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m a t l a b 平台下基于克立格理论的固体资源储量 估算系统的开发与实践 作者简介：黄厚辉，男，1 9 8 0 年9 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理工大学郭 科教授，唐菊兴教授，马永旺副教授，于2 0 0 7 年7 月获硕士学位。 摘要 随着地质统计学的发展，它已经在储量估算、数值分析( 变异函数分析) 、 条件模拟方面取得了长足进步，虽然近年来，地质统计学的研究偏重于数值分析 和条件模拟并已在农业、气象、环境和油气等领域广泛应用，但是作为地质统计 学的“发源地”一固体资源储量估算领域，地质统计学的作用同样也越来越大， 并己产生了一大批的优秀成果和成熟软件。 本文首先简单介绍了地质统计学理论、m a t l a b 相关技术，并以西藏自治区 雄村铜矿床储量估算为依托，详细的介绍了如何在m a t l a b 平台下运用克立格法 估算固体矿产资源储最。其中包括：数据分析、数据可视化、变异函数、克立格 估值、储量估算等模块。第四章作为本文的精华章节，体现了作者在理解地质统 计学基础之上熟练运用m a t l a b 技术解决实际问题的能力，本章中不仅对克立 格法的精华思想( 包括：变异函数分析、克立格估值) 举例进行了详细分析，并 目最后给出了储量分级和地质可靠度评价。在把储量估算结果和专业软件 m i n e s i g h t 的估算结果对比分析后，证明了本次储量估算结果是可靠的，所以 第四章单独取出后稍加完善即可作为一个储量估算报告看待。 关键词：储量估算，克立格法，m a t l a b 技术，雄村铜矿床 t h e d e v e l o p m e n ta n dp r a c t i c eo fs o l i dr e s o u r c e s r e s e r v e sc a l c u l a t i o ns y s t e mb a s e do nk r i g i n g t h e o r y b ym a t l a bp l a t f o r m a b s t r a c t w i t h g e o l o g i c a l s t a t i s t i c s d e v e l o p m e n t ，i ta l r e a d ym a d eg r e a t s t r i d e si n c a l c u l a t i o no f r e s e r v e s 、n u m e r i c a la n a l y s i s ( v a r i o g r a ma n a l y s i s ) a n dt h ec o n d i t i o n s i m u l a t i o n a 1 t h o u g hr e c e n ty e a r s ，t h eg e o l o g i c a ls t a t i s t i c sr e s e a r c hh a ss t r e s s e dt ot h e n u m e r i c a la n a l y s i s 、t h ec o n d i t i o ns i m u l a t i o na n di th a sa l r e a d yu s e di nd o m a i nw i d e s p r e a d i n gi na g r i c u l t u r e ，m e t e o r o l o g y ，e n v i r o n m e n ta n do i lg a sa n ds oo n b u ta st h e o r i g i np l a c eo fg e o l o g i c a ls t a t i s t i c s - t h es o l i dr e s o u r c e sc a l c u l a t i o no fr e s e r v e sd o m a i n t h eg e o l o g i c a ls t a t i s t i c sf u n c t i o n sa l s om o r ea n dm o r e ，a n dt h e r ea r el a r g eq u a n t i t i e so f o u t s t a n d i n ga c h i e v e m e n t sa n ds o f t w a r en o w f i r s t l y ，t h i sa r t i c l es i m p l yi n t r o d u c e dt h eg e o l o g i c a ls t a t