（概率论与数理统计专业论文）广义多元偏态pⅡ型分布的若干理论问题的研究.pdf

摘要 本文提出了一类新的广义多元偏态p 1 1 分布并给出它的背景，定义，分布性质， 包括随机表示及其等价性、组合与边缘分布、条件分布并通过广义多元偏态p 1 1 分布与 广义多元偏态正态分布的关系求出其各阶矩 关键词t 密度生成函数 偏态g s p l l 分布偏态g s n 分布矩生成函 数 a b s t r a c t t h i sp a p e rp r o p o s e san e wf a m i l yo fg e n e r a lm u l t i v a r i a t es k e wp e a r s o nt y p ei id i s t r i - b u t i o n s b a c k g r o u n d sa n dd e f i n i t i o n sa r eg i v e n p r o p e r t i e sw h i c hi n c l u d et w os t o c h a s t i c r e p r 酋e n t a t i o n sa n d t h e i re q u i v a l e n c e ，l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n su n d e rf u l l 姗r 盟k m 虹g i n a l d e n s i t y , c o n d i t i o n a ld e n s i t ya n dm o m e n t sa r ed e r i v e d k e y w o r d s ：d e n s i t yg e n e r a t o r g e n e r a ls k e w - p i id i s t r i b u t i o n n o r m a ld i s t r i b u t i o nm o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n 2 1 2 2 2 3 插图目录 口= o ，0 1 ，0 2g s p l l 分布密度图 二维g s p l l 分布密度。， 1 0 。1 0 二维g s p l l 分布密度等高线，1 0 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名：瑚日期：划 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印侔和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的 内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 签名蛔导师签魄兰丛 第一章引言 1 1 引言 p i i 型分布属于椭球等高分布族，是对称分布在实际应用中，诸如经济学，生理 学，社会学等领域中，回归模型中的随机误差经常表现出高度的偏态性质为了保留一 些重要的对称性知，个自然的想法就是将一些分布分解成用来说明对称性知的部分 和用来说明偏态性质的线性约束部分，于是就有了偏态椭球等高分布族 a z z a l i a i 和d a l l av a l l e 于1 9 9 6 年于( f l 】) 中首次提出了多元偏态正态分布，记为 随机向量磊。1 一剧( o k 。1 ，n ，口) 。其分布密度为： 2 妒k ( z ；n ) 雪2 ) ， 孑r k ( 1 1 1 ) 其中，机( 驾n ) 为均值为0 ，方差为n 的女维正态分布帆( 0 ，n ) 的密度函数，雪( ) 是一 元标准正态分布n ( o ，1 ) 的累积分布函数，口r 称为形状参数或偏态参数，当o ；0 时，便得到我们通常所说的正态分布密度 随后，各种各样的此类分布得到进一步推广，直到偏态椭球等高分布温阳俊在 ( ( 2 1 ) 中定义了种新的多元偏态t 分布，m d r c i ad b r a n c o ，d i p a k k d e y ，于2 0 0 1 年在 ( ( 3 1 ) 中用线性约束的方式定义了多元偏态p 1 1 分布t 一 1 2 f ( 矿现v 分l0 ，l ；l ，m ) ，扛2 10 m x b f 如；日，m + 二)( 1 1 2 ) 本文在此基础上进一步扩展，对线性约束条件进行扩充。