（理论物理专业论文）非零宇宙常数下传统能动量赝张量的讨论.pdf

四川大学硕士学位论文 非零宇宙常数情形下 传统能动量赝张量的讨论 理论物理专业 研究生朱本超指导教师陈相松 在所有物理理论中，能量守恒定律扮演着很重要的角色。在牛顿力学中， 封闭质点系统的动能和势能之和是守恒的，用数学微分公式表示即为 a 丁”：0 这里的张量r ”是系统的能动量张量，这个公式在牛顿力学中可以说 是得到广泛的认可，在量子场论中我们知道，能动量守恒是因为这个场的拉 氏密度在时空平移变换下保持不变的必然结果。在上个世纪初，e i n s t e i n 创 立了广义相对论，在运用场论对应定义能量动量张量的时候，出现了几种不同 的定义在广义相对论中我们都多数求解的是e i n s t e i n 建立的标准宇宙模型， 也就是说是在广义协变方程中的a 项为零，但是最近几年已经有越来越多的 证据表明a 不为零【1 0 l ，这样的话从以前标准的宇宙模型中得到的能动量张量 就会出现一定的修正，本文的目的就是要修正因为这个a 不为零而使能量守 恒定律遭到破坏，我们会给出相应的修正方法，同时我们也会把这种方法用 在不同的时空背景中去验证，最后发现这种修正方法是一种可行的方法。 关键词：能量动量守恒；广义相对论：能动量赝张量：宇宙常数 四川大学硕士学位论文 t h ed i s c u s s i o na b o u tt h et r a d i t i o n a le n e r g y m o m e n t u m p s e u d o t e n s o r su n d e ran o n z e r oc o s m o l o g i c a lc o n s t a n t g r a d u a t es t u d e n t ：z h ub e n e h a o s u p e r v i s o r ：c h e r tx i a n s o n e n e r g y - m o m e n t u mc o n s e r v a t i o nl a wp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei na l lp h y s i c s t h e o r i e s i nn e w t o nm e e h a n i c s , t h ee n e r g y - m o m e n t u mo fac l o s e s y s t e mi s c o n s e r v a t i v e w e 啪u s ead i f f e r e n t i a lf u n c t i o nt oe x p r e s st h i s l a w e g , a 。t “。0 ，h e r et h et e n s e r t “d e n o t e st h ee n e r g y m o m e n t u mo ft h es y s t e m ，t h i s e x p r e s s i o nh a sb e e nw i d e l yr e c o g n i z e d 。i nq u a n t u mf i e l dm e c h a n i c s , w ek n o wt h e c o n s e r v a t i o no ft h ee n e r g y - m o m e n t u mi st h ec o n c l u s i o no ft h el a g r a n g ed e n s i t yo f t h ef i e l d , w h i c hi su n c h a n g e du n d e rt h et r a n s f o r m a f i o no f r e p l a c ea n dr o t a t i o ni n s p a c e - t i m e i nl a s tc e n t u r y , e i n s t e i nc r e a t e dg e n e r a lr e l a t i v i t y , w h e np e o p l eu s c q u a n t u mf i e l dt od e f i n et h ee n e r g y - m o m e n t u mt e n s o r ，t h e r ei sn o to n l yo n ew a yt o d e f i n e t h eg e n e r a lc o v a r i a n tf u n c t i o nw h i c hh a sa c o s m o l o g i c a lc o n s t a n tw h e ni t c r e a t e d w ec a l lt h ez e r oc o s m o l o g i c a lc o n s t a n tm o d e ls t a n d a r du n i v e r s