（应用数学专业论文）弱耗散和耗散的schrodingerboussinesq方程组的周期解的存在性.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 1 9 7 2 年z a k h a r o v 在研究激光打靶时，发现金属靶箔上总是有一道形状凹陷( 就像 函数- - s e c 2x ) 的亮痕，他从m a x w e l l 方程出发，在一定条件下推导出了著名的z a k h a 。0 v 方程组【1 ，2 】，这是一个由s c h r 6 d i n g e r 方程和波动方程耦合的方程组 i 且+ e n e = 0 ， n t 一a n = 旧1 2 ( o 1 ) ( 0 2 ) z a k h a r o v 方程组是激光和等离子体物理中的基本方程组，与经典的三次非线性s c h r s d i n g e r 方程有很多相似之处，具有许多重要的性质，如孤立波解，很好地解释了上述现象 正由于此，该方程组引起数学家和物理学家的极大兴趣它的孤立波解的存在性和稳 定性、c a u c h y 问题和初边值问题的适定性、爆破解和爆破率、数值计算等都得到广泛 研究( 见 3 t 一 1 7 1 ) 但是，在近声区域，孤立子的深度趋于无穷，而宽度趋于零，在此 情形下z a k h a r o v 方程组显得不够精确，于是物理学家建议用描述浅水波的b o u s s i n e s q 方程来代替波动方程这就是我们所说的j 璺坚i 垒i 磐s e = 量q 坚熊g 左墨组( s b q ) i 囟+ a e = n ， n “一a n + 一r 2 n a f ( n ) 一忙1 2 = 0 ( 0 3 ) ( o 4 ) 这里代表复的s c h r 6 d i n g e r 场，t l 代表实的b o u s s i n e s q 场，描述的是电场( ( z ，t ) ) 和 离子密度变化( n ( x ，t ) ) 相互作用的模型广乇 s b q 方程也是激光和等离子体物理的基本方程之一s b q 的c a u c h y 问题和初边 值问题的适定性、渐近性态已有很多定性的讨论【1 8 1 一【3 5 】z a k h a r o v 方程组和s b q 方程 组都是守恒系统在实际物理过程中，粒子密度的扰动量不会超过粒子总数因此， 当e ，n 足够大时，耗散机制( l a n d a u 阻尼) 就不能忽略于是就有本文所考虑的弱耗 散的s b q 方程组 话+ + 竹s n = 9 p ，t ) ，z q ， n n + a n + 2 n a n 一( ，( n ) + l 1 2 ) = ( 茹，t ) ， 霉n 和耗散的s b q 方程组 话+ e + i t e n e = g ( x ，t ) ， 。q ， m 一a a n t + a a 2 札一a n 一( ，( n ) + f 2 ) = h ( x ，t ) ， 苫q ( o 5 ) ( 0 6 ) ( 0 7 ) ( 0 8 ) 华中科技大学硕士学位论文 关于弱耗散的非线性s b q 方程组( o 5 ) ( o6 ) ，文献【3 0 1 中研究了c a u c h y 问题，证明了 ( e 。，岛) 一型整体吸引子的存在性文献【2 9 ，【3 1 中讨论了ncr 的初边值问题，证明了 有限维整体吸引子的存在性在【2 8 】中作者考虑了一维区域中弱耗散的s b q 方程组， 并证明了周期解的存在性及其唯性关于耗散的非线性s b q 方程组( o 7 ) ( o 8 ) ， 3 2 】考 虑了三维有界区域上初边值问题，并证明了有限维整体吸引子的存在性y 本文考虑三维弱耗墼的s b q 方程组和三维桎散的s b q 方程组的周期解的存在 性这种类型的方程的解算子：( 初值) 一( 解) 不具备紧致性，不能直接用嵌入定理获 得解算子紧性，所以也不能直接使用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明时间周期解的存 在性但是可以先考虑g a l e r k i n 近似问题，用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明g a l e r k i n 近似问题有时间周期解，因为这是有限维问题，紧致性是满足的然后利用周期解的先 验估计和紧性证明近似解的极限就是原先s b q 方程组的时间周期解本文借鉴【2 8 和 【3 7 中的方法，主要证明这样两个主要结果：一是三维空间中弱耗散的s b q 问题周期 解的存在性；二是耗散的s b q 问题周期解的存在性和唯一性其中在弱耗散情行下， 由于所考虑的b o u s s i n e s q 方程组耗散程度低，我们不能获得解的更高的正则性，所以 周期解的唯一性还不能得到验证，即便是初边值问题解的唯一性还有待于进一步的研 究但在耗散的情形下，由b o u s s i n e s q 方程的耗散程度相对高一点，可以得到关于解 的较高的正则性，因此可证明解的唯一性 关键词：周期解( 存在性和唯 理紧致性原理 、 g a l e r k i n 方法l e r a y s c h a u d e r 不动点定 i i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t z a k h a r o v ( 1 9 7 2 ) d e v e l o p e dt h e f a m o u sz a k h a r o ve q u a t i o n s 【1 ，2 1 ，w h i c hb e t t e rd e s c r i b e d t h eu n c o m m o np h y s i c a lp h e n o m e n ai nt h ep r o c e s so fl a s e r - t a r g e t c o u p l e db ys c h r s d i n g e r e q u a t