（理论物理专业论文）低温下电子气体的热容量.pdf

低温下电子气体交换能和的热容量 摘要 电子气体性质的理论研究虽然不是一个热门课题，前人都对此 做过深入的研究。就我们所知，目前关于电子气体的热容量性质研 究并不多i t , 2 l 。特别，至今还未见有人从第一性原理出发来计算电子 气体的低温热容量。这可能与热力学势中的交换项在低温下存在奇 异性有关。这个问题一直困扰着电子气体热力学势以及热容量的计 算，即t i n t 问e 3 ，4 1 。为了解决此奇异性问题，最近有人提出， 通过引入反常极化图形可以抵消奇异项【5 】。了 本文运用闭路格林函数方法，比较简明地导出了电子气体热力 学势的表达式，同时还得到了新的交换项。这个交换项在有限温度 下可以化为由虚时方法得到的形式，但在低温时它没有奇异性。因 此这种奇异性不是本质的，仅仅是个技术问题，无须引入反常极化 图形。这正是本文要得出的结论。由此可知，虽然闭路格林函数方 法和虚时方法在总体上是等价的，但在一些技术细节上前者优于后 者。 关键宇 闭路格林函数方法，热容量，电子气体 a b s t r a c t i nt h ec a l c u l a t i o no ft h es p e c i f i ch e a to ft h ee l e c t r o ng a si th a s b e e nt h ep r o b l e mt h a tt h et i n tt e r md u et oe x c h a n g eo c c u r sa tl o w t e m p e r a t u r e 1 】w h i c hi s n o ta c c e p t a b l ed u et ot h el i n e a rd e p e n d e n c eo n t e m p e r a t u r eo ft h ee l e c t r o n i cs p e c i f i ch e a to b s e r v e d i ne x p e r i m e n t s 2 】 i nr e c e n ts t u d i e s 3 】t h et i n tp r o b l e mw a sr e i n v e s t i g a t e da n di t w a s f o u n dt h a ti tc a nb ec a n c e l l e db yt a k i n gi n t oa c c o u n tt h ea n o m a l o u s d i a g r a m s 4 t h em a i np u r p o s eo f t h ep r e s e n tt h e s i si st os h o wt h a tt h i s l o g a r i t h m i cs i n g u l a r i t y i sn o te s s e n t i a la n dc a nb er e s o l v e db yt h e c l o s e d p a t hg r e e n l sf u n c t i o na p p r o a c hi nas i m p l ea n dt r a n s p a r e n tw a y w i t h o u tr e s o r tt oa n o m a l o u sd i a g r a m s b e s i d e s ，i tp r o v i d e sa ne x a m p l e w i t ht h i ss p e c i a lp r o b l e mt od e m o n s t r a t es o m et e c h n i c a la d v a n t a g e so f t h i sr e a l t i m eg r e e n sf u n c t i o na p p r o a c ho v e rt h ei m a g i n a r y t i m eo n e w h i c hm a yb eh e l p f u lf o ri n t e r e s t e dr e a d e r s ：w i t hh e l po fc a u s a l i t y r e l a t i o n s ( i et h er e l a t i o n sa m o n gt i m e o r d e r e dg r e e n l sf