 性朱正佑在1 9 8 2 年推广了 8 的结论，讨论了非线性的边值问题，并得 到了相应的解的存在性定理h b k e l l e r 和a b w h i t e ( i 们在1 9 7 5 年利用 初值问题的稳定性证明了边值问题的收敛性在文献”3 中采用牛顿方法 以及其他方法讨论了由差分代替微分得到的非线性方程组的具体求解方 法 另一类直接离散方法是把近似解取成区间上的分段多项式在分点上 加上一些适当的匹配条件( 如要求函数本身连续，导数连续等等) 加以连接 然后利用变分原理，g a l e r k i n 方法，最小二乘法以及配置法等等方法得到 一组离散的代数方程不同的原理得到不同的方法，在 1 9 中对求解边值 问题的变分法、g a e r k i n 方法、有限元方法和配置法等方法进行了简要的 综述，并指出了这些方法之间的联系微分求积法( d q m ) ，由于它具有差 分法和配嚣法的优点，是近年来讨论较多的一种方法，这种方法也是一种 直接离散方法 通过求解微分方程的初值问题从而获得边值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 解的“初值 方法”，也可分为两大类：一种是打靶法，另一种是不变嵌入法其中， 打靶法是一种的最常用的方法这种方法不仅适用数值计算，而且也适用 于对边值问题进行理论研究 s n r o b e r t s ，j s s h i p m a n 1 和h b k e l l e r “”分别在1 9 7 2 和1 9 7 6 年 的著作中较全面地叙述了打靶法求解非线性两点边值问题的基本原理在 打靶法的计算中，为了使以初值为a 。的微分方程的解y ( ；g ) 的存在区间达 到k b 】，a 。必须选得足够接近y ( a ) 其中y ( f ) 是问题的解。由于y ( t ) 事先并不 知道，所以的选取不当就有可能使y ( t ；a 。) 的存在区问小于，6 】，这时 y ( b ；a 。) 将无意义这种现象称为脱靶现象为了解决这一困难， h b k e l l e r 【i 在1 9 7 6 年提出了多重打靶法用以解决了脱靶问题 s n r o b e r t s j s s h i 3 m a i l 和h b k e l l e r 在 1 4 和 1 5 中也给出了各种延拓 技巧用以解决了脱靶问题和非线性边值问题迭代求解时的初值选取问题 为了解决线性微分方程基本解矩阵在长时间后的数值相关性， m r s c o t t 和朱正佑“。“1 分别在1 9 7 3 年和1 9 8 1 年提出不变嵌入法，这种 方法通过r i c c a t i 变换把边值问题化为初值问题从而也可以通过求解初值 问题的数值解获得边值问题的解由于这种方法避免基本解的计算，所以 在一定情形下，这种方法有较好的数值稳定性 第一章引言 然而对自由多点边值问题来讲，虽然我们可以利用本文第二章中的方 法把它化归为一个带约束的非线性两点边值问题，然而，得到的非线性边 值问题将是一个非常复杂的边值问题并且还带有约束条件，所以很难对它 进行理论研究。正是因为这种困难至今尚未见到有关自由边值问题解的存 在性和唯一性的一般结论及一般数值计算方法的研究 本文对一个特定金融中的自由多点边值问题进行具体的讨论。得到主 要的结论有： 1 给出了和多点自由边值问题等价的带约束的两点边值问题： 2 对线性微分方程的自由边值问题给出解的存在性定理及其数值计算 方法： 3 对非线性方程自由边值问题的解利用同伦方法提出了一种简化的牛 顿迭代法并给出一种的具体的计算方案： 4 给出了具体的算例说明本文提出的方法是可行的 应该指出虽然我们的方法是对具体问题给出的，但这种方法中于类似 的问题 1 2 本文的结构 在第一章中，我们提出本文所要讨论问题以及该问题的背景，同时， 对这些问题有关的发展动态进行综述：在第二章中叙述了我1 f 】所要讨 论的数学模型并给出等价的非线性的两点边值问题，同时还简述了求 解非线性两点边值问题的打靶法以及用这种方法数值求解本文q t 数学 模型耐所遇到的困难：在第三章中对线性方程自由边值问题进行必要 的理论分析，给出解的存在性定理和数值计算方法；在第四章中叙述 了利用同伦技巧求解非线性方程的方法：然后，在第五章中利用同伦技 巧提出了一神求解非线性微分方程的自由多点边值问题的数值计算方 法，并给出了具体的计算例子，说明此方法的可行性最后，在第六章 简单讨论了今后工作的一。