（光学专业论文）超短脉冲光束在自由空间中的非傍轴传输.pdf

摘要 本文在理论上研究了激光在自由空间的传输特别是超短脉冲激光的非傍轴传输问 题。文中首先回顾了近年来对激光在自由空间中传输的研究进展，并讨论了非傍轴传输 的研究意义。然后分别得到了自由空间中傍轴脉冲解的标量和矢量非傍轴修正。并对脉 冲频谱特性对其非傍轴特性的影响进行了讨论。全文分五章，第一章为前言，第二、三、 四章介绍作者于攻读硕士学位期间在胡巍教授指导下所做的部分工作，第五章为结论。 第一章：本章回顾了超短脉冲光束传输的研究进展并讨论了超短脉冲光束非傍轴传 输研究的意义。 第二章：本章讨论了脉冲光束的标量基本传输方程。基于上述方程，分别用角谱分 析法和微扰法得到了脉冲光束的非傍轴修正，并对这两种方法所得结果进行了比较。通 过与数值结果的比较，对所得修正的可靠性进行了分析。 第三章：这一章在脉冲矢量传输基本方程的基础上，分析了矢量效应对脉冲光束非 傍轴修正的影响，并基于此分析以及第二章所得结果，得出了脉冲光束的矢量非傍轴修 正。 第四章：在这一章里讨论了脉冲频谱性质对其非傍轴特性的影响。首先分析t t i 短 脉冲的光谱性质对其傍轴近似条件的影响，然后分别讨论了啁啾脉冲的非傍轴性质以及 不同脉冲形式所导致的不同非傍轴特性。 第五章：结论与展望。 关键词：激光；超短脉冲光束；非傍轴修正；矢量。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r 曲ep r o p a g a t i o no ft h ep u l s e db e a m ，e s p e c i a l l yt h en o n - p a r a x i a lp r o p a g a t i o no ft h eu l t r a s h o r tp u l s e db e a m i si n v e s t i g a t e di nt h e o r y t h ep a p e ra n a l y z et h e p a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ，a n dt h es c a l a ra sw e l la st h ev e c t o r i a ln o n p a r a x i a lc o r r e c t i o no f t h eu l t r a s h o r tp u l s e db e a ma l eo b t a i n e di nf r e es p a c e t h e nt h ei n f l u e n c eo ft h es p e c - t r u mp r o p e r t yo nt h en o n - p a r a x i a lp r o p e r t yo ft h ep u l s e db e a m i sd i s c u s s e dt h ep a p e r i sc o m p o s e do f5c h a p t e r s ，a m o n gw h i c ha r e ，c h a p t e r1i sas u r v e 孔c h a p t e r2 , 3 ，4a r et h e i n t r o d u c t i o n so fm yo w nw o r ku n d e rt h eg u i d e n c eo fp r o f w e ih u i nm y g r a d u a t e c a r e e r c h a p t e r1 ：t h ed e v e l o p m e n t o ft h ei n v e s t i g a t i o na b o u tt h ef r e e p r o p a g a t i o no fu l t r a - s h o r tp u l s e db e a mi si n t r o d u c e d ，a n dt h en e c e s s i t yo ft h ei n v e s t i g a t i o na b o u tt h en o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o n o ft h eu l t r a - s h o r tp u l s e db e a mi nf r e es p a c ei sd i s c u s s e d c h a p t e r 2 ：i nt h i sc h a p t e r 。