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椭圆偏微分方程解的水平集的凸性 摘要 凹凸性是几何对象的一种基本特性，在光滑情形也是一种可以通过微分来描述 的特性，因而凸性的研究既是几何研究的需要，也使得它跟分析产生自然的联系， 从而凸性也成为分析研究的重要内容；不仅如此，随着对偏微分方程研究的深入， 人们发现有时凸性亦是研究方程本身的需要，例如自由边界问题( 见后文) 。因此， 凸性研究不仅有着长久的历史，也越来越成为人们感兴趣的问题。在研究微分方程 的凸性时，通常可分为研究方程解本身的凸性和解的水平集的凸性，解的凸性可导 出水平集的凸性，从这一角度来说，水平集的凸性是更精细的问题。本文对偏微分 方程中研究凸性的历史做一些总结，利用经典的极值原理，首先给出一类低维p 一调 和函数的水平集凸性的定量估计。同时，常秩定理是处理关于凸性问题的一个强有 力工具，它在偏微分方程解的几何性质及微分几何中的应用有着深刻意义。本文亦 对预定平均曲率超曲面的水平集的常秩定理作了尝试。另外，我们对低维极小超曲 面的水平集凸性亦作了估计，并发现了与二维极小超曲面水平线有关的一些调和或 下调和函数，由此可同时得到其水平集严格凸性的新证明。最后，我们用分部积分 法研究完全非线性问题，给出了一类h e s s i a n 不等式不存在性结果的新证明。主要 结果如下： 定理0 o 1 设u 为酞2 中区域q 上的p 调和函数，即满足方程 d i v ( n u l p 一2 v u ) = 0 i n q ( o 0 1 ) 且l v u l 0 ，u 的水平集凸，则当p 3 时，u 的水平集的高斯曲率不能在q 内 部取到最小值，除非是常数。 定理0 0 2 设让为r 3 中区域q 上的p 调和函数，即满足方程 d i v ( 1 v u l p 一2 v u ) = 0 i n q ( o 0 2 ) 2 - 1 v u l 0 ，u 的水平集严格凸，则当p 2 时，u 的水平集的高斯曲率不能在q 内 部取到最小值，除非是常数。 定理0 0 3 ( 相关术语见后文) 设m 2 为r 3 中极小曲面，若m 2 的相对于方向的高 度函数u 无临界点，即l v u l 0 ，相应水平线的曲率为k ，最速下降线的曲率为g ，则 ( i ) l v u l k 、i v u i 一1 g9 _ m 2 上的调和函数。 ( i i ) h a 南、1 1 1 南均是m 2 上的下调和函数 对于三维极小超曲面，我们也有如下的水平集凸性的定量估计： 定理0 0 4 设m 3 为r 4 中极小超曲面，若m 3 的相对于方向的高度函数无临界点， 水平集均为局部严格凸的，则水平集的高斯曲率不能在m 3 内部取到最小值，除非 是常数。 推论0 0 5 若m 3 为r 3 中凸环上具有齐d i r i c h l e t 边界条件( 见似j 4 ) 的说明) 的极 小图，则m 3 的水平集的高斯曲率不能在m 3 内部取到最小值。 设m n 为爬n + 1 中的光滑超曲面，x ：m _ r 1 为浸入，满足方程 h = 一厂( x ，)( o o 3 ) 其中日是m n 的平均曲率，是m n 在x 处的单位法向量，为光滑函数。任取r n + 1 中的单位向量，则相对于方向m n 的高度函数可表达为u ( x ) = ( x ，) ，其中( ，) 表示r 几十1 中欧氏内积，于是，相应于方向、高度为t 的m n 的水平集表示为 & = ( x m n l u ( x ) = t ) ( o 0 4 ) 利用上述记号? 关于超曲面水平集的常秩定理可叙述为： 定理0 06 对于上述f d d 圳预定平均曲率的连通超曲面m n ，若m 竹的相对于方向 的高度函数u 无临界点，即l v u i 0 ，且水平集均为局部凸的，即水平集的第二基本 形式半正定，则当厂 0 且厂一；是凹函数时，水平集的第二基本形式取常秩。 除了研究偏微分方程解的凸性以外，我们还用分部积分的方法，重新证明了一 个著名定理。