（应用数学专业论文）种群细胞增生中迁移方程的研究.pdf

摘要 摘要 本文运用泛函分析、算子理论和半群理论等现代分析方法，研究了种群细 胞增生中具一般边界( 含积分边界，局部和非局部边界等) 条件的l - r 模型和 r o t e n b e r g 模型的迁移方程，获得了该方程解的构造性理论和相应的迁移算子 的谱分析等一系列新结果。主要结果叙述如下： 一、对种群细胞增生中具一般边界条件的l r 模型的迁移方程，研究了其相 应的迁移算子产生的c n 半群是不可约的，并且 1 对厶空问中一类具积分边界条件的l - r 模型的迁移方程，在边界算子为 紧正的条件下，证明了该迁移算子本征值的存在性等结果； 2 对l 。( 1 p ) 空间中一类具一般边界条件的l - r 模型迁移方程，在边 界算子为有界正的条件下，证明了该迁移算子本征值的存在性等结果； 3 对厶空间中一类具一般边界条件的l - r 模型迁移方程，在边界算子为有 界正的条件下，证明了该迁移算子占优本征值的存在性等结果。 二、对种群细胞增生中具一般边界条件的r o t e n b e r g 模型的迁移方程，研 究了其相应的迁移算子产生的c 0 半群是不可约的，并且 1 对厶空间中一类具积分边界条件的r o t e n b e r g 模型的迁移方程，在边界 算子为紧正的条件下，证明了该迁移算子本征值的存在性等结果； 2 对l 。( 1 p 1 - 日 第1 章引言 第1 章引言 迁移理论是研究物质的粒子运动所产生的微观效应综合所致的宏观迁移现 象规律的一种理论，它的精确数学表示是积分一微分型的迁移方程。它涉及到 物理学、化学、生物学、生态学和社会科学等众多学科。另一方面，各类迁移 方程的结构形式雷同，并在一定的条件下可以相互渗透和转化这说明脱离特 定的对象来研究这类方程的一般数学理论是十分重要的，仅就线性迁移方程而 言，它所确定的迁移算子是一类无界、非自伴和豫解算子不紧的积一微分算子 【圳。因此，研究这类算子不仅在应用上十分重要而且对数学理论的发展也有着 非常重要的意义。 从七十年代起，国际上有许多著名的数学家对种群细胞增生的迁移方程进- 行了研究，种群细胞的出生和分裂过程是一个迁移方程，开始人们只研究这类 迁移方程的初值问题解的存在性和唯一性问题，进而研究其解的渐近稳定性等。 1 9 7 4 年l e b o w i t z 和r u b i n o w 首次提出了种群细胞增生的初值问题，它的数 学表示是一类微分型的迁移方程。简称为l r 模型嗍。 1 9 8 2 、1 9 8 3 年m r o t e n b e r g 提出了另一类种群细胞增生的迁移方程，它的数 学表示是一类积一微分型的迁移方程，简称为r o t e n b e r g 模型。并讨论了该迁移 方程的f o k k e r - p l a n k 的近似，获得了其可数解阶l 。 1 9 8 6 、1 9 8 7 年w e b b 研究了l - r 模型，在连续函数空间分析了迁移算子以 的谱孤町。1 9 8 7 年v a nd e rm e e 和z w e i f e l 研究了r o t e n b e r g 模型，利用本征函数 展开的方法，分析了各种边界条件下的谱的性质，获得了其可析解“哪。1 9 9 7 年 l a t r a c h 和m o k h t a r k h a r r o u b i 研究了具一般边界条件的o r 模型，在厶空间 中证明了相应的迁移算子产生正c o 半群，并给出其c 0 半群不可约的充分条件。 接着，在工。( 1 墨p t m ) 空间中对光滑( 或部分光滑) 的边界条件，给出了d 似口) 至多由有限代数重数的离散本征值构成n 1 1 。1 9 9 9 年l a t r a c h 和j e r i b i 研究了 l 。( 1 sp + ) 空间中r o t e n b e r g 模型的非线性边界值问题，在假设： ， 盯( ，v ) - 0 ，r ( ，v ，v ：妒( l ，v 。) ) - k ( , ，v ，v ) ，( p ，v ，妒( p ，y ) ) 的条件下考虑解的存在性，并对方程边界值问题的局部解和全局解的存在性给 第1 章引言 出了充分条件“4 。2 0 0 0 年b o u l a n o u a r 和e m a m i r a d 研究了l i 空间中具积分边界 条件的r o t e n b e r g 模型的迁移方程，在最小成熟速度为0 的条件下，证明了半群 的非紧性，得到了解的渐近展开式，并在边界算子不可约的条件下或对核r 进行 适当的假设下得出了半群的不可约性，也证明了半群渐近收敛于阶为1 的投影算 子”。