t h eb a s i cs c a l a rp r o p a g a t i o ne q u a t i o no f u l t r a - s h o r tp u l s e d b e a mi nf r e es p a c ei sd i s c u s s e d b a s e do nt h eb a s i ce q u a t i o n ，t h en o n p a r a x i a lc o r r e c t i o n o fp u l s e db e a mi so b t a i n e db yt h es p e c t r u ma n a l y s i st e c h n i ca n dt h ep e r t u r b a t i v et e c h n i c r e s p e c t i v e l y t h er e s u l tf r o mt h ea b o v em e n t i o n e dt w ot e c h n i c s a r ec o m p a r e dt oe a c h o t h e r ，t h er e l i a b i l i t yo ft h ec o r r e c t i o ni sa n a l y s e dt h r o u g ht h ec o m p a r i s o nb e w t e e nt h e t h e o r i t i c a la n dt h en u m e r i c a lr e s u l t c h a p t e r3 ：t h ei n f l u e n c eo fv e c t o r i a le f f e c to nn o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o no fp u l s e d b e a mi sa n a l y s e db a s e do nt h eb a s i cv e c t o r i a lp r o p a g a t i o ne q u a t i o no fu l t r a - s h o r tp u l s e d b e a mi nf r e es p a c e o nt h eb a s i so ft h ea n a l y s i sa n dt h er e s u l to fc h a p t e r2 ，t h ev e c t o r i a l n o n - p a r a x i a lc o r r e c t i o no fu l t r a - s h o r tp u l s e db e a m i so b t a i n e d c h a p t e r 4 ：i nt h i sc h a p t e rt h ei n f l u e n c eo ft h es p e c t r u m p r o p e r t yo nt h en o n p a r a x i a l p r o p e r t y o ft h ep u l s e db e a mi sd i s c u s s e d ：f i r s t l yt h ei n f l u e n c eo ft h es p e c t r u m p r o p e r t yo n t h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o no fp u l s e db e a mi s a n a l y s e d t h e nt h en o n p a r a x i a lp r o p e r t y o fc h i r p e dp u l s e db e a ma n dt h ev a r i a t i o no ft h eu o u p a r a x i a lc o r r e c t i o ni n d u c e db yt h e v a r i a t i o no ft h ep u l s ef u n c t i o na r er e s p e c t i v e l yd i s c u s s e dt oi l l u s t r a t et h ei n f l u e n c eo ft h e s p e c t r u mp r o p e r t yo nt h en o n - p a r a x i a lp r o p e r t yo ft h ep u l s e db e a m c h a p t e r5 ：t h ec o n c l u s i o n ， v k e y w o r d s ：l a s e r ；u l t r a - s h o r tp u l s e db e a m ；n o n p a r a x i a lc o r r e c t i o n ；v e c t o r v i 致谢 在即将完成硕士学业之际，我要衷心感谢每一位关心和帮助过我的良师，益友，同 窗，他们的帮助、关照和支持，使我在攻读硕士学位期间充满快乐和充实。 衷心感谢我的导师胡巍教授，感谢他三年来在学习和工作上悉心的教导，感谢他在 生活所给予的关怀和勉励。他严谨的治学态度，丰富的物理知识，良好的心态以及营造 的温馨的家庭，都是我永远的学习楷模。 