（应用数学专业论文）一类椭圆方程组的弱解存在性.pdf

y 7 7 g o j o 一类椭圆方程组的弱解存在性 专业：应用数学 研究生：刘浩 指导老师：马天教授 摘要：二阶非线性椭圆型偏微分方程是非线性偏微分方程的重要分支之一， 它在数学、物理、科技和工程中有着广泛的应用 近几十年来，人们对非线性椭圆型偏微分方程组解的存在性给出了 多种证明方法，例如变分方法拓扑度方法，单调算子方法等等，文 1 2 通过对弱连续算子建立锐角原理，为研究椭圆方程组的弱解存 在性问题也给出了一种方法，本文利用这个方法讨论了一类椭圆方 程组的弱解存在性问题 关键词：弱连续算子；弱解；椭圆方程组：存在性 t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n sf o rac l a s so f e l l i p t i ce q u a t i o ns y s t e m s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：l i uh a oa d v i s o r ：m at i a n a b s t r a c t ：n o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e ri sa m a i nb r a n c ho fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i th a sm a n y a p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，s c i e n c e ，t e c h n o l o g ya n d e n g i n e e r i n g r e c e n t l y , m a t h e m a t i c i a n s o f f e r e dm a n ym e t h o d st o s t u d yt h e e x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， s u c ha sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t o p o l o g i c a ld e g r e ep r i n c i p l e ，t h e o r yo f m o n o t o n i co p e r a t o r s ，e t c i np a p e r 1 2 】，a u t h o r sa l s oo f f e r e da m e t h o dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt h ea c u t ea n g l ep r i n c i p l eo fw e a k c o n t i n u o u so p e r a t o r i nt h i sp a p e rw ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fw e a k s o l u t i o n sf o rac l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o ns y s t e m sb yu s i n gt h em e t h o d w h i c hw a si n t r o d u c e di np a p e r 1 2 k e yw o r d s ：w e a k l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ；w e a ks o l u t i o n s ；e l l i p t i ce q u a t i o n s y s t e m s ；e x i s t e n c e 网川人学硕j 擘位论文 一介绍 二阶非线性椭圆型偏微分方程是非线性偏微分方程的重要分支之一，它在 数学、物理、科技和工程中有着广泛的应用 近几十年来，人们对非线性椭圆型偏微分方程组解的存在性给出了多种证 明方法，例如变分方法( 参见 3 ) ，拓扑度方法( 参见 4 5 ) ，单调算子方法 ( 参见 6 ) 等等变分原理要求方程具有变分结构拓扑度方法( 不动点方法) 要求s c h a u d e r 估计，一估计和极值原理，但是对一般椭圆方程组极值原理 不成立单调算予方法要求方程具有单调性结构，这样的条件对方程组要求太 强，一般的方程组很难满足文 1 2 通过对目连续算子建立锐角原理，为研究 椭圆方程组的弱解存在性问题也给出了一种方法，这种方法能解决类椭圆方 程组存在性问题，这类方程组不能被前述方法所覆盖，本文利用这个方法讨论 了如下形式的方程组在d i r i e h l e t 边界条件下的弱解存在性问题 一d j ( ，k l ( x ，“) d j “，+ 酵( x ，甜) ) + ( x ，“) d j “，+ c 。