（光学专业论文）非傍轴光束的特性研究.pdf

a b s t r a c t a st h es c a l a rp a r a x i a lg a u s s i a nb e a m sa r ec o n s i d e r e da st h ef u n d a m e n t a lm o d e so f l a s e r c a v i t i e s 、村t l ls p h e r i c a lm i r r o r s t h e i rp r o p a g a t i o nh a sr e c e i v e dc o n s i d e r a b l e i n t e r e s t w h e nt h es p o ts i z eo ft h eb e a mi ss m a l l e rt h a no ro ft h eo r d e ro ft h el i g h t w a v e l e n g t h ，h o w e v e r , t h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o nf a i l s t h eg a u s s i a nb e a mm o d e s b e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o nh a v eb e e nt r e a t e db ym e a n so fm a n yd i f f e r e n t a p p r o a c h e s n o to n l yt h e s c a l a rf o r m so fn o n p a r a x i a lg a u s s i a nb e a mh a v eb e e n p r e s e n t e d u s i n g t h e a n g u l a rs p e c t r u mr e p r e s e n t a t i o n ，b u t a l s ot h ev e c t o r i a l d e s c r i p t i o n so fan o n p a r a x i a lg a u s s i a nb e a mh a v eb e e ng i v e n t h ed e s c r i p t i o no f o p t i c a lp r o p a g a t i o ni nt h en o n p a r a x i a lr e g i o ni sb e c o m i n gm o r ea n dm o r es i g n i f i c a n t w i t ht h ea d v e n to f m a n yn e wm i n i - d i m e n s i o n a lo p t i c a ls t r u c t u r e s h o w e v e r t h eb e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r so f n o n p a r a x i a lb e a m sa r eu s u a l l ye x p r e s s e d i ni n t e g r a lf o r m ，w h i c hi su n i n t u i t i v ea n dd i f f i c u l tt oa n a l y z ei t sp h y s i c a lm e a n i n g t o o v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y , s o m em a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e sm u s tb eu s e dt oo b t a i nt h e a n a l y t i c a lb e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r so f n o n p a r a x a l lg a u s s i a nb e a m b a s e do nt h e n o n p a r a x i a l m o m e n tt h e o r yo fl i g h tb e a mp r o p a g a t i o n ，t h e p r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fn o n p a r a x i a ls c a l a rg a u s s i a nb e a m ，n o n p a r a x i a lt e m v e c t o rg a u s s i a nb e a m ，n o n p a r a x i a lt ev e c t o rg a u s s i a nb e a ma n da n o t h e rk i n do f n o n p a r a x i a lt m v e