（课程与教学论专业论文）中、美两国高中学段数学课程标准的比较研究.pdf

摘要 本文通过对中国与美国两国高中数学课程标准的比较研究，针对中国的具体国情， 并且将数学课程、数学教育、数学学习心理这三方面科学的、辩证的、有机的结合在一 起，对中国高中数学课程改革进行了反思并提出了相应的建议，以期为中国当前正在进 彳亍的中学数学课程改革提供借鉴和参考。在研究方法上，主要采用了文献法、比较分析 法和案例分析法。 全文共分四个部分。第一部分，中、美两国高中学段数学课程标准的形成背景。第 二部分，中、美两国高中学段数学课程标准中的能力标准的比较研究，分别以“问题解 决能力”、“推跫论证能力”和“数学交流能力”这三个领域为切入点，对两国标准 的异同点、优势与劣势进行了横向上的比较研究，在此基础上，针对中国的数学课程改 革，结合不同的内容标准分别提出了相应的建议，同时给出了具体的解决措施。第三部 分，中、美两国高中学段数学课程标准中的内容标准的比较研究，分别以“统计与概率”、 “向量”这两个领域为切入点，对两国标准的异同点、优势与劣势进行了横向上的比 较研究，在此基础上，针对中国的数学课程改革，结合不同的内容标准分别提出了相应 的建议，同时给出了具体的解决措施。第四部分，文章以建设有中国特色的基础教育数 学课程体系为根本出发点，对中国的数学课程改革的进行了反思，并提出了几点建议。 本文的成果主要集中于两个方面：具体操作层面；理论探索方面。在操作层面，其 中关于“问题解决能力”提出“注意衔接精心挖掘、选择好的问题”“建立能培养学 生愿意与自信地解决问题的的课堂气氛”。关于“推跫论证能力”提出“把推理论证能 力的培养有机地融合在数学教学的过程中”“坚持合情推理与演绎推理并重的原则把 推理证明能力的培养落实到内容领域之中”“要有层次、有差异地培养学生的推理论证 能力”。关于“交流能力”提出“组织学生配对学习或以小组的形式进行数学活动”“数 学教师之间更有必要相互交流“建立一种和谐的气氛“培养学生快速阅读科技类文章” “交流作为评价和学习的工具”。关于“统计与概率”部分提出“数学分支的整合”“加 强教爆统计与概率知识与软件培训加强统计与技术的整合”。关于“向量”部分提出 “提高向量变换的地位“注意发挥学生的主体性用解法结构框图引导学生掌握向量 方法”“合理使用信息技术来形象表示空间向量和图形”。在理论探索层面，提出了以下 几点建议：中国标准的修改意见；加强数学教师的培训；教师要创造性地发展数学 课程；高度重视家长在数学课程改革中的重要作用。 关键词：数学课程改革：能力标准；内容标准；数学教师；整合；发展课程；家长 教学资源 a b s t r a c t b ym a k i n gac o m p a r a t i v es t u d yo f m a t h e m a f i c sc u r r i c u l u n ls t a n d a r d so fs e n i o rm i d d l e s c h o o lb e t w e e nc h i n e s ea n da m e r i c a n ，t h et h e s i sr e t h i n k ss o m ep r o b l e m sa n dp u tf o r w a r d s o m es u g g e s t i o n s ，s oa st oo f f e rs o m er e f e r e n c e sf o ro u rc o u n t r y ss e n i o rm i d d l es c h o o l m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m i nr e s e a r c hm e t h o d ，t h ep a p e ru s e s l i t e r a t u r e ，c o m p a r i s o na n d c a s e n l et h e s i si n c l u d e sf o u rp a r t s f i r s t l y , t h et h e s i s b r i e f l yi n t r o d u c t i o n sb a c k g r o u n d so f m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mo fc h i n aa n da m e r i c a s e c o n d l y , t h et h e s i sh o r i z o n t a l l yc o m p a r e s a n d a n a l y z e s t h e d i f f e r e n c e s ，a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s b e t w e e nt h et w oc o u n t r y s m a t h e m a t i c s a b i l i t y c u r r i c u l u mf r o mt h r e e f i e l d s ，n a m e l y , “p r o b l e m 。