定义了广义多元偏态p 1 1 分 布，并讨论了相关性质 1 。2 预备知识 设p 维随机向量而x 1 服从参数为脚1 ，p 0 的椭球等高分布，记为x 一 廖q ，q ；9 ( p ) ) ，它的分布密度函数( p d f ) 为： ，0 i 声，n ；妨) = i q i 一力( ( 善一p ) n 一1 ( 一弘) ) ，z i 妒 其中，g 是个r + 到r + 的非增函数，且满足 = 而州u ；p ) ，n 。 垒g - g ( i p ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 9 ( “；p ) 表示r + 到r + 。且使得积分j r 一1 9 ( r ；p ) d r 存在的非增函数，通常我们 称g ( u ；p ) 为p 维随机向量耳1 的密度生成函数( d e n s i t yg e n e r a t o r ) ( 见d , 4 p 7 7 ，( 2 5 1 6 ) 式，p 9 7 ，( 2 6 1 7 ) 式) 第一章引言 倒1 2 1 侈元正态分布j 令g 似；力= e x p ( 一i ) ，则 排) = 品， ，g 绣9 ) = i 而1 一哪( 一i 1 扛一q 1 扛一彩) ，。r p 2 注释1 2 1 密度生成函数g ( - ；p ) 中，u 0 表示p 维随机向量墨。1 生成的二次型， 即“= 0 一p ) n 一1 扛一弘) ，这里，t 只是一个中间变量 下面我们给出椭球等高分布有关性质的重要引理、定理与推论 引理1 2 1 设l e o ( p ，n ；g ) ，b k p 为行满秩的常敷矩阵，则 b x 。e c k ( 跏，b a b ；9 ( k ) 1 特别，当b p x ，可逆时， b x 一骗( 矾b f t b ；g ) 这里9 1 k ) 未强等于，轴 定理1 2 1 设j 弓。l - - 4 p + a k 。l - d 冠彩o ) 一对0 ) a = n 0 ，更l i x 的所有的边缘分布都有密度特别，丑 ) = ( 噩，拖，溉) 7 ( 1 0 ，它的密度生成函数为 9 ；p ) = ( 1 一缸) m ，0 0 ，密度生成函数变为 g ( 嵋力= $ - - ( 竹唰2 ) 0 一珏) m ，0 0 岛= 黼 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 记为x p j ( o p x l ，n ，5 ，m ) ， 将x 分块为x = ( x l ，弼) 。其中，而：n 1 ，恐：抛1 ，p = n + p 2 。且墨满 足下面的线性约束条件 噩 o p l l 我们记p c 表示约束条件( 2 1 3 ) 式的概率，即 n 分块为( 2 芝) 垒( 乏 昂，一n 1 2 n 蠢亿1 p c = p ( x l o ) 乏) ( 2 1 3 ) 本文以下部分我们都令n n = ，n 1 1 2 = 定义2 1 1 若随机向量2 k 。1 有如下分布密度， 龙cz。，=；丢i!；=装兰兰铡，g。i。t，n翘；毛m+号)。-t， 肠( 。2 ) 2 1 文瓦i 汀瓦i i i i 丽：i 剪。守2 i k 1 一场“十i j l 。上4 = 垆- f ( o x 2 ( s * ) 1o p l x l , n - 2 1 ，m ) ，0 2 i ：1 ，n 船；岛m + 譬) 2 1 5 ) 这里。 a = n 蠢q 2 l ； 矿= 暑一q 2 ； q 2 = 建n 丢茹2 ； f ( 口，z 2 ( s + ) i 纬。l ，0 1 l j 2 - l ，m ) 表示p 刀；。( d p ，- ，q 1 l 崩l ，m ) 分布在0 ，勋( 矿) 处的 值 f ( 略，。l id p 。l ，；5 ，m + 学) 表示p j 昂。( q 1 ，。