（理论物理专业论文）复杂网络系统的一些动力学现象.pdf

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位沧文，是在导师的指导下独立进行研 究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点 等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：j 啦 日 期：五啐车五妞日 2 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大 学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向 国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人 授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或 与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：雌导师签名：i _ 兰! 丛呈 3 中文摘要 本文在介绍复杂网络基本理论的基础上，研究了复杂网络系统中的一些动力 学现象：一种动态神经元模型中的锁相现象，具有小世界连接的神经系统中的类 脑电波行为，以及在一种社区网络的基础上进行的一些探索。 我们通过计算模拟观察到一种动态神经元模型出现锁相现象，但是它只能给 出幅度较大的信号的锁相，在加入噪声( 白噪声，色噪声) 的情况下，我们发现 较小幅度的信号也能发生锁福现象，嗓声对于这种动态神经元的锁籀具有积极的 作用。同时，研究由这种神经元构成的具有小世界连接的网络中的所有神经元的 平均活动，我们观察到输出信号显示出一种类脑电波行为。在加入噪声的情况下， 类脑电波的振荡幅度更大。研究结果表明。在加入噪声的情况下，无论是单个神 经元还是由这些神经元构成的具有小世界连接的动态神经系统对于信号的处理 都能够调整到一个最佳敏感的状态。 近年来社区网络( c o m m u n i t yn e t w o r k ) 成为复杂网络研究中的一个热点： 社区网络目前还没有公认的定义，但是一般都认为社区内成员的连接几率大于社 区间成员的连接几率。研究传染病( 或者计算机病毒、谣言、信息等) 在网络上 的传播规律，是网络动力学的一个重要研究方向。我们借鉴对一种一维社区网络 中的传染病动力学现象的分析，进行了二维社区网络中一些最基本问题的探讨。 4 a b s t r a c t o nt h eb a s i so fs o m ei n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i ct h e o r i e so fc o m p l e xn e t w o r k , t h e p r e s e n td i s s e r t a t i o ns t u d i e ss o m ed y n a m i c a lp h e n o m e n ao nc o m p l e xn e t w o r k ：t h e p h a s el o c k i n gp h e n o m e n a o fad y n a m i c a ln e u r o n , e l e c t r o e n c e p h a l o g r a m l i k e a c t i v i t i e s i nad y n a m i c a ln e u r o n a ls y s t e mw i t hs m a l lw o r l dc o n n e c t i o na n ds o m e e x p l o r a t i o n sb a s e do nao n e d i m e n s i o n a lc o m m u n i t yn e t w o r k t h r o u g ho u rc o m p u t a t i o n a ls i m u l a t i o n s , w eo b s e r v e dt h ep h a s el o c k i n g p h e n o m e n ao n ad y n a m i c a tn e u r o n , b u tt h es y s t e mc a l lo n l yr e p r o d u c et h ep a r to ft h e w a v et h a tt h ea m p l i t u d ei sl a r g ee n o u g h ，h o w e