s o l v i n g ”， “r e a s o n i n ga n dp r o o f a n d “c o m m u n i c a t i o n t h i r d l y , t h et h e s i sh o r i z o n t a l l yc o m p a r e sa n d a n a l y z e s t h e d i f f e r e n c e s ，a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s b e t w e e nt h et w o c o u n t r y s m a t h e m a t i c sa b i l i t yc u r r i c u l u mf r o mt h r e ef i e l d s ，n a m e l y , “d a t aa n a l y s i sa n dp r o b a b i l i t y a n d “v e c t o r s ”t a k i n gt h ec o n t e n ts t a n d a r d so fs e n i o rs e c o n d a r ys c h o o lo ft w oc o u n t r y s m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u ms t a n d a r d sf o re x a m p l e ，a n dt h e np u tf o r w a r ds o m es u g g e s t i o n sa n d m e a s u r e sf o ro u rc o u n t r y sm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m a tl a s t ，b a s e do n c o n s a u c f i n gt h e m a t h e m a t i c sc u r r i c u l 啪s y s t e mo fo u rc o u n t r y sb a s i ce d u c a t i o nw i t hc h i n e s ec h a r a c t e r i s t i c t h ep a p e rr e t h i n k ss o m ep r o b l e m sa n dp u tf o r w a r ds o m es u g g e s t i o n sf o ro u r c o u n t r y s m a t h e m a t l c sc u r r i c u l u mr e f o r m 1 1 1 et h e s i s f i u i t sa r ec e n t e r e dt ot w o a s p e c t s ，n a m e l y ，p r a c t i c a ll e v e la n d t h e o r e t i c a ll e v e l i np r a c t i c a ll e v e l ，t h ep a p e r p u t sf w a r d s o m e p r o p o s e s ，s u c ha s “e n g a g ew i t hj u n i o rm i d d l e s c h o o l ”，“c h o o s eg o o dp r o b l e m ”：“i n t e g r a t i n gm a t h e m a t i c sb r a n c h e s ”， t r a i n i n gt e a c h e r s t e a c h i n gc o n c e p ta n dt e c h n o l o g y ”，a n ds oo n i nt h e o r e t i c a ll e v e l ，t h ep a p e rp u t sf o r w a r d “m o d i 句i n gc u r r i c u l u m ”，“s t r e n g t h e n t e a c h e r s c u l t i v a t i o n ”，d e v e l o p i n g m a t h e m m i c s c u r r i c u l u m ”， t h i n k i n gh i g h l yo f p a r e n t s f u n c t i o n si nm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m ” k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m ；a b i l i t ys t a n d a r d s ；c o n t e n ts t a n d a r d s m a t h e m a t i c s t e a c h e r ；i n t e g r a t i o n ；d e v e l o pc u r r i c u l u m ；t h ep a r e n t s ；t e a c h i n gr e s o u r c e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：矗咝日期：i 进。