感谢郭旗教授，郭弘教授，刘承宜教授和徐文成教授，从他们那里学到的知识或讨 论常常能使我得到有益的启发； 衷心感谢贺浪萍老师，从入校到成为一个合格的硕士毕业生，与他对我的关心和帮 助是密不可分的。 感谢马楚华老师在生活和工作中的照顾和支持，使我能安心的搞好学习和工作。 衷心感谢王学文老师和刘小娟老师，在我读本科的时候，他们给予的帮助和教导， 使我有机会踏进科学研究的大门。 感谢传输光学实验室的所有同学，与他们共享知识的、物质的和快乐的资源，都使 我受益匪浅。 特别感谢我的家人，他们对我的宽容、理解和支持，是我人生中信心、力量和欢乐 的源泉。 本文受到国家自然科学基金重点项目( n o6 0 2 7 8 0 1 3 ) 、广东省团队项目( n o 2 0 0 0 3 0 6 1 ) 、教育部霍英东基金( i 4 0 8 1 0 5 8 ) 和国家高技术8 6 3 计划的资助。 第一章引言 近几年来，随着固体激光器技术的发展，人们已经能够产生几周期甚至是亚周期的 脉冲光束，无论在自由空间，线性介质还是非线性介质中，其传输性质都由于时空耦合 效应的存在而与一般光束有着很大的区别，诸如时间微分效应、光周期缩短、脉冲的时 间延迟、红移、空间诱导色散等许多超短脉冲所特有的效应都得到了深入的研究。 在进行这些研究时，基本上都是在傍轴近似的条件下进行的。在一般情况下，如果脉 冲中每一频谱分量的发散角足够的小，且柬宽比波长要大得多，傍轴理论能够较精确地 描述脉冲光束的传输行为。但如果光束的束宽小到与波长相当时，傍轴理论不再满足精 确地描述脉冲光束的时间和空问分布的要求，此时我们有必要对光场进行非傍轴修正。 1 1 超短脉冲光束自由传输研究的回顾 由于强激光场具有功率高，功率密度大，与物质相互作用时间短，非线性和光束衍射 效应以及光束空间时间分布耦合复杂，光束质量难于控制等新特点，故寻求一些新的， 在物理分析上更清晰，物理意义更明确的方法是十分必要的。 对束宽较大，远场发散角较小的长周期脉冲的传输，标量近似和傍轴近似下的衍射 理论可以很好的描述只有空间变量的光束的传输1 - 9 对于超短和超强脉冲光束的传输， 包含时间和空间变量的激光传输理论不得不被考虑在理论上，有几个组已经利用了一 系列的方法和技术很好的讨论了超短脉冲的传输，比如傍轴近似，标量近似，矢量分析， 缓变包络近似( s l o w l y v a r y i n g - e n v e l o p - a p p r o x i m a t i o n s ( s v e a ) ) ，以及复解析信号理论( c o m p l e xa n a l y t i c a ls i g n a l ( c a s ) t h e o r y ) 等等。 在探求超短脉冲光束的符合物理意义的解析解方面，已经有了一系列的成果： i ) 对于等衍射脉冲光束，由于高斯函数的特殊性，在1 9 9 8 年p o r r a s 发现了时空耦 合的超短脉冲高斯光束解”继而，又在此基础上于1 9 9 9 年发现了一类任意函数来描写 脉冲形状的超短脉冲光束解“ e ( r 商归警，( ，一面r 2 ) ( 1 1 ) 口、z c a ， 这一组解中，脉冲光束的时间和空间部分的耦合关系由式中f ( ) 函数所决定，其中已经 包含了超短脉冲高斯光束解。这组解中各频谱成分的衍射距离是相同的可用以描述具 1 第1 章引言 有等价共焦腔的谐振腔所产生的脉冲激光的传输性质； i i ) 对于各频谱分量等束腰的情形，直接从波动方程得到解析解是很困难的，因此， a f l 用了微扰和角谱分析的方法”，分别求得了在此情形下的级数形式的解析解。其中 用微扰法得到的解的形式为 艄“哟= ( 署) ”杀筹( 鲁警) 。， 用角谱分析法得到的解的形式为 r_ 一n 十1 “ k 两协( 一去b ) ”l 吧 f 1 3 ) 从本质上讲，二者的结果是相同的，这从二者的低阶可趋于一致就可以看出； i i i ) 应用s v e a 所得到的解会出现负频率”，这会导致空间奇异性的产生”因此一 种新的理论，即c a s 理论1 被提出，这一理论很好地解决了空间奇异性的问题。 超短脉冲光束区别于长脉冲的最明显和最重要的一个特征是即使是在自由空间中传 输，激光脉冲在传输过程中的时空耦合也会导致脉冲光束的形状改变”3 1 。在这一方 面，已经有很多效应得到了研究。诸如：g o u y 相移导致脉冲的时间不稳定性3 0 _ 3 7 ，在任 意起始时空脉冲光束形状的远场行为的条件下的时间演化的普通模式”，”，以及在线性 均匀非色散和色散介质中的传输性质的研究2 6 2 7 等等都已经被报道。根据m a x w e l l 方程 组，应用z i o k o w s k i 等人从自由空间波动方程发现的方法和h e r t z 势的分析，准确的解已 经被用理论和数值计算的方法分析过扯3 7 ，这些解可以描述单周期脉冲变化规律。这些 结果显示：( i ) 聚焦光束的g o u y 相位移动导致了时间的形状改变及单周期极化反转； ( i i ) 得到的解析解的实部和虚部之间是符合h i l b e r t 变换的，同样的c a s 理论得到的解 也满足这个变换；( i i i ) 这些傍轴近似解是开放腔的自然时空模式。