（理论物理专业论文）海森堡xy模型中的纠缠态.pdf

摘要 量子信息技术是量子力学与信息科学结合的产物，具有广泛的应用前景。目 前它包含众多的子学科，诸如：量子计算机，量子算法，量子博弈，量子通信， 量子网络，量子存储，量子纠错等等。近年来，科学家在这些方面取得了诸多的 突破，增强了人们对这一技术的信心。广大的科学家都对这一课题的前景充满信 心，它是当今科研的一个非常前沿的热门领域。 量子信息之所以不同于经典信息，之所以有着如此多的重要应用，这得益于 量子态与经典态的差别，即量子态是叠加态，更重要的是一种完全有别于经典态 的特殊量子态纠缠态。纠缠态又被称为e p r 对，纠缠系统中的成员不具有 各自独自的量子状态，只能整个群体具有一种确定状态，任何个体状态的改变都 会影响到系统中其他个体的量子态。由于量子纠缠态的重要作用，它的制备和量 化受到科学家广泛关注。 本文讨论了非均匀磁场中，两个粒子的h e i s e n b e r g 模型自旋纠缠态，得到了 这个模型中纠缠度的普遍形式，并且讨论了在不同的参数组合下不同的纠缠度形 式及其应用，找到了两种最佳的参数组合方式分别是均匀磁场下的1 s i n g 模 型和非均匀磁场下的各向同性x y 模型。同时验证了该结果的一些特殊形式与先 前一些文献的结论是一致的。 关键词：量子信息，纠缠态，h e i s e n b e r gx y 模型 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g yi st h eo u t c o m eo fm i x t u r eo fq u a n t u m m e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y rh a sb r o a da p p l i c a t i o n si nt h en e a rf u t u r e ： q u a n t u mc o m p u t e r , q u a n t u ma r i t h m e t i c ，q u a n t u mg a m e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ， q u a n t u mn e t ，q u a n t u ms t o r a g e ，q u a n t u me r r o rc o r r e c t i o ne t c i nr e c e n ty e a r s ，s c i e n t i s t s h a v em a d eg r e a tp r o g r e s si nt h e s ef i e l d sa n dh a v em o r ec o n f i d e n c ei ni t a tp r e s e n t ， m o r ea n dm o r es c i e n t i s t se n g a g ei nt h i sf i e l da n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nh a sb e e no n e o f t h em o s tp o p u l a rf o r e l a n d s t h er e a s o nw h yq u a n t u ml n f o r m a t i o ni sd i f f e r e n tw i t he l a s s i co n el i e si nt h e d i f f e r e n c eb e t w e e nq u a n t u ms t a t ea n dc l a s s i cs t a t e q u a n t u ms t a t ei ss u p e r p o s i t i o n t h e r ei sa n o t h e rv e r ys p e c i a ls 诅t e _ _ e n t a n g l e ds t a t e i ti sa l s oc a l l e de p rp a i r s t h e s y s t e mh a sac e r t a i ns t a t ea saw h o l e ，w h i l et h es u b s y s t e m sa r en o ts e p a r a t e a n y c h a n g eo fas i n g l ep a r t i c l ew i l li n f l u e n c et h es t a t eo fo t h e r s b e c a u s eo ft h ew i d eu s e o fe n t a n g l e m e n t ，s c i e n t i s t sh a v eb e e nb e n d i n gt h e m s e l v e st ot h ep r o d u c i n ga n d q u a n t i f i c a t i o no f e n t a n g l e m e n