u n c t i o n s ) ，t h e c l o s e d p a t ha p p r o a c hc a nb eu t i l i z e dt od e r i v ep h y s i c a le x p r e s s i o n s o f as y s t e mi nas i m p l ea n dg e n e r a lw a ya n d ，i ns o m ec a s e s ，m a yb r i n gu p e v e nn o v e lr e s u l t sw h i c ha r eh a r d l yo b t a i n a b l ef o rt h ei m a g i n a r y t i m e a p p r o a c hb y m e a n so f a n a l y t i c a l c o n t i n u a t i o n s i nf a c t c a u s a l i t y r e l a t i o n sa r en o tl i m i t e dt o e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，b u ta p p l i c a b l e t o n o n e q u i l i b r i u ms i t u a t i o n sa sw e l l 5 k e yw o r d s c l o s e d p a t hg r e e n sf u n c t i o n ，s p e c i f i ch e a t ，e l e c t r o ng a s 第一章i n c o m i n g 绘景 1 相互作用绘景的一般形式 在量子力学中经常使用到两种绘景。其一是薛定锷绘景，在此绘景中力学量算 符a ，不随时间变化，态矢量矿。( f ) 满足薛定锷方程： 1 f 导i 帆( f ) = hi 虮( f ) ( 1 1 ) o l 其形式解为： i 缈o ) = e 1 ”i y ，( 0 ) ( 1 2 ) 另种则是海森堡绘景，其特点是态矢量l 矿。 不随时间变化，而力学量a 。0 ) 的演 化由海森堡方程决定： i o ，f a 。( f ) = a 。( ，x 日】 ( 1 3 ) 口 其形式解为： a h ( t ) = e i a r a h ( 0 k 。 ( 1 - 4 ) 由于绘景变换只涉及时间，与空间坐标无关，因此我们把场算符的空间变量略 去不写。物理上可观测到的是力学量的平均值，即： = ( 1 5 ) 这样就规定了两个绘景之间的变换关系 1 矿。 = e “1 y ；0 ) = l 矿，( o ) ( 1 6 ) a 。( f ) = e i h t a 。e 1 “( 1 7 ) 显然当f = 0 时这两个绘景重合，反之，两个绘景在t = 0 时可导出上述变换关系， 从而保证了两个绘景物理上的等价性。当然，绘景在物理上的等价性并不意味着它 们一定在f = 0 处重合，它们也可以在其它某个时候重合，这个性质在后面引入 i n c o m i n g 相互作用绘景时要用到。若把场的哈密顿量分成自由部分。和相互作用部 分片两部分，h = h 。+ h 1 ，则物理上还存在另外一种绘景，称为相互作用绘景 它介于薛定锷绘景和海森堡绘景之间。其特点是：态矢量的演化由“相互作用哈密 顿量”所决定，类似薛定锷方程；而力学量算符的演化由“自由哈密顿量”所决定， 类似海森堡方程。将相互作用绘景中的态矢量和力学量算符分别记作l 矿，( f ) 和 a ，( f ) ，并设它与薛定锷绘景之间的变换关系为： l ，o ) = r ( f ) l 致( f ) ( 1 8 ) a ，( f ) = r ( t ) a ，( o r 。0 )( 1 9 ) 其中尺( ，) 是一个待定的变换矩阵。首先，由于绘景变换不能改变力学量的平均 值，这就要求r ( t ) 必须是幺正的，即r ( f 扭+ o ) = 绘景的基本要求，我们只需取月( f ) 使之满足方程： ，杀月( ，) = 一月。溉 或 1 。为了满足上面所讲的相互作用 ( 1 1 0 ) f 言r + ( t ) = h 。月+ ( f ) ( 1 1 1 ) 即可。事实上，由薛定锷方程( 1 1 ) 和r ( r ) 的( 1 1 0 ) 、( 1 1 1 ) 可得到态矢量得运动方程 f 未l ( r ) = h j ( f ) i 妒，( f ) ( 1 1 2 ) 其中“相互作用哈密顿量”h ，( f ) = r ( t ) n 。