c t o rg a u s s i a nb e a mh a v e b e e ni n v e s t i g a t e d t h er e s u l t sr e v e a lt h a t b o t ht h et r a n s v e r s a lb e a mw i d t h sf o l l o was i m p l eh y p e r b o l i cl a wu p o np r o p a g a t i o n t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n so ft h eb e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r , b e a mw a i s ta n df a rf i e l d d i v e r g e n c ea n g l ea l ep r e s e n t e d ，r e s p e c t i v e l y f u r t h e r m o r e ，t h ef o r m u l a ec a l lb ev e r y c o n c i s ef o rh i g h l yn o n p a r a x i a lc a s e s t eo rt mp o l a r i z a t i o nw i l lr e s u l ti nd i f f e r e n t p r o p a g a t i n gf e a t u r e s i nt h et w ot r a n s v e r s a ld i r e c t i o n s t h em a x i m u mt r a n s v e r s e d i v e r g e n c ea n g l e so fn o n p a r a x i a ls c a l a ra n dv e c t o rg a u s s a i nb e a m sa r ed i f f e r e n t ， w h i c hi n d i c a t e st h a tn o n p a r a x i a ls c a l a rg a u s s i a nb e a mi sn ol o n g e ra p p r o p r i a t ea t s u b w a v e l e n g t hs c a l e s w h e ne x t e n d i n gt ot h ep a r a x i a lc a s e ，t h er e s u l t so b t a i n e da r e s l i g h t l yd i f f e r e n tf r o mt h ef o r m e r l yp a r a x i a lo n e s m o r e o v e r , i nt h i sc a s et h eb e a m p r o p a g a t i o nf a c t o rw i l la l w a y sb eg r e a t e rt h a nu n i t y i na d d i t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so fa x i a ll i g h ti n t e n s i t yo fg a u s s i a nb e a md i f f r a c t e d b yaw a v e l e n g t h o r d e rc i r c u l a ra p e r t u r ea r ei n v e s t i g a t e db a s e do nt h ea c c u r a t e e x p r e s s i o no fl i g h ti m e n s i t ya tt h et r a n s v e r s ep l a n ea n dt h er i g o r o u sd i f f r a c t i o n f o r m u l a e t h ea x i a ll i g h ti n t e n s i t yc h a r a c t e r i s t i c so fg a u s s i a nd i f f r a c t e db e a ma r e d e c i d e db yt h ei n i t i a lg a u s s i a nh a l fw i d t hw oa n dt h er a d i u so fw a v e l e n g t h o r d e r c i r c u l a ra p e r t u r er a st ot h eg a u s s i a nd i f f r a c t e db e a m sw i t hw o 倡1 ，t h en u m b e ra n d l o c a t i o no fe x t r e m ao fa x i a ll i g h ti n t e n s i t ya r ed e t e r m i n e