（应用数学专业论文）非参数回归函数估计的渐近性理论研究.pdf

非参数回归函数估计的渐近性理论研究 摘要 设( 五，x ) ，( 五，e ) ，( 咒，匕) 为从取值于x r l 的总体( x ，y ) 中抽出的n 个 样本，若e i y i 一，则定义回归函数m ( 石) = e ( j ，i x = x ) ，x r d 。如何由上述”个 样本对m ( x ) 进行估计，一段时间成了概率、统计界研究的热点之一。 n a d a r a y a - w a s t o n 首次建议用核估计。( 功。我国统计学家成平教授对回归函 数的上述核估计作了改良，其优点在于对y 的矩不作其它要求，因此提出了回归 函数的改良核估计码。( x ) 和改良的递推核估计而：。( x ) 。p a u la l g o e t l 6 s z l 6 g 妒布提出回归函数基于分割的估计。( 功i t 而后，赵林城教授( 2 0 0 2 )m 4 。( 力 进行改良，利用截尾的方法构造改良基于分割的估计元。( 功。对以上回归函数 的估计，许多学者已经在多种样本情形下讨论了它们的大样本性质，如，相合 性、收敛速度、渐近正态性等。 凌能样教授( 2 0 0 4 ) 在相依样本下证明了回归函数改良分割估计的强相合 及收敛速度，( 2 0 0 6 ) 在独立情形下证明了回归函数基于分割估计及其改良估 计的渐近正态性，在此基础上本人给出了相依样本下回归函数基于分割估计的 渐近正态性，并提出了改良的基于分割的递推估计，且分别在几何口一混合和 i i d 样本下证明了其强相合性和渐近正态性；同时经研究发现，混合相依较弱条 件的口一混合样本下估计厩。o ) 的渐近正态性尚未有文献讨论，而口一混合样本 性质在非参数回归估计理论中占有重要的地位，所以这就成为本文研究的第四 个问题。 关键词：回归函数改良的递推核估计口一混合分割估计改良的基于分割的 递推估计渐近正态性强相合 t h e o r yr e s e a r c ho na s y m p t o t i c so f e s t i m a t o r s o f n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nf u n c t i o n a b s t r a c t l e t ( x ，y ) b e ar d x rv a l u e dr a n d o mv e c t o ra n d ( 五，x ) ，( 五，e ) ，( 疋，e ) b e ar a n d o m s a m p l e d r a w nf r o m ( x ，d i f e y 0 0 ，t h e r e g r e s s i o n f u n c t i o no fy g i v e n xi s d e f i n e d a sm ( 石) = e ( 】，i x = 功，z r d h o wt oe s t i m a t e r e ( x ) f r o mt h e s a m p l e ( x ，】r ) ，1 i n ) h a sb e e no n e o ft h em o s ts i g n i f i c a n tt h i n g si np r o b a b i - l i t ya n d s t a t i s t i c s n a d a r a y a w a s t o ns u g g e s t e dt ou s ek e r n e le s t i m a t i o r 。( x ) t h e nt h e f a m o u ss t a t i s t i c i a n p r o f e s s o rc h e n gp i n g i nc h i n ap r o p o s e dm o d i f i e dk e r n e l e s t i m a t o r m a 。( x ) a n d m 一2 。( 工) o fr e g r e s s i o nf u n c t i o ng i v e na b o v e p a u la l g o e ta n d l d s z l 6g y 6 r f ip r o p o s e dt h ee s t i m a t o rm 4 。( 力b a s e do np a r t i t i o n i n go fr e g r e s s i o n f u n c t i o n t h e np r o f e s s o rz h a ol i n gc h e n g ( 2 0 0 2 ) m o d i f i e de s t i m a t o r 他。