些设想 第二章问题的叙述 第二章问题的叙述 2 1问题的提出 在文献”1 中，通过i t o 公式、b e l i m a n 动态规划原理和拟变分不等式把 金融中的控制策略的存在性以及构造法化归如下非线性自由多点边值的 常微分方程的解的存在性及解的计算： y b ) + 口矿g ) + 丢( 州枷2 一b ) + ，o ) = 。 x e 【0 1 】( 2 1 ) 其中，g ) = 厅。+ ( c 一，r 。k 一0 r 2 + c b 2 并且满足下列边值条件： v ( l ) = v ( o k 一七( f l ) y ( u ) = y 0 ) 一k k ( u 一 ) 矿( ，) = y 。乜) = k y 0 ) = 矿。p ) = 一k ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 这里v ( x ) 是价值函数，口扩散系数，叩漂移系数，p 贴现因子，固定 回报率，c 成比例回报率，z 风险厌恶系数，f 2 跟踪方差，k 是固定交易费 用，k 是成比例交易费用v ( x ) 是未知函数，厶，u ，u 是待定常数，并且满 足约束条件： 0 上 ，“ u + 三】一0 r 2 + c i ( f 一工 + 】2 ( i i ) 把方程( 2 1 ) 自变量t 的区间【f ，“】变换到区间f 0 ，l 】； 令工( f ) = 0 f ) f + ，则方程( 2 1 ) 为： 丽1 巧盯2 y 。) ) + 者矿g ( r ) ) + 面南缈g 埘一p y g o ) ) + 几( f ) ) = o ，0 ( f ) ) = + c i 。肌一咖+ f 】一0 r 2 + c 一，+ 邝 ( i i i ) 把方程( 2 1 ) 自变量t 的区间k ，u 】变换到区间【o ，l 】； 令z ( ，) = 缈一“ + “，则方程( 2 1 ) 为： 万1 哥盯2 矿g m 志y g m 丽备缈g ( r ) ) ) 2 一g m _ ，g ( f ) ) = o ，( x ( f ) ) = ”。+ ( c 一厅。x ( u 一”x + “】一以r 2 + c 【( v 一“) r + “】2 综上所述我们得到的三个不同的二阶微分方程，但自变量t 都在 区问f o ，1 上 因此，用k 匕( ，) 和巧( f ) 来表示不同三个的y 0 ( f ) ) ；z ( ，) 厶( f ) 和a ( o 表示三个不同的，扛o ) ) 我们把它们组成一个微分方程组： 狐1 万盯2 啪) + 尚u ( ，) + 丽；以+ ( r ) 一硝( f ) + 觚) ) = o 石1 万仃2 k ( ，) + 刍啪) + 痴；以一p o ) + g ( f ) ) = o 赤也。( f ) + 志匕( f ) + 茄；) 2 叫( ，) + 舭) ) = 0 6 第二章问题的叙述 边值条件( 2 2 ) 中含有四个未知的点厶，u 9 2 ( f ) = z ，g s ( f ) = “，9 4 ( 0 - - - u 显然，g i ( ，) = 0 相应的边值条件( 2 2 ) 也变为： 因此我们假设g ，( f ) = 上， ( 2 4 ) 巧( o ) = 以( 1 ) 一k 一七( g ：( o ) 一g ，( o ) ) 巧( 1 ) _ v , ，( o ) - k - ，姆( o ) _ 9 3 ( o ) ) ( 2 5 ) 0 j = k 【0 ) = k ( o ) = 巧( i ) = 一k 由于函数k ( ，) 在1 时的值与吒( f ) 在0 时的值就是函数矿g ) 在，时的值； 函数( f ) 在l 时的值与( f ) 在0 时的值就是y g ) 在“时的值 所以，( ，) 之间还有连接条件： r j k ( 1 ) = ( 0 ) k ( 1 ) 2 ( o ) 乜5 1 ( 1 ) = 以( 0 ) 、 匕。( 1 ) = 巧( o ) 其中，t 【o ，l j z ( ，) = 石。+ ( c 一7 r 0 一三，+ 上卜似2 + c i ( ，工，+ 三】2 ( f ) = + ( c 一一f ) f + f 】一以r 2 + c 一j ，+ f 】2 六( f ) = 石。+ ( c 一疗。) 【p 一“) r + ”卜0 r 2 + i p 一”，+ ”】2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 以及( 2 3 ) 构成一个和n f b v 问题等价的带约束的两点 边值问题尽管边值条件( 2 5 ) 是线性的，但化归后的( 2 4 ) 出现了诸如 夏云靠盯2 矿。