2 0 0 1 年b o u l a n o u a r 研究了工。( 1 墨p 一p q _ ( 仃为s t r e a m i n g 算予的谱界) 上也讨论了迁移算子的离散本征值是否存在的问 题；最后给出了迁移算子的各种本质谱1 。 这些种群细胞增生的迁移方程与中子迁移方程等有许多差异，最大的差异在 于其方程的边界条件，中子等粒子在碰撞过程中不会再生，并且其方程的边界算 子在计算过程可以消化在方程的解中，但是种群细胞在分裂过程中却会再生，它 在计算过程中也不易被消去，这无疑给其数学研究带来了很大的困难。因此，为 了给出方程的解，本文就从证明半群的存在性与不可约性出发，研究了半群的时 间渐近性与其谱分析的联系，得到了该方程解的构造性理论和稳定性等结果。 2 第1 章引言 从前面的文献中可看出对种群细胞增生中的谱分析研究工作较少，尤其是离 散本征值和占优本征值的研究工作。因此，本文主要是研究种群细胞增生中的迁 移方程，证明其生成的c n 半群是不可约性，给出了其迁移算子的谱分析，尤其是 离散本征值和占优本征值的存在性等结果。 本文的结构为；第一章引言；第二章研究具一般边界条件的l - r 模型的迁移 方程，证明了其相应的迁移算子产生正c 0 半群和该正c 0 半群的不可约性，分别在 厶空间中讨论了一类具积分边界条件的l - r 模型和在l 。( 1 tp * ) 空间中讨论了 一类具一般边界条件的l - r 模型的迁移算子本征值的存在性，最后在厶空间中 证明了该迁移算子占优本征值的存在性等结果；第三章研究具一般边界条件的 r o t e n b e r g 模型的迁移方程，给出了其相应的迁移算子产生c 0 半群和该c 0 半群的 不可约性，分别在厶空闻中讨论了一类具积分边界条件鼹r o t e n b e r g 模型和在 l 。( 1 tp t m ) 空间中讨论了一类具一般边界条件的r o t e n b e r g 模型的迁移算子本 征值的存在性，最后在厶空间中证明了该迁移算子占优本征值的存在性等结果。 3 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 第2 章种群细胞增生中的l r 模型的迁移方程 1 9 7 4 年i b o w i t z 和r u b i n o w 在文献【5 】中首次提出了种群细胞增生的初值问 题： 詹( 嘲) - 柳( 嘶) 一一詈( 础) - p ( 训妒( 咖) ，( 2 1 ) l 妒( 4 ，f ，0 ) 叫ka ，f ) 其中f 表示种群细胞从出生到分裂的周长且z ( ，乞) ，0 s 乞t0 0 ；a 表示种群 细胞的年龄且4 0 ，f ，妒( n ，z ，t ) 是由4 ，z ，t 构成的种群细胞的密度；p ( ，) 表示 细胞的死亡率。之后，对此初值问题的有许多研究工作( 部分见文献【1 1 ，1 4 ，1 6 】) 。 最近，l a t r a c h 和m o k h t a r 二k h a r r o u b i 在文献【1 l 】中研究了一类具一般边界 条件的b - r 模型的迁移方程，在厶空间中证明了初值问题( 2 1 ) 相应的迁移算子 产生正c o 半群，且给出其c o 半群不可约的充分条件- 接着，在l p ( 1 皇pc 。) 空 间对光滑( 或部分光滑) 的边界条件，他们给出了( 如) 至多由有限代数重数的 离散本征值构成。而a r e f j e d b i 在2 0 0 3 年的文章 1 8 】中研究了厶空间r o t e n b e r g 模型中一类带积分边界条件下迁移算子的谱和初值问题解的渐近展开。但是对 该迁移算子本征值和占优本征值的存在性等解的构造性理论未见研究。为此， 本文对具一般边界条件的m t 模型的迁移方程( 2 1 ) ，在第一节先建立适当的空 间和算子，给出必要的准备知识；在第二节证明了其相应的迁移算子产生正c o 半 群和该正c 0 半群的不可约性；在第三节对厶空间中一类具积分边界条件的l - r 模型的迁移方程，证明了该迁移算子本征值的存在性：在第四节对l p ( 1 p t * ) 空间中对一类具一般边界条件的l - r 模型的迁移方程，证明了该迁移算子本征值 的存在性；最后，在第五节对l 空间中一类具一般边界条件的l - r 模型的迁移 方程，证明了该迁移算子占优本征值的存在性，并给出了c a u c h y 问题( 2 1 ) 解的渐 近表示。 