em o d e l b u tr e c e n t l yt h e r ea r em o r ea n dm o r ee v i d e n c e st os h o wt h a tt h ec o s m o l o g i c a l c o n s t a n ti sn o tz e r o s o i fw eu s et h ee n e r g y - m o m e n t u md e f i m t i o n so fs t a n d a r d u n i v e r s em o d e l ，i tm a yc a u s es o m ep r o b l e m s t h i sp a p e rw ew i l ld os o m e a m e n d s i o n st ot h e s ed e f i n i t i o n s ，o u rp u r p o s ei st or e g a i nt h ee n e r g y - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o nw h i c hi sd e s t o r i e db yt h en o n z e r oc o n s t a n ta w ed og e tau s e f u l a m e n d s i o ni no n e d e f i n i t i o n ，a n dw ea l s oc h e c kt h i sr e m e d yt os e v e r a ls p a c e - t i m e s ， a n df i n a l l yw ef i n do u rr e m e d yi sat r u s t a b l eo n e k e y w o r d ： e n e r g y m o m e n t u mc o n s e r v a t i o n ；g e n e r a l r e l a t i v i t y ；e n e r g y - m o m e n t u m p s e u d o t e n s o r s ；c o s m o l o g i c a lc o n s t a n t n 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下 取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 1 暂栅7 沁、 冢手熟m q 。 ：堕型奎兰曼主兰丝丝苎 第一章引言 能量，动量的守恒定律在任何物理理论中扮演着非常重要的角色，第一 次完整提出能量动量守恒的概念可以追塑到两个世纪前的牛顿，在它的封闭 的质点系统中，动能和势能之和是个不变的量。麦克斯维为了使得经典电动 力学中能量守恒定律得到满足还引入了能量流密度这个概念。e i n s t e i n 著名的 狭义相对论中的质量等价于能量的结论其实就是能动量要在所有惯性系中守 恒的必然结果。在e i n s t e i n 创立了狭义相对论后，大家已经知道时空是一个 整体，因而，能动量守恒就是时空是均匀的表现，通俗的说就是，在空间各 点发生的物理规律应该是相同的，用数学上的群论的语言来说就是系统的拉 氏密度在旁加来群的作用下是不变的。像这些为了满足能动量守恒而引入的 例子还有很多，这些都说明了能动量守恒定律是一个大家认为十分基础且可 以在目前的理论框架内值得信赖的理论之一。 1 9 1 5 广义相对论创建以来，它所取得的成就是有目共睹的。在早期它成 功的解释了太阳引起的光线偏折，水星近日点的移动，雷达回波延迟效应 x 7 - 1 5 i 等等。 在宇宙学中，我们知道广义相对论里面的广义协变方程起到了很大的作 用，特别是现在比较热门的黑洞宇宙学，甚至在玄理论中我们也经常用到它。 最近的实验研究表明我们的宇宙真空背景能量不为零，而且产生很大的负压 强，它的存在对于宇宙的演化可能有着非常大的作用，同时也修正了早期人 们认识的标准宇宙模型“。 一个合理的能量动量张量的表述的必要条件是表述的可定域化“。，这就 是说，如果从某一个坐标系看来，时空某点的能量密度不为零，引入任意坐 标变换后，该点的能量密度也不应该为零。特别是，在纯的空间变换下，该 点的能量密度应该是一个不变量或者标量。大家都知道电磁场的能量动量是 可以定域化的，而这一定域性质正是电磁场( ，0 ，l ) 具有一定协变性的结 果。因此，看来想使得引力场能量动量张量定域化，应该尽可能的提高表述 的协变性。 e i n s t e i n 从电磁场的能量可以存在于场中这个事实出发“，在构造广义相 对论中的能动量守恒时候，引进一个纯引力场的能动量( 我们以后可以看到， 这个量不是一个真正的张量) 。虽然e i n s t e i n 引入的这个引力场的能量动量赝 张量使得计算各种时空的能量很直接，但是它也有其不可克服的困难，比如 四川大学硕士学位论文 说如果有一个没有物质存在的惯性系，采用笛卡儿坐标系时候，f ：处处皆为 零( c 将在后面讲到它的意义，它就是引力场的能量动量“张量”) 。