i s t i c st h e o r y 、m a t l a b t e c h n o l o g ya n dt h e nt a k i n gt h ex i o n g c u nc ud e p o s i ti nt i b e tf o re x a m p l e ，w e e l a b o r a t e dh o wt og e tt h es o l i dm i n e r a lr e s o u r c er e s e r v e sw i t hk r i g i n gb ym a t l a b p l a t f o r m i n c l u d i n g ：d a t aa n a l y s i s 、v a r i a t i o nf u n c t i o na n a l y s i s 、k r i g i n ge s t i m a t i o n 、 r e s e r v e sc a l c u l a t i o na n ds oo n t h et h i r dc h a p t e ra st h ep r i m ep a r to f a r t i c l e ，i n d i c a t e d t h es k i l l so f a u t h o ri nr e s o l v i n ga c t u a lp r o b l e ma b i l i t yw i t hg e o l o g i c a ls t a t i s t i c st h e o r y a n dm a t l a bt e c h n o l o g y t h ec h a p t e rt h r e en o to n l yi l l u s t r a t e dt h ed i s t i l l a t i o no f k r i g i n g ( v a r i o g r a ma n a l y s i s a n d k r i g i n ge s t i m a t i o n ) b u t a l s oe x p a t i a t e dt h e c l a s s i f i c a t i o no fr e s e r v e sa n dt h e g e o l o g i c a lr e l i a b i l i t y t h e r e s u l to fr e s e r v e s c a l c u l a t i o nw i t hm a t l a bi sr e l i a b l eb yc o n t r a s t i n gi tw i t ht h er e s u l to fr e s e r v e s c a l c u l a t i o nw i t hm i n e s i g h t ，s ot h ec h a p t e rt h r e ei sj u s tar e s e r v e sr e p o r ta f t e rt a k i n ga l i t t l ea d j u s t i n g k e yw o r d s ：c a l c u l a t i o no f r e s e r v e s ，k r i g i n g ，m a t l a bt e c l l n o l o g y ，x i o n g c u n c ud e p o s i t i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，电不包含为获得盛壑堡工盍堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明 学位论文作者导师签名 学位论文作者签名 并表示谢意。 文醚 加司年 6 月 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛酆堡三 ：盔堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查测和 借阅。本人授权盛壑堡羔盔堂j 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 番话橱 w 矽年6 月 7 日 第1 章绪论 第1 章绪论 随着社会发展的脚步越来越快，对资源的需求量也成倍的增加，搞清楚我国 矿产资源的分布和储量已经成为追在眉睫的问题而被突显出来。在此大背景下， 有关储量估算的方法也得到了长足的发展。从新中国成立初的借鉴或完全照搬原 苏联的矿产资源勘察规范，到8 0 年代学习研究国际先进的地质统计学储量估算 方法( 克立格法) 再到9 0 年代初由我国地质工作者自行研究开发的先进储量估 算方法( s d 法) ，至此才算形成了一套比较完整的储量估算体系。