具体叙述如下： 对h e s s i a n 不等式： “ o k ( 一d 2 钍) u a i nr n ( 0 0 5 ) 其中c r r ( a ) 表示凡几阶对称矩阵a 的特征根的第r 阶基本对称函数，考虑其容许 解u r 南：= u c 2 ( 酞n ) i 听( 一d 2 u ) 0 ，r = 1 ，尼) ，我们有如下的不存在性结 果： 定理o 0 7 若2 七 0 i sas m o o t hf u n c t i o n l e t b eaf i x e du n i tv e c t o ri n1 r n + 1 t h e nt h eh i g hf u n c t i o no fm n c o r r e s p o n d i n gt o c a nb ee x p r e s s e da su ( x ) = ，h e r e m e a n s t h eu s u a l e u c l i d e a np r o d u c ti nr n “n o w , t h el e v e ls e to fm nc o r r e s p o n d i n gt o w i t hh i g h 亡i s s t = x m n l u ( x ) = t ) ( 0 0 4 ) w i t ht h en o t a t i o n sa sa b o v e ，t h ec o n s t a n tr a n kt h e o r e mo i lt h el e v e ls e to ft h ep r e s c r i b e dm e a l lc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c ei sa sf o l l o w i n g ： 定理0 0 6 如fm nb ea sa b o v e 舭p r e s c r i b e d 矿t h eh i g hf u n c t i o nu 盯m nc o r r e s p o n d i n gt o i v m e a nc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c ei nr n + 1 h a v en oc r i t i c a lp o i n t ，a n dt h el e v e l s e t sa r ea l lc o n v e x , f e t h e i rs e c o n d f u n d a m e n t a l f o r r n sa r es e m i d e f i n i t e ，t h e nt h es e c o n d f u n d a m e n t a l f o r m so f a l lt h el e v e ls e t sh a v ec o n s t a n tr a n k ，p r o v i d e d9 一 i sc o n c a v e f o rt h eh e s s i a ni n e q u l i t i e s ： 仃七( 一d 2 u ) u 口i n 黔 ( 0 0 5 ) w h e r e 吼( 一d 2 u ) a r et h ek - h e s s i a no f ( - d 2 u ) a su s u a l c o n s i d e rt h ea d m i s s i b l es o l u t i o n su f k ：= u c 2 ( 跫“) l o r ( - d 2 ) 0 ，r = 1 ，七) ，w eh a v et h ef o l l o w i n g n o n e x i s t e n tr e s u l t s ： 定理o 0 7 而，2 七 o ，v ( z ，y ) q q 。 对于如下边值问题： 忙u = 一o 。i n n 紧孵 化地， m a k a r - l i m a n o v 4 8 在1 9 7 1 年证明了在有界光滑凸区域q 上一u 互1 是凸的。这说明解 本身不一定是凸的，但关于解的某个函数可能具有某种凸性。这对凸性的研究是一 个开创性想法。 19 7 6 刍g ，h j b r a s c a m p e h l i e b 6 研究了如下的热方程： 其中q 为有界凸区域，u o 是边界上为零的给定正函数。当1 0 9 u o 是凹函数时，他们 证明了v t 0 ，1 0 9 u 也是凹的( 关于z ) 。由此还能得到如下第一特征问题的解也 是l o g 一凹的： 、j、jn州叽卜。邓队比 ，s ，、f m u 0 = 缸 m丝况归啦 i j 凸性的历史 c h a p t e r1 引言 j 舭= - 入l u i nf lcr n , ( 1 1 3 ) 【u = 0 o na 化 1 1 2 水平集凸性的历史 凸性本来是一个几何的概念。当几何对象是光滑的时候，人们自然地想到用分 析的方法去研究它，特别是通过偏微分方程( 的解) 来描述所研究的几何对象及其 性质。不仅如此，在偏微分方程自身的研究中，人们发现方程解的存在与光滑性有 时候跟解的凸性有很大关系。