吐! 塑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：奇魁，指导教师签名：乃杰童聋 日 期：迦。匹：盘日 期：鲁、：名纱 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：建! l 蕉姬! 盘垡 通讯地址：鲒经痘! 蟑托盘鎏 电话：鲣q o i ! 宕 邮编：f 嘲q 引言 如果说学制是一个国家教育结构的形式的话，那么课程就是构成这个教育结构的 内容和实体。课程是一个培养人的过程和模式，是一个具有系统性和长期性的工程。 所以一个国家的课程结构体系状况对教育的发展水平起着决定性的作用。为了适应新 世纪人才培养的需要，世界各国纷纷出台相关的教育政策来推动本国的课程改革，通 过课程改革来调整课程结构体系，以适应社会的发展变化。由于数学的基础性和应用 的广泛性等特点，基础教育数学课程改革在每个国家课程体系的改革中就显得尤为重 要和关键。 美国由于其在政治、经济和军事等领域的优势地位，它的数学课程改革也一直为 世界各国所关注。在2 0 0 0 年春季，美国面向新世纪的数学课程标准学校数学的原则 和标准出版，它具体地体现了美国当前数学课程改革的发展状况。中国为了适应时 代的发展，2 0 0 3 年4 月新的课程标准普通高中数学课程标准( 实验) 应运而生，这 正是中国面对新时代挑战的有力回答。 我们中华文明从它诞生的那一天起，就开始了跟它邻居的交往。中华民族不但自 己创造了灿烂的文化和丰富的生活，而且上与向其他民族学习以丰富和完善自己。“他 山之石，可以攻玉”这句话凝聚了我们祖先的智慧，“海纳百川，有容乃大”这句话 则是中华文化大度的写照。因此，对比中、美两国的数学课程标准无疑会对中国的数 学课程改革有所帮助和借鉴，同时也有助于中国数学课程理论的丰富和完善，笔者鉴 于这样的目的对两国的数学课程标准进行了比较研究。 一、中、美两国高中学段数学课程标准的形成背景 ( 一) 中国高中学段数学课程标准的形成背景 我国高中数学课程从1 9 4 9 年到现在大体上经历了五次重大历史变化：5 0 年代，从 学习欧美到照搬苏联；6 0 年代，从照搬苏联到颁布自己的教学大纲；”文革”期间，数 学教育的正常教学秩序受到破坏；8 0 年代，又回到1 9 6 3 年的轨道上来；9 0 年代，从 应试教育到素质教育“1 。从总体上看，建国5 0 多年来，我国高中数学课程的发展与改 革基本上适应了社会主义现代化建设的需要，但是，随着时代的发展，社会环境又出 现了一些新的变化。 1 现代社会发展对公民数学素养的要求有很大改变 随着信息时代的到来，在每天的报纸和公众的政策讨论中都广泛使用各种统计图 表、统计数据、数学符号，它们向各行各业普通老百姓传递着大量的信息。为了更好 地参加社会生活，不能不要求普通公民具有更高标准的数学意识。市场经济需要人们 掌握更多有用的数学，象成本、利润、投入、产出、贷款、收益、股份、市场预测、 风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债卷，几乎每 天都会碰到。相应地，与这些经济活动相关的数学，例如，比和比例、利息和利率、 运筹与优化以及系统分析与决策等，就应当成为必要的数学了。 2 数学及其应用有很大变化 最近二、三十年数学的性质及其应用的领域与途径发生了巨大变化，数学本身在 过去三十年里经历了一场脱胎换骨的变革，其创新性和激动人心的程度丝毫不亚于生 物学和计算机革命。一些数学新发现不论对于理论还是应用都有重大影响，改变了数 学原来的面貌。比如：数论计算的数学特点把数论重新推到了数学舞台的中央，对于 经典问题的新处理在计算理论、数理逻辑以及对数据传输的保密性研究领域中都取得 了出人意料的成果；统计科学随着从经济、遥测、实验室等不同渠道的大量数据涌入 科学，统计方法就成了外部世界的信息运用数学方法加以分析的主要工具；最优化以 线性规划单纯形算法为开端，直至最近的卡玛卡( k a r m a r k a r ) 方法，数学最优化的难 题( 寻找最优解) 和富有成效的应用( 提高效益、降低消耗) 都使它成为数学的前沿 方向之一；直观化在对感觉过程、计算机图象学和几何学的研究中得出一些共同思想 正在产生新的认知理论，它引起了诸如微分几何、组合算法、数据结构以及工程学等 各专业的注意；决策理论来源于分析的连续模型给自然科学提供了合适的模型。与此 相对，搏奕论、社会选择函数和专家系统中的离散模型为人文科学提供了更加适当的 工具，这些学科并不依赖于连续的变化，而是靠决策、投票和选择。 与数学新领域发展的同时，数学的新的应用也有很大的扩展。比如在生物科学领 域，微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生链，纽结理论被用于模拟d n a 。与此 2 同时，在神经心理学中要使用图论，蛋白质工程要使用数学模型，临床实验要用统计 方法，而概率论则被用于流行病学，数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之 一，它充分显示了数学的威力和多方面的实用性。 