（应用数学专业论文）极值统计理论在金融风险管理中的应用.pdf

摘要 摘要 极值统计是专门研究很少发生，然而一旦发生却有重大影响的随机变量极端变 异性的建模及统计分析方法。目前极值统计的应用已经深入到许多领域，除了传统 的水文、气象、地震与工程，近年来在保险、金融以及网络通讯中也得到了广泛的 应用。关于极值统计在金融风险控制领域的研究是个热点问题，问题的关键在于如 何选取极值数据并用合适的模型来量化风险，从而为金融风险的预测与管理提供决 策上的依据。 详细阐述了极值统计理论的产生、发展及其在各领域的应用研究现状，并且分 析了应用极值统计理论建立模型管理金融风险的可行性与必要性，此外还引入g p d 代替传统的正态分布以精确描述金融收益的厚尾特征，并且介绍了v a r 与c v a r 这两 种模型来度量金融资产或证券组合的风险。 对尾部的度量在金融风险管理中非常重要，然而对于金融数据底分布的厚尾性， 在目前己知文献中都没有给出准确而统一的定义，真实的金融数据一般都呈现出厚 尾现象，但是作为我们对数据的初步判断，我们还是很有必要对其是否厚尾进行诊 断。鉴于此，在综合厚尾性不同概念及意义的基础上，给出了多种可以判断金融数 据厚尾性的方法，并用这些方法对上海股市收益率的尾部特征进行了实证分析。结 果表明，虽然这些方法的度量精度有较大差别，但无一例外都证明了上海股市收益 率的厚尾性。 随着经济全球化和金融自由化的趋势越来越明显，各种各样的金融极端事件使 得人们不得不把注意力从平目的金融市场波动转移到金融极端事件上来。对金融领 域极端事件造成的危害的估计，就是目前极值统计模型最广泛应用的领域。中国股 市十几年来取得了长足的发展，但仍然不成熟。针对这一情况，在分析了当今世界 金融风险管理的现状后，用除串法并且以v a r 和c v a r 值为度量指标对中国沪深股市 近11 年来的投资风险v a r 和c v a r 分两阶段作了实证分析，得到如下结论：v 状和 c v a r 模型能有效地度量中国股市的投资风险，并且c v a r 值比v 承值在度量风险时更 趋保守，上海和深圳股市1 1 年来的投资风险总体上随着时间的推移均在减小，且沪 市的投资风险一直小于深市。 关键词极值理论；金融风险；风险价值；广义p a r e t o 分布；厚尾；参数估计 河北科技大学硕十学位论文 a b s t r a c t s t a t i s t i c a lt h e o r yo fe x t r e m ev a l u ei sam o d e l l i n ga n ds t a t i s t i c a la n a l y s i sm e t h e dt o s t u d yt h ev i o l e n tc h a n g e a b i l i t yo far a n d o mv a r i a b l et h ev i o l e n tc h a n g e sh a v eh e a v e i n f l u e n c eo n c eo c c u r i n ge v e nt h o u g ht h e yo c c u rv e r yl i t t l e a tp r e s e n t ，t h ea p p l i c a t i o no f e x t r e m ev a l u es t a t i s t i c st h e o r ya l r e a d yp e n e t r a t e di n t om a n yd o m a i n s ，s u c ha ss u r a n c e ， f i n a n c e ，a sw e l la sn e t w o r kc o m m u n i c a t i o nb e s i d e st r a d i t i o n a lh y d r o l o g y ，m e t e o r o l o g y ， s e i s m o l o g ya n de n g i n e e r i n g t h er e s e a r c ho fe x t r e m ev a l u es t a t i s t i c si nt h ed o m a i no f f i n a n c i a lr i s kc o n t r o li sah o tt o p i c t h ek e yp o i n t sa r eh o wt os e l e c