（应用数学专业论文）有限幂零群通过阿贝尔2群的圈积的正规化子性质.pdf

a b s t r a c t a m o n gt h eq u e s t i o n so ft h ei n t e g r a lg r o u pr i n g ，t h en o m a l i z e rc o n j e c t u r ei so n eo f t h eh o t t e s ts u b j e c t s a l t h o u g hm ，h e r t w e c k ( 2 0 01 ) c o n s t r u c t e d e daf i r s tc o u n t e r e x a m p l et o t h en o r m a l i z e rp r o b l e m n e v e r t h e l e s s ，i ti ss t i l lo fi n t e r e s tt of i n dc l a s s e so fg r o u p sf o r w h i c ht h en o r m a l i z e rp r o p e r t yh o l d s i nt h i sa r t i c l e ，w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gt w o p r o b l e m s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h en o r m a l i z e rp r o p e r t yo fm e t a b e l i a ng r o u p sa n dh a v e t h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e mal e tgb et h es e m i d i r e c tp r o d u c to faa n dh ，w h e r eai sa n e l e m e n t a r ya b e l i a n2 - g r o u pa n dhi sa nn o r m a la b e l i a ns u b g r o u p t h e nt h en o r m a l i z e r p r o p e r t yh o l d sf o r g i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h en o r m a l i z e rp r o p e r t yf o ri n t e g r a lg r o u pt i n g so f w r e a t hp r o d u c to ff i n i t en i l p o t e n tg r o u p sb ya b e l i a n2 - g r o u p s ，w eh a v et h ef o l l o w i n g r e s u l t ： t h e o r e mbl e tg = n w r pb et h ew r e a t hp r o d u c to fnb yp w h e r eni s af m i t en i l p o t e n tg r o u p ，a n dpi sa na b e l i a n2 - g r o u p t h e nt h en o r m a l i z e rp r o p e r t y h o l d sf o r g k e yw o r d s ：t h en o r m a l i z e rp r o p e r t y ；s e m i d i r e c tp r o d u c t ；w r e a t hp r o d u c t 目录 引言l 第1 章基础知识3 第2 章一类具有半直积分解的有限群的正规化子性质6 第3 章有限幂零群通过阿贝尔2 一群的圈积的正规化子性质8 3 1 基群为阿贝尔群的情形8 3 2 基群为一般幂零群的情形1 2 参考文献1 9 攻读学位期间的研究成果2 l 致谢2 2 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明2 3 引言 引言 早在1 8 5 4 年a c a y l e y 就提出了整群环的概念( 见文献 1 ) ，人们从此开始了对整群环 的研究在整群环的诸多问题中，正规化子猜想备受关注 设g 是一个有限群，我们用u ( z g ) 表示整群环z g 的单位群，用z ( u ( z g ) ) 表示单位群 u ( z g ) 的中心，用nu ( 嬲) ( g ) 表示有限群g 在单位群u ( z g ) 中的正规化子显然我们有： z ( u ( z g ) ) nu ( z gj ( g ) 及g n u ( z g ) ( g ) 从而g z ( u ( z g ) ) - n t j f z g ( g ) ，这样一个自然的问题就是g z ( z g ) ) = n 啷) ( g ) 是否总成 立( 这个问题也就是文献【2 】中的问题4 3 ) 如果上述问题成立，我们就称有限群g 具有正规 化子性质上述问题在历史上也被称为正规化子猜想： n o r m a l i z e rc o n j e c t u r e 对于有限群g ，是否有n u ( z g ) ( g ) = g z ( u ( z g ) ) 成立 关于正规化子问题第一个肯定的结果是在1 9 6 4 年由d b c o l e m a n 在文献【3 】中给出的， 事实上，他证明了下面这个结果： c o l e m a n 引理设g 是有限群，尸是g 的一个p 一子群，则n u z 6 ) ( 尸) _ n g ( 尸) c u z 6 ( p ) 上述这种表述形式最早出现在文献 4 ，命题1 1 4 中，也可以参见文献 5 中的定理2 6 c o l e m a n 引理的意义是：z g 中的稳定尸的单位在p 上的作用相当于g 中一个稳定p 的元 在其上的作用作为c o l e m a n 引理的直接结果，我们有： 定理l 设g 是有限幂零群，则g 有正规化子性质 随后，s j a c k o w s k i ，z s m a r c i n i a k 在 5 中推广了上面这个结果，证明了 定理2 设g 是一个具有正规s y l o w2 一子群的有限群，则g 有正规化子性质 设甜n u i 嬲，( g ) ，则纯：g - - - g ( g i - 4u - g u ) 是g 的一个自同构在 5 中，s j a c k o w s k i ， z s m a r c i n i a k 利用这种自同构给出了一个正规化子性质成立的判定条件： 定理3 设g 是一个有限群，p 是g 的一个取定的s y l o wp 一子群，记 i ，j = 仃a u t z ( g ) l 仃2 = i d ，仃i p = i d 若i ，l n n ( g ) ，则g 有正规化子性质 利用定理3 的思想方法，t p e t i tl o b a o ，c ，p o l c i n lm i l i e s 在【6 】证明了： i 青岛大学硕士学位论文 定理4 设g 是一个有限f r o b e n i u s 群，则g 有正规化子性质 在这个定理证明过程中。作者充分利用了有限f r o b e n i u s 群的一些结构，通过具体的技 巧性极强的计算验证了l 尸量t r m ( g ) ，从而证明这样的f r o b e n i u s 群具有正规化子性质 基于同样的思想方法，t p e t i tl o b i o ，s k s e h g a l 在【1 8 】中证明了： 定理5 设g = n w r s y m 是一个完全单项群，其中是一个有限幂零群，s y m m 是m 次对 称群则g 有正规化子性质 近来，涌现出了许许多多的关于正规化子问题的一些结果，关于这方面结果，可以参见 1 6 - 1 8 ，特别我们要提到的是l iy u a n l i n 在【8 】中证明了下列结果： 定理6 设g = 是一个群，其中日是g 的指数为2 的阿贝尔子群，则g 具有正 规化子性质 本文在前人研究的基础上，对正规化子问题作了进一步的探讨我们的研究工作可以分 为两个方面： 一方面，我们研究了一类可分裂的亚阿贝尔群的正规化子问题，推广了上面提到的l i y u a n l i n 的结果定理6 ，证明了下面结果( 定理2 1 ) ： 定理a 若g 为a 和日的半直积，其中a 为初等阿贝尔2 群，为正规阿贝尔子群，则 g 有正规化子性质 另一方面，我们还研究了有限幂零群通过阿贝尔2 一群的圈积的正规化子性质，证明了 下面结果： 定理b 设g = m 何p 是通过p 的圈积，其中为有限幂零群，p 为有限阿贝尔2 一群， 则g 有正规化子性质 第。章基础知识 第一章基础知识 在本章中，我们引入本文将用到的一些基本概念及相关引理： 定义1 i 设r 是一个环，g 是一个有限群，用r g 是由如下所有有限形式和( r 一线性组 合) 口= g e g 口( g ) g 构成的集合，其中口( g ) 足，geg 增广同态( 口) = g 。g 口( g ) 在集合r g 上引入如下运算： ( 1 ) g 酊a ( g ) g + e g 酊( g ) g = g 酊( 口( g ) + ( g ) ) g ( 2 ) ( 窖面口( g ) g ) ( 譬酊f l ( g ) g ) - - z g 酊( y ( g ) ) g 其中厂( g ) = 垆暑口( x ) 风y ) ( 3 ) ，( g 酊口( g ) g ) = g 酊( ，口( g ) ) g 这样r g 关于上面运算( 1 ) 和( 2 ) 构成了一个环，称之为群g 在环r 上的群环特别 地当r 取为整数环z 时，对应的群环z g 称为g 在环z 上的整群环另外，r g 关于上面运 算( 1 ) 和( 3 ) 构成了一个r 一模特别地，当r 是一个交换环时，r g 就构成了一个r 一代数， 此时就称r g 为g 在尺上的代数 定义1 2 设尸是一个有限2 一群且令p = 4 ，4 ，) ，设是一个有限群且j v r 表示 2 。