类似地，数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学， 还有心理学和认知科学，在这些新领域里，数学提供了理解。数学甚至在进入艺术领 域，例如，计算机工具已被画家、电影制片人和音乐家采用。可见，数学已经变形为 一个丰富的数学科学的集合体。同时通过不断增长的应用网络与科学和商业世界保持 联系，所以数学是- - i 朝气蓬勃、富有生命力的学科，它能帮助学生用自己的智慧和 精力去迎接当代的那些令人振奋的挑战。 3 新技术的作用有很大的变化 计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学重要，而 且影响到如何“做数学”。现在在袖珍计算器上能够做几乎从幼儿园到两年制大学教 的数学技术，仅仅这一事实就必定会大大影响数学课程。 首先，计算机的发展导致对数学和数学活动包括什么的看法有所改变。比如更加 突出了数学中的实验方面，把发现和探索看作数学教学过程的重要组成部分，因为探 索和发现可以使学生更好地保持和理解数学知识，更加自信；有助于教学生思维；可 以提供对数学的最大美感；是使学生看到数学如此有用的最好途径；可以使学生把握 数学的威力。计算机这个现代化手段可以用各种方法来辅助数学探索与发现。比如， 用计算机的图象使各种二维和三维对象形象化，可以帮助学生自己去探索问题、发现 结果等。其次，计算机改变了师生之间的关系。计算机能够影响学生的行为，而且提 出了学生、知识、计算机和教师之间的相互作用和相互关系问题，在这神情况下教师 的作用就要认真考虑了：要更强调学生的主动性，如果学生能够主动地学习数学，那 么他们能学得更好，而且能发展自主的行为模式，增强数学思维能力。再次，计算器 和计算机还影响到数学应当如何教。它们把困难的变得容易，使不可行变得可行，使 一些现实问题、大量数据处理问题可能成为教学内容。 4 我国高中数学教学的现状 我国的高中数学教学具有重视基础知识和基本技能的优点，这使我国的高中学生 普遍具有较扎实的基本功。同时，我国高中数学教学仍然存在着比较严重的问题：首 先，具有一定弹性的课程结构并未真正落实。1 9 9 0 年以来，虽然要求各校实行必修课、 选修课、活动课组成的三个板块的课程结构，但是由于考试指挥棒的影响等原因，很 多学校的选修课实际上变成了以应考为目标的必修课的延伸，数学课外活动也难以开 展，因此通过选修课和活动课来促使学生学的更加生动活泼、发展其个性特长的想法 并未实现。其次，“高考”严重歪曲了学校教学工作。考什么学什么，不考的则不学。 学习难度提高，学习进度加快，复习时间拉长，学生的思维被禁锢在一个狭小的“应 考”圈子里，兴趣特长受到压抑。1 再次，学习不是一种被动地吸取知识，并通过反复 练习、强化储存知识的过程，而是学生用原来的知识处理各项新任务，同化新知识， 并构建他们自己的意义。再者，一些思想、概念在记忆里不是孤立的，而是有组织的 3 并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、创造性的 观点必须在教数学中反映出来。 在上面讲的这样一个大的背景下，为了适应变化了的社会环境和青少年的个性发 展，在2 0 0 3 年4 月，中国出版了普通高中数学课程标准( 实验) ( 以下简称中国 标准) ，从课程目标、课程内容、教师教学、学生学习、评价、教材编写等方面都进 行改革，期望在义务教育阶段之后，为我国公民的未来需要提供更高水平的数学基础。 ( 二) 美国高中学段数学课程标准的形成背景 美国是由英国的殖民地演变而来，因此其早期的数学教育及其课程模式深受英国 的影响：重视数学的学术性，而忽视数学的实用价值。到了1 9 世纪，当时学校培养的 人才满足不了美国经济的发展，引发了美国教育史上的第一次改革运动公立中学 运动。这场改革运动为美国形成国民基础学校教育体系奠定了基础。到了2 0 世纪，美 国的工业产值已跃居为世界第一位，中学教育开始普及，就学率越来越高，特别是科 学技术在生产领域越来越得到广泛的应用，以往传统数学课程脱离实际、形式主义、 空洞无味的内容已经不能适应社会发展对人才的需要，于是引起了一系列以进步教育 为主旨的中学课程改革。美国教育经历了以下几次重大的变革，这些变革的核心都是 课程改革。p 1 1 “新数”运动 、 1 9 5 7 年1 1 月，原苏联发射第一颗人造卫星是必起数学教育现代化运动( “新数” 运动) 的起因。这个事实使美国人认识到，在空间技术上落后于苏联的主要原因是教 育落后，特别是数学教育落后。这次课程改革是以布鲁纳为代表的”学科结构“理论为依 据的，新课程偏重于学科知识结构。 “新数”运动经历十几年的实践渐渐暴露出改革的缺点和问题，最终没有实现改革的 初衷。尽管如此，“新数”运动仍然产生了一系列有益的新成果，有力地推动了美国的 数学课程改革。2 0 世纪6 0 年代末期，人们发现“新数”运动并没有带来人们所期望的 结果，反而带来许多薪的、更复杂的、更困难的问题。同时，中小学的教学质量大大 下降，中小学数学教育出现了一片混乱。 2 ”回到基础” “新数”遭到了猛烈批评，许多人提出了“回到基础”的口号，反对“新数”运 动。