克立格法作为 储量估算的优秀方法其运用也同趋于全球化，所以理解和运用它进行储量估算就 具有十分重大的理论和现实意义。 1 1 研究背景 目前，我国储量估算领域已经出现了传统方法、地质统计学法和s d 法三足 鼎立的局面，到底哪一种方法优哪种方法劣并不能简单的下一个结论，只能说某 种方法在这个矿山或这类型矿床的储量估算上优势更明显而已。传统方法虽然具 有一些先天不足的缺点，但是经过几十年的发展同趋成熟，在矿产资源储量估算 方面同趋完善。某些矿山只要合理的选取地质参数，使用传统方法时就不但能简 化计算，节省物力财力而且一样能达到要求的精度。当然地质统计学法的优势也 是明显的，它不但给出了结果的估算精度而且是无偏且估计方差最优的，这些恰 好是传统方法所缺少的。 雄村矿区位于西藏自治区中南部，雅鲁藏布江中游的雅鲁藏布江北岸，地形 切割中等至强烈，谷深岩峭矿区属深谷中等切割区。测区向北山地连绵不绝， 向南宽河谷地势低缓、开阔平坦，宽一般4 - - 8 k i n 。研究区位于西藏特提斯喜马 拉雅构造域南部，属冈底斯念青唐古拉陆壳地体基础上发育的冈底斯南缘晚燕 山期早喜马拉雅期陆缘岩浆弧东段南缘，岩浆弧与昂仁日喀则中新生代弧前盆 地转换部位。区域南侧为著名的雅鲁藏布江岩石圈断裂带。区内构造变形强烈， 褶皱、断裂与深成岩基、火山岩，均沿东西向展布。区域内，存在不同走向的断 层，以近东西走向为主，其次为南北向、北东向、北西向。主要的区域性断裂有 雅鲁藏布缝合带北部边界断裂、多雄藏布断裂、冈底斯断裂、谢通门德吉韧性 剪切带、谢通门南北向活动断裂带，南木切谢通门扎西岗活动断裂带等。在雄 村铜矿所在区域，以如多桑竹岗江庆则断裂为界，北部岩浆弧区发育布托萨沃 拉- 南木切大型复向斜，南部弧前贫地区发育吉定直岗大型复向斜。这些都为雄 村斑岩铜矿的形成提供了有利条件。鉴于雄村铜矿属于大型斑岩铜矿且资料齐备 ( 可参与储量估算钻孔为1 0 5 个总计3 2 6 6 4 8 2 米) ，故本文选用地质统计学法对 成都理i - 人学硕十论文 其进行储量估算，得出结果数据表格；并对原生矿体、次生矿体、氧化矿体、总 矿体、矿体的自然形态以及在工业品位规范下的矿体形态进行拟合，做出各类三 维图件和二维等值线图。 1 2 研究现状 从本世纪6 0 年代法国数学家g m a t h e r o n 教授创立地质统计学至u 1 9 7 7 美国福 禄尔采矿金属有限公司( f l o m rm i n i n g & m e t a li n c o r p o r a t i o n ) h m p a r k e r 博士 把它传入我国再到现在，我国的地质统计学经历了从宣传学习到生产实践与地质 勘探和矿山生产相结合，再到对地质统计学理论的研究更加深入，涉及的方法原 理更加广泛，整体理论水平与国际水平接近。目前，国内外以地质统计学理论为 基础的软件系统层出不穷，如美国m i n t e c 公司的m i n e s i g h t ，澳大利亚m a p t e k 公司的v u l c a n ，m i n e c o m 公司的m i n e s c a p e ，m i c r o m i n e 公司的m i 2 c r o m i n e ，s u r p a c 公司( s s i ) 的s u r p a c ，英国m i c l 公司的d a t a m i n e g u i d e ，加拿大l y n x g e o s y s t e m s 公司的l y n x 与m i c r o l y n x + ，g e m c o m 公司的g e m 2 c o m 和中国科研人员自行 开发的k p x 2 1 和三维普通克立格法程序系统等，以及一些基于其他思想的软件 如，s d 软件系统。 虽然国内外基于地质统计学的软件系统多且比较完善，但是价格都很高，所 以笔者希望在本文结束的时候所编写的软件系统能完成那些昂贵软件一部分功 能，就满足了。 1 3 主要研究内容 地质统计学理论自产生到现在已经历了几十年的发展，其在固体资源储量估 算领域的理论也已相当完善，所以本文主要从理解和运用的角度出发。以雄村铜 矿区资料为依托，在“十一、五”国家科技支撑计划项目西部优势矿产资源潜 力评价体系及集成示范研究、中国地质调查局综合研究项目我国西部重要成 矿区带矿产资源潜力评估( 1 2 1 2 0 1 0 5 3 5 8 0 4 ) 、加拿大h d i 公司风险勘查项目 ( 2 0 0 6 - - 0 8 9 ) 等项目得资助下，以m a t l a b 技术为手段，以克立格理论为基础， 进行储量估算实践。本文主要做的工作包括： 1 ) 使用m a t l a b 技术编写固体矿产资源储量估算系统。 2 1 运用固体资矿产源储量估算系统对雄村铜矿床原始资料进行数据分析。 