个n 的直积定义p 在n r 上的作用如下： ( 啊，_ ) j 车( 和，- ，_ 一) 其中万p ，x = ( 飞，t ) n 2 i ，称相对于上述作用的半直积r 芘p 为通过 p 的圈积，记为w 护 定义1 3 设是n ”的一个子群，其中n ”表示m 个有限群n 的直积，如果对每个 f l 2 ，所) ，有日n ( 1 ，1 菇 一，1 ) 1 ，则称日在肘中是可扩展的 引理1 4 设日q g ，g h = l ，9 2 ，岛，岛) ，且z ( g h ) 只有平凡单位，则对任意 “u ( z g ) ，有z ，- - - - o r i + 口2 9 2 + + ，其中q z 日且s ( ) 中只有一项为l 或一l ，其余为 0 青岛大学硕士学位论文 证明：由于g 日= l ，g ：，9 3 ，g 。) ，以u ( z g ) ，则 u = 吃g = 吃g + a g g + + g g e hg e h 9 2g e l i g j = g + 蛔：+ + 慨 = g e h g + f h e l l 办 ”+ f 、, h e h 而卜 j = 喁+ 嘭9 2 + - i - 岛 其中喁= ) - a g g e z h ，= e t h g h ez h ，f = l ，2 ，刀 设t r ：g 专c h 为自然同态，将它线性扩张得到z g 到z ( g h ) 上的群代数同态，仍记 为o r 。则 u = 仃( “) = 仃( q + t t 2 9 2 + 岛) = 盯( q ) + 盯( 呸) + + 盯( ) = g ( q ) + 占( 口：) 夏+ + 占( ) 云， 因为u u ( z g ) ，则可知- u ( z ( g n ) ) ，又因为z ( g h ) 只有平凡单位，则有 u ( z ( g n ) ) = l ，云，i ，又因为l ，云，云是z ( g ) 的一组z 基，所以占( q ) 中只有一个为1 或者一l ，其余为0 引理1 5 设口z g ，h h ，hqg ，若口0 - h ) - - 0 ，则d ( 办) l ( 口) ，特别地若有 s ( 口) = l ，则h = 1 证明：设d ( j f l ) = m ，令日= ( j 1 1 ) ，再设h 在g 中的左陪集代表元为 l ，g z ，9 3 ，g ，) 则 g = u g i h ，设口= n , g ，则 口=窆住g=喜(萎蜀厅。=窆i=1i=lg e g , h i f f ii = 1 吕( 芸i 飞厅刁 i j = ij = ， ，脚、 口厅= 蜀l 。j i = l j = l 由于口( 1 一办) = o ，则有口= a h ，再由上面两式知： 4 喜蜀( 善 刁= 喜岛l 石+ n 。j h + t ) ， 有= 矿一= | | ，_ ，f = l ，2 ，s 则s ( 口) = 荟= 窆i - i ( 姜飞。- = 喜历飞= 肌喜，则有。( 酬g ( 口) 特别地若占( 口) = - ， 则h = 1 命题1 6 设”为m 个有限幂零群的直积，则有下列结论成立： ( 1 ) 对于任意的p 刀( ) ，n ”的任意s y l o wp 一子群在”中是可扩展的。 ( 2 ) 对于任意的p 刀【) ，n ”的任意s y l o wp 一子群的中心在”中是可扩展的。 ( 3 ) n ”的中一oz ( n ”) 在脚中是可扩展的； ( 4 ) n ”在它本身中可扩展 证明：由定义1 3 可以直接得到结论 引理1 7 若甜n u ( z g ) ( g ) ，则纯( g ) 和g 在g 中共轭- 引理1 8 若g 为有限群，p 是g 的p 一子群，u n u ( z a ) ( g ) ，则存在y g 使得对任意的 g p ，吼( g ) = “。1 = y - l g y 引理i 9 设g 为有限群，s 为g 的一个取定的s y l o w2 一子群，其中 i s = i un u ( 掰) ( g ) ，纯k = d ，西= d 若有i s h m ( g ) ，则g 有正规化子性质 青岛大学硕士学位论文 第二章一类具有半直积分解的有限群的正规化子性质 在本章中，我们研究了一类具有半直积分解的有限群的正规化子性质，得到了如下结 果： 定理2 1若g 为彳和日的半直积，其中彳为初等阿贝尔2 一群，日为正规阿贝尔子群， i 贝0g 有正规化子性质 证明：g 然有z ( u f z z ) ) g _ n u ( z a ) ( g ) ，则只需要证明n u ( z g ) ( g ) z ( u ( z g ) ) g 设 a = l ，6 2 ，q ) ，其中呸2 = = 2 = i 又由于日为g 的阿贝尔正规子群，则有 g h = l ，a 2 ， ，可以知道 g = h u h a lu h a 2u uh a 任取“n u ( 掰) ( g ) ，则有“= qq - ( 7 1 2 a 2 + t r 3 a 3 + ，其中钙z h ，i = 1 ，2 ，刀 设s ：z g 专z 为增广同态，则： 材= 6 ( a 1 ) + 占( o t 2 ) a 2 + + s ( ) 又由于z ( g 日) 只有平凡单位，则由引理1 4 知s ( q ) 中只有一个为l 或一l ，其余为o 通过适当修正，不妨假设占( q ) = l ，占( 呸) = 占( ) = = f ( ) = o 因为 n u ( 琊) ( g ) ，则有 【“，h i = 甜一1 一砌g ，且有i 习= 盯( “h - u h ) = i ，所以【材，j l l 】h 令【“，h i = 筒1 ，日，则有触= u h h o ，即： ( q + 口2 + a 3 a 3 + ) = ( q + ( z 2 a 2 + 吗口3 + o t n a , ) h h o ( 2 1 ) 因为口2 ，仨h ，则由( 2 1 ) 式可得蛔= 0 6 h h o = h a l ， 即q ( 1 一j i l d ) = o ，则d ( ) k ( ) ，- - 1 因此对于任意办日，都有【“，矗】= 1 下面考虑 “，口：】，m - 于- u ，口：l e g ，则可以设【“，口：】= 啊，红h ，则有 【“，口：】= “叫匹1 峨= 啊， 即 “口，= 口2 “曩 ( 2 2 ) 6 第一章一类具有半直积分解的有限群的正规化子性质 ( + 呸呸+ a ! ：3 a 3 + 口n a n ) a 2 = 口2 ( “= 啦+ 口2 + a 3 a 3 + ) 由于口2 ，a n 仨h ，则有 q 口2 = a 2 a q h i ( 2 3 ) 由于qz h ，可设瞒= 吃办，则由( 3 ) 式可得慨= 口2 地，即： 从而有 啦。1 r h h a 2 = 帆 矿= m 又因为【“，a ：l - - a ，所以由a 2 u ，a ： a 2 i n ，a 2 = a 2 u 1 呸- 1 l 吗呸1 “卅口2 _ 峨= l ，可得 即j l i a 2 一= 町1 h i ，h i a 2 = 订1 【邺：r l a 2 一= 口2 一【材，a 2 ， ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 式可得矿= 圻吨- - e r , ( h 吨阿1 ) a 2p 这样我们可以得到= _ r ；，吃一，则有 ( 胪嘲。1 广百1 = 口2 2 坷吨霄1 = h a 2 。1 百1 a d f l = 厅， 这与g ( ) = l 相矛盾，所以存在j i l 日，使得j i i = 胪矿，么0 则可以知道j i l = 一1 h 屯- h - 1 a 2 一 口2 - h ，a 2 - - u ，口2 】，即有 甜一1 口2 一锻2 = h - 匹1 h a 2 从而“。1 丐材= h - 啄1 h ，也就是 材h - l , a 2 = 1 同理可证 “厅一，q = 1 ，i = 2 ，疗又因为对于任意 日，有 甜h - , h = h u - t h - u h 。h = 厅( 甜一1 h - t u 厅) j l ，1 = h i 材，h 】厅一= l ， 从而砌一z ，则n u ( z o ) ( g ) z ( u ( z g ) ) g ，即g 有正规化子性质 7 青岛大学硕士学位论文 第三章有限幂零群通过阿贝尔2 一群的圈积的正规化子性质 在本章中我们研究了圈积g = 胛的正规化子性质，其中为有限幂零群，尸为2 一阶 的阿贝尔2 一群，首先给出一些常用的结果和记号，用纯表示由n u 陋) ( g ) 诱导的g 的 自同构，即纯( g ) = “g u ，g g ，用c o m ( x ) 表示由x g 诱导的g 的内自同构群，也即 o o n j ( x ) ( g ) = x - 1 9 ：r ，g e g 得到了如下结果： 定理设g = n w r p 是和p 的圈积，其中是有限幂零群，尸为阿贝尔2 一群，则g 有 正规化子性质 该定理的证明将分为以下两部分： 首先在第一部分中将证明基群为阿贝尔群时定理成立，然后在第二部分中证明基群为 一般幂零群时定理也成立 3 1 基群为阿贝尔群的情形 在这部分中我们证明定理对于基群为阿贝尔群这种特殊情形下是成立的： 设g = a w r p = a r 芘尸( o c 表示半直积) ，a 为有限阿贝尔群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群， 记s = s 芘p 为g 的固定的s y l 。