( x ，“) = ( x ) ( 1 1 ) 其中= 1 ，m 膏q c 五” 叶1 = 0 ， 1 蔓，m 这里q c r “是有界开集，”= ( ”，m 。) 且 d 。q ；d z + b ：) - - 2 毫毒e 彰等蝴 h ? i d , 驴宝宝h k ，o u l k if # il 聃 ( 1 2 ) 其中彰和群满足c a r a t h e o d o r y 条件，群7 ，c ( n ，r “) 且可测 叫川人学硕l 擘位论义 二预备知识 1 基本定义及定理 定义2 1 1x 是线性赋范空间，x + 是的共轭空间， x 。) c ，x ， 如果对每个f x ，有 l i r a f ( x 。) = f ( x o ) ， 则称缸。) 弱收敛于x 。，记为x 。- - - - x o 下面给出满足c a r a t h e o d o r y 条件的函数的定义及其性质 设qcr ”是l e b e s g u e 可测集，h ( x ，“) 是定义在q r 上的实函数，如果 “( x ) 是q 上的实函数，则h ( x ，“( x ) ) 也是q 上的实函数，我们称映射 f ：u ( x ) 卜h ( x ，“( x ) ) 为c a r a t h e o d o r y 映射 根据微分方程和积分方程的需要，对于c a r a t h e o d o r y 映射来说，最基本的 问题是当“( x ) 可测时，h ( x ，“( x ) ) 是不是可 煲4 7 当在适当的函数空间变化时，厂 关于“是否有界或者连续? 定义2 1 2 设q 是尺”的l e b e s g u e 可测集，是q r 上的实函数，我们 称h 满足c a r a t h e o d o r y 条件，是指： ( h 。) 对几乎所有的x q ，n ( x ，“) 是”的连续函数； ( 日2 ) 对每一个“，h ( x ，“) 是x 的l e b e s g u e 可测函数 引理2 1 1h ：q r _ r 满足c a r a t h e o d o r y 条件，u 是q 上f 可测函数，则h ( x ，“( x ) ) 也是q 上的l e b e s g u e 可测函数 2 旧川大学顿i 学位论文 证明：由于“是q 上的可测函数，故存在一系列简单函数 “。) ，使得 1 a 。j “o e 丁- q 利用条件( h 2 ) ，我们知道，h ( x ，“。( x ) ) 关于x 可测，再由条 件( ，) ，h ( x ，虬( x ) ) 斗h ( x ，“( x ) ) 对x 几乎处处成立，从而( x ，“( 砌关于x 可 测 引理2 1 2设q 的测度r u e s ( q ) + 。o ，h ：q r ”呻r 满足 c a r a t h e o d o r y 条件，则当“。( x ) 依测度收敛于“( x ) 时，h ( x ，u 。( x ) ) 也依测度收敛 于h ( x ，“( x ) ) 证明：在实变函数论中我们已经知道： 可测函数列 既 在q 上依测度收敛于g 的充要条件是：对 岛) 的任一子列 g 。) 都可以从中再抽出子序列 g 。 在q 上几乎处处收敛于g 现在利用这个事实，对任一子序列 ( x ，甜，( z ) ) ，由于“、在q 上依测度 收敛于“，故存在子序列 “ 几乎处处收敛于，利用( 日- ) 可得 h ( x ，“。( x ) ) 几乎处处收敛于 h ( x ，( x ) ) ) ， 下面是关于矿t ，空间的内容 本文总假定q 为r ”中的有界区域，并使用如下记号： 嘲睁署；， 其中口= ( q ，口。) 称为重指数，i 口b a l + + 口。 设k 是非负整数，记 c ( 西= 玉：五呻r 1l d a u 在醚续，i a i _ 0 ( 2 2 1 ) 口。( x ，z ) = a j i ( x ，z ) ( 2 2 2 ) ( 爿：) i c ( x ，甜) 甜。i d a _ l 口 i “一口 ( 2 2 3 ) v u c o ( c 2 ，月“) p k o ，口，口 0 是常数 函数可控制的构造性条件： ( 爿，) k k t 、x ，z ) | ，阿( 础) l + 卢 ( 2 2 4 ) 。钆 1 ，c o ，是常数，b ) ，若缸。 c l ， ( f 0 0 f ) 是有界，且甜- ( q ) ，“。