（理论物理专业论文）f1偶极旋量bec在外场中的宏观量子隧穿.pdf

摘要 本文基于f = i 的偶极旋量凝聚体的模型，通过分析无外场和有外场 情形下由偶极相互作用参数和自旋交换相互作用参数组成的基态相图， 重点考虑加外磁场时的基态结构，并将此偶极凝聚体模型与熟知的单轴 各项异性铁磁模型对应起来。对应不同的基态相区域，外加纵场时，利 用自旋相干态路径积分方法计算得出基态能和有效磁矩随外磁场发生 振荡；外加横场时，利用有效势方法和周期瞬子方法得到了基态能级劈 裂。对于不同的凝聚体，文中给出了相应物理量的估算 关键词偶极旋量凝聚体；自旋相干态路径积分；有效势方法；周期瞬子 a b s t r a c t w e s t u d yt h em a c r o s c o p i cq u a n t u mt u n n e l i n go ft h eg r o u n ds t a t eo ft h e f = 1 s p i n o r c o n d e n s a t ew i t h d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o nu n d e re x t e r n a l m a g n e t i cf i e l d s i nd i f f e r e n ta r e a s ，u s i n gt h es p i nc o h e r e n ts t a t e sp a t h i n t e g r a lm e t h o d ，w es h o wt h a tt h eg r o u n ds t a t ee n e r g ya n dt h ee f f e c t i v e m a g n e t i cm o m e n to ft h es y s t e me x h i b i ta ni n t e r e s t i n gm a c r o s c o p i cq u a n t u m o s c i l l a t i o n ( m q o ) p h e n o m e n o n t u n n e l i n gb e t w e e nt w od e g e n e r a t em i n i m a a r ea n a l y z e db ym e a n so fa ne f f e c t i v ep o t e n t i a lm e t h o da n dp e r i o d i c j n s t a n t o nm e t h o d k e y w o r d s ：d i p o l a r i n t e r a c t i o no fs p i n o rc o n d e n s a t e ；s p i nc o h e r e n tp a t h i n t e g r a l ；t h ee f f e c t i v ep o t e n t i a lm e t h o d ；p e r i o d i ci n s t a n t o nm e t h o d 引言 引言 1 9 2 4 年玻色和爱因斯坦在理论上预言了玻色一爱因斯坦凝聚现象( b e c ) ，即原子 的温度足够低时，无相互作用的玻色子会在最低能量量子态上凝聚，达到可观的数 量。根据量子力学中的德布罗意关系，五= 口粒子的运动速度越慢( 温度越低) ，其 物质波的波长就越长，当温度足够低时，原子的德布罗意波长与原子之间的距离在 同一量级上，此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相j a j 的状态，其性质由一 个单原子的波函数即可描述。当温度为绝对零度时，热运动现象就消失，原子处于 理想的玻色一爱因斯坦凝聚态。 由于实验条件的苛刻，直到1 9 9 5 年美国科罗拉多大学j i l a 实验室的w i r e m a n 和 c o r n e l l 小组在铷( 8 7r b ) 原子蒸气中第一次直接观测到了b e c 1 。由于气态原子 b e c 属于弱相互作用玻色气体，相互作用在理论上较容易处理，可以和实验结果进行 对比，应此这个领域经历了爆发式的发展。 最初实验上都是利用强的磁场来囚禁b e c 系统，由于原子的自旋取向绝热地跟从 于强磁场，磁阱仅能捕获和控制处于一种超精细磁子能态的原子。因此，在这些磁 阱囚禁实验中原子的自旋自由度被“冻结”了。1 9 9 8 年美国麻省理工的m i t d 、组首次 成功采用由一束红外激光形成的光偶极势阱产生了玻色一爱因斯坦凝聚体 2 。光阱 及光格子能同时捕获和控制处于所有超精细磁子能态的原子( 对于他们实验中f = 1 的2 n 原子，l = 1 ，0 ，一1 ) 。