（理论物理专业论文）非对易空间中物理体系的变形量子化研究.pdf

摘要 在非对易量子力学的框架内，除了物理体系量子化引起的坐标和动量之同 的非对易关系外，还有非对易相空问本身包含的坐标之间，动量之间的非对 易性因此，我们无法找到几个坐标算符或者动量算符的共同本征态。这就 给我们研究非对易空闻上的量子力学问题带来了困难通常的解决办法是将 非对易空间中的算符用普通空问中的坐标和动量来表示，然后讨论普通空间 中相应的物理体系但是，这样的处理改变了空问性质，不能真实体现物理 体系在非对易空间中的性质所以在本文中，我们用变形量子化的方法来研 究非对易量子力学 在变形量子化理论中，物理量依然是函数形式，坐标以及动量的非对易 性均体现在函数之间的乘积上从普通空间中的量子力学过渡到非对易空 间，只需要把原来的+ 乘积稍作推广，并且，从形式上来看，这样的推广是简 单，自然的使用变形量子化方法，我们无需进行变量转换，而是直接在非 对易相空间上处理物理模型，。从而增强了结论的可信性，科学性。 以往w i g n e r 函数都是对物理体系的波函数作积分而得到的。然而在非对 易量子理论中，由于物理量的转交，w i g n e r 函数的这种构造方法不再适用 我们在本文中 火w e y l 对应的基本原理出发，引入空间的非对易性，得到了不 同予以往的形式我们的结论不仅从形式上体现了空间的非对易性，而且满 足+ 本征方程，保持了基本的正交归一性。在此之后，我们又以谐振子为例， 得到其在非对易情形下w i g n e r i 茧数的表达式，并与以往的结果进行比较，证明 了我们的结论是完全正确的 最后，我们用变形量子化方法处理了两个应用广泛的物理模型一耦合振 子和阻尼振子我们通过运用一些运算技巧，得到了哈密顿量的时间演化函 数，再进一步展开成非对易空间中的w i g n e r 数。与相关文献比较，我们的结 论不仅写出了函数的具体表达式，而且可以对激发态进行研究。 n l a b s t r a c t b e s i d e st h en o n c o m m u t a t i v i t yo fc o o r d i n a t ea n dm o m e n tb r o u g h tb yq u a n t i - z a t i o no fp h y s i c a ls y s t e m s ，i nt h ef r a m eo fn o n c o m m u t a t i v eq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h e r e h a st h en o n c o m m u t a t i v er e l a t i o nb e t w e e nc o o r d i n a t e so rm o m e n t t u ni n c l u d e db yt h e p h a s es p a c e s oo n ec a nn o tf i n dt h ec o m m o ne i g e ns t a t e so f8 0 m ec o o r d i n a t e so rm o - m e u r no p e r a t o r s i ti sd i f f i c u l tf o ru 8t os t u d yt h eq u a n t u mp h y s i c a ls y s t e m so nt h e n o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e u s u a l l yo n ea d a p t st h ef o l l o w i n gp r o c e s st oo v e r c o m e t h ed i f f i c u l t y ：o n ed e n o t e st h eo p e r a t o r si nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c ei nt h et e r m o ft h eo n e si nt h eo r d i n a r ys p a c e ，a n dd i s c u s s e st h ec o r r e s p o n d i n gp h y s i c a lm o d e li n t h eo r d i n a r ys p a c e b u tw i t ht h ep r o c e d u r ew e c h a n g e st h ep r o p e r t yo ft h es p a c e ，s o w ec a nn o tr e a l i z et h ei n t r i n s i cc o n t e n to ft h es y s t e m si nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c e i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r