tt h ee x t r e m es a m p l e d d a t aa n dm e a s u r er i s kw i t ha a p p r o p r i a t em o d e l ，a n dt h u sp r o v i d eac r i t e r i o nf o rf o r e c a s t a n dm a n a g e m e n to ff i n a n c i a lr i s k w es u m m r i g et h eo r i g i n ，t h ed e v e l o p m e n to fe x t r e m ev a l u es t a t i s t i c a lt h e o r y ，a n dt h e p r e s e n t s i t u a t i o no fa p p l i e dr e s e a r c hi nv a r i o u sd o m a i n si nd e t a i l a n da l s oa n a l y z et h e f e a s i b i l i t ya n dt h en e c e s s i t yo fm o d e l l i n ga n dm a n a g i n gf i n a n c i a lr i s kb ys t a t i s t i c a lt h e o r y o fe x t r e m ev a l u e r e p l a c i n gt h et r a d i t i o n a ln o r m a ld i s t r i b u t i o n ，g p di si n t r o d u c e dt o d e s c r i b et h ef a tt a i lc h a r a c t e r i s t i co ff i n a n c i a lg r o f i t v a ra n dc v a ra r ea l s oi n t r o d u c e dt o m e a s u r 宅t h er i s ko ff i n a n c i a la s s e t so rt h ei n v e s t m e n tp o r t f o l i o 。 t o a n a l y z et h et a i lc h a r a c t e r i s t i co ff i n a n c ed a t ai sv e r yi m p o r t a n ti nt h ef i n a n c er i s k m a n a g e m e n t h o w e v e r ，a b o u tt h en o t i o no ff a tt a i l o ff i n a n c i a ld a t at h e r ei sn o ta l l a c c u r a t ea n dt h eu n i f i e dd e f i n i t i o ni nt h ep r e s e n tk n o w nl i t e r a t u r e ，a l t h o u g ht h ep r e s e n t f i n a n c i a ld a t ap r e s e n t st h ef a tt a i lp h e n o m e n o ng e n e r a l l y ，i ti sv e r yn e c e s s a r yt oc a r r yo i l t h ed i a g n o s i sw h e t h e rt h ed a t ah a v eaf a tt a i la sap r e l i m i n a r yj u d g m e n tt ot h ed a t a i n v i e wo ft h e s e ，t h ep a p e rs y n t h e s i z e st h ed i f f e r e n tc o n c e p t sa n dt h es i g n i f i c a n c eo ff a tt a i l ， g i v e sm a n yk i n d so fm e t h o d sb yw h i c hi ti sp o s s i b l et oj u r g ew h e t h e