因此，在偏微分方程的研究中，方程解的凸性一直是 人们感兴趣的话题。在这里，我们侧重于方程解的水平集的凸性。对于r n 中的区 域q 上的函数u ，其水平集的定义通常有如下四种描述： 定义1 1 1 s ：= ( z a l u ( x ) ) 定义1 1 2 & ：= z a l i t ( x ) t ) 定义1 1 3 a ( t ) ：= _ z f 2 l i t ( x ) = t ) 定义1 1 4 s ( x ，t ) ：= ( 。，t ) 已n + 1 i i t ( x ) = t ，z q ) 有时，定义1 1 1 中的也称为上水平集，相应地& 称为下水平集。根据实际 问题的具体情况，人们需要选取其中一种恰当的定义。当把g ：= ( z ，i t ( x ) ) l x q ) 看成u 的图时，显然，u 的水平集的概念也可以用一水平平面b ：= _ ( z ，t ) l 跫n + l i x r n 去截g 来描述。例如，可通俗地说成r 截取g 的上部分在q 上的 投影，而s ( x ，t ) 恰好是r 在g 上的截口。为了使得u 的水平集有比较规则的几何形 状，人们通常要求g 与只是横截的。特别是当让是一阶可微函数时，人们通常就要 求i v u l 0 。当我们说u 的水平集凸时，即指( & ) 是一个凸区域或s ( t ) ( s ( z ，亡) ) 是一个凸的超曲面。 从前一小节我们可以看到，关于偏微分方程解的水平集的研究已有较长的历 史。 1 9 7 7 年，j l e w i s 4 0 】把g a b r i e l 的方法推广到p - 调和函数，得到如下结果：设u 满足方程 i p u = 0i n q u = 0 o n 0 f 2 0( 1 1 4 ) 【让= 1 。na q l 其中q 0 、f 1 1 是r 礼中的凸区域，且q 1cf l o ，而q = a o q l 称为凸环，则乱的水平集 严格凸。( 此处u 所满足的边界条件我们简称为“凸环上的齐d i r i c h l e t 边界条件) 1 9 8 2 年，l a c a f f a r e l l i j s p r u c k 1 0 】进一步推广g a b r i e l 的方法到非线性方程： 设u 满足方程 2 j 1 凸性的历史c h a p t e rj 引言 x u = f ( u ) u = 0 札= 1 其中q 0 、q ，如前，是酞上连续函数，一则当，单调递增，( 0 ) = 0 时，u 的水平集 凸。 g a b r i e l 的方法还有许多推广和发展，最近的例如a g r e c o 1 9 改进了 g a b r i e l 与l e w i s 的方法，得到如下定理： 定理1 1 5 设q = q o f i l 是时中凸环，u 是如下方程的解： a u = ，( z ，u ，v u ) i n q u = 0 。咒a q 。 ( 1 1 6 ) u = 1o n0 f h 。 0 一 0 一(一qz1 = ， 叭汹 j 1 凸性的历史c h a p t e ri 引言 i f ( x ，u ，v u ，d 2 钍) = 0 i nq u = o o na q o ( 1 1 9 ) 【让= 1 。n 讹， v u 0 ，则当f 满足如下条件时，矿是上述方程的粘性下解： 俐f 关于所有变量是连续的； f i i jf ( x ，u ，v u ，d 2 u ) 关于u 单调递减； f i i i ) f ( x ，t z ，v 乱，d 2 乱) 是退化椭圆的； f i v j 存在p o 0 f - 1 ( z ，u ，v u ) 关于( z ，u ) 联合凸，解的h e s s i a n 矩阵半正定，即( u 巧) 0 ，则( u 巧) 在q 中保持常秩。 8 j 2 凸性证明方法举例c h a p t e ri 引言 应用该常秩定理，他们重新得到了m a k a r - l i m a n o v 4 8 的结果，并很自然地给 出了严格凸性。 近年来，常秩定理陆续被应用到来源于经典微分几何里的c h r i s t o f f e l m i n k o w s k i 问题和预定w e i n g a r t e n 曲率问题所导致的完全非线性偏微分方程。g u a n m a 2 4 将常秩定理推广到非线性椭圆方程& ( u 臼) = f ( z ) ，条件是f - 1 k ( z ) 凸。g u a n m a z h o u 2 6 推广至l j q u o f i e n t 方程斜筹( z ) = f ( x ) ，条件是厂一南( z ) 凸。