（理论物理专业论文）关于bell型多端口分光器的理论及应用.pdf

t h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no ft h e b e l lm u l t i p o r tb e a m s p l i t t e r b y j u nw a n g s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to f t h e r e q u i r e m e n t sf o rt h e d e g r e eo f 【a s t e r 虹 n a n k a iu n i v e r s i t y , t i a n j i n ，c h i n a i l 哪4 删9m189m7，iiiily 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的e p 席, j 本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：王军 如矿年箩月f ? 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 专粥 学位论文作者签名： 五军 解密时间： 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ”一1 ；内部5 年( 最长5 年，可少于5 年)i ：秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于i on )； i 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) ；1 h ：_ 。一? 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 王军 力d p 年岁月f ? 日 摘要 摘要 量子光学实验技术的进步使得制各具有非经典力学性质的量子态成为可能， 从而量子力学理论上的推导结果可以得到实验的证实。实验中经常利用光子态来 验证各种量子效应。量子光学实验中经常使用的仪器是线性多端口分光器，其中 最简单和最基本的是两端1 2 分光器( b e a ms p l i t t e r ) 。近来，2 n 个端口的分光器引 起了人们很大的兴趣。这种仪器有n 个入射口和n 个出射口。其中很特殊的全对称 的一类被称为b e l l 型多端1 2 分光器，它具有这样的性质：一个光子从任意一个入 射口进入后，会以完全相同的几率从任意一个出射口射出。 在第一章里，我们介绍了一种实验上形成任意分立的幺正变换操作的方法。 这种方法也就是一种排布许多基本的分光器，相位偏转器以及平面镜从而形成一 种金字塔形的复杂仪器来实现对输入光子态进行幺正变换操作的方法。随后，对 于b e l l 犁多端口分光器，我们又讨论了关于它的一些哈密顿理论。使用b e l l 型多端 1 2 分光器我们能够在实验上得至l j h o n g o u m a n d e l 干涉以及它的一些推广的现象， 这些是第二章的内容。另外在第二章中，我们还讨论了实验仪器的一些参数对三 个光子态干涉的影响。在第三章中，我们介绍了一种方便的方法，它是利用量子 角动量理论中的方法来研究多个光子经过两端口分光器后的几率分布。在最后一 章中我们介绍了b e l l 型多端口分光器的另外一个性质和用途，即用它可以来产生 一些种类的光子纠缠态，比如g h z 纠缠态，w 纠缠态。 关键词 b e l l 型多端口分光器h o n g o u m a n d e l ：f 涉 角动量理论多光 子纠缠态光子数几率分布g h z 纠缠态 a b s t r a c t a b s t r a c t e x p e r i m e n t a lp r o g r e s si nq u a n t u mo p t i c sm a d ei tp o s s i b l et op r e p a r eq u a n t u m s t a t e sw h e r en o n c l a s s i c a lp r o p e r t i e sp l a yac e n t r a lr o l e p a r ip h o t o ns t a t e sc a nb eu t i - l i z e dt oe s t a b l i s hq u a n t u mc o r r e l a t i o no v e rl a r g ed i s t a n c e s ac e n t r a lr o l ei np h o t o n c o r r e l a t i o ne x p e r i m e n t si sp l a y e db yt h el i n e a rm u l t i p o r t t h es i m p l i e s to n ei st h eb e a m s p l i t t e r r e c e n t l yc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tw a sp a i dt ot h ea n a l y s i so fa2 np o r tw h e r en i n p u t sa r et r a n s f e r e di n t ono u t p u t t h ef u l l ys y m m e t r i c c a s e si so fp a r t i c u l a ri n t e r e s t t h es y m m e t r i cm u l t i p o r tw h i c hi sa l s oc a l l e dt h eb e l lm u l t i p o r tb e a m s p l i t t e ri sa b l et o d i s t r i b u t ea n yi n c o m i n gp h o t o nw i t he q u a lp r o b a b i l i t yi n t oo u t p u t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c ea na p p r o a c ha r r a n g i n gas e q u e n c eo fb e a ms p l i t t e r s ， p h a s es h i f l e r sa n dm i r r o r st or e p r e s e n ta n yd i s c r e t eu n i t a r yo p e r a t i o n t h