r 。( ) 。同样对式( 1 9 ) 进行对时间 求导得到场算符得自由运动方程 f 芸a ，( f ) = 【a t 0 x h 。，o ) d f ( 1 1 3 ) 上式中的“自由哈密顿量”定义为h 。( f ) = r ( f 归。r 。( f ) 。由此可知关系式( 1 8 ) 、 ( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 定义了一般形式的相互作用绘景。具体形式的相互作用绘景有待于方程 ( 1 1 0 ) 的求解，它依赖于对初始条件的选取。在求解尺( f ) 的具体形式之前，我们先作 一般形式的讨论。把式( 1 1 2 ) 写成积分方程的形式： ，p = i 坼t o ) 一i f d t 日，“) 忻。) ( 1 1 4 ) 对上式进行逐次迭代后得到： l ，t ) = u ( t ，t 。) l y ，o 。) ( 1 1 5 ) 上式中的演化矩阵u 可表示为： u ( t ) = ( 一f ) ”f 巩r d t 。h ，t 1 ) h ，( 屯) ( 1 1 6 ) 定义多元阶跃函数 o ( t ，f ：，) = 口( f 。一r ：p 0 ：- t ，) o ( t 。一一t 。)( 1 1 7 ) 可将式f 1 ，1 6 ) 中对时间积分的上限都扩充到t ，得到： u ( “。) = ( 一妒d t 。f 出。口( “o o 归，州，0 。) ( 1 1 8 ) 显然上式对下列形式的变量置换： t 】_ t f ，t 2 _ t b ，t 。_ f h ( 1 1 9 ) 不变。这样的置换共有n ! 种，每一项的贡献都相同，相加后再除于剐便得到： u t , t o ) = 薹与f 巩f 矾巾丢m o ( t i , t l z , , t i ) h ，k ) 日，k ) ( 1 z 。， 上式中的p 1 ，2 ，h 表示对h 个积分变量t ，t ：，t 。的所有可能的置换现在定义 7 算符使得： 丁t 1 ) h ，p 。) 】= 巩气，o 归，日， ( 1 2 1 ) 以上的r 算符就是编时算符。事实上，由多元阶跃函数的定义，对于给定的 i t , t 2 ，t 。，必定有一个时序关系，不妨设t f t 。，于是上式右边只有 o ( 1 t 1 t ) = l ，其余的项全为零，从而有： r i h ，( f ) h ，( f 。) = h 。，h ，( f 。) ( 1 2 2 ) 这正好表明上式中的7 算符是编时算符。于是我们可以将式( 1 2 0 ) 写成简单的形式： u ( 州。) = t e x p l i f h ，( f l ( 1 _ 2 3 ) 上面得到的u 矩阵在量子场论的微扰理论中有非常重要的地位，它具有下列性 质： ( 1 ) 群的性质，即u ( f ，t 。妙0 ，f 。) = v ( t ，t 。) 。 为了证明这一点，我们只要将式( 1 1 5 ) 改写成： i p ，( f ) = u o ，t ，) i 妒，0 ) = u ( f ，f 妙o 。，t 。) l ( f 。) ( 1 2 4 ) 并与j 弘，( f ) = u ( t ，f o ) j y ，k ) 进行比较，便立即得到上面的结论，特别有 u ( t l ，2 ) = u “( f 2 ，t 】) 。 ( 2 ) 幺正性，即u + o ，妙o ，r 。) = 1 由此就可得到u 矩阵的运动方程： f 兰u o ，“) = h ，o p o ，“) ( 1 2 5 ) u l 其共轭方程为： 3 f 导u + ( r ，b ) = 一u + ( f ，f 0 ) ，o ) ( 1 2 6 ) 删 以上两式给出 j 兰眇+ ( t , t o 矽( r , t o ) ：0 ( 1 2 7 ) 考虑到u ( f ，t d ) = u + ( f ，t o ) = l ，上式就完成了所需的证明。 到现在为止，我们还没有给出矩阵的具体形式，这是因为以上的讨论于此无 关。但对于实际应用，必须知道它的具体形式。为此以下我们来求解u 矩阵的具体 表达式，为此我们考虑式( 1 1 0 ) 的解，它可一般地表示为： 尺“) = e f f l t o e “o ( h o ( i 2 8 ) 此解的含义是在r = “时相互作用绘景和海森堡绘景重合，即l 妒，( f 。) = l 。 。取不同的t 。原则上可以得到不同的相互作用绘景，但就目前我们所知道的， 下面两种取法是最常用的：一种取法是t 。