4 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 2 1 空间与算子 为了f 面证明的需要，在这一节将介绍空恻与相j 匝的算f o 令 砟：- l , ( a ；d u a v ) ， 其中a ：i ( o z ) ( ，乞) ，o 主 1 2 t m ，1 p t m 引进边界空间群o ，z ：，s o b o l o v 空间如下： x ；- 0 “o ) 【，f 2 ；讲) ；砟：1 0 ( j 】x r ，乞 ；讲) ； 。p 乃，使宿警砟 - 定义迁移算子 为： f 厶：d ( 4 ) - 伽p 。一却) c 砟一巧， 1 船二一誓一弘( 刈) 妒 其中p ( ，) l ，妒o ，妒分别表示为妒。一妒( o ，f ) ；妒。- 妒( ，f ) 。边界算子日为： h ：群一肆； 妒一却( 2 2 ) 假设：( 日) 日是有界正算子 对妒x p ，a c 和妒d ( 4 ) ，考虑方程 ( 2 1 4 ) 妒一妒， ( 2 3 ) 则对r c a ，一壁( 丝一黜i n f p ( ，) ) ，方程( 2 3 ) 可形式地解为： 妒( 口，) - 妒( o ，f ) p 砷叫净+ j ：e z p 如妒( s ，1 ) d s ， ( 2 4 ) 令口。l ，则 妒( f ，f ) _ 妒( 0 ，f ) e o “p “肛+ 上p “p f 。k 伊( s ，1 ) d s ， ( 2 5 ) 便于本文的分析，为简化( 2 4 ) 、( 2 5 ) 式，引进如下算子： 5 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 1 只：群。群， 1 ，( 只，) ( v ) ：。i ( o , 0 。 0 ) 都是一致有界正的。 证明由( 2 6 ) 式知只何4 t 1 ，则v s o ，v x e a e c l r e a ，如+ f ，| c ，o ， 使得1 1 只日8 c t l ，即：( j - 只日) 1 墨i 二1 ：，所以算子( j f 撙) 一一致有界，又由 于对任意的a 恤c i r e a ，九+ ) ，蜴、只、g 和日是有界的，所以( 盯一如) _ 1 在x + 上一致有界正的。同理可证算子日( j 一只日) 。1 毋、只、q 、，易和g 在各 自的正锥空间也是一致有界正的。 2 2 半群的不可约性 在本节中研究z 。空间中算子 生成c 0 半群及c o 半群的不可约性。 因为当l 旧4 o ， i m 。：x ：一x ：， l 妒( 肘：妒) ( f ，f ) 一。矿( 4 ，f ) 浮。：xp xp ， 1 伊一( 面“妒) ( 叫) ：- 咖- ( 叫) l ：d ( 瓦) c x ，一乃， 妒一瓦妒( 4 ，班一一署( 口，) - 【( 叫) 地“】妒( 刈) ， d ( 毛) 一 伊砟f 矿- h m 。伊 附注2 2 从上面的定义可证明对o ( 砧t 1 ，算子蔚。是到自身的双射， 7 第2 章种群细胞增生中的l _ r 模型的迁移方程 且虬阿卜也 接下来的引理给出了算子瓦和4 之间的关系。 引理2 1 对固定的o “1 ，有面：l d ( 4 ) - d ( 瓦) ，且如一m 。互面：1 。 证明对妒d ( 4 ) ，妒一面：匆，有伊x p ，并且满足 p - ( “1 妒) 0 一妒。， f 妒一0 1 妒) 7 一妒7 则矿一h m , , q j ，且妒d 呱) ；反之，l 司样证明若q , e o ( t ) ，有 帆妒d ( 4 ) ，即面：l d ( 4 ) 一d ( 瓦) 。 接下来，对任意的妒d ( 以) ，有 m 。瓦肘n 。- 1 妒- “4 瓦。一印) - “4 【一言o ) 一【肛( 口，f ) + 1 n “】“。劬1 一一誓一弘( 叫) 妒一铆 定理2 2 令o ( 球t 1 ，则在以中算子互生成的c o 半群 圪o ) ，t 0 ) 等价于算 予4 生成的c 0 半群 ( f ) ，f 芑o ) ，也就是： u ，( r ) 一面。圪( f ) 面：1 ( 2 9 ) 并且还满足鼽( f ) 0 球。帐( f ) ( f 之o ) 。 证明假设算子正在x ，中生成的c o 半群化o ) ，f o ) ，令妒d ( 瓦) ，由引理 2 1 知妒- 面：知，枞d ( a s ) 。