这些具有多种超精细磁子能态的原子同时实现玻 色爱因斯坦凝聚，即产生的是旋量玻色一爱因斯坦凝聚体。实验 2 - 5 和理论 6 - 8 方面都引起了人们的极大关注。 这种凝聚体是由多种超精细磁子能态的原子组成，具有内禀自由度，因而展现 出丰富的物理内涵，例如自旋畴和自旋纹理 3 - 5 ，7 。当光格子势阱足够深时，各 个格点上的旋量玻色一爱因斯坦凝聚体便失去了相位相干性，而通过磁和光诱导的偶 极一偶极相互作用耦合在一起。格点间的这些偶极一偶极相互作用可引起铁磁相变而 导致凝聚体序列的宏观磁化 9 ，1 0 和白旋波激发 11 ，1 2 。 2 0 0 5 年实验上实现了5 2 c ，原子玻色一爱因斯坦凝聚 1 3 ，这是一个重大突破，因 为铬原子( 5 2 0 ) 具有很大的磁距，约6 。( 如为玻尔磁矩) ，该凝聚体中的磁偶极一 偶极相互作用达到了碱金属原子凝聚体的3 6 倍。实验上观察到了铬原子( 5 2 c r ) b e c 在 1 f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量f 隧穿 膨胀时出现了形变 1 4 ，这是由于磁偶极一偶极相互作用在简并量子气体中的长程性 和磁各向异性导致的。基于以上实验事实，旋量凝聚体中偶极一偶极相互作用已经成 为一种重要的的相互作用，应当加以考虑。 旋量凝聚体是一个大自旋系统，可以和我们熟悉的磁性体系进行类比。磁性体 系是由大量的自旋组成的，它可以是一个颗粒，也可以是体材料中的一个区域，或 者是一个磁性分子团簇。一个磁性系统的性质可以借助丁- 一些宏观的经典变量来描 述。例如铁磁颗粒中的磁化强度( 或磁矩) m ( r ，f ) 、反铁磁颗粒中的n e e 矢量l ( r ，t ) 、 磁畴壁的矢径月( 盏，彘，f ) ( 眚，岛是为了描述畴壁曲面而引入的参数) 。在低温下，由 于自旋间很强的交换相互作用，m ( r ，t ) ( 或z ( r ，f ) ) 的大小为一常数，只有方向可 以变化，而总磁能取决于m ( r ，r ) ( 或l ( r ，f ) ) 的方向。由于磁晶各向异性或外磁场 的影响，体系常常存在两个或多个能量极小方向( 易磁化方向) 。于是m ( r ， ) ( 或 l ( r ，f ) ) 的方向可以通过隧穿势垒在这些易磁化方向之间转变。磁性宏观量子效应就 是指m ，l r 的量子隧穿或相干行为。 本文的结构安排如下：第一章引入偶极旋量凝聚体模型，分析其基态结构；第 二章讨论外加纵场时，运用自旋相干态路径积分办法得出处于a 区域中的基态能随外 磁场发生宏观量子振荡，结合实验数据对磁场周期进行了估算：第三章考虑外加横 场时，处于b 区域的基态发生了宏观量子隧穿，运用有效势方法和周期瞬子方法得 出了基态能级劈裂，结合相关实验数据对能级劈裂大小进行了估算；最后，对本文 做出总结。 第一章f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的基态相结构 第一章f = i 偶极旋量b e c 在外场中的基态相结构 旋量凝聚体 2 ，1 5 在实验上的快速进展大大推动了凝聚体自旋动力学及其磁性 质的研究。人们已经在实验 2 和理论 1 6 ，1 7 上，对有外场时旋量凝聚体的各种性 质做了一些有意义的探索。其中，自旋交换相互作用是主要的相互作用，由于其它 的相互作用远小于交换相互作用，通常都被忽略了。 自从自旋这一自由度在光格子势中被释放出来后，来源于内禀的磁偶极一偶极相 互作用或场诱导的磁偶极矩 1 8 ，1 9 就应当加以考虑。最初人们只考虑在不同格点 间的偶极偶合，在格点内为交换相互作用。偶极一偶极相互作用具有长程性和矢量性， 这使得偶极旋量凝聚体引起了更多的关注，例如：对量子系统在单势阱 2 0 或势阱 较深的光格中 9 1 1 的基态结构和自旋动力学的讨论。 2 0 0 5 年的几个实验突破 1 3 已经表明，偶极一偶极相互作用不能被忽略了。下面 引入f = i 偶极旋量凝聚体模型 2 1 ，并对其基态进行分析。 1 1 有偶极相互作用的f - - 1 旋量凝聚体模型 考虑零温时，柬缚在一个轴对称势中的自旋f = 1 的偶极旋量凝聚体模型l 2 1 j ， 一般选择对称轴沿着量子化轴方向；。在此模型中，主要考虑两种相互作用项，一 种是短程碰撞相互作用，另一种是长程磁偶极相互作用。当外加磁场为b 时，该系 统的哈密顿量二次量子化后的形式为： 日= 膨瓣) ( _ 等) 一舭抄】p 舻) + m ；d r ， 。+ ( r 彤( r ) 驴。( r ) p 口( r ) + 詈j d r 0 ；( r ) 矿；( r ) f 卵f 母驴p ( r ) 驴，( r ) ( 1 1 ) + 詈盯毒等眈( r ) 昧川b 痧) 州) 一3 矿：( r ) 痧；( r ) ( 9 叩e ) ( f 印e ) 矿口( r ) 矿，( r ) 】 其中：驴。