= 0 ，这时得到的解尺0 ) = e 肌，这样就 规定了一个相互作用绘景，它与海森堡绘景和薛定锷绘景在扭0 时重台，即： l 妒，( 0 ) = l 矿。( 0 ) = i y 。 ( 1 2 9 ) a ，( 0 ) = a 。= a h ( o )( 1 3 0 ) 这是在目前量子场论书籍中所常见的相互作用绘景。由式( 1 6 ) 以及式( 1 8 ) 可得到相互 作用态矢量和海森堡态矢量之间的变换关系 l y ，( t ) = e i h 。t p 一曲ij = e i h a t e 一曲i 肌( o ) ( 1 3 1 ) 若将相应的u 矩阵记作u ，则有 u i ( t , o ) = e i h d e 一“( 1 3 2 ) 由上式得到 u ( f ，f o ) = u 。( f ，o 妙】( o ，t o ) = e i h o i p “( “) p 1 ( 1 3 3 ) 再由式( 1 7 ) 和( 1 9 ) 得到相互作用场算符与海森堡算符之间的变换关系： a ，( t ) = u ( r ，0 ) a 。( f 妙1 - 1 ( f ，0 ) ( 1 3 4 ) 特别有h 。，) = h 。，即自由哈密顿量不变。 。 2 一种新的相互作用绘景 在描述量子场论过程中需要引入相互作用绘景。常见的相互作用绘景是在扛0 时与薛定锷绘景及海森堡绘景重合的。而实际上，我们也可以定义一个新的相互作 用绘景，使得这个绘景在f 一时与海森堡绘景重合。 假设海森堡绘景的波函数为y 。，我们所定义的相互作用绘景的波函数为，则 ( 一。) = 矿。就成为推导相互作用绘景性质的出发点。从这个式子可以看到，这样的 初始条件更符合场相互作用逐渐引入的绝热假设。在引入这个相互作用之前，我们 还需要引入一个很重要的定理，即l i p p m a n n s c h w i n g e r 定理。这个定理是建立在通 常的相互作用绘景基础上的。因此，定义的入射态为i 盘，i n = u ，( o ，o 。) i ，此定 理的大意为： 设l n 是场的自由哈密顿量日。的本征态 日o la = e i a ， ( 1 3 5 ) 则入射态是场的总哈密顿量h 的本征态 h l 口，i n = e i 口，i n 。 ( 1 _ 3 6 ) 证明如下： 设t 兰0 ，根据绝热假设 u i ( o ，一) in = l a 一i p 。毋日，( f 。) in + ( _ f ) 2 d t ，cd t ：日“”o h ，t 1 ) h ，( f ：) l 口 + ( 1 3 7 ) 上式中的因子是为了保证f 呻一时相互作用消失，这正是相互作用绝热假设的 含义。现考虑积分： p 。毋，t t ) ln = i 。d t t e a l e i h d , 肌“呐l 盘 ：fd t l e 一( e - h o + i g h h i 以 ( 1 3 8 ) 由于日是薛定锷算符，不含时间，因此完成对上式的积分后得到： j d t j e e , h ，( f 1 ) j 日 = e - i ( f - h o + i e ) qi 彘h i n ( 1 3 9 ) 依次类推可以得到 fd t r 。m 。e 却- 。“1 h ，( r ) h i o 。) i n ：f f 1 ”p 一( e - h o + n i e ) t l 一1 、! e h 、+ h i e 4 z e 赤h h o + _ 一l ， h 一 e h n + i h 1 i a ( 1 4 0 ) 取扛0 并考虑到j 0 + ，合并式( a 2 3 ) 至( a 2 6 ) 可导出： l广1 l 。” = i d + l 南1 l l 口 + l 南| + i l = l + = _ i b h l n ，i n ( 1 4 1 )。 一。+ f 。 、 上式两边乘以算符e 日。+ 汜，并考虑( a 2 1 ) 式便有： ( 一h o ) i 口，i n = h 1 日，i n ( 1 4 2 ) 将上式左边的h 。移到右边便完成了证明。此外，式( a 2 2 ) 还可以写成 h u ，( 0 ，一) l d = e u ，( o ，一) i “ = u ，( 0 ，一) h 。i 口 ( 1 4 3 ) 由此我们可得到一个重要的推论 h u l ( 0 ，一o 。) = u 1 ( o ，。归o ( 1 4 4 ) 现在可以讨论新的相互作用绘景了。考虑式( a 2 8 ) 在f _ o 。