i o na n d w a v e e q u a t i o n ，z a k h a r o ve q u a t i o n sp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h es t r o n gt u r b u l e n c e t h e o r yf o rp l a s m aw a v e s ，t h u sa t t r a c t e dm a n ys c i e n t i s t s w i d ei n t e r e s ta n da t t e n t i o n t h e e x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo f s o l i t o ns o l u t i o n s ，b l o w u p p r o p e r t i e s ，l o n gt i m eb e h a v i o r ，n u m e r i c a l a n a l y s i sa n do t h e rv a r i o u sp r o p e r t i e sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ya n di n t e n s i v e l ys t u d i e di n i a 一 【1 7 】i no r d e r t od e s c r i b et h ep h e n o m e n a a c c u r a t e l yi nt h en e a r s o n i cr e g i o n ，m a n yp h y s i c i s t s s u g g e s t e dr e p l a c i n gw a v ee q u a t i o nw i t ht h ei n h n m o g e n e o n sb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，w h i c hh a s b e e nu s e dt od e s c r i b et h es h a l l o ww a t e rw a v e s s os c h r s d i n g e r - b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ( s b q ) c a m ei n t ob e i n g t h es y s t e mi sd e s c r i b e d b yt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s i “+ a e = n ， l t t a n + 7 a 2 n a f ( n ) 一i e l 2 = 0 w h e r eer e p r e s e n t st h ec o m p l e x s c h r s d i n g e r f i e l da n dn r e p r e s e n t st h er e a lb o u s s i n e s qf i e l d s b q e q u a t i o n sa r eab a s i cm o d e lt od e s c r i b et h ei n t e r a c t i o no fe l e c t r i cf i e l da n dt h ei o n a c o u s t i c w o v ed e n s i t yp e r t u r b a t i o ni nl a s e rp l a s m a p h y s i c s s b qe q u a t i o n sp o s s e s s e dm a n yi n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s ，s u c ha saf o u r - p a r a m e t e rf a m i l y o fs o l i t i o ns o l u t i o n sa n dl a n g m u i rc o l l a p s e ( s e e 【1 8 一 2 x t ) t h ee x i s t e n c eo f g l o b a ls o l u t i o n s ， b l o w u pp r o p e r t i e s ，l o n gt i m eb e h a v i o ro fs b qe q u a t i o n sh a v eb e e nq u i t ee x t e n s i v e l ys t u d i e d b ym a n ya u t h o r s ( s e e 【2 2 】一f 3 5 】) i n 【2 2 j 一2 6 t h ea u t h o r ss t u d i e dt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a l s o l u t i o no ft h ec a u c h yp r o b l e ma n di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es y s t e m t h e e x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r so fw e a k l yd i s s i p a t i v es c h r s d i n g e r - b o u s s i n e s qe q u a t i o n sh a v e b e e n p r o v e di n 【2 8 卜 3 0 】i n 【3 