( r ) 幢= o ，i ) 是场湮灭算符，表示湮灭一个自旋f = i 中脚= 口分量的算符， m 是原子质量，束缚势吃与自旋无关。碰撞相互作用参数c o = 4 z h 2 ( a o + 2 a 2 ) 3 m f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 和岛= 4 z h 2 ( 岛一a ) 3 m 分别代表粒子密度一密度相互作用和自旋一自旋相互作用， ar ( f = 0 或2 ) 是总自旋为f 通道中的s 波散射长度，c d = f l 0 9 2 心2 4 ； r 是偶极相互 作用参数( g 是朗德因子) ，e = ( r r ) fr r 是单位矢量，外场b 空间均匀。 为了简化上述哈密顿量( 1 ) ，基于ic ：l “c o ，c d 下， 2 i f ，m ) = t ( t + 1 ) l t ，m )j f ：f ，m ) = m f f ，m ) ( 1 5 ) 分析可得：在区域a ( c ： o ，c ： c ：) ，其基态为g = ln ，0 ；在区域b ( 其系数g ，与c 有关， 它是当( t ) = 0 时的不同角动量态的迭加态。 考虑有外场情况下，此时的系统哈密顿h = ( c ：一c 。) f f + 3 c d ( 茸+ 氏) 一g t 。b - l ， 其和无外场时的哈密顿量只。相比，多一个g 如bl 项，它是一个常数项，不会改 变基态量子相图的区域分布。此时系统的基态在c ；f ，参数平面上也分成三个相同 的区域a ，b ，c 。如图二所示： f = l 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 c ， ，m 0 ) 一 q + 2 c d = 0 、 图2 有外场时基态量子相图 先考虑给系统加一个纵向场，即沿着z 轴( 目= 0 ) 方向。哈密顿量为： 日= 0p 2 - - c d ) l 2 + 3 c d ( 置+ i o ) 一g u 月b l ：( 卜6 ) 在区域a ( c ： o ，c ： c ：) ，在本征态l ， 下，( 6 ) 可对角化，其基态是 g = 1n ，m ，m 的取值线性的依赖于外场强度。此时的系统模型可对应于x y 、 z 面 为易磁化平面的铁磁易平面各向异性模型；在区域b ( c ： ，其中m 0 随外场增强而增加。 当加横场即外磁场沿x 轴时，哈密顿量为： h = ( c 2 - - c d ) l 2 + 3 c d ( j 【：+ 而o ) 一g 8 b l ， ( 1 7 ) 在区域a ，系统对应于x y 为易平面的各向异性磁系统，凝聚体的基态完全极化，为 g = i n ，0 ) 。在区域b ，基态为g = 。g 。i j v ，埘 ，是二重简并的，此种状况将会 出现磁的宏观量子隧穿。在区域c ，台阶状的磁化曲线将会出现，每一个台阶意味 着破坏了一个自旋单态对 2 3 。 下面将上述模型中的两种作为磁隧穿现象加以研究，一种是加纵场时的区域a ， 另一种是加横场时的区域b 。从以上分析可知，偶极旋量凝聚体提供了另一个研究 宏观量子现象的平台。 6 第二章纵场下基态能的宏观量子振荡 第二章纵场下基态能的宏观量子振荡 对于纵场下的区域a ，我们可将此偶极旋量凝聚体模型对应到铁磁各向异性模 型，此时横向的x y 平面对应于易磁化平面，在哈密顿量 日= ( + 1 一c ) 0 + 3 c ( 定+ ) 一b l 中去掉不重要的h 。项和常数项p 后，得到有效哈 密顿量： h 。= 3 c 窆一b j 。 ( 2 1 ) 其中c 0 ，此模型类似于单轴各向异性铁磁粒子模型 2 4 ，2 5 ，其易平面和磁场都 沿着难磁化轴( z 轴) 。 此模型的哈密顿量在三：的本征态i m ) 下即可完全对角化，得到本征值 = 3 c m 2 一嚣m ，其中m = 一，- n + i ，n 一1 ，n 。下面我们用自旋相干态路径积 分来求基态能。 2 1 自旋相干态路径积分求解基态能 对自旋系统有一种可以直接计算初态和末态为相干态的跃迁，这就是自旋相干 态路径积分 2 7 ，2 8 。根据构造相干态的一般步骤，我们首先引入自旋相干态的群 结构，即通常的s u ( 2 ) 对易关系： 【曳，文 - 文，【文，蛊 = 2 d ： ( 2 2 ) s o ( 2 ) 的h i l b e r t 空间是( 2 s + i ) 维的，它的基矢是l s ，m ) ，m 相干态i ”) 可以看作从态l s ，s ) 旋转而得到的量子化轴为n 的态， n l 一) = s l , ) _ s ，s ) 。