时的极限，可得到另一 个解 r 2 ( f ) = l i m ( e i h t 。e 1 h o t o “。= u 。( o ，- - - o o ) e i l f 。t ( 1 4 5 ) 利用上面的推论( a 2 1 0 ) 式，变换矩阵也可以表示为： r ：( f ) = e r a u ，( o ，o 。)( 1 4 6 ) 由这个变换矩阵所定义的相互作用绘景称为入射绘景，通常将入射绘景中的场 算符记作a 。( f ) ，简称i n 算符，它与薛定锷算符以及海森堡算符之间的变换关系为： a 。( f ) = e i m u 。( 0 ，。o ) a ，u 1 - 1 ( o ，。k 一” = e u 1 ( o ，一弘1 ”a 。e 。u t - l ( o ，一k 一” ( 1 4 7 ) 入射绘景的一个非常有用的特点是它的“自由哈密顿量”h 。正好就是场的总 哈密顿量。事实上由推论式( a 2 1 0 ) 可立即得到此结论： h 。0 ) = p ”u ( o ，一o o ) n 。u 。( 0 ，。o k 一“= h( 1 4 8 ) 上式告诉我们，若把总哈密顿量h 中的场算符用相应的i n 算符来代替，则它就 被对角化为自由哈密顿量。从( a 2 1 4 ) 式看到，i n 算符有下列性质： a 。( f ) = e h t a 。( o 。” ( 1 4 9 ) f 兰a 。0 ) = a i , 0 x 日】 ( 1 - 5 0 ) 因此，i n 算符既是海森堡算符，又是自由场算符。因为由式( a 2 1 4 ) 它满足自由场的 运动方程 j ，o a 。( f ) = 【a 。( f ) ，h 。( f ) 】 ( 1 5 1 ) 根据u 矩阵的定义以及入射绘景的初始条件，入射绘景中的u 矩阵表示为 l ，( t ) = u ：( f ，。) l 矿，( 一。o ) = u ：o ，一) iy 。 ( 1 5 2 ) 与式( a 2 1 3 ) 相比较便有： u 2 【f ，o 。) i 妒h ( 1 5 3 ) 以上我们便阐述了i n c o m i n g 绘景的总体性质。 第二章统计平均的闭路格林函数理论 2 1 统计算符 通常往往只考虑算符的编时乘积对真空态或基态的平均值它们实际上都是 零温度情形下的平均值但实际的物理现象都发生在有限温度下，此时系统不会处 于某一纯态上，而是以某种机率甜出现在某个量子态1 ) 这样力学量a 的平均值 应表示为 辑) = ，wz ( 咿，肌，) ( 2 1 ) 它称为统计平均值或系综平均值若引入系综的统计算符( 又称密度矩阵) 卢= ，h ，i v , j ) ( v ， 则( 2 1 ) 可以写成为下面的求迹形式 晤) ：什 ( 2 5 ) 这里k 。是玻耳兹曼( b 0 1 t z m a l l ) 常数对正则系综，根据能量守恒以及归一化条件 t r i p j _ 1 ，引入拉格朗e l ( l a g r a n g e ) 不定乘子并定义泛函 6 于是由极值条件 得到 t ， pl 币 一肛7 1 r 卢白 一九丁， ( 2 6 ) 5 f p = 一丁p =0 ，一 h n r 、 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 在得到上式时我们已经对p 进行了归一化由统计物理知识知道卢= k b t ，t 是系 统的温度对巨正则系综，还要考虑到粒子数守恒( 即【前疗j = o ) 的约束条件，这 就需要引入与化学势有关的不定乘子，由此可得到巨正则统计算符 p = 了；：! ；i 等哥= c x p _ ；b n 一芦( 由一p 前) ( 2 9 ) 其中n = 一卢一tj - 1 1 h 叫( j 一一衲是系统的热力学势以下如无特殊说明，我们取刍为 巨正则统计算符若要得到正则系综的相应结果，只需命= 0 即可 2 2 统计平均值和维克定理 首先考虑自由场算符编时乘积的统计平均值，相应的统计算符记作卢n 为了 书写简便，以下我们再次略去算符上面的帽子 g ( r i ，x 。) = t r p o t a 。0 【) a ，0 。) ( 2 1 0 ) 这里的a 斯) 代表自由场算符毋( 一) 和母一( ，它们可以是玻色场，也可以是费米场 系统的粒子数算符为 n = f c p + 讧) 旺) 易知下面的对易关系成立 ( 2 1 1 ) m ，0 ) ， 1 = 一m ，0 ) 其中i = 一l ，当爿，0 ) 2 0 ) ：a = i ，当一0 ) 2 庐+ 0 ) 由此得到 ( 2 1 2 ) p i l a ，( x ) p o =e 2 卢f e i h o ( 卜。