v e r ，i nt h ep r e s e n c eo f n o i s e ( w h i t ea n d c o l o r e d ) ，w eo b s e r v e dt h a tt h es y s t e mc a l lr e s p o n s et oc v e nt h o s es i g n a lw h o s e a m p l i t u d ei sr e l a t i v e l ys m a l l t h en o i s ei sab e n e f i c i a lf a c t o rt ot h ep h a s el o c ko ft h e d y n a m i c a ln e u r o n w ea l s os t u d i e dt h ea v e r a g ea c t i v i t yo fa l ln e u r o n si nan e t w o r k w i t hs m a l lw o r l dc o n n e c t i o n ，w eo b s e r v e dt h a tt h e a v e r a g ea c t i v i t y i ss o m e e l e c t r o e n c e p h a l o g r a m l i k e i nt h ep r e s e n c eo ft h e n o i s e , t h ea m p l i t u d eo f e l e c t r o e n c e p h a l o g r a m - l i k ei sl a r g e r o u rr e s u l t sp r o v et h a tn o i s ep l a y sa l li m p o r t a n t r o l ei nd e t e c t i n gf a i n ts i g n a l s ，i e t h ed y n a m i cn e u r o n a ls y s t e mc a nb ea d j u s t e dt oa l l o p t i m a ls e n s i t i v es l a t ef o rs i g n a lp r o c e s s i n gt h t o u 曲t h ee n v h o n m e n t a im o d u l m i o n s i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fc o m m u n i t yn e t w o r ka t t r a c t sm u c ha t t e n t i o n u n t i l l n o w , t h e r ei s 1 0u n a n i m o u sd e f i n i t i o no fc o m m u n i t yn e t w o r k , b u to n et h i n gi s $ 1 1 t c , t h a ti s ，t h ec o n n e c t i o np r o b a b i l i t yo ft w on o d e si nt h es a m ec o m m u n i t yi sm u c h h i g h e rt h a nt h e ya r en o ls t u d yt h ee p i d e m i cs p r e a d i n go n an e t w o r ka n dt a k ea c t i o n s t op r e v e n ta n dc o n t r o lt h ee p i d e m i ce x p l o s i o ni sg e n e r a l l yab a s i cr e s e a r c ha r e ao f c o m p l e x n e t w o r k w eo b s e r v ea n d r e p e a t t h e e p i d e m i cs p r e a d i n g 0 1 1a o n e - d i m e n s i o n a lc o m m u n i t yn e t w o r kw i t hs - i sr n l e s , a f t e rt h a tw ed i ds o m eb a s i c e x p l o r a t i o no n ac o m m u n i t yn e t w o r kw i t ht w od i m e n s i o n s 5 第一章复杂网络 1 1 复杂网络的基本概念 所谓网络是指由一些节点和连结这些节点的边所组成的系统。