因此， 瓦妒。姆r 。1 眈( f 砌一妒卜姆一蔚= 1 【面“虼( r ) 面：_ 一妒】 由引理2 1 知： 钳i ，l 卅i m t - x p m 屹( r ) 面知一妒】。姆一h ( f ) 妒一妒】 则算子彳，生成的c 0 半群 ( f ) ，f 乏0 ) ，并满足( f ) - 面。k ( f ) 齑= l 。反之 也可证。 8 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 定理2 3 若r e a ，九，则算子4 生成c 0 半群 ( f ) ，f 苫0 ) 证明当0 日l l t l 时，由前面的说明知算子粕生成c 0 半群 ( f ) ，t 0 ) 。 当0 日0 芑1 时，取h ：- 驯日一，则i m l i f 1 ，由h i l l e - y o s i d a - p h i l l i p s 定 理知算子毛在一中生成的c o 半群 k ( f ) ，t 苫0 ) ；根据定理2 2 知：算子如生成c 0 半群 “( f ) ，t o ) 。 定义2 1 n 1 1 令算子q 为0 ( a ) 上的正算子，若对一切的，a o , f 幸。在a 上有 o f ，o ，n t ，则q 就称为严格正算子。 定义2 ：2 “”令杪( f ) ，t 之o ) 是l ( a ) 上的正的c o 半群且彳为无穷小生成元， 则y o ) 在( a ) 上被称为不可约半群：即若v a s ( s 似) 为算子彳的谱界) ， 算子( a 一彳) 。1 ，几乎处处为严格正算子。 定理2 a 若算子日满足假设( q ) ，则一生成的c o 半群 ( f ) ，f 2o ) 在巧 中不可约。 证明由定理2 1 知q 。h ( i e w ) 。1 b 是正算子，根据( 2 7 ) 式，对任意的 f 0 ，f 0 ，有 ( 盯一磊) 4 f 王幺日( 卜e w ) 4 只，o ， 由定义2 芝知 ( f ) ，t 0 ) 不可约。 。 引理2 2 m 1 假设算子4 是z ，上c o 半群的无限小生成元，若c o 半群是不可 约的，则下列命题成立： ( 1 ) 4 中每个正的本征函数是严格正的； ( 2 ) ( 4 的共轭算子) 中每个正的本征函数是严格正的。 2 3 一类具积分边界条件的l - r 模型 这节我们主要研究厶空间中具积分边界条件的l - r 模型的迁移方程，讨论 其相应的迁移算子的谱。其中积分边界算子h 定义为： 9 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 h ：工- x 。 1 妒一r 七( u ) 妒( u 。) 讲j 其中核七( f ，f ) 是m u e - t a m a r l d n 类型的，且满足r 七( f ，f ) d r 一1 ( 2 1 0 ) 现假设日满足： ( 也) h 是紧算子； ( 也) h 是正算子( 在b a n a c h l a t t i c e ) 先引用l a t r a c h 在文献【1 1 】的有关结果。 引理2 3 n 1 3 若日满足假设( 吼) ，- 当r e a 乏一丝时，有只日为紧算子。 证明因只s e 。( “ - ) i d ，有最日主月j ( “4 + ) s 日由假设( 日：) 知：日为 紧算子，利用d o o d s - f r e m l i n 定理知：只日也为紧算子。 引理2 4 1 若h 满足假设( 也) ，则奸往意a a c i r e a 一身，当l h n a i 充 分大时，算子( ，一只h ) 4 存在。 定理2 5 m 1 若日( ，一只h ) 4 是严格正算子( 见文献 1 1 】) ，则算子如生成的 c o 半群机o ( f ) ，t 七o ) 是不可约的 定理2 6 若日满足假设( 吃) ，当r c a 一丝时，则有，( 只日) 一丝且妒z + ，则存在，声，使得对任意 第2 章种群细胞增生中的卜r 模型的迁移方程 的a ，有( ( 卢，一以) 4 ) c 1 证明先证：当( 声，一如) 一妒- 妒d ( 4 ) n x + 时，有i 陟l 主彘i k 0 这一结果 当( ，一4 冲- 妒时，有： ( 芦州彬m 叫) + 苦( n ，f ) t 妒( 口，1 ) ， ( 芦+ 曼( 叫) ) 妒( 口，f ) + 詈( 4 ，f ) 妒( 4 f ) ， ( 户+ 丝增：妒( 训捌f + “詈( 叫) 俐s “妒( 口，z ) 出d t ， ( 卢+ 壁) i 舻8 + j ? ( 妒( f ，f ) 一妒( o z ) ) 讲墨u * i i 当1 日0 t 1 时，利用( 2 1 0 ) 式和妒- ( p t 一南) 。