( 力a n d c o n s t r u c t e dm o d i f i e de s t i m a t o r 元。( x ) b a s e do np a r t i t i o n i n g b yt h ew a yo f c e n s o r i n g a c c o r d i n gt ot h ee s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nf u n c t i o ng i v e na b o v e ，al o to f r e s e a r c h e r sh a v es t u d i e dt h e i rl a r g es a m p l ep r o p e r t i e su n d e rm a n yk i n d so fs a m p l e s ， s u c ha sc o n v e r g e n c e , c o n v e r g e n c er a t e ，a s y m p t o t i cn o r m a l i t ye t p r o f e s s o rl i n gn e n g x i a n g ( 2 0 0 4 ) p r o v e ds t r o n gc o n v e r g e n c ea n dit sr a t e o fm o d i f i e dp a r t i t i o n i n ge s t i m a t i o nu n d e rd e p e n d e n c es a m p l e s ，( 2 0 0 6 ) p r o v e dt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fp a r t i t i o n i n ga n dm o d i f i e dp a r t i t i o n i n ge s t i m a t i o n f u n c t i o n s t i m u l a t e db yt h i s ，ip r o p o s e da s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fp a r t i t i o n i n ge s t i m a t i o r u n d e rd e p e n d e n c es a m p l e ，m o d i f i e dp a r t i t i o n i n gr e c u r s i v ee s t i m a t o ra n dp r o v e di t s s t r o n gc o n s i s t e n c yu n d e rg e o m e t r i ca - - - - m i x i n gs a m p l ea n da s y m p t o t i cn o r m a l i t y u n d e ri i d s a m p l e r e s e a r c hs h o w st h a ta s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fe s t i m a t o r 厩。( 工) u n d e rc r - - m i x i n gs a m p l ew i t ht h eb e t e rw e a k l ym i x i n gd e p e n d e n tc o n d i t i o nh a v e n t b e e nr e s e a r c h e d ，y e t w h i l et h i sl a r g es a m p l ep r o p e r t yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e t h e o r i e so fn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o ne s t i m a t i o n t h e r e f o r ei tc o m e st ob et h ef o u r t h p r o b l e ms t u d i e di nt h i sp a p e r k e yw o r d ：r e g r e s s i o nf u n c t i o n , m o d i f i e dr e c t i t 葛i v ek e r n e le s t i m a t i o n , 口一m i x i