这种网状的结 构非常有用，我们可以用它来描述各种各样的复杂系统，例如细胞，我们可以把 细胞里的化学物质看作节点，细胞内生成这些化学物质的化学反应看作连接这些 化学物质的边：又比如因特网，我们可以把计算机看作各个节点。它们之间的有 线和无线连接看作边；又比如社会中人与人的关系，我们可以把个人看作节点， 人与人之间的关系看作连接这些节点的边；再比如生态系统，我们可以把各个物 种看作网络中的节点，物种之间的捕食与被捕食关系看作连接这些节点的边等等 “1 总之，网络的观念可以运用到我们生活中的许多领域。 长期以来，由于实验条件，理论分析和计算能力等方面的限制，对于网络的 研究主要集中在由少量节点和少量边构成的网络，对于这些网络的研究已经形成 了一门专门的学科一一图论。 图1 1 每年发表在c o n d - m a t 上的关于复杂网络的文章的统计 近年来，由于以下几方面的发展，使得研究由大量节点和大量边构成的复杂 网络成为可能：首先，各个领域数据采集的计算机化建立了大量的关于真实网络 拓扑信息的数据库；其次，由于计算机的发展，使得计算能力较以往有极大的提 7 芝日d芷j0jeqnn 高，这样就为我们分析由大量节点和大量边组成的复杂网络提供了强有力的手 段：再次，近年来交叉学科的蓬勃发展促进了各个领域之间的交流与合作，而复 杂网络正是跨越多学科的一门新兴学科，各个领域的广泛交流极大的促进了复杂 网络的研究；最后，科学领域内对于系统整体特征研究的呼声越来越高，因此研 究相互作用的集团结构( 即网络) 是必然的。近年来，关于复杂网络的研究正处 于蓬勃发展的阶段( 图1 1 ) ，其研究者来自数学，统计物理，计算机科学，生 物学，生态学，社会学，语言学以及经济学等各个不同的领域”_ 钉。 前面已经说过网络是由一些节点和连接这些节点的边所组成的系统，下面我 们给出网络( 图) 在数学上的严格定义吼 图论中将图( 网络) 定义为一个偶对g = ( 矿，d ，其中v 表示顶点的集合，e 表示边的集合。这样如图1 2 可以表示为： v = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ) e = ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如果一条边的两个端点是甜和v ，那么这条边可以表示成p ”，v ，这里 表示副和v 的无序对，即 和 都表达了以1 1 和v 为端点的无向边。一 般图g = ( 矿，d 的顶点数用仃( = m ) 表示，边的数目用m e i e i ) 表示。若m 和旧都 是有限的，则称图g 是有限图，否则称为无限图。 e d g e 图l2 一个由8 个顶点和1 0 条边组成的小网络 8 上面讨论的图g 的边的两个顶点是无序的，一般称其为无向图，在实际应用 中，将图和每条边分配一个方向是很自然的。当给图g 的每一条边规定一个方向， 则称其为有向图，此时这条边用p = ( 甜，v ) 表示，其中”表示边的起点，v 表示边 的终点。如果顶点v 是边p 的一个端点，则称边e 和顶点v 相关联( i n c i d e n t ) ， 对于顶点“和v ，若 e ，则称“和v 是邻接的( a d j a c e n t ) ，若两条边有 共同的顶点，则称这两条边是邻接的。若网络中每条边的权重相同，我们称此网 络为无权网络，否则我们则称之为加权网络1 5 1 。从统计物理的角度来看，网络是 一个包含了大量个体以及个体之间相互作用的系统，是描述系统及其内部关系的 图。 在复杂网络的研究过程中，人们发现网络的拓扑结构对决定所研究系统中的 动力学起着重要的作用。网络的拓扑结构主要由三个基本的几何参数所描述：度 分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) ，成团系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) ，平均路 径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 。 度分布：网络中的任意一点的度定义为该点所具有的连接个数，即以该点为 始点或终点的边的条数，它是网络研究中最基本的量。在一个网络中并不是所有 节点都具有相同的度，我们可以用一个函数来描述网络中节点的度分布情况，这 个函数记为p ( k ) ，叫做网络的度分布函数，他给出了在网络中任意取一点，该 节点的度为七的几率。对网络中所有的节点进行统计，这样就可以得到整个网络 的度分布函数。 