但是若通 1 过纯的空间变换至球坐标系，则可得f ：一一；了一0 ，而对整个空间积分可以得 。七r 到仃他d v 一* ，这显然是不合理的，这就是著名的b a u e r 疑难“”。同时只要 w 承认引力场的能量动量张量的客观物质性，那么引力场能量密度表述的非正 定性也可能是不合理的。不过，对于孤立系统，把协变微分守恒定律改写成 普通微分守恒定律后，是可以得到一个积分守恒量的，其中孤立系统的能量 动量张量是有意义的。 虽然有着很多的不合理，但我们可以发现，到目前为止这样的一个基本 问题没有得到大家一致的认同，可是我们的物理研究还得继续，于是仍然有 大量的相关文章在做这个方面的讨论，结合实验中证实宇宙常数可能存在的 事实，我们发现这给这个理论带来了更多不利的因素，因为在物理讨论上的 物质能量的有限性甚至都不能得到保证，在大多数情况下只能通过手动来消 除这样的发散积分。我们的目的是要恢复我们已经很确定成立的物理事实， 我们的做法也将是用的很基础的数学物理相结合的方法。 理论在不停的往前进行，可是并不代表我们的理论就没有问题，每一个 理论从形成到被大家最后都一致的认同是需要很长时间的检验的，我们做研 究有不同的出发点，可以从最基础的东西开始，可以跳过一些基础的东西直 接做前沿的理论，也可以两个兼而做之。我之所以选择这样的一个题目作为 论文是因为我发现这样一个比较基本的东西很多时候是逃脱了大家的注意力 的，因为它似乎并不给我们做前沿研究带来什么灾难性的困难，可是我还得 重申一点，大家做研究不能趋而附之地一味追求前沿，一味的用高深的数学 去吓唬即将进入科学研究的学者，我们对于一些基础的问题的忽视可能在以 后的前沿研究中反映出来，正如上个世纪出大家都认为物理理论已经趋于完 整了。除了几片“乌云”以外，可是正是这样的几朵“乌云”却给物理世界 带来了整个翻天覆地的变革。而这些乌云的形成自然是大家对于一些基本的 物理规律的理解不深刻，或者忽视而造成的，理论的积累和沉淀到了一定的 阶段，自然会暴露我们对于一些基本问题的理解偏差。 四川大学硕士学位论文 第二章预备知识1 2 1 广义协变方程“。1 在这一小节我们将给出广义协变方程，在此之前我们有必要回味一下广义 相对论的精髓等效原理。e i n s t e i n 基于g a l i l e o ，h u y g e n ，n e w t o n ，b e s s e l 等人用实验揭示了引力质量和惯性质量的等价性，而得出“在任意的一个引力 场中的任一个时空点，我们都可以引进一个局域惯性参考系，以至于在足够小 的一个时空点的领域中，自然中的物理规律和m i n k o w s k i 空间中有相同的形 式”，既是说，引力场可以由一个局域自由下落的参考系是等价的。等效原理 可以表述为以下几点： 1 ) 所有的参考系在表述物理规律上应该是等价的。 2 ) 表述物理规律的方程式应该是在黎曼四维空间中的张量形式。 3 ) 表述物理规律的方程式应该在所有参考系中有相同的形式。 等效原理推广了引力的概念，并且暗示了有引力场的时空是弯曲的黎曼空间， 引力场的物理效应可以通过黎曼空间的度规张量来体现，为了完成一个完整的 理论，我们需要给出广义协交方程来表述这个规律。 我们以r i c c i 标量曲率r g ”胄。作为我们的拉格朗日量，引力场的作用量 原理可以表述为： n - s r d x ( 2 1 1 ) 积分积遍整个空间同时在时间分量上以两个时间段为间隔积分，为了强调 在一个系统中的非引力场的拉格朗日量，我们以，表示之。因此我们完整的作 用量原理可以表示成：，一r 一g 僻一2 t e l f m 4 x ( 2 1 2 ) 这里的r 是e i n s t e i n 的引力常数，我们需要的是作用量的变分为零： 6 1 0 ( 2 1 3 ) 详细的变分为： 6 l q g 黝1 x 。l n g g ”6 r 。d 4 x + l r 。6 q g g “、) d ；x q a 国 运用高斯定理有： r 一g g ”6 r 月d 4 x 一0 ( 2 1 5 ) 四川大学硕士学位论文 凼此硐： 6 l q g 黝4 x 。l 一一g g “6 r x 斗! r 。6 一g g “f x 。f , z - ；一去r ) 6 9 n d 4 x 作用量积分的第二部分是： 6 l 州x 一睁g “一訾w 圭f 4 z - t , e , x ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 这里的k 是能动量张量定义如下： k 一去噬掣 掣， 胛。再1 移一一石p 瓦矿 u 运用( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 的结果，这时( 2 1 2 ) 的变分是： 6 ，一，厅一三1 占，r 一吸脚”d 阻9 ) 由于6 9 一是一个任意的变化量，于是上面的式子会给e i n s t e i n 协变方程 的结果： 一i l g 。