n g ， p a r t i t i o n i n ge s t i m a t i o n ，m o d i f i e dp a r t i t i o n i n gr e c u r s i v ee s t i m a t i o n , a s y m p t o t i cn o r m a l i t y , s t r o n g c o n s i s t e n c y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金目巴王些太堂 或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：杰乞卜签字日期： 学位论文版权使用授权书 l , e l0e t 本学位论文作者完全了解金理王些太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅或借阅。本人授权金魍王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：杰卜铭 签字日期：z d o 释1 月己e l 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 砍瞬 电话： 邮编： f 月j 。日 i 致谢 非常感谢合肥工业大学理学院为我提供了难得的学习机会和良好的学习环 境。教授的谆谆教导使我受益非浅，同学的互助、友爱让我怀念、难忘。 本文是在导师凌能祥教授的悉心指导下完成的。两年半的学习生活，导师 渊博的知识、灵活的思路、严谨的治学态度、深厚的学术造诣、忘我的工作精 神深深地感染着我，给了我深刻的启发和教诲，使我受益终生。在论文的写作 过程中，导师的悉心指导和指正，使论文在研究内容、撰写方式上更加完备。 两年多的学习期间，杜雪樵教授和惠军副教授等的教育培养也对我的成长 起到了很重要的作用，机械学院周美立教授也给予了我极大的关心帮助，在此， 我要向诸位老师表达最真诚的谢意。 衷心感谢所有关心和帮助我的老师、专家和朋友、同学们! 最后，特别感谢我的妻子和家人给予我的关心、鼓励和支持。他们无微不 至的照顾使我能够顺利完成学业，实现自己的理想。 作者： 2 0 0 7 年1 1 月1 6 日 1 1 引言 第一章综述 设( 五，x ) ，( 置，艺) ，( 以，艺) 为从取值于尺dx r l 的总体( x ，】，) 中抽出的刀个 样本，e i 卅 一。回归函数所( 石) = e ( 】，i 石= z ) ，z r d 。如何由上述冗个样本对，z ( 力 进行估计，一段时间成了概率、统计界研究的热点之一，称之为非参数回归函 数估计问题。n a d a r a y a w a s t o n 1 ，2 首次建议用核估计 嘣功= 秘( 半谵d 竿) f - l ， j - l 此处，k ( x ) 是r d 上可测函数，称之核函数，h 为窗宽o h = 吃j0 。此估计 的点收敛及一致收敛，0 收敛早期已被众多学者研究过，见 3 卜 5 ；在独立及 相依样本下，许多学者研究了。( 工) 的相合性及收敛速度，见 6 一 9 ；林正炎 教授 1 0 对妒混合样本在r x r _ 2 讨论了码。( 石) 的渐近正态性，著名统计学家胡 舒合教授 1 2 利用鞅的有关理论，在简洁合理的条件下，证明了独立及相依样 本时， l l 。( x ) 的渐近正态性。我国统计学家成平教授 1 3 对回归函数的上述核估计 作了改良，其优点在于对y 的矩不作其它要求，因此提出了回归函数的改良核估 计和改良的递推核估计： 确= 枷 班c 半憔k c 竿， 讯加扣l i i 撕坝t x - x , y 二矿_ k ( 争 其中，o 吃一，仰寸) ，并证明了厩。( 功的强相合性且给出其收敛速度；而后， 胡舒合( 1 9 9 3 ) 1 4 利用与g r e b l i c k i 等类似的条件，考虑了在k 的支撑集无 界及相依样本下，厩。( x ) 的强、弱相合性，完全相合性和积分平均相合性：赵霞 ( 2 0 0 1 ) 【1 7 讨论了厩。( 力在r j r 上独立同分布样本条件下的渐近正态性并且 给出了其在矽一混合下的结果。李倩茹，梁汉营( 2 0 0 5 ) 1 8 对混合样本在r d 尺 上讨论了厩。( x ) 的渐近正态性。 回归函数的另一种估计方法为最近邻估计 2 0 】，基于样本( 置，i ) ( f = 1 ，2 ，1 ) ，对固定x r 4 ，将( 置，x ) ，( 置，e ) ，( 以，艺) 按照 0 - x l l - 1 1 一工卜恢- x l i 的次序重新排列，约定当五一x 0 = 0 t 一刈，而f 时，0 置一训在上式中排在 一刈之前。模i j i | 可取通常的欧氏模。 