爿f ( ；，o ) e - i f l o ( 。一7 = p 一1 鼬a 。口，一印) = p 邛“音+ a u ) a 。0 ) ( 2 1 3 ) 利用粒子数守恒，即n 和h 。对易，由上式得到 或者 a j ( x ) p o = e 一。告+ ir a ) p o a ， )( 2 1 4 ) p 一，“) x j ( x ) p 【 = i p 似，- 杀- 0 4 0 p 0 一，( x ) r 2 l s ) 这样我们导得了一个很有用的关系式 p o “。o ) = 一( ，音+ f ) p o ，爿，( x ) 2 r 2 1 6 ) 其中口，切= = a b b a ，微分算符赶定义为 = ( 暗+ 抽) = 1 。坝，- + 2 i t ) ( 2 1 7 ) 再利用恒等式 n 7 ，“p o a ，0 2 ) 凹。0 3 ) ，a ，0 4 ) 】7 一，0 4 ) 一，0 ”) + + ( ) ”r r o o a ，0 2 ) ，a j 0 ，1 ) 口。扛1 ) ，a i ( xn ) ； ( 2 1 8 ) 以及关系式( 2 1 6 ) 可得到 丹l o o a 0i ) a ，0 一) = _ i 【= ( f 音+ a f ) n p 0 口。扛1 ) 一，0 2 ) 】；a ，0 3 ) 一，o ”) + + ( ) 一? 1 r ( 2 1 9 ) 特别有 以及 t r p t a ，( 托) a 。( v z ) = k ( i 音+ a ) 阻，( ) ，a i ( 2 ) + 5 ( a ，“lmr “二) ) r 2 2 0 ) n p o a 。0 ) =0 ( 2 2 1 ) 最后这个等式可由( 2 1 2 ) 得到因此我们只需考虑n 为偶数的情形耐自由场，( 2 1 9 ) 中的每一对算符经过对易后都已成为一个c 数，可以从方括号中提出来，余下的算 符可以重复利用关系式( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 直止每对算符都成为c 数不难看出其 最终结果是 n hj a ，( 1 ) a ，0 。) p ：，：。“i ( ) ”( a ，“i ) a ，( - ：) ) ( - ( j h ) az ( “) ) r 2 2 2 )i f 、r 一i ，l 求和式下的p ( 1 ，j ：，一，) 表示由排序( 1 2 ，n ) 置换成( 1 ，j z ，j ，t ) 所需要的 置换数，不等式， j t 表示在求和式( 2 2 2 ) 中，对任意一对统计平均 ( ，( 。，) a ，( x j 。) ) ，均需满足i y 。i + 1 现在再把( 2 1 0 ) q b 的编时算符考虑进去，便 导得维克定理 n + 【烈舭_ 。a 2 鼍耕0 2 。) ( + 嘲( t ) az ( x j 二 ) r 2 4 8 ) e h ( 2 5 2 ) 平1 1 ( 2 5 3 ) 可得到 g ，y 【x 2 ) = g + + ( x l ，。2 ) 一g + ( i ，x 2 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 3 ) 以及下面各式中的对易式对应于玻色场，反对易式对应于费米场同样由超 前格林函数的定义 可知 g n ( l - x2 ) = i o ( t ：一r 1 ) t r a ( x j ) ，a ( x 2 ) t f 2 5 0 ) 在格林函数理论中还经常用到关联格林函数，其定义为 引入矩阵记号 。c j ，y ，= c g 叩c x ，y ，= 詈：；：；罢： ：； c z s ， g c 工，= c g 。c 工，= ( g ，：，妻：； ( 2 5 4 ) 其中希腊字母口，= + ，一，而拉丁字母i ，j = 1 , 2 ，上述( 2 5 2 ) ( 2 5 7 ) 诸变换关系可以 统一地表达为 g ( x ，y ) 2q g ( x ，y ) q 一1 r 2 5 5 ) 其中 州= 湖i 1 亿s 6 ， 这里我们己约定 q 1 + = q i i = 1 ，0 1 一= q i2 = 一1 0 2 + = 0 2 i = 1 ，0 2 一= q 2 2 = 1 于是( 2 ，1 2 0 ) 可用分量表示为 g o ( - r ，y ) 2 q r “q j ? g a p 0 ，y ) ( 2 5 7 ) 1 4 特别有g r 2 g ! l 2 0 - “q t 口g 即。