；5 ，m + 譬) 分布在岛，x 1 处的值，等 6 第二章广叉多元偏怒p 1 1 分布 7 于2 1 1 ； ，1 x 1 ，姚 m + 謦) 表示p i ( x 1 f 2 2 2 ；s ，m + 鳓的分布密度 我们称z 服从广义多元偏态p i ( ) 分布，记为g s p l l , h ( d ，绣8 ，m ，口) ，a 称为偏态 系数 下面的定理给出了如何构造g s p i i 的分布密度 定理2 1 1 设玛1 一p 珥( d n ；s ，m ) ，8 0 ，m 一1 ，p 0 ，分块同上 在线性约束( 2 1 3 ) 式条件下，z = ( 而l x i d ) 有( 2 1 4 ) 式的分布密度 证明：在线性约束( 2 1 3 ) 式条件下。( 雹，弼) 的密度为 饰。矧= 坐裂高竽 其中，9 一c ；g ；p ) ，o 同( 2 1 ，2 ) 式 对上式关于x 1 积分，得到犯的密度t ，c ( 沈) = 三z 。，。，0 - ，钇i x z ，n ；，) 如t = 恚，( z 。l0 _ m x ，n z ；她) z 。，。，g - i z 2 , p 1 2 , “1 1 2 ；q q b ( z ”：) ) d z - ( 2 1 j ) 其中，口) 同( 1 2 5 ) 式，9 q 加( z 1 ：) 同( 1 2 1 4 ) 式 下面将上式进行化简t ( i ) 首先求x 2 的边缘密度由( 1 2 5 ) 、( 2 1 ，1 ) 、( 2 1 2 ) 式得 挑) = 高f r 午- l g ( e ) ( w “o 0 ，0 t i 札。，n 扎。；璨：) d x - = i q z - 2 l 一。；： 三：；去薹2 0 等价于p 。) = f ( o p ，l i 岫毛隅m + 譬) = p ( y o ) 的分布密度接下来，我们将介绍另一种随机 表示方法，即变换的方法，并证明两者表示的等价性，参数( x p ，与( 雌x p a ) 等价 定理2 1 “变换方法嵫肚( 凄) 础吲 毗，= ( 去乏：) 0 ，8 0 ，m 一1 其中叼：l ，1 x l ，叼：p 2 1 ，p = p l 恸，叼= ( 巩，i ) ，磁= ( 【k + 1 ，) ，定义 乃2 吩( i 巩i - i - + 1 。1 ) + ( 1 一碍) o ，- 1 0 ) = ( 岛l 蜀 o ) 其中 贾= ( 曼) = ( 震l + 。) = ( 知0 三) ( 髦) + ( ：) 胁+ ； 则引理1 2 1 得 x = a x + b p j 矗p ，q ，5 ，m ) 1 p ，i0 f p雒 忍 j所蓟 第二章广义多元偏态p _ r 分布 x - 肃 珏翮2(k0三)(乏2)(台：)=(急，annl船2a10 a n ) a n 2 ln 船，oa ， 2 la n 船。4 ， 由于牙的密度为， ，c ( 孟：) = 圭z 。，。，g t ，南瓜矗；g ) d 蠹- 2 圭， 1 6 ，矗n ；抽) z 。，。， - 阮，豇t 。，矗- t 埘建雹，) 砖- 其中 ( i ) ( i i ) ( i i i ) f ( e ：i f ) ，龟9 汹1衍l 声( ( 矛一驰一1 忙一- ) ) 1 i l l - 5 两r c m 而+ l + 而g ) s 如) 一( 矗一功备1 一) ) 岛= a x 2 + b 一( 6 ，a 7 一m + p 虿1 ) ，( 牙2 岬z ；扣) = i a f l z z a i 一幻晒( 龟) 叫唰一蒜苦南。州) ( 川。) 卅孥 这里，0 , 2 = 2 6 ) 7 ( a n 4 ，) 一1 ( 奶一6 ) 磁 ，0 t i o ，啊；誊) 这里，国l = 硝岔1 则 一川昂。( o m x l , l m m + 譬) = 雪( p - ( 西1 ) 。 = 綦揣s 如) 龟) 峭2 两甄磊蒜酉八”到p 胡0 p c = p ( 童1 0 ) = z 。加，0 ，i 。，h ；帆，) 如- f ( 0 p 。，10 p 。易。