霄一佩 ( 2 1 1 0 ) 这是标准的e i n s t e i n 协变方程，可以看到这其实是宇宙常数为零时候的标 准宇宙模型应该满足的方程，推广标准宇宙模型至宇宙常数不为零的模型也是 很简单的即加上一个宇宙常数： 1 8 。一g 乙r + g 。一j r l 上 不过直到第三章才会真正用到这样的模型，所以下面的讨论依然是用的标 准宇宙模型中的e i n s t e i n 协变方程来讨论他的能量动量问题 2 2e i n s t e i n 能动量赝张量以及广义相对论中的能动量守恒 在场论中的相关知识告诉我们，能动量守恒可以表述为一下的微分方程： 磁一0( 2 2 1 ) 四川大学磺学位论文 这里的寸是一个在惯性系中对称的能动量张量，因而本来在广义相对论中应该 有的能动量守恒的微分方程： 王：- 0 ( 2 2 2 ) 在以上这个方程中其实没有给出真正的能动量守恒的信息，事实上可以把 ( 2 2 2 ) 重新写成： 篝乎一k k 三再誓p ( 2 2 4 ) 很明显k 不是一个一般的四维矢量，因而在一个局域的惯性系中，我们总是可 以使得k 在某个给定的时空点上为零，在这种情况下( 2 2 3 ) 式子很容易就退 化到( 2 2 1 ) ，在一般情况下，i 一0 时k 0 这样的话( 2 2 3 ) 就给不出物质 的能量是守恒的。 e i n s t e i n 为了让能量守恒定律得到满足，他把引力的能量贡献也考虑了进 去，于是引进一个量矿，这样就有： 专晤时+ 彳) 卜0 ( 2 2 5 ) 量矿是度规张量的一阶微分的齐次二次函数，很显然它不是一个张量。在适当 的选取一个坐标系时，我们可以使得f j 在某些特定的时空点为零。 为了得到矿，我们来分析2 。1 章节中的到的e i n s t e i n 的协变方程： 胪一去9 4 r 一8 v t “ ( 2 2 6 ) 当考虑b i 柚d l j 恒等式( r 雎一妄9 4 r ) 4 - 0 ，方程式( 2 2 2 ) 变成协变方程是一个 很自然的结果，( 2 2 4 ) 可以写成： k j 一三一g g j ”z 二 c 2 7 ) 这里的g j 。旦，运用方程式( 2 2 6 ) 可以消除( 2 2 7 ) 中的毛这样可以得 d x 到： 四川大学硕士学位论文 k , - - i - 1 - f f 4 q g , 畔一i 1 占k 刚 石i 霄, a l f 5 月，一孑a 瓦8 l 珈”，】 ( 2 2 8 ) 一逾 缸 这里： 厨一面ii 弘k 嘉以) ( 2 - 2 9 ) 而拉格朗日密度： 工- 一g g “( 磁r 刍r ：r ；) ( 2 2 z o ) 很显然，t ! 是度规张量和其一阶微分的函数，当把( 2 2 8 ) 和( 2 2 3 ) 一起考 虑时候就可以得到广义相对论中的能动量守恒定律： 粤0 ( 2 2 1 1 ) 缸 、 喀- 4 ：- ( r , + 彳) 一劈+ 群 ( 2 2 1 2 ) 这里的是包含物质和引力场的总的能动量张量，当引进一个局域的惯性系 时，引力部分的计总是可以在一个任意给定的时空点上消除，一般情况下群是 物质和引力张量的函数，因此把分解成为物质和引力部分是相当任意的。从 ( 2 2 1 2 ) 中甚至可以完全消除物质部分，同时可以表示成仅为度规张量及 其一阶，二阶导数的函数，如下： 一等 汹3 ) 这里的p 是r 岫强给出的： 掣一断1 略a l p 矿 ( 2 2 1 4 ) 对于，m o l l e r 给了一个更加有用的表达式，量满足( 2 2 1 1 ) 式子 等同地应该可以写成： 四川大学磺士学位论文 碰一去面a h y ( 2 2 1 5 ) 这里的矽- 卅和矽是度规及其一阶导数的函数。很容易可以证明： 叫9 坠【( - g x g “g “- g 如g “) 】， ( 2 2 1 6 ) 、一g 如所考虑的物理系统是可以引进类笛卡儿坐标系，的， 确定地相等。i r - ，- d a 9 0 , 1 , 1 , - 1 ) 从( 2 2 1 1 ) 我们可以得到： 只。蹈e d x l d x 2 d x 3 g 业足够快地向着一个 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 a s ) 是时间不变得量，即是一个守恒量。假设毹在任何地方都是规则的，则积分 ( 2 2 1 8 ) 可以在z o 一常数扩展到全空间。然后利用高斯定理有： e 一忐珏琏h 弗 q 2 ，1 9 ) 这里的。玉是一个无限小面元素豳向外的的单位法线矢量。卑即是我们想 要的锝到的守恒量。 2 3 其他能量动量张量定义 2 3 1 l a n d a u l i f s h i t z 能量动量张量 由于e i n s t e i n 的能量动量赝张量不是对称的，从而它是不能定义守恒的角 动量的，根据这个出发点l a n d a u l i f s h i t z 等人提出了一个定义守恒的角动量的能 量动量张量。在这样的一个坐标系中。