1 】t h ea u t h o r sc o n q i d e r e dt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f d i s s i p a t i v es c h r s d i n g e r b o u s s i n e s qe q u a t i o n sa n dp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r s i nf 2 7 jg u oa n dd uc o n s i d e r e dt h eo n e - d i m e n s i o n a l ，w e a k l yd a m p e dc ea n ds h o w e dt h e e x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n i nt h i sp a p e r ，w e c h i e f l yc o n s i d e rt h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h ew e a k l yd a m p e ds b q s y s t e m a n d d a m p e ds b qs y s t e mi nt h r e e - d i m e n s i o n a lc a s e b e c a u s et h e i m b e d d i n gt h e o r e m c a n tb e u s e dd i r e c t l yi nt h i sk i n do fs o l u t i o no p e r a t o r ，w ec a n to b t a i ne x i s t e n c eo fs o l u t i o nb y u s i n g l e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dc o m p a c t n e s sa r g u m e n t s b u tw ec a nc o n s i d e rt h e g a l e r k i np r o b l e m ，t h u sp r o v et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o na b o u tt h eg a l e r k i nd r o b l e m b yu s i n gl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m t h e nw ec a ns h o wc o n v e r g e n c eo f a p p r o x i m a t e s o l u t i o nu s i n gt h ec o m p a c ta r g u m e n t s r e f e r r i n gt ot h en m t h o di n 2 7 1a n d 【3 6 ，w ed r e w 华中科技大学硕士学位论文 t w om a i nr e s u l t s ：o n ei se x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cw e a ks o l u t i o nf o rt h e w e a k l yd a m p e d s y s t e m ，t h eo t h e ri st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp e r i o d i cs t r o n gs o l u t i o nf o rt h ed a m p e d s y s t e m u n d e r t h ea s s u m p t i o no f ，g ，hi nw e a k l yd a m p e ds b q e q u a t i o n s ，o n l yt h ee x i s t e n c e o f p e r i o d i cs o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db e c a u s eo ft h ei n f e r i o rd i s s i p a t i v el e v e l ，w ec a bh a r d l y p r o v et h eu n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o ne v e na b o u tt h ei n i t i a lp r o b l e m b u ti nt h e o t h e rc a s e ，w ec a dg a i ne s t i m a t e so nd e r i v a t i v e so fh i g h e ro r d e ro ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n t op r o v et h eu n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：p e r i o d i c s o l u t i o ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sg a l e r k i nm e t h o d l e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m c o m p a c t n e s sa r g u m e n t s 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 1 9 7 2 年z a k h a r o v 在研究激光打靶时，发现金属靶箔上总是有一道形状凹陷( 就像 函数一s e c 2 。) 