c ht h en o n c o m m u t a t i v eq u a n t u mm e c h a n i c sb yd e f o r m a t i o n q u a n t i z a t i o n 一i nt h ef r a m eo fd e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o n ，o n ed e a l sw i t hf u n c t i o n so nt h ep h a s e s p a c e ，a n dt h e s t a rp r o d u c td e f o r m st h ec o m m u t a t i v ec l a s s i c a la l g e b r ao fo b s e r v a b l e s i n t ot h en o n c o m m u t a t i v eq u a n t u ma l g e b r ao fo b s e r v a b l e s ，i no r d e rt og e tt h et r a n s f o r - m a t i o nf r o mt h eo r d i n a r y s p a c et ot h en o n c o m m u t a t i v es p a c e ，o n en e e d st oe x p a n dt h e s t a rp r o d u c t ，a n dt h ee x t e n s i o ni ss i m p l ea n d n a t u r a l b yd e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o n ，w e d on o tm a k et h et r a n s f o r m a t i o no fv a r i a b l e sa n dc a ns t u d yt h ep h y s i c a lm o d e ld i r e c t l y o nt h en o n c o m m u t a t i v ep h a s e s p a c e ，t h e r e f o r eo u rr e s u l t sa r ec r e d i b l ea n ds c i e n t i f i c u s u a l l y , w i g n e rf u n c t i o n sa r eo b t a i n e db yt h ei n t e g r a t i o no ft h ew a v ef u n c t i o n s h o w e v e r ，i nt h en o n c o m m u n i c a t i v eq u a n t u mt h e o r y , w i g n e rf u n c t i o nc a l ln o tb eg o t s i m i l a r l yd u et ot h ec h a n g eo fp h y s i c a lo b s e r v a b l e s ：i nt h i st h e s i s ，s t a r t i n gf r o mf u n - d a m e n t a lp r i n c i p l eo ft h ew e y lc o r r e s p o n d e n c e ，w ed e r i v ee x p l i c i tf o r mo ft h ew i g n e r f u n c t i o ni nn o n c o m m u n i c a t i v ep h a s es p a c e o u rr e s u l t sn o to n l yh n p l yt h en o n c o m - m u n i e a t i v er e l a t i o no fv a r i a b l e so fp h a s es p a c e ，b u ta l s os a t i s f yag e n e r a l i z e d * g e n - e q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s sah a r m o n i co s c i l l a t o ri nn o n e o m m u n i c a t i v es p a c e t os u p p o r to u rr e e u l t s a tl a s t ，w es t u d yt w op h y s i c a lm o d e l si n c l u d i n gc o u p l e do s c i l l a t o r sa n dd a m p e d o s c i l l a t o r s b yu s i