自旋 ( 2 3 ) 如果”= ( s i n o c o s ，s i n o c o s ，c o s o ) ，定义自旋相干态： l 而：矿藏晦矿谴l s $ 或i n ) = e - i o r g i s ，s ) ( 2 - 4 ) 其中m = ( 一s i n ，c o s 0 ，o ) ，考虑到此系统的原子数n 1 ，将配分函数表示为一个 自旋相干态路径积分的形式： z = t r e x p ( 一用。) = j d t ( 月) ) e x p ( 一s ) ( 2 5 ) 7 f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 其中d ( ) ) ：n n - i d 哦d 哦s i n 吼2 万为测度，将配分函数写为初末态跃迁形式： z ： ： ( 2 6 ) 插入自旋相干态超完备基f d p ( 圳n ) ( n l = 1 可得： z = 喇脚 = 三( l 一) c o s 2 ( 口) + 丢+ f 6 0 9 ：( 目，) + f 彤正：( 目，妒) ( 2 1 0 ) 其中g ：( p ，) ，z ：( 目，) 分另u 为： ( 刚) = 让( 三一吉) s i n ( 眺。s ( 吕) 正：( 只矿) = f ( c 。s ( 口) 一1 ) ( l c o s 2 ( 目) + 丢s i n 2 ( 目) ) + ( 三一去) s i n 2 ( 目) c 。s ( 护) = 细s ( 旷言s i n ( 目) 韶+ f l ( l c 。s ( 趴c o s ( 旷1 ) 十丢s i n 2 ( 劝印( 2 - 1 1 ) 略去小量影，6 0 ，把( 1 0 ) ( 1 1 ) 代入( 9 ) 得到： = k ( 上( 一c o d ( 口) + l ) - g p n b l c o s ( 目) = 1 一以( 1 一c o s ( o ) ) 彤 ( 2 - 1 2 ) 将( 1 2 ) 式代入( 8 ) 式得到传播子： 旧p ( - 捃g ) l 产1 一比( 1 - c o s ( 锄却也( 膨( 1 一壶) c 。s 2 ( 目) + 等- g p 。b l c o s ( 鳓 ：e x p - i l ( i - - c o s ( 口) ) 印一f 5 ( k l 2 ) c o s z ( 目) + k = l s i nz ( 口) 一g 。日三c 。s ( 目) 】) 将r 式代入( 7 ) 式，则配分函数为： 第二章纵场下基态能的宏观量子振荡 z = 桐脚 1 斗s = r “d r 让( 1 - c o s ( 8 ) ) + k l ( l + 1 ) c o s 2 ( 口) 一g , u 。b l c 。s ( 占) ( 2 1 3 ) 其中f l = i k 。t ，k 。是玻尔兹曼常数，t 是温度。要解得拉式量，将配分函数中的 c o s ( 0 ) 积分掉即可： z = 堪( 三d 2 - - 争) e x p _ r 州唧一s ( w + k l ( 川) c o s 2 ( 印- g t t b b l c o s ( 剀 锻廊r 卜d r 掣 k l ( l + 1 ) c o s z 8 删i l _ # + g l t o b ) lc o s 弘黼) 2 1 卜 =疆c三参e坤pdr(il(k一可(il(y+g2月bl)2， e x 一 一f l h k l c 三+ ，c c 。s c 目，一! ! ! ：； i 爹学，2 ) d c c 。s 吼， ( 厂- 2 lf l f l h k l ( l + 1 ) = ( 跞 ”堪c 三篆，e x - 一r 6 d r c ，；一掣， n 尊c - m r c 勰一端班 抛掉常数项后，我们得到了拉式量 9 ! 三! ! 墨堡堡墨旦呈曼垄丛塑! 塑墨型重! 堡兰一 z=上一蒜m一24kl(l2 k ( l 4 k + f ( 卜业2 k ) 乒 ( 2 - 1 4 ) 。 + 1 1+ 1 ) 7 ( ) ：嬖m 其中”矿：1 6 c 为有效质量， = l ( 1 - g ，u 。b 2 k l ) ，在此系统中角动量= ，即为 粒子数。为了最小化欧拉作用量& ，需要找到在边界条件矿。( f 十卢) = 矿。+ 2 n n t 的 周期瞬子解。 利用欧拉一拉格朗日方程，我们得到： 丢c 苗卜苗= 。j 磊d ( 印o r - = 荔= 。j m + 徊= c j 一= 与# r ( n - 15 ) 设x = c i o m ，贝0 妒= x z - 。 利用周期边界条件：以0 + ) = 丸( f ) + 2 万n ，将上面的结果代入，得： 一x f + ，口h jx ：丝斗矗，：丝r (216)x(r+f1) 2 盯+ 2 删j 。2 可斗丸。万7 “ 在此解下，利用以上所求的拉式量l 和边界条件下丸的表达式，得出欧拉作用量为： & = r 胁= r 譬瑚卜f 黔m2 r r n 2 + i 2 卢x n 卜协m = i2 m 矿c t 2 n 2 + 蛔等k 菇耐化删。 