到7 0 年代初，社会上“回到基础”的呼声高涨，批评“新数”过分强调理论知识 在教学中的地位，脱离教学实践和生产、生活实践，忽视基础训练。认为“新数”只 是代表数学家、逻辑学家的兴趣，并不符合一般中学生和教师的实际情况，它所注意 的是数学纯理论的抽象的东西，而忽略了数学的实际应用和基本训练。在非难声中， 1 9 7 3 年s m s g 宣告解散，所编的一套课本也停止使用，这实际上标志着“回到基础” 运动的正式开始，数学课程开始强调读、写、算等基础训练，但是课程内容并非完全 恢复为5 0 年代以前的情况，所使用的教材中，还是保留了“新数学”的一些更新内容， 4 例如：集合、变换、向量、矩阵、统计、概率、微积分等等，只是比过去讲得要简单 一些，并且教材内容不再以结构思想来统一。 到了7 0 年代末人们对“回到基础”又有了不同看法，认为“回到基础”不应只是回到 读、写、算，甚至有人提出：“回到基础不过是一场骗局”，指出：数学基本的重要 性在于给我们一种理解和描述世界的方法，“回到基础”用机械地学习“消费者数学” 和没头脑的抄录来代替理解，这简直是教育上的犯罪。“回到基础”仍然导致数学教育 质量下降。这预示着一场新变革的到来。1 4 3 “问题解决” 8 0 年代，美国数学课程改革方向转向“问题解决”( p r o b l e ms o l v i n g ) 。以“问题 解决”为主题的数学课程改革，目的在于克服“回到基础”课程的不足和在改革方向 上的误差，在于把解决问题看作是一个探索的过程，而不是一个操练的过程，从而改 革数学课堂教学。1 9 8 0 年4 月，美国数学教师协会( n c t m ) 公布了纲领性的文件一 一行动的议程。这份文件提出了美国在2 0 世纪8 0 年代进行数学教育改革的八条建 议，其中第一条就是：“问题解决应该是8 0 年代学校数学的中心”，同时给出了具体的 建议。从此，美国出现了一些以问题解决为中心的课程。这些课程的基本理念是，学 数学是一个重要的、发现的过程。这种课程编制强调问题解决是数学课程的中心，认 为教科书必须抛弃覆盖大量知识的通常实践，并出现了一些以问题来组织的数学教材， 如初等问题解决课程、高级问题解决分级课程等。8 0 年代的以“问题解决”为中心的 数学课程改革由于忽视学生对数学基础知识和基本技能的掌握，导致学生难以形成完 整的真正有利于问题解决的数学认知结构，教学质量并没有出现显著的提高，最终这 次改革没有取得理想的效果。 5 1 4 1 9 8 9 年出版中小学数学课程和评价标准 为了适应美国社会发展的需要，扭转中小学数学教育质量低下的局面，仝美数学 教师协会1 9 8 9 年拟订了中小学数学课程和评价标准这一纲领性文件。长期以来， 美国中小学的教育计划、课程等都是由各州分别制订的，这是美国有史以来第一次制 订统一的标准和要求。8 9 年中小学数学课程和评价标准分析了现代信息社会对教 育的各种需求，指出了作为工业社会产物的现今教育的弊端，由此得出结论：教育改 革势在必行；并且针对各个学段提出了教学上的改革要求，分别制订了课程标准。 美国学校在执行n c t m 标准的过程中，数学教学有了很大进步。然而，数学课程 改革的过程并不是一帆风顺的，出现了不平衡局面。首先，由于目前科学技术正在发 挥愈来愈大的作用。例如，数学教学在计算机技术的影响下也起了巨大的变化：图形 计算器在数学课堂上的应用，使抽象的代数变得鲜明形象化；计算器及计算机软件在 几何课上的应用，使得几何课不再集中于证明、论证，这些发生在数学课上的数学探 索和经验活动，是十年前n c t m 在制订标准时所预料不足的。 其次，和其他国家相比美国的学生数学学习并没有达到理想的水平，仍有部分学 生未掌握一些基本的数学技能，甚至许多学生到了高中在解分数有关的题目时仍然感 到有很大困难。经过l o 年的实践，虽然，标准的推行使美国的数学教育取得了一定的 进步，不过美国中小学师生在1 9 9 5 年第三届国际数学与科学研究( t i m s s ) q b 的表现： 美国学生的成绩，4 年级的数学分数高于国际平均水平分数。然而8 年级处予平均水平。 8 年级有4 1 个国家参加，其中2 0 个国家的分数比美国学生高。仍表明美国学生的数学 学习水平与亚洲一些国家，如新加坡和日本，还有很大的差距。这些引起人们对9 0 年 代数学课程改革的反思，于是，美国全国数学教师联合会自1 9 9 6 年又开始着手于对新 课程标准的设计，最终，学校数学的原则与标准( 以下简称美国标准) 于2 0 0 0 年出版，并且在n c t m 网站上刊登了电子版的美国标准。 6 二、中、美两国高中学段数学课程标准中能力标准的比较研究 中国标准在课程目标中提出了八项数学能力( 如表1 ) 。美国标准提出了 五项数学能力( 如表1 ) 。美国标准是依十个部分展开的，前五个部分是关于数学 课程内容的标准，后五部分是数学能力标准( 或称过程性标准) ，从学前一直贯穿到 高中。每个年龄段的相应内容及其要求都有十分详细的规定。美国标准正是围绕 这1 0 条标准对9 1 2 年级( 相当于我国的高中段) 的数学学习应达到的深度、难度和广 度作了描述，并对其侧重点给出了较为具体的说明。 