e nt h eh a m i l t o n i a nt h e o r ya b o u tt h eb e l lm u l t i p r o tb e a ms p l i a e ri sc o n s i d e r e d u s i n gt h eb e l lm u l t i p o r tb e a ms p l i t t e r , w ec a n r e a l i z et h eh o n g o u - m a n d e li n t e r f e r e n c ea n di t sg e n e r a l i z a t i o nw h i c ha r ep r e s e n t e di nc h a p t e r2 an e wm e t h o dt oc o n s i d e rt h ep h o t o n n u m b e r p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nt h r o u g hb e a ms p l i t t e ri sc o n s i d e r e di nc h a p t e r3w h i c hu s i n g t h ea n g u l a r - m o m e n t u mt h e o r y i nt h el a s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m ek i n d so fe n t a n g l e dq u a n t u ms t a t e sw h i c ha r ep r o d u c e db yu s i n gt h eb e l lm u l t i p o r tb e a ms p l i t t e r k e yw o r d s b e l lm u l t i p o r tb e a m s p l i t t e rh o n g - o u - m a n d e li n t e r f e r e n c ea n g u l a r - m o m e n t u mt h e o r y m u l t i p h o t o ne n t a n g l e m e n tp h o t o n - - n u m b e rp r o b a b i l i t yd i s - - t r i b u t i o ng h z s t a t e s 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 l 1 1 分立幺正变换操作的实验实现和设计l 1 2b e l l 型多端口分光器的介绍4 1 3 b e l l 型多端口分光器的哈密顿理论 6 第二章h o n g o u m a n d e l 干涉及其推广1 0 2 1 h o n g o u m a n d e l 干涉现象介绍1 0 2 2 h o m 实验推广：通过b e l l 型多端口分光器的n 个粒子的散射l l 2 3 三端口分光器的h o n g o u m a n d e l 干涉 1 4 第三章通过分光器的光子几率分布1 8 3 1 分光器的变换矩阵及同角动量理论的联系1 8 3 2 光子的几率分布2 0 第四章通过b e l l 型多端口分光器形成的量子态纠缠2 4 4 i 通过b e l l 型多端口分光器的考虑内部自由度的光子散射2 4 4 2 四光子纠缠态的产生2 5 4 3n 个光子w 纠缠态的产生2 7 参考文献3 0 致谢3 2 个人简历3 3 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 e x p e r i m e n t a lp r o g r e s si nq u a n t u mo p t i c sm a d e i tp o s s i b l et op r e p a r eq u a n t u m s t a t e sw h e r en o n c l a s s i c a lp r o p e r t i e sp l a yad e c i s i v er o l e p a i rp h o t o ns t a t e sc a n b eu t i - l i z e dt oe s t a b l i s hq u a n t u mc o r r e l a t i o n so v e rl a r g ed i s t a n c e 【1 t h e s ec a nt h e nb eu s e d f o re p r t y p ee x p e r i m e n t s ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o no rc o m p u t a t i o n ac e n t r a lr o l ei n p h o t o nc o r r e l a t i o ne x p e r i m e n t si sp l a y e db yt h el i n e a rm u l t i p o r t t h es i m p l e s to n e i s t h eb e a ms p l i t t e rw h i c hh a sb e e na n a l y z e di ng r e a td e t a i l si nr e f 2 r e c e n t l yc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tw a sp a i dt ot h ea n a l y s i so fa2 np o r tw h e r eni n p u t sa r et r a n s f e r e di n t o n o u t p o r t s t h i sc a n b es h o w nt ob ee q u i v a l e n tw i t hat r a n s f e rm a t r i xb e l o n g i n gt ot h e t r a n s f o r m a t i o ng r o u pu ( 礼) a na l g o r i t h m i cp r o o ft h a ta n yd i s c r e t ef i n i t e - d i m e n s i o n a l u n i t a r yo p e r a t o rc a nb ec o n s t r u c t e di nt h el a b o r a t o r yu s i n go p t i c a ld e v i c e sl sg w e nl u r e f f 3 b ym i c h a e lr e c ke t c a m o n ga l lt h ev ( n ) m a t r i c e st h ef u l l ys y m m e t r i cc a s e i so fd a r t i c u l a ri n t e r e s t as y m m e t r i cm u l t i p o r ti sad e v i c ew h i c hi sa b l et od i s t r i b u t e a n yi n c o m i n gp h o t o nw i t he q u a lp r o b a b i l i t yi n t oo u t p o r t sa n d i sc a l l e dt h eb e l lm u l 。 