( ，) 这样的非线性项，因此，即使当丢= 。时，原方程 ( 2 1 ) 是线性的，问题( 2 4 ) 一( 2 6 ) 仍是一个高度非线性两点边值问 题，因此很难对它作出定性的理论分蜒： 2 3非线性两点边值问题的计算方法作简单的介绍 l 如第一章所述有，有许多不同的方法可以对非线性两点边值问题进行 数值计算但为了便于对由n f b v 转化得到的两点边值问题进行理论研究， 本文拟采用打靶法进行讨论本小节对两点边值问题的打靶法作一简单的 第二章问题的叙述 介绍” 考察一般的非线性两点边值问题： jy 。= f ( t ，力 ( 2 6 ) 【吵( _ y ( 口) ，j ，( 6 ) ) = o( 2 7 ) 其中，y 7 = ( ，i y 2 。) e r “：厂：r r “_ r “和矿：r ”r “辛r ”是已知的 当问题是线性时，一般线性两点边值问题可写成 jy = ( ，) y + ，( ，) 【b o y ( a ) + b t y ( 6 ) = 卢 ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) 其中a ( t ) ，b o ，b ，是已知矩阵：，( ，) ，声是已知的r l 维向量：y ( t ) 是未知向 量：求解范围是 a ，b 对线性问题使用打靶法时，我们考察和它相关的初 值问题： 克：爿( ，) y ，+ ( ，) 【y ，( 疗) = 0 j土：a ( t ) x 【x ( 口) = ，。o 阶单位方阵) ( 2 9 1 ) ( 2 9 2 ) ( 2 1 0 1 ) ( 2 1 0 2 ) 由常微分方程的理论知，只要一( f ) 在 a ，b 上是连续的，则初值问题( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 的解在 a ，b 上存在唯一因为( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 都是初值问题，所 以它们可以通过解常微分方程初值问题的数值方法，如龙格一库塔法，线性 多少方法等力法。给出数值结果 下面我们假定y ，( 6 ) 和x ( b ) 已经求得利用y ，( b ) 和x ( b ) ，容易看出方程 ( 2 8 ) 的通解可以写成： y ( ，) = y 。( f ) + x ( r ) 毒 ( 2 1 1 ) 其中f r “是任意常数 为了使得( 2 1 1 ) 表示的解y ( t ) 满足( 2 8 2 ) ，把( 2 1 1 ) 代入( 2 8 2 ) ，求得 应满足n 阶线性方程组： 玩+ b l x ( 6 ) 毒= 一b l y ，( b ) ( 2 12 ) 若b 。+ b i z ( 6 ) 有逆，则由( 2 ，1 2 ) 可求出唯一解f ，这时( 2 1 1 ) 给出了( 2 8 ) 的唯一解这就是基本的打靶法 第二章问题的叙述 对线性两点边值问题打靶法的基本思路可归结为先通过初值问题的计 算。求出满足方程的通解( 2 1 1 ) ，然后把它代入边界条件用以确定通解 ( 2 1 1 ) 中的任意常数这种思路可推广到求解非线性两点问题 ( 2 6 ) 一( 2 7 ) 为了得到( 2 6 ) 的通解，我们引进如下的初值问题： j ；( r ，口) ；f ( t ，y ( f ，口) ) 【y ( d ，口) = 口 ( 2 13 ) 其中ae r “是参数向量记这个初值问题的解为y ( t ；a ) 然而，由于方程 ( 2 。6 ) 是非线性的，所以) ，( ，；a ) 的存在区间可能比 a 沁 要小得多，但是 如果y ( t ) 是( 2 6 ) 一( 2 7 ) 的解，则当口在y ( a ) 领域中取值时， _ y ( ，；a ) ( d 茎t 6 ) 将是有意义的。 