后来该定理又 被c a f f a r e u i g u a n m a 【8 】推广到更一般的椭圆方程，具体如下： 定理1 1 1 3 设f 2c 黔，u c 3 ( f 2 1 为椭圆方程。 f ( d 2 u ( z ) ) = f ( x ，u ( z ) ，v u ( z ) ) ，v z q ， 的凸解，其中f c 1 , 1 ( q r r ”) 。若对任意固定的向量p ，f ( x ，u ，p ) 关于( z ，u ) 凹， 且f ( a - 1 ) 关于a 局部凸，贝l l h e s s i a n ( j ) 在q 中保持常秩。 最近，m a 。x u 4 5 得到了一些低维h e s s i a n 方程的常秩定理，并成功地应用来 处理经典的b r u n n m i n k o w s k i 不等式。另外，b i a n g u a n 3 对常秩定理也有更一般 的推广。 虽然人们已有许多方法来处理凸性问题，但实际上对凸性的理解还远远不够深 刻。例如，前面所列结果都只是给出了凸性的充分条件，而对于凸性的充要条件人 们长期以来都无法得知。直到最近，才由s j a n s o n j t y s k 6 2 】及pl l i o n s m m u s i e l a 4 2 分别得到了线性抛物方程的解保持凸性的充要条件。而对于水平集凸性的充要 条件，至今仍是一无所知。相比较而言，人们对水平集凸性的了解确实要比对解本 身凸性的了解更少。m a k a r - l i m a n o v 4 8 早已知道( 1 1 1 2 ) 的解u 是；凹的，但人们 却无法直接证明u 的水平集是凸的。又如，自由边界问题： 像= 。a ：u 饥：巍一紧 心。， 看似简单，也一直被人们所关心( 参见 2 7 及其引文) ，但其整体存在性与光滑性 问题却长期困扰着我们，原因是它与s 靴( ) 的凸性有关，而该凸性正是我们还无 法弄清楚的障碍。 5 1 2 凸性证明方法举例 前面我们总结了水平集凸性的证明方法，本节将举一些简单例子来说明。 下面的例1 2 1 是b k a w o h l 【3 0 的结论，证明过程主要参考了 3 1 。该例子用 以说明源于r g a b r i e l 【1 5 ，1 6 的凹性函数极值原理的方法。 9 1 2 凸性证明方法举例 c h a p t e r1 引言 例1 2 1 设q o 、q 1 是即中的凸区域，且q 1cq o ，而q = q o f i l 称为凸环，u 是如 下方程的经典解： 目： 扒， 证明先i i e i v u i 0 ，实际上，v x q ，可知： 一牙) v u ( x ) 0 ( 1 2 2 ) 其中至是q 1 上任一固定点。显然( z 一孟) w ( x ) l o q 0 ，利用已知条件，经直接计 算可得： ( ( z 一孟) v u ( z ) ) = 2 f ( 乱) + ，( u ) ( z 一孟) v u ( z ( 1 2 3 ) ，( u ) ( z 一孟) v u ( x ) 、。 故由强极值原理即知( 1 2 2 ) 式成立。 把u 延拓到q 1 上，使得在q 1 上u 三1 。令： 可) ：= 乱( 半) 一m i n 仲) ，札( ) ) ( 1 2 4 ) 为得到乱的水平集凸，只需证明下式成立： q ( z ，y ) 0 i nq oxq o ( 1 2 5 ) 用反证法，假设不然，则弓( z o ，y o ) q o 壳o ，使得 q ( z o ，y o ) = ：m i n q ( z ，y ) 0 i n f t 。y , n u 兰0 i n q l ，乱= 0 0 n o f 2 0 ，故必有z o ，y o ，兰血2 q 。下证 u ( x o ) = u ( y o ) 否则，不妨设u ( z o ) 0 充分小，使得q ( z o 一蟮，y o + 蜒) 0 充分小，g q ( z o + 蟮，y o + t ) q ( x o ，y o ) ，从而得知v u ( 翌笋) 与v u ( z o ) 也是同向的。 记 a ：= f v 乱( 萼娑) l ， 6 ：f v 让( ) l ，e ：i v 珏( 珈) l ， 扣。( 1 。2 1 0 ) z 0 + c 下证： 瓣盖黼iii吉a u ( z o 博a u ( y o ， 2 m ， ( ) 嘉乱( 三哮放) ) + 警 ) 、“ 令= v u ( 硒) ，再取单位向量7 7 l l ( n ，使得7 7 0 。