db yt h er a t i oo ft h ed i a m e t e r o fc i r c u l a ra p e r t u r ea n dt h el i g h tw a v e l e n g t h w h e t h e rt h ea p e xa n dv a l u eo fe x t r e m a a r ed i s t i n c to rn o tr e s tw i t ht h er a t i oo fw o r t h el a g e rt h er a t i o ，t h em o r ed i s t i n c tt h e a p e xa n dv a l u ea r e w h e nt h er a t i oo fw r i sl a g e re n o u g h ，i tt r e n dt ot h ec a s eo fa p l a n ei n c i d e n tw a v e w 1 l i l ef o rt h eg a n s s i a nd i f f r a c t e db e a m s 谢t 1 1w d e 1 t h ea x i a l l i g h ti n t e n s i t ye x i s t ss p e c i f i c a l l ye v o l u t i v el a w t h en u m b e ro fe x t r e m ai sr e d u c e ds t e p b ys t e pa n df i n a l l yd i s a p p e a r e dw i t ht h ei n i t i a lg a u s s i a nh a l f w i d t hd i m i n i s h i n g a sw e l lk n o w n , t h ep h a s ea n dg r o u pv e l o c i t i e so fp u l s e dp l a n ew a v et r a v e l i n gi n v a c u u ma r eb o t he q u a lt oc b u t ，w h a tw i l lh a p p e nt ot h ep h a s ea n dg r o u pv e l o c i t i e s w h e nap u l s e dp l a n ew a v ep a s s e st h r o u g has m a l la p e r t u r e ? t h ep h a s ea n dg r o u p v e l o c i t i e si nt h ezd i r e c t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cd i f f r a c t e dw a v eh a v eb e e ne x a m i n e di n t h ef a rf i e l d h o w e v e r , w ea r em o r ei n t e r e s t e di nt h e i rb e h a v i o r si nt h en e a rf i e l d r e g i o n a st h ea n a l y t i c a lo n - a x i sf i e l do fp u l s e dp l a n ew a v ed i f f r a c t e db yas m a l l c i r c u l a ra p e r t u r ec a nb eo b t a i n e db yu s i n gr a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o ni n t e g r a l ， t h ep r o p e r t i e so ft h eo n - a x i sp h a s ea n dg r o u pv e l o c i t i e so ft h ep u l s e dp l a n e d i f f r a c t e db e a ma r ei n v e s t i g a t e de s p e c i a l l yi nt h en e a rf i e l dr e g i o n t h eo n a x i sp h a s e a n dg r o u pv e l o c i t i e sc a nb es u p e r l u m i n a l t h eo n a x i sp h a s ev e l o c i t yr a n g e sf r o m o 4 9 ct o1 2 1 c w h i l e t h eo n a x i sg r o u pv e l o c i t yi se v e ni n f m i t ya tt h ep o i n t sw h e r e t h ea c c u r a t ef r e s n e ln u m b e ri se v e n t h i sr e s e a r c hi sh e l p f u lt od e e p e nt h er e c o g n i t i o no fc h a r a c t e r i s t i c so f n o n p a r a x i a l b e a m a l s o ，i td e n o t e ss o m ep r o p e r t i e so f s u b w a v e l e n g t ho p t i c s 博士后研究5 - 作报告：非傍轴光束的特性研究 第一章绪论 光束质量是衡量激光束优劣的一项重要指标。