另外一些不同的方法 和技巧也被应用进来，比如著名的g a u s s 光束的a b c d 矩阵”。一系列时空不分离的 描述时空动力学的同衍射( i s o d i f f r a c t ) 的单周期和少数几个周期并且有横向为h e r m i t e g a u s s 或者l a g u e r r e g a u s s 形状的脉冲的解析解已经被提出。同时，自由空间中 的超光速现象也得到了很好的研究3 8 4 1 1 2 超短脉冲非傍轴传输的研究意义 在1 1 节中提到的关于超短脉冲传输性质的研究工作中，大部分是基于标量傍轴近 似的基础上进行的。这一处理为研究提供了方便，同时，在光束的束腰远大于其波长， 2 篁! 童! ! 宣 光束的发散角很小时可以对脉冲光束的传输行为提供较为准确和有效的描述。但是，对 于束腰小到可以与其波长相比较，或者光束的发散角很大的脉冲光束，诸如高度聚焦的 或者是半导体器件所发射的激光，傍轴条件则不再成立，不能再在傍轴近似下处理脉冲 光束的传输问题。对于这些脉冲光束，需要考虑直接求非傍轴解或对已知的傍轴解进行 非傍轴修正，以趋向非傍轴解。而由于数学上的限制，直接求非傍轴解是很困难的。因 此人们一般采用对傍轴解进行非傍轴修正的方法。 对于不含时的纯光束的非傍轴修正，已经发展得比较成熟：l a x 在1 9 7 5 年就提出了 以( k 1 d o ) - 1 为量级的微扰法来处理这一问题”。这里k 是波数， o 是束宽。在此之后，又 有许多研究工作对高斯光束或其它类型的光束进行了非傍轴修正4 3 “。继而，w i i n s c h e 通过引入两个相关的变换“，可以在不同的初始条件下将任意的傍轴解变换到h e l m h o l t z 方程的非傍轴解。但限于所用工具的复杂性，对于具体光束的应用来说通常都是很复杂 的。c a o 在其后用傅里叶变换的方法来处理这一问题船，”，在忽略消逝波的前提下，得 到了一个相对简单的公式，通过这一公式，可较为容易地实现从非傍轴到傍轴的转换。 除了上述的对纯光束的非傍轴传输的研究之外，对于超短脉冲光束的非傍轴传输， 也有了一些成果，包括在自由空间“、色散介质5 5 和非线性介质中”都有涉及。而对于 自由空间中的情况，f u 的工作5 4 是较有代表性的非傍轴修正方法。 在看到非傍轴修正的上述累累硕果的同时，我们也发现，在这一课题当中，仍然还 有一系列的问题未得到解决： i ) 由于数学的复杂性( 修正公式中存在卷积) ，用文献f 5 4 1 中的公式来得到一个具 体脉冲光束的解析形式非傍轴修正解仍然有一定困难。这一问题的解决有待于更简单的 方法的提出； i i ) 上面所提到的方法大多数是基于标量波动方程而进行的，实际上，在进行非傍轴 修正的时候，由于各分量的耦合特性，需要将光电场作为一个矢量场来考虑”一”，亦即 要考虑纵向场。 i i i ) 另外，时空耦合效应作为超短脉冲光束区别于长脉冲或准单色光的一个基本性 质，我们可以合理的预计，时空耦合效应也将会存在于脉冲光束的非傍轴特性当中6 4 。 但是迄今为止，还没有得到很好的研究。 总之，由于在脉冲光束的非傍轴传输这一课题当中还存在这上述的问题，这就促使 我们为解决这些问胚而作了本文的工作。 3 第二章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 我们在第一章中已经讨论了超短脉冲光束非傍轴传输研究的意义。从本章开始，将 会逐步讨论由傍轴解得到非傍轴修正的方法：微扰法和角谱分析法。从1 1 节可以知道， 对于超短脉冲光束的傍轴解及其传输性质，已经研究得比较透彻因此我们在本章和后 续章节中，都假设傍轴解是已知的。另外，正如12 节中所提到的，在进行非傍轴修正 时，需要考虑矢量场，但正如在第三章中将要讨论到的，纵向场可由横向场得出。同时 也为简化起见，本章中仅讨论标量场，亦即：暂只考虑电场的横向分量， 2 。l自由空间中超短脉冲光束标量非傍轴传输的基本方程 研究自由空间中脉冲光束的非傍轴传输的基础包括非傍轴传输方程，傍轴条件和傍 轴传输方程。 i ) 非傍轴传输方程 在自由空间中，脉冲光束e ( r ，z ，t ) 沿。轴方向的非傍轴传输可用由麦克斯韦方程组 经标量近似而推出的波动方程 卜矧， 皿， 来表示。这里r = x e 。+ y e 。为横坐标，引入移动坐标 t = t z cf 2 2 ) 2 z ， ( 2 3 ) 则方程( 2 1 ) 改写为 v i 十毋一兰c 舻z l ， e = 。， ( z a ) 对于脉冲长度大于一个振荡周期的脉冲光束，我们可用其中心频率u o 及包络皿( r ，r ) 表示为1 0 1 2 ： e = 皿( r ，z 7 ，t ) e x p ( i w o t )f 2 5 1 这里u o = 2 7 r 而，t o 为中心频率的振荡周期。则方程( 2 ，4 ) 可表述为： v i + 霉地媳，( ，一去西) 皿= 。， 江s ) 第2 章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 这里v j _ = 馔+ 露为横向拉普拉斯算符。 以上是脉冲光束在时间域的标量非傍轴传输方程在时间频率域，包络的频谱面一 u 。) 