t w e i n v e s t i g a t et h et h e r m a le n t a n g l e m e n ti nt w o q u b i ta n i s o t r o p i ch e i s e n b e r gx y m o d e li nt h ep r e s e n c eo fa l le x t e r n a ln o n u n i f o r mm a g n e t i cf i e l dba l o n gz - a x e s c o n c u r r e n c e ，t h em e a s u r eo fe n t a n g l e m e n ti sc a l c u l a t e d ；i t sp r o p e r t yi ss t u d i e di n d i f f e r e n tc a s e s t w ob e s tm o d e l s ，i s i n gm o d e lu n d e rau n i f o r mm a g n e t i ca n di s o t r o p i c m o d e li nan o n u n i f o r mm a g n e t i cf i e l d ，a r ed i s c o v e r e d t h eo u t c o m e si n s p e c i a l c o n d i t i o n sa r ec o n s i s t e n tw i t ho u t c o m e so f f o r r n e ra r t i c l e s k e yw o r d s ： q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，e n t a n g l e m e n t ，h e i s e n b e r gx ym o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：日访乙 签字日期：口歹年 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤生蠢茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫蓬叁翌可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 露r 拭、 导师签名：带j 世 签字日期：蚺1 月f 珀签字日期：6 ；年月l 、日 第一章绪论 第一章绪论 量子信息技术是信息科学与量子力学相结合的新兴交叉学科。量子特性在信 息领域中有着独特的功能，在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容量和提 高检测精度等方面可能突破现有经典信息系统的极限，于是便诞生了一门新的学 科分支量子信息科学。它是量子力学与信息科学相结合的产物，包括：量子 密码、量子通信、量子计算和量子测量等，近年来，在理论和实验上已经取得了 重要突破，引起各国政府、科技界和信息产业界的高度重视。人们越来越坚信， 量子信息科学为信息科学的发展开创了新的原理和方法，必将在2 1 世纪发挥出 巨大的潜力i ”。 1 1 引言 著名物理学家费恩曼曾指出：量子力学的精妙之处在于引入几率幅( 即量子 态) 的概念。事实上，量子世界的千奇百怪的特性正是起源于这个量子态。 而 量子理论的长期激烈争论的焦点也在于这个量子态。量子信息科学就是采用这个 奇妙的量子态作为信息单元( 称为量子比特) 。量子比特是两态量子系统的任意 叠加态：i 缈 - a l o + b l l ，( + l b l 2 = 1 ) 其中io ) 和11 ) 为正交态，通常称为 计算基态或数据态。 现有的经典信息以经典比特作为信息单元，从物理角度讲，t b 特是个两态系 统，它可以制备为两个可识别状态中的一个，如是或非，真或假，o 或1 。在数字 计算机中电容器平板之间的电压可表示信息比特，有电荷代表1 ，无电荷代表0 。 一个比特的信息还可以用两个不同的光偏振或原子的两个不同能级来编码【2 】。而 量子信息的单元称为量子比特( q u b i t ) ，它是两个逻辑态的叠加态。 经典比特可以看成量子比特的特例。用量子态来表示信息是量子信息的出发 点，有关信息的所有问题都必须采用量子力学理论来处理，信息的演变遵从薛定 谔方程，信息传输就是量子态在量子通道中的传送，信息处理( 计算) 是量子态 第一章绪论 的幺正变换，信息提取便是对量子系统实行量子测量。因此，量子世界的奇妙特 性( 如叠加性、相干性、纠缠性、不可克隆定理等) 会在信息过程中发挥出重要 作用，使量子信息系统的信息功能突破现有经典信息系统的极限。例如，量子 计算机可攻破现有的密码体系，量子密码能提供绝对安全的保密通信系统，量子 因特网可构造性能独特的新型通信网络。 在实验中任何两态的量子系统都可以用来制备成量子比特，常见的有：光子 的正交偏振态、电子或原子核的自旋、原子或量子点的能级、任何量子系统的空 间模式等。