t i p o r tb e a ms p l i t t e ra l s o i ti s o fi n t e r e s tt oa s kw h i c ht y p e so fm o d ei n t e r a c t i o n sa r e n e c e s s a r yt oo b t a i nad e s i r e do p t i c a lt r a n s f e rm a t r i x t h eh a m i l t o n i a ng o v e r n i n g t h e t i m ee v o l u t i o ni nat o t a l l ys y m m e t r i cn d i m e n s i o n a lt r a n s f e rm a t r i xw h i c hd e s c r i b e s t h eo p e r a t i o no fb e l lm u l t i p o r tb e a ms p l i t t e rd e v i c ei sd i s c u s s e di nr e f l 4 5 1 1 分立幺正变换操作的实验实现和设计 i nr e f 3 ，m i c h a e lr e c kd e s i g n e da na p p r o a c ho fa ne x p e r i m e n t a ls e t u pf o ra n y g i v e nu n i t a r yo p e r a t o nt h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o nt r a n s f o r m st h en i n p u ts t a t e si n t o t h en o u t p u ts t a t e su s i n g a na r r a n g e m e n to fb e a ms p l i t t e r s ，p h a s es h i f t e r sa n dm i r r o r s i td o e sn o tm a t t e rw h a tk i n do ff i e l ds u c ha no p t i c a lm u l t i p o r ti sa c t i n go n h e r ec h o o s _ i n gp h o t o n sf o rc o n v e n i e n c eo fd i s c u s s i o n i tw o u l d b ep o s s i b l et or e a l i z em u l t i p o r t s f b re l e c t r o n s ，n e u t r o n s ，a t o m so ra n yo t h e rt y p eo fr a d i a t i o n f o ra t o m i cb e a m ，t h e e q u i v a l e n to fb e a ms p l i t t e r sc o u l db ea r r a n g e dl a s e rf i e l d s t h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no ft h em o s tg e n e r a le l e m e n to fu ( 2 ) i sw e l lk n o w n 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 图1 1am a c h - z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e r 【6 】t h em a t r i xo fal o s s l e s sb e a ms p l i t t e rw i t hap h a s es h i f t e ra to n eo u t p u tp o r tw i l lb e u s e d i tt r a n s f o r m st h ei n p u ts t a t ew i t hm o d e s ( k l 也) i n t ot h eo u t p u ts t a t ew i t h ( q ) ， ( 妒( e 等! 黜) ( 急) ( 1 1 ) t h ep a r a m e t e rud e s c r i b e st h er e f l e c t i v i t y ( 瓶= s i n w ) a n dt r a n s m i t t a n c e ( 行= c o s c 2 ) o ft h eb e a ms p l i t t e r t h ep a r a m e t e r 多c a nb er e a l i z e da sa ne x t e r n a lp h a s es h i f t e r a f t e rt h eb e a ms p l i t t e r p h a s ea tt h ei n p u tp o r t sc a nb ec h o s e ns ot h a tt h eb e a m s p l i t t e r m a t r i xp e r f o r m sa n yt r a n s f o r m a t i o ni nv ( 2 ) ab e a ms p l i t t e rw i t hv a r i a b l er e f l e c t i v i t yc a n b es u b s t i t u t e db yam a c h - z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e ru s i n gs y m m e t r i c5 0 ：5 0b e a m s p l i t t e r am a c h z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e rs e ef i g 1 1 t h ep r o d u c to fm a t r i c e si se q u i v a l e n tt os e t t i n gu pe x p e r i m e n t a ld e v i c e si ns e - q u e n c e f i n d i n ga no p t i c a le x p e r i m e n tb e l o n g i n gt oa l la r b i t r a r yu n i t a r yi st h e r e f o r e c o m p l e t e l ye q u i v a l e n tt of a c t o r i z i n gt h eu n i t a r ym a t r i xi n t oap r o d u c to fb l o c km r - t r i c e sc o n t a i n i n go n l yb e a ms p l i t t e rm a t r i c e sw i t ha p p r o p r i a t ep h a s es h i f t sa sd e f i n e d i n ( 1 1 ) d e f in eam a t r i x w h i c hi sa nn d i m e n s i o n a li d e n t i t ym a t r i xw i t ht h ee l e m e n t si p p ，l p q ，l q p 。l q qr e p l a c e db yt h ec o r r e s p o n d i n gb e a ms p l i t t e rm a t r i xe l e m e n t s 2 第章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 t h i sm a t r i xp e r f o r m sau n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no na2 - d i m e n s i o n a ls u b s p a c eo ft h en d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c el e a v i n ga n ( n 一2 ) 一d i m e n s i o n a ls u b s p a c eu n c h a n g e d t h e u n i t a r ym a t r i xu ( 几) i sm u l t i p l i e df r o mt h ef i g h tw i t has u c c e s s i o no fu n i t a r ym a t r i c e s 功口( u | 口，妒g ) f o rq = n 一1 ，1 t h ee x p e r i m e n ti sb u i l tu pb ys u c c e s s i v e l y a t t a c h i n gt h ec o r r e s p o n d i n gb e a ms p l i t t e rd e v i c e st op o r t sn a n d q o n c ea l le l e m e n t s o ft h el a s tr o we x c e p tt h eo n eo nt h ed i a g o n a la r ez e r o ，t h i sr o ww i l ln o tb ea f f e c t e db y l a t e rt r a n s f o r m a t i o n s s i n c ea l lt r a n s f o r m a t i o n sa r eu n i t a r y , t h el a s tc o l u m nw i l lt h e n a l s oc o n t a i no n l yz e r o se x c e p to nt h ed i a g o n a l ： u ( ) 而肛，功，- z 霸，= ( 叭乞_ 1 品) ( ，2 ) t h ee f f e c t i v ed i m e n s i o no ft h em a t r i xui st h u sr e d u c e dt on 一1 t h es e q u e n c eo fb e a m s p l i t t e rt r a n s f o r m a t i o nc a nb ea p p l i e dt or e c u r s i v e l yt ot h e m a t r i xw i t hr e d u c e dd i m e n s i o n s a f t e rt h ef i n a lb e a ms p l i c e rt r a n s f o r m a t i o n ，o n eo b t a i n sad i a g o n a lm a t r i xw i t he l e m e n t so fm o d u l u s1 b ya t t a c h i n ga p p r o p r i a t ep h a s e s h i f t e r s ，i e ，m u l t i p l y i n gw i t had i a g o n a lm a t r i xd w i t he l e m e n t so fm o d u l u s1 , w ec a n m a k et h er e s u l t i n gm a t r i xe q u a lt ot h ei d e n t i t y u ( n ) t n ，n 一1 t n ，n 一2 t 2 ，1 d = ，( ) ( 1 3 ) t h e e x p e r i m e n t a ls e t u pb u i l to fb e a ms p l i t t e r sa n dp h a s e ss h i f t e r si se q u i v a l e n tt ot h e i n v e r s eo ft h eo r i g i n a ln nu n i t a