rt h ef i n a n c i a ld a t a h a sf lf a tt a i l t h em e t h o d sa r eu s e do nt h ei m p i r i c a la n a l y s i st ot h et a i lc h a r a c t e r i s t i co ft h e r e t u r nr a t i od a t ao fs h a n g h a is t o c km a r k e t t h er e s u l ti n d i c a t st h a ta l lt h em e t h e d sh a v e p r o v e nt h er e t u r n sr a t i oo fs h a n g h a is t o c km a r k e th a v eaf a tt a i l ，a l t h o u g ht h em e a s u r e p r e c i s i o no f t h e s em e t h o d se x i s tab i g g i s hd i f f e r e n c e a st h et e n d e n c yo ft h ee c o n o m i cg l o b a l i z a t i o na n dt h ef i n a n c i a ld e r e g u l a t i o na r e g e t t i n gm o r ea n dm o r eo b v i o u s ，v a r i o u sf i n a n c i a le x t r e m ee v e n t sm a k ep e o p l em o v et h e i r a t t e n t i o nf r o md a i l yf l u c t u a t i o ni nt h ef i n a n c i a lm a r k e tt ot h e s ee x t r e m ee v e n t s a tp r e s e n t ， t oe s t i m a t et h eh a r mo ft h e s ee x t r e m ee v e n t si nf i n a n c i a ld o m a i ni st h em o s tw i d e s p r e a d a p p l i c a t i o nd o m a i no fe x t r e m ev a l u es t a t i s t i c a lm o d e l c h i n a ss t o c km a r k e ti s s t i l ln o t i i a b s t r a c t m a t u r e ，e v e nt h o u g hh a sm a d ec o n s i d e r e dp r o g r e s si nt h et e no d dy e a r s i nv i e wo ft h i s s i t u a t i o n ，w em a k ea l le m p i r i c a la n a l y s i sf o rt h er e t u r nr a t i oo fs h a n g h a ia n ds h e n z h e n s t o c km a r k e ti nt h e p a s t 11 y e a r s ，a f t e ra n a l y i n gp r e s e n ts i t u a t i o no ff i n a n c i a lr i s k m a n a g e m e n ta l lo v e rt h ew o r l d t h ea n a l y s i sc o n s i s t so ft h et w os t e p s ，a n dt h ea n a l y s i s m e t h e di st h ee l i m i n a t e ss t r i n gl a w a n dt a k i n gv a ra n dt h ec v a ra sm e a s u r e m e mi n d e x e s w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n ：t