信息一旦量子化，量子力学的特性便成为量子信息的物理基础，其主 要的有：( 1 ) 量子态的叠加性：量子信息可以同时输入或操作n 个量子比特的 叠加态：( 2 ) 量子相干性：量子干涉现象成为量子信息诸多特性的重要物理基础； ( 3 ) 量子纠缠性：n ( 大于1 ) 的量子比特可以处于量子纠缠态，对其中某个 子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态：( 4 ) 量子不可克隆定理 j ：量子 力学的线性特性禁止对任意量子态实行精确的复制，这个定理和不确定性原理构 成量子密码术的物理基础。 国际著名的量子信息权威c h b e n n e t t 于2 0 0 0 年曾在( ( n a t u r e ) ) 上发表一篇 评述性文章【4 他精辟地指出，从经典信息到量子信息的推广，就象从实数到复 数的推广一样。量子信息的基体是经典信息和量子纠缠，两者具有截然不同的特 性：经典信息可以克隆，但只能沿着时间箭头方向传播，而量子纠缠不可克隆， 但却能把时空中的任意两点联系起来。所以，量子信息除研究诸如计算、传输 等传统内容之外，还萌生出如量子对策、量子通信复杂性等新的课题。 1 2 量子信息技术现状1 i 量子信息技术的发展日新月异，人们己经在不同的领域取得了程度不等的突 破。 1 9 9 5 年，美国纽约大学物理系的s l e a t o r 等证明用两位的量子门足以建立任何 量子逻辑网络，大大简化了在物理上实现量子计算网络的过程；奥地利理论物理 研究所的c i r a c 等证明通过离子阱中的离子集体量子运动了实现量子门；英国牛 津大学的b a r e n c o ，d e u t s c h 等提出实现量子逻辑门的两种物理途径。 1 9 9 7 年，日内瓦大学的g i s i n 小组用手提箱大小的发生器产生纠缠光子对， 第一章绪论 的幺正变换，信息提取便是对量子系统实行量子测量。冈此，量子世界的奇妙特 性( 如叠加性、相干洼、纠缠性、不可克隆定理等) 会在信息过程中发挥出重要 作用，使量子信息系统的信息功能突破现有经典信息系统的极限。例如，量子 计算机可攻破现有的密码体系，量子密码能提供绝对安全的保密通信系统，量子 因特网可构造性能独特的新型通信网络。 在实验中任何两态的量子系统都可以用来制备成量于比特，常见的有：光子 的正交偏振态、电子或原子核的自旋、原子或量子点的能级、任何量子系统的空 间模式等。信息一旦量子化量子力学的特性便成为量子信息的物理基础，其主 要的有：( 1 ) 量子态的叠加性：量子信息可以同时输入或操作n 个量子比特的 叠加态；( 2 ) 量子相干性：量子干涉现象成为量子信息诸多特性的重要物理基础； ( 3 ) 量子纠缠性：n ( 大于1 ) 的量子比特可以处于量子纠缠态，对其中某个 子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态；( 4 ) 量子不可克隆定理p l ：量子 力学的线性特性禁止对任意量子态实行精确的复制，这个定理和= _ f ；确定性原理构 成量子密码术的物理基础。 国际著名的量子信息权威c h b e n n e t t 于2 0 0 0 年曾在( n a t u r e ) ) 上发表一篇 评述性文章【4 ，他精辟地指出，从经典信息到量子信息的推广，就蒙从实数到复 数的推广一样。量子信息的基体是经典信息和量子纠缠，两者具有截然不同的特 性：经典信息可以克隆，但只能沿着时间箭头方向传播，而量子纠缠不可克隆， 但却能把时空中的任意两点联系起来。所以，量子信息除研究诸如计算、传输 等传统内容之外，还萌生出如量子对策、量子通信复杂性等新的课题。 1 2 量子信息技术现状1 1 l 量子信息技术的发展日新月异，人们已经在不雨的领域取得了程度不等的突 破。 1 9 9 5 年，美国纽约大学物理系的s l e a t o r 等证明用两位的量子门足阻建立任何 量子逻辑网络，大大简化了在物理上实现量子计算网络的过程：奥地利理论物理 研究所的c i r a c 等证明通过离子阱中的离子集体量子运动了实现量子门；英国牛 津大学的b a r e n c o ，d e u t s c h 等提出实现量子逻辑门的两种物理途径。 1 9 9 7 年，日内瓦大学6 3 g i s i n d , 组用手提箱大小的发生器产生纠缠光子对， 1 9 9 7 年，日内瓦人学的g i s i n d , 组用手提箱大小的发生器产生纠缠光子对， 第一章绪论 通过光纤送到相距1 0 ，9 k m 的两个村庄，并确定它们是相关的，从而证明了纠缠不 会因为距离远而消失。 1 9 9 7 年，奥地利的i n n s b r u c k 大学的b o u w m e e s t e r ，潘建伟等在实验上实现了 光子的偏振态的超距传输1 5 】 并于1 9 9 8 年，实现第一个纠缠交换实验【6 。 2 0 0 0 年8 月，i b m 宣布已经实现用5 个原子作为处理器和存储器的世界最先进 的量子计算机，首次演示了一次完成密码学中要用到的求函数的周期( 远远快于 普通计算机) ，下一步是作出能够进行超快计算的实用型机器。 