1 妒得： ( 卢+ 丝) 悱n 妒l l ；0 ( 卢卜山) 矿忙而1 悱 所以，当口一+ m 时，有 陋一4 ) 4 忙击一o 因此本定理成立。 定理2 7 条件同引理2 5 并设( ，一只日) 4 为正算子，则( 以) 一a ，即存 在实数风为算子以的本征值。 证明由定理2 6 知名( 只日) t 1 ，且( ，一只日) 一- ( 只日r ，所以( ，一只日) 。 为有晃算予，又由于( j 一只日) ，只，蜴，巩和q 都为x + 上的正算子，所以 ( a ，一4 ) - 1 为x + 上的正算子由引理2 3 知：若| | 日0 1 ，j ，芦时，v a ， 有o ( ( a ，一 ) 4 ) c 1 。所以当a ，n ，时，( 盯一4 ) - 1 也是z 上的有界正算子。 令r e a - p ，由谱映像原理知：存在y ( 卢) 为( 一4 ) 1 的本征值，且相应 的有本征函数 * o ) ，使得 r ( 卢) 妒。一一( 卢，一, 4 x ) 妒。 第2 章种群细胞增生中的l r 模型的迁移方程 叫卢一南卜砒，令风吵南，则岛是如的本，征值o 2 4 一类具一般边界条件的l - r 模型 在前面的基础上，这一节我们将研究( 1 量p o ，则当i i n l a i 充分大，对所有的a a c i r c ；【，r e i + _ ， i i ( 村一4 ) 。1 8 都一致有界 定理2 9 若算子日满足假设( q ) ，则在0 ( 1 p t * ) 空间中对r c a ，九+ f 时，有仃，( 4 ) g ，即存在实数风为算子以的本征值。 证明令r e a - f l ，由定理2 1 知算子( 盯一4 ) 。1 是一致有界正的，又由谱 映像原理知：存在 ，( ) 为( 盯一4 ) 4 的本征值，有相应的本征函数妒( 妒- o ) ， 使得 r ( 卢) 妒。一( p ，一彳。) 一妒。， 因此卜高卜绷，令风咿南，则风是以的本征值，并且有 九一高s 一南。岛“ 附注2 3 根据附注2 1 易知：当r c a ，凡，有a p ( 如l ；由于卢和y 的任 意性，当r c a 墨九，取定卢和r 的值，使之满足风一蛐p r e a 恤盯( 4 ，皓，也 第2 童登登塑堕塑生生塑! 堕型堕垦整查墨 就是算子山的谱界 引理2 6 若算子日满足假设( 皿) ，则当r c a ，九时有 品p 一4 ) 4 卜 证明由于 l ( a 卜4 ) 。1 8 一l 蜴日( ，一只日) 。1 只+ g i i 级丑( j 一只日) - 1 b i + l l c - l l 矗陋( j r 一明) 4 以卜 ( 2 m ) 首先考虑对所有的妒墨，有心慨妒9 - o 。 令( 九) 知：九- i l + 吮，九 j ；l c l r e a 凡 ，且以) 酬是一列实数，使得当 一- - , o o 时，k l 一+ ，则对任意的妒x ，有 m 批一。“p 小棚“相) 凼l 在( 0 z ) x ( ，f 2 ) 上，由r i e m a n n - l e b e g u e 定理知： 蚓l i mb 栅z ) 1 熙护t 叫卜肿b 岫1 0 州 另外，由于算子巩是有界的，由控制收敛定理知：对每个整数玎有 熙恢妒0 0 由于蜴日( ，一只h ) 1 的一致有界正的性质和( 2 1 2 ) 式，知( 2 1 1 ) 式成立。 同上面的方法，可证对所有的伊乃，有， 规u c ：u = 0 4 。e 所以，当r e a ，九时，有1 0 ( a j 一以) 。1 0 一o 。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 2 5 占优本征值的存在性 本节我们主要研究如空间上的占优本征值。为此，先引入一些结果。 定义2 3 娴令4 是b a n a c h 空间x 上的闭稠定线性算子，且风是彳的本征 值，则风为占优本征值，若满足 一 ( 1 ) 风是实数； ( 2 ) 风的代数重数为1 ； ( 3 ) 若a 是彳的异于风的本征值，则r e 2 o ( 2 1 5 ) 若存在整数七) 0 ，使得b * 0 ，而对所有的自然数作) 七时6 - 一0 ，则风为 r ( ，白) 的七阶极点。 