设( ，1 f 以) 为一给定权，圪，o ，= 11 令 呢兄= 圪f ，i = 1 ，拧 定义 以? ( x ) = v 为m ( z ) 的最近邻估计。文献 2 0 】和文献 2i 】在以j 样本下，分别证明了硝? o ) 的 强相合性和硝? ( x ) 的渐近正态性。 文献 2 2 对硝? ( 石) 作出了改良，提出了改良最近邻估计： 硝：( x ) = ，r , n l r , i 吃) 其中o 吃o o ( n j ) ，并证明了其强相合性。文献 2 3 】对上述改良估计硝：( x ) 作出了推广，在相依样本下，获得了改良估计的强相合性及收敛速度。 p a u l a l g o e t 和l d s z l 6g y 5 r f i 2 4 提出回归函数基于分割的估计。对力l ， 记吼。= 4 l 。，4 l ：，) 为中一列有限或可数个b o r e l 子集构成的一个分割，对 z r d ，以( x ) 表示包含点工的分割吼。的原子，即 4 | ( 工) = 厶若x a 由样本( 墨，】j ：) ，( 五，艺) ，( 以，艺) ，基于分割吼。的回归函数，l ( x ) 的估计定义为： 2 m 4 。( x ) = ( ，( 五) i ( ，) ( 置) 其中l ( x ) 为集合彳的示性函数，记”罟”为o ；文献 2 5 在相依样本( 矿混合) 下， 证明了。( z ) 的强相合性；文献 2 6 】利用截尾的方法构造改良基于分割的估计： 元。 ) = 。) ( 五) z j r ( 1 巧f 瓯) ，) ( 五) 其中o 6 j 一( 胛一) ，并在n d 样本下证明了其强相合性。而后，文献 2 8 1 在 相依样本( 缈混合) 下，证明了唬。( 石) 的强相合性及收敛速度。最近，凌能祥教 授利用鞅的有关理论，在独立情况下给出了m 4 。( x ) 和元。( 工) 的渐近正态性。 确定估计量的分布或n 很大时的近似分布，从理论上完善了非参数回归函 数的估计理论，同时也具有重要的实际意义。受上述文献研究思想的启发，导 致本论文研究的主要内容。 1 2 本文的主要内容 本文第二章，研究了当( 五，x ) ，( 置，艺) ，( 咒，e ) 为相依样本时回归函数 聊( z ) 基于分割的估计。( z ) = ( ，) ( 置) i ( ，) ( 置) 的渐近正态性； 本文第三章，给出了回归函数基于分割的改良递推估计： ( 功= ( 。) ( 五) l 刈z l 包) ( ，) ( z ) ，并在几何历一混合样 本下证明了它的强相合性； 本文第四章，在独立同分布情形研究了回归函数基于分割的改良递推估计 的渐近正态性； 本文第五章，研究了 ( 置，x ) ，i 1 ) 是r d x r 空间上的严平稳口一混合随机 序列时，回归函数肌( z ) = e ( y i x = 工) 改良的递推核估计： 啪) - 喜v ，( i r , i 蚺坝竿) 耖k ( 竿) 的渐近正态性。 第二章相依样本下回归函数基于分割的估计的渐近正态性 2 1 引言 设 ( z ，】；：) ，i 1 ) 是从取值于尺dx r 的总体( x ，】，) 中抽取的相依样本( 2 2 节， 假设( 4 ) ) ，若e i y i 0 和以工为中心的邻域u ，使得： m ( t ) - m ( x ) i - 0 ，使得对f l ，置f 1 ，岛鼻， 有： e ( 岛i 巧一。) = o ， e ( 2j 曩，) = 1 ，口j s u p e q , 1 2 i f , 一。) 0 ，使 得： i 看芯两一，( x ) 仉e 【，】，其中屹为4 l ( 石) 的体积 引理2 1 、2 2 的证明可参阅文献 2 4 1 引理2 3 1 2 若假设( 4 ) 满足，则对任意可积函数g 。( ) ，吃( ) ，有： 窆川l c o y ( 岛( 一+ ，? ，吃( 五) ) ) l b ) l x = 工) = 0 口p f 】， 其中，z 为一随机变量，且i z i 2 3 定理及证明 定理2 1 假设( 4 ) 一( 4 ) ，置具有密度函数厂( x ) ，e i y l 2 ，e v 2 + 艿( x ) 0 证明： 咒屹( ，嘞。( 功一聊( x ) ) = m 名上l _ - 一 一一( m ( 置) 一，l ( x ) ) ( ，) ( 五) ( ，) ( 五) 6 一萨( 墨) ( ，) ( 五) 岛 + 型百一 ( 五) 垒e + 民 一、证明：兄与( 0 ，盯2 ) ，n 寸 令鼠圭意善( ，) ( 置) ，己，垒n 1 _ v n 矿2 ( 五) ( x ) ( 五) p n = f ( 1 4 _ ，n1 由e l r l 2 ” 一和条件期望的不等式有， e ( v 1 ( 五) i 局1 2 + 万) ：e p m ( x ) 1 2 ” ， e v ( x ) = e ( e ( y - m ( x ) ) 2 i x ) = e i y - m ( x ) 1 2 一， e 鬣= 瓦1e ( y ( 五) t 五) ) = 去见l 。