成团系数：在许多现实的网络中，人们发现，如果节点4 与节点b 相连，而 节点曰又与节点c 相连，那么有很高的几率节点彳与节点c 也相连。用社会学的 语言来说，就是你朋友的朋友，有很高的几率也是你的朋友。为了描述一个网络 集团化的性质，研究者引进了一个成团系数的概念： 3 网络中的三角形的个数，、 l 2 雨爵丽蘅丽丽夏一 u j 这里所说的楔形( t r i p l e s ) 是指两个节点都与第三个节点相连所构成的图形， 而这两个节点之间并不要求相连。由此可见，一个三角形中包含3 个楔形。例如 图1 3 所构成的网络中有一个三角形，八个楔形，按照成团系数( 1 1 ) 式的定义， 9 则该网络的成团系数为3 i 1 = ； 图1 3 一个由5 个顶点和5 条边构成的微型网络 另一个广泛应用的成团系数的定义是由w * a t t s 和s t r o g a t z 在1 9 9 8 年提出 的【2 一，其定义如下： 。节点i 作为顶点的三角形的个数，o 、 ，21 丽丽丽丽丽预而丽 u “7 对于度为0 或1 的节点。根据式( 1 2 ) 分母为0 ，我们定义c f ；0 。其中c f 表示 节点i 的成团系数，换句话说，即：假定菜一节点i 有t 个最近邻，那么在这些 最多可能存在t ( 屯一1 ) 2 条连接，用e i 表示这些最近邻的点之间实际存在的连 接，则点i 的成团系数定义为 g = 丽= 砭2 两e , ( 1 3 ) 则整个网络的成团系数定义为： 。 c 2 寺；q ( l4 ) 对于图1 3 ，用公式( 1 3 ) ，( 1 4 ) 式计算我们可得网络的成团系数为c = 3 1 3 0 ， 可以看出它与第一种定义计算的结果不相同。两种成团系数的定义不等价，但是 它们都可以作为描述网络集团化程度的参数。一般来说，第一种定义适合解析分 析，而第二种定义则适合数值计算和分析。 平均最短路径长度：网络中节点f 到节点，的路径长度定义为从节点f 到节点，的 连通中所含的边的条数。如果两点之间不存在通路，其路径长度定义为。在无 1 0 向、无权网络中，任意两节点i ，j 之间的最短路径长度，。定义为从节点i 到节点 ，所有连通两点的通路中的所经过其它顶点最少的一条或几条路经所包含的边 的条数。对网络中所有的最短路径长度进行平均，即可得到整个网络的平均最短 路径长度： 三：! i 些：壬! 垒生兰：垒：( 1 5 ) 三咖“) 由上式( 1 5 ) 可以看出如果出现不相连的两个节点，则整个网络的平均最短路径 将为o o ，为了解决这一问题，我们重新定义不相连的节点的最短路径为。这 样就可以避免出现0 0 的情况。 另一种处理0 0 的办法就是重新定义整个网络的最短平均路径长度，网络中任 意两点的最短路径长度和上面的定义相同，如果两点之间不连通，则这两点之间 的最短路径长度为0 0 ，整个网络的最短平均路径长度定义如下： = 矿 ( 1 6 ) n + 1 ) 州 由此可见，如果，出现o o ，则在计算整个网络的平均最短路径的时候，没有贡献， 因此避免了整个网络平均路径长度出现o o 的情b t t 4 。 网络可以用来描述现实世界中的各种系统，如科学家合作网络1 6 , 7 】、语言网 络1 8 , 9 1 、因特网【1 0 ，1 1 l 、互联网【1 2 ，1 3 1 、电力网【1 4 1 、食物网【1 5 1 6 1 、化学反应网纠1 7 1 、 新陈代谢网络【1 8 1 和蛋白质网络1 1 9 等等。每一个系统中的网络都有其自身的特殊 性质，有其紧密联系在一起的独特现象，有其自身的演化机制，但是由于都可以 使用网络分析的方法，所以有其共性。研究网络的几何性质、形成机制、演化规 律以及结构稳定性，并把它与具体系统结合起来是复杂网络研究的中心内容。图 论与统计物理学是研究这种共性的两个有力工具。图论与社会网络分析提供的网 络静态集合量及其分析方法是复杂网络研究的基础。统计物理学则更侧重于从各 种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量，并用这些一般性质指导更多实 际网络的研究，进而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络上模型的一般方 法，最后讨论网络本身的形成机制。 1 2e - r ( e r d o s - r e n y i ) 随机网络模型 一般认为图( 网络) 的研究最早起源于十八世纪瑞士大数学家l e o n h a r d e u l e r 对k o n i s b e r g 七桥问题的研究嘲。二十世纪五十年代，匈牙利数学家p a u l e r d o s 和a l f r e d r 朋y i 把概率理论引入图论的研究中，并由此提出了e r 随机网 络模型。 