有些特殊的时空点的所有度规g 业的一阶 微分为零，从而( 2 2 2 ) 有： 等t o m 1 ) 和方程( 2 2 1 ) 相似，可以肯定满足( 2 3 1 1 ) 的量p 可以表示成一下的量： r = 萼一 ( 2 3 1 3 2 ) a f 、7 四川大学硕士学位论文 这里的s “是关于它的后两个指标k 和l 反对称的，这样的话，r i c c i 张量可以写 成： r 。i 专s 。g 姻g n 镪r _ + g e 。r g n ，一g 。0 1 固 由于c h r i t o f f e l 符号的消失，现在利用引力场方程( 2 2 6 ) 可以推倒出能量 动量张量可以表示成： 严- 专意专专【( - g 9 4 9 “一幽“) ( 2 3 1 4 ) 在大括号里的量和s “有关。定义量： h - i - f f lk 4 = - ( - s x g 叠g “一g “g 。) 】 ( 2 3 1 匀 很显然h “h “，同时由于所有的对规张量的一阶微分为零，方程 ( 2 3 i 2 ) 可以写成： 等- ( - 矿- 。 ( 2 3 1 6 ) 上式只有在时空特殊的参考系的特定时空点才成立，就是那些度规张量如的一 阶微分为零的点。在一个任意的坐标系中，式子芒；一( - g ) 7 n 不再为零，用 靠 ( 一g ) t “来表示这样的式子，这样的话方程( 2 3 1 6 ) 可以写成一般的形式： ( - g x r 4 + n - - 曲f i “r ( 2 3 1 7 ) 这里的量严是对称的，由于r t 和旦哮是关于朗铂七对称的。很显然产不再是一 o x 个张量，矿利用e i n s t e i n 方程可以在式子( 2 3 1 7 ) 中消除。我们可以得到： ( - g ) t - 砉( n 即h 7 利用h “的表达式( 2 3 1 5 ) ，我们可以表示出： ( 2 3 1 8 ) 四川大学硕士学位论文 1 6 ：t t 4 一 ( g “g “- g “g “x 2 吒吒一略艺一矗) + g ”g ”( 吒0 + 一屹吒一r e ) + g 扣g 矿峨弓+ 0 一t 吒一e ) ( 2 319 ) + g 扣9 9 ( o + 0 一吒吒一l ) + g ”g “( t 一t ) 同样由于h “的关于七和f 反对称性，可以得到： 。 专【( 一g x t + t a ) 】- o 这就是意味着有一个守恒的量； p 一卜g x r * + t “d s , ( 2 3 1 1 0 ) ( 2 3 1 1 1 ) 这里的积分可能是在某一个包含三位空间的无限的超面上进行的，在没有引力 时，在半笛卡儿坐标系中，为零了，而p 就退化为厂( 一g ) r 4 蝇，它是没有 引力时物质的四维能量动量。这样( 2 3 1 1 1 ) 就是整个物质系统包含引力时候 的能量动量，我们可以定义： 矿一( - g x t “+ ，) 这样的话有： p 一瓤e 。d f d r ：d x 3 可以定义角动量： 肘“一弘一工) - r 矿一x 溉 对于一个渐进的时空，量是守恒的。 ( 2 3 1 1 2 ) ( 2 3 1 1 3 ) ( 2 3 1 1 4 ) 2 3 2m m l e r 能景动量张量 为了避免b a u e r 疑难，以及引力场的能量动量应该可以定域化，同时应该 保留上述两种定义的优势，m v l l e r 提出了一个新的定义方法，基于e i n s t e i n 的定 义，他指出我们如果在上加上一个量，使得他们的和在坐标变换下是一个 张量，这样的一个量应该满足以下三个条件： 1 ) s 丘；0 ，这样的话它必然可以表示成v 急，掣尹一掣广是一个三阶的 四川大学硕士学位论文 a f 五l l l e 张量 2 ) f s l d 3 x t 0 如果用的是笛卡儿坐标系，积分对于封闭系统的整个三维 空闼 3 ) 蜣+ s ：在所有的变换一p ，工。1 一，。0 4 ) 下象一个四维矢量密度一样 这样的话就有： 彰一+或(z321) 条件( 2 ) 意味着： 镪；：耐碌耐一赃哦耐耐 q 3 2 国 对于一个封闭的物理系统，为了找到一个满足上面的条件，m 口l l e r 找到 了这样的一个量： 岔。磊1 砟 ( 2 3 2 3 ) 嚣一斟一6 w + 6 净一再涪一g 知矿 q 3 2 国 由于反对称性质一群，可以得到： o _ 甜l c o 2 5 ) 可以证明量一。考“d x l d x 2 d x 3 对于一个封闭的系统在静止的类笛卡儿坐标系 中可以等价于e i n s t e i n 的能动量定义。这样可以得到量p 在洛伦滋变换下象一个 四维矢量一样变化，在e i n s t e i n 能动量运用的所有范围中上面得到的量也是有意 义的。最后运用高斯定量可以得到： p 。瓜。出1 d x 2 d x 3 。若舻d s ( 2 3 2 6 ) 2 。3 3其他的定义 还有其他的的定义的方法，p a p a p e t r o u ，w e i n b e r g 等。它们的出发点都是 要克服一些上面常用的定义的方法的缺陷，我们这篇文章不是主要讨论这些定 义方法的相互差别，而是要在这些定义中运用一个实验证实的宇宙常数项的存 在而进行修正，我们只需要把这些定义进行分类( 后面有这样做) ，所以我们 一1 0 二_ 型塑主丝墼 在这里就不用列举其他的定义。