n gt h ea l g e b r a i cs k i l l s ，w eg e tt h et i m ee v o l u t i o nf u n c t i o no ft h e h a m i l t o n i a na n de x p a n di tt ot h ew i g n e rf u n c t i o n si nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c e c o m p a r e dt ot h et h er e l a t e dp a p e m ，o u rp r e s e n t a t i o ng a v eo u tb o t ht h es p e c i f i ce x o p r e s s i o no fw i g n e rf u n c t i o n sa n dt h ei n v e s t i g a t i o no fe x c i t e ds t a t e s 约定 本文无特殊说明情况下均采用如下约定： 。，! ，m ，珊表示非对易空间中的坐标和动量的函数形式 童，雪，死，毛表示普通空间中的坐标和动量的函数形式 圣，识蟊，岛表示非对易空间中的坐标和动量的算符形式 金，番，氩，磊 表示普通空问中的坐标和动量的算符形式 + ，印，均为m 0 y a l 乘积的表示形式 碱者r表示矢量形式 第一章引言 非对易关系一直是数学和物理专业中受到人们广为关注的话题我们知 道三维空间中绕坐标原点转动操作的非对易性和群表示论中置换群元素乘积 的非对易性非对易关系在近现代物理学基石之一的量子力学中有着极其重 要的地位，量子力学算符的非对易关系直接导致经典的量子相空间，坐标和 动量的非对易关系是测不准关系的理论基础对于量子力学中坐标和动量非 对易关系的一个自然的推广是坐标之间的非对易，以及动量之闻也可以存在 非对易性。最近一些年以来，时空坐标的非对易性引起了人们极大的兴趣， 其原因之一是人们一直有这样的一个观点：在量子理论中( 包括引力论) ， 当涉及到p l a a c k 长度量级时，时空特征应该有所改变，因为在量子引力理论中 存在与p l a n c k 长度相关的位置不确定性，量子引力理论被认为是一种非定域理 论，因此引入非对易时空坐标有可能更好地描述它弦理论的研究则是非 对易空间受到关注的另一个重要原因，就目前研究现状而言，如果时空坐标 具有了非对易性，那么弦理论的研究结果则是令人满意的。到目前为止，人 们讨论的非对易时空主要有三种形式：正则形式的匦，量力= 魏，李代数形式 的匦，矧= 砖敏，以及，矧= i 幻( 其中带4 的是一个算符，没有的是一 个普通的常数) 一 非对易量子理论的发展经历了一个漫长的过程。早在1 9 3 0 年h e i s e a b e r g 就 注意到如果在坐标分量之间引入非对易关系即假设坐标测度间存在测不 准关系就有可能避免计算电子自能时所出现的发散，后来p e i e r l s 把这种思 想用到l a u d a u 能级问题。1 9 4 7 年h a r t l a n ds n y d e r 发表了关于量子化的非对易 空间的第一篇论文”，随后杨振宁把s n y d e r 的方法扩展到量子化的弯曲空 间“1 9 4 8 年m o y a l ) 研究量子力学的数学结果利用w i g n e r 相空间分布函数，引 ) m o y a t 乘积的概念，把量子力学中算符的对易关系体现在表示量子态的相空 间中函数的m 0 y a l 乘积上，当我们在研究非对易空间的量子理论时，m o y a l 乘 积也成为主要的手段之一。时空的非对易性必然会对物理内容产生影响，作 为量子理论的基础，量子力学的某些特性也因为时空非对易关系的引入而发 2 生了改变。比如在非对易坐标空间讨论h a l l e f f e c t ，不仅哈密顿量，能谱，本 征函数等都依赖于非对易参数口；并且当外加磁场足够强的时候，a h a r o n o v - b o h m 相的测量也向我们暗示着空间的非对易性此外，当空问出现了非对 易性，我们还可以在某种条件下把非对易参数和l a n d a u i 司题联系起来非 对易量子场论的近期发展从1 9 8 0 年c o n n e s 和他的同事所创立的非对易几何开 始，再c o n n e s ，d o u g l a s 和s c h w a r t z 等认识到弦理论和m 一理论的某些低能极 限可以用非对易几何来进行很好的描述嘲嘲。随后，s e i b e r g 和w i t t e n 又发现弦 动力学的一些极限情况等价于非对易( m o y a l 乘积形式) 的y 堍一m i n 8 场理 论”，至此非对易场论得以蓬勃发展然而非对易场论也有和普通情形下的 场论不同之处。当引入了坐标的非对易性，坐标测度之间就存在了测不准关 系，l o r e n t z 不变性也受到破坏，这使得非对易量子场论是一种非定域理论。 