h ev a ra n dc v a rm o d e lc a l lm e a s u r ee f f e c t i v e l y t h ei n v e s t m e n tr i s ko fc h i n a ss t o c km a r k e t s a n dt h ec v a rv a l u ei sm o r ec o n s e r v a t i v e t h a nt h ev 水v a l h ew h e nm e a s u r et h ef i n a n c i a lr i s k t h ei n v e s t m e n tr i s ko fs h a n g h a ia n d s h e n z h e ns t o c km a r k e ti sr e d u c i n ga saw h o l ei nt h ep a s t1 ly e a r s ，a n dt h ei n v e s t m e n tr i s k o fs h a n g h a is t o c km a r k e th a sb e e ns m a l l e rt h a ns h e n z h e ns t o c km a r k e t s k e yw o r d se x t r e m ev a l u et h e o r y ；f i n a n c i a lr i s k ；v a r ；g p d ；f a tt a i l ；p a r a m e t e r e s t i m a t i o n i i i 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：壹，j 够罕 指导教师签名：彩7 沌 【 多艿年1 2 月1 同勿9 年fv 月f 同 ；- i j l 科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阕。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 酥保密。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：歹j 纷罕 砂口6 年j 月同 指导教师签名：纠钆 f 勿矿年f 瑚f 同 第1 章绪论 第1 章绪论 粗略地讲，金融领域的极值事件( e x t r e m ev a l u e ) 就是指那些发生概率很小，但一 旦发生又会对金融业造成重大影响的事件。因而对于统计工作者而言，极值统计理 论由于它的研究对象的不寻常性而具有特别的吸引力。作为一种对随机现象的研究， 极值统计理论最早可以追溯到2 0 世纪早期，但是直到2 0 世纪5 0 年代才开始真正引起 科研工作者的注意，并开始对它建模。极值统计模型的应用始于工程设计，现已广 泛应用于金融、保险、水利、气象等各个方面。本文主要研究极值统计理论在金融 风险领域的应用。 1 1研究背景 1 1 1 极值统计理论的产生与发展 在统计学发展历史中，统计学家首先注意到的自然是随机变量可能取值的主体， 不会立即去关心稀有事件，因此极值统计发展的历史相对较短。1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 将正态分布引入了金融分析中，然而很多研究发现金融资产收益率呈现“厚尾”特 性，正态分布不能很好地描述收益率的这种特性，因而对正态分布的使用提出了批 评。而极值统计理论的研究重点是极端情况下收益波动的特征及分布形态，正好研 究分布的尾部行为，能处理严重背离均值的统计数据，对极端情景具有较好的预测 能力。3 0 年代初，f r 6 c h e t ，f i s h e r 和t i p p e t t 开始对极值理论进行研究，f i s h e r 和t i p p e t t 证明了极值极限分布的三大类型定理，为极值统计理论的发展研究奠定了基石。