2 0 0 1 年1 2 月，n a t u r e 发表了i b m 研究中心的v a n d e r s y p e n 等人完成的实验，他 们利用了分子中的7 个自旋为t 2 的原子核，用核磁共振方法实现t 3 5 = 1 5 的s h o r 量子算法1 1 1 。 2 0 0 2 年秋，中国科技大学量子物理与量子信息实验室经过长期研究获得了国 际上亮度最高的纠缠对光源。利用该纠缠态光源，实验室的研究人员成功地研制 出亮度比以往世界记录高1 0 0 倍的四光子纠缠光源，并在此基础上于2 0 0 3 年实现 了量子纠缠态浓缩和量子中继器f 7 】。这被众多专家认为这是远距离量子通信实验 领域一个重要的进展，是未来实现远距离量子通信的希望。 1 3 作者主要工作 从以上种种令人兴奋的研究成果可以看出，量子信息科学正在大踏步的前 进，科学家正在做着各种理论和实验上的准备，相信不久的将来量子信息技术就 会走入人们的生活。 在整个量子信息科学技术中，量子纠缠态是整个量子信息科学的基础，是实 现各种技术的保证和基本条件，因此如何获得最大纠缠态，如何防止纠缠对退纠 缠就摆在人们面前。科学家讨论了不同的纠缠态模型，计算了不同模型的纠缠度， 其h e i s e n b e r g 模型讨论得最多。但是，在对这个模型的种种讨论中，全部是选 取了特殊的参数组合，得到的结果具有一定的局限性，也不便于各种具体模型之 间的比较和讨论。 本文讨论了非均匀外磁场条件下的 l e i s e n b 凹g 模型的自旋纠缠态，最大可能 的减少了对参数条件的限制。得到了普遍条件下纠缠度的解析式；有重点的分析 第章绪论 了不同条件下纠缠态的具体形式并且与以前人们讨论的特殊结果作了比较和讨 论；通过计算和分析，得到了两种最大纠缠度模型和它们的具体参数条件，并且 对这两种模型也作了一个详细的比较。 第二章量子信息技术简介 第二章量子信息技术简介 量子信息技术是一门新兴的技术，它具有广泛的应用前景，世界各个强国都 积极参与到这个项目中，争取在这个领域取得领先，从而可以获得巨大的经济利 益和非一般的信息安全，同时可以轻易的破坏其他国家的信息安全。量子信息技 术包括量子计算机，量子计算，量子通信，量子密码等等。在此，对这些内容做 一下简要介绍。 2 1 置子计算机2 】 量子计算枫是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理 量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法 时，它就是量子计算机。量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究。研究可逆 计算机的目的是为了解决计算机中的能耗问题。2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代，人 们发现能耗会导致计算机中的芯片发热，极大地影响了芯片的集成度，从而限制 了计算机的运行速度。研究发现，能耗来源于计算过程中的不可逆操作。那么， 是否计算过程必须要用不可逆操作才能完成昵? 问题的答案是：所有经典计算机 都可以找到一种对应的可逆计算机，而且不影响运算能力。既然计算机中的每一 步操作都可以改造为可逆操作，那么在量子力学中，它就可以用一个幺正变换来 表示。早期量子计算机，实际上是用量子力学语言描述的经典计算机，并没有用 到量子力学的本质特性，如量子态的叠加性和相干性。在经典计算机中，基本信 息单位为比特，运算对象是各种比特序列。与此类似，在量子计算机中，基本信 息单位是量子比特，运算对象是量子比特序列。所不同的是，量子比特序列不但 可以处于各种正交态的叠加态上，而且还可以处于纠缠态上。这些特殊的量子态， 不仅提供了量子并行计算的可能，而且还将带来许多奇妙的性质。与经典计算机 不同，量子计算机可以做任意的幺正变换，在得到输出态后，进行测量得出计算 第二章量子信息技术简介 结果。因此，量子计算对经典计算作了极大的扩充，在数学形式上，经典计算可 看作是一类特殊的量子计算。量子计算机对每个叠加分量进行变换，所有这些 变换同时完成，并按一定的概率幅叠加起来，给出结果，这种计算称作量子并行 计算。除了进行并行计算外，量子计算机的另重要用途是模拟量子系统，这项 工作是经典计算机无法胜任的。 无论是量子并行计算还是量子模拟计算，本质上都是利用了量子相干性。遗 憾的是，在实际系统中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一 个孤立的系统，它会与外部环境发生相互作用，导致量子相干性的衰减，即消相 干。因此要使量子计算成为现实，一个核心问题就是克服消相干。而量子编码 是迄今发现的克服消相干最有效的方法。主要的几种量子编码方案是：量子纠错 码、量子避错码和量子防错码。量子纠错码是经典纠错码的类比，经典纠错码是 目前研究的最多的一类编码，其优点为适用范围广，缺点是效率不高。 与传统的电子计算机相比量子计算机有以下优势： 解题速度快 传统的电子计算机用“1 ”和“0 ”表示信息，而量子粒子可以有多种状态， 使量子计算机能够采用更为丰富的信息单位，从而大大加快了运行速度。