，y ( f ) i f 丽( d t ) f ) l 硭。) 兰。古喜e ( i 靠r i 最_ 1 ) ：专窆e f ，( 甩) 一l 专y 1 + 萼( 五) 。，( 五) i 毛r i 最_ c 七= j k ( 刀) 2 占s 。u 劭pe ( i ri e 一。) ) i 1 备占百1 y 1 2 2 ( x k ) i a , ( ，) ( 五) 山o ，r t 一，v e e o ，1 】 ( 2 - 4 ) 喜e ( 幺l e _ 1 ) = 喜y ( 以比。，( 五) e ( 露i e j 8 去喜呐，( x o = 专e c y c 五，。五，+ q ( 正蓦下：孑夏历：i i i 五瓦石丽 = 机w 舯心( 琢赢瓦而葡历丽 2 詈k 瞰币f ( 丽d t ) + “豚石磊瓣一 山黑兰砰，n - - ) o o ，( x ) 1 瓦= 碱州属，= 魍+ q ( ( 2 5 ) 牙磊蕊面硼 e s 2 去喜肫，= 詈一志，万一 v a r 邑= 壶( v 畋c 孙2 尼撇，) 2 ) ( 2 6 ) 壶眦m 屈聃，) 2 = 壶c 见+ 尼蠢， 协7 ， 由( 2 名) 、( 2 7 ) 知：最一面1 ，刀j 一 所以由( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 8 ) 可得： 厶 兄= 等与( 0 ，矿2 ) ，刀一， 二、证明e 山0 ，刀j 9 矿圭，( 石) 矿( 功 ( 2 8 ) 令瓦圭车一x ( m ( x 1 ) 一所( 石) k ( ，) ( 五) 玎屹i = i i e ( 所( 墨h ( 砌肫) i 以见，所以有，e l 瓦l 击咒以见 ，n、 v a r i ( m ( 五) 一m ( x ) ) ( 置) l i - l 2 喜喜( c d v ( ( ，z ( 置) 一聊( 砌t 置) ，( m ( 一) 一所( 瑚t t ) ) ) 以v a r ( 聊( 置) 一历( z ) ) 。五) + 2 咒尼( l i m ( f ) 一肌( 工) i ，( 出) ) 2 n e ( m ( x 1 ) - m ( x ) ) i a ( ，) ( 墨) ) 2 + ，z 孱2 风2 = ，z 刃以+ 刀孱彰2 以2 i 乙i 志( ”以见+ o p ( 4 n d 2 n p , , + n f l , d ：p 2 一) ) ( 2 - 9 ) 由假设( 4 ) 、( 2 8 ) 、( 2 - 9 ) 矢t 1 - e 山o ，刀j 1 0 第三章口一混合下回归函数基于分割的改良递推估计的强相合 p a u la l g o e t 和l d s z l 6g y 5 r f i 2 4 】提出回归函数基于分割的估计。对以1 ， 记吼。= 4 。，4 ：，) 为r d 中一列有限或可数个b o r e l 子集构成的一个分割，对 x er d ，4 l ( x ) 表示包含点戈的分割吼。的原子，即 4 ，( 石) = 4 i ，若x e 如 由样本( 五，誓) ，( 五，艺) ，( 以，) ，基于分割吼。的回归函数所( 石) 的估计定义为 m 4 。( x ) = ( ，) ( 置) k ( ，) ( 置) 其中l ( 力为集合么的示性函数， i e 0 0 ”为0 ；凌能祥等( 2 0 0 5 ) 在相依样本( 矽 混合) 下，证明了m 4 。( 力的强相合性；赵林城等( 2 0 0 2 ) 利用截尾的方法构造 基于分割的改良估计： 元。( 工) = ( ，) ( 五) z ，( 1 i l 吃) ( ，) ( 五) 其中o o o ) ，并在i i d 样本下证明了其强相合性。而后，凌能祥( 2 0 0 4 ) 在相依样本( 缈混合) 下，证明了死。( 力的强相合性及收敛速度。由于递推估计 在样本容量发生改变时，不必重新计算，这带来了许多方便，基于此，本章提 出了回归函数改良递推分割估计： ( x ) = ( ，) ( 墨) z 刈i l 6 f ) ( ，) ( 置) ， ( 3 - 1 ) 并在( 几何) 口一混合下得到了它的强相合性 3 2 若干引理 定义1 、称 ( 置，1 ) ，i 1 ) 为口一混合的，如果： a ( n ) = s u p s u p i p ( a b ) - p ( a ) p ( b ) f o ，刀_ ， 其中，群= 仃( ( 置，y ) ；m f ，1 ) 当口( 咒) = 口p “( 其中口o ，o p 1 ) 时称 ( 五，r i ) ，i 1 ) 为几何混合 引理3 1 假设( i ) 分割4 是单调递增的且对每一个以原点为中心的球s ， 那么： 以圭s u pd i a m a f 寸0 ； i ：4 耐n s 0 ( ii ) j l g ( x ) 妒( x ) 0 ，使 得： 7 南一，( 功口以【f ，其中为4 ，( 砷的体积 引理3 3 ( ( 几何) 口一混合序列的b e r n s t e i n 不等式) 设 五，i 1 ) 为口一混合序 列， e x i = o ，历( ，z ) = o ( p ”) ， ( o p b ) i x = x ) = 0 北i f ， 其中，z 为一随机变量，且e j z j 1 2 d 定理2 2 设 ( 置，z ) ，i 1 】为( 几何) 口一混合序列，( 互，z ) = ( 石，y ) ，i = 1 ，2 ，刀， e y 2 , n q 一：且 和引理3 1 假设( i ) 成立，又混合系数似) 及 i - l 坼 1 ，= ( x ) 满足如下条件： i ) 口( 刀) = o ( p ”) ，( 0 b ) l x = z ) 假设，( ，) ( 五) o ， i = i呐h 2 舞， 鼽= 喜器，驰，= 喜揣， 乙。( 工) = ( ，) ( 五) ( ( i z l 岛) 一朋( x ) ) 下证：最( 功坐一0 ，o 一一) ，口巴 用 乙( x ) 与1 ，( nj ) ，a e i f 】 首先，城( 力= e e ( 乙，( x ) i 五) ) n f ( a ( 工) ) 乙，( 功= ( ，) ( 五) ( 鬈州z i 岛) 一朋( z ) ) = j ( ，) ( 五) ( k 一所( x ) 一巧，( i i l 6 f ) ) ， 窆d e 。，( 工) 【e ( 】：i 五) 一m ( 工) 】) l + i e 。，( 五) 码( 五) i ) 哦( 力止i 丽而一 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ：三争巨! 丝! ：苎! ! 竺! 兰! 苎! 二塑三塑型+ ! 争! 丝! 兰! 苎! 竺! 苎型 r t 智，( 以( x ) )n - i = 1，( 4 ( x ) ) 气l 。+ 1 2 。 ( 3 - 4 ) k = 矧m 刊，焉l 酏) 揣蚓加o ，( 咒刊一“f 即，i l 。( 工) j0 ，一一) ，a e f 】 另一施1 2 n 去喜川酬她) 盼】l 揣 去喜肛忡仲6 f ) 旧】揣 去喜去l 聊i x i 刮币f ( d 而t ) 1 2 。一0 ， 0 _ ) ，a e f 】 由( 3 4 ) 、( 3 5 ) 、( 3 6 ) 可知： 碱( 石) 一0 ，( n 一) ，a e i f 又，删一鼬，2 喜错 因为，l 乙，( x ) - e z ，( 力l 岛+ i m ( 力i 乙+ l m ( 力i ，其中乙= s u p b , ，1 f ，z ) ， 记： 毒= 弓糟，则， 毒，f 1 ) 为同分布口混合序列，且有： 鹾= o ，蚓：了1 吖n 1 4 击i ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) 一五1 。矧 一以 加 = 石 七呈 牛 知 r 哺 e 磐 酽 0 ，使得，见( 功c ( 功k ，a e i f 】 又l 聊( 工) i o o 一) ，所以当咒充分大时，对v o ，有： 剐驰，一e s ( x ) e ) = e f t - e x p 心警一4 t , + l m ( x ) 1 纸x p ( - 厕丹砉一“f ， 故：尸( i 最( 工) 一碱( x ) | ) 2 1 t j , = s u p c 制) - ，1 删) 0 ，有： 训弦) _ p 蚓 孕 鲫。十警耕卿( 一警 = c e x p ( 一厕佩) ，觚 用 阮与棚觥蝴眦妣冬与， 故尸( 嘶) 一1 1 g ) c e x p ( 球丽弼) 专，叫f 】 所以，e p ( i ( 工) 一1 i ) ，a e 【f 】 n = l 由曰一c 引理知( 3 3 ) 式成立 当x s ) 时，有：碗( x ) 坠一所( 功，( 行- 岭o o ) ， 由于s ( f ) 的f 一侧度为1 ，故由f u b i n i 定理可得： 定理结论成立 1 6 第四章回归函数基于分割的改良递推估计的渐近正态性 4 1 引言 p a u la l g o e t 和l d s z l 6g y s r f i 【2 4 提出回归函数基于分割的估计。对 ，z l ，- i g g 咤。= 4 l 。，4 l ：，) 为r d 中一列有限或可数个b o 阳，子集构成的一个分割， 对x r d ，4 ( x ) 表示包含点工的分割吼。