，毛m + 譬) 2 p 1 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 ( v ) 口( 奶) p 1 2 = 亩2 = ( ：勤一6 ) ( n 船a ，) 一1 ( 勘一6 ) = n a 2 a ( a 锄a ) 一1 ( 劫一b ) = n 1 2 n 0 a 一1 ( 牙2 一 = f l u 2 n 1 2 q 叠a 一1 ( 奎2 一” = d a 一1 ( 勃一” 皇( 童2 一b ) = 昂l q 1 2 ( a n 2 2 a 7 ) 一1 a o a l = n 1 1 2 z 。，。，g - i 玩凤z ，磊z t 盔鼎：) ) 如- = 警蔫毋匕。( - 鹕 - 忱1 ”) ”由r ( m + 1 ) 7 r 蛩j v o ) = f ( o p 。d o p 。x 1 ，易。；s ，m + 謦) = 2 - m 在线性约束x l 0 的条件下，碍，z d 7 的分布密度为， ，c ( z - ，。- ) = 麦厶， ，免，勿1 0 p ，s m ) d z z = 恚，r v 吼，引o ( p i + m ，) 。l ，矗1 l ；( p 1 + - )弛1 。1 1 ”i 。 = l f ( x 彬t 1 0 0 , 1 + 。1 ) l ，矗蟛州+ 警) ，。 z ， 其中， ，0 - ，z z i o ，弘协- ) = 1 5 l l | - ；饥+ m - ) ( q 4 ) = i 矗t t r ；i 二i ：；2 ；圭：考毛雨s c m + g ，。一q t ，”+ 誓 这里，瓴= ( ，z ；) 鲥( ：) = ( 吐，墨) ( 乏 由上式对x 1 积分，即得到z i 的边缘密度t 乏) 。( 姐z , i ) 厶( z t ) = 壶z 。，。，( z - ，州。扣，+ 船。，一彘- - m m 十等) 如 = 麦，( 训。m - h n 船；o 幻1 ) z ，如，( 蚓轧札。，n - - 属鼎：) ) 咖- 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 其中。 p 1 2 = f 1 1 2 f 1 2 2 ：z l n l l _ 2 = 一0 1 2 n 者啦l 所以有 ，( z l l o m l 1 ，o 讫；) = i f 2 篮i _ l z ) ( 醌) 叫矿。晶篙竿去毪两s 如钒一醌，叶牛 q 5 = q ( z 1 ) = 矗n 暑以 所以而一场。( 。l n 船岛m + 华扣) 因为 p 1 2 = f l x 2 f l 丢l z l 垒以 所以，令口皇一( z l p 1 2 ) 可得， j ( 伽f ( x 出- 舢m 。；删，) 如- 邛n ：一糟f y 0 的分布 密度为 ，c ( z t ) = 麦z 。，。，g - ，刮风。，矗1 1 2 ；8 - - 1 6 ，力如t = 麦，( 州抛，仍。；口幻订) z ，。，g - 陬，饥。，饥- 禹鼎1 ) 如t 其中， n 1 2 = r , 1 + 妒1 2 劈( z l 一1 2 ) 妒1 1 2 = 妒l l 一妒1 2 暗也1 q ( z o = ( z l - n 2 ) 妒暑( z l n 2 ) 垒q 7 下面分别计算上式中的三项 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 ( ) 因为 所以， 露( 由 = 警，硝 r ( 争)；一謦) o q 7 一u ) m 2 菩毳磊商菇莉 = 黼( 7 ) - 刳a 嘞叫“ z 。，。，e ，i 札m t 岛妒u 。；啦：，) 如t = j ( ，加t ：i 一 鲤( 铂) 如t = i 妒- - 2 i 一5 黜z 。，。p 一。，) 一( m + 謦) 一口，一口。) 4 如- 其中，铆= ( z l n 2 ) 妒若协一他) q 9 = ( x l n 1 2 ) 妒矗2 扛l n 1 2 ) 令知。i = 一 l n 1 2 ) 归。 则，( z l t ) = ( 一1 ) “夸，代入上式，得 z 。，。1 ( x t z i - ，n 1 2 , 仉崩鼎：) ) 如， = r 若替7 rk 加j ( 1 础一( m + 1 ) 管j t 0 _ p i x l ) 2 厶。，e ，i 饥；) 如t = l 妒l l i 一( p 1 ( 口1 0 ) 如l j x x ) o = m 5 老等；粤k f 。