1 4 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 由( 2 1 4 ) 式可知屯，0 ，i + 1 ) 。0 ，从而召 6 - t 。曼现( a 一风广( 盯一彳”) ， ( 2 1 6 ) 因为p 6 - ，。丢疆rz ，4 ) 出，由定理2 1 r ( z ，4 ) 是正的，从而算子p 也是正的。现来证明算子p ( p 的共轭算子) 也是正的。根据定义2 4 知：对 中如( a ) ，e l 2 ( a ) ，有； ( 即，妒) 。舵知r 亿4 砌( 口，咖( 口，1 ) d a d l - 上噌知r 亿4 ) 却( 口 f ) 驴( 口，1 ) m - ，f 。d a ，f , 堋1 ，r 。r ( z ，4 蚴( 口，咖( 口，1 ) a l - ( 矿，知舷4 砌) * ( 仍p 妒) 所以p 。丢五r 亿4 ) 如l 尸，即算子p 也是正的 定理2 1 0 若算子日满足假设( 以) ，则风为算子由的占优本征值。 证明根据占优本征值的定义来证明： ( 1 ) 由定理2 9 和附注2 3 知风是实的本征值； ( 2 ) 要证明成的代数重数是1 ，则分下面两步证明。 第一步：证明算子如存在相应于本征值风的本征函数妒。( 记为 妒。k e r ( f l o l - a n ) ，以后类似表示) ，- g v , 。是严格正的。 由复变函数中极点的定义知：| j ，0 ，使得七是，的阶数，则( 村一如) 。1 展 开的洛朗级数的最高系数是( 2 1 6 ) 式，也就是： bt - 溉( a 一风) ( 盯一4 ) ， 由定理2 1 知虬是正算子。因存在g 苫0 ，g 墨，使得讥：- 虹g 弓0 ，并满足： ( 风，一4 ) 。( 一4 ) k g 。( 一 ) 慨( a 一风r ( 一以) - 1 9 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 - 。l i r a ( 凡，一4 ) 一( a 一岛) 】( a 一风) ( 盯一磊) 一g - 溉( a 。成) i g 一概( a 一风广“( a 卜4 ) g 一溉( a p o ) * g 一+ ，) g o 则妒。为风相应的正本征函数，利用半群的不可约性及引理2 2 ( 1 ) 知：是 严格正的。 特别地，若算予以有严格正的本征函数，则风为一阶极点。 第二步：证明算子鬈存在相应于本征值风的本征函数织( 记为 吡e k e r ( 卢o l 一4 ) ，以后类似表示) ，且舛是严格正的 由第一步知成为一阶极点，则留数p 为正投影算子，并满足： p d ) tk c r ( 岛j 一以) ；p d ) - k c r ( 一屏。 因此考虑任意的o s 妒如( a ) ，则有以：- p 妒土o ( 因为p 是正的) ，也就 是说p 是风相应的正本征函数，利用半群的不可约性及引理2 2 ( 2 ) 知：是严 格正的。 由严格正的定义知( 钒，妒：) 0 ，根据文献【3 5 知风的代数重数是1 。 0 ) 因为风为以的谱界，在这里我们只需证明r e x * 岛。首先来证明若 v 妒k 盯( 卢o ，一4 。) ，妒一o ，有p i k c r ( 卢o ，一4 。) 由v 妒k e r ( , b o l 一4 ) ，妒0 ，知4 妒- 触，也就是( f ) f r e 唧( 见 文献【2 2 乒一i i i ，c o r 6 4 】) ，根据( f ) 的正性及 e 砧眵i l c 唧l - i ( f ) l f ，i 墨( f ) 渺i 知u 。o ) 陟卜p 砧陟l 苫o ( 2 1 7 ) 从而 川舻：鼢瓣淼i 端，毋 ， 一( 妒f ，p 唧；) 一p 甩( 眇i ，妒；) 一0 ， ，、。 因以是严格正的，则由( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 知( f ) 陟i i e 砧陋i ，也就是4 陋i 。风渺i 1 6 第2 章种群细胞增生中的l - r 模型的迁移方程 现假设r e a 一风，令a - 风+ a ，口，0 ，因4 陟l - 属p l ，则由文献【2 2 】 知风+ i a n e c r ( a s ) ( n e n ) ，当厅趋于无穷大时与引理2 6 矛盾。即对所有的本 征值a ( a 乒p o ) ，有r e a 风。 ( 4 ) 假设还有本征值a ，a p o ，若妒厶( a ) ，妒，o 洧以垆一a 妒，则 a ( 1 ；f r ，妒：) - ( a 妒，妒：) 一( 4 。妒，妒；) 一，4 妒：) - 印，肋；) - 风，机) 因为a * 风，所以似，矾) - 0 ；又因为以是严格正本征函数，从而妒不可能 几乎处处非负。从而命题成立。 综上所述，根据定义2 3 知：p o 为算子如的占优本征值。 根据前几节的讨论和占优本征值的性质，我们知道如果占优本征值风存在， 则当f 充分大时，算子4 。的其他本征值的贡献都比风的贡献要小得多。因此，当 f 足够大时，c a u c h y 问题的解是唯一的，且表示为： 妒( f ) - 。_ ，：缯：- r ( ) 托“脚。 o _ 。) = c o ( 妒o ) p 唧o 、7 此时 r ( r ) - 规去仁矿( 村一4 ) 4 。d a ， 卢， 其中妒o - 妒( 卢， ，) ，妒。为风的本征函数，c o o ) 是一个常数，且p 和d 分别表 示投影算子和由风构成的幂零算子。 若妒o d ( 砟) ，且卢乒0 ，则 r ( r ) 一缸瞥抛+ 口( 卢) ( 鳓。) ， 此时，当，o 时，口( 卢- 1 ；当卢t o 时，a ( 芦) ；o 1 7 第3 章种群细胞增生中的r o t e n b e r g 模型的迁移方程 第3 章种群细胞增生中的r o t e n b e r g 模型的迁移方程 1 9 8 2 、1 9 8 3 年m r o t e n b e r g 在文献1 6 , 7 o e 提出了另一类种群细胞增生的初值 问题： 警( p ，v ，r ) = 叫誓( p ，v ，f ) 一f r ( p ，v ，y ) 山妒( p ，v ，t ) + f ，( p ，v ，v 如( p ，v ：r ) 咖 - 品妒( 1 a , v ，f ) + b 妒( p ，v ，t ) - a q o ( p ，v ，t ) ( 3 1 ) 妒( ，y ，0 ) 一妒。( p ， ，) 其中晶和口分别表示细胞增生的s t r e a m i n g 算子和碰撞算子；p 表示种群细胞 的成熟度，且p 【o ，1 。i ，当p 一0 时表示种群细胞出生，当p 一1 时表示种群细胞分 裂；1 ，表示种群细胞的成熟速度，i jv e a ，b 1 ，0 c n c 6 c * ，函数r ( ，) 表示细胞 从，到y 的转变率。称0 1 1 为种群细胞增生的r o t e n b e r g 模型的迁移方程。令 盯( p ，d - i = ，( p ，v ，v ) 咖， ( ，) l ( 【q 1 】【4 ，6 】) j m r o t e n b e r g 就此迁移方程进行了研究，讨论了该迁移方程的f o k k e r - p l a n k 近似，获得了其可数解，并研究了该方程相应的迁移算予的谱。之后，对种群细胞 增生中的r o t e n b e r g 模型的迁移方程有许多研究工作( 部分见文献 1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 5 ，1 8 ， 1 9 ，2 1 】) 。2 0 0 3 年，aj e r i b i 研究了空间中具积分边界条件的r o t e n b e r g 模型， 给出了s t r e a m i n g 算子的谱分析，特别地，在边界算子是严格正的条件下，证明 了c o 半群是不可约的“”。2 0 0 5 年，aj e r i b i 研究了工，( 1 p m ) 空间具一般边界 条件的r o t e n b e r g 模型，证明了若边界算子是正的，则生成的g 半群是不可约的， 最后，给出了迁移算子的谱结构，得到了解的渐近展开式“”。文献 1 8 ，1 9 给出了 ( 4 ) n j ；l c i r c a ，r c 万 至多由有限代数重数的离散本征值组成，并在给出解 的渐近展开式时都假设了“仃( 4 ，) n a c i r e a ，r e a 一d ”。这一条件是否成， 立? 在什么条件下成立自然引起人们的关注，特别是该迁移算子的本征值和占优 第3 章种群细胞增生中的r o t e n b e r g 模型的迁移方程 本征值的存在性更是人们关注的热点。因为它直接影响到该迁移方程解的稳定性 分析等。为此，在本章第一节先建立合适的空间和算子，并给出必要的准备知识； 在第二节对厶空问中一类具积分边界条件的r o t e n b e r g 模型的迁移方程，证明了 该迁移算子本征值的存在性：在第三节对l 。