的原子，即 4 ( x ) = a 若石4 l ， 由样本( 五，x ) ，( t ，e ) ，( 咒，k ) ，基于分割吼。的回归函数m ( 石) 的估计定义为： m 4 。( x ) = ( ，) ( 五) 鬈( ，) ( 五) i = 1，i = 1 其中l ( x ) 为集合么的示性函数，记”罟”为。；凌能祥等( 2 0 0 5 ) 在相依样本( 妒 混合) 下，证明了m 4 。( x ) 的强相合性：赵林城等( 2 0 0 2 ) 利用截尾的方法构造 改良基于分割的估计： 元。( x ) = 喜。置) 】_ ；刈i i 吃) 喜。置) 其中o 0 和以工为中心的邻域u ，使得： i m ( t ) - m ( x ) l - - , z l l t - x l i ，v t eu 假设( 4 ) 、e 俐2 o o 假设( 4 ) 、 6 ) l x = 石) = 0 船 f ， 其中，z 为一随机变量，且e i z l 0 矾n 4 z q ( 州刊) = 厄坠：竺竺塑竺兰 。；) ( 置) 。f 喜卜( 桫；( 挑刈耶6 ：f ) _ 肫) y ；( 桃刈耶包) i ( ，) ( 置) 矿( 置) 乞，( 吲6 j ) 一吼( ，) ( 五) y 2 ( 置) 岛刈誓l 包) i + 厄旦l - 一 ( 置) j 一 、 ，、7 一瓯( x 3 v i ( 置) q 啪i 岛) + ，z 上l 百一 ( 置) i = i 圭( ，) 4 - ( ) 4 - ( h i ) 一、证明( ，) 山0 ，1 1 一 记呢= 志喜w 置) ( 聊( 训q l 叫工) ) ，我1 将矾 1 9 ( 4 1 ) 实际上，对固定的z r d ，我们有： i e 。，( 置) ( m ( 置) 刈i i 岛) 一m ( x ) ) j = i ( 。) ( x i ) ( m ( x i ) - m ( x ) ) ，( i 】：j 勿) 一聊( x ) 刈引 岛) j 鳅州m i 掣 玩n ( ，) ( 五) ( 聊( 五) ，( 1 鬈i 岛) 一所( 工) ) e ( m ( 鼍) ，0 鬈i 6 ：f ) 一聊( x ) ) 2 i a , ( ，) ( 五) c 2 ( c l 见+ 所z ( 工) - 蒯- l - - ) ， ，j 吲一n d p q n v + ；虮刮掣+ q 4 n v i = l q 这就推出了( ，) 山o 二、证明：( ) 与n ( o ，仃2 ) ，nj 一 令弘赤卜( 秒；( 挑讹阳) 一肛炉1 ( 犏州耶6 f ) ) ， l 色，i 二= 岛，口j ，且e ( 彘，l f 乏。) = 五磊，= o ，口j q n v 。 专n i , i - - 1 ) 是_ 鞅差序列，且e 鬈2 ! n 屹e i ( ，) ( 置) y ( 五) 乎州i i ” 槲) f ( 出) d l 。一d 2 。 由引理4 1 、4 2 和假设( 4 ) 。l i m d i , , = 舰乞寿礼m 1 + 8 蚓m 啪 对 有 1 + 占 = 烛矿丁( z ) e ( m 硝卜) c 2月- - 4 。 = 。一1 + 8 删乞i m ilim v - j - ( i 工) 去手= 。一工) e ( ”每工) 击孑 n2 嵋1 d 2 。，由岛一， x b , i = 1 岛 i = 1 取有理数b 0 ，使得，6 ； 6 ， c l i m l i m 6 - - + n - = 0 由( 4 3 ) 、( 4 4 ) 、( 4 5 ) 得： 另一方面， i = 1 2 + j 艿 n2 嵋 ，( 出) f ( 4 ( 工) ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 包k e ( i z 一所( f ) i l + 占l ( i v , l - b , ) l x , = f ) f ( d o i = l包k e ( i z i m ( 1 i l - - - b , ) l f 扩( 出) p n 易 刀 f - l岛l e ( i k l l + 占i ( 1 z l - b , ) l f ) e ( 辱2 。1 ( 1 点，i 一。，i h n ) 山o z 矧e ( 考2 kl f _ - ) 2 善瑶 f ( d t ) ，( 4 ( x ) ) 2意善【-e(矿(五)c五)砰，(iy,i岛)一(evi(x)iaf 1 c 五) 局州z l 岛炉j 1玎1 2 l ( 4 5 ) 2 去喜，心坝杈i i i 钏l 五叫凇) 一( i i ，。，y i i ( r ) e ( q ，( 1 鬈j 岛) j 蜀= r ) ，( 出) ) 2 2 去喜心顺彳岍妒k w 以彳硎 蝴眦) 一1 c 。