r 剐( 弘钆) 畔如l 其中，q l o = 0 l n 1 ) 妒膏扛l 一- 1 ) ，j = s c 孔 令如。- = 一和1 一“1 ) 卢j ，则，( $ 1 一t ) = ( 一1 ) p l ( 童) 譬代入上式可得 一妒 老者嚣乙j ( 1 一忡) m + 学疵 = f ( n 1 ；i o p l 。l ，妒1 l ；l ，m + 等) 上式表示彻；。( x l 审1 1 ；l ，m + 擎) 累计分布函数在l 1 1 加处的值 所以有， ( z l i 忍= z 2 ) 一 定理得证一 ，0 t l 他，蚍污m + 等) 2 3广义多元偏态p 1 1 分布的各阶矩 本节我们将讨论多元g s p l l 分布的各阶矩 2 3 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 2 3 1 广义多元偏态正态分布各阶矩与广义多元偏态p 1 1 分布各阶矩的关系 由于密度函数过于复杂，直接求g s p h 分布的各阶矩比较困难，但多元偏态正态 分布( g s n ) 的各彰隧比较容易求出本小节将通过多元偏态正态分布( g s n ) 各阶矩与 g s p l l 分布各阶矩的关系来确定g s p l l 分布的各阶矩由定理2 1 5 知， z ；垒( + 1 ，一，z p ) 7 = 4 引w l + 晖 其中，l 嵋l - i 仉i + i 阮j + + i 。i ，表示绝对值范数 因为 u = 睇p = 瑟) 一吲。，厕 0 。乏：)o 阳p l 霍p 2 阳 这里，对于矿服从任意椭球等高分布( 矿一蜀o ( o ，雪+ ；g ) ) ，都有如下的随机表示t ( 凄) = d r ( k 0 ：) ( 荔：) 其中，r 与( 荔芝；) 独立，a ：耽仡，且a = 霍 。0 丝= 皿+ j 雪= a 一1 ( r k 一6 6 ) a 。1 可令a = ( n 勰一) 一1 由( 1 2 8 ) 式，r 有如下分布密度： = 焉r p - l g 岬) 这里，9 ( ) 可以是任意椭球等高分布的密度所以 刃= 4 舾i 彩( p 1 ) i + a r a 彩幻) =r p l 彩p l l + ( n 2 2 6 ) 彩幻】 垒r i b i 彩扫l i + c 7 彩幻) 所以有 e ，寞。才= e ( r l 町) ，e ，嘉。 驴缸q 删】町) ，i、，一， 尊二章广又多元馕怒h 1 分布 其中，彤表示b 的第j 行。q 表示的第j 行，彤为非负整数， 乃为忍的分量，j = p l + 1 ，p 令随机向量蜀，。l 服从广义偏态正态分布，记为墨，x 1 一g s 姊，( x 1 x ，a ) ， 贝! i 可得 x = 4 凰_ 留( p l i + ( 一) 彩妇1 其中，墙一瑶所以 e ，豪。母= e ( 枷们) e ，直。哆州咖 0 其中，蜀为x 的分量，j = l ，p 2 则有 ( 2 3 1 ) 从中可以看出，若z ；一g s p f ( o ，q ，5 ，m ，d ) ，则r 的分布可由( 1 2 8 ) 式得到；r o 的 分布是已知的，关键求e n 饕l 砰 2 3 2 广义多元正态分布及各阶矩 本小节将给出多元g s n 分布及其各阶矩我们仍按线性约束的方法来求得，( 0 ，n ， 的分布密度令耳= ( 雹，弼) 7 一p ( o p ，。p ) ，由例1 2 1 知，对于多元正态分布，有 9 = ( 2 丌) 一；e 一 定义2 3 1 若随机向量z p 2 。1 有如下分布密度， 胁：) = 错貉蹦制圳x i , q 2 2 ) = 2 p 1 圣p i ( a $ 2 1 1 1 ，n 1 1 2 ) 西如( z 2 iq p 2 l n 船) 这里。 a = q 暑n 2 1 ； 圣p l ( 0 ，$ 2ld p l x l ，n 1 1 2 ) 表示1 ( 口，n 1 1 2 ) 分布在a 忱处的值； 圣m ( d p 。1io p 。l k ) 表示 r p 。( d ，昂。) 分布在纬。1 处的值，等于2 - m ； p 虹( 。2q 1 ，n 2 2 ) 表示p ，( o 岛1 ，) 的分布密度 我们称z 服从广义多元偏态正态分布，记为甜 k ( d q ，a ) ，口称为偏态系数 定理2 3 1 设墨= ( 墨，弼) 7 一( ，p ) ，在线性约束噩 岛。