现在我们希望适当选取( 2 ，13 ) 中的口，使y ( t ；a ) 是边值问题( 2 6 ) 一( 2 7 ) 的解因此把( 2 1 3 ) 的解y ( t , a ) 代入( 2 7 ) ，得到a 应满足的方程： 妒( 口) = 矿( 口，j ，( 6 ；叻) = 0 ( 2 1 4 ) 反之，( 2 1 4 ) 的任一解口，必使y ( t ，口+ ) 是边值问题( 2 6 ) 一( 2 7 ) 的解这 样边值问题( 2 6 ) ( 2 7 ) 的解的存在性化归为( 2 1 4 ) 解的存在性：而 解的计算则化归为非线性代数方程( 2 1 4 ) 的解的计算通常( 2 1 4 ) 的 求解我们可以使用牛顿型的方法来计算在 1 9 中给出了用牛顿型方法计 算非线性方程( 2 1 4 ) 的数值解的若干细节，简述如下： 对适当的口o ) e r ”，令 口仕+ 一口( ) = 一【声1 ( 盘1 】一矿( d ( ) ) = 0 , 1 ，2 ， 这就是牛顿迭代的基本公式 在这个迭代公式中，为了计算缸1 ) = 矿缸，y ( b ，口t ) ) 我们需要求解一次 初值问题( 2 1 2 ) 而c a ( ”) 的计算可通过计算初值问题： y a ( f ；口( ”) ) = f , , c t ，y ( f ；口耻) ) ) y 。( ，；口( ) ) ( 2 1 5 1 ) y 。( 口；口( ) ) = ，。 ( 2 1 5 , 2 ) 及一些矩阵运算来完成于是为了计算位耻) 需要解n 个初值问题 ( 2 15 ) ，然后由下面公式得到： 庐( 口壮) ) ；矿f ( 口壮) ) ，y c b 口耻) ) + 妒目( 口) ) ，y ( b ，o r ( k ) ) ) _ ) ，。( 6 ，口( ) ( 2 1 7 ) 这样，牛顿方法的每一迭代步由a ( ) 计算a ( “) 时共需要数值求解n + 1 个初 9 第二章问题的叙述 值问题，然后解一次线性代数方程组 2 4 利用非线性两点边值问题的计算方法遇到的 困难 线性两点问题已有许多成功的结论“对两点非线性边值问题的数 值求解也已有许多成功的结论“2 ”但一般来讲，由于具体的非线性两点 边值问题解的唯一性和存在性需要作具体分析同时，在使用牛顿型方法 求解时，初值的选取是保证迭代收敛的关键的一个问题所以仍有许多问 题尚待进一步研究 上面我们已经指出n f b v 问题( 2 1 ) ( 2 3 ) 可以化为带约束条件的 非线性两点边值问题( 2 4 ) 一( 2 6 ) ，自然对这个问题我们可以使用牛顿 型方法数值求解对非线性两点边值问题( 2 4 ) 一( 2 6 ) 我们进行了大量 的数值试验，发现当取定问题中的参数并通过四阶古典龙格一库塔法和牛 顿性迭代方法进行数值计算时绝大多数情形下迭代是发散的我们也找到 一些使得迭代是收敛的参数组例如，当扩散系数仃= 0 2 ，漂移系数 = 0 0 5 ，贴现因子p = o 0 6 ，固定回报率= 0 0 6 ，成比例回报率c = o 0 1 ， 风险厌恶系数a = o 1 ，跟踪方差f 2 = o o l ，固定交易费用k = o 0 1 和成比例 交易费用k = 0 0 2 ，a = o 时，l ，l ，u ，u 的初值分别为用牛顿方法迭代求解， 迭代将收敛，得到四个控制参数是： ， l 一0 9 0 0 7 1 6 ，一2 9 2 8 9 1 ，”一1 7 7 6 9 ，u - 1 0 9 7 7 1 显然，它不满足约束条件，所以不是原问题的解 如果对上述问题中任一个参数给一微小变化而其他参数固定不变时， 牛顿方法迭将变成是发散的这说明问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解对系数非常敏 感 r ； 此外，通过上面计算我们发现约束条件( 2 3 ) 将对整个n f b v 问题的 计算带来极大的困难为了解决这一困难，注意到n f b v 问题中的参数是 可以适当给定的，所以我们把n f b v 中的待求的控制参数和某些问题中 的参数交换位置，认为某些控制参数是给定的，而问题中某些参数是待 定例如，我们可以交换控制参数( l ，u ) 和原问题中的参数( k ，k ) 的位置，认为l ，u 是已知的，而k ，k 是待定的根据这种设想，我们也 0 第二章问题的叙述 进行数值计算当我们分别取为l = 0 1 和1 1 = 0 7 时，通过牛顿方法迭解 得： ，0 2 0 2 2 ，“0 3 4 5 6 ，k m 一0 0 0 1 8 2 5 4 2 ，k z l 0 1 5 4 1 0 虽然这样的四个控制参数l ，l ，u ，u 是满足约束条件( 2 3 ) 的但是由 此数值求得的固定交易费用k 将是一个负数，成比例的交易费用k 近似 为0 显然，这是不符合经济意义 经过上述一系列的数值试验，我们发现如果把于问题f m b v 化成带约束 条件( 2 3 ) 的非线性两点边值问题并进行数值计算，将会发生很大困难 如果初值选择不当，牛顿迭代将发散，即使收敛，但也是解很难满足约束条 件( 2 3 ) 从大量的试验中我们也看出求解得n f b v 问题的关键难点在于要 满足约束条件( 2 3 ) 所以我们下面从满足约束条件( 2 。