的亮痕，他从m a x w e l l 方程出发，在一定条件下推导出了著名的z a k h a r o v 方程组【1 ，2 】，这是一个由s c h r s d i n g e r 方程和波动方程耦合的方程组z a k h a r o v 方程组 是激光和等离子体物理中的基本方程组，与经典的三次非线性s c h r 5 d i n g e r 方程有很多 相似之处，具有许多重要的性质，如孤立波解，很好地解释了上述现象正由于此，该方 程组引起数学家和物理学家的极大兴趣它的孤立波解的存在性和稳定性、c a u c h y 问 题和初边值问题的适定性、爆破解和爆破率、数值计算等都得到广泛研究( 见【3 】- 17 ) 但是，在近声区域，孤立子的深度趋于无穷，而宽度趋于零，在此情形下z a k h a r o v 方 程组显得不够精确于是物理学家建议用描述浅水波的b o u s s i n e s q 方程来代替波动方 程这就是我们所说的s c h r s d i n g e r - b o u s s i n e s q 方程组f s b q ) 鼠+ = n e ， 竹“一a n + 1 2 n 一，( n ) 一i 1 2 = 0 这里e 代表复的s c h r s d i n g e r 场，n 代表实的b o u s s i n e s q 场，描述的是电场( e ( z ，o ) ) 和 离子密度变化( n ( 蜀t ) ) 相互作用的模型 s b q 方程也是激光和等离子体物理的基本方程之一s b q 的c a u c h y 问题和初边 值问题的适定性、渐近性态已有很多定性的讨论【i s 一1 3 5 】z a k h a r o v 方程组和s b q 方程 组都是守恒系统在实际物理过程中，粒子密度的扰动量不会超过粒子总数因此， 当e ，n 足够大时，耗散机制( l a n d a u 阻尼) 就不能忽略于是本文考虑了 弱耗散的s b q 方程组周期弱解的存在性 旬+ + 幻悟一n = g ( z ，) ，z q ， n t t + n n t + a a 2 r i a n 一( ，( n ) + i e l 2 ) = 扛，t ) ， z q ( e ，n ) ( z ，) = ( ，n ) ( z ，t + t ) ，v t r + ， e r a n = n l a n = a n i o n = 0 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 和耗散的s b q 方程周期强解的存在性和唯一性 话t + + 竹e n = g ( 2 ，t ) ，z q ， n 蛄一a a n # + ) 、2 n 一n 一( ，( n ) + i e l 2 ) = h ( 茁，t ) ， z q ( ，n ) ( 。，t ) = = ( s ，n ) ( z ，t + t ) ，v t r + ， e 8 n = n a n = a n i o n = 0 ， ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 _ 7 ) ( 1 8 ) 这里口，7 ， 是正常数，( n ) 是足够光滑的实函数，且i ( 0 ) = 0 g ( x ，) ，h ( z ，t ) 是关于时 间t 的周期函数，其周期是7 关于弱耗散的非线性s b q 方程组，文献【3 0 】中研究了c a u c h y 问题，证明了( 目，马) 型整体吸引子的存在性文献 2 9 】，【3 1 】中讨论了ncr 的初边值问题，证明了有限维 整体吸引子的存在性在 2 8 】中考虑了一维区域中弱耗散的s b q 方程组，研究了周期 解的存在性及其唯一性关于耗散的非线性s b q 方程组( o 7 ) ( o 8 ) ， 3 2 1 中考虑了三维 有界区域上初边值问题，并证明了有限维整体吸引子的存在性 对于本文所考虑的这种类型的方程的解算子：( 初值) 畸( 解) 不具备紧致性，不 能直接用嵌入定理获得解算子紧性，所以也不能直接使用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理 证明时间周期解的存在性但是可以先考虑g a l e r k i n 近似问题，用l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理证明g a l e r k i n 近似问题有时间周期解，因为这是有限维问题，紧致性是满足 的然后利用周期解的先验估计和紧性证明近似解的极限就是原先8 b q 方程组的时间 周期解本文借鉴 2 8 】和 3 7 】中的方法，主要证明这样两个主要结果：一是三维空间 中弱耗散的s b q 问题周期解的存在性；二是耗散的s b q 问题周期锯的存在性和唯一 性其中在弱耗散情行下，由于所考虑的b o u s s i n e s q 方程组耗散程度低，我们不能获 得饵的更高的正则性，所以周期解的唯一性还不能得到验证，即便是初边值问题解的 唯一性还有待于进一步的研究但在耗散的情形下，由b o u s s i n e s q 方程的耗散程度相 对高一点，可以得到关于解的较高的正则性，因此可证明解的唯一性 1 2 主要结果 定理1 1 设nc r 3 ，且有光滑边界若9 l o 。( t ；l 2 ( n ) ) ，g ，h l o o ( ? ；日一1 ( n ) ) ， 2 俨( r ) 且满足 ，( a ) d as ，( s ) 一，( 盯) d c r l i 。r a + 。i n f 丑l r o ：l i 。r a + i 。