3 】运用固体资矿产源储量估算系统对雄村铜矿床数据进行变异函数分析。 4 1 运用固体资矿产源储量估算系统对雄村铜矿床数据进行克立格估值。 5 ) 运用固体资矿产源储量估算系统对雄村铜矿床进行储量估算。 6 ) 给出储量分级和地质可靠度评价。 2 第1 章绪论 1 4 取得的主要进展和成果 本文首次采用m a t l a b 技术编写固体矿产资源储量估算系统软件，该系统 在结构上比较简单，也就是说它很方便灵活，可以根据实际情况做出相应的调整 从而选出最好的方法，得出最优的结果。 从另一方面来看呢，虽然本系统结构比较简单，但是其储量估算功能却不含 糊，从开始的数据预处理，到变异函数的计算，再到矿体的圈定和矿产资源的储 量估算一个都没少，最后还能给出地质可靠度评价。通过与m i n e s i g h t 之间的结 果比较，还证明了本系统是具有实用价值的。 成都理：j ：人学硕士论文 第2 章地质统计学的基本理论 2 1 区域化变量 所谓区域化变量是指以空间点工的三个直角坐标( x 。，x ，x 。) 为自变量的随机 场z ( 屯，x ，x ，) = z ( x ) 。当对它进行了一次观测后，就得n - ：它的一个现实z ( x ) ， 它是一个普通的三元实值函数或是空间点函数。区域化变量的两重性表现在：观 测前把它看成是随机场( 依赖于坐标( x 。，x ，x 。) ) ，观测后把它看成一个空间点函 数( 即在具体的坐标上有一个具体的值) 。 g 马特隆定义的区域化变量是：一种在空间上具有数值的实函数，它在空 自j 的每一个点取一个确定的数值，即当由一个点移动到下一个点时，函数值是变 化的。 从地质及矿业角度看，区域化变量具有以下几种属性： ( 1 )空间局限性。区域化变量被限制于一定空间( 例如矿体范围内) ， 该空间称为区域化的几何域。区域化变量是按几何支撑定义的。 ( 2 )连续性。不同的区域化变量具有不同程度的连续性，这种连续性是 通过区域化变量的变异函数来描述的。 ( 3 )异向性。当区域化变量在各个方向上具有相同性质时称为各向同 性，否则称为各向异性。 ( 4 )区域化变量在一定范围内呈现一定程度的空间相关，当超过这一范 围之后，相关性变弱以至消失，这一性质一般的统计方法很难识别， 但对地质采矿十分有用。 ( 5 )对于任一区域化变量而言，特殊的变异性可以叠加在一般的规律之 e 。 2 1 1 变异函数与协方差 1 变异函数( v ，l l i o g r a m ) 在一维条件下变异函数定义如下：当空间点x 在一维x 轴上变化时，把区域 化变量在x 与x + h 处的值z ( x ) 与z o + h ) 的差的方差之半定义为区域化变量 z ( x ) 在x 轴方向上的变异函数，并记为r ( x ，厅) ： 1 r ( x ，= 寺v a r z ( x ) - z ( x + ) 】 二 1 = l e z ( x ) 一z ( x + ) 】2 一寺 e 【z ( x ) 卜e z ( x + 厅) 】) 2 ( 2 - 1 ) 二二 在二阶平稳假设下，有： 4 第2 章地质统计学的基本理论 e z ( 工+ ) 】= e z ( x ) 】 vh 于是，式2 1 改写成下式： 1 r ( x ， ) = e z ( x ) 一z ( x + | 1 1 ) 】2 ( 2 2 ) z 从式( 2 - 2 ) 知：变异函数依赖于两个自变量工和h ，当变异函数r ( x ，h ) 与位 置x 无关，而只依赖于分隔两个样品点之间的距离h 时，则r ( x ，h ) 可改写为，( 矗) ： 1 y ( 矗) = 研z ( 曲一z ( x + ) 】2 ( 2 - 3 ) z 2 协方差函数( c o v a r i a n c e ) 当随机函数中只有一个自变量x 时称为随机过程，而随机过程z ( f ) 在时刻 及f ：处的两个随机变量z ( t t ) 及z ( t ：) 的二阶中心混合矩定义为随机过程的协方差 函数： c o v z ( t , ) ，z ( f 2 ) 】= e z ( t 1 ) z ( t 2 ) 卜e 【z ( ) 】【z ( f 2 ) 】( 2 - 4 ) 当随机函数依赖于多个变量时，z ( x ) = z ( 吒，x ，x 。) ，称为随机场。而随机场 z ( x ) 在空间点x 与z + h 处的两个随机变量z ( x ) 与z ( x + h ) 的二阶中心混合矩定 义为随机场z ( x ) 的自协方差函数： c o v z ( x , ) ，z ( x + ) 】= 研z ( 工) z ( 膏+ 而) 】- e z ( x ) i e z ( x + ) 】 ( 2 5 ) 协方差函数一般依赖于空间点x 和向量h 。 