3 ) 和部分边值 条件的( 2 1 ) 的解的性质和计算入手来解决整个n f b v 问题的理论分析和 数值方法研究 第三章线性自由边值向题的数值计算 第三章线性自由边值问题的数值计算 3 1 线性自由边值问题解的引入 本章对一个较简单n f b v 问题入手进行研究在( 2 1 ) 中令当! 笙：o ， d 这时( 2 1 ) 一( 2 3 ) 退化成一个线性方程的自由多点边值问题： 矿。g ) + q 矿。g ) 一p 矿+ ，b ) = o x o ，1 1 ( 3 - 1 ) 其中，厂e ) = + 0 一”。b 一0 r 2 + c k 2 并且满足下列边值条件： z ( z ) = 矿( f ) 一k t ( ，一l ) y g ，) = 矿0 ) 一k k ( u 一“) y ( f ) = y ( ) = k y 0 ) = 矿p ) = 一k ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 并且满足约束条件： 0 l ，“ u l( 3 3 ) 这里仃扩散系数，7 漂移系数，p 贴现因子，固定回报率，c 成比例 回报率， 风险厌恶系数，r 2 跟踪方差，b 是标准化系数，a 是经典控制项 系数，固定交易费用k ，k 是成比例交易费用v ( x ) 是未知价值函数，厶f ，u ，u 是待求的控制参数我们把这一问题简记为l f b v 尽管问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 是问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的一种简单的特殊情形，但( 3 1 ) 一( 3 3 ) 本 身仍具有一定的经济意义，所以( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的研究不仅对我们问题 研究是重要的，而且有一定的实用价值 3 2 线性自由边值问题解的定性性质的讨论 因为( 3 1 ) 是一个常系数的二阶常微分方程，所以容易求得通解是 矿( 工) = a e l 一+ b e 即+ 彳。+ 彳l x + a 2 x 2 ( 3 6 ) 第三章线性自由边值问题的数值计算 其中a 和b 是待定的常数，这里 。 爿。=一学一旦垦垒!l=!翌；产，彳=一(2cr-cr+；z了rp一+2rat2)， 4 ：一幽， ：_ - r - q 何+ 2 p c r2 o p6o 下面从满足边值条件( 3 2 3 ) 一( 3 2 4 ) 以及约束条件( 3 3 ) 的解( 3 6 ) 性质出发来开始我们的讨论 假设( 3 6 ) 给出的函数矿( 工) 满足边值条件( 3 2 3 ) 一( 3 2 4 ) 以及约束 条件( 3 3 ) ，则由( 3 6 ) 求得 y ( x ) = 爿 8 + b ) , 2 e 山+ a l + 2 a 2 x ( 3 7 ) y “( x ) = 爿a i2 口 。+ 占如2 e 屯7 + 2 a 2 ( 3 8 ) y ”( x ) = 爿 3 e 如+ b 2 2 s p 如 ( 3 9 ) 由( 3 9 ) 知矿”( x ) 在( 一c o ，+ o o ) 只有一个零点所以由边界条件 ( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 知y ( j ) 在( 一，+ 一) 上有且仅有两个零点，记为a ，口， 并且0 口 k ，v ( 卢) 0 k ( ，口，) 0 ( 3 1 3 ) k ( 口，口，) 一u ( 1 ，口，户) ( 3 1 4 ) k ( o ，瓯) 一k ( ，口，卢) ( 3 1 5 ) 其中，0 a 口( 1 记满足条件( 3 1 2 ) 一( 3 15 ) 全体( 口，) 的集合为o ，对任何( 口，) e 巾令a l = m a x v ( o ) ，一v ( 1 ) ) ，a 2 = m i n v ( a ) ，- v ( 声) ) ，= ( a l ，2 ) 3 。3 解的存在性定理 显然，集合m 和是都和k ，k 无关的于是，我们有如下定理： 定理t如果问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 有解，则集合m 是非空的 现在假定集合。