上述关系可以推广到多点函数 g j = 2 q ，。m q 。瓯。g 。协。 ( 2 5 8 ) 其中分量g 2 | 1 ，g - 1 2 分别是多点推迟和超前格林函数例如3 阶推迟格林函数 的定义为 g r “i ，y2 ，x3 ) = 一0 ( t 1 1 2 ，f 3 ) ( a ( 】) ，a ( x 2 ) + 1a ( ￥3 ) ) 按( 2 6 3 ) 它可表达为 g 2j j 一0 ( t ，t3 f ! ) ( 【 a o i ) 、a 0 3 ) t ，a ( 、：) ) f 2 5 9 ) 关于( 2 6 3 ) 的其它分量的含义可进一步参考闭路格林函数理论的有关文献 2 5 2 甲l | j 夫糸 在实际物理问题中经常遇到两点格林函数的串联关系 d p ( x i ，x2 ) = 。d 4 上3 ，( rj ，￥、) 马，( t j ，j2 ) 5 j p d 3 a p 0 3 ) b p ( 3 2 ) ( 2 6 1 ) 其中a ，和b ，为任意的两点闭路格林函数把上式化成单时形式后再用上面定义 的矩阵表示之，有 b ( 1 2 ) = d 3 ( 1 3 ) 仃3 b ( 3 2 ) ( 2 6 2 ) d ( 1 2 ) = 奶 ( 1 3 ) 口l b ( 3 2 ) ( 2 6 3 ) 上两式中的仃3 ，。- 是泡利矩阵( 2 6 3 ) 的分量形式是( 略去积分号) 旧咎ba ，a 繁ca 。耳 汜斛， l d ，e l 4 ，+ 。耳 ”7 上述串联关系可推广到多点串联的情形例如由 相应的推迟格林函数为 d p ( 1 2 ) 2 l d 3 ，( 1 3 ) b ，( 3 4 ) c r ( 4 1 ) ( 2 6 5 ) d r ( 1 2 ) = s 以, t 4 a ，( 1 3 ) d 一( 3 4 ) c r ( 4 2 ) f 2 6 6 ) 我们特别感兴趣的是含占函数的串联关系例如将真空场论中q e d 的戴逊方程 推广到有限温度情形，得到 j 。= g ，( e ：) 厂p ( r j ) 这里鄙( 一，) ：d 3 瞬一歹) d ，( ，。一f 、) ，其中闭路j 函数的定义是 8 p ( t - t ) = 缸( t - t ) = 6 ( t t ) ，f ，t f 6 ( t f ) ，f ，t f 一 0 ，t t t f 0 ，t t t f 一 把( 2 1 3 2 ) 写成分量形式 d 4 z c j + + ( y ，z ) v + + ( ：y ) 一g + ( x ，z ) r 一( 己- 、1 ) 】= 一5 4 0 ，y ) 0 经过简单的代数运算得到 6 4 ( ，y ) ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) ( ( j + + 一g + ) ( r + + 一f + ) 一( g g 一一) ( r f 一一) = 0 r 2 7 3 ) i j i t ( 2 5 2 ) 可知，二阶顼角函数的单时分量满足关系 ( 2 7 4 ) 这表明闭路格林函数的时序关系( 2 5 2 ) 通过戴逊方程传递给了顶角函数这是闭 路格林函数理论中的一个重要结论根据顶角函数的这一性质我们可以定义推迟 顶角函数 f ，= f + 一一f + 一= f 一+ 一f 1 6 ( 2 7 5 ) 于是得到推广到有限温度时的表式 得到 其中 _ ( ，y ) 2 ( 卧o p + ) 醪“，? ) + ，y ) 晓7 6 ) r r ( j - y ) 20 5 r 0 ”+ ) d 4 0 一y ) + r ( ，y ) r 2 7 8 ) 2 5 ，= + + 一+= 一 ( 2 7 9 ) 是电子的推迟自能下一节中我们将证明它正是虚时温度场论中电子自能经解析 延拓后的结果由 s f ( p ) = s f ( p ) + s ，( p ) ( p ) s ，( p ) ( 2 8 0 ) 可知，电子的闭路戴逊方程为 g p = g g + g 2 f g p 根据串联关系( 2 7 1 ) ，推迟形式的戴逊方程为 g ，= g ：+ g ? ，g ， 它实际上就是虚时温度场论中相应的戴逊方程经解析延拓后的结果 2 , 6 k m s ( k u b o - m a r t i n - s c h w i n g e r ) 条件 ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) 虚时温度