n f 鼍 一0 l ，7 ( s ) s g i s i o + c ，1 a 5 则方程组( 1 1 ) 一( 1 4 ) 存在周期解 ( s ，n ) 工”( t ；础矾( q ) ) ( 1 9 ) ( 1 ，1 0 ) 定理1 2 设ncr 3 ，且有光滑边界若g l ”( t 础( q ) ) ，g t 工”( 正l 2 ( q ) ) ，h l o 。( 正日一1 ( q ) ) 且，c 2 ( r ) 满足 r 0，s ，( a ) d as ，( s ) 一s ( o ) d a l i 。r a 。i n f 盎 0 ，l i 。r a + 。i n f 。叁一o s _ + 5 5 - + 。 s 。 l ，7 ( = ) i c l 彳i o + g 1 n 2 则方程组( 1 , 5 ) - ( 1 8 ) 存在周期解 ( ) c ( t ；h 2n z g 日2 n h g ( a ) ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 并且当，g 2 ( r ) 满足( 1 1 2 ) 和 r sr s ，( d ) d a 0 ，s f ( s ) 一，( 叫d c r 2 0 ， ( 1 1 3 ) j uj u m o = s u p i l ，2 ，m x = s u p 恢n m 2 = s u pi i h i i - l 足够小时，d 周期解是唯一的 0 s t z 0 s t r0 兰f s ， 本文的安排主要如下： 在第二章中，主要证明周期弱解的存在性，即定理1 1 由于所讨论的是弱耗散的 s b q 问题，其解算子不具备紧性，不能直接利用嵌入定理得到解算子的紧性但是我 们可以先做其g a l e r k i n 近似问题，用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明近似周期解的存 在性，再利用紧致性原理说明近似解的收敛性因为方程( 1 2 ) 为波动方程，首先作一 线性变换，使问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 变为关于s ，n ，m 的等价的方程组然后通过作一连续紧 的映射f ，来证明问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 存在近似周期解为了证明方程组存在近似周期解， 只需证明 s u p ( i i e , v ( ) j | 1 ，2 + j f ”( ) j | l ，2 + | | ”( t ) i 一1 ) a 3 华中科技大学硕士学位论文 ； ： ；= = = = = = = = = = = = = = 2 0 2 2 。2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 一 因此我们将建立一个先验估计在方程( 1 2 ) 中，由于m 的正则性的限制，在本文的 假设条件下，还无法获得近似解进一步的正则性，所以周期解的唯一性还不能得到验 证 在第三章中，主要证明周期强解的存在性，即定理1 2 和第二章类似，我们通过 两个引理建立了近似解先验估计，而且在方程( 1 6 ) 中，b o u s s i n e s q 方程耗散的程度较 高，我们能建立一个更高的关于解的先验估计， s u p ( i k ( t ) 1 1 2 ，2 + 1 1 蛐 ( 0 1 1 2 ，2q - l i m n ( t ) 1 1 ) c ， 0 s t t 因此可得到比第二章中更高的正则性，所以周期解的唯一性得到了验证 1 3 记号和预备知识 本文采用以下记号和约定： x 是b a n a c h 空间； c ( 正x ) 表示周期为t 值x 的有k 阶连续导数的函数的全体构成的空间，其范 数为 c 眦) - 0 茹 自啦恢) ； 口( t ；x ) 0 ps + o 。) 表示周期为丁值x 的连续可测函数的全体构成的空间，其 范数为 i “i i c c r ；x ，= ( z t - - u - - p x a t ) i + o 。( 1g p 。o ) ， 1 1 “1 1 l 。( t ；x ) 2 。：备i i “i i x 0 ) 中的范数； i i i l ，【t ；x ) 表示l p ( t ；x ) 的范数j 4 ( ，) 表示工2 ( q ) 中的内积，( u ，”) u 2 ( z ，t ) ，t ( ，t ) ) ； 登_ 。t 矿d x ，。是向量函数，即。：( 。( 。，t ) t = 1j n ( ，) 表示日- 1 ( q ) 和硪( q ) 的对偶； “一”表示线性赋范空间中的强收敛； “一”表示线性赋范空间中的弱收敛； “q ”表示空间之间的嵌入关系； g 是通用正常数 在这里，我们给出本文需要弓佣的定理和结果： 定理1 3 ( p o i n c a r d 不等式) 【3 7 】设q 是r “中的有界区域若t 嘲”( n ) ，1 p so o ，则有 b ( n ) c ( n p ，q ) | | v t | l p ( n ) ， 其中c 是与n ，p tq 有关的常数当区域n 无界而在某个方向有界时，p o i n c a r d 不等 式仍然成立 定理1 4 ( 紧嵌入定理) 【3 9 】设q 是r “中具有锥性质的有界区域，1 p 0 0 ，1 m p n 下列嵌入是紧的； i 矿m p ( n ) 。哼l 9 ( n ) ，p q p + ，m p 竹， i 矿m 9 ( q ) ql 4 ( q ) ，p q + o o ，m p = n 这里嘉= ；1 一i m 定理1 5 ( l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理) 4 l 】设t 是b a n a c h 空间x 到自身中紧 映射，又设存在一个常数m ，使得对所有满足。= a t x ，z x ，口 o ，1 】的z 都有 i i x l l xs m 成立，则t 有一个不动点 定理1 6 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式) 4 4 】设q 是r “中的开集，t p ( q ) ，d ”u 工9 ( n ) ，1s p ，qs + o 。