光束质量的评估与控制是应用 激光领域内研究的重要课题之一。历史上光束质量的定义是混乱的，曾对不同的 应用目的提出过不同的评价方法。二十世纪九十年代初，经s i e g m a n 教授提议被 国际标准组织采纳的由光强二阶矩定义的光束质量因子( 又称光束传输因子) 即 严因子为激光束光束质量的评估和控制奠定了理论基础，适用于描述除衍射光 束以外的其它任意傍轴标量激光束的光束质量和传输特性【lj ，为合理地比较不同 傍轴激光系统的光束质量提供了一个统一的标准【2 】。在傍轴条件下 严因子由于 形式上与量子力学中的不确定关系存在着对应关系，所以肝1 ，横基模高斯光 束具有最佳的光束质量即a d = l t 3 1 。 经过几年的发展，光束传输因子的二阶矩定义法推广到了非傍轴标量激光束 和非傍轴矢量激光束，分别定义了相应的光束质量因子1 4 ，5 】。对于非傍轴标量激 光束，二阶矩中光强的表述必须采用非傍轴光束光强的定义也即横截面上光强的 精确表述【“。在傍轴条件下，横截面上精确表述的光强退化为传统的光强表述即 复振幅模的平方。这样定义的光束质量因子克服了以往表征衍射光束传输时所面 临的积分发散问题，已应用于描述高斯衍射光束和平面波衍射光束的传输【7 ，8 】。 对于光源线度不是远小于波长时的非傍轴标量激光束，即倏逝波效应可以忽略的 近似下，j j l ，因子存在一个只能无限趋近而永远都不能达到的下限l 。非傍轴标量 激光束束腰处光场的角谱可以表示为实函数时，光束传输因子与倏逝波无关，但 这与忽略逝波效应的近似是定全不相同的。 对于非傍轴矢量激光束，借助于m a x w e l l 方程组和电磁场的平面波谱表述， 用坡印亭矢量即能流密度取代二阶矩中的光强，发展成为非傍轴光束传输的矢量 矩理论【5 j ，但是一般计算比较复杂。若忽略倏逝波的贡献，光束宽度矩阵随传输 轴呈双曲线变化。把该理论运用于一维t e 矢量高斯光束和均匀截取矢量光束发 现，在两光束的二阶矩束腰小于半波长左右时，若有相同的束腰或远场发散角， 则必有相同的光束传输因子；反之亦然。现在，非傍轴光束传输的矢量矩理论已 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 逐步应用于描述半导体激光束等重要实际非傍轴矢量激光束的传输。 尽管光束传输因子拓展到非傍轴领域初获成功，揭示了一些与傍轴光束截然 不同的特点。但是，有关非傍轴光束 铲因子的研究还是初步的。 首先，对于非傍轴激光束，其光束传输因子与量子力学中的不确定关系没有 明显的对应关系，在光源的线度为亚波长时，光束传输因子可以小于1 。 其次，倏逝波对非傍轴光束二阶矩传输的影响。在光源的近区即距离与波长 同一数量级的区域，描述一个一般的光场，在角谱中均匀平面光波和倏逝波都必 须考虑，尤其是倏逝波，它描述了光场的亚波长结构【9 】，所以倏逝波在近场光学 中具有举足轻重的地位。 再者，线度为波长量级和亚波长量级光源的有关应用将日渐增多【1 0 l ，对于这 类光源产生的非傍轴激光束，考虑光场的矢量特性须用坡印亭矢量来描述其能量 传输。虽然矢量化的光束，包含的信息远比标量光场丰富，但是它一般很复杂。 在非傍轴范围内，采用标量表征和矢量描述激光束，两者在光束二阶矩传输上有 何区别? 也即所定义的非傍轴标量激光束的光束传输因子和非傍轴矢量激光束 的光束传输因子主要有何差别? 何种情况下，可以采用标量描述? 因为毕竟标量 法简单。 另外，即使对于矢量光束，不同偏振对光束传输如横向发散角有何影响? 这 不仅仅局限在理论上，而且具有实际应用指导价值。 最后，非傍轴激光束的光束传输因子往往是用积分式所表示的，不直观，由 此带来分析结果、认识规律和指导应用上的不便。 由于傍轴高斯光束是球面激光腔的横基模，因而对它们传输特性的研究受到 格外的关注，1 2 1 。但当高斯光束的光斑尺寸是波长量级或亚波长量级时，傍轴近 似失效【1 3 】，必须采用非傍轴描述 1 4 j 5 。随着微型光学器件的不断诞生、波长量级 和亚波长量级光源应用的日渐增多以及现实应用激光技术向波长和亚波长领域 的不断推进【1 0 , 1 6 ，对激光束在非傍轴领域内传输特性的研究将显得愈来愈重要。 由于非傍轴矢量高斯光束理论上是共焦腔和半共焦腔的精确解m ，同时稳定 腔也存在着非傍轴本征模f 1 8 ，且在物理上可实现【1 4 】，所以拟以典型的非傍轴标 量高斯光束和非傍轴矢量高斯光束为研究对象，借助于傅里叶变换和级数展开等 手段，给出光束传输因子的解析式，分析其传输变化规律，比较标量表述和矢量 2 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 表征在光束传输方面的差异，明确标量表征和矢量描述非傍轴激光束二阶矩传输 的界限，为控制非傍轴激光束的束瞑和远场发散角提供了解析的理论依据，也为 目前的a 严因子测试系统的改进提供了依据。