满足频域的标量非傍轴传输方程： v i + 磅一2 i k o 。， 西( u u o ) = 0 ，( 2 7 ) 吣，以一2 南岬，一们“p - 舢班伸 ( 2 8 ) i i ) 傍轴条件 在时间域，脉冲的傍轴条件为” f 警陪帮| _ 皿。， 在频率域傍轴条件则可表示为 未面( r ，) 1 瞰蛳( ，圳， l 翕，u ，l ，u ，l 埘 由于 l 学l l 掣l 式中。r = , 4 2 为瑞利距离。则可知：傍轴条件要求脉冲的频谱分量的束宽远大于其波 长。 i i i ) 傍轴传输方程 在傍轴条件( 2 9 ) 式和( 2 1 0 ) 式满足时，时域和频域中超短脉冲的的非傍轴传 输方程可略去彩一项而得到傍轴方程。在时域，傍轴方程为； v - 2 i 以，( 一去魂，) 皿= 。 ( 2 1 1 ) 在频域，傍轴方程为： v j n 一2 i k o ：， 面( u 一岫) = 0 ( 2 ，1 2 ) 由于在数学处理上，傍轴方程比非傍轴方程要简单。而且对于一般的研究对象而言， 傍轴条件是成立的。因此，人们对傍轴解的研究已经较为成熟我们在后面的研究中， 都是假设傍轴解为已知的，然后在此基础上对其进行非傍轴修正。 5 第2 章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 2 2 微扰法得到的非傍轴修正 从上一节中可以看出，无论是傍轴方程还是非傍轴方程，频域中的形式都要比时域 中的形式简单。因此，我们将首先在频域中用微扰法处理非傍轴修正的问题，再将这种 修正通过傅里叶变换引入到超短脉冲光束的时间表达式中去。 根据l a x 等建立的微扰法”，我们将频域中的非傍轴传输方程( 2 7 ) 中的露面一项 看作微扰而将非傍轴方程( 2 4 ) 的解写成如下形式： 面= + 茁 这里面( 。) 为频域中傍轴方程( 2 1 2 的傍轴解，我们将其视为已知。则上式中各阶微扰解 由以下方程决定： ( v 主一2 i k o 。，) q 2 2 j - “：o ( v j - 一2 i k o 。，) 面( 1 ) = 一乃面( o ( v i 一2 i k o ；，) 面( ”】= 一砖每( m 一1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) f 2 ，1 5 1 遁过互接计算司以验证，高阶微扰项，即非傍轴修正项为 弘，= ( 去) ”刍妒1po z ，一孑) p ( 2 埘 且满足初始条件面鐾j = o 。运用泰勒展开；= 古蓦( 产) 并对方程( ? ? ) 两边同时作 傅里叶变换，则在时间域中，非傍轴修正项为 渺) = 匡( 驯 ”( 去) ”嘉妒， 江 当然，考虑精度要求，如果我们只取到第m 阶修正项，则在这些修正项中，小于第m 阶的项可以略去，又因为在量级上 等叫0 。一 面( m ) 、o ， i a ，l ! 一( 2 n 7 r ) 一1 皿望， 笙! 童自由窒塑生塑堑堕、冲堂塞笪堡量韭堡塑堡笪 这里n = t 蜀是一个脉冲越内的振荡周期数，所以修正项m ( “j 可简化为 咖，= 良l 瓦ia 丌( 去) “嘉h 弘。 江 这里l = m i n l ：f 2 ( m m ) l n ( k o o o ) l n ( 2 v n ) 且2 ) 则修正后光场为 圣( r ，z ，t ，) = 皿( ” ( 2 1 9 ) 通过式( 2 1 9 ) ，我们可以对单周期以上脉冲光束进行任意精度的非傍轴修正，并且， 由于此修正方法仅为基本算符对傍轴解的作用，因此可以较为方便地得到修正后的趋向 于非傍轴的解此外，从式( 2 1 8 ) 可以看出，由于超短脉冲光束中的时空耦合效应，非 傍轴修正将由脉冲光束的时间和空间分布共同确定。 2 3 角谱分析法得到的非傍轴修正 由于数学上的复杂性，在频域和时域中都较难直接得出非傍轴方程的解析解，但可 以根据频域中的非傍轴传输方程( 2 7 ) 的积分解，用角谱分析的方法来得到非傍轴修正。 如果仅考虑脉冲光束的正向传输且忽略消逝波的影响，则频域中的非傍轴方程f 2 7 ) 的解可用角谱表示为 面( r , z , w - - w o ) = 去a oe x p k 一- r + i k z ( ，一乒面) d 2 k - 。， 这里k 上= k 岛+ b 毛，a o 为电场皿( r ，o ，w 一o ) 在z 。= o 处的空间傅里叶变换 山= 去酿 o ，“一蛐) e - i k - - r d 2 n 理论上，由( 2 2 0 ) 式，我们可以再通过一个时间反傅里叶变换得到时域中的电场 皿( r ，z 7 ，t ) 。但是，由于数学上的困难，我们很难直接得出解析解。不过我们注意到，在 傍轴解面( l ，t ) 已知的情况下，我们可以用泰勒展开的方法得出其非傍轴近似解。 当傍轴条件j 芳面( r ，u u 。) l j ) 面( r ，u u 。) i 满足时，方程( 2 1 2 ) 可表 示为 v 主一2 i k o z ， 面= 0 ，( 2 2 1 ) 从方程( 2 2 1 ) 易知，傍轴条件还可用横向拉普拉斯算符v 1 和乱，来表示，即 v i 面( r 1z 一 一阻) 品面( r ，u ) i 陋u ) 毒( 以u 讪) ， 笪! 