但是我们要想说明一下的是，w e i n b e r g 定义和 a d 的定义方法是类似的，甚至说是用的同样的基础，只是很多文献中都只是用 到了w c i n 嵫述，而在我们下面的讨论d es i t t e r 度规中我们就是运用的a d 表 述。 第三章理论困难和解决方法 显然，在广义协变方程中没有看到这篇文章要讨论的宇宙常数项，这是因 为在第二章推导广义协变方程时我们时用的r i c d 标量曲率r g r 。为拉格朗 日密度，这个标毒曲率本身就表明是考虑的标准的宇宙模型。可是最近凡年已 经有越来越多的迹象和证据表明我们的宇宙常数项不为零。完整的广义协变方 程为【1 z 4 - z s l ： 一亏g 毛r + 船。一心( 3 1 ) 显然我们可以把 g 。项移到右边( r h s ) ，写出： 0 。瓦一业 ( 3 2 同时运用简单的e i n s t c i n 混合张量的分解，可以把广义协变方程写为： 毽一专6 ：r 一告国泞压t ：)咚 一g 、。 这里c 是爱意斯坦的引力能动量赝张量( 完整形式已经在第二章中给出 了) 两砂也是在第二章给出了。 由于矽的上指标是反对称性的，可以很简单的得到一个微分守恒定律： a 。0 ( 3 4 ) c 一4 一占( 乙+ c ) ( 3 5 ) 可以象第二章那样得到四维动量p ，它可以表示成一个曲面积分： l 。p v 一f a s , h ：o ( 3 6 ) 显然( 3 6 ) 表达式子不论a 一0 是否成立都有相同的形式 但可以看到，当a - 0 时候方程( 3 6 ) 在一个非平坦度规时给出一个奇异 四川大学硕士学位论文 的结果，即能量的积分会是无穷的( 在许多情况下，这个奇异的部分可以直接 通过手动来消除) ，可是我们将会看到，尽管有些情况可以用手动消除，非平 坦渐进同样可以导致流户j 妇z 不同或者非零。这样的话，荷f d k ? 尽管在微 分守恒定律时候也可能不成立。下面来看一看前人是怎样克服这样的困难的。 首先介绍这样的时空度规的求法，然后求出这样的时空能量动量 3 1s c h w a n z s d h i l d _ d es i t t e r 度规“” 首先我们来看一看s c h w m t z s c h i l d 度规的推导。 s w a r z c h i l d 度规空间是一个引力质量位于坐标系原点， 空。当我们取球坐标时候，线元可以写成： 出2 一e 9 d t 2 一e l d r 2 一r 2 ( d 0 2 + s i n 2 口d 妒2 ) 具有球对称性质的时 ( 3 1 1 ) 对于质量外部乙一0 ，从而e 岫t 咖场方程可以写成： 曩。一去g 。r 一0 ( 3 1 2 ) 将上式子乘以g “缩并，可以得到r 一0 ，真空e i n s t e l n 场方程为： 一0( 3 1 3 ) 由( 3 1 1 ) 可以直接得到t 不为零的分量： 聪一三詈，矗一碍一主詈 吒一主詈矿1 ，e 1 m e 。一三警 q , - 三警，砖一丢争” ( 3 1 4 ) i 2 2 一r ：，一r ：一e 。一三 屹= 一r e - a , 吒一e 2 = c t g o r b 一一r s i n 2o e - r 一一s m o c o s 0 将上面的所有式子代入( 3 1 2 ) ，不过这里给出r 。v 一：1 邑v 尺的表达式， 以便在其它的球对称场合时候应用。q 的不为零的分量为： 四川大学硕士学位论文 锘一。砖+ ； c l e “d a 一i 暖一q 一j l e “譬哇审2 + 学一一i 1 石a v a a ( 3 1 5 ) + 学+ 三尊2 + 三詈争 q 一号詈+ 专 业+ 三一o a rrr 堕一三+ 。o 堕。0 ( 3 1 6 ) 由上式子有五一a ( ，) ，0 + a ) o r 根据上式可以直接得到b i x k h o 腚理( 1 9 2 7 年) 。实际上，由上式得： v - - a ( r ) + ，o )( 3 1 7 ) 故有矿一e ，p p “( r ) ，代入( 3 1 1 ) 并令： e l ( , ) d t 2 一面2 ( 3 1 8 ) 最后去掉( 3 1 8 ) 上的波浪号，使得： ，- ，( r ) - aa ( r )( 3 1 9 ) 这就是说，真空球对称引力波场一定是静态的，此即b i r l d l o f 啶理。 将( 3 1 9 ) 带回( 3 1 6 ) ，积分可以得到： e v 。e 一。1 + 墨 ( 3 1 1 0 ) ， 为了确定式子中的积分常数k ，可以采用渐进平直的边界条件：即当r 0 0 ， 平直空间的牛顿定律成立。此时引力势应为( ，一a m ，将此式子带入下式： r 四川大学硕士学位论文 g 一1 + 2 一1 - 2 g 二( 3 1 1 1 ) r 可以得到： k 一- 2 g m - - 2 孵 ( 3 。