e - r 随机网络的构造主要有两种方法，第一种方法即：定义有标记的个节 点( 网络中的节点总数) ，并且给出整个网络的边数厅，这些边的选取采用从所 有可能的! ! 掣种情况中随机选取的方法。另一种构造e r 网络的方法：给定 有标记的个节点，以一定的概率p 连接所有可能出现的! ! 竺r 二旦种连接，在 二 这种情况下，网络中出现的边的期望值为： 砸却掣产】 ( 1 7 ) 由于两种定义是等价的，所以我们下面采用第二种定义的方法构造e - r 随机 网络，并且给出e r 随机网络的一些基本参量的性质。网络的构造思路，如图1 4 所示： 分布 p = 0 p = 0 1p = 0 15 图1 4e - r 随机网络构造的示意图，连接几率由左向右逐渐增加 在有个节点的随机图里，某一节点f 的度为t 的概率分布服从一个二项式 p ( 而= 七) = c ；一p 。( 1 一p ) - 1 4 ( 1 8 ) 这是因为在剩余的n 一1 个节点中任意选择k 个点和点i 相连的时候总共会有 c ：一种选择，被随机选择的这t 个点都必须和点f 相连，其总的概率为p ，此时 网络中其它的所有点则都不能和点f 相连，其总的概率为( 1 - p ) “。当寸o d 时，式( 1 8 ) 可以化为： 、 聃= 碟o p ) n - i - k = 万器禹p 砸刊 * 等p 证4 = 警) 扣“h 。筚g 一：掣p 一出 ( 1 9 ) k !k ! 近似为一个泊松分布。其中 表示系统的平均度，即网络中所有节点度数之 和除以网络中的总节点数。由于在计算网络的总度数时每条边都重复计算了一 次，因此系统的平均度为 _ 斋，拓p 掣，可知 = p ( n 一1 ) * p ( 哼。o ) ( 1 1 0 ) 图l5 是我们对由1 0 0 0 0 个节点连接概率为o 0 0 1 5 的e r 随机网络的度分布函 数进行的模拟。可见，计算模拟数值和理论值符合的比较好。 05 ，o 1 52 0 2 53 0 3 5j d4 5卵 d e g r e ek ( 1 0 0 0 0n o d e sa n d b = 1 5 ) 图1 5 节点为1 0 0 0 0 ，连接概率为0 0 0 1 5 的e - r 随机网络的度分布图 1 3 如果我们考虑随机网络中的一个节点和它最近邻的节点，那么它的最近邻中 任意两节点相连的概率就等于在整个网络中我们任意选择两节点时，这两节点相 连的概率。因此，随机网络的成团系数可以写为 c = p = 笔； ( 1 i i ) v 由( 1 1 1 ) 我们可以看到，随机网络的成团系数c 就等于网络中任意的节点与节点 之间的连接概率p 。当我们固定网络的尺度时，可以看到成团系数随着网络 中每个节点平均连接度的增加而线性增加，如果我们固定网络的平均连接度 ，对( 1 1 1 ) 式的两边同时取对数，可以得到成团系数的对数与网络尺度的 对数呈一个线性下降的关系。我们的数值模拟结果如图1 6 和图1 7 所示，图 1 6 固定网络的总节点数为1 0 0 0 0 ，得到成团系数随连接概率的变化曲线；图1 7 固定网络的连接概率0 ，0 0 1 5 ，得到成团系数随网络尺度变化的关系曲线。计算 机模拟结果和理论预言吻合的比较好。 0 , 00 20080 , 8 d c o n r , e d e dp r o b a b m j i y 图1 6e - r 随机网络中成团系数随连接概率变化的模拟图 1 4 l啪譬窖量目口 1 0 s i z e o f t h e n e t w o r k s ( n ) 图1 7e r 随机网络中，成团系数随网络规模变化的模拟图 e - r 随机网络的平均路径长度可以用( 1 1 2 ) 式描述 三= 丽i n n 黑i nk ( 1 t1 2 ) 王，= 一 、tj 二， l i l ( 叫、r ) 1 0 01 0 n e t w o r ks i z e s ( 1 0 0 5 0 0 0 ) 图1 8e _ r 随机网络的网络规模和平均路径长度的关系模拟图 其原因是：对于较大的连接概率( 只要满足p r 1 i i p - j ，即每一个节点至少 1 5 i-n山一。匠k山oo oz一世lls3一o ! 拿 绉 ” clv工至埘_l工lvd山l乏 要有一个连接，或者说保持网络整体的连通性) ，假定网络的平均路径长度为三， 则从网络的一端走到网络的另一端，总步数大概为，这两个端点之间的总共节 点数应该和 的值相差不大。建立关系式 = n 我们可以得到b r 随机 网络的平均路径长度工正比于网络尺度与平均连接度的对数比值。我们的数值模 拟证明了这种关系，如上图1 8 所示。 