表1 中国标准与美国标准中能力标准的比较 中国能力标准美国能力标准 提高空间想象、抽象概括、推理论证、问题解决能力 运算求解、数据处理等基本能力推理与证明能力 提高数学地提出、分析和解决问题( 包数学交流能力 括简单的实际问题) 的能力，数学表达数学联系能力 和交流的能力，独立获取数学知识的能数学表示能力 力 随着时代的发展和第四次数学高峰( 计算机时代的问题解决即纯数学与应用数学 的新交融) 的到来，中国关于数学能力有了新的认识和理解。由表1 可见，中国标准 赋予能力新的内涵，并拓展了能力培养的空间。打破传统三大能力( 运算能力、空间想象 能力、思维能力) 作为基本能力的局面，其基本能力包括的内容极大丰富，包括空间想象、 抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。而美国标准没有界定哪 些能力是基本能力。在中国标准中有些提法发生了改变，例如改演绎证明为推理论 证。有些提法首次出现，例如，数据处理能力这是因为在以信息技术为基础的社会里，人 们需要对大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断。这就需要我们必须具备基本的 收集数据、加工处理数据，获得结论并做出选择、判断的能力。【7 从整体上看，美国标 准的特色是通过问题解决、推理与证明、数学交流、数学联系、数学表示使学生掌 握数与运算、代数、几何、度量、数据处理与概率，最终形成问题解决能力、推理与 证明能力、数学交流能力、数学联系能力、数学表示能力；并且分别对这十部分的教 学建议、评价建议及教材编写建议都整合到其中。下面笔者以问题解决能力、推理论 证能力、数学交流能力为切入点进行比较研究。 ( 一) 问题解决能力的比较研究 在日常生活与工作中，一个优秀的问题解决者有着很大的优势。所以国际上大力 提倡问题解决。问题解决是指个体在一种新的情境下，根据获得的有关知识对发现的 7 新问题采用新的策略，寻求问题答案的心理活动。而数学的问题解决可以发展学生的 创造性思维，提高学生应用数学的意识，所以已经是当今数学教育改革研究的焦点。 1 比较分析 在问题解决能力领域的处理上，中美两国采取了不同的方式。中国标准在课程 目标中的具体目标3 ( 提高数学地提出、分析和解决问题( 包括简单的实际问题) 的能 力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力) 中提出问题解决能力， 笔者认为这三种能力放在一起提出，目的是期望学生通过问题解决来交流，最终获得 数学知识。并且通过中国标准在内容标准中的数学探究和数学建模来培养学生的 问题解决能力。数学探究和数学建模对于理解数学是什么及如何使用不但是适宜的而 且是必需的。而美国标准是将问题解决自力作为十个标准之一给出，用了8 页的 篇幅来阐述。美国的问题解决能力标准主要由三大部分组成：问题解决能力的总体要 求；9 一1 2 年级的问题解决的具体要求是什么? 教师在培养学生问题解决隧力时应做什 么? 在问题解决能力标准的整体贯穿了两句话：绝大多数的数学概念、规律都能有效 地通过一个问题引入；教学本身就是问题解决的活动。下表是对中美两国对问题解决 能力要求的呈现方式的一个比较： 表2 中、美两国对“问题解决”能力要求的呈现方式 中国美国 提高数学地提出、分析和解决问题( 包从学前到1 2 年级的数学教学应该 括简单的实际问题) 的能力使所有的学生能够： 通过数学探究，培养学生发现、提通过问题解决建立新的数学知识 出、解决数学问题的能力解决数学和其他情境中的问题 通过数学建模让学生体验解决实际运用并改编各种适宜的策略以解决 问题的过程问题 监控和反思数学问题解决的过程 通过上面的比较，我们可以看出，中国标准在强调解决问题能力的同时，还强 调学生提出问题和分析问题，解决的问题包括实际问题。这是针对我国数学教育中的 一个薄弱环节提出的：我们的学生会做题，会做现成的题，但是不会提问题、不善于 提问题【1 】。美国标准中的四条要求是贯穿幼儿园到高中，但是每个学段的侧重点不 同，强调高中与初中问题解决能力的衔接。美国标准强调教师通过问题解决的方式 来学习数与代数、代数、几何、度量、数据处理与概率。也就是说美国的问题解决能 力与美国标准前面课程内容( 数与代数、代数、几何、度量、数据处理与概率) 是整合的。美国标准强调学生能运用适当的策略并能改变策略以解决问题。美国 标准在问题解决能力标准中有丰富的案例，全文共列举了5 个案例，其中两个是教 学全过程。这样就易于教师操作；而中国标准则无寨例。下面我们来看一个美 国标准中的案例： 案例1 ：在8 x 8 棋盘( 如图1 ) 上有几个矩形? ( 矩形包括正方形，只计算边在 格子上的矩形) 一开始做这个题的时候，学生们可能会去数又多少个矩形，但是数过的矩形很难 记住，这就给他们一个讨论的机会：如何找到所有的矩形，并且每个只能数一次。有 些同学可能继续数，而有些同学开始找替代方法 方法1 ： 图1 表示的是的2 x 2 棋盘上有多少个矩形。 