r ym a t r i x t h ee x p e r i m e n to p e r a t e di nr e v e r s e ，i e ， t a k i n gt h eo u t p o r t sa si n p o r t sa n dr e v e r s i n gt i m e ，c o r r e s p o n d st ot h et r a n s p o s e dc o m p l e x c o n j u g a t eo ft h ei n v e r s em a t r i xa n di st h e r e f o r ee q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lu n i t a r ym a t r i x ： u ( n ) = ( t n ，n 一1 t n , 一2 正1 d ) - 1( 1 4 ) a sa ne x a m p l e ，w es h o wt h ee x p e r i m e n t a ls e t u pf o rag e n e r a l3 3u n i t a r ym a t r i x ： v ( 3 ) 死，2 t 3 ，1 t 2 ，1 d = ，( 1 5 ) a na r r a yo fb e a ms p l i t t e r sw h i c hi ss h o w ni nf i g 1 2 i m p l e m e n t st h eo p e r a t i o no f 乃，2 t 3 ，1 死1 d 3 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 图1 2 i nt h i se x p e r i m e n t a ls e t u p tr e p r e s e n t st h em a c h z e h n d e r i n t e r f e r o m e t e r , qr e p r e s e n t st h e p h a s es h i f t e r i fw en o wt a k et h eo u t p u tp a r t s3 ，2 7 1 i nt h ef i g 1 3a st h ei n p u t p o r t s t h ee x p e r - i m e n t a ls e t u pi m p l e m e n t su ( 3 ) w h i c hi st h eo p e r a t i o nw e w a n t e d s e ef i g 1 3 u ( 3 ) = ( 乃2 死1 疋，1 j d ) 一= d 雹l 强1 礓2 ( 1 6 ) 1 2 b e l l 型多端口分光器的介绍 w ec o n s i d e rq u a n t u m s y s t e m sr e p r e s e n t e db y 以n ) = 对l o ) ( 1 7 ) t h e s ec a nb eu t i l i z e da si n f o r m a t i o nc a r r y i n gs t a t e s w h e nt h es t a t ei 饥t 1 ) i st r a n s f e r r e d t h r o u g hal i n e a ro p t i c a ld e v i c e ，t h eo u t g o i n gs t a t ei so b t a i n e db yt h ea p p l i c a t i o no fa u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o nu t h eo u t g o i n gs t a t ec a nb ew r i t t e na s i t ) = 玑pi o ) ( 1 8 ) 4 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 图1 3t h i ss e t u pi m p l e m e n t st h ee q u a t i o no fu ( 3 1 w h e r e 对，廿b o t h a r ec r e a t i o no p e r a t o r s s ow eh a v e t h ec o n s e r v a t i o no fp r o b a b i l i t yr e q u i r e st h a t ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) t h u st h em a t r i xum u s tb ea l ln d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o no ft h eg r o u pu ( 几) w h i c h i m p l i e st h a ti tm u s ts a t i s f yt h er e l a t i o n = ( 1 1 1 ) j = l t h e r ea l s oe x i s tt w ot y p e so ft r a n s f o r m a t i o n st h a tl e a v et h ep h y s i c a ls i t u a t i o nu n c h a n g e d 1 e a c hi n p u ta n d 。e a c ho u t p u tc o n t a i n sa l la r b i t r a r yp h a s ex i _ 以e 墨a n d 玑_ 玑e 姒t h i so n l yr e f l e c t st h ep h a s eo ft h ei n c o m i n ga n do u t g o i n gm o d e sw h e r et h e 5 巧 触 = 玑 玩 ：i i | 玑 汹 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 p h o t o n sr e s i d e t h u st h et r a n s f o r m e du n i t a r ym a t r i x = e z v i ( y , 一玛) 】 d e s c r i b e st h es a m ep h y s i c a ls i t u a t i o na st h eo r i g i n a l 2 t h en u m b e r i n go ft h en i n