1 条件下，随 机向量z = ( 恐l 墨 谚有定义( 1 5 ，1 ) 的分布密度 乎 ，一 e ， = 才 ，n e j 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 ，c ( 现) = 麦，g 。i 。虹x - ，n 忿；慨) z 。，。， - l 现，地。，o - - 蕊鼎d z - 下面化简上式 1 由( 1 2 ，5 ) 式可得， 扣b ) = 高f 0 0 挣1 舢) d r = 高r ( 矿5 z 佃丹- l c 肆d r l 簪) 、7 = 高r c 矿踣；祭 ( 簪) 、，! 、等 再由引理1 2 2 ，从上式可得t 恐一。( o ，) ，所以 ，g 2 i x 1 n 2 2 ；耍妇) f f i 西= ( x 2 i x l ，n n ) 2 同理， 口加- ) ( u ) = ( 2 ) 一謦e l ，x l j ( o ，。) 又因为x l 的分布关于原点对称，所以 3 由引理1 2 3 得 乳2 一 一 一 p ( 噩 0 ) = p ( x 1 0 擎价于| ， 0 等价于f q 蕊p 1 2 = n 蕊n 1 2 n 7 2 2 1 2 2 垒a , * t x 2 ，则密度函数可化为t 脚。，= 烈卷甓搿制轨- 蚴 = 矿。( x 2 lo p 。x l 知，) 如慨1 x 1 ，) 其中，矿：n f 2 一n 2 ：n 暑n 2 1 n n 3 2 我们称之为狭义偏态正态分布，记为耳。1 一工s p ，( o p l l ，ma ) 尤其是当p l ；1 时，我们就得到了a z z a l i n d 于1 9 9 6 年提出的多元正态分布 筇i ( z 2 ；f 1 2 2 ) ( 口7 2 2 ) ，x 2 舻 记为蜀：x 1 一s k ( x l x p 矿) 其次，我们将给出g s k ( 0 p 2 1 。p d ) 的矩生成函数( m o m e n tg e n e r a t i n gt i m e t i o n ) ，记为m ( t ) 首先，给出如下两个重要弓f 理 则 引理2 3 1 倔，孔p 3 4 0 , l e m m a4 剀设霸p ，t 是同维数向量，e 是同阶可逆矩阵，则 ( 茹一p ) e 一1 ( 茁一p ) 一2 。= ( z p e t ) e 一1 ( 。一p e t ) 一2 j ，t t e t 引理2 3 2 i 已，孔p 3 3 9 , l e m m a 4 砂设瞰x p 为常数矩阵若随机向量嵋1 一( p 1 ，e 1 ) ， e y p k + b y i 肛2 ，e 2 ) l = 圣k ( p p 2 + b p i i o , b e a b + e 2 ) 其中，弧表示k 维随机向量的正态分布函数 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 证明，因为 e v 【圣i ( p + b y i i 上2 e 2 ) 】= e v p ( c ，p + m v l v ) 】= r ( u p 4 - b v ) 这里，u 一帆( , u 2 ，e 2 ) ，且，与y 独立 又因为矿一b v 一肌一b p l ，现+ b e l b ) ，所以 p ( u s p + 日y ) = p ( u b v p ) = 圣k ( p i p 2 一b p l ，e 2 + b e i b t ) 定理2 3 2 设随机向量j 1 一g s k ( q 1 ，即a ) ，则它的矩生成函数 f = 圣暑( 。id ) 唧 ；t ) ) ( n t 。t l 口 = 沙唧 ；( r t ) ) - 。( n t z t id ，k ) 证明；因为， m ( o = f 扬慨) e x p ( t ，z 2 ) d z 2 = 归l ( z 2 1 0 n 1 1 2 ) - 妒h ( z 2 ；o ，q 船) e x p ( t z 2 ) d z 2 = 掣l ( 2 霄) 一謦i n 船r 厶。田 一；q 暑。：一列z 。) ) 。