例如， 电子计算机使用的r s a 公钥加密系统是以巨大数的质因子非常难以分勰为基础 设计的一种多达4 0 0 位长的“天文数字”，如果要对其进行因子分解，即使使用 目前世界上运算速度最快的超级计算机，也需要耗时1 0 亿年。如果用量子计算机 来进行因子分解，则只需1 0 个月左右。 存储量大 电子计算机用二进制存储数据，量子计算机用量子位存储，具有叠加效应， 有m 个量子位就可以存储2 ”个数据。因此，量子计算机的存储能力比电子计算 机大得多。 搜索功能强劲 美国朗讯科技公司贝尔实验室的l o vk g r o v e r 教授发现，量子计算机能够 组成一种量子超级网络引擎，可轻而易举地从浩如烟海的信息海洋中快速搜寻出 第二章量子信息技术简介 特定的信息。其方法是采用不同的量子位状态组合，分别检索数据库里的不同部 分，其中必然有一种状态组合会找到所需的信息。 安全性较高 科学家们发现，如果过往的原子因发生碰撞而导致信息丢失时，量子计算 机能自动扩展信息，与家族伙伴成为一体，于是系统可以从其家族伙伴中找到替 身而使丢失的信息得以恢复。 科学家们预言，2 1 世纪将是量子计算机、生物计算机、光学计算机和情感计 算机的时代，就像电子计算机对2 0 世纪产生了重大影响一样，各种新颖的计算机 也必将对未来的2 l 世纪产生重大影响。 2 2 量子计算剐 量子比特可以制备在两个逻辑态0 和l 的相干叠加态，换句话讲，它可以同 时存储o 和1 。考虑一个n 个物理比特的存储器，若它是经典存储器，则它只能 存储2 n 个可能数据当中的任一个，若它是量子存储器，则它可以同时存储2 ”个 数，而且随着n 的增加，其存储信息的能力将指数上升，例如，一个2 5 0 量子比 特的存储器( 由2 5 0 个原子构成) 可能存储的数达2 2 ”，比现有已知的宇宙中全 部原子数目还要多。 由于数学操作可以同时对存储器中全部的数据进行，因此，量子计算机在实 施一次的运算中可以同时对2 ”个输入数进行数学运算。其效果相当于经典计算 机要重复实施2 ”次操作，或者采用2 “个不同处理器实行并行操作。可见，量子 计算机可以节省大量的运算资源( 如时间、记忆单元等) 。 为开拓出量子计算机巨大的并行处理能力，必须寻找适用于这种量子计算的 有效算法。 2 2 1s h o r 算法0 8 】 s h o r 于1 9 9 4 年发现的s h o r 算法可以有效地用来进行大数因子分解! 大数因子 第二章量子信息技术简介 分解是现在广泛用于电子银行、网络等领域的公开密钥体系r s a 安全性的依据! 采用现有计算机对数! ( 二进制长度为l o g “) 做因子分解，其运算步骤( 时间) 随输入长度l o g ”指数增长! s h o r 算法的主要思想是，首先利用数论中的一些定理，将大数因子分解转化 为求一个函数周期问题，而后者可以用量子快速傅里叶变换在多项式步骤内完成 他证明了，利用量子计算机，可以在多项式步骤内进行大数因子分解! 实验上， 目前一个推广了的s h o r g 法已经在核磁共振中得到实现! s h o r 的开创性工作有力地刺激了量子计算机和量子密码术的发展，成为量子 信怠科学发展的重要里程碑之一。 2 2 2 g r o v e r 算法9 】 1 9 9 7 年g r o v e r 发现了另一种很有用的量子算法，即所谓的量子搜寻算法，它 适用于解决如下问题：从n 个未分类的客体中寻找出某个特定的客体。经典算 法只能是一个接一个地搜寻，直到找到所要的客体为止，这种算法平均地讲要寻 找n 2 次，成功几率为1 2 ，而采用g r o v e r 的量子算法则只需要次。例如， 要从有着1 0 0 万个号码的电话本中找出某个指定号码，该电话本是以姓名为顺序 编排的。经典方法是一个个找，平均要找5 0 万次，才能以l 2 几率找到所要电话 号码。g r o v e l 的量子算法是每查询一次可以同时检查所有1 0 0 万个号码。由于1 0 0 万量子比特处于叠加态，量子干涉的效应会使前次的结果影响到下一次的量子操 作，这种干涉生成的操作运算重复1 0 0 0 ( 即, i n ) 次后，获得正确答案的几率为 1 2 。但若再多重复操作几次，那么找到所需电话号码的几率接近于l 。 g r o v e r 算法的用途很广，可以寻找最大值、最小值、平均值等，也可以用于 下棋。最有趣的是可有效地攻击密码体系，如d e s 体系，这个问题的实质是从 2 ”= 7 1 0 “个可能的密钥中寻找一个正确的密钥。若以每秒1 0 0 万密钥的运算速 率操作，经典计算需要1 0 0 0 年，而采用c , r o v e r 算t 法的量子计算机则只需小于4 分 钟的时间。难怪g - r o v e r 以“量子力学可以帮助在稻草堆中寻找一根针”这样的 题目在p r l 上公布他的算法1 9 j 。 第二章量子信息技术简介 2 3 量子通信【1 0 】 在科幻电影或神话小说中，常常有这样的场面：某人突然在某地消失掉，其 后却在别的地方莫明其妙地显现出来。从物理学角度，人们可以这样地想象隐形 传送的过程：先提取原物的所有信息，然后糨这个信息传送到接收地点，接收者 依据这些信息，选取与构成原物完全相同的基本单元( 如原子) ，制造出原物完 美的复制品。遗憾的是，量子力学的不确定性原理不允许精确地提取原物的全部 信息，这个复制品不可能是完美的。