当式( 2 5 ) 中h = 0 时，则协方差函数变为： c o v z ( x 1 ) ，z ( x + o ) 】= 研z ( x ) 】2 一 e 【z ( x ) 】 2 即等于先验方差函数v a r z ( x ) 】，当其不依赖于x 时，简称方差，从而有： v a r z ( x ) = e z ( z ) 】2 一 【z ( x ) 】) 2 ( 2 6 ) 2 1 2 平稳假设及内蕴假设 在地质统计学研究中是用变异函数表示矿化范围内区域化变量的空间结构 性的，要用式( 2 - 2 ) 计算变异函数时，必须要有z ( x ) ，z ( x + 而) 这一对区域化变 量的若干实现，而在实际工作中( 尤其是地质、采矿工作中) 只有一对这样的实 现，即在五x + h 点只能测得一对数据，也就是说，区域化变量的取值是唯一的， 不能重复的。为了克服这个困难，提出了如下的平稳假设和内蕴假设。 1 平稳假设( s t a ti o n a r ya ss u m p ti o n ) 设一随机函数z ，其空间分布规律不因平移而改变，即若对任一向量h ， 关系式： g ( 毛，z 2 ，x l ，石2 ，) = g ( z l ，z 2 ，x n + 厅，x 2 + ，- ) 成立时，则该随机函数z 为平稳随机函数。确切的说，无论位移向量h 多大，两 个k 维向量的随机变量 z ( _ ) ，z ( x 2 ) ，z ( 以) ) 和 z ( 而+ ，z ( x 2 + 矗) ，z ( x 女+ ，1 ) 成都理i ：人学硕士论文 有相同的分布律。通俗地说，在一个均匀的矿化带内，z ( x ) 与z o + h ) 之间的相 关性不依赖于它们在矿化带内的特定位置。这种平稳假设至少要求z ( x ) 的各阶 矩均存在且平稳，而实际工作中却很难满足。在线性地质统计学中，我们只需假 设其1 、2 阶矩存在且平稳就够了，因而提出二阶平稳或弱平稳假设。 当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域花变量满足二阶平稳： ( 1 ) 在整个研究区内，区域化变量z ( x ) 的期望存在且等于常数： e 【z ( 工) 】：m ( 常数) v x ( 2 ) 在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在且平稳： c o y 2 ( x ) ，z ( x + 厅) 】= e 【z ( x ) z ( x + ) 】一m 2 = c o ) v工vh 当h = 0 时，上式变成： v a r z ( x ) 】- c ( o ) vx 即它有有限方差。 上述各式中c o y ( ) 及c ( 表示协方差，v a r ( ) 表示方差。 协方差平稳意味着方差及变异函数平稳，从而有关系式： c ( 厅) = c ( o ) 一t o ) ( 2 7 ) 2 内蕴假设( i n t r i n s i ea s s u m p t i o n ) 在实际工作中，有些协方差函数不存在，因而没有有限先验方差，即不能满 足上述的二阶平稳假设，例如一些自然现象和随机函数，他们具有有限离散性， 即无协方差及先验方差，但却有变异函数，这时，我们可以放宽条件，如只考虑 品位的增量而不考虑品位本身，这就是内蕴假设的基本思想，当区域化变量z ( x ) 的增量z ( x ) 一z 0 + h ) 满足下列两个条件时，称该区域化变量满足内蕴假设： ( 1 ) 在整个研究区内，随机函数z ( 工) 的增量z ( 工) 一z ( x + h ) 的数学期望为 0 ： e z ( x ) - z ( x + ) 】= 0 vx ，vh ( 2 ) 对于所有矢量的增量z ( x ) 一z 0 + h ) 的方差函数存在且平稳，即： v a r z ( x ) 一z ( x + ) 】= e z ( x ) 一z ( x + ) 】2 = 2 y ( x ，h ) = 2 r ( h ) v 工，vh 即要求z ( x ) 的变异函数，( 协存在且平稳。 内蕴假设可以理解为：随机函数z ( x ) 的增量z ( x ) 一z ( x + 矗) 只依赖于分 隔它们的向量h ( 模和方向) 而不依赖于具体位置x ，这样，被向量分割的 每对数据【z ( 工) ，z + ) 】可以看成是一对随机变量 z ( x ) ，z ( x ：) 的一个不 同实现，而变异函数r ( h ) 的估计量，( 晟) 是： 1n ( h 1 y ( = 赢善【z o j ) 乇 一砌) 】2 ( 2 - 8 6 第2 章地质统计学的基本理论 式中，( 矗) 是被向量h 相分隔的实验数据的对数。 如果随机函数只在有限大小邻域( 例如以口为半径的范围) 内是平稳的( 或 内蕴的) ，则称该随机函数服从准平稳( 或准内蕴) 假设，准平稳或准内蕴假设 是一种折中方案，它既考虑到某现象相似性的尺度( s c a l e ) ，也顾及到有效数据 的多少。