由此推出： 1 x l 2 2 3 3 叶 4 4 斗 因此 方法2 ： 图2 1 8 2 8 3 8 + 图1 1 9 3 6 1 0 0 ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) 3 9 因此： 8x8 _ | 卜 o + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 毋o + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 国= o + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 两2 方法3 ： 图3 对于8 x 8 的棋盘，选择矩形的上、下底边有| 二f 种选择，选择矩形的左、右两边 l z 也有( ；) 种选择，所以在8 x e 棋盘中有( ； ( 习个矩形。 如果教师和他的班级有问题解决的习惯的话，他们很快就会想到这样的拓展题： 如果是三维的会怎样? 【引 由此可见，此案例中的问题有多种功能：它给了学生在问题解决中建立他们满意 的知识；学习实践某种探索性的策略：建立思考同一问题的不同方式之间的联系。美 国标准提供的案例极富挑战性，在难度上要求并不是很高，强调的是学生综合能力 的培养。解决这个题目，可以有很多种方法。分析处理信息，雨后归纳总结出结论， 必要时还需要论证自己所得的结果或是向他人陈述自己的成果。这些是常规的数学学 习所无法获得的 9 】o 2 思考与建议 ( 1 ) 注意与初中阶段的问题解决能力培养的衔接 我国全日制义务教育数学课程标准中对问题解决能力的要求是：初步学会从 数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应 用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力 与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 初步形成评价与反 思的意识。笔者认为我国初中阶段问题解决中的问题应该是学生的疑问或学生感兴趣 1 0 的，并且重点培养学生分析问题、思考问题的能力，随着学生年龄的增长，知识的不 断增加，高中的重点应该是：学生应该能使用各种不同的策略来解决问题。 ( 2 ) 教师要精心挖掘、选择好的问题 教师提供的问题不要仅局限在理科方面，要贴近学生的生活，要含有丰富的内容 背景。下面我们来看一个案例： 案例2 ：从研究“城市垃圾加倍的周期”的社会性课题引入指数函数 2 0 0 0 年1 0 月1 8 日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息“市政委员会 今天宣布：本市垃圾的体积达到5 0 0 0 0 立方米”，副标题是“垃圾的体积每三年增加一 倍”，教师在数学课上宣读当日这条新闻，并且利用该新闻引入指数函数的学习 任务：如果把三年作为垃圾体积加倍的周期，要求学生通过填表，导出垃圾的体 积v ( 立方米) 与垃圾体积加倍的周期( 三年) 数r l 的关系公式 表3 城市垃圾的总体积 垃圾棒积加倍的周期孰“垃圾的体积v 立方来) 05 00 0 0 2 0 = 5 0 0 0 0 l5 00 0 0 2 1 = 1 0 00 0 0 上一个周期垃圾的体积x2 = 原有垃圾体积x 矛 图4 研究：( 1 ) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍，则2 4 年后本城市垃圾的体积是多少? ( 2 ) 根据报纸所述的信息，你估计三年前的垃圾是多少? ( 3 ) 如果n _ 2 ，这时的n ，v 表示什么信息? ( 4 ) 写出n 与v 的函数关系式，并画出函数图像。 ( 5 ) 曲线可能与横轴相交么? 为什么? 学生们从具体问题的研究出发，逐步探讨指数函数的意义、它的一般形式 v ：。2 ，、它的图像及其性质在数学学 - j 的同时，学生从垃圾体积的指数增长的严 峻情况联系到生态环境保护问题、废物利用问题等。可见这样的问题注意到了学生公 民意识的培养，并且把它与数学知识的学习有机地结合起来”q 中国标准在强调解决问题能力的同时，还强调学生提出问题和分析问题，解 决的问题包括实际问题，表5 总结了在解决实际问题与教材中的习题的一些主要的相 同之处和不同之处。 表4 在解决现实生活问题与教材文字问题的差别 实际教材中的 特征 问题习题 学生感觉有必要解决这个问题是否 由问题而产生的数学问题是明确的、清楚的否是 倾向于加强阅读理解能力否是 主要变量必须从问题的产生的数学问题中推理出是是 根据数学知识的需要，问题已经为学生分类了否是 学生要选择一下他们学过的数学知识是否 要选择计算程序，进行数据收集是否 有无关的数据与信息是否 学生要设计方案、步骤、算法是是 解决问题需要非常精确的答案否是 学生必须解释结果并做出有价值的判断是否 从表5 可以看出，实际问题与教材中的习题有着很大的差别，解决实际问题对学 生的要求较高，但对学生的能力培养能起到很好的效果，数学教师要多挖掘、选择好 的问题、( 如，案例i 、2 ) ，而不是所谓的“偏题”、“怪题”，使得所有的学生在问题解 决的过程中都能获得发展。 ( 3 ) 教师要努力去建立能培养学生愿意与自信地解决问题的的课堂气氛 笔者认为学生能否在现实生活中成功的解决河题关键在于他们能否具有以下五种 态度技能：寻求解决问题的自信与愿望；对问题解决中的数学概念、关系、规则的理 解；回忆公式与规则的技能；理解数学语言及其结构的惯例；能根据问题情境区分合 适的数学方法解决问题。