因此长期以来，人们认为隐形传物只不过是 种幻想而已。 1 9 9 3 年b e r m e t 等人在p r l 上发表一篇开创性的论文，提出量子隐形传输的 方案：将某个粒子的未知量子态( 即未知量子比特) 传送到另一个地方，把另一 个粒子制备到这个量子态上，而原来的粒子仍留在原处。其基本思想是：将原物 的信息分成经舆信息和量子信息两部分，它们分另i j 经由经典通道和量子通道传送 给接收者。经典信息是发送者对原物进彳亍某种测量而获得的，量子信息是发送者 在测量中未提取的其余信息。接收者在获得这两种信息之后，就可制造出原物量 子态的完全复制品。这个过程中传送的仅仅是原物的量子态，而不是原物本身。 发送者甚至可以对这个量子态一无所知，而接收者是将别的粒子( 甚至可以是与 原物不相同的粒子) 处于原物的量子态上。原来的量子态在此过程中己遭破坏。 中 图2 3 1 量子通信示意图 a l i c e 为信息传递者，b o b 为信息接收者， e p r 源产生一个纠缠光子对，( 用下标2 ，3 代表纠缠对中的光子) 将光子2 和3 分别传递给a l i c e 和b o b 第二章量子信息技术简介 纠缠光子对的联合波函数为 2 3 = 胃1 ( 10 ) 2 1 1 3 一1 1 ) 2 io l ) ( 2 3 - 1 ) 上 要传递的是粒子用下标l 标记，处于量子态 陋 1 = a 1 0 1 + b 1 1 1 ( 2 3 - 2 ) 粒子1 与e p r 对耦合则整个系统处于态 甲) 1 2 3 = l 巾) 1 i y ) 2 3 2 ( 1 0 ) 一i o ) ：峨一l o ，峨l o ，) + 胃u ( 峨l o ) ：协一吣慨io ；) 吖v 上 1 ( 2 3 - 3 ) = 妻d 妒卜) 1 2 ( 一口l o ) 3 一b l l 3 + l _ 5 f ，h 1 2 ( 一口i o 3 + h i l 3 ) 】+ 昙【l 中( 一) 。：( 口j1 ) 。+ b0 。) + im ( + ，2 ( d1 ) 。一bo 。) 】 ) ，z = 西1 ( 慨| 1 ) ，i 。 ：) 一) 。：= 西1 ( 0 2 1 ) ：) ( 2 3 4 1 对光子1 和2 进行联合b e l l 基测量，将会得到四个b e l l 基之( 几率都是 2 5 ) ，不同的测量结果粒子3 将处于不同的量子态。a l i c e 将测量结果用经典的方 式通知b o b ，b o b 根据此结果实施相应的幺正变换( 可以使用量子门实现) ，使粒子 3 与粒子1 初始波函数一样。对应关系如下： 第二章量子信息技术简介 表2 3 - 1 幺正变换 b e l l 基i o 3实施变换 y 一 1 2 - a10 ( 一6 ) ( 01 ) y + ) 1 2 c - 10 ( o】) l 中一) 1 2 b 01 ( ) ( 1o )a j 中+ 1 2 6 0 1 ( ) ( 10 )a 1 9 9 7 年年底奥地利研究组首先在实验上演示成功这种量子隐形传输【”，论 文发表在自然上，引起国际学术界的极大兴趣。在这之后，有若干研究组相 继在实验上实现了这种量子隐形传输1 1 1 4 4 。这个消息坚定了科学家对量子信息的 信心，各种新的实验方案不断被提出来，而且信息的载体也不仅仅局限在光子， 还包括一些分子，原子 13 1 ，这就为量子信息的存储提供了可能。 量子隐形传输所传送的是量子信息，它是量子通信最基本的过程。人们基于 这个过程提出实现量子因特网的构想。量子因特网是用量子通道来联络许多量子 处理器，它可以同时实现量子信息的传输和处理。相比于现在经典因特网，量子 因特网具有安全保密特性，可实现多端的分布计算，有效地降低通信复杂度等一 系列优点。目前学术界正在致力于研究量子通信网络的关键技术，如高亮度纠缠 源、纠缠操作和纯化、量子中继和量子处理器等，并不断地取得重要的进展。相 信在不久的将来，一种新颖的通信方式将会展现在人们的面前，发挥出奇特的作 用。 通过以上叙述可以得知，量子隐形传输过程中，信息被分为量子信息和经典 信息两部分，只要b o b 收到a l i c e 的经典信息就可以实施相应变换得到粒子1 的初始状态；而其他人收到这个经典信息却毫无用途，因为他们不可能获得量子 信息，利用这一点可以实现不可破译的密码传输。 第二章量子信息技术简介 2 4 量子密码术1 】 量子密码术是密码术与量子力学结合的产物，它利用了系统所具有的量子性 质。首先想到将量子物理用于密码术的是美国科学家威斯纳。威斯纳于1 9 7 0 年 提出，可利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票”。但这个设想的实现需要长 时间保存单量子态，不太现实。贝内特和布拉萨德在研究中发现，单量子态虽然 不好保存但可用于传输信息。1 9 8 4 年，c h a r l e sb e n n e t t 和g i l l e sb r a s s a r d 提出了 第一个量子密码术方案【1 “，称为b b 8 4 方案，由此迎来了量子密码术的新时期。 1 9 9 2 年，c h a r l e sb e n n e t t 又提出一种更简单，但效率减半的方案，即b 9 2 方案【16 】。