为客观、合理评价微孔激光器光束 等实际非傍轴激光束的光束传输行为奠定理论基础，带动、挖掘相关的应用，促 进亚波长光学和近场光学的研究和发展。 高斯光束作为典型的光源，应用非常广泛。高斯光束经大孔径的圆形光阑衍 射后，在菲涅耳区和夫琅和费区的光场特性以及传输和衍射特性均已作了分析和 讨论1 蚰”。随着纳米技术和近场光学的发展，圆孔光阑的尺寸进一步减小，成 为波长级圆孔光阑，甚至为亚波长光阑。高斯光束通过波长级圆孔衍射后成为非 傍轴光束，此时衍射光束的光强必须采用非傍轴光束光强的表述即横截面上光强 的精确表述 2 2 , 2 3 。 当高斯光束的初始高斯半宽度w o 足够大时，波长级圆孔中的光场分布可以 认为是均匀的，可视为等幅单色平面波入射。而平面波经小圆孔的近场衍射由于 作为对近场光学显微镜中光纤探针的模拟，对其衍射场的场分布、能量、轴上光 强特性和光束传输特性均已开展了研究 2 4 - 2 7 , 8 1 。如果初始高斯半宽度w o 相对较小 的高斯光束正入射波长级圆孔，其衍射光束的轴上光强特性与平面波入射时有何 差异? 从所周知，平面脉冲波在真空中传播的相速度和群速度均为c 。但当平面脉 冲波经一小圆孔衍射时，其相速度和群速度会发生怎样的变化? 电磁衍射波在传 播轴z 方向的相速度和群速度在远场的行为已经研究过f 2 甜。然而，我们对它们在 近场区域的行为更感兴趣。由于平面脉冲光束经一小圆孔衍射轴上光场的解析式 可运用r a y l e i g h - s o m m e f f e l d 衍射积分公式得到，因此，可对其在轴上点的相速 度和群速度的特性进行分析研究。 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 第二章标量表征的非傍轴高斯光束的传输特性 以典型的非傍轴标量高斯光束为研究对象，基于横截面上精确表述的光强二 阶矩定义，借助于一些数学技巧，给出了光束传输因子和束腰以及远场发散角的 解析表达式。并分别对高度非傍轴和傍轴两种情形进行了讨论。在高度非傍轴条 件下，进一步简化了光束传输因子等相应的计算式；在傍轴条件下，得到了与原 有傍轴公式稍有区别的结果，而且光束传输因子始终保持略大于1 。 2 1 理论分析 由标量波动方程 ( v 2 + k 2 ) e ( x ，y ，z ) = 0( 2 1 ) 式中，k = - 2 n t 2 ，五为真空中的光波长，再结合初始高斯边界条件 e ( x ，y , o ) = e x p - ( x 2 + y 2 ) 诉】( 2 2 ) 式中，w 。为高斯光源的半宽度，即幅值下降至峰值三处的光束半宽度。可求得向 e 虚o 自由半空间传输且不含时的非傍轴标量高斯光束的的角谱表示式【”1 e ( x ，y ，z ) = t 岔( f 1 ) e x p ( i k ? z ) j o ( 置伊) 卢即 ( 2 3 ) 其中，毛( 卢) = 砩e x p ( 一印2 1 2 ) 2 ( 2 4 ) 是初始光场分布的角光谱。式中，r = 了，c = 丁2 7 y 2 w 2 = 圭t 2 w j ，山为第一 类零阶贝塞尔函数，= i 歹。卢 1 的值对应于倏逝波。 对于非傍轴标量光束，引入标量光场的能流密度矢量7 2 2 , 2 3 1 了= r e 陆趴) = ) ) ( 2 - 5 ) 式中，r e 表示取实部，星号表示复共轭。 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 则有 v 冉r e 协趴) v 2 砸，卅v e ( 啪) v ，列 = r e 旧搿附力趴驴) + v 砷，疹v e ( 例 - o ( 2 6 ) 满足无源场的能量守恒定律。 通过任一z 为常数的横截面的总能流以z ) 为 p ( z ) = 1 7 d i = 盯j ：西少= 2 7 fj ：o j ：r d r ( 2 ，7 ) 其中 以= 掣掣卜，z ， s ， 为垂直于光束传播轴的横截面上光强的精确定义或称之为非傍轴光束光强的表 述。 当z 大于几个波长时，即倏逝波效应可以忽略时，式( 2 8 ) 可表示为按波长a 或k - 1 的级数展开f 2 3 1 地，z ) = f 占( ) 1 2 + 暑 ( 2 9 ) 舯弘降警珊，幅+ 辨“z ) 仁， 在傍轴条件下，e ( r 力可表示为e ( r ，z ) = 9 ( z ) e x p ( i k z ) ，其中妒( ，z ) 满足傍轴波动 方程 陪芬 的，咖m 掣= 。 珩，妒i 肌) 1 2 + r e 怯妒v ，z ) 篱生) = i e ( 郴h 2 ( 2 1 2 ) 由于旦里! 掣 ) ， 因此 0 2 l ( r ，2 r ) = i e ( 郴) j 2 十) 兰l e ( v j 2 这就是傍轴光束光强的表述即复振幅模的平方。 ( 2 1 3 ) 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 运用非傍轴标量光束光强的定义，由傅里叶变换的基本性质，可得通过任一 z 为常数的横截面上非傍轴标量高斯光束的能量尸为 p ( z ) = e 足砌砂= 2 石r e 忙1 量( 圆e x p ( i k ) z ) | 2 舾妒) = z 啸站e x p ( 一妒2 ) r j f u f l ( 2 1 4 ) 显然，非傍轴标量高斯光束在沿传播轴z 轴传输过程中能量保持守恒。 由精确表述的光强二阶矩定义下的非傍轴标量高斯光束的半宽度阡锰) 为 哟= 高咖= 高咔 讲e x p n 猡21 2 ) r a 8 e x p ( i k ? z ) 研c x p ( _ c 卢2 i 2 ，) e x p ( - i k ) z ) ! & l f l 掣 ( 2 1 5 ) 以z = o 的平面选作参考囱，经运算后上式可简化为 缈2 ( z ) = w2 ( o ) + z 2t a n2 曰( 2 1 6 ) 光束半宽度职z ) 沿z 轴传输满足简单的双曲线变化规律。其中，束艘职o ) 和远 场发散角盼别为 叭旷焉i ；时们卜专p 3 彬 ( 2 1 7 ) 矾= 等e e x p ( - c f l 2 ) 争 由于式( 2 1 4 ) 、( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 中艘分的范围是从0 到1 ，为了便于运算，作如下 变量置换 卢= s i n o ，0 护z ，2( 2 1 9 ) 这样自然就有 ，：i 万：正写而= c o s 8 ( 2 2 0 ) 同时对e x p ( - c 矿) 作t a y l o r 级数展开 e x p ( 一咿2 ) = e x p ( 一c s i n 2 口) ：量! = 譬s i i i z 一口 ( 2 2 1 ) n = o ”! 所以，式( 2 1 4 ) 可改写为 p ( z ) = z 2j 。1 e x p ( 卅2 ) r , a a l ，= 膨诟岳”j 群s i n 2 n + l g c o s 2 a 招( 2 2 2 ) 利用数学积分公式 6 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 其中， 为任意正整数。 可得 j * o 2 $ i n 2 鲥口：竺嘿 ( 2 2 3 ) ( 2 n + n ! 雌) = 训三乏券券丛 ( 2 2 4 ) 类似的，可以得到远场发散角妫 2 2 n + 2 伽+ 1 x n + 1 ) ! ( _ c ) “ t a n 20 = 2 m 2 w ) 2 。e 冲( - cs i n 20 ) s i n 3 一：矗等( 2 z s ) n 一= o ( 2 n + 3 、! 束腰职0 ) 可以表示为 矿2 ( o ) =。矛笋警( ，+ 志2 n pc 矛备( 知+ 3 ) !l + 5 、7 2 7 r 2 睾! ：垫丛二! ! ： 啬r 2 h + 3 ) ! 因此，非傍轴标量高斯光束的光束传输因子a 严可解析地表示为 子坐! 尘! 塑型丝! ：子坐：坠! 塑型【二! f l + _ ! 一1 脏删扣石监型喜丽善坐塑 f 2 2 7 ) f l q 于式( 2 2 5 ) ( 2 | 2 7 ) 中所涉及的级数均为交错级数，并且可以证明都是收敛的， 所以对于任一给定的c 值远场发散角、束腰和光束传输因子都有一确定的值，并 且在两种极端情形下，三个计算公式可以进一步简化。 。 2 1 1 高度非傍轴情形 在c 1 即w 。 五时为傍轴情形。由交错级数的性质，式( 2 2 5 ) 可近似为 段+ 丢) 后 亿， 发散角要稍大于原有傍轴公式所给出的值j 罢。 式( 2 2 6 ) 为 唧，= w o ( + 去) w o ( 2 3 ：) 略大于高斯光源的半宽度w o 。 因此，在傍轴条件下相应的光束传输因子为 m 2 ：l 十1 1 ( 2 3 3 ) 对于光源线度远大于波长的非傍轴标量高斯光束， 矿因子存在一个只能无限趋 近而永远都不能精确达到的下限1 。 当高斯光源的半宽度介于高度非傍轴和傍轴之间时，远场发散角、束腰和光 束传输因子可以根据实际需求的精度和c 值的大小确定娌的项数进行计算e 总而言之，所给出的光束传输因子解析表达式是便于计算和实际操作的，不 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 仅为控制非傍轴激光束的束腰和远场发散角提供了解析的理论依据，可以通过所 给定的解析式设计高斯光源的半宽度w o 与激射波长五之比值来达到所期望的光 束质量，这对高度非傍轴情形尤其有效；而且为目前的a 产因子测试系统的改进 提供了依据，可以使傍轴条件和非傍轴条件下的 严因子都能精确测量；也为客 观合理评价小尺度强聚焦光束口9 1 、光纤端面衍射场光束f 圳和发散较大的半导体 激光束等实际非傍轴激光束的光束二阶矩传输行为奠定了基础，有利于开拓和挖 掘相关的应用。 2 2 小结 基于精确表述的横截面上光强，对非傍轴标量高斯光束的传输特性进行了理 论研究，结果表明二阶矩定义下的光束宽度服从一般的双曲线传输规律，得到了 解析的光束传输因子表示式，它具有实际可操作性。在高度非傍轴条件下，进一 步给出了简单的计算公式。在w 0 趋向于零的极限情形下，远场发散角趋向于最 大值6 3 4 3 。，束腰和光束传输因子都趋向于零，这一结果和两类典型一维矢量偏 振光束类同( 5 l 。