e c 局，c k i 岛，d ，c 出， 2 ) 由引理4 1 、4 2 ，及e ( 彳i f ) = 1 a s ，可得： 烛耻l i m p 州”l , 拶) 揣= 等， 对最。，q ：y i t - m 一( x , ) ，j t e i l l 2 o ，使得，6 i 6 ， y 2 ( 置) 则，。l i m s u p 易。= 擞s u p 急喜l 。，y ( r ) e ( 牟刈鬈i 6 f ) i 置= r ) 7 f 丽( d t ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) = 熙s u p 急喜lm ) e l ( ( y i - 瞰m ( ) t ) ) 2 似阶6 ) l rf ( d t ) 万 。l i m s u 。咯善nk 刚2 刈l 蝴而f ( d 而t ) 如l i m l i m 。p ，窆e ( z 2 刈r i 6 i ) i z 6 啪月书以屹智1 ” 包) i 功 。+ 匕晓l 。 所以，l i m 易。= 0 ， ( 4 8 ) h 对岛。，由e ( e ll t ) = 0 口j ，b - - o o ，和引理4 1 、引理4 2 ，有： 耻志凯矗峨啪i 6 f 帆- t ) f ( d t ) ) 2 嚣喜硎刈i l 蝴m ) ) 2 譬如争肛蚓m 旧揣) 2 鲁喜2 矿1 硎引1 。， 故，喜联一等研 最后，由引理4 3 取靠= 咒得： ( 4 9 ) 有量，o ( o ，砰) ， ( 4 一l o ) 最= 碱吲瓜，= 强+ q (掰磊一 e s = 寿喜肫，= 詈一志，刀一 v a r 最= 壶( v 畋c 聃孱聃，) 2 ( 4 1 1 ) 壶眦m 眦，) 2 _ 志c 见+ 尼z ， 件 由( 4 - 1 1 ) 、( 4 一1 2 ) 知： 最j 志，以一一 综合( 4 1 0 ) 、( 4 1 3 ) 可得： ( 口) 与( 0 ，仃2 ) ，矿= l ( x ) v ( x ) 0 三、证明：( ) 山o ，n - - ) 令， 乙兰1 1 e ( ( ，) ( 置) 肛i ( 置) 乞刈引岛) ) 1h q n v 1 = l 由e ( q i f ) = 0 口j ，岛= - 广r e ( 一x , ) ，有 ，2 ( 五) 非士n v n 兰i = xk 嘞1 比刈啦6 i ) i 五叫聃) i ( 4 1 3 ) 丙1 备nb 嘶! 刈誓i 忡) 赤喜鲁铡2b 丽f ( d t ) + u m 怫，丽f ( d t ) 一0 由假设( 以) ，引理4 1 、4 2 所得，即，_ 0 这就推出了，( 脚) 山0 综合一、二、三步的结论可知，定理得证。 第五章口一混合下回归函数改良递推核估计的渐近正态性 5 1 引言 设 ( 置，誓) ，i 1 ) 是从取值于r dx r ( d 1 ) 的总体( x ，y ) 中抽取的严平稳 样本序列，x 的密度函数为f 。假设e i y i ，自耽捃o ，l 一口如心炉给出回归 函数，l ( x ) = e ( 】，l x - x ) 的核估计： m n 0 ) = 扣c 等，喜k 洋， ( 其中k 是一个定义在上的核函数，0 吃一0 ) 之后，许多学者在独立及 混合样本条件下研究了m 。( i ( x ) 的相合性及相合速度( 见d e v r o y e ( 1 9 8 1 ) ， h a r d l e ，j a n s s e n 和s e t t l i n g ( 1 9 8 8 ) ，g y o r f i 等( 1 9 8 9 ) ，p e l i g r a d ( 1 9 9 2 ) ) ： 林正炎( 1 9 8 7 ) 对妒- 混合样本在r 尺上讨论了，l 乳x ) 的渐近正态性；胡舒合 ( 2 0 0 2 ) 对独立和相依样本在r 上证明了硝( x ) 的渐近正态性。 为了更有利于做大样本计算，不少学者又讨论了m ( x ) 的递归核估计 帕，= 弘极竿，层班c 半， ( 见d e v r o y e 和w a g n e r ( 1 9 8 0 ) 及r o u s s a s 和t r a n ( 1 9 9 2 ) ) ：凌能祥( 1 9 9 9 ) 对x 的所有分布，给出了以2 ( x ) 的逐点相合性；秦永松( 1 9 9 5 ) 讨论了以2 ( 工) 在有限个点处的联合渐近分布。 为了在较弱的条件下讨论以1 ( 功和碱2 ( 石) 的大样本性质，成平教授在1 9 8 3 年提出了下列关于朋( 工) 的改良核估计： 粕，= 扣吲 班譬，芸k 咩， 识加拟水蚺极半) 耖k c 芋， 其中o o ，使e l r , 1 3 ” 一 a 2 ) ( i ) 核函数k 是r d 上的有界密度函数 ( i i ) 肛