实际工作中，可以通过缩小准平稳带的范围b 而得到平稳性，而结构函 数( 协方差或变异函数) 只能用于一个限定的距离i h i b ，例如界限b 为估计邻 域的直径，也可以是一个均匀带的范围，当i h i b 时，区域化变量z ( 石) 和z ( x + 厅) 就不能认为同属一个均匀带，这时，结构函数c ( ) 或z ( h ) 只是局部平稳的，所以， 我们把只限于例b 范围内的二阶平稳称为准平稳，把只限于例b 范围内的内 蕴称为准内蕴。显然平稳假设和内蕴假设可以理解为一种相对的概念。 2 1 3 估计方差 任一估计方法，由于估计时所采用样品与被估计块段的大小并非严格相等， 从而使被估块段的实际值与估计值不同，即产生了估计误差，一个储量估算方法 的可靠程度就是根据该方法所包含的误差大小来衡量的。最好的估计方法应该是 误差最小的方法。 设有一个矿床被分成大小相等的以x o ：1 , 2 ，) 为中心的个块段，令每 一块段的实际品位为z ( ) o = 1 , 2 ，) ，而用某种方法估计出z ( x ，) 的估计品位 为z ( x 以f = 1 , 2 ，) ，这时就有估计误差： 即 r ( x ，) = z ( x j ) 一z ( 葺)( i = 1 , 2 ，忉 可以证明，若z ( x ，) 是二阶平稳的话，g ( x ，) 也是二阶平稳的，因而 e r ( x ，) 】= m ， ( 常数) 而且有有限方差，且平稳： 盯e 2 = v a r z ( x ) - z ( x ) 】 = e 【r ( x ) 】2 一所； 当然，我们总是希望估计方差的平均值与实际值的平均值相同，即： e r ( x ) 】= 研z ( x ) 一z ( x ) 】 = e 【z ( x ) 卜e z ( x ) 】= m 一脚= 0 换句话说，不希望有系统误差( 即无偏性) 。 此外，我们总是希望上述大多数误差的绝对值要小一些，并且在某一确定值 周围波动，即估计误差的分布具有较小离散性： 仃f 2 = v a r z ( x ) - z ( 工) 】j 0 令z ( x ) 为一个二阶平稳的随机函数，其期望为脚，协方差为c ( ) ，变异函 数为，( ) ，且只依赖于向量h 。 7 成都理f ：大学硕十论文 经过推导，估计方差的计算公式如下： 盯e 2 = c ( v ，y ) + c ( v ，v ) 一2 c ( v ，v ) ( 2 9 ) 上式可用平均变异函数表示如下： e 2 = 2 y ( v ，v ) 一r ( v ，y ) - y ( v ，v ) ( 2 1 0 ) 式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 中c ( v ，v ) 及r ( v ，v ) 分别代表当矢量的两个端点各自独立 地扫描过待估域v 及信息域v 的协方差函数平均值及变异函数平均值；c ( v ，v ) 及 r ( v ，v ) 分别代表当矢量的两个端点各自独立地扫描过任两个信息域v 的协方差函 数平均值及变异函数平均值；c ( v ，v ) 及r ( v ，矿) 分别代表矢量两个端点各自独立 的在待估域矿扫过时的协方差函数平均值及变异函数平均值。 当估计量是加权平均值时，估计方差的公式可表示如下： 仃；= 否( 矿，矿) + 4 一石( v ，v ) - 2 岁- 2 , c ( v , v i ) ( 2 1 1 ) f = 1 ，= 1l r l 式中的，v ，表示信息域，矿表示待估域， ，a ，为v l ，v ，的权系数。 或 盯；= 2 a 歹( 矿，v ，) 一歹( y ，矿) 一 歹( v ，v ，) ( 2 1 2 ) 2 1 4 离散方差 令矿是以点x 为中心的开采面，并将其分成以x 为中心的个大小相等的生 产单v ( x ，) ( f = 1 , 2 ，2 v ) 。 v = v ( x ，) = v 现在让我们把v 离散成若干个y 点，其品位为z ( y ) ，则每个以点为中心的 单元v ( x ，) 的平均品位是： 乙( t ) = 一1f z ( y ) d y y ，( ) 以x 为中心的开采面矿的平均品位是： 显然，这个品位 方差表示： l z 矿( 。) 1 , 2 ， ( y ) 砂= 专姜z ，( 薯) ) 对它的平均值乙( x ) 的离散程度可用其 加专争“- z v ( 堋2 ( 2 1 3 ) 当x 固定，则z ，( x ，) 与z v ( x ) 均为随机变量，而s 2 ( x ) 也是一个随机变量，从而可 以讨论它的数学期望。至此，我们可以定义离差方差如下：在区域化变量z ( j ，) ( 点 8 l 一矿 = | i 口 2 高斯模型 3 指数模型 由于本文只涉及使用球状模型，如需要其它类型，请查阅相关资料。 2 2 2 结构分析 当我们计算出实验变异曲线后，最好是用一种合适的理论变异函数，( 矗) 来拟 合它，然后就可以对所研究的区域进行分析。