如果引入时间的非对易性，也就意味着引入了时问的非定域性，因果关系遭 到破坏，从量子场论的角度来看，s 矩阵也就失去了幺正性嘲川“鉴于以上问 题，当考虑到时空的非对易性时，对量子理论的重新讨论不仅必要，而且是 刻不容缓的。任何理论是否科学，不仅要看它本身是否自洽，同时它的理论 基础也必须坚实、正确。可见对整个量子理论的基础一一量子力学的非对易 情形的讨论就显得至关重要本文的讨论范围就是空间非对易情形下的量子 力学 一 在讨论非对易量子力学时，主要考虑较为简单的情形，印只有坐标一 坐标之间的非对易。坐标之间非对易性的引入，带来了新的h e i 8 e n b e r g 关 系( o 掣一口，这里的口是非对易参数，在量子理论中等同于栅作用) ，从而 无法得到坐标的共同本征态，自然在坐标的组态空间中写不出相应的波函 数。为了解决这个困难，人们通常是通过建立非对易空间中坐标、动量的算 符与普通空间中算符的变换关系，将物理量算符写成普通空问中对应的形 式( 如哈密顿量青 ，雪，鼠，毛) 一矗( 奎，蚕，南，磊) ) ，然后再按照普通空间中量子力 学的方法来做进一步的分析，得到包含口的波函数，能谱等物理量；或者采用 两个物理量之间的普通乘法改写成m o y a l 乘积的办法。比如 矗妒( ，y ) 辛啻叼妒( 盘，y ) 3 不过，这两种处理方法都有令人感到不满意的地方对于第一种方案，如果 我们真实所处的环境就是非对易的空间，那么我们希望物理问题还是可以直 接在原来的空阅中得以解决，不要再去借助虚拟的普通空间再者，翠使我 们得到了普通空问中一些形式溧亮的结论，但是因为所属空间的性质已经发 生了改变，我们依然无法确信它们能真实的反映物理问题的本质。对于第二 种方案，若是同时存在坐标一坐标，动量一动量的非对易，上式中的+ 乘积 就做不出正确的计算结果，因为波函数只能单一的是坐标或者动量的函数， 无法同时承担坐标和动量的微分算子的作用。这种情形下，变形量子亿的优 势就充分的显现出来在应用这个方法处理物理问题的过程中，所有的物理 量均为相空间上的函数，量子力学中算符的非对易关系体现在函数间的乘法 一+ 乘积上 。 从上世纪初量子理论铡立至今，我们有了三种探讨量子力学的手段：第一 种是d i r a c “，v n e u m 衄n 0 4 等人发展的标准的算符方法应用算符方法处理 问题时，物理观测量h i l b e r t 空问中的算符来表示。经过近百年的发展和应 用，这套方法已经非常成熟，可以很好地用来解决大多数的量子问题。另一 个则是f e y m n a n 提出并且目前在量子场理论的研究中广泛使用的路径积分方 法“”。最后一种则是基于相空间上w i g n e r 准几率分布函数”和量子算符- 9 普 通相空间函数之间w e l y 对应”的变形量子化方法。为了尝试用相空间上的 统计理论来解释量子力学，w i g n e r 于1 9 3 2 年提出了相空间分布函数的概念。随 后，m o y a l 又介绍了相空间函数之问一种称为“s i n e - p o i s s o n ”的括弧。它对应 于量子力学中算符的对易关系，使得量子力学的基本内容有了经典表述的形 式1 9 7 8 年b a y e n 两篇关于变形量子化文章的发表“，标志着它已经形成了一 套t l 洽的理论体系变形量子化方法关注的是量子理论中核心的物理概念： 观测量的代数关系和它们的动力学演化。它唯一涉及的是相空间变量的函 数，而非物理算符，这不仅使得物理系统从经典过渡到量子状态看起来更加 的自然，而且降低了数学运算的难度，方便地应用到众多物理分支中“仰4 变形量子化理论是建立在泊松流形的框架内，并在量子理论的发展中扮演了 重要的角色。并且，它的大多数结论可以通过对现有技术的适当改动而严格 地得到。正是由于这些原因，我们可以用变形量子化方法很好的解决量子场 4 论的问题甚至有人认为，变形量子化方法可以取代，至少能够完善量子力 学和量子场论的其他研究方法 用变形量子化方法研究量子力学的最重要的工具是相空间分布函数其中 最著名的就是w i g n e r 分布函数。由于h e i s e n b e r g 不确定关系，量子力学中没有 在相空间某点上几率的概念。因此量子相空间分布函数本应该是一个简单的 方便量子计算的数学工具，而我们将它看作准几率分布函数，就是希望它给 出物理观测数据的真实描述在大多数情况下，w i g n e r 分布函数可以很好地做 到这一点自从1 9 3 2 年被提出以后“9 ，w i g n e r i 蚤数就被证实在量子物理和量子 化学的许多方面是一个重要的工具在量子现象的物理理解当中，w i g n e r 谣j 数 的几率解释是一个很重要的概念这个函数是一系列密度算符表示形式中较 为重要的一种，而且直接联系着量子现象的准经典解释。