至于傍轴情形，非傍轴标量高斯光束的传输可用横基模高斯光束 近似描述。在高度非傍轴和傍轴之间，光束传输因子可以根据实际需要的精度和 c 值的大小取项计算。这一研究对客观合理评价非傍轴激光束的二阶矩传输具有 理论和实验指导价值。 理论和实验指导价值。 9 博士后研究5 - 作报告：非傍轴光束的特性研究 第三章线偏振非傍轴高斯光束的传输特性 采用标量表征的光束实际上忽视了偏振的影响。由于光束的传播与偏振度有 关f 3 “，尤其是非傍轴光束。对于超短脉冲光束，矢量效应对其在自由空间中的非 傍轴传输有较大的影z l j 3 2 。因此，通过对非傍轴矢量高斯光束和非傍轴标量高斯 光束传输特性的比较，就二阶矩传输而言确定标量表征的适用范围。对于矢量表 征，由于高斯光束通常在实际应用中是被视为线偏振的【3 ”，那么不同的线偏振态 对其非傍轴传输有何影响? 这不仅仅局限在理论上，而且具有实际应用指导价 值。现以j o n e s 矢量描写高斯光束的线偏振态，通过对任意线偏振态高斯光束非 傍轴传输的系统解析研究，定量分析不同线偏振态对非傍轴矢量高斯光束的束 腰、横向远场发散角和光束传输因子的影响，为正确、客观、合理评价微孔激光 器光束【_ 7 1 等实际非傍轴激光束的光束传输行为奠定理论基础。 3 1 理论推导 在直角坐标系中，带有任葸线偏振状态的局斯光束其初始时刻边界条件口j 表 示为 糍舟( c 咖o s 。a c x p ( 一暑 b ， 其中，j o n e s 矢量f 。? 8 口1 表征高斯光束的线偏振状态。由全矢量表述的电磁场角 ts 1 n 口， 谱理论【3 4 ，3 5 】，可得到向充满电容率和磁导率分别为薪口的各向同性均匀介质的半 空间立0 非傍轴传输的高斯光束 b ( x ，y ，z ) = e x p ( 一f 甜) 巴j 5 ( p q ) e x p i k ( p x + q y + m 2 ) d p d q ( 3 2 ) 和疗( x ，y ，z ) = e x p ( 一i 耐) j l 二：j ”( p ，q ) e x p i k ( p x + 目y + 聊= ) 】函砌( 3 3 ) 式中， 积嬲，= 丢“p ( 一华c ( c o s 孤i 妒p c o s a 。qs i n a 一正) b 4 ， 1 0 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 矛曲= 压云e 一华c i 塑巫竽一，+ 竺穹竽堂了 + o s i n t z q e o s a ) 蓐) ( 3 5 ) 是高斯光源初始分布的角谱。其中五：弩是介质中的光波长，国为圆频率。罢 q 坶 “ 和导为横向空间频率，了m ：尘掣为纵向空间频率。 = a 。居鲁e 州一9 2 ) 盟坐 生竺堂( 3 6 ) x ( z ) ，i = 古巴巴cp ( 匀撕 ；丢等等+ 堂2 1 - q 2 c兰。s2。t-p2s 竺i n 2 a + p qs 型i n 2 。t l p d q 心刀 =一一i1、o“， 撕，、e x 们( p 2 l 叫 i p 2 + q 2 k l m f 塞2 墅黑1 ：丢巴巴。受，f ? 1 出咖 ( 3 8 ) lll ( lvoj l 嘭( ：) 昨( z ) jp l 弦y2 。 、 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 葛 f 孵( o ) 略( o ) 矧化l 磊錾 lj ( o ) r y ( o ) t a n 2 2 0 yj k 9 ) 光束宽度在沿= 轴非傍轴传输时满足双曲线变化规律。上式中等式右边的第二个 矩阵是光束曲率矩阵，表示平面z = o 处的光束曲率，具体定义为 嘭( o ) r ：( o ) 阡譬( o ) r 。，( 0 ) 阡名( o ) r x y ( o ) j ( 0 ) r 。( 0 ) ：导巴l ， “最 ， l 吉( 工 + y ) ；o c s 。，+ y ) 1 2 陬砂( 3 1 0 ) y s y j 咿t a n 2 b t 。a 时n 2 8 圹x y l ；以b 去卜鼢翁2 钟训：擀荔笔嚣妇”u 卜 哟，：等。( p 理：) i 1 e x p i - c ( p 孑2 + q ：i ) ( 1 - 再q 2c o 互s 2 a - 巫p 2 s i n m 2 c t + ：p 竺q s i 鲤n 2 a ) ( 1 1 竺- 蚴c p 2 ) d p d q ” h e 卅却2 玎) 生型竺等丝竺坐出 僻等c , f , e x 再p _ c ( p 2 石+ q 2 ) ( 1 _ 汪q 2 c o s 2 五a _ p 2si誓n2a+pq百sin2a)(1-cq2)dq 平面乒。处x 方向上的光束曲率鬻由式( 3 1 。) 结合傅里叶变换可得 时时 疗 孵呜 0 传输的初始半宽度为慨的另类非傍轴t m 高斯光束，用角谱表示式 可重写为 五i z ，y ，z ) = ：j 6 ( f ，r ) e x p f i 2 n - ( x ( 十y r 十z f ) 】( z 倒玎 ( 4 1 ) 豆( x ，y ，z ) = e e j ”( 孝，口) e x p f 2 z ( z 孝+ y r + z c ) d 誊d , 7 ( 4 2 ) 式中， j 5 ( f ，r ) = z2 w 。