由隐函数定理，存在r 上二阶可微函数r ( s ) ，使得v l s i 充分小，成立： u ( x o - f 考护u ( 珈+ 掣7 7 ) ( 1 2 1 2 ) 对上式关于s 微分可得： b ( x oq - 扣= 掣蜥+ 掣叩) ( 1 2 耶) 由上式取s = 0 可得r 7 ( o ) = 1 。 对( 1 2 1 3 ) 式再微分次，并令8 = 0 得： 考虑辅助函数： 矿lu ( = 如) + 掣咖刊 ( 1 2 1 4 ) ：= q ( x o + 考r ly o + 掣叼) 当叩固定时，国在s 0 处取到负的极小值，故髻l 。：o = 0 ， 具体地，有： ( 1 2 1 5 ) 雾i 删0 。 警= 主c 昙+ 掣h ( 半+ 三( 砉+ 掣m 一沁。+ 训8 ( 1 2 1 6 ， 由此令8 = 0 即得( i ) 。 ， 器= 丢( 昙+ 扣( x o + 么y o ) + 三掣咖一扣( 1 2 1 7 ) 上式结合( 1 2 1 4 ) 及( i ) 得： 去州警) 吾吲训+ 下1 - t u 舶。) ( 1 2 1 8 ) 上式中叩分别取礼个正交方向并求和即得到( i i ) 。 由( 1 2 7 ) 、( i i ) 及已知条件得： 丢m ( 半) ) ( 矗+ 亨) m ( ) 当厂7 0 时，( 1 2 1 9 ) 及( 1 2 6 ) 给出： 去m ( 半) ) ( 矗+ 字) m ( 半) ) 而此时， 0i nq ，故( 1 2 。2 0 ) 及( i ) 给出： 11 tl 一 一a 22 两t b 玎研1 一b 2 + 下 f+ ( 一亡) c 1 2 7 c 2 ( 1 2 1 9 ) ( 1 2 2 0 ) ( 1 2 2 1 ) 但显然壶是凸函数，矛盾。 对厂7 0 情形，记 ( 乱) ：= ，( 乱) + e 钍，其中e 0 充分小。方程( 1 2 1 ) 中，用 代 替，则当e _ 0 时，相应解的水平集凸且毗u ，故知此时亦有u 水平集凸。口 下面例子的结论首先被m l o n g i n e t t i1 4 3 发现，g t a l e n t i 在【6 3 一文中亦有证 明，本文将推广到极小曲面上( 见定理1 4 4 ) 。 例1 2 2 设u 是r 2 中区域q 上的调和函数，i v u i 0 ，k 是札的水平线的曲率， 即= f 巧u j l v u l 一，其中p ：= 茜，f ：= d 酣( u 巧) ，则南是q 上的调和函数。 证明记g ：= 南= 啦哟j v “j 4 ，我们直接来计算g = 0 。 g 口= f 玎，r 。坼5 a u , u j l v u l 一44 - 2 f 巧t t 口u j l v u l - 4 4 f 巧u t u 七u 七口i v u l 一6( 1 2 2 2 ) g o t o l f 巧r s u r s a a u i u j1 v u i 一4 + 4 f i j ，r s u ，。口u 。口u jl w l 一4 8 f # r 8 u ，。a u i u k u 忌ai v u l 一6 + 2 f i j u 汹吻l v u i - 4 + 2 f i j u t a u j a i w l 一一1 6 f i j u i 口u 七u 七a i v u l 一6 4 f i j u t u j u k a 口i v u l 一4 f 埘u i u j u k u k q 。i w l 一6 + 2 4 f i j u t 嘶u k u k a i t l l t l a i w l 一8 经转轴可令u 1 = o ，札2 0 ，由u = u a a = 0 代入上式得： i i ：= w 1 4 g 。a = ( 1 2 2 3 ) 4 u 2 w i 2 , r s u r s a u 缸一8 u 2 f 2 2 ，7 3 u r s 口u 2 a + 2 f 巧u t 口a 一1 6 f 。2 u 缸让2 a f 1 2 2 4 ) 一4 f 2 2 u 缸口u 惫a + 2 4 f 2 2 u 2 a u 2 口 i + i i + i i i 4 u 2 f 2 ，”u r s 。乱t 口一8 u 2 f 2 2 , r s u r 8 口u 2 口 4 u 2 f n ，8 u r s 口u l a 一4 u 2 f 2 2 , r s u r 8 a 1 1 2 q 一4 u 2 u 2 1 a 让1 a 一4 u 2 u 1 1 a u 2 a ( 1 2 2 5 ) 一4 u 2 u 2 1 1 u 1 1 4 u 2 u 2 1 2 u 1 2 4 u 2 u l l l u 2 1 4 u 2 u 1 1 2 u 2 2 4 让2 u 2 n u l l + 4 u 2 u 1 1 1 u 1 2 4 u 2 u n l u 2 1 + 4 u 2 u 1 1 2 u 1 =0 i i i ：= 2 f ”地口口 2 f x l u l a u l a + 4 f 1 2 u l a u 2 口+ 2 f 2 2 u 2 口i t 2 a 2 u 2 2 u l a u l 口一4 t 2 1u l q u 2 口+ 2 u nu 2 a u 2 口 2 u 2 2 u 1 + 2 u 2 2 u 2 4 u 2 1 u 1 1 u 2 1 4 u 2 1 u 1 2 u 2 2 + 2 u 1 1 u 。