量子密码术并不用于传输密文，而是用于建立、传输密码本。根据量子 力学的不确定性原理以及量子不可克隆定理，任何窃听者的存在都会被发现，从 而保证密码的绝对安全，也就保证了加密信息的绝对安全。最初的量子密码通信 利用的都是光子的偏振特性，目前主流的实验方案则用光子的相位特性进行编 码。目前，在量子密码术实验研究上进展最快的国家为英国、瑞士和美国。英国 国防研究部于1 9 9 3 年首先在光纤中实现了基于b b 8 4 方案的相位编码量子密钥 分发，光纤传输长度为1 0 公里。这项研究后来转到英国通讯实验室进行，到1 9 9 5 年，经多方改进，在3 0 公里长的光纤传输中成功实现了量子密钥分发。与偏振 编码相比，相位编码的好处是对光的偏振态要求不那么苛刻。在长距离的光纤传 输中，光的偏振性会退化，造成误码率的增加。然而，瑞士日内瓦大学1 9 9 3 年 基于b b 8 4 方案的偏振编码方案，在1 1 公里长的光纤中传输1 - 3 微米波长的光 子，误码率仅为o 5 4 ，并于1 9 9 5 年在日内瓦湖底铺设的2 3 公里长民用光通信 光缆中进行了实地表演，误码率为3 4 。1 9 9 7 年，他们利用法拉第镜消除了光 纤中的双折射等影响因素，使得系统的稳定性和使用的方便性大大提高，被称为 “即插即用”的量子密码方案。美国洛斯阿拉莫斯国家实验室，创造了目前光纤 中量子密码通信距离的新纪录。他们采用类似英国的实验装置，通过先进的电子 手段，以b 9 2 方案成功地在长达4 8 公里的地下光缆中传送量子密钥，同时他们 在自由空间里也获得了成功。1 9 9 9 年，瑞典和日本合作，在光纤中成功地进行 了4 0 公里的量子密码通信实验。 第二章量子信息技术简介 2 5 量子信息在中国 在中国，量子密码通信的研究刚刚起步，中科院物理所于1 9 9 5 年以b b 8 4 方案在国内首次做了演示性实验，华东师范大学用b 9 2 方案做了实验，但也是 在距离较短的自由空间里进行的。2 0 0 0 年，中科院物理所与研究生院合作，在 8 5 0 纳米的单模光纤中完成了1 1 公里的量子密码通信演示性实验。总的来说， 比起国外目前的水平，我国还有较大差距。 2 6 前景与展望 量子力学的研究进展导致了新兴交叉学科量子信息学的诞生，为信息科 学展示了美好的前景。另一方面，量子信息学的深入发展，遇到了许多新课题， 反过来又有力地促进量子力学自身的发展。当前量子信息学无论在理论上，还是 在实验上都在不断取得重要突破，从而激发了研究人员更大的研究热情。但是， 实用的量子信息系统是宏观尺度上的量子体系，人们要想做到有效地制备和操作 这种量子体系的量子态目前还是十分困难的。 人类在2 0 世纪能够精确地操控航天飞机和搬动单个原子，但却未能掌握操 控量子态的有效方法。在2 1 世纪，人类应积极致力于量子技术的开发，推动科 学和技术更迅速地发展。 第三章量子纠缠态 第三章量子纠缠态 量子纠缠态在整个量子信息学中处于基础地位，它是整个量子信息学大厦的 基石，因此有必要在此简要介绍一下量子纠缠态。 3 1 量子纯缠态 量子纠缠是存在于多粒子体系量子系统中的一种奇妙现象，即对一个子系统 的测量结果无法独立于对其他子系统的测量参数。虽然近些年来，随着量子信 息的蓬勃发展，量子纠缠逐渐成为人们的热门话题，但它并不是什么新事物“纠 缠”这一名词的出现可以追溯到量子力学诞生之初。例如，在爱因斯坦等人于 1 9 3 5 年提出的e p r 佯谬m3 中便己提出纠缠态的想法，玻尔在这个争论中也看到 了在考虑多粒子时量子理论会导致纯粹的量子效应。然而，无论是玻尔还是爱 因斯坦，都没有洞悉他们所讨论的纠缠态的全部含义，在经过数十年的努力后， 量子纠缠的含义才逐渐地被发掘出来非局域性是量子力学的基本性质。 这场争论的本质在于：真实世界是遵从爱因斯坦的局域实在论，还是玻尔的 非局域性理论。长期以来，这个争论停留在哲学上，难以判断“孰是孰非”，直 到b e l l 基于爱因斯坦的隐参数理论而推导出著名的b e l l 不等式i l8 1 ，人们才有可 能在实验上寻找判定这场争论的依据。法国学者首先在实验上证实了b e l l 不等 式可以被违背，支持了玻尔的看法。之后，随着量子光学的发展，有更多的实验 支持了这个结论。1 9 9 7 年瑞士学者更直截了当地在1 0 公里光纤中测量到作为 e p r 对的两个光子之间的量子关联。现在，量子纠缠态已被广泛地应用于量子信 息的各个领域。 那么，什么样的量子态才算是纠缠态呢? 设想有一个由a 和b 构成的复合系 统，如果他们的量子态不能表示成为子系统态的直积则称为纠缠态，即 i 甲) 。b l y ) 。o l 。，那就可以说a 和b 处于纠缠态，它们是个不可分割的系 第三章量子纠缠态 统。纠缠态l 甲) 。具有非局域关联特性：无论a 与b 在空间上分离多远，彼此都有 量子关联，对a 的测量会导致b 的量子态的坍缩( e p r 效应) 。下面将通过个 特殊的例子b e l l 态来讨论一下纠缠态。 3 2 b e i 鑫 b e l l 态是两态的两粒子系统的最大纠缠态 1 ) 1 ，= 击) z 蜊划蚴 扩) ) l ：= 击( 0 ) 2 圳) 1 f 1 ) 2 ) ( 3 2 1 ) 它们构成四维空间中的正交完备基，若采用这组基对任意态i 甲) 。