w i g n e r 函数通常是从 密度算符的角度来理解的它不仅是描述量子状态的工具，也是计算可观测 量的方法由于量子现象中的几率解释类似于经典统计力学，因此我们期望 他们的描述函数，尤其是依赖于坐标和动量的w i g n e r 函数能等同于经典统计力 学中的相空间中的几率分布在普通的量子力学中，分布函数是一个非常重 要的物理概念，通过它，可以很方便的求出任意一个物理观测量的期望值 通常对于给定的物理系统，一般有三种方法得到w i g n e r 分布函数：第一种是要 求解出哈密顿量的本征波函数，然后根据分布函数的定义对波函数积分得到 具体形式第二种”是直接计算t 本征方程：h + w = w + h = e w ；最后一 种则需要考虑到哈密顿量的时问演化函数e x p ，进一步作p o u r i e r - d i r i c h l e t 展开 而得到期望w i g n e r 分布函数通过分析具体的物理问题我们发现这三种方法 得到的结论是完全一致的。但是在非对易量子力学中，第一种求解方法引起 了我们更多的关注。其原因在于所求得的波函数都是做过算符变换，对应到 普通空间中的形式。可想而知，用普通空问中的波函数来构造非对易空问中 的分布函数，需要我们更加的小心和谨慎。在随后的章节里面，我们会对构 造非对易量子力学的分布函数做一个详细的讨论，并通过研究具体的物理问 题来增强结论的可信度 由于数学上的简便，谐振子模型为物理领域上的许多问题都提供了很好的 解决方案它经常能针对抽象的概念给出清楚的易懂的说明比如在有磁场 的二维平面上运动的带电粒子这是一个典型的非对易体系嗍，也是我们讨 论量子h a l l 效应”1 的出发点k i m 等人对这样的物理系统曾经做了不少的研究 工作嘲一砑1 他们考虑的是势能为 1 y ( 习= ；( c l x i + c 2 x + 0 3 x l x 2 ) - 的两个耦合谐振子( 其中c 1 ，晚，c 3 为常数) ；并精确地得到了相应的密度矩阵 和w i g n e r i 萄数等物理量。许多物理模型都是以耦合谐振子为基础的，如量子场 论中的l e e 模型嘲；光子的两模压缩态。”川嘲；原子分子物理中的模型l 砧l 等。 我们在本文中要对耦合谐振子做进一步的研究，考虑空间的非对易性对模型 所带来的影响 与基本的可逆的物理模型相比较，大量的不可逆的，耗散的物理现象在 我们的现实世界中随处可见。原则上耗散是出现在我们观测的系统和另一系 统的相互作用当中，这类相互作用的特点是能量在两个系统之间流动的不可 逆性从牛顿力学的角度来考虑耗散现象还是相当容易的众所周知的就 有s t o k e s 线性摩擦力，库伦摩擦力，以及粘滞力等等但是从哈密顿表述来分 析耗散系统就不是很容易了其原因在于后者的拉格朗日哈密顿表述不同于 达朗贝尔原理对于一维不显含时间的哈密顿系统，或者是至少要求哈密顿 量能够描述系统能量的情形，哈密顿表述的困难是很明显的。从原则上说， 我们能够借助三种手段来克服困难。第一，可以扩展成多维的系统删删；第 二，允许哈密顿量能够显含时间删阳；最后一种则是设法使哈密顿量和能量 无关坤“，也就是数学哈密顿量在量子理论中对耗散系统的研究不仅有重 要的理论意义，而且还和实际应用密切相关事实上，任何微观系统都总是 处于一定的宏观环境之中，而不能孤立存在在高能物理，宇宙学，凝聚态 物理，量子相交理论和其他的物理分支中都有耗散现象的出现。 7 第二章背景介绍 2 1 非对易相空间中的变形量子化 我们在本文中所提到的非对易相空间，是相对于普通空间而言，在原有的 坐标和动量非对易的基础上，又增添了坐标之间，或者动量之间的非对易关 系对于非对易空问上的量子体系，通常情况下我们都是用算符表述形式来 做研究的这种方法首先就是进行坐标和动量算符变换，找到所要研究的问 题在普通空间中对应的形式为了避免空问的转换，而直接在非对易的相空 问上进行研究，我们可以采用变形量子化表述的方法下面我们就回顾一下 普通空间中的变形量子化理论，再将其推广到非对易的相空问中 2 1 1 普通空间中的变形量子化理论 一，经典系统的量子化和+ 乘积 经典力学的正则哈密顿表示和量子力学是紧密联系在二起的。当我们考虑 一个有n 个自由度的经典动力学系统时，可以用2 n 维相空间m 上的一个点来描 述这个系统的状态：m 是一个光滑的流形，德m 上的一个正则坐标，可以写 为f = ( 圣，多) = ( 孟l ，痧l ，蟊) 一般来说，相空间上函数的乘法规则是普通的点乘：给定任意的两个函 数，和9 ，那么他们的乘积，9 写为 ( 如) ( 力= ，( f ) 9 ( f ) 在正则哈密顿力学中，相空间的函数是通过泊松括弧来结合的 u 9 ( 孟，回= 砉( 差塞一丽a f 舰a g 胎 i l 事( 2 - i ) 为了简单，我们将上式改写 ，订= ，( 万i 苔f 一万# 苔i 冶( 2 - 2 ) 这里我们用了爱因斯坦重复指标求和以及微分上的箭头分别表示作用到左 边和右边的函数上。下面我们介绍泊松张量，( 这里 ，j 从l 多j 2 n ) ，并试图 8 用f 来表示相空间上的点。正则坐标中，泊松张量可以用矩阵的形式写出。 q = ( 三? ) c 因此，( 2 2 ) 可以写为 t ，9 舻) = o p a t ，( f ) a ，9 ( f )( 2 - 4 ) 其中a i = a 阮经典系统的时间演化由哈密顿方程给出，写成泊松括弧的形 式为： 南= 雨o h 邛棚，盎= 一篆= 协，日) 。