( 1cp m ) 空间中对一类具一般边界 条件的r o t e n b e r g 模型的迁移方程，证明了该迁移算子本征值的存在性：最后，在 第四节对厶空间中一类具一般边界条件的r o t c n b e r g 模型的迁移方程，证明了该 迁移算子占优本征值的存在性问题，并给出了c a u c h y 问题( 3 1 ) 解的渐近表示。 3 1 空闰与算子 为了下面证明的需要，在这一节将介绍空间与相应的算子。令 x p ：- 0 ( a ；d 乒咖) ， - 其中a ：- o ，1 口，6 ，o a b 九+ ) ( v e o ) 是一致有界正的 证明由( 3 5 ) 式知0 只日i i t l ，h o j v g ，o ，a a c i r e a ，九+ f ) ，| c ，o ， 使得0 b 日0 c 1 ，即：( i - 只日) 式舡，所以算子( ，一只h ) 一一致有界，又由于 对任意的a a c i r e a ，九+ ) ，算子蜴、b 、c 和日是有界的，所以在x + 上，算子( 盯一品) - 1 是一致有界正的，又因为曰为正算子，所以算子( 盯一九) 。1 在 x + 上为一致有界正的。同理可证算子日( ，一只日) “b 、b 、蜴、取和q 在各 自的正锥空间也是一致有界正的。 2 1 第3 章种群细胞增生中的r o t e n b e r g 模型的迁移方程 推论3 1 若算予日、占满足( 1 ) 、( h ：) ，则对一切a a c i r e a ，九+ ) ， 则算子h ( j 一只h ) - 1 以丑为紧算子 3 2 一类具积分边界条件的r o t e n b e r g 模型 本节主要研究厶空间上具积分边界条件的r o t c n b c r g 模型迁移算子的谱，为 此定义其积分边界算子h 为： ， 阻：x 1 - x o ， 1 妒一瓢七( 州。) 妒( ) 州 且p 之o ，核豇( ，v ) 是h i l l e - t a m a r k i n 类型的，且满足 f 七( ) 咖- 1 ( 3 7 ) 现假设日满足：【玛) h 是幂紧算予 为了本文的需要，引入h a j e r i b i 在文献【1 8 】的一些结果。 定理3 2 m 1 若日( ，一只日) 。严格正算子，则品生成的c 0 半群帆p ( f ) ，f o ) 是不可约的 定理3 3 0 ”若 c o m ( f ) ，f o 】不可约，则算子彳h 生成的c o 半群是不可约的 定理3 4 假设口满足( 也) ，凯 a c i r e a 一g + b o g ( o p l i ) ，算子 ( a i s n ) 。1 曰在工中弱紧 定理3 5 假设b 满足( 正r 2 ) ，且日是紧算子，i 是集合s 中有较大实部的元 素，则 ( 1 ) o ( a ) n z e c i r e x ，r e 万 至多由有限代数重数的离散本征值构成； ( 2 ) 若w ，o ，则盯( 如) n a c l r c 加r c 万+ q 有限； ( 3 ) 若w ，o ，则当i h a i 充分大，对所有的a a e c r e a ，r e x + _ ， 0 ( 盯一4 ) 4 4 一致有界。 苎! 皇壁登塑堕堕生塑! ! ! ! 些竺! 堡型塑堑整查墨一 现在研究本征值的存在性问题。 引理3 1 若日满足假设( 屿) ，当r e a z 垡时，只h 为紧算子。 证明因只s e - w ( “1 + g 尉，有只日s 胁叫恤“曲墨日由假设( 日3 ) 知：日为紧 算子，利用d o o d s f r c m l i n 定理嘲知：只日也为紧算子 引理3 2 n 町若h 是紧算子，则对任意a 恤c i r e a 苫一习，当i h a i 充分大 时，算予( ，一只h ) 4 存在。 定理3 , 6 若日满足假设( 日3 ) ，当r e m a x - a , b l o g p - 岛时，则有 r ( p x h l 1 。 证明由引理3 1 知只日为紧算予；又由k r e i n - r u t m a n 定理舞 ：谱半径o ( 只日) 是对应于石“( x “为z - 中的正锥) 中妒的本征值，则有只曰妒- o ( 只日如， “七( n 弘( 1 ，v ) v 砒。咖口p 枷一( 只h ) 妒 由式( 3 7 ) 知 f 。( 只日) 一矽以( “d ( p ，加_