童宣虫窒间主塑堑壁鲨堂塞堕堡量韭堡塑堡笪 在空间频率域，这一关系亦可表示为q 2 = l k 上k 1 2 1 从数学的角度看，我们可通过泰 勒展开的方法蹩i 旦坌( 2 2 0 ) 展开到i k j - k l 的任意阶以得到近似非傍轴解当傍轴近似条 件满足时，1 一譬兰1 一i 鲁满足，方程( 2 2 0 ) 可简化为 删( 叫，u u o ) = 石1 a o ( k ，o u 一岫) e 4 ”。i ( 2 d 2 k ， ( 2 2 2 ) 这也就是傍轴方程( 2 2 1 ) 的标准积分解。 当傍轴条件矿1 变弱时，我们需要保留方程( 2 2 0 ) 中泰勒展开式中1 2 的更高阶 以描述其非傍轴性质，这时电场 面( r ，。，u u o ) = 去d 2 k 1 扩。- 。“。蛆( 2 。) e x p i z k i ( 8 k 3 ) a o ， ( 2 2 3 ) 进而引入近似e x p i z k u ( s 3 ) 型1 + i z k 4 , ( 8 k 3 ) ，方程( 2 2 3 ) 变为 面( r ，。，u 一蛐) = 百1 ；d 2 k e i k z r + i z k i ( 2 1 + i z 7 i ( 8 3 ) a o ， ( 2 2 4 ) 其等价于 蚍，“) = 卜榭否1 ( 罟) 2 面o ( ，u “ ( 2 2 5 ) 因为我i f 考虑的是多周期脉冲，因此对于大部分频谱分量而言，j u i = u u o | u o ，2 3 因此我们可以引入近似i 1 型去( 1 一生警) 而运用方程( 2 2 1 ) ，则方程( 2 2 5 ) 可简化为 面( r , z , w - w o ，= ，一篆( ，一等) 乃p z ，d ( 2 2 6 ， 再对上式运用时间傅里叶变换，因此时域中的非傍轴近似解为 吣，z ) = ，一丽i z t ( - + 去巩) 易卜) ( r ，t 妁 ( 2 。，) 式( 2 3 3 ) 是脉冲光束的一阶非傍轴近似解。与文献5 2 中的( 1 8 ) 式相比，方程( 2 2 7 ) 多了 一项意国，这正是脉冲的时空耦合效应存在于脉冲非傍轴修正中的具体表现。 在式( 2 3 3 ) 的推导过程中，我们已经假定了我们所处理的是多周期的脉冲光束并应 用了它的一些特性，因此，对于脉冲长度在一个周期以下的脉冲光束，式( 2 3 3 ) 是不适 用的。另外在量级上， 谚皿o 一壶皿们，赤a m o 一( 2 n ”) 一1 皿( ，因此，在传输距离 不是很长( 几个瑞利距离之内) 的情况下，修正的大小皿= 皿一皿。一日矗萨皿，因 此，对于柬宽在其中心频率的波长量级的脉冲光束，修正精度已达到m 一瓦扣皿0 1 ，在 一般情况下，考虑一阶修正已基本能满足描述束宽在波长量级的脉冲光束的需要。 8 第2 章自由空间中超短脉冲光衰塑堡量韭堡塑笪笪 当然，如果需要，我们可以保留泰勒展开中的更高阶以提高修正精度，在这里，作为一 种极端情况，剐丁保留泰勒展开式癣= 1 一黔曼锗( 譬) 咖，e z = n 曼= o 护 及i 1 = 南量( u 。一u ) 。中的所有项，得到了时域中脉冲的完整非傍轴修正表达式 耻蒸等“ 皿。= 等 ( 讯= 2 l = 0 、 皿( ，t ) = 虬 n = 0 ( 2 2 8 ) ：泸群降c 秽c m 叫弦。7 哟。， 当然，在实际应用中，我们不可能在( 2 2 9 ) 式中取无穷多项作计算，因此，我们可以根据 需要而截断n 于合理的值n 处，使之成为一个实用的公式。考虑到在量级上，晓霍( o ) 一 壶皿“，击晚，皿o 一( 2 n 7 r ) _ 1 皿“，( 这里n = a t t o 是一个脉冲a t 内的振荡周期数) ， 皿( n + 1 ) 一日i 知并考虑到截断n 于合理的值n 处的情况下，小于m “的项可以略 去，因此可以依据量级关系而截断m ，l 于合适的值m ，l 处，从而得到实用化的修正公 式 帅，妁= 塞撬譬卜，”饼陪c 扣旧1 ，胪q 叫， ( 2 3 0 ) 此处，由量级关系得m = n + 1 ，上= m i n l ：l 2 ( m m ) l n ( k o a o ) l n ( 2 7 l n ) 且f = 1 ，2 ，3 ) 。 在傍轴解巳知的情况下，我们可以用式( 2 3 3 ) 或( 2 3 0 ) 求得非傍轴方程的一阶或高 阶近似解，且截断点越大，所得解将会越接近非傍轴精确解，但计算也将随之变得越 复杂，我们可以根据实际需要而选取合适的值。 从式( 2 ，3 3 ) 及( 2 3 0 ) 可以看出，由于脉冲中时空耦合效应的存在，非傍轴效应将会 由脉冲光束的空间及时间分布共同决定。而如果脉冲很长，则其时空耦合效应会变的很 弱，赤巩很小以至于可以忽略不计，则通过运用方程( 2 2 1 ) ，我们的修正蜕化为c a o 的光束非傍轴修正5 2 。另外，与文献【5 4 中所述修正方法相比较，由于我们的修正方法 仅为基本算符对傍轴解的作用，因此可以较为方便地应用于单周期以上的任意脉冲光束 以求得其非傍轴解析解。 