( 2 - 5 ) 对于任意一个观测量的时间演化， ，= ， 日)( 2 - 6 ) 在哈密顿力学里面，上面提到的a 要求是一个转置矩阵，由它来定义的泊 松括弧要求满足下面的三条性质， ，讣= - g ， ， 一 9 ， g h = ， g h + g f ，1 ) ， 歹， 多，五) + g ， 如， ) - + 是， 歹，g ) = 0 性质一告诉我们，泊松括弧是反对称的；性质二和三分别称为莱布尼茨法则 和伽可比恒等式 到目前为止，我们考虑的都是经典力学的情形与其相比，量子力学的最 大不同之处在于h e i s e n b e r g 不确定关系，这暗示着量子动力学系统的状态无法 用相空间上确切的一点来描述。不确定性是量子观测量之问相互不对易的结 果，那么经典的代数关系也自然要被量子的不对易的代数关系取代本小节 中，我们用变形量子化的方法来完成从经典到量子的过渡。首先介绍一个新 的光滑函数，g ，按指数形式展开为： ，g = 乃+ ( 秭白( ，们+ o ( 确= ( 锄”( ，幻 ( 2 - 7 ) 其中第一项是两个函数的普通点乘，( 琥) 是变形参量当危一。时，这个光滑函 数就退成了普通函数的点乘。正是由于系数岛的存在，保证了f 9 是一种非对 易的乘法这样的乘法规则我们称为经典代数乘法的变形很显然，如果对 9 系数c ；没有任何限制的话，那么t 就会很随意。1 9 6 4 年，g e r s t e n h a b e r 发现： 当系数g 满足下列性质时，他们在大多数情况下就是唯一确定的； ( 1 ) e j + k = n q ( 敛辑9 ) ，a ) = 舀+ k - - - - - n 0 ( ，c k ( g ，矗) ) ， ( 2 ) 岛( ，g ) = ，g ， ( 3 ) c h ( ，g ) 一c 、( 9 ，) = ，9 ) 其中性质( 1 ) 保证了乘积是可结合的：( f g ) h = ，+ ( g 7 1 ) 。性质( 2 ) 意味着 当取极限危一。时，+ 9 可以和普通乘法，g 保持一致性质( 3 ) 有两个方面的含 义：从数学方面看，对于给定结构的泊松流形，新的乘法是满足的；从物理 方面看，它提供了连接动力学系统经典行为和量子行为的桥梁。我们用这个 新的乘法来定义一个对易关系： 1 ，9 1 。= ， g g ， 性质( 3 ) 则可以写成 牌袁矿，办= ，9 ( 2 - 8 ) 从物理学的角度看，通常情况下我们要求+ 乘积是厄密的：丁巧= 口+ ，这里 的隈，的复共轭一 当泊松张量取常数时，景致q 是反对称的， 一一c l ( ，g ) = 言o ( 魂，) ( 岛9 ) = 言 ， 夕 ( 2 - 9 ) 其他更高阶的系数可以通过c t 的指数展开得到。据此可以产生m o y a l 乘积： f * mg = ，e 印 ( 要) 口巧苔 苔j 】9 ( 2 - 1 0 ) 对于正则坐标孟椰，上式写为： ( ，材9 ) ( 孟，庐) = ，( i ，乒) e 印【要( 苔i 苔口一苔# 苔i ) 9 ，囝( 2 - 1 1 ) = 妻。( i j m l n 等( - - 1 ) “。邯n ( 露驯 = ( 百j 而磊一邯u i ，) ( 露a 雪g ) 现在我们回到在一个给定的泊松流形上，+ 乘积是唯一确定的问题对于 两个乘积，和，如果它们之间存在一个可逆的变换算符t ，我们就说它们是 等价的 t = 1 + ，西+ = 胪 ( 2 - 1 2 ) 1 0 这里的是微分算符，满足等式 ，g = t - 1 ( ( t ，) t ( t g ) ) ( 2 - 1 3 ) 在普通的相空间m 上，所有的t 乘积都和m o y a l 乘积等价。下面以标准+ 乘积为 例，做一简要证明。标准+ 乘积定义如下： ，g = ，e 以5 t 8 勺 ( 2 - 1 4 ) 我们取交换算符t 为 t = e 印( 一要苔i 苔力， 可以很容易的证明 t ( f 。g ) = ( t f ) $ m ( t g ) ( 2 - 1 5 ) 在本小节的末尾，我们给出m 哆a l 乘积的微分和积分形式 ( ，+ 吖g ) ( 童，声) ；，p + 芸苔f ，多一誓言) g ( 孟，囝( 2 - 1 6 ) ( ， m9 ) ( 亩，刃。赤凼l 施2 面l 磅比，( 孟l ，多1 ) g ( 矛2 ，面) 一( 2 - 1 7 ) e 印 铲2 ( 孟1 一孟2 ) + 牙渤一尻) + ( 孟痧l 一孟1 而) 】 二、普通空同上的变形量子化 在一个给定的流形上，不同肌乘积都是等价的，但是不同的乘积定义对 应不同的量子化方案一般来说，选择什么样的乘积是由所要研究的物理内 容决定的当我们用能量f 表征一个物理系统的状态，所有的能量期望值就称 作系统的谱，对应于能量值昱的状态用正交归一的霄e ( 丞，彩表示， 赤”e ( 鲫膨西= 1 ( 2 - 1 8 ) 以及幂等式 ( ? r e ”e ，) = 屯f 丌e ( 孟，】 ( 2 - 1 9 ) 当物理系统处于能量的本征状态时，有下面的等式成立 ( 日 霄e ) 临，参) = ( i r e h ) 忙，囝= f 油e 往，囝( 2 - 2 0 ) 此式相当于不显含时问的薛定额方程，有时也称作+ 本征方程。