其e e s 。：玎2 女。t k 。将其代入配分函数的定义式可得到： z ：艺z 。= 。3 棚，e x p ( 一s 。) 2 1 8 其中o ，( v ，q ) 是随着v 振荡的雅可比t h e t a 函数。( 注：关于雅可比t h e t a 函数可参 阅附录) 利用雅可比t h e t a 函数的渐近性性质，得到有外场b 时的基态能： 驴吨r l n z 一譬+ 赤 。) 2 姑。1 式中“x ) ) 表示取x 的小数部分取最近的整数。此基态能随着。的取值不同而发生 第二章纵场下基态能的老观量子振荡 振荡。对于磁矩的影响可由下式得出 示为： 等“学+ 弛( 1 + ( - 1 ) 。 ) a 86 c 。2 ”、7 o m o b = 一k 8 t 0 2i n z o b 2 ，在零温时近似表 ( 2 2 0 ) 其中 x ) 表示x 的整数部分取最近的整数，零温时的磁化曲线呈阶梯状，这是由于 有效磁矩的宏观量子振荡引起的，振荡周期依赖于偶极相互作用强度 5 b = 6 c a g , u b 。 2 2 振荡周期的估算 对于不同的凝聚体，我们估算了对应的磁场振荡周期，介绍如下 由第一章内容我们知，偶极相互作用参数c 。= - t 0 9 2 2 8 2 4 1 r ， 其中 鸬4 n = 1 0 。7 n a ，玻尔磁子= 9 2 7 4 1 0 “a - m ，可知。的量纲是n i t l 4 。 参数：c ：= q 勺- 肛出i | 妒( r 丌l 庐( 川l2 警，运用量纲分析可知c 。的量纲是 n m = j 是一个能量单位。 参量c = l tl 表征了偶极相互作用相对于自旋交换相互作用的强度，其表达 式可写为 2 1 ： c ： ：! ! 鱼兰! 苎2( 2 2 1 ) c 23 c 2 其中z ( x ) 是随着凝聚体方向率盯单调增长的函数，其取值范围：z ( 芷) 【一1 ，2 t 为 计算方便起见，取z ( 窟) = 1 。 已知c ：，q ，c 。的表达式分别为： c ：= 詈f 出i ( 驯4 = 詈却2 ( r ) = n p ( 2 - 2 2 ) 如= 4 n h 2 ( 口2 一a o ) 3 mc d = ，岛9 2 日2 4 n 其中n 为凝聚体粒子数，p 为粒子数密度。其中d ，( = 0 或2 ) 是总自旋为厂通道 中的s 波散射长度。 将( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 式中，可得c d = ( 万0 3 ) n p ，进一步可得6 b = 6 ct d g 鳓。 i l f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 对应于不同的凝聚体，5 b 的估算总结为下表 注：其中”n a ，8 7 r 6 ，5 2 c ，原子凝聚体粒子数，密度数据分别来自 2 9 ， 1 1 3 3 。 5 2 c ，原子凝聚体中偶极相互作用于”n a ，8 7 r 6 凝聚体不同，为 c d = 2 。，4 7 r ，其中。= 6 b 三种原子凝聚体各项参数表 i粒子密度 c 2 ( j m 3 )c d ( j 3 )4 ( j ) 6 b ( g s )n 0 a 2 数 ( c 一3 ) 2 3 n a5 x 1 0 51 0 4 5 0 a b 5 5 a ；?3 1 9 1 0 - 5 2 2 1 5 1 0 - 5 4i 1 2 1 0 。2 8 1 4 8 7 r b2 1 0 4 2 6 1 0 1 2 1 0 1 8 d 81 0 0 4 a b 2 3 1 0 。5 3 2 1 5 1 0 5 41 1 7 l o “1 5 1 0 - 3 5 2 c r 5 1 0 41 0 43 0 9 1 0 - 5 21 6 2 1 0 。2 7 1 0 5 第三章横场下最小简并能级间的宏观量子隧穿 第三章横场下最小简并能级间的宏观量子隧穿 加横场即外场沿x 轴时，讨论系统在区域b 中的行为。去掉常数项后，得到有 效哈密顿量： 日珊= 一3 班；一b l ， ( 3 - 1 ) 其中d = c ，此模型对应于易轴各向异性铁磁自旋模型，此自旋隧穿模型已经被广 泛的研究。 为了得到此能级劈裂的解析解，用有效势方法 2 6 ，可将此自旋系统对应到单 粒子系统，用周期瞬子方法得到结果。 3 1 有效势方法 有效势方法是乌克兰人v v u l y a n o v 和o b z a s l a v s k i i 首先发展起来的 2 6 ， 用来处理小自旋系统。这种方法基于精确的自旋一坐标对应关系，通过将自旋系统 h a m i l t o n i a n 约化为连续变量的微分方程，巧妙地避免了大s 近似。 