9 第2 章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 2 4 两种方法的比较 以上两种方法所得结果在推导过程和表达方式上都有所区别，下面将从应用的简繁 程度和二者的联系来对它们进行比较。 由前两节的讨论：微扰法所得非傍轴修正解为： 叩，以如= m 善= o 睦h i 0 丌( 去) ”扮1 n 妒， ( z m ， 而角谱分析法所得非傍轴修正解为： z 矿铲 筹c 和- 1 从整体表达方式上看，微扰法所得结果要比角谱分析法所得结果简单。 下面看二者的联系。 以上两式经简单计算可知，二者的一阶修正解是相同的，都为 卟，约= ，一亳( h 缸) 讣护) ( r ，z _ ，) ( 2 。s ) 高阶修正在表达方式上会有略微的差异，但经绘图后已经显示不出二者的区别。因此， 两种方法是等价的。这种等价，也正是解决同一问题的两种不同的正确的方法所得结果 所应该具备的性质。 2 5 修正方法的可靠性检验 为了检验所得修正方法的可靠性和可以简化的程度，在本节中将用数值计算的结果 来与前面所得的非傍轴修正公式进行比较。 数值结果是基于( 2 2 0 ) 式用快速傅里叶变换的方法得到的。由于( 2 2 0 ) 式是没有近 似的完全非傍轴的，因此在例子中将数值结果作为标准来评价修正方法的可靠性，由于 微扰法所得结果与角谱分析法所得结果已经经过验证是等价的，因此在本节中只讨论微 扰法所得结果，角谱分析法所得结果则不予赘述。 取高斯脉冲高斯光束m 作为例子： 毗耐，即= e x “割焘唧- i k o r j ， ( 2 。4 ) 1 0 2 7 3 o 置 、( r 0 皿 、， 1j 警 。 m 一 c l | | 吣 第2 章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 图2 1 ：高斯脉冲高斯光束的相对修正量( 圣( o j 2 一 圣p ) l 雪( o k o ，o ) p 的比较虚线、 实线和方块分别代表一阶修正、二阶修正和数值的结果小囝( a ) ：在r = t ，：0 时 相对修正量的纵向分布；小圉( b ) ：在= 如，t j - 0 时相对修正量的横向分布；小 图( c ) ：在。= 2 r ，r = 0 时相对修正量的时间分布脉冲长度为t = t o 图2 。2 ：除辣冲长度为a t = 2 7 o 外，同冒2 1 1 l 第2 章自由空间中超短脉冲光束的标量非傍轴传输 图2 3 ：高斯脉冲高斯光束的瞬时相位随传输距离的变化，参数除r = t = 0 外同圈 2 1 这里t ：= t 一1 2 ( 2 唧) ，q ( z ) = 。+ i z r ，。冠为瑞利距离，参数为a o = a o = 1 , u m 。比较 的对象是相对修正量( 1 皿( o ) 1 2 一l 皿1 2 ) l 皿( o ( z ，0 ，o ) 1 2 ，这样有利于差别的放大。 在图2 1 和图2 2 中我们将脉冲长度分别取为一个、两个中心频率的振荡周期并在 两图中均将一阶修正、二阶修正以及数值结果进行了比较。经一阶修正的解为为= ( o + 皿( ，其中 叫u 一篆( h 矿i - - 0 ，) 删 二阶修正的解为皿= 皿( o ) + 皿+ 皿( “，其中，由( 2 3 0 ) ， 皿1 2 篝i ，+ 去巩一去一去j 磅叫 ( z 瑚) 批鑫 + 挚一矿12 川3 严( 舻 皿。s ， 从图2 1 和图2 2 可以看出：当脉冲长度在两个振荡周期或以上时，一阶修正已经 较为接近完全非傍轴数值解，二阶修正则非常接近完全非傍轴解。当脉冲长度减小到一 个振荡周期时，一阶解与完全非傍轴解之间已经可以看出差异，二阶则仍能保持良好的 修正精度。这意味着对于单周期以上的脉冲光束，如果其束宽在波长量级，则二阶非傍 轴修正足以描述其传输特性，同时，阶修正则足以描述两个振荡周期以上的脉冲光束 的传输 1 2 笫2 章自由空间中超短脉冲光束的标量j ! 童塑堡垒 对于接近单周期的脉冲光束，瞬时相位扮演着重要的角色在图2 3 中，对脉冲长 度为一个振荡周期的脉冲光束于不同的光束半径处对二阶修正所得瞬时相位与数值结果 作了比较。结果表明：二阶修正的结果与数值结果在相位方面也吻合得非常好 以上结果说明：二阶修正无论是在相位上还是在强度上，都能够提供很好的精度。 2 6 小结 本章分别应用微扰法和角谱分析法，得到了较为简单的两种对已知傍轴光束解进行 标量非傍轴修正的方法。通过对两种方法的比较知二者是等价的但从简便方面考虑， 微扰法所得结果要优于角谱分析法所得结果。通过与完整非傍轴的数值结果相比较，检 验了所得公式的可靠性检验结果表明：在光束束腰为一个波长量级，脉冲长度为一个 振荡周期时，二阶修正能够在相位和强度上都提供较好的修正精度 本章仅仅讨论了标量的非傍轴修正，更严格的矢量非傍轴修正将会在下一章中讨论。 1 3 第三章自由空间中超短脉冲光束的矢量非傍轴传输 正如第一章所提到的，对于非傍轴传输的研究，大多数的工作都是基于标量傍轴方 程而进行的。亦即：只考虑了电场的横向分量。实际上，由于麦克斯韦方程组中散度关 系的存在，决定了纵向分量的存在，而且纵向分量的考虑与否，会直接影响非傍轴修正 的精度。