( 0 ，勋i o n - z 2 ) d 现 由引理2 3 1 得 n 暑$ 2 2 t x 2 = 2 一n 2 2 t ) q 暑0 2 一n 2 2 t ) 一，n 2 2 0 所以上式化简为 聊) = 弘唧 ；( ，q 刎) ( 2 丌) 一孚 n n i 一上。唧 一；- f h 2 t ) q i ( 匏- f 1 2 。t ) 雪，f z ：| 0 吼搬) 如。 = 垆唧 ；( 慨。t ) ) 西 ( 以z l o n n 。) 其中，v = 恐一。( n t ，q 2 2 ) ，所以由引理2 3 2 ， e v 圣p l ( a z 2 l o ，n 1 1 2 ) 】 = 西p la f h 2 t l o ，一q 毖a + q 1 1 2 ) = ( 。矿孕i n 2 2 a - i - i5 j ( 。唧 一；州咖帕忱) - 1 0 咖 = 。t l0 ，2 口+ q 1 1 2 ) ) 第二章广义多元偏恋p 1 1 分布 下面考虑化简上式，因为 口= n 暑q 2 1 ， 0 1 1 2 = k n 1 2 n 暑m 1 分别代入到d f l 2 2 a + n 1 1 2 中，即可得到 同理有0 ，n 船= n 1 2 代入原式化简即可- o ，n 船口+ n 1 1 2 = 0 1 2 n 暑f 甚n 2 1 + n 1 1 2 = n 1 2 q 署n 2 1 一+ k + n 1 1 2 = 一g 1 1 2 + n 1 1 2 = k 定理2 3 3 设随机向量】x 1 一工剐( q x 1 ，p 矿) ，则它的矩生成函数 m 。) = 耐( 。l d k ) 唧 ；( t ) 畅( t ln = 弘唧 ；( ，n 船t ) ) 嘞( t i o , z v , ) 证明：因为 m ( t ) = 厶0 2 ) e x p ( t x 2 ) 如2 j m = 2 p l 厶圣，。( n “z 。| o i 易。) q 5 m ( x 2 ；。，q 船) e x p ( t x 。) 如。 = 2 p l ( 新) 一警1 l - 厶e 印 一；( 呓q 蠢现一衫。：) ) ，( 矿锄l o ，k ) 锄 由引理2 3 1 得 近n 暑现一2 如2 = ( z 2 一f 2 2 2 t ) ，q 丢( z 2 一q 2 菇) 一g f z z 2 t 所以上式化简为t 聊) = z 扎唧 ；( t f l 船t ) ) - ( 2 丌) 一警i n 。z i 一；厶e x p 一j 1 ( 地- f z = t ) n 嘉( 现- f l = t ) 雪，。( 。7 现1 0 昂。) 如： = 2 p 1 e x p ：( t ，蚴) 协陬( 蚓。) 】 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 其中，y = 尥一。( n 露t ，a n ) ，所以由引理2 3 2 ， 即【( a * ；r 2j o ，易。) 】= ( q = t l o ，一n 船矿+ k ) = ( 2 霄) 一謦j n “f 冼矿+ 。r 。z 。，懈。唧 一；! ，( 口，n 船矿+ k ) 可) 由 令f l = ( 口7 n 船口+ 昂1 ) 一l 暑，扫- - - , y 1 ) = l a n 船口+ 知l i ， 因为 矿：n 署n 2 l n 蕊， q n 2 = 一q 1 2 q 暑n 2 l 所以， 矿n 矿+ = q 1 1 n 1 2 n 者n 嘧0 2 l n l l 2 + k = n i i 2 2 q 1 2 n 若啦! n 1 1 2 + = n 急一n l l 2 ) n 蕊+ 啊 = q 叠2 一k + 昂。 = q 矗2 即变换的矩阵是对角矩阵，且正定，所以；， 矿7 毗t 等价于讥 ( 口“n 毖n 。+ 啊) 一lo ”a , a t 所以，上式得 耵 to 一划。，k ) 】；( 撕) 一謦z “刚切，+ 确) 一。m 。唧 一；虻讥 由 ，掣i l 矿i l 矿+ j n )。口”i i 竹t l 。 j = 。( ( 口“n 船q + + 昂。) 一l a “f 2 2 2 t 1 0 ，昂。) 下面化简上式。因为o t * r f t n a * + 易，亍n 五2 同时，n “n 船= n 而q 1 2 n 嘉n 2 2 = q 磊q l l 。