2 1 + 2 u 1 1 u 2 2 2 u 矗一2 u 1 1 u 毳一4 u 1 1 u 毳+ 4 u 乞i l l l + 2 u l i u ；l + 2 u h o ( 1 2 2 6 ) 一1 6 f i 2 u i 口u 2 口一4 f 2 2 u k a u k 口十2 4 f 2 2 i t 2 a u 2 口 一1 6 f 1 2 u 1 。u 2 q 一4 f 2 2 u l a u l 。+ 4 f 2 2 u 2 口让2 口 f1 2 2 7 ) 一1 6 f 1 2 ( u n u 2 1 + z t l 2 u 2 2 ) 一4 f 2 2 ( u i 2 1 + 缸毳一“鑫一u 之) 、 0 把( 1 2 2 5 ) 、( 1 2 2 6 ) 、( 1 2 2 7 ) i 弋a ( 1 2 2 4 ) 即有g = 0 。 口 由例1 2 2 容易看出，当水平集在边界处是凸( k 0 ) 的时候，在内部也是凸 的( k 0 ) 。 1 3 1 2 凸性证明方法举例c h a p t e ri 引言 关于水平集的常秩定理，前一节我们已经提至l j k o r e v a a r 3 6 提供了一个经典的 范例( 见定理1 1 8 ) ，为了说明常秩定理的基本证明思路，我们以二维调和函数为例 给出证明过程，此时水平集的常秩定理成为如下的简单形式： 例1 2 3 设u 是r 2 中连通区域q 上的调和函数，l v u l 0 ，k 是u 的水平线的曲率， 即k = f 巧u t u j l v u l ，其中f 巧：= 瓦o f ，f ：= d e t ( u q ) ，若k 在q 内非负，且在其中 某一点q 为零，则k 在q 内恒为零。 ， 证明记 z ：= _ z q l k ( x ) = o ) ( 1 2 2 8 ) 显然z 是非空闭集，若能证明z 也是开集，即比f l ，存在z 的邻域巩cq ， 使得在以上k 兰0 ，即可得到z = q ，从而k 在q 内恒为零。为此，由强极值原理， 只要验证如下不等式： k + 玩k + c k 0i n 巩。( 1 2 2 9 ) 其中6 i ，c 均为q 上局部有界函数。 由j v u l 3 k = f q u i u j 两边求导得： j w l 3 比+ ( f v “f 3 ) a k = f 巧，8 乱，。口u j + 2 f o u t 口u j ( 1 2 3 0 ) 再求导一次得： ：f l 烈笺+ 2 u i u d 搿受“i 恐靓幽+ 2 m ， = 2 j r 8 t b 舱口+ ，r s 口+ ”让l 口口u ，+让缸 、 经转轴可令u 1 = ，u 2 4 f ， 由u r u s a = u i 缸u 口j 口= 2 f 代入上式得2 ：f 2 3 u i o t 0 00 w , 1 3 口+ 2 ( i v u l 3 ) 口玩+ ( i v u l 3 ) a 口k = 4 z t 2 f i 2 , r s u ，。口t 上协+ 2 一u 缸a ( 1 2 3 2 ) 而 4 u 2f i 2 , r s u r s 口乱t 口 = 4 u 2 f 1 2 , r s z t r 8 a u l q + 4 u 2 f 2 2 , r s u r s 口u 2 口 = - - 4 u 2 u 2 1 口u l 口+ 4 u 2 u l l a u 2 a = - - 4 t z 2 u 2 1 1 u l l 一4 u 2 u 2 1 2 u 1 2 ( 1 2 3 3 ) - - 4 u 2 u l l l u 2 1 + 4 u 2 u 1 1 2 u 2 2 = - - 8 7 , 2 u 1 2 7 , 1 1 1 8 u 2 u 1 1 u 1 1 2 1 4 在例1 2 2 中的( 1 2 2 6 ) 式我们已算得： 2 f 叼u 妇a = 0 ( 1 2 3 4 ) 、( 1 2 3 3 ) 两式代入( 1 2 3 2 ) 得： v u l 3 甄a = - - s