随 后，m i s e s 及g n e d e n k o 对极值理论进行了进一步研究，l e a d b e t t e r q 等给出了三大类型 定理的严格证明，在独立同分布的假设下，证明了最大次序统计量标准化的渐近分 布分别是f r 6 c h e t ，g u m b e l 和w e i b u l l ：种极值分布的充分必要条件是：随机序列边缘 分布的尾部分别是指数衰减、幂衰减和有界尾；他们还研究了平稳时间序列的最大 次序统计量的渐近分布问题，证明了序列在满足一定相依条件下，最大次序统计量 的标准化极限分布仍然是极值分布；同时给出了度量平稳序列中超越一定水平的数 据的聚类指标极值指标( e x t r e m a li n d e x ) ，将独立同分布序列推广到满足一定相依 条件的平稳序列，考虑最大次序统计量标准化的渐近分布，l e a d b e r e r 等人的工作将 极值理论的研究推向了一个崭新的阶段，为p o t 方法的应用提供了理论基础，因为 现实的数据序列如果是时间序列，则常常存在相关性，很少满足独立同分布的苛刻 条件，例如金融收益率时间序列的波动集聚性，即大的波动之后紧跟大波动，小波 动紧随小波动，显然序列不满足独立同分布的条件。h a a n 2 针对吸引场问题给出了 完整结论。r e s n i c k 利用概率论的正则变化理论对极值理论方法进行了深入研究分析， 河北科技大学硕士学位论文 他将广义极值分布的最大吸引范围和正则变化对应起来，说明f r e c h e t ，g u m b e l 和 w e i b u l l 分布各自的最大吸引范围概率分布的尾部特征，得到了与g a l a m b o s 和 l e a d b e t t e r 等相一致的结论，同时从另一个角度说明了广义极值分布和广义p a r e t o 分布 的关系。 文献【3 】最先论证了极值理论在材料强度判断中的重要性。g u m b e l 4 】的著作反映 了极值概率模型的统计应用成果，系统地归纳了一元极值理论，讨论了变量的最大 值或最小值的分布。由于人们很难获得极值的精确分布，所以通常利用经验数据拟 合极值分布，对极值渐近分布进行研究。理论研究结果表明：极值分布可以对最大( 小) 值分布进行很好的描述，即可以用f r 6 c h e t ，g u m b e l ，w e i b u l l 分布对此类随机变量进 行拟合研究。此后，极值理论有了进一步发展，j e n k i n s o n 把该理论应用于极值风险 研究，研究了广义极值分布模型，进一步完善了一元极值分布模型。p i c k a n d s 证明了 经典极限定理，为8 0 年代、9 0 年代完善建模做出了巨大贡献。此外，在8 0 年代，许 多学者研究了不平稳序列的极值行为( 特征) 及相关现象。8 0 年代中期，多变量极 值理论的统计推断有了进一步的发展，而且成为目前极值理论研究的热点问题。 在超阈值模型方法的应用过程中，需要对模型的形状参数( 尾指的倒数) 作统 计估计，常用的方法有极大似然估计、h i l l 估计和矩估计f 5 j 。r e s n i c k 和s t 撕c a l 6 j 研究 了在随机序列是一类厚尾平稳过程的情形下h i l l 估计的相合性问题。目前国内极值理 论研究方面的文献较少，主要有j z p a n 和s h c h e n g 给出了极值分布形状参数的矩估 计( 标准化) 收敛到正态分布的精确速度，即矩估计分布函数的渐进展开式1 7 j 。史道 济等研究了多元极值分布参数的最大似然估计问题峭】。 1 1 2 国内外研究综述 作为研究本课题的主要理论工具极值统计理论，是最近几十年才发展起来 的- 1 7 科学，它是专门研究很少发生，然而一旦发生却有较大影响的随机变量极端 变异性的建模与统计分析方法。目前极值统计的应用已经深入到许多领域，除了传 统的水文、气象、地震与工程、材料强度、系统可靠性、生物种群寿命，近年来在 金融保险以及网络通讯等领域也得到了广泛的应用。极值统计理论的近代研究开始 于德国，1 9 2 2 年，l v b o r t k i e w i c z 研究了正态分布的样本极差桫j ，指出了来自正态 分布的样本最大值是一个新的随机变量，具有新的分布。1 9 3 6 年，r v m i s e s 提出了 最大次序统计量收敛于极值分布的简单有用的充分条件l lo j 。1 9 4 3 年，b g n e d e n k o 给 出了极值类型定理的严格证明，建立了严格的极值理论，给出了极端次序统计量收 敛的充分必要条件【i l 】。e j g u m b e l 的著作【1 2 】系统地归纳了一元极值统计理论，对极 值统计在实际工作中的应用提供了许多很好的建模工具，为极值统计理论的广泛应 用奠定了理论基础。 2 第1 章绪论 极值统计理论应用于金融学领域的研究始于最近几十年。在金融市场，极端事 件本身就非常令人关注。近年来，国际上各种金融危机时有发生，关于利用极值统 计理论对金融风险的研究也正在深入。