1 1 2 ) 其中槐- g m ，于是得到球对称的质量外部解为： d s 2 ( 1 一丝冲2 一( 1 一马一1 d r 2 一r 2 ( d 0 2 + s i n 2 0 d q 口2 )( 3 1 1 3 ) rr 以上即是s c h w a r t z s c h i l d 度规，可以看到，解( 3 1 1 3 ) 是当宇宙常数因子 a - 0 ，在球坐标系中，真空场方程的严格解。当a - 0 时候，在宇宙常数为正 就是所谓的d es i t t e r 时空，宇宙常数为负的就是所谓的a n t i - d es i t t e r 时空， 这个时候场方程右边不能等于零，而是屯- g 。这样重复我们上面的工作我们 可以得到s c h w a r t z s c h i l d - d es i u c r 度规： 西：。( 1 一孕一会，z ) a t 2 一( 1 一丝一令r 2 ) 一d r 2 _ t 2 ( d 0 24 s i n ：日d 妒z ) ( 3 1 1 4 ) 顺便提一下，我们常常称m 一0 时候即是静止的d es i n e r 度规时空。 3 2d es i t e r 度规下的a b b o t t - d e s e r a d 能量修正o _ 劬 在这一小节中我们将要构建一个e i n s t e i n 0 ，变方程有宇宙常数项的，相应于 一个背境度规对称性的守恒量。 1 墨，一譬。一r + 、一0( 3 2 1 ) 二 我们主要的兴趣是在一个背境度规为d es i r e r 或者a n t i d es i t t e r 中研究。虽然 形式非常一般，这些守恒量是从引力能动量张量和背境度规的k m m g 矢量中构 建的，但它们同时具有能够表示为一个二维流积分的基本性质。我们利用大家 都熟悉的公式，【v 。，v ，】巧- 民。4 圪，j 0 一r ， 我们把度规分解成两部分； g 。一g 。+ ，o( 3 2 2 ) 这里g 。是方程( 3 2 1 ) 的任意一个解，比如d es i t t e r , s a n t i - d es i t t e r ) 蝴。k 表示空间弯曲程度的一个量，它在无穷远处为零( 但是并不要求它在有限处为 很小，我们只是要它的渐进行为在无穷远处平坦而已) 。引力场的能动量张量 可以由展开方程( 3 2 1 ) 的左边为，一个是和丸，无关的( 由于g 。为方程( 3 ，2 1 ) 的解，则这个量可以直接消除) ，一个是的线性和二次及高次项而定义得到。 四川大学硬士学位论文 而g 。的r i m a a n ，r i c c i 标量曲率为： r 。 咿_ 去a ( g w g 即一g 。，g h ) r w a g 删r 置2 a ( 3 2 3 ) 一旦这种分解完成，可以定义所有二阶和高阶的屯项为引力场的能动量张置同 时( 3 2 1 ) 可以写成： 3 品一墨：一妻i 。r 一 k r 乙 ( 3 2 4 ) 砖- 民一瓦一妻( - 口k 一玩弓，h + 矿弓也。+ 甲弓。k ) ( 3 2 5 ) 这里的l 代表k 的线性项，乙是引力场的能动量张量。由于( 3 2 a ) 的左边满 足背境的b i a n c b j 恒等式，玩( 砧一- g 。一g , p a k ) - o ，可以得到如下的结果： - t “。0( 3 2 6 ) 这里的玩是关于背境度规i 。的协变微分，尽管如此， ( 3 2 6 ) 只是一个背境 不变的而不是一般时空的微分，而且仅仅逆变矢量密度的散度的积分有不变的 量，因此( 3 - 2 4 ) 和( 3 2 6 ) 并没有直接给出守恒量。这个问题是很容易解决 的，我们引进一个k 枷i n g 矢量手。，由于背境度规己的对称性很容易得到： v 。亭，+ v ，邑一0 ( 3 2 7 ) 又由于： r t ”( 3 2 8 ) 则： 一一一1 一 v 。( 丁w 亭) 一( v 。r w ) 亭，+ 兰r 一( v - 亭，+ v v 亭。) - 0 ( 3 2 9 ) 现在量丁“手，是一个矢量密度，它的协变散度是一个一般的散度，同时给出我们 想要的守恒定律： 弓。口“邑) 一a 。仃”手，) 一0 ( 3 2 1 0 ) 如果k 在时空无穷远为零的足够快的话( 即很快速地为零) ，那么象通常一样 可以得到： j d 3 x ：r “亭，( 3 2 1 1 ) 是时间不变的，这样对任意的k i l l i n g 矢量亭。守恒量可以定义为： 1 5 四川大学颈士学位论文 e ( 宇) 。壶k r “言r ( 3 - 2 1 2 ) 如果宇，是一个类时的矢量，这个守恒量就是k m i a g 能量： 当a 一0 。我们都知道引力场的能量张量可以由一个超势来表示出来，而 且能量可以表示成一个二维空间表面流积分，其实对于a o 我们可以得到相同 的结论，利用方程式子( 3 2 4 ) 能动量张量可以写成： e 售) 。