对应于文中的模型，其有效哈密顿量由上可知( 1 ) 为：h 船= 一3d ! 罡一。 根据薛定谔方程：日y = 印，对于此自旋系统，可取波函数：1 = c ，i f ，m ) 其中 l f ，m ) ) 是一组完备基。将( 1 ) 式中的哈式量代入本征方程，得： 一。起一手( 丘+ t ) 莓巴f t m ) = e 莓g f m ) 其中三+ = t + f ，三_ = t f 乞，利用角动量关系式： 三1 z ，m ) = ( f 千m ) ( f 卅+ 1 ) i t ，m + 1 ) 利用( 3 ) 式结果，代入( 2 ) 式后得： 2 z 。c 。( e + 3 d m 2 ) l l ，m ) + 。，c 。b ( ，一m ) ( ，+ 棚+ 1 ) i i ，m + 1 ) + 。c 。何而丽j 丽i i ，m - 1 ) = o 对( 4 ) 式左乘( ，m 1 i ，在此自旋系统中，角动量l = 和粒子数有关，可得 ) ) ) 七 o q 防 门 二三旦墨塑堕望塑呈呈螋堕重型量王壁茎 2 ( e + 3 幽2 ) 巳邶婀；丽巴+ ，十b 婀砑而j 蕊。一：o ( 3 - 5 ) 引胜姻觏弧互丽杀南赢me x p ( 一) ( 3 - 6 ) ；：k ( j v 一聊) ! ( + 11 一 、。”7 对( 5 ) 式乘以了丙害因子，并对所有的晰求和，得： 互2 n 3 咖勺丽c 磊”e x 旆p ( m x ) + 砉、 ( n - m ) ( n + m + 1 ) ( c m 训+ le x f ( p ( m + x ) 菰 + b 扣万而而j i 而下鱼竺! 竺! ：o 一“( 一埘) ! ( + 聊) ! 叶芝v 2 ( e + s d m 2 ) 而c 焉e 丽x p ( m x ) + 砉b 而c 焉”i 雨e x p ( 丽( m + i 1 ) 而x ) ( + m + 1 ) e x p ( 叫 + 羔焉寰然c 啪酬加。 应用前面引入的生成函数( 6 ) ，得到下面的方程： 枷中捌+ 等( 卅e 咖) + 导( 圳e x 卅蜘：。 ( 3 训 利用双曲函数的帝叟 e x p ( x ) 一e x p ( - x ) 上式变为 ：s i n h ( x ) ，e x p ( x ) + e x p ( - x ) 2 3 d o l 曰s i n h ( x ) o + f e + 曰n c o s h ( x ) ) 巾= 0 = c o m ( x ) 定义一个新函数： _ = o e x p ( 一兰c o s h x )( 设口：3 d ) z 口 由上式可知：巾= 甲e x p ( 箬c 。s h 。) ，对其求一阶，二阶导数可得zo t 。 。 = 掣e x p ( 笔c 。s n r + 甲e 邵( 罢c o s n z 芝s m c x ， 叫卿飞x p c 芸c o s n z 卜e 坤怯c o s n x 净呱x ， + 甲e x 一( 乏c 。s n x ) ( 芝s m c x ，) 2 + 兰c 。s n c ，) 将上述( 9 ) 、( 1 0 ) 表达式代入( 8 ) 吉彳鼻 ( 3 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) 翌三兰堡望! 墨! ：塑茎堕塑型型兰竺里三竺望_ _ 一 一卜芸s i n h 2 ( x ) + b ( + 扣吣，卜。r 进一步喟晓 一a 。b 芝+ 1 b 。 2 s i n h 2 ( x ) - b , ( + ； c 。s n c x ， 甲= e 甲 ( 3 一1 1 ) 对应于系统的本征值方程：疗甲= e 、王， 对应得到哈密顿量：膏：于+ d = 一口导十- - ：- ：s i n h 2 ( x ) - b ( + ；) c 。s n ， 这样就将一个自旋问题可约化为一个质量为= l 2 a ! 的赝粒子在坐标空间中的等 效势场 u ( x ) = 等s i n h2 ( x ) 一b ( + ；) c 。s h ( x ) 中运动的问题。 由c - - ，式可知：洲n + e 一- as i n h 2 ( x ) + b ( + ； c 。s n c z ， 甲= 。 将此式两边同除以3 d n 2 可得： 寺叫寺_ 4 。z 3 d 。n 2s i n h 2 ( x ) + 翥( + 扣n c 十2 。 