2 分别代入到( a ，q 船矿+ 奴) 一 a ”q 2 2 中，即 可得到( 口n 2 2 矿+ k ) 一言口“= f i l l 2 代入原式化简即可一 有了矩生成函数，就可以计算各阶矩通过上面两个定理，我们知道。偏态正态 分布和狭义偏态正态分布的矩生成函数是一致的，只与q 有关，而与偏态系数口的定 义方式无关，所以只要求出一种分布的矩，就得到了另一种分布的矩而由狭义偏态 正态分布中p l = 1 的情形，我们就可以求出由a z z a l i n i 定义的偏态正态分布的各阶 矩日m k i m ，b 。k m a u i c k 于2 0 0 3 年在( s 1 ) 中给出了s n 分布的各阶矩，可以看作本 节结论的特倪最后，我“1 将给出g s ( o mx i l m 的前三阶矩首先，绘出如下 引理 引理2 , 3 3 限，9 ，彤j ，引理 p 叶向量求导的连锁法则j 设墨。1 k 。1 ，磊。1 ，则 a z fo y 8 z | 8 za za y 丽。面万，丽2 丽撩， 第二章广义多元偏态肌分布 证明。只需证明第二个等式 ( 筹筹) 勺= 军0 豢q ) ( e ，筹勺) = r 丝a m 塑a x j = 豢勺 定义2 3 2 矩阵 称为m n 阶置换矩阵其中，点b ( m ，n ) 表示( mx n ) 阶矩阵，其第i 行，第j 列元素 为1 ，其他元素均为口 置换矩阵具有如下性质t 引理2 3 4 设a = ( 叼) 是m n 矩阵，则我们有 v e e ( a ) = 蜀。c ( a ) 磷。= 。，1 i n = 取1 = 厶 证明，只证明第个等式 mn v “( ) = 一( 叼奶( m ，n ) ) i = = l j = 1 nn = 僦( 勺( m ) ) t = l5 = i t nn = 一( 勺( n ) ( ”t ) a 勺( n ) ( m ) ) i = i j = 1 ”1” = m ( ( m ，n ) a ( m ，n ) ) = l j = l ”ln = ”e e ( ( m ，n ) a 岛m ，n ) ) = l j = l n怯 = 岛( m ，n ) 。( m ，n ) m ( a )1 i = l j = l = v e e ( a ) 吣 m o 耐陬 。m m m = n 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 引理2 , 3 5 限拍移 ( i ) 警= 2 m ，可s t a t _ ( 2 僦 等- d 百o ( d o = d ，酉o d e = t ，似。) 这里，岛x p 为对称阵，d k x p 为任意矩阵，知l 为向量 ( 2 ) 警= 训o x e m 懈。 ) 砺o y 这里，五矿z 分别为mx n ，n p 。口阶矩阵 ( 3 ) 乒= 等e 州知。巩) ( 荔。x ) ( 岛。 这里，x ，k z 分别为m t l ，i t , 口，pxg 阶矩阵，以，2 分别是m ，n 口阶的置换矩 阵 ( 4 ) 塑坠o t 业= 警。删妨警a t ”一”7a t 其中x ( o 是t 的标量函数，a ( t ) 是竹l n 阶矩阵，t 是向量 定理2 , 3 4 设随机向量：。l g s p 。( x l x p a ) ，其中，o = n 矗吼l ，则 e x = 豢器揣碱_。( 叫d ，h ) 、2 一 = 居吣， 其中，j p 。l = ( 1 ，1 ) 。一1 ( d id ，易，一1 ) 表示p ，一l ( d 。一1 ) 分布在0 处的值，等 干2 一o , l 一 证明t 令p c 皇，( o l o ，) ，则有 m ( t ) = 酝1 - 唧 ；( 加船t ) ) 。( f 2 z 引o 昂。) 利用引理2 3 1 和引理2 3 5 ，令n a p ，1 = ( m l ，唧1 ) 皇f h z t ，得 掣= 露1 唧n 船。) - 阳酬。舭i 1 - 2 f t 2 2 f ：+ 掣监糕掣】 = 芘1 唧似n 神) h 叫。舭t + f l 。x , 监警型 第二章广义多元偏态p 1 1 分布 因为 又因为 圣p