但是，在实际工作中区域化变量的 变化性很复杂，它可能在不同方向上有不同的变化性，或者，在同一个方向上包 含着不同尺度上的多层次的变化性，因而无法用一种理论模型来拟合它，为了全 面的了解区域化变量的变异性，就必须进行结构分析。 所谓结构分析，就是构造一个变异函数模型对于全部有效信息作定量化的概 括，以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构( n e s t s t r u c t u r e ) 。所谓套合结构是把分别表现在不同距离h 上和( 或) 不同方向口上同 时起作用的变异函数组合起来。 套合结构可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一种特定尺度 上的变异性，套合结构的表达式为： r ( h ) = ，o ( 啊) + ，l ( h i ) + + ，( 曩) + + ( 2 - 2 6 ) 下边我们就一个方向上的套合结构和不同方向上的套合结构分别讨论。 1 一个方向上的套合结构 1 2 第2 章地质统计学的基本理论 如前所述，套合结构中每一个变异函数代表一种特定尺度上的变异性，可以 是不同的模型的变异函数。例如某区域化变量在某一个方向上的变异性由 “( ) ( ) 及n ( ) 组成，y o ( h ) 表示微观上的变化性t 其变程口极小，可以近 似地看成纯块金效i 立： 肿，= 仨岌 ( ) 代表矿层及岩层的交互现象，它可以用一个球状模型来表示，其变程为 椭，：雎轴c 扣。等t ll 1 托( 岫可能表征矿化带的范围，也是一个球状模型，其变程为口：。 缈十；妒扣 。等 于是，总的套合结构是： y ( = r o ( h ) + 门( 哟+ ，2 ( ) 其中q 啦，而具体表达式就是分段函数叠加表达式： ，( 而) = 0 c o + ；c 鲁+ 鲁，n 一；c 等+ 虿c 2 c 0 蜘c 2 ( 法疑3 ) c o + c i + c 2 h = 0 0 h “ 4 1 a ， 2 不同方向上的结构套合 以上讨论的是一个方向上各个结构的套合，当在几个方向上研究区域化变量 时，就必须研究各个方向上的变异函数或方差函数。 当一个矿化现象在各个方向上性质相同时称各向同性，反之称各向异性，它 表现在广( ) 的不同方向上的差异。 f 1 ) 各向异性的分类及其特征 各向异性按性质分为几何异向性及带状异向性两种。 1 1 几何异向性( g e o m e t r i ca n i s o t t o p y ) 。当区域化变量在不同方向上能够表 现出变异程度相同而连续性不同时称为几何异向性，由于这种异向可以经过简单 的几何图形变换化为各向同性而得名。几何异向性具有相同的基台值c ( 设 c o = 0 ) 而变程口不同。见图3 5 a ，不同方向上变异性之差可以用变程之比表示： 足=q啦(2-27) x 称为各向异性比，它表示在口，方向上距方向上距离为h 的两点间的平均变异程 成都理l ：大学硕士论文 度与在口：方向上距离为k h 的两点间的平均变异程度相同。 a l a 2 h a a l a 2 h b i a l h a 2 图2 - 4 各向异性图 a 一几何各向异性；b 一带状各向异性 2 ) 带状异向性( z o n a la n i s o t r o p y ) 。当区域化变量在不同方向上变异性之差， 不能用简单的几何变换得到时，就称为“带状异向性”，这时，广( ) 具有不同的 基台c ( 图2 - 4 b ) 。带状异向性常出现在多层状矿区，由于矿层及夹层组成变化 显著，其矿化品位在垂直矿层面方向的变异要比沿矿层面方向大，因为在垂直方 向，除包含了与水平方向相同的那部分变异( 即各向同性部分) 外，还有在该方 向上特有的变异部分( 即异向性部分) 。设某矿区的一个区域化变量z ( x ) 的变异 性归纳如下，沿矿层方向各向同性： 门( 帅= r ( 1 h ：+ h ：) 垂直方向上的变异性为y ( h 。) ，则由于多层性引起的变异性为： ，2 ( 。) = r ( h 。) 一y l ( i h l ) 从面垂直矿层方向的变异性为： r ( h ，) = ，l ( 厅) + 托( 。) 因此，垂直方向的变异性可以看成是各向同性部分与其余部分变异之和，其套合 结构是y ( k ) = ( 矗) + 1 2 ( h ，) ，其变异图见图2 5 。 图2 - 5 带状各向异性图2 - 6 不同方向的变异函数 ( 2 ) 几何异向性结构的套合 我们以图2 - 6 和图2 7 为例来说明如何对几何异向性进行套合。若以方向口。 1 4 第2 章地质统计学的基本理论 的变程口。为基础，则其余方向的变异与其相差的数值为：对于， k i = c i 印a 啦；对于口2 ，k 2 = 口q a 吒；对于q ，k 3 = 4 印，。