净 有前面的己知条件口= 3 d ，进一步得到： 脚+ 岛_ 3 6 d 2 “n 2s i n h 2 ( x ) + 刍( 廿眦x ，p ( 3 - 考虑到 1 ，并设定参数：芷= e 3 d n 2 ，= b 6 d n ，可将( 1 3 ) 式化为 n - 2 , f 盯- a 2s i n h 2 ( x ) + a c o s h ( x ) 甲= 0 一n 一2 、王，”+ 甲f k 一( a c o s h ( x ) 一1 ) 2 + 2 十1 ) = 0 ( 3 1 4 ) 对于( 1 4 ) 中的势函数u ：( a c o s h ( x ) 一1 ) 2 一日2 1 作一下平移调整得到新势函数 u ：( a c o s h ( x ) 一l 、2 一日2 ，则( 1 4 ) 式可写成 n - 2 妒”+ 妒( k - u ) = 0 ( 3 - 1 5 ) 其中参数芷描述的是一个无量纲的能量r = e 3 d n 2 ，u = ( a c o s h x 一1 ) 2 一口2 表示一 f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 个有效势阱，其中。在( 1 5 ) 式中，n _ 1 可看成是普朗克常数a 。当口 i 时势u 为 双势阱。 对于0 b 蔓6 d n 时，两个最小能分别局域在l = a r c s i n ( b 6 d n ) ；f n r + = 万一e ， 其中角度r 是角动量三和z 轴的夹角。当b b s a t = 6 d 时，简并将被解除，此时的 系统被外场完全极化，两个最小能将沿着x 轴方向合并。但从量子力学的角度上讲， 由于此简并态间存在有宏观量子隧穿，简并态将会在外场到达b 。，前解除，出现能 级分裂a e o 。 蜴= 撕万一c e x p ( 一s h ) ( 3 一1 6 ) 其中s 的轨迹是从左势阱的最小值l = 一c o s h 一1 ( 1l a ) 演化到右势阱的最小值 x + = c o s h 一( 1 a ) 。印是在粒子在两势阱底部x + 附近的小振子频率。瞬子轨道的渐进 形式决定了常数c 和q = c2 h c o ，对于这样一个势u 可得： s e ：l 。( 旦二尘二) 一i 二了，加上前置因子得到最后的能级劈裂表达式为： 峨2 等旷“高等唧c ( 2 s s n + 1 ) 1 - a 2 ，( 3 - 1 7 ) 3 2 基态能级劈裂的数值计算 关于基态能在不同凝聚体中估算，对应于我们的模型：马。= 一3 d 2 ：一f t 其中：。= b 7 6 d n ，取值范围：a 0 , 1 由( 1 7 ) 得到基态能级劈裂，接下来要计算d ： j 刮c h 毫j ，其中c ；= 詈出j ( r ”( q = 4 万自2 ( a z - a o ) 3 m ) 为计算方便，在( 1 ) 是两边都乘以： ，得到新的基态能级劈裂：z k e 。 第三章横场f 最小简并能级间的宏观量子隧穿 心。掣3 ，2 糍，唧呛h “ ：( s 尻7 z ) 等譬芸e x p ( z 蹦+ i ) 。l 单位之间的换算关系： 1 j = 1 5 1 1 0 ”h z ，1 h z = 4 4 9 1 0 一”k 对于各类原子凝聚体的基态能级劈裂e 。估算见下表 c d ( 胁) 口 e o ( 胁) 2 3 n a1 6 9 x 1 0 5 c t = 0 63 3 4 3 4 1 0 5 3 8 1 1 4 1 0 2 ”r b1 7 6 1 0 2 2 7 2 1 5 1 0 5 3 1 3 1 3 1 0 2 5 2 c r2 4 4 l o 。 3 , 5 2 3 3 1 0 5 3 9 3 1 5 1 0 2 由( 1 8 ) 式看出中随着粒子数n 的增加，能级劈裂衰减很快。 f = 1 偶极旋量b e c 在外场中的宏观量子隧穿 结论 本文基于零温时f = i 偶极旋量凝聚体模型，分析了该系统在无外场和有外场两 种情况下的基态量子相图，结合铁磁模型，重点分析了外加纵场和横场时，处于基 态相图不同区域的性质，得到一些有意义的结果。计算结果表明：在加纵场时区域 a 内，得出基态能随0 ：工( 1 一b 6 c l ) 振荡( 0 与总自旋有关) ，对不同的凝聚体中 磁场振荡周期做出了估算，结果表明5 2 c r 原子凝聚体的周期较”n a ，”r b 凝聚体 大；加横场时的区域b 内，由于宏观量子隧穿，计算得到基态能级劈裂乓，在不 同的凝聚体中，对于有限数量粒子，做出了能级劈裂的估算。 参考文献 参考文献 1 】a n d e r s o nmh ，e t a 1 o b s e r v a t i o no f b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nad i l u t e a t o m i cv a p o r 【j s c i e n c e ，1 9 9 5 ，2 6 9 ：1 9 8 2 0 i 2 s t a m p e rdm ，a n d r e w smr ，e t a t o p t i c a lc o n f i n e m e n to fab o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e