1 3w - s ( w a t t sa n ds t r o g a t z ) 小世界网络 联合国经济与社会事务部曾经估计在1 9 9 9 年1 0 月1 2 日的这一天，世界的总人 口将超过6 0 亿，毫无疑问，这个数字是十分惊人的，然而就在如此众多人口的情 况下，我们还总是听到有人抱怨这个世界太小，从某些方面看来，这些抱怨者有 一定的道理：尽管我们所居住的星球有如此庞大的人口，然而它的社会网络的结 构( 人们互相认识的网络) 却显示人们彼此都是紧密联系着的f 2 0 1 。 图1 9m i l g r a m 邮件传递试验的示意图 在二十世纪六十年代末，美国著名心理学家s t a n l e ym i l g r a m 对美国的社 会网络进行了一次研究，他的研究方法如下：他把大量的信件随机的发给在 n e b r a s k a 的一些人，要求这些人将信件递送给他所认识的一个在b o s t o n 的经 纪人，实验有两条规定：1 信件传递人只能将信件传递给自己所熟识的人。2 1 6 传递信件的时候要求传递者尽可能的把信件传递给和目标人关系最近的人( 比如 住在同一个地区，供职于同一个职业领域等等) 的手中。在传递的过程中对所有 信件的每一步传递环节进行追踪。通过最后对到达目标人手中的信件的分析， s t a n l e ym i l g r a m 发现这些到达的信件大约平均通过六次传递就能到达目标人 的手中口1 ，列。由此引出了“六度分离”的著名论断。在m i l g r a m 的实验之后，又 有很多类似的实验：电子邮件的传递，路径的搜索，航空路线的选择等等田j 试 验都验证了这种“小世界”的现象。 1 9 9 8 年，d u n c a nj w a t t s 和s t e v e nh s t r o g a t z 提出了介于规则晶格网 络和完全随机图之间的单参数的小世界网络模型( w - ss m a l lw o r l dm o d e l ) 1 2 1 ， 该模型可以较好的体现网络的小世界和大集团两种现象。 w - s 小世界模型构造方法如下：从由个节点的一维环开始，每个节点与它 的k 个邻居相连。顺时针选择节点和它的最近邻的一条边，以几率p 从整个一维 环中随机选择另一个节点，并且重新连接这条边到所选择的节点。顺时针遍历这 个环同时重复这个过程，考虑所有的节点直到一圈结束。接着考虑节点与它的次 近邻节点之间的边，规则如前，以几率p 随机重连这些边，然后继续这一过程， 在每一圈结束后都向外考虑更远一些的邻居，直到原来点阵中的每一条边都被考 虑过了。整个图有n k 2 条边，重连过程将在绕这个环k 2 圈后结束。重新连 接过程中，不能进行自我连结和重复连结。即从某一个点出去的线不能再回到他 自身；已经有连接的两点不能再进行第二次连接。 对规则网络中存在的连接以概率p 重新连接时，选定顺时针或逆时针方向进 行此操作，假设选定顺时针方向为操作方向。任意节点i 它的顺时针和逆时针方 向上各存在k 2 条连接，顺时针方向上的k 2 条连接不管是否被断开再重连， 它们的始点都是i ，所以每个节点至少有k 2 条连接。重新连接后，任意节点i 的 度k ，可以写成毛= k 2 + g ，其中e 可以分成两部分：口k 2 是节点f 的逆 时针方向上k 2 条连接中未被打断进行重新连接的部分( 每条线不进行重新连 接的概率为1 - p ) ；g f f c ：。一? 是网络中其它的节点重新连向节点的连接, 2 cc i 数，它们是整个网络中需要进行重新连接的总数p k n 2 中的一部分。因为每一 1 7 个节点连向节点i 的概率都是相等的，所以口条连向节点i 的连接中，每条连上 的概率都为l 。所以c ? 和c ? 的概率分布可以写成： p ，( c ，1 ) = ct ( 1 _ p ) 。，1p 置协f ，1 ( 1 1 3 ) p ：( c m 盎，：妒。一专p n k f 2 - c f 2 呼p 卅2 m 埘 综上得到度分布( 当七k 2 ，八i ，置) ：m i n ( k k 2 ，k 2 ) i t c ) 跚 眦) = f 步删r ) cn t 刊n p k l 2 - n 等笨等叫，2 ( s ， s r n i m n d o 桊 图1 1 0 一维w - s 小世界网络的构造示意图，重连概率由左向右递增 图1 1 0 给出了w _ s 小世界模型的构造示意图，下图1 1 1 给出了我们计算的小 世界网络的度分布模拟结果：网络的节点数为1 0 0 0 0 ，不同的曲线表示不同的重 连概率。其中，左边的图表示重新连接第二近邻以内的所有边，右图表示重新连 接第三近邻以内的所有边。 根据图1 1 l 给出了w - s d 、世界模型模拟的度分布的结果，我们可以看出，w - s 小世界网络中度分布为一指数函数，其分布函数图形为一单峰状，即在 = k 处的几率最大，所以小世界网络相对来讲是一个均匀的网络，其中的节点的度可 以近似地认为是相同的。 