( x ) 依测度收敛到“，对v y 口( q ) ，! + _ 1 ：1 ，有 qq 1 1 驷( 工，“。) v d x = ，( z ，“l ，一，) v 出( 参见 2 】) ( 2 2 8 ) 3 嵌入定理 定理2 3 1 设q 是r “中的有界区域，则 孵”( q ) 里 f 却( q ) 当纫 n 时， c ”( 五) 当o m k - 兰时 p 近一步，存在常数c = c ( h ，p ，q ) 使得对任何”时，( q ) ，有 f 声。，c ， 当印 力时， 1 j l “9 c mc i ，c i i , , 1 1 w t ，。，当o ，” 七一言时 定理2 3 2 设q 是r ”中的有界区域，则嵌入映射 是全连续算子 k o n d r a c h o v 紧嵌入定理 b i ，b2 都是b a n a c h 空间 ( q )当印 q 墨时 n 一切 c ”( q ) 当o m k - 旦时， p 心川人学碗一l 二学位论文 若嵌入映射，：b 斗b ，是紧的，则b 。中的有界集的像是b ：中的准紧集 定理2 3 3 ( 1 ) 吲( q ) 紧嵌入到口( q ) 上，对目 0 使得l 的系数口”，b 以及c 在c “9 ( q ) 中的范数 6 ，i i c 1 m 又设u c 2 ，9 ( q ) 是d i r i c h l e ti 口q n f l u = 厂 在q 中， l 甜= 伊在a q 中 的解，其中f c o 9 ( q ) ，妒c 2 4 ( q ) ，则 i t u l l ，：，。i ， l ，g 1 ，且土+ 三：1 则有 pq 曲竺+ 堡 pq 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式称为c a u c h y 不等式 设占 0 ，在上述不等式中用占”口和占”b ，可得 带占的y o u n g 不等式 设口和6 为正实数，占 o , p 1 ，g 1 ，且土+ ! ：1 则有 p q 柏门i 火学硕士学位论文 d 6 堕+ ! 竺翻一+ 占叫，6 - pq 特别地，当p = q = 2 时，它变为 曲三日2 + 土6 2 22 占 称之为占的c a u c h y 不等式 p o i n c a r e 不等式 定理2 5 1 设q 是震“中的有界区域 其中 ( i ) 若“降0 。( q ) ，1 p + o o ，贝u i ”1 9 出c ( 竹，p ，q ) l v “i d x ； ( 2 ) 若a q 满足局部驴s 幽汜条件，“酬1 ”( q ) ，1 p 一( 矿) 2 酽( 删) 口v d r - - o e 2 ( 卢) 2 “p 出一i v “1 2 出一c ( 3 3 ) 吼“恢一i v u l 2 出一c ： “ 。 ( 3 4 ) 又根据带占的c a u c h y 不等式有 九咖。出 去| 川+ 弘1 2 拙 ( 3 5 ) 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) 得 ( g “) = j ： h i ( x ，“) q 坼d j + 酵( 薯“) p 毗+ h t ( x ，甜) d ，q 心 + c 。( x ，u ) u 一厂( z ) 甜i l a x 叫川人学硕i ：学位论文 肼一去一! 占：) l v u m “ 一砷了“吲们2 ”n 一去- ci l l 2 一弘门出一c 由( ) 得 。出1 “1 “凼+ c 同理有 肌p 1 出如f “出+ c ” 结合以上两不等式 取a 一11 兰， 占2 2 并使得口。一e z ( y ) 2 一乞( 矿) 2 0 ，我们有 ( g 州) 孵v 计一l i f t 2 一弘门出一c 娉l v 虾一五1i 川+ ；f v 虾三l 门出一c 其中去i 厂1 2 + c 为常数，故存在“x i ，使得 瑶i v 奸一去i 丌协一c o 再由p o i n c a r e 不等式得 n 盖i v 奸一弘门出o 综上所述，可得 ( g u ，“) = 量 口? ( x ，甜) 2 ”，d u , + 够( x ，“) 皿+ 彤( z ，甜) 口奶致 + c ( x ，u ) u 女一f 。( x ) “f a x 0 旧川1 人学碗一l 学位论文 即g 的锐角性得证 以下需证g 的弱连续性 w 我们要证，当甜”一甜，有 。l i m 。( g u n , v ，_ ) = k l 五“n ) d j “，口v 。+ b k ( x , u n ) d i v 。+ 群+ ( x , i i n ) 口“，u + c ( x ，“”) u 一，( x ) u 】出= ( g u ，v ) 首先需证 艘e 引m 圳n ) d s “，- d , v k d x = d ”) d s ”d , v k d x 烛。