因此，本章中，我们在第二章所得标量( 横向) 非傍轴修正的基础上，根据横向 和纵向分量之间的耦合关系，进行了矢量的非傍轴修正。 3 1自由空间中超短脉冲光束矢量非傍轴传输的基本方程 在自由空间中，矢量光场e ( r ：z ，t ) = e ( r 。t ) + e ：( r 。，t ) 的传输由波动方程及 各分量的耦合关系共同决定，即 ( v l 言辞) e ( r ，引) = 。： ( 3 ，) v e ( r ，。，t ) = o ( 3 2 ) 这里r = z 屯+ 毛为横向坐标，岛，a ，分别为。一和一方向的单位矢量。由以上 两个方程知：矢量特性是由麦克斯韦方程组决定的、任何脉冲光束都具有的一种性质。 为了获得矢量场的自洽解，方程( 3 1 ) 和方程( 3 2 ) 必须联合使用。引入随动坐标t = t z c ，= z ，并考虑到对于单周期以上的脉冲光束，我们可以用其载波频率和包络 来表示为e = 圣( r ，t 7 ) e x p ( i w o t 7 ) 这里0 3 0 = 2 仃t o 和分别为载波频率及其振荡周 期。则对其包络有 v i + 弘，一 l 卜i ( ， 2 i k 。f 1 一三国 u o 三岛，1 k ，+ v 。 “o j ( 3 3 ) f 3 ，4 1 这里v i = 巩z + 为横向拉普拉斯算符，v = 6 。如+ 毛国，皿：，及皿1 分别为横向 和纵向分量的包络。引入傅里叶变换 面( v 7 ，u 一= 两1 严脚，z ，约e x p 叫u 一螂。 ( 3 5 ) 1 4 o 0 = | i 卜虬 、， 第3 章自由空间中超短脉冲光束的矢量非傍轴传输 则对于包络的频谱每( r ，一，u 一蛐) ，方程( 3 3 ) 及方程( 3 4 ) 演化为 ( v l + 馥_ 一2 i k o zr ) 皿= 0 ( 3 6 ) ( 以，一妣) 。，+ v 皿l = 0( 3 7 ) 这里k = k o ( 1 + 世j 产) 为频谱分量皿) 的波矢。方程( 3 6 ) 是对横向和纵向分量都适用 的非傍轴方程，方程( 3 7 ) 则给出了二者的耦合关系。对于处理具体的传输问题，我们将 首先求出横向分量，然后由耦合关系( 3 7 ) 求出其纵向分量。 一般情况下，当标量傍轴条件满足时，方程( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可简化为横向分量在频率 域中的傍轴方程 v 王一2 i k ( w ) o 。， 面竺l0 ( 3 8 ) 对上式作反傅里叶变换可得时域中的傍轴方程 v 2 _ 2 i k o o z ，( ，一妄a ，) 皿c o ，= 。 c s 。， 由于在标量傍轴条件下，方程( 3 9 ) 允许我们用较为简单的方法来处理超短脉冲的传输 问题，已经有很多作者得出了一些解析解并对其进行过详细的研究”，1 7 , 8 , 2 0 , 2 6 。因此， 类似于第二章，在本章的讨论中，我们将设皿竺( l ，t r ) 和每竺( r ，u 一“o ) 为一般已 知标量傍轴解，并在此基础上得出由方程( 3 3 ) 和( 3 4 ) 共同支配的矢量非傍轴修正解。 3 2 矢量效应对非傍轴传输的影响 若仪考虑止同传揩的设，则通过角谮的引入，方程( 3 3 ) 及方程( 3 4 ) 的矢量积分解 可写为： 酢，t u ，= j l m 唧 k - r + i k z ( 乒面一) a - c k - ，。，u ，一色南k - a - c k t ，。，u ，1 ，c s ，。， 这里k 上= k e 。+ ，毛，a 1 ( k 上，0 ，) 为横向电场毒1 ( r ，o ，) 的空间傅里叶变换，即： 叫b 呲) = 去厂蚰r ，o ，u e - i k - r m ， 及 制h 吣) = 去厂姒咖，咖1 u r d 2 r - 第3 章自由空间中超短脉冲光塞塑箜量! i 堡塾堡塑 在推导方程( 3 1 0 ) 的过程中，我们用到了由方程( 3 3 ) 及( 3 4 ) 得到的关系式 a z ( k i ，一，u ) 2i ：蒜a 1 ( k - ，一，u l ( 3 1 1 ) 在半空间。 0 ，解( 3 1 0 ) 同时满足方程( 3 3 ) 及( 34 ) ，由此，我们可得到电场 m ( r ，z ，t ) 在频域的积分解。然而，在傍轴解虫pr ，t 7 ) 未知的情况下，很难由此得出 时域的解析解，因此我们在时域的傍轴解已知的前提下，用级数展开的方法来求得电场 的各阶非傍轴修正。 由第2 3 节的讨论知，在角谱域中，傍轴条件可表示为 q 2 = l k l kj 2 i 从数学的角度来看，矢量非傍轴的修正可由积分解( 3 1 0 ) 用泰勒展开的方式得到，并可 根据需要展开到h 的任意阶。 首先在傍轴条件矿1 下我们得到方程( 3 1 0 ) 的标准傍轴解。运用近似 f 孑i 1 1 一；( k u k 2 ) ，则电场的横向分量为 掣( v ，u ) = 去a ( k 0u ) e 虬一”舭帅d k ， ( 3 1 2 ) 这是方程( 3 8 ) 的标准解。 在傍