w2 一子群，i s = 纯卜n u 盈g ) ，纯l s = d ，刃= 耐 ，其中 s 为4 r 的s y l o w2 一子群，由引理1 9 只需证明以下结论： 定理3 1 1 设g = a w r p = a r 瓯p ，其中a 为有限阿贝尔群，尸为2 ”阶的阿贝尔2 一群， 则有i s i i l i l ( g ) 特别地，对于任意吼i n ，存在a p ，五2 = i ，使得纯( g ) = a g 兄对于所 有的g g 都成立 证明：令纯i s ，根据假设纯i s = i d ，s = s o cp ，则有铣i p = i d ，即对于任意的万p ， 都有 纯( 艿) = 万 ( 3 1 ) 下面考虑纯在a 矿上的作用，令p 为a ，的s y i o wp 一予群，由弓i 理1 8 ，对于任意的 x p ，存在以尸，b f ，a r ，使得：纸( x ) = x = x 。 ( 3 2 ) 8 第一章有限幂零群通过阿贝尔2 群的圈积的正规化子性质 令q 为彳r 的s y l o wg 一子群，由引理1 8 ，对于任意的y q ，存在厶ep ，a r ，使 得 纯( y ) = 卢= y 4 ( 3 3 ) 由( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，可以得到 纯( 砂) = 纸( 工) 纯( j ，) = x y ( 3 4 ) 另一方面，由于纯( 砂) 和砂在g 中共轭，则存在6 a r ，2 e p ，使得 仇( 砂) = ( 砂) 从= ( 砂) 4 = 一y _ ( 3 5 ) 因为pc h 孤彳rqg ，则尸司g ，可知x 厶，x 4 p 同理有y ，y 丑q ，又因为彳r 为阿贝尔 群，根据( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可以知道x = 一，y = y 2 由命题1 6 知道尸和q 在a r 中是可扩 展的，则有以= 五= 毛则对于任意的( | a r ，易知 仇( 口) = 口2 ( 3 6 ) 注意到户是阿贝尔2 一群，则对g = 口万g ，口a r ，万p ，由( 3 1 ) 和( 3 6 ) ，有 纯( g ) = 纯( 口) 纯( 万) = 口。万= ( 口万) z = g ( 3 7 ) 即纯= c o r l j ( a ) i 肌( g ) ，由于纯是任意的，则有i s i 姗( g ) 为了完成定理3 1 1 的证明，需要证明定理的另一个结论是正确的，注意到彳r 在g 中 是正规的，有纸( 口) = 口五a r ，口彳r 则根据( 3 2 ) 可以得到 露( 口) = 纯( 纸( a ) ) = 纯( 口2 ) = 口r ( 3 8 ) 另一方面，因为刃= i d ，则 戎( a ) = 口 ( 3 9 ) 所以对于任意的甜a r ，由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 可以推出 口f ：口( 3 10 ) 由于a 2 ”在它本身中可扩展，则有五2 = 1 ，定理3 1 1 证明完毕 o 青岛大学硕士学位论文 令p 为有限阿贝尔2 一群，易知q ( p ) - x p i z 2 = 1 ) 是p 的特征子群，下面结果可作为 定理3 1 1 的直接推论 推论3 1 2设g = 彳w 护= a 2 。p ，其中a 为有限阿贝尔群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群， i s = 纯i “n u ) ( g ) ，纯k = 耐，刃= 耐) ，s = s 芘p ，s 是彳r 的s y l 。w2 一子群，则有下列结 论成立： ( 1 ) 若爿为奇数阶，则i s = c o 内( x ) 卜仨q ( 尸) ； ( 2 ) 若彳为偶数阶，贝, l j i s = 耐) 证明：( 1 ) 若a 为奇数阶，则a r 的s y l o w2 一子群墨是平凡的，则对于任意的工q ( p ) 有c o r l i ( x ) i s ，则有 c o 玛( x ) 卜q ( 尸) i s ，而且根据定理3 1 1 可以直接得到 i s c 。i l j ( 石) i xq ( 尸) ) ，即i s = c o n j ( x ) i i e q ( p ) ) ( 2 ) 若a 为偶数阶，则a r 的s y l o w2 一子群s 是非平凡的，对于任意的纯i s ，由等式 ( 3 6 ) 有纯( 口) = 口五，口s 反之，因为吼i 2 嗣，所以纯( 口) = 口，口s 即有口卫- a ，a s ，又因为s 在彳r 中可扩展，则允= 1 再由( 3 7 ) 我们有纯= 耐，因为 纯是任意的，则有i s = 耐 ，证明完毕 一般情况下，i s 只是a u t ( g ) 的子集，并不一定是子群，但是在我们讨论的情况下i s 为 初等阿贝尔2 一群，事实上，有下列结论成立： 推论3 1 3 设g = 彳w 护= a r p ，其中a 为有限阿贝尔群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群 i s = 纯l “n u ) ( g ) ，纯i s = i d ，程= i d ，s = s 芘p ，s 是彳r 的s y l 。