j p 砂r e vl e t t , 19 9 8 ，8 0 ：2 0 2 7 2 0 3 0 【3 】s t e n g e rj ，e t a 1 s p i nd o m a i n si ng r o u n d s t a t eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e j n a t u r e ( l o n d o n ) ，19 9 8 ，3 9 6 ：3 4 5 - 3 4 8 4 】m i e s n e rhj ，s t a m p e rk u r ndm ，e t a 1 o b s e r v a t i o no fm e t a s t a b l es t a t e si n s p i n o rb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s p h y sr e vl e a , 19 9 9 ，8 2 ：2 2 2 8 2 2 31 5 s t a m p e rk u r ndm ，m i e s n e rhj ，e t a 1 q u a n t u mt u n n e l i n ga c r o s ss p i n d o m a i n s i na b o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e j 】尸趣瑚r e v l e t t , 1 9 9 9 ，8 3 ：6 6 1 6 6 5 【6 h otl s p i n o rb o s ec o n d e n s a t e si no p t i c a lt r a p s 【j 1 p h yr e vl e t t ，1 9 9 8 ，8 1 ： 7 4 2 7 4 5 7 o h m ita n dm a c h l d ak b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o nw i t hi n t e r n a ld e g r e eo f f r e e d o m i n a l k a l i a t o m g a s e s j 】j p h y s s o c 扫n ，1 9 9 8 ，6 7 ：t 8 2 2 - 1 8 2 5 8 】l a wck ，p uha n db i g e l o wnp q u a n t u ms p i n sm i x i n gi ns p i n o r b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s j p h y sr e vl e t t , 19 9 8 ，8 1 ：5 2 5 7 5 2 6 1 9 】p uh ，z h a n gwpa n dm e y s t r ep f e r r o m a g n e t i s mi nal a t t i c eo fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e s j i o h y sr e vl e t t , 2 0 0 1 ，8 7 ：1 4 0 4 0 5 t 0 】g r o s sk ，s e a r c hcp p uh ，8 ta 1 m a g n e t i s mi n al a t t i c eo fs p i n o r b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s j 】p h y sr e v a ，2 0 0 2 ，6 6 ：0 3 3 6 0 3 【1 1 】z h a n gwp p uh ，s e a r c hca n dm e y s t r eps p i n w a v e si na b o s e e i n s t e i n - c o n d e n s e da t o m i cs p i nc h a i n j 】j d 囊”r e vl e t t , 2 0 0 2 ，8 8 ：0 6 0 4 01 【1 2 x i ezw z h a n gwp ，c h u ista n dl i uwm p h y sr e v a ，2 0 0 4 ，6 9 ：0 5 3 6 0 9 1 3 】g r i e s m a i e ra ，w e r n e rj ，p fa i b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no f c h r o m i u m 【j p h y sr e vl e t t , 2 0 0 5 ，9 4 ：16