p u t sa n dt h eno u t p u mi sa r b i t r a r y , w ec a np e r f o r ma n a r b i t r a r yp e r m u t a t i o no fe a c hr e s p e c t i v e l y t h i sg i v e st h ep h y s i c a l l ye q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o nu = 己u 弓1 z e i l i n g e ra n dh i sc o l l a b o r a t o r s 【7 】h a v ei n t r o d u c e dar e s t r i c t e dc l a s so fu n i t a r y o p e r a t o r sw h i c h f o r mt h en d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o no ft h es y m m e t r i cb e a ms p l i t t e r t h e yr e q u i r et h a tap h o t o ne n t e r i n ga n yi n p o r ta p p e a r sw i t he q u a lp r o b a b i l i t ya ta n y o u t p o r t t h i sr e q u i r e st h a tt h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o nu h a sa l li t se l e m e n t so fe q u a l m a g n i t u d e t h u sw em u s th a v e i 口i 1 ：- - a 2 而 ( 1 1 2 ) w h e r et h ep h a s e s 0a r ec h o s e ns u c ht h a tt h em a t r i xi su n i t a r y o n ew a yt os a t i s f yt h e z e i l i n g e rc o n d i t i o n ( 1 12 ) i st oc h o o s et h em a t r i x ，( i - 1 ) o - z ) w ， 娟 w h e r ew nd e n o m st h en t hr o o to fu n i t y 一暑e 2 i ”n ( j = 1 ，n ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i xui sa l s ok n o w na st h ed i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r mm a t r i xa n d h a sb e e nw i d e l yc o n s i d e r e d o fc o u r s e ，t h i sc h o i c eo f t os a t i s f yt h ez e i l i n g e rc o n d i t i o ni sn o tu n i q u e t h e r e s u l ti sw eh a v en o to n l yo n ew a yt oa r r a n g ed e v i c e st or e a l i z eab e l lm u l t i p o r tb e a m s p l i t t e r 1 3 b e l l 型多端口分光器的哈密顿理论 t h el i n e a rn e t w o r k sc a l lb er e a l i z e db yt h eu s eo fo p t i c a le l e m e n t s ( b e a ms p l i t - t e r s ，m i r r o r s ，p h a s es h i f t e r s ) i no t h e rc a s e s ，o n em yn e e dt oi n c l u d ea c t i v ee l e m e n t s 。 a m p l i f i e r s ，o rp a r a m e m cm i x e r s t h e s ea r ed e s c r i b e db yh a m i l t o n i a n sc h a r a c t e r i z i n g t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h em o d e so fl i g h te n t e r i n gt h e s ee l e m e n t s i nr e f 5 ，p a i v i 6 第一章b e l l 型多端口分光器及其哈密顿理论 t o r m a ，s t i gs t e n h o l me t c c h o o s et ot r e a tl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so ft h eb e l lm u l t i p o r t b e a ms p l i t t e ra si n t e r e s t i n gi l l u s t r a t i o nt oc o n s t r u c tt h ei n t e r a c t i o n s i fw ec h o o s et h em a t r i x ( 1 13 ) a st h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no ft h eb e l lm u l t i p o r t b e a ms p l i t t e r ，w ew i l lf i n d u 4 = 1 c o n s e q u e n t l y , t h et r a n s f o r m a t i o nu n i t a r yh a so n l yt h ep o s s i b l ee i g e n v a l u e s u k = e x p ( i r k 2 ) ( 1 1 5 ) ( k = 0 ，1 ，2 ，3 )( 1 1 6 ) f o rl a r g ent h i si m p l i e sa h i g hd e g r e eo fd e g e n e r a c yw h i c h