a ，u ( 、x ，“) q “? d j v 。一a ，k t ( 、x ，u ) d j 即1 9 v , d x = f 口? ( 薯“”) 一口? ( x ，“) 9 “? d f v 。d x + f ( 薯“) p u ( 9 “，一d j 甜朋出 由于u ”斗“在五上，( 3 6 ) 则“”。 在f ( q ，r “) 上( 参见 5 】中定理7 2 2 ) ( 3 7 、 q z f ，斗2 甜， ( 3 8 ) 口? ( x ，“”) _ 口? ( x ，u ) 在h ( f 2 ，r “) 上 ( 3 9 ) 由( 3 8 ) 及( 一，) 于是有 烛吲k t ( x ，“) p v 。( d ，“，一q “，) 】出= o 此外 ( 口：( 训”) 一日；( x ，u ) d j “? - 口v 。出 c 。吐m k l 训n ) 一口；( 训) | 2 d x - 【lf d “，1 2 捌 又由( 2 2 4 ) ，再用引理2 2 1 ，2 2 2 有 叫川人学硕士学位论义 舡翼。k l ( 、x ，“”) 一d ? ( 艽，“) 】j d ，“? p v + d x = 0 综上有 烛f 【口? ( z ，“”) du ? p v 。一a ：7 ( u ) d j ，p v 。】出= 0 再利用( a 3 ) ，( a 4 ) 及g 理2 2 1 ，2 2 2 ，2 2 3 可得熙上砰( z ，“”) d i v k d x = 醋( 五“) d , v 。d x 烛向孙，“”) p “? 1 d x = h ，, , t 、x ，u ) d ，”v 。d x 熙e ( x ，i d n ) v 。d x = p ( 圳) v k d x 和 牌ef k u4 d x = f k u k d x 则有如下结果： i i m ( 、g u n , v ，、) = 舰h k tl 驯n ) q q n d ，v 。+ 6 7 ( x ，“”) d f v 。+ ( x ，甜“) d j “h + c ( z ，“”) v 女一f ( x ) v k 】出= ( g u ，v ) 由定义2 2 1 和定理2 2 1 则定理3 1 即是显然的，我们用弱连续算子的锐 角原理证明了此类椭圆组的弱解存在性 四一个例子 我们用定理3 1 来讨论下面方程组的弱解存在性问题 杰毫口?岳+喜喜_outi=1o x 州t p u xux|=拉 k = 1 2 其中 1 6 四川火学硕一l ：学位论文 则原方程组为 f 口：f 口：口i ； 口嚣1 a ! ：口芝口：1 2 。d ：i ：l i 辟爿 口翟口等 口署f = l 口；2 n ：2 ：1 a ，2 ；口：2 ：2j 1 0 0331 32l2i j 21 1 02j 一“ 1 121 0j 等+ 6 豪+ z 等+ s 等+ 2 豢+ 2 警 + 导+ 等+ 誓+ 誓+ “，t + 蔷+ 蠢+ 蔷+ 蠢，1 2 等+ 2 豢+ 毫枷等+ 4 豢警 +堕+导+誓+堕+“；：厂：ox i 缸2 舐1 3 x 2 2 。 根据上面的盯? 的取值，由矩阵爿的正定性易得“) 成立， 取仇= 4 ，口= 1 ，则下式 出p i 材l “一口成立， 即0 ：) 成立 d ? ，取常数，则0 ，) 显然成立 酵是0 ，即( a 4 ) 也显然成立 ( 4 ) 一( 爿。) 都满足 再由定理3 1 ，本例存在一个弱解“( q ，r 2 ) ，q r 2 川人学硕。l 学位论文 参考文献 1 t i a nm a ，q i n g y uy u t h ek e l d y s f i c h e r ab o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r d e g e n e r a t e q u a s i t i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n so fs e c o n do r d e r 【j 1 d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n s ， 1 9 8 9 ，4 ( 2 ) ：3 7 9 3 8 8 【2 l m at i a n ，y uq i n g y u b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fe l l i p t i c t y p e j 1 j p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s z h e n g z h o u c h i n a ，1 9 9 0 ，l ( 3 ) ：8 1 8 9 3 陈弧浙，吴兰成二阶椭圆型方程与椭圆型方程组