文献f 1 3 n 用极值统计理论研究了拉丁美洲黑 市汇率分布的特征。文献 1 4 利用汇率分布的尾部指数估计了汇率收益的厚尾性。文 献 1 5 在一个较完整的框架内研究了股市高收益的频率分布特性，探讨了股市收益的 尾部特征，提出了投资者可以根据个股尾部特征，选择风险较小的投资组合。由于 保险领域巨额索赔事件的频繁发生，人们也开始利用极值统计理论进行保险索赔定 价，文献 1 6 】利用一元极值统计理论中的p o t 方法拟合保险损失分布并验证了其合 理性。文献 1 7 1 把极值统计理论与g a r c h 模型结合起来用于度量金融市场风险。文 献 1 8 n 用极值统计理论中的v a r 模型对股票市场的收益风险进行了研究。文献 1 9 研究了极值统计理论与股票市场崩溃之间的内在联系，说明了利用极值统计理论在 识别与预测股市崩盘这类极端金融事件中的突出作用。文献 2 0 ，2 1 1 综述了极值统计 理论在金融风险管理中的实用性与重要性。文献 2 2 1 对极值统计理论的优缺点及适用 范围进行了评析，并指出了极值统计理论及应用中今后应着重解决的几个问题。 国内对极值统计理论的研究起步较晚，然而发展非常迅速。史道济等最先将极 值统计理论引进中国，并结合中国金融与经济发展的实际得到了许多成果。史道济 在文献 2 3 中给出了极值分布的方差分析检验，可以说是国内最早的极值统计理论成 果之一。文献【2 4 】根据极值统计理论中的两种方法估计v a r ，并结合中国目前的证券 市场实际将所得结果与正态分布和经验分布的分析结果进行比较，说明了用极值统 计理论估算v a r 具有较高的准确性，而且得到了几种估计方法的优劣。随着中国金 融经济的发展，极值统计理论在中国金融市场中应用越来越广泛，成果也越来越多。 史道济与高峰用次指数分布对股票收益率进行拟合，结果发现次指数分布可以很好 地描述股票收益率f 2 5 1 。史道济与关静以v 出作为风险测度，利用c o p u l a 的有关理论 给出美元英镑和加元英镑两支汇率的风险函数在一定水平下的v 水的最优边界【2 引。 李秀敏与史道济给出了g a r c h g p d 模型，并将之与普遍使用的估计v a r 的方法进 行了比较，得出g a r c h g p d 模型能有效捕捉金融收益序列的尖峰厚尾、波动聚集 等特性，说明了在较高的置信水平下，g a r c h g p d 模型显示的结果更加安全l z 。 文献 2 8 对中国沪深股市的投资风险做了实证分析，结果发现沪市投资风险小于深 市。文献 2 9 结合上证指数对沪市的投资风险运用两种方法进行了比较分析，并得出 了两种方法的优劣。文献 3 0 和文献【3 1 】针对极值统计模型中“样本独立同分布”这一 不很合理的假设分别提出了两种改进方法，在一定程度上减弱了样本值的相关性， 提高了风险数据值的准确性。文献 3 2 1 基于传统的风险价值度量方法没有考虑随机波 动而导致低估或高估风险这一事实，介绍了一种基于随机波动的v a r 模型，并给出 了评价模型的后验检验方法。 河北科技大学硕士学位论文 1 2 研究的目的和意义 1 2 1金融风险与极值统计理论 金融市场风险是指，由于金融市场因子( 如利率、汇率、股价等) 的不利波动 而导致的金融资产损失的可能性。近年来，随着经济全球化和金融自由化的进程， 一方面，金融市场的波动性不断加剧，金融工具所蕴含的风险结构越来越复杂；另 一方面，金融市场在经济运行中的作用与地位不断上升，全球经济运行的虚拟程度 不断提高，工商企业的经营更加依赖金融市场，传统金融机构如商业银行的业务也 不断趋向金融市场，这些因素使得金融市场风险越来越成为现代工商企业和金融机 构面临的主要金融风险之一。 金融风险具有客观性，是无法完全避免的，而且金融风险中也蕴含着商业机会， 因此，对待金融风险的现实态度是积极主动的风险管理行为，而不是简单规避、被 动接受和无所作为。如前所述，由于正态分布的缺陷，极值统计理论研究极端情况 下金融数据收益波动的特征及分布形态，可以对分布的尾部行为进行研究，能处理 严重背离均值的统计数据，对极端情景具有较好的预测能力，因而极值统计理论在 金融风险管理方面起着重要的作用。 1 2 2 金融风险的度量 均值方差( 标准差) 模型是最早的解决投资组合风险问题的方法，投资分散化 是它的理论基础。目前这种方法在风险管理中仍然有着广泛的应用，但是由于利用 收益率的方差( 标准差) 作为风险测度，减小方差虽然可以有效地减小资产组合的 波动，可方差是一种“对称”的测量方法，方差的最小化不仅会减少收益向下的偏 离，同时也会减少收益向上的偏离，所以同时它也限制了可能的收益。