w 2 一子群，则i n 为 a u t ( g ) 的子群，特别的有下列结论成立： ( 1 ) 若彳为奇数阶，则i s 兰n ( e ) ； ( 2 ) 若a 为偶数阶，则i s = 耐) 1 0 第一章有限幂零群通过阿贝尔2 群的圈积的正规化性质 证明：( 1 ) 由推论3 1 2 由于i s = c o n j ( x ) i xeq ( 尸) ) ，易知i sr 确实为a u t ( g ) 的子群 定义：q ( p ) 专i s ，使得矽( x ) = c o 玛( x ) ，x q ( p ) ，显然，为同态，下面证明是单射令 x , y f 2 ( p ) ，假设砂( x ) = ( y ) ，即c o n j ( x ) = c o n j ( y ) ，则g 。= 矿，g a 矽因为彳2 。在它本身 中是可扩展的，则有x = y ，可知是单射又因为i s 和t a ( e ) 都是有限群，则是同构，即 i s 兰o ( e ) ( 3 ) 由3 1 2 的推论( 2 ) 直接可得 青岛大学硕士学位论文 3 2 基群为一般幂零群的情形 在这一部分中我们将证明定理在基群为一般幂零群的情形下也是成立的，即当 g = n w r p = n r 芘p ，n 为有限幂零群，尸为2 ”阶的阿贝尔2 一群时g 有正规化子性 质s = s 芘尸为g 的固定的s y l 。w 2 一子群，i s = 纯i “n u ( z g ) ( g ) ，纯l 。= 耐，刃= 耐) ，s 是 n ，的s y l o w2 一子群，根据引理1 9 ，只需证明下列结论： 定理3 2 1 g = n w r p = n r 芘p ，n 为有限幂零群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群，则 i s i n n ( g ) ，特别地有对于任意纯i s ，存在盯尸，盯2 = 1 ，使得吼( g ) = o - - 1 9 0 - 对于所有 的g g 都成立 证明：通过对l g l 进行归纳来证明由于我们在定理3 1 1 中已经证明了定理在 g = a w r p ，其中a 为有限阿贝尔群的情况下成立，则可以假设n 是非阿贝尔的 令纯i s ，因为根据假设呒i s = 耐，s = s 芘尸，则有吼l p = 耐，即对于任意的万尸，都 有 纯( 万) = 万 ( 3 1 1 下面考虑纯在n r 上的作用，i 扫t n r 为幂零群，则可以假设r = 鼻e ，其中p 为 n r 的s y l o w 只一子群，f = l ，2 ，对于每个，根据引理1 8 可知对于任意的，存在 p ，q n r ，使得 纯( 薯) = 口彳l q ( 3 1 2 ) 令口，= q l 口f ，口f 七最，k = l ，oo ) ，因为只c h a rn rqg ，则p 司g ，则有 彳1 x s , 只，由( 3 1 2 ) 可知对于薯只，有 纯( ) = 口1 r , - 1 口，= 酊r , - t q ， ( 3 1 3 ) 特别地，对于刁z ( p ) ，由( 3 1 3 ) 可以得到 纸( 互) = 町彳1 毛= 1 乙 ( 3 1 4 ) 1 2 第一章有限幂零群通过阿贝尔2 群的圈秘得正规化子性质 则对于z ，z ( 露) ，乃z ( 弓) ，f ，由( 3 1 4 ) 知 纯( 刁乃) = 纯( 刁) 纯( 乃) = ( 彳1 弓1 ) ( 丐z ：j ) ( 3 1 5 ) 另一方面，由于纯( z , z j ) 和z , z ，在g 中共轭，则存在口o n r ，r 尸，使得 仇( 弓乃) = 面1 f 一( z , z j ) r a o _ t - i ( z 弓) f = ( r 卅刁f ) ( f 。1 乙f ) ( 3 1 6 ) 相应的，由( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) ，我们可以得到 r , - 1 互f j2r - l z ，l - 丐1 z ：j = f 一1 乃r 即 ( ) 一z i ( r , r - ) = z j ( 3 1 7 ) ( 丐f ) 乙( o r 一) = 乃 ( 3 1 8 ) 根据命题i 6 ，z ( 只) 和z ( c ) 在r 是可扩展的，则由( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 可知f = r = r ， 对于每个p 和e e ，根据( 3 1 2 ) 有 纯( ) = f 一r 口 ( 3 1 9 ) 令q = q i a 2 2 a i r ，则对于工n r ，有x = 五而x r ，c ，由等式( 3 1 9 ) 我们可以得 到 纯( x ) = 丌纯( ) = 口一r x t a ( 3 2 0 ) 令f z ( ) 为n 的中心，由于n 是非阿贝尔的幂零群，则l f n ，即f l ， i l i u l 进一步，易证g f r 兰( n f ) w r e 兰n r f 2 。) 