哈密顿函数也 可以作为系统时间演化的生成元，我们用e x p ( h t ) 表2 7 5 显含时问的哈密顿函 数的时间演化函数， 疣( d d t ) e x p ( h t ) = h e x p ( h t ) ( 2 - 2 1 ) 上式对应着显含时间的薛定额方程该方程的解为： ：,loo烈1百-itexp(ht) ) ”( 日+ ) ”( 2 - 2 2 ) ：= 2 一面【百) ”( 日+ ) ” n - - o 其中 ( 日+ ) ”= g ：丝：量 因为每一个定义能量e 的状态都有一个e t e z h ，所以我们期望时间演化函数 可以表达为下面的形式， e x p ( h t ) = f r e e i e t h ( 2 - 2 3 ) 这个表达式称作时间演化函数的f o u r i e r - d i h c h l e t 展开 现在我们对丌e 做一个简要的说明从上面的叙述得知，7 r e 是正交归 一的，而且是哈密顿量的本征函数这些性质都和分布函数的性质相吻 合，哈密顿量的谱分解也可以用仰表示( 日( 孟，囝= e e 仰 ，国) 当我们选 取m o y a l 乘积时，彻即为著名的w i g n e r 分布函数。 三、变形量子化方法应用举饲 上面两部分的内容已经对变形量子化做了简单的介绍，在本小节中，我们 就用该方法求解量子力学中最基本的物理模型一维谐振子，它的哈密顿函 数的表达式为： 即厕= 嘉+ 警孟。( 2 - 2 4 ) 引入全纯变量d = 孚忙+ i 岳) ，a = 孚 一t 岳) 后，哈密顿函数改写为 h = uo a ( 2 - 2 5 ) 我们的目的是计算时问演化函数e x p ( h t ) ，先用正规+ 乘积来表征量子化方 案 ，4 9 = ，矿a 。8 a g( 2 - 2 6 ) 因而可以很容易的写出 a + n = n a ，d a = 丽+ 危，【0 ，a 】。= 壳( 2 - 2 7 ) 对于方程( 2 - 2 1 ) 贝, j 有 i h 象te z p n ( h t ) = f 日+ 鼬a o a ) e x p n ( h t ) ( 2 - 2 s ) 经过简单的计算即可得到该方程的解并用f o u r i e r - d i r i c h l e t 展开。 e z p n ( h t ) = e - a a 6 e z p ( e 一“丽( 2 - 2 9 ) 。丽肛高甜e 一砌 比较( 2 - 2 3 ) ，( 2 - 2 9 ) 的系数，我们发现 护= e - , 正n ，( 2 - 3 0 ) = 亲矗仰扩扩= 高i 铲+ 舻+ n f i t n ，( 2 - 3 1 ) 玩= 亿胁( 2 - 3 2 ) 其中对应于基态的丌满足 o 护= 0 哈密顿函数的谱分解 一 日= 圣n 鼬( 南e 一唰6 铲扩) = u 丽( 2 - 3 3 ) 下面我们再考虑m o y a l 乘积方案与式( 2 - 2 6 ) 不同，全纯变量的m 0 y 砒乘积 的公式为： ，+ m9 = f e z p 互5 ( 一0 。苔a 一万a 方。) 】口( 2 - 3 4 ) 因而 。 a * m a：丽+：，5*ma=一；，陋，a】。_f：壳(2-3s)mm a a a 2 丽+ i ，一互，陋，a 】”2 危 我们发现，虽然用的是不同的+ 乘积( 正规乘积和m o y a l 乘积) ，但是全纯变量的 对易子没有发生变化。m o y a l 乘积和正规乘积之间的变换算符为 ? = e 印( 一：苔。- g a ) 现在我们有两种办法可以得到) ，一种是解方程( 2 2 1 ) ，另一种则是通过正 规乘积的结果拶变换得到。 妒= t 丌5 = 2 e - 2 a a 6 ， 铲) - t 掣) _ 高扩+ m 膳扩( 2 - 3 6 对应的能量值晶= 伽+ ) 鼬或者把m 叫乘积代入式( 2 - 2 1 ) ，得到下列方程 并解之。 仇盖脚m ( h t ) = 一学勋一学日靠) e 印m ( 日t ) ( 2 - 3 7 1 e z p m ( h t ) - 毒赢唧【( 装) t 髓争 c 2 - 3 s ) 我们仍然将此式做f o m , _ i e r - d i r i c h l e t 展开，并用到了l a g u e r r e 多项式的生成函 数： r 嚣1 吲r 丁z 石8j 1 = 妒( 一1 ) 8 厶( 2 ) ( 2 - 3 9 )r 石唧【而j2 二矿( 1 ) 8 k ( 2 ) 这里的s = e - “，得到了 采p = 2 ( 一1 ) “e 一2 跏厶( 面4 h ) ， ( 2 4 0 ) 也就是谐振子的w i g n e r 分布函数( 忽略了归一化因子) 1 2 1 2 非对易空间中的变形量子化理论 从上一小节中我们看到，从经典理论过渡到量子理论，其最重要的特点是 两个函数之间的乘法由普通的点乘改换成了反映非对易关系的+ 乘积这就启 发我们，当空间坐标，甚至动量之问出现了非对易性时，我们也可以把它们 之间的非对易关系用函数之间的+ 乘积来表示类似于前面的讨论，我们给出 相关的理论框架。