另外，方差 也不适于描述低概率事件的风险，而往往就是低概率事件可能会造成收益的巨大波 动，带来致命的损失。 目前应用极值统计理论来描述金融数据分布的方法无论从理论上还是在实际应 用中都得到了广泛的认可。v a r 和c v a r 方法是近年来兴起的一种新的基于收益分布 的分位点的风险测度方法，解决了投资者对风险度量的实际需要，直接用数字说明 投资者面临的风险损失和遭受这种损失的可能性大小( 概率) 。关于v a r 和c v a r 方 法的具体介绍将在以后的章节中给出。 1 3 本文的结构与创新 本文着重研究极值统计理论在金融风险管理中的应用问题。首先给出了几种金 融数据厚尾性检验的方法，并对中国上海股市收益率的分布尾部的厚尾性进行了实 证分析。此外，运用极值统计理论q b p o t 模型的除串法对沪深股市近1 1 年来的投资 4 第1 章绪论 风险以v a r 和c v 水为度量指标分两阶段作了比较分析，得出了一些有意义的结论。 本文共四章，其结构安排如下： 第1 章是绪论。详细阐述了极值统计理论的产生、发展及其在各领域的应用现状， 并且分析了应用极值统计理论建立模型管理金融风险的可行性与必要性。 第2 章是极值统计理论与模型介绍。精确度量风险是金融风险管理的关键问题， 本章引入g p d 代替传统的正态分布以精确描述金融收益的厚尾特征，并且介绍了v a r 与c v 水这两种度量金融风险的极值模型。 第3 章是金融数据的厚尾性检验。首先给出了极值统计中对厚尾性的一般认识， 接着探讨了几种验证金融数据厚尾性的方法，最后从多方面对中国上海股市收益率 的尾部情况进行了实证分析。 第4 章是股市风险的度量。先介绍了金融风险的一般概念和目前国内外管理金融 风险的现状和一般方法，接着介绍了度量金融风险的两个极值统计模型v 抿与 c v a r 模型，从概念、优缺点和计算方法等方面对其做了详细的介绍。最后用除串法 对中国沪深股市近1 1 年来的投资风险v a r 和c v 水分两阶段作了比较分析，并就结果 分析了此模型度量金融风险的优缺点。 论文的创新主要有以下两点： 1 )由于对金融数据分布的厚尾性在目前已知文献中都没有给出准确而统一的 定义，可是作为对金融收益数据的初步判断，我们首先要做的就是对其尾部特征进 行诊断。本文在综合厚尾性不同概念及意义的基础上，给出了多种可以判断金融数 据厚尾性的方法，并用这些方法对中国上海股市收益率的尾部特征进行了实证分析。 实证分析结果表明，虽然这些方法的度量精度有较大差别，但无一例外都证明了中 国上海股市收益率的厚尾性。 2 ) 极值事件在很多领域都存在，一旦发生就会给人类的生产生活带来重大的影 响。金融领域的极值事件发生得也很频繁，随着经济一体化与金融自由化，对金融 风险进行合理的管理更有必要。因此，本文在分析了当今世界金融风险管理的现状 后，用除串法并且以v a r 和c v a r 值为度量指标对中国沪深股市近11 年来的投资风险 分两阶段作了实证分析，得到如下结论：v 水和c v a r 模型能有效地度量中国股市的 投资风险，并且c v a r 值t 匕v a r 值在度量风险时更趋保守，中国沪深股市1 1 年来的投 资风险总体上均在减小，且沪市的投资风险一直小于深市。 本文中所有作图、估计计算以及精度检验等都是通过统计软件r 来完成的。r 软 件专用于统计计算，具有强大的作图、计算功能，r 软件和许多数据库都可以从 h t t p ：c r a n r - p r o j e c t o r g _ 上免费下载。 河北科技大学硕士学位论文 第2 章极值统计理论与风险模型 现在很多研究发现金融资产收益呈现“厚尾”特性，正态分布不能很好地描述 收益率的这种特性，而极值理论恰好研究分布的厚尾行为，弥补了这一缺陷。极值 理论研究的重点就是极端情况下收益波动的特征及分布形态，处理严重背离均值的 统计数据，对极端情景有较好的预测能力。 2 1 极值分布的类型与性质 一元极值分布包括g u m b e l 分布、f r 6 c h e t 分布和w e i b u l l 分布，这三类极值分布 经过适当变换后统一形式为广义极值分布。这里考虑的极值是样本中的最大值或最 小值，极值分布就是要找出最大值或最小值统计量的分布。 设置，e 是独立同分布随机变量，来自总体为x 、分布函数为f ( x ) 的一个样 本，将其按大小排列顺序： 以。，x 1 ，。 。 称以，五。为次序统计量，五，。