芘p 从这里开始，我们对g f r 的予群及元素利用b a r 约定： 即虿一g f y ，ge g 口- uf y f r ，u g ，特别地召= g f r 因为i n ，n 2 ”为g 的正规了群，由弓i 理i 7 可以知i 道纸n 2 ”) = n r ，则纸诱导了召的自 同构，用死：6 专召( 虿h 万一丽) 来表示 青岛大学硕士学位论文 f 回将证明瓦满足归纳条件： 令矽：g - , 8 ( g h 享) 为自然满同态，多：z g z 召( 耳。6 gh g 。g 季) 是诱导 的自然满同态，其中m g z 因为多( g ) = ( g ) ，且材_ 1 9 u g ，g e g ，则有对于任意的虿召有 纯( 蚕) = 矽( “。1 删) = 多( 甜卅) = 多( “。1 ) 痧( g ) 痧( “) = ( ) 卅舒( 甜) ( 3 2 1 ) 记万- 歹( ) ，由于甜n u ) ( g ) ，则有万n u ( 面) ( 召) 和以前的记号一样用表示由虿 诱导的召的自同构，即伤( 蚕) = 矿1 万，虿召则等式由( 4 1 1 ) 可以推出瓦= 纯， 订n u ( 蝣) ( 召) 此外易知由吼l s = 耐，zi s = 谢可以知道或l 覃= 耐，露= 耐则有 死，亨= 纯l v n u 。面) ( 召) ，吼i 孽= 嗣，刃= 耐； 根据归纳法，对于所有的季召，存在o e p ，万2 = 1 ，使得 死( g ) - - 万- 1 万= 歹1 9 , y ( 3 2 2 ) l 驭g = x 。，x n 矿，贝0 由( 3 2 0 ) 和( 3 2 2 ) 可知 矿1 f - 1 而= 矿1 i 彳( 3 2 3 ) 即 葫矿1 - i 而r 1 = f - 1 万 ( 3 2 4 ) 在等式( 3 2 4 ) 的两边同时乘以厅，我们可以得到 矿万扩1 _ i 葳r 1 方= 扩1 r i 矛( 3 2 5 ) 我们断言仃= f 假设仃f ，则厅f ，即万1 置换了i 的某些分量，比方说仃将第一个 分量置换到了第二个因此不失一般性，可取i = ( _ ，l ，1 ) ，且五1 ，注意到n 2 1q 6 且有 扩万一孑n r ，则可以令厅一1 矿1 于= ( y i ，儿，y n ) ，则有 万一万万一i 厅万一1 厅= ( 厅万- 厅) i ( 厅万一于) = ( y i _ y ，i ，1 ) ( 3 2 6 ) 1 4 第章有限幂零群通过阿贝尔2 群的正规化子性质 扩1 f 1 而= ( 1 ，而，1 ) 根据( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 及( 3 2 5 ) 可以得到而= l ，矛盾，则有o - - f 现在根据( 3 2 0 ) 对于所有的x n r ，我们有： 纸( x ) = 口。1 0 - 1 x o a 由于r 司g ，由( 3 2 8 ) 可知对于任意的x n r ，有 无( x ) = q 7 ( u - n x “) = ( 口1 仃一口q 0 - 1 ) x ( 彻彻) 另一方面，由于西= i d ，有 刃( x ) = 工 相应的，对于所有的x e n r ，根据( 3 2 9 ) 和( 3 3 0 ) 可以知道 即 ( a - l o - 1 口一o r - 1 ) 工( 彻彻) = x o g o a ， ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 因为r 司g ，则万一x 盯r ，x n r 用盯一x o 来代替( 3 2 8 ) 中的x ，可以得到 纯( 仃一x o ) - - - - a 。仃10 - 1 x o ) e r a - - o 一期 另一方面，再根据( 3 11 ) 和( 3 2 8 ) ，有 贝0 对于x n r ，有 即 纸( 仃一砸) = 仃一口一仃一x o g o 由( 3 3 1 ) 和( 3 3 4 ) 有 a l 翮= 盯一l 口一i 仃一i x e r a o o 口o g l 一1 f r 口2 = “o - - l a - i 盯一i 盯口o a = ( 仃臼仃口一) 一( 仃口盯口) f 2 ” 情形1 假设n 2 ”的s y l o w2 一子群s 是阿贝尔的 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 一。，_ _ 一 里奎堂堡主堂堡垒奎 首先证明由口2 f 2 ”可以推出de f 矿因为r 是幂零的，可以假设r = 毋e ，其 中只为r 的s y l o w p j 一子群，i = 1 ，2 ，令口= 口l 呸口，口ep , ，f - l ，2 ，不失一般性， 可以假设日= s ，由于s 是阿贝尔的，则口i f r 进一步由口2 f r 容易证明砰f r ， b 2 ，e b b = a , 是奇数阶的，则有qef r ，f = 2 ，即口f r 根据( 3 2 8 ) ，对于任意的x n r ，有 纯( x ) = 口一仃x o a = 口- 1 x o ( 3 3 6 ) 因为尸是阿贝尔2 一群，则由( 3 1 1 ) 可以知道，对于万p ，有 纯( 万) = 万= 仃。