壶j 矗s “乓话囊9 x “一鼯扣两愚o 0 2 ，1 3 ) 超势： x ”4 - ：i 【r - g - w 4 日”+ 矿日”一7 抒妒一7 曰- 】( 3 2 1 4 ) 日“- h ”一去西( 3 2 a s ) 它有r i l l l s l l n 张量的对称代数： k 4 一r 却一k ”9 - x 删0 2 1 6 ) 利用( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 可以得到协变微分满足： 磊筲- 露j 誓一邑矿舻一秀触“ 一邑 曲“一矿矿 + 瓦矿 “+ 瓦铲 一) 一f 佃h + 弓。玩 一一2 a h 一啦j w ( 3 - 2 1 7 ) - 瓦磊矾，毛讹+ f 讯一y 1 + 圹矿邑 一矿邑+ r 玩 一一f 亏一+ 矿y ， 以前的幽g 荷为： q “萨) 一r 二扫“劲k( 3 2 1 8 ) 而现在可以利用( 3 2 1 7 ) 重新全部写作为表面项积分，这个时候的k m i g 荷为： 画矿矿一蠹秽矿+ 尹巩 q 。磊正 一歹矿| l + 1 l “v - ；, - h “铲邑+ 芗玩圹 ( 3 1 2 1 9 ) 善讥“+ 厅f 这里的i 取值为( 1 ，2 ，3 ) ，荷用牛顿常数和固体角度归一化我们细致的计算在渐 进地( a ) d s 空间中的特定坐标的能量q o ，我们来看一看荷是否真是背境规范不 变的，在无穷小的由矢量色生成的d i f f f e o r m o p h i s m q ，度规的弯曲部分有如下变 四川大学硕士学位论文 换： 6 f k v 。言，+ v v 乞 ( 3 2 2 0 ) 为了证明乙亭是不变的，首先注意到r 是： 6 c 见- 矿如一a 矿如k 一0 ( 3 2 2 1 ) 这就有如豫- ：矿如k 从而如q 。- 0 ：可以看到l 【i l l i n g 荷确实是背境规范不变 的，对于式子( 3 2 1 9 ) 的另一个检测是，在一个渐进平坦的背境中，应该得到a d m 荷在那种情况下，可以写出类时l l i n g 矢量- 8 , 0 ) ，这样式子( 3 2 1 9 ) 的时间 部分在c a n e s t a n _ 坐标下就可以简化为我们想要的结果： q 。- m a d m 。蕊1 石 幽神9 一a j i l ( 3 2 2 2 ) 在对渐进的( a ) d s 空间建立了能量公式后，可以来估计s d s 空间的解了：首先必须 记得在d s 和a d s 空间中一个重要区别是有宇宙视界的存在，在前者，背境的 k i l l i n g 矢量在宇宙视界中总是类时的，对于一个小的黑洞，它的事件视界很好 的位于一条宇宙视界中，( 3 2 1 9 ) 给出了一个合理的近似。 我们取背境( 即m 一0 ，即是静止的d cs i t t e r 度规空间) k i l l i n g 矢量是 亭。一( 一1 ，0 ) ，它对于a d s ( a c 0 ) 处处都是类时的，但是对于d s ( a ，0 ) 却只是在 宇宙视界内才是类时的。己f y 一( 1 一：ar 2 ) 当我们在有限距离源为r 而并不是在，一。计算表面积分式子( 3 2 1 9 ) 时候， 这当然不能保证规范不变性，因为能量应该只能在无穷远处测量然而，对于d s 空间( 这个空间有一个视界，它阻止我们很平滑的趋向无穷远) ，让我们首先在中 问阶段保持r 为有限，积分变成： ( 1 一会f 2 ) 聊卜吖叠垂甄 2 2 3 rj 对于a d s ，就如我们期望的，p 一0 0 ) - 告- m 在另一方面，对d s ， 四川大学硕士学位论文 e ( r 一1 4 ) 一0 虽然这个有点不好理解，但是在d s 我们确实可以只是考虑很小 ya 的扰物俺这样就不会改变背境视界的位置( 确实。如果我们考虑大的m 作为改 变视界l 一丝一：ar ：0 的效果，可以看到e ( r ) 自身就矛盾了) 但是，正如我们讨 rj 论的，利用渐进的鼬g 矢量得到的能量公式这样对于渐进的d s 空间，唯一能 够使得上面结论有意义的方法是限制在考虑很小的m ，这样就会给出e - m ， 在一个消逝的宇宙常数的限制下( 即a 一0 ) ，a d m 能量就和，一* 时保持一致 了。 3 3 一般e i 璐6 e i n 能量修正( u e ) 在上面我们看到了对于a d 能量的种修正，我们研究发现可以从一般的 e i n s t e i n 协变出发得出一个一般的能量修正的方法，这个方法可以在a - 0 时候 适应于能量和在无穷远的流积分的为零。在本章开始时候，我们发现在( 3 6 ) 中之 所以会有奇异的结果是因为，我们把a 项移到了右边的源中去了。所以修正方法 的原则就是在方程( 3 3 ) 左边保证保持人项和e i n s t e i n 张量在一起。尽管如此，我 们必须去做到类似于方程( 3 3 ) 以至于保证所有一般的微分守恒定律成立。 对应于方程( 3 3 ) 我们重新写出： 群一昙露+ a 彰一每p 。铲一；亭) 0 3 ，l ， 矿一矿+ 会；g 4 彤一r 配) 孤1 一 ( 3 ，3 2 ) p 。c + 会7 l ( a 。厄彰叫配) o 、一g 在方程( 3 3 2 ) 中第二项表明我们要从能动量赝张量中移除 项的且的并没 有完全达到。幸运的是，这个“残留”宇宙项并没