实麓正交 测量，称为b e l l 基测量。每个b e l l 态携带非局域的两比特信息： 宇称比特( p a r i t yb i t ) ：f 中) 代表偶宇称，i 缈) 代表奇宇称； 相位比特( p h a s e b i t ) ：分别由+ ，一来表征。 仅依靠单个子系统的任意操作均无法提取这两比特信息。借助于联合操作才可能 提取编制于两个量子比特关联之中的比特信息。 假设系统处于j 妒+ ) ，那么所谓的量子态的坍缩就是，如果仅对单独的予系 统a 进行测量，如果a 处于态1 0 ，那么b 将会同时处于态1 1 ；如果a 处于态 1 ) ， 那么b 将会同时处于态j0 ) ；这两种情况的概率都是1 ，2 。所以这样的测量必然会 导致相互关联信息的丢失。 对单个粒子可实施如下的局域变换： ，= ( ：? ) ，q = ( ；：) ，= ( ? - 。i ) ，码= ( ：一0 。) ( 3 2 - 2 ， 若对b e l l 态实施局域操作，可实现b e l l 态之间的变换： 第三章量子纠缠态 0 3 ：jm + ) - + 1 巾一 ，il ；f ，+ 斗iy 。) 盯j ：l 中+ ) + ly + ) ，1 中一) 叫y 一) 吒营q 吒： j 中 叫妒一) ，j 中一 叶| “) ( 3 2 3 ) 这些局域变换无法改变每个粒子( a ，b ) 的状态，它们均为n = 肪2 ，故局域 操作可以编制经典比特信息于b e l l 态之中，但局域操作无法提取所编制的比特， 只有联合操作才能提取信息。 3 3 纠缠大小的度量纠缠度 既然处于量子纠缠态的系统具有不可分割性，那么如何来衡量两个子系统之 间的联系程度，即两个子系统在多大程度上处于纠缠态。如何对此进行量化呢? 两粒子纯纠缠态的纠缠度可用其子系统的v o nn e u m a n n 熵来度量，但两粒子 混合态以及多粒子纠缠态的纠缠度应如何度量有很多种方法，诸如“束缚纠缠”、 “可蒸馏纠缠”、“纠缠激活”等等。目前最常用的是w k w o t t e r s i l g l 等人提出的纠 缠度算法。在此模型中，引入c o n c u r l e r l c ec ，当c = o 时，两个粒子无纠缠；c = i 时，两个粒子处于最大纠缠态；纠缠度e 随着c 增大而增加。纠缠度 一哇毛瓜) 其中 ( z ) = - x l o g ：一( 1 一z ) 1 0 9 ：i - 。( x e 【o ，l 】) c = m a x ( x ，一凡2 一 3 一 。，0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 - 2 ) i 为算符r 本征值的平方根，r = p x ( 吖o ) x p + ( o - ( o ) ，且xi 按 从大至u ，j 、封 歹0 。 第三章量子纠缠态 本文中将采用w k w o r t e r s 等人提出的纠缠度计算方法，并在本文中将 c o n c u r r e n c ec 直接称为纠缠度，而不至于引起混淆。 第四章h e i s e n b e r gx y 模型 第四章h e i s e n b e r gx y 模型 人们一直在尝试如何制备纠缠态，人们尝试各种模型来产生纠缠，h e i s e n b e r g 模型就是其中之。人们广泛研究了两个粒子的h e i s e n b e r g 模型的自旋态纠缠。 王小光在一篇e n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u mh e i s e n b e r gx ym o d e l l 2 0 1 的文章中 使用了这个模型，计算了沿z 方向均匀磁场作用下两个粒子h e i s e n b e r gx y 模型。 讨论了纠缠与磁场，温度的关系。此后，人们就这个模型展开了广泛而深入的讨 论 z l - 2 “。 4 1h e i s e n b e r gx y 模型简述 该模型中，态函数分布满足热平衡方程 雕) ：e ) 【时寺，z ( 4 1 1 ) 其中z - t r e x p ( 一专) 为配分函数， k b 为波尔兹曼常数d 在下面的讨 论中一律将k 。= 1 ，以方便讨论和计算。 因此，该模型中的纠缠也称为热力学纠缠。 沿z 方向磁场作用下两个粒子h e i s e n b e r g 相互作用的h a m i l t o n i a n 表达式： = 1 1 6 a ；圆矗十吖。一十正矸。西 + 1 q q z 固+ 岛叫。) ( 4 1 - 2 ) 其中，j 。为自旋耦合常数，是一个实数，j 。 o 为逆磁模型。 j 。= j y = j ：为x x x 模型，j 。= j y j z 为x x z 模型，j x = j y j z = o 为各向同性x y 模 型，j x j 芳0 ，j z = o 为各向异性x y 模型。在文献5 l 中讨论了z 方向磁场下的各 第四章h e i s e n b e r gx y 模型 向同性x y 模型的热力学纠缠，磁场b 的改变不影响t 。( 在此温度之