1 j o ( 3 3 7 ) 则任取g = x je g ，x r ，万p ，根据( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 可得 纯( g ) = 纯( 口) 纯( 万) = ( 盯一x 矿) ( 矿一衍) = 仃一。g o 即 纯= c o n j ( 仃) l n n ( g ) 则有i sg h l i l ( g ) ，又因为方2 = i ，则仃2 = l ，即在这种情形下定理3 2 1 证明完毕 情形2 假设r 的s y l o w2 一子群s 是非阿贝尔的 在这个假设条件下，可知l g s ，且有 g ( n ) 矿塞( n n ) w 护兰n r ( n ) 2 。) 尸 令沙：g - - g ( n 7 ) r ( g h g ( ) 2 。) 为自然满同态， 痧：z g 呻z g ( ) 2 。 ( 州j gh 州j g ( ，) r ) 是由沙诱导的自然满同态，其中z 采用s e h g a l ( 1 9 9 3 ) 中的记号，记g ，( ，) 2 ”1 为沙的 核，则根据( 3 2 8 ) 可知，对于j r 。有 纯( x - a - 仃- i x 彻_ o - i x o - m o d ( g ( 彬) 特别地，对于x s ，有 1 6 第i 章有限幂零群通过阿贝尔2 群的圈积得正规化子性质 吼( 石) 量矿1 舸删ag ，( ) ，) 另一方面，由于吼l s = 耐，s = s ：o c e ，则对于x e s ，有 吼( x ) - x ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 进一步，对于工s ，根据( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) ，有 x 量矿1 x o m o d 厶g ，( ) r ) u px - - - 0 一i 舸在商群g ( ) r 中，因为g ( ) r 的s y l 。w 子群2 。( ) r 在g ( ) r 中是可扩展的，则由( 3 2 8 ) 对于任意的x en r ，有 纯( x ) = 口0 - 1 x o a = a x a ( 3 4 0 ) 因为n 2 。幂零，a n 矿，则口可以写成属于r 的不同的s y l o w - 子群的因子的乘积，由于 口2 f 妒，类似于前面的证明可知口的“奇因子”属于z ( r ) 进一步，因为吃l s = 嗣，则根 据( 3 4 0 ) ，m ：y x = x , x z x r n r ，薯只，有 纯( x ) = 纯( 五) 吼( 而) = ( 而) 。= 恐= j ( 3 4 1 ) 根据( 3 11 ) 和( 3 4 1 ) ，任取g = x j g ，ien r ，万p ，有 纸( g ) = 纯( x ) 纯( 万) = x j = g 即纯= i d ，则i n i n n ( o ) ，定理3 2 1 得证 推论3 2 2g = ，p = n r 芘p ，n 为有限幂零群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群， i n = 纯i 材n u ( 及“g ) ，纯l n = 嗣，露= 耐) ，s = s 。o cp ，s 是r s y l 。w2 一子群，则有下列结 论成立： ( 1 ) 若为奇数阶，则i n - - c o n j ( 万) i 万q ( p ) ) ： ( 2 ) 若n 为偶数阶，则i n = d 证明：( 1 ) 若n 为奇数阶，则n 2 ”的s y l o w2 一子群s 是平凡的，则对于任意的艿q ( 尸) ， 有c o n j ( 万) i n ，则 c o n j ( 万) i 万q ( p ) i s ，而根据定理3 2 1 可以直接得到 青岛大学硕士学位论文 i s c 。n j ( 6 ) 1 8 q ( 尸) ) ，即i s = c 。坷( 万) 瞻q ( 户) ) ( 2 ) 若n 为偶数阶，则n r 的s y l o w2 - - y 群s , 是非平凡的，对于任意的纯i s ，由等式 ( 3 3 9 ) 有纯( 口) = 口丑，口墨反之，因为吼l s = 耐，所以纯( 口) = 口，口s h l l ；百a 五= 口，a s ，又因为s 在r 中可扩展，则z = 1 再由( 3 4 1 ) 我们有纯= d ，因 为纯是任意的，则有i s = d ) ，证明完毕 推论3 2 3g = m = n r p ，n 为有限阿贝尔群，p 为2 ”阶的阿贝尔2 一群， 1 8 - - 纯l “n u ( z g ) ( g ) ，纯k = i d ，刃= 耐 ，s = s i o cp ，s