对于非对易的四维相空间，其坐标和动量用卫，y ，m ，珊来表 示，反映空间非对易性的+ 乘积为： 忉：e 等( 藐瓦一瓦茏) ，+ ，：e 等【蕻瓦一瓦荭) 其中的口，v 分别是坐标之间，动量之间的非对易参量如果是考虑非对易相空 间中的量子理论，那么完整的m o y a l 乘积则为： = 印( 2 - 4 1 ) ：e 警( 茛霹一蕻茂+ 瓦瓦一瓦瓦) 。萼( 茛瓦一瓦夏) 。警( 笼磊一瓦磊) 可以很容易的写出下面的关系式， z ，订= 胡，忙，m = 玑砌) = 访， 加，珊) = 函 1 如无待殊声孵，本文中均不考虑归一化西子 1 4 其他i 均m o y a l 括弧的结果均为零。 自然而然的，以坐标，动量为自变量的两个函数，【力，g c r ) 2 i 司 m o y a a 括 弧具有下面的形式， ，g ) ( r ) = ，口一9 ，( 2 - 4 3 ) 我们可以看到，坐标，动量之间的对易关系和+ 乘积紧密地联系在一起当考 虑普通空间的量子理论时，只有坐标和动量之间的非对易性，+ 乘积的内容 只包含。而考虑非对易空间中的经典理论时，则只需保留口；而坐标之 间，动量之问都存在非对易性，又要研究量子理论时，+ 乘积的内容则最丰 富，= 叼对于给定了哈密顿量的一个物理系统，相应的运动方程写成 如下的形式为， 劫一面o h = 缸，日) ，a ；一面o h = 协，日 ( 2 4 4 ) 对于任意一个观测量的时间演化， 。 1(r)=，日)( 2 - 4 5 ) 特别的，哈密顿量函数的时间演化为 i l i ( d d t ) e x p ( h t ) = h 4 e e z p ( h t )( 2 - 4 6 ) 该方程的解为： e x p ( h t ) ：= 妻采- v ) ( 日) n ( 2 - 4 7 )：= 去( 一”( 日) ” n - - o 一 其中 ( 日) ”= h 日日 为了能够得到相应的分布函数，我们依然做该函数的f o u r i e r - d i r i c h l e t 展开 e x p ( h t ) = w e e i e t 胪 ( 2 二钙) 这里的w e ( e 是系统的能量) 就是著名的w i g n e r 函数它的方程为： 日w b = w 音日= e w e( 2 - 4 9 ) 它也要求满足基本的正交归一性和幂等式： 1， 赢w e ( x m 船，珊) 如咖妣咖2 1 ( 2 - 5 0 ) ( w b 呀) = f w e ( x ，y ，p x ，p y ) ( 2 - 5 1 ) 2 2 非对易量子力学 近些年来，弦理论的研究结果表明时空可能具有非对易性，而且，空间的 非对易性对目前人们所知的物理理论造成了不小的冲击因此，非对易空间 上的问题引起了人们越来越广泛的兴趣，有关的文献不断出现”4 嗍酬蚓 在本小节中，我们通过几个基本的物理模型的讨论，对前人的研究成果作一 个简单的回顾。 2 2 1 谐振子模型 当我们把p ，p 定义为相空间非对易性的参数时，空间的坐标和动 量圣，雪，血，氏满足下面的对易关系 峰，雪】= 胡，剐= 戤陋，m 】= 够，岛1 = ( 2 - 5 2 ) 其他对易子为零( 本小节中为了简便，取自然单位制m = c = 危= 1 ) 在极限情 况p ，z ，一0 ，又显现出普通空闻的性质我们在非对易空间上考虑由下面的哈 密顿量描述的二维谐振子系统 ：= ；雠+ 瑶) 十；( 铲+ 铲) ( 2 5 3 ) 我们可以用三种不同的方法来讨论这个物理问题。 首先是做算符之间的变换，把非对易相空间中的坐标，动量转换到普通空 问中。 z 2 z 一互脚，p x 2 面一y + 忑。如 ：p ：一1 + t = 刁；：1 + 、t 而： y 2 y + 互如，p u 2 矿一$ + i 一斯 上式中的算符满足的对易关系为 瞄，觅】= 畸，磊】一i 其他的对易子为零那么哈密顿算符( 2 5 3 ) 变成 疗= i 1 妒2 z + 砖+ 圣2 + 雪2 ) ( 2 - 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 - 5 6 ) ( 2 - 5 7 ) 1 6 = 互i 驴c 2 t z - 2 + ；2 ) + 等澎+ 露) + 互1 p + ) ( 蠡蚕+ 旒一旒一磊童) 】( 2 - 5 s ) 其中的c 2 = 2 一劬+ 口2 2 们而和d 2 = 2 一劬+ 萨+ 2 v q - 2 - - - - 万很明显，这个 哈密顿算符类似于普通空间的l a n d a u 能级的形式”1 ，我们求解相应的薛定谔方 程即可当动量之间是相互对易的时候，即= 0 ，则是通常所说的非对易的 坐标空问情形，相关的文献不少叫m l 柚l ，就不在此赘述。除了通常情形下的线 性变换关系( 2 - 5 4 ) ，b e l l u e d t ”给出了另一种奇异的算符转换形式， 氟：血一曼乒，中：( 2 - 5 9 ) 虽然非对易参量0 放在了分母上，且在能谱，哈密顿量中也明显的出现在分母 的位置上，然而，在作极限p o ) 分析时，并不会出现无穷大的情况 第二种是对薛定谔方程原有形式作相应调整，具体形式是 宜+ p ，m 。= 晶毋。( 2 - 6 0 ) 当只有空同坐标非对易的时候( p = o ) ，我们可以在普通的坐标