则对任何j ( osj 1 证明： 用一( 弓_ + 7 a j n ) 同乘( 2 1 4 ) 式，并对j 从1 到n 求和，取实部可得 ；知v e 1 1 2 + 7 何圳n 州h i z ) + 小咖) + a k e ( g ，t ) + o y p ( 9 ，e ) = 0 ( 2 2 3 1 因为 ( n v ) = ；磊d ( i 圳2 卜；( n n t , i s i z ) r e ( g ，t )= d r e ( 9 ，) 一r e ( g ，f 万) 所以( 2 2 3 ) 可改写为 ；d ，( jj v e 1 1 2 + a ( n ，j s f 2 ) + 2 一r e 国，e ) ) + 7 | j v s 胪 + ，y 口( i v 1 2 ) + 7 口r e ( 9 舢) = ；( 啪，i _ 】v 1 2 ) + 口r e ( g ，雨) ( 2 2 4 ) 用百1 c j 同乘( 2 1 6 ) ，利用( 2 1 5 ) 并对j 从1 到n 求和，有 今 ；d ( 1 i r a i i ! - + i i n 1 1 2 + a i i v n v i ? + 2 a n o ”“，( z ) d z d x l + ( q p ) l l m 1 1 2 _ l p ( a p ) ( n ，( 一) 一1 m n ) + e l l n i 1 2 + p x l l v n 1 1 2 + a p fn n ( n ) 如+ 一p ( n ，i e 1 2 ) + 仃( n n t , h 1 2 ) 一口( ( 一) 一1 2 h ，( 一) 一1 2 m n ) = 0 ( 2 2 5 ) ( t ) = 2 1 i w n i 2 + 2 a ( n n ，2 ) + 4 a r e ( g ，) + i l m ij 三l + 0 n 1 1 2 制胁”2 砌五厂m ) d z d x ， ( 2 2 6 ) j l ( t ) = 一2 ( 2 7 一p ) i i v e n i l 2 一( 2 a 一3 p ) l l m n i l 2 _ l p l l n 1 1 2 一p a l l y n 1 1 2 一。 1 0 竺主科技大学硕士学位论文 2 2 。2 2 。= = ；= = = = = = 兰= 釜一 ： ：兰： 一4 a t ( n n ，i 1 2 ) 4 a ( 7 一p ) r e ( g ，5 ) + 4 a r e ( 9 f ，雨) + 2 p ( 。一p ) ( ( 一) - 1 2 n ，( 一) - i 2 m _ ) + 2 d ( ( 一) 一1 2 ，( 一) 砌p 上厂他出- 2 a p f ：州( 峨 则2 ( 2 2 4 ) + ( 2 2 s ) 意味着 羞 ( t ) + p i l ( t ) = ( t ) 下面我们要对( 2 2 8 ) 进行估计 因为，满足( 1 ，9 ) ，则对物l o ，r 7 2 0 ，3 c ( 叩1 ) o ，a 怖) 0 ，使得 厶j o ，如) d z d x 一们j | n j j 2 c ( _ 1 ) j q ， f n n f ( n ，) 一o “”，p ) d z d x 一啦i i ，n i l 2 e ( 啦) l n l 由假设 l 是一的最小的特征根，有 v 2 m n ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) i i v n 1 1 2 a f l l n n 1 2 a i i n 1 1 2 _ l ， f 2 3 1 1 取 p = 删n 俘石4 1 ，办 由p 。i n c a 硝不等式，g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，得 胁p ) ( ( 一) 一1 m ) f p ( 0 r - - p 而1 1 1 l i r a i i 一。 ；( a p ) m | | ! 。+ 芝l 妥j j 。i i 。 s ；( 。一p ) l l m i ? - i + ；j 口| f n f | 2 ， 由口1 ( r 3 ) ql 6 ( r 3 ) ，和h s l d e r 不等式 i ( n n ，l e 1 2 ) i i i n n i l 6i l e 1 1 30 1 1 2 冬i i v n n i i i i e _ i i ；i i v 1 1 s 叼3 i i v 1 1 2 + 叼4 l l v n 1 1 2 + c ( v 3 ，叩4 ) i i e | 1 6 ， 1 2 r e ( g ，f ) i j j 9 f 2 + j j 5 r ”2 ， j 2 r e 渤，爵- ) j s j j 肌“! i + 7 i l v e n i l 2 ， f ( ( 一) 一i 1 ，( 一) 一5 m n ) f ：f f m w i i 三。+ ；l l h l l 。_ 。 1 t _ 一 哟朋是任意的常数取，| i ( 1 4 ) 足够小，由上面的不等式知 ) l l v s n 胪+ i m l l 2 _ 。+ ；i i v n 旷+ ；l l n 护一g t j 1 ( t ) q 其中c l = c ( k i ，m o ) ，伤= c ( m o ，尬，m 2 ，k 1 ) ，且不依赖于口 因此由( 2 2 8 ) 可得 夏d ( t ) + p ( t ) c 2 和引理2 1 类似，对( 2 3 4 ) 在【o ，t 】上求积分得 p x t ( t ) d t t q ， ，j j o 由积分中值定理得，存在t + 【o ，叫，使得 i t ( t * ) 譬 对( 2 3 4 ) 在【t + ，t + 卅( ost t ) 在上求积分得 1 1 【t ) = 1 1 ( t +