把这些差 异引进理论模型中，就表现在矢量h 的分量的差异上，考虑到图2 7 b 为一椭圆， 因此，只考虑长、短轴之间的差异，即口。和方向变异之差。 钆 a 3 a 3 “| | 了a 2 一a 4 纛1 _ q a 2 c 图2 - 7 变程方向图 a 一各向同性：b 一几何异向性；c 一带状异向性； 令口。为“方向，为v 方向，且甜与v 相互垂直，这时，矢量矗可以转换为： 而。= 届i 历了 0 k ，j 躜 砌c ( 2 3d h i 一三( ) 若存在块金效应，上式变成： 肿) = c 0 ( 2 3 h 一丢( 丢) 3 ) 在新坐标| j l 下，可用一个统一的球状模型来拟合这4 个几何异向模型 r ( h 1 = 0 c o 螂娑一吾c 细 c o + c h = 0 0 口m 式中：h = 厢= 届丽 ( 3 ) 带状各向异性的套合 带状异向性模型几乎可用于任一实验各向异性模型，而且应用起来方便、灵 活，由于情况多种多样，我们以最简单情况加以讨论。 假设有一个层状( 或透镜体) 矿床，其矿石品位在垂直的变化要比沿矿层水 o l=一 -。l i - 卜 4 瓦 ： 成写可时d 口拟 阵 型 矩 模 换 状 变 球 入 用 引 则 当 成都理i ：人学硕十论文 平方向的变化大，而且又假设在水平方向上的变异性为各向同性，这种结构的套 合可用以下的两种方式进行： ( 1 ) 把垂向及水平方向的结构各自当作独立成分进入套合结构式，而在该结 构模型中用变换矩阵区别不同方向上的变异函数值。具体做法是：先对垂直结构 爪矗。) 的坐标： 选用线性变换矩阵： 于是，变换后的坐标： h = 4 = oi ； ，。( 而) = n ( 瓦， ：，瓦) = 胞0 ，k ) = 以( ，) = 爪属丽) = y 舻f ) 就是三维各向同性的。对于水平方向二维各向同性结构，：( 0 i i 而) ，可对其坐 标。 选用线性变换矩阵： 于是，变换后的坐标为： 矗= 豳 r l 0 o l 靠平：lo 1o 1 0 0 0 j ： 蚓l 0 即h ：= 吃，贰= ， ：= 0 ，则： ，2 ( ”) = y 2 ( ：，厅：， ：) = y 2 ( 丸， ，o ) = y a h ，h ，) = ，：( 厮) = r 2 ( 属丽) 1 6 1，j o o k 。l = 1，j 玩肌 l 们l 训= 1 o o o 限阮一橇且k 黼 吃瓦 1，j 丸风o 。，。，。l = 1j 阢肌 丌jjjj皿 o o o o l o 第2 章地质统计学的基本理论 = ，：( ) 这就是三维各向同性的了。 最后，把两者进行套合构成一个统一的各向同性结构： ，( 矗) = ( 帅+ 儿4 1 1 ) = 门( h 。) + 托( 、瑶+ 群) 把水平方向的二维各向同性结构y ( 瑶+ 碍) 看成是一个三维各向同性结构 r , ( i h l ) ，而把总的套合结构，( 厅) 看成是在托( h ) 的基础上叠加了一个垂直方向上 多出来的一个叠加结构y 2 ( h 。) ，即： r ( h ) = 门( i h l ) + ，：( 厅，) 已知厂( k ) 是原来垂直方向上的结构，若以，。( 厅，) 表示当吃= 风= 0 时的 ，。( i h l ) ，则： ，2 ( 厅，) = ，( h w ) 一，k 。) 于是总的套合结构是： r ( h ) = ( i h l ) + r ( h 。) 一y t ( h 。) 3 一般套合结构模式 综上所述，可以把结构模型，( ) 看成由个各向同性结构 只( i h l ) ，i = 1 , 2 ，) 套合而成，即： y ( ) = ，( 帅 式中各个组成结构一( 阮i ) 的特有的各向异性是线性变换矩阵阻，】来表示的，它将 矢量h 变换成h k hi = l 4 l h l ( ，r 1 从而使结构变为各向同性。 4 结构分析的实施 进行结构分析的具体步骤可归纳如下： ( 1 ) 选择符合研究目的的区域化变量。如计算储量时，可选品位、厚度、 品位厚度等，进行其他地质研究时可选地球化学元素含量值，地球物理观测值、 构造面高程等。必须指出，区域化变量是定义在确定大小的样品支撑上，因此， 要特别注意选择合理的支撑大小及形状，同时要充分考虑到取样方法及测试方法 的一致性，以避免引起系统偏差影响结构分析。 ( 2 ) 对被研究的数据进行认真的审议。由于地质统计学研究要求有效数据 必须确定在定长的支撑上，例如岩心样品的切割与分析并不均一时，最好要使其 均一，可以用实际样品品位的加权平均将原始数据改组成为定长的岩心样品品 位。 1 7 成都理亡人学硕士论文 ( 3 ) 进行数据统计分析。例如计算数据的均值、方差、变化系数等，直方 图是进行这种统计最简单、直观而又有效的方法。这一工作的目的是为了了解数 据的分布特征，从而决定对数据是否进行必要的预处理。 ( 4 ) 计算变异函数。这里要特别注意，当数据非列线而间距又