笔者认为我国教师注意培养学生以上的态度、技能，尤其要 培养学生解决问题的自信与愿望。坚持不懈地寻求问题解决方法关键在于：对潜在成 功的自信：不害怕失败；感激真理。教师要建立一种能培养这种态度的课堂气氛，让 学生在解决问题时可以做出大胆、新奇的建议，自信地推测和探索。 ( 二) 推理论证能力的比较研究 一个人推理论证能力的高低，往往关系到自身的成长与发展。推理论证能力是一 个公民应该具备的基本能力之一。推理论证能力水平的高低是衡量一个人智力发展水 平的重要标志。国外许多心理学家把它作为划分儿童智力发展阶段的主要指标之一。 在数学中，由于学科的特点，在学习活动中推理能力作为不可或缺的一种数学能力， 是其他数学能力的前提和基础，在数学的教与学中扮演着重要的角色。 1 1 1 因而，我国 高中阶段的课程目标之一就是提高学生的推理论证能力。并且提法发生了改变：改演 绎证明为推理论证。显然，中国标准拓展了推理论证的内涵，如演绎、合情推理等都 1 包含其中。特别是合情推理的实质是“发现”，因而，关注合情推理能力更有助于发展 学生的创新意识。 1 比较分析 在推理论证能力领域的处理上，中美两国采取了不同的方式。中国标准在课程 目标中提出推理论证能力，并且在内容标准中选修里有推理证明知识，而美国标准 是将推理论证能力作为十个标准之一给出，用了5 页的篇幅来阐述。美国的推理论证 能力标准主要有三大部分组成：一是推理论证能力的总体要求。二是9 1 2 年级的推 理论证具体是什么样的? 三是教师在发展学生推理论证能力时应做什么? 在能力标准 的整体贯穿了两句话：推理和证明在数学课中不是特殊时刻的特殊活动。证明是思考 问题很自然的方式。下表是对中美两国对“推理论证”能力要求的呈现方式的一个比 较： 表5 中、美两国对“推理论证”能力要求的呈现方式 中国美国 提高推理论证能力从学前到1 2 年级的数学教学应该使所 能合惰推理与演绎推理有的学生能够： 了解直接证明与间接证明的基认识到推理与证明是数学的根本 本方法。提出并探索数学猜想 能用数学归纳法证明一些简单提出并评价数学论据和证明 的数学命题选择并使用各种推力类型和证明方法 数学文化：体会公理化体系 谈到推理证明，往往有这样两大误区：误区一，以往，人们在研究数学教学中发 展学生推理能力时，往往首先想到几何教学。事实上，数学的各个分支都充满了推理 合情推理和演绎推理。应该认识到，几何为学习演绎推理提供了素材，几何教学 是发展学生推理能力的一条途径，但绝不是唯一的素材和途径。数学教学中发展学生 推理能力的载体，广泛存在于代数、几何、统计与概率之中。这有这样，才能拓宽发 展学生推理能力的空间【1 2 1 。误区二，传统的数学课程往往集中于演绎推理能力的培养， 使得一些人将推理能力仅仅等同于演绎推理能力。事实上，数学推理包括合情推理和 演绎推理，人们经常应用合情推理提出假设，再运用演绎推理来证明，二者的结合构 成了完整的推理过程。数学课程设计应能使学生经历从发现结论到证明结论的全过程， 鼓励学生通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并进一步寻求证据，给出证明或 举出反例，即大胆地猜想、小心地求证。【l3 】美国标准在培养学生推力论证能力的 时候，强调学生首先做出和发现数学猜想，并且提倡学生利用技术手段来推理论证。美 国标准注意到高中与初中推理论证能力的衔接。初中学段重点是归纳性推理，并且 学生需要知道归纳性推理的可能性及不足之处。随着学生知识面的拓展，高中学段的 重点是让学生体验到推理证明的范围很广，不仅在欧氏几何中要推理证明，代数、统 1 计、概率推断中都要用到推理证明，让学生体验到演绎推理在证明上的巨大作用。在 高中阶段，学生可接受解释的标准更加严格了。中国标准中提出：“了解合情推理 的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理”。 1 4 1 归纳推理、类比推理是合情推理的 两种重要形式，其实统计推理也是合情推理的重要形式之一。 2 思考与建议 ( 1 ) 把推理论证能力的培养有机地融合在数学教学的过程中 数学教师首先要创建一个适宜讨论、质疑、倾听的气氛。数学教师应向全班同学 宣布：任何想法都是有意义的，不论是谁提出的；任何大胆的猜想都应该讨论，甚至 这些猜想最终的错误的。能力的发展决不等同于知识与技能的获得。能力的形成是 个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了， 而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“慝”只有在数学活动中才 能得以进行，因而数学教师必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历 观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的 “过程”之中。任何试图把能力“传授”给学生，试图把能力培养“毕其功于一役” 的做法，都不可能真正取得好的效果。口5 】 ( 2 ) 坚持合情推理与演绎推理并重的原则 数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化。数学是一门科学，观察、 实验、发现、猜想等实践部分和任何自