2 n 2e x p 一万2 诟( 掌2 + r 2 ) 】 ( 1 ，一孝2 ) 一孝疗一 薯露】 ( 4 3 ) 和 j “( 善，r 1 ) = ，f 三口2 届五e x p z 2 诉( 2 + 7 2 ) 】( 参一萜) ， ( 4 4 ) v 其中，g 和即是横向空间频率，且f = 1 五2 一善2 一节2 是纵向空间频率。 显然，电磁场霹( x ，y ，z ) e x p ( 一i c o t ) 和f t ( x ，y , z ) e x p ( 一i o , t ) 在半空间z o 满足 m a x w e l l 方程组。为了计算方便，引下如下两个参数r 和 f = 兰掣，r = _ r s i n b( 4 5 ) 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 西的变化范围为0 至2 n o 运用傅里叶变换的基本性质，当另类非傍轴t m 高斯光束通过任一z 为常数 的平面时的总功率尸为 心) = 厨 i a 咖张翱) 渤。居5 孚轴( - c r z ) ( 2 r - r 3 ) 廊( 4 s ) 由于式( 4 6 ) 中o r l ，以s i n e 取代r ，其中o o a 2 。并运用式( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) ， 则式( 4 6 ) 可表示 p ( z ) x 方向上的束腰的解析表达式为 嗳( o ) = 2 w ； ! 掣 ( 4 7 ) ( 2 n + 6 1 1 、。 量盟：坐堑塑 畚 ( 2 ”+ 6 ) ! y 方向上的束腰的解析表达式为 嘭( 0 ) = 2 诟 ! 二! ! ：! ：垫尘 n “= o ( 2 n + 6 1 1 f 二1 2 ：! ：生尘 怠( 2 n + 6 ) 2 1 一塑业 l2 ( 2 n + 7 ) j 伽+ 4 ) 1 6 11 ! 二尘：! ： 惫 ( 2 n + x 和y 方向上的发散角分别由以下两式给出 t a n 2 0 。：4 t a n 2 0 y = 4 ( 一c ) “2 2 n + 3 ( ”+ 4 ) ! ( ”+ 1 ) ! 垫型 暑( _ c ) ”2 2 n + 4 0 + 4 ) ! n 一= o ( 2 n + 6 1 1 2 n + 2 ( n + 2 )! ( h + 1 ) ( 3 h + 8 ) 5 ) t + 4 ) 1 6 、! ( 2 n + ( 一c ) ”2 2 相应两横向上的光束传输因子分别为 ( 2 n + ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 。 w 万 石 f 恬 一c ， 2 = r 护n“t ) 0 ( 矿 石一五 = 2 m 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特性研究 ，。，亡1 ：| ：熊毪笋仁絮 ，一器 峥三呻吣= 撕坐旦再$ 若_ 型 吸( 0 ) = 风 一爿 ( a - 4 ) 和 ( o ) = 西。( 一瓦3 c x 万同明束腰略大亍y 乃i 司阴束腰。 式( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) 退化为 t a n 以= 压( ，一西5c ) 和 t a n o = 2 一等 而j ，方向的发散角要比x 方向上的大。当w o 趋向于零时，以= ”c t m j 1 1 百b y = a r c t a n 2 = 6 3 4 3 。 对应的光束传输因子分别为 m ；= q 一i c ) 牛2 z 拓 一尝 由于偏振导致两方向有不同的传输特性。 在傍轴条件下，两束腰分别由以下两式给出 吸c 旷w o 。3 。 ( 。) = w o ( t + i 1 x 和v 方向e 的发散角分别为 ( 4 1 5 ) d 力 。- 印 ” b 一 博士后研究工作报告：非傍轴光束的特 生研究 f 4 2 2 ) r 4 2 3 ) 相应的光束传输因子均为 川：m i ：1 + 一1 ( 4 2 4 ) c 为了直观起见，图4 1 ( a ) ( c ) 分别给出了x 的y 方向上的远场发散角、束腰和 光束传输因子与初始高斯半宽度w o 的变化关系。图中实线表示y 方向，虚线代 表x 方向。 w 以 w d w d a 图4 1 发散角( a ) 、束腰( b ) 和光束传输因子( c ) 与高斯半宽度w o 的变化关系。其中实线和虚 线分别表示z 和y 方向。 f i g 4 1 d i v e r g e n c ea n g l e s ( a ) ，t h eb e a mw a i s t s ( b ) a n dt h eb e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r s ( c ) a r e a sa f u n c t i o no fh a l fw i d t ho fg a u s s i a nl i g h ts o n r c ew ot h es o l i da n dt h ed o t t e