是非空的对于给定( 口，) e 中，则对任意的s e ， 由上面的分析知必存在唯一一组连续函数l ( s ) ，( s ) ，u ( s ) ，u ( s ) ，使得 ( 3 2 3 ) 一( 3 2 4 ) 成立，并且满足约束条件( 3 3 ) 为了讨论( 3 t ) 一( 3 3 ) 解的存在性，现在反过来，假定问题l f b v 中的k 和k 是待定的我们希望对给定的( ) 中确定t r ( x ，口，) 是否关于某 一组参数k 和k 的问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的解 为此，先在边值条件( 3 2 1 ) 一( 3 2 2 ) 中消去k ，得到一个方程： y ( l ) 一y ? ) + k f f 一) + r ( w ) 一y ( ，) 一k ( u t ) = 0 ( 3 1 6 ) 令 第三章线性自由边值问题的数值计算 口l ( 5 ) = 矿( 上( 5 ) ) 一r ( ，( j ) ) 一5 ( c ，0 ) 一”o ) ) ，( s a ) ( 3 1 7 a ) 吼0 ) = j ( 上( s ) 一，( 5 ) ) 一矿( “( 5 ) ) + 矿( u 0 ) ) ， ( s e )( 3 1 7 b ) p ( j ) = 巩0 ) 一口2 ( 5 ) ，( s ) ( 3 1 7 c ) 显然，b ( s ) ，0 2 ( s ) 是严格上升的连续可微函数考察方程： o ( s ) = o ，( s ) ( 3 1 8 ) 我们得到如下定理：， 定理2设( 口，) e 巾，如果方程( 3 1 8 ) 有解，则必存在k 和k 使 得相应的问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 有解，其中k 是方程( 3 18 ) 的解，k 由( 3 2 1 ) 或 ( 3 2 2 ) 给出 现在我们给定问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 中除k 和k 外的一切参数值 令中。= ( 口，卢) ：o ( a i ) o ( a 2 ) 0 ( 3 1 9 ) 一0 1 7 a ( 口，) e - o t p + o 0 8 5b ( 口，) e o 0 8 3 f l 一1 2 3 1 7 3 5 口一6 6 5 1 3 8 4 0 ( 3 2 2 ) 其中0 口 口 1 k 图3 2 集合的部分区域 图3 3 集合o 6 筇三章线性自由边值目题的数值计算 为了具体求出集合o ，把( 3 1 9 0 - ( 3 2 2 ) 中的不等号改为等号，则每 个等式代表a p 平面上的一条曲线分别在口一p 平面上画出四条曲线，它 们把口一p 平面上的三角形区域 ，) ：0 s 口s 口p s l ) 分成若干小区域， 那么中必是这些小区域中的若干个小区域的并集利用这一方法我们可以 画出巾图3 2 给出了中的一个小部分的区域 为了求得现在中中的子集m 。，我们把( 3 2 ) 所示的区域划分成4 0 3 0 个网格，在1 2 0 0 个点中对每个格点计算是否有秽( 厶。) 木e ( a2 ) 0 成立，画 出所有使不等式成立的( a ，p ) 这样就求得的一个部分集合，记为中- 。 它是一个由若干个离散的区域组成的点集如图( 3 3 ) 所示 图3 4 集台w 的子集 由( 3 2 1 ) 一( 3 2 2 ) ，我们可以求得定理2 中相应的k 和k ，全体这样的 k 和k 组成v 中的一个子集，一它也是由若干个离散的区域组成的点集，如 图( 3 ) 所示 - 作为算例，我们对上匦给出的问题参数，即k = 0 0 0 5k = o 0 0 1 6 8 5 5 9 k m m m 川 枷 o o o 0 o d 塑三兰些丝旦虫望堕鲤曼塑墼堡生苎 求得问题( 1 ) 一( 3 ) 的解( 3 6 ) 其中， a = 1 5 4 0 4 1 5 6 8 ，b = 1 0 9 0 5 9 7 8 7 8 ， l = o 0 4 9 0 8 8 3 ，= 0 4 0 3 2 0 4 ，u = o 5 5 6 8 1 4 ，u = o 9 1 2 5 5 5 所得解矿( 工) 和矿( z ) 的图形如图( 3 ，5 ) 和图( 3 6 ) 所示 v ( x ) r & ) 口0 0 0 0 0 0 口 图( 3 5 ) ， 嘛 ) 1 5 8 5 5 9 瓜j 以1：。| - “2 “j “6“。l 1 哥圳 图3 6 8 x k 1 5 8 5 5 9 第四