= m i n x ，* oo 以 和五。= m a x x 1 以) 分别称为 样本最小值和样本最大值，统称为样本极值。我们的目的就是要寻求样本极值的概 率分布。在这里，不妨设互( x ) ，c ( x ) 分别为最小值和最大值的分布函数。由概率论 的知识，可知： 。 c ( x ) = p r ( x l 。x ) = p r ( x 。x ，x l 。x ) = f ” ) 曩( x ) = p r ( x 。x ) = l p r ( x 。 x ) = 1 一p r ( x 1 。 x ，以，。 x ) = 1 一【1 一f ( x ) ” 这说明，如果已知总体分布f ( x ) ，那么样本极值分布曩( x ) 和c ( x ) 就可以直接得到。 问题是总体分布往往是未知的，而且人们总是希望从抽样中获取总体信息。 既然不能得到互( x ) ，c ) 的精确分布，那么它们的渐近分布是否就容易得到 呢? 事实上，记 a = x ：0 f ( x ) 1 ) ，x = s u pa ，五= i n f a x e a o 一 称集合彳为分布，的支撑，x 和五分别为分布f 支撑的上端点和下端点。显然对所 有五z 0 ) 和 巩) ，使得 ，l ，厶、 ! i m p r i ! 土生兰xl = h ( x ) ，x r ( 2 1 ) 一“ 成立，其中h ( x ) 是非退化的分布函数，则片必属于下列三种类型之一： g u m b e l 分布：h 1 ( x ) = e x p - e 一。) ，一o o 0 其中和屯为规范化常数，这三个分布统称为极值分布。当口= l 时，h 2 ( x ；1 ) ， 马( x ；1 ) 分别称为标准f r 4 c h e t 分布与标准w e i b u l l 分布。容易求出三个极值分布的密度 函数分别如下： 如( z ) = e - x h j ( x ) ，一 对应的密度函数为： ；舻川= 扛l 等j 户，- - 0 0 0 。称h 为广义极值分布( g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u e ) ，简 记为g e v 分布，孝为形状参数。当孝 0 时，取口= 1 孝，则h ( x ；u ，o r ，孝) 表示f r e c h e t 分布。其位置参数和尺度参数分别为一口仃和口仃，这种分布在金融中是很重要的。 当善= 0 时，它表示g u m b e l 分布，这是因为l f i r a 。日( x ；，仃，善) = 片一( x ；，仃) 。当4 o 对f = 0 的g u m b e l 分布，有 8 孚 一一 第2 章极值统计理论 h ( x ) = e x p - e 仃 【j 显然，如果x 一( z ；，仃，掌) ，则标准化变量 一) 盯一h ( x ，孝) 。 定义2 1 称分布函数f ( x ) 的广义反函数 f 叫( p ) = i n f x r ：f ( x ) p ) ，0 p 1 为它的分位数函数，而x p = f - 1 ( p ) 称为f 的p 分位数。 如果函数f 单调连续，则函数，的广义反函数就是普通的反函数。在实际应用 中，分布函数，在其支撑上一般总是单调连续的，所以我们总认为f - 1 ( p ) 就是普通 的反函数，n i i i 七f ( x 。) = p 。根据分位数的定义，可得广义极值分布的p ( o p o ( 2 6 ) 如果f 已知，超出量x u 的分布也就知道了。然而，往往未知。因此，需要 9 河北科技大学硕士学位论文 求出x 一材的渐近分布。 定理2 2 设置，以是独立同分布的随机变量，分布函数为尸( x ) 。令m 。= m a x x , ，以) ，由定理2 1 知 l i m p r ( m 。a n x + 吃) = h ( x ；，仃，善) j - , - k 0 3 其中h ( x ；，仃，善) 是广义极值分布( 2 3 ) ，对于足够大的阈值材，在x “的条件下， 一甜的渐近分布为广义p a r e t o 分布，即 g ( y ；矛，善) ：1 一f1 + 孝娄1 ( 2 7 ) 、一i ，f 其中子= 盯+ 孝( “一) 。 类似于g e v 分布，如果引入位置参数和尺度参数盯 0 ，广义p a r e t o 分布的分 布函数为 g ( x ；t ，仃，善) ：1 一fl + 孝型1 ，x ，1 + 孝( x g ) c r o ( 2 8 ) 仃 ， 其中f r 为形状参数。 有时用口= 1 f 表示形状