1 8 量 陋b 睚k ( f 喇瞄- h 2 槲 瞄r 匪x ( 1 0 0 0 0 m 删。q _ 岬 图1 1 1v - s d 、世界网络的度分布模拟结果，网络中节点都为1 0 0 0 0 ，左图表示初始时刻 k = 4 ，右图表示初始时刻k = f i 当p = o 时，网络中的每个节点都有k 个邻居，所有节点的邻居之间的总连 接数为d = 3 k ( k 一2 ) 8 。此时网络的成团系数为： 3 k ( k 一2 1 c = 一k ( k - d2 黼 当p 0 时，网络中任一点j 在p = 0 的两个邻居仍为邻居的几率为( 1 一西3 ，所以 此时的成团系数为 c ( p ) c ( 。) ( 1 一p ) 3 = 3 4 ( ( k 足- 一2 1 ) ) f l 、一p ) ( 1 1 7 ) 图l - 1 2 给出了成团系数c 与重连几率p 的关系曲线，计算表明：在重连概 率不断增加的情况下，开始阶段w _ s 小世界模型的成团系数衰减很慢，随着网络 不断的随机化，成团系数衰减增快，这表明w - s 小世界网络具有较大的成团系数。 1 9 飘 图1 1 2w - - s 小世界网络的成团系数随重连几率变化的模拟图 在w - s 模型中，随机重新连接的边称为捷径( s h o r t c u t ) ，捷径对网络的平均 最短路经长度的影响是非线性的，因为每条捷径不仅影响到被此条线连接的两个 节点，还影响到了这两个节点的最近邻、次近邻、以及次次近邻，依次类推。 m e j n e w m a n ，c m o o r e 和d j w a t t s 分别用重整化群和序列展开方法给出了工 的一般形式嘲 l ( n ，) 虻掣f ( p r d v ) (1，t8)lnp p k n ，) 虻j - ) ( 1 ， 其中d 是网络的维数，函数f ( u ) 满足以下关系 fc o n s t l 。 ( l 1 9 ) 系统只要出现一条捷径即当p22 n k 时，整个网络的平均最短路径长度就 会开始变小，如图1 1 3 所示，相当少的捷径( 长程边) 就能够显著地减小网络 的平均最短路径长度。 图1 1 3w - s 小世界网络的最短路径长度随重连几率变化的模拟图 1 4b a 无标度网络( b a r a b a s i - a l b e r ts c a l e - f r e en e t w o r k ) 1 9 9 9 年，a l b e r t - l a s z l ob a r a b a s i 和r e k a a l b e r t 在分析大量真实网络数据的基 础上提出了无标度网络模型( b as c a l e - f r e en e t w o r km o d e l ) 跚。该模型的构造 主要基于现实网络的两个内在机制 增长机制：大多数真实网络是一个开放系统，即随着时间的推移网络的尺寸 是不断增大的，即：网络中的节点数和边数是不断增加的。例如互联网和因特网， 互联网中连接的计算机数量以及计算机间的连接都在不断的增多，而因特网中， 网页的数量以及网页间的超链接数量也都在不断的增多 择优连接：具有高度连接的点比其它连接较少的点更容易和新增加的点相 连。也就是富人更富的观点( t h er i c hg e td c h e r ) 。例如当建立一个自己的主页时， 你所参考的链接往往是那些访问量大、为人们所熟悉的网站。 下面给出b - a 无标度网络的构造方法： 增长：在初始时刻，假定系统中己有m 。个节点，在以后的每一个时间步长 中，我们增加一个连接度为m 的节点( 聊m 。) ，新增节点与网络中已经存在的 肼个不同的节点相连，且不存在重复连接。 择优连结：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点i 的概率r i 与 节点i 的度成正比 2 l n 眠) 2 螽 ( 1 f 2 0 ) 经过t 时间间隔后，该算法产生一个具有n = i n 。+ f 个节点、所r 条连接的网络 、 ， 、 t = l 宕匀 t = 2t = 3 图1 1 4b a 无标度网络构造的示意图 假定在网络的演化中。节点的连接度是一个连续变化的实变量。对网络中已 经存在的任意节点f ：其与新增节点连接的概率为兀( 置) = t j 七因为每个 新增节点的连接度为掰，所以节点珀q 连接度露。随时闯t 的演化满足嘶2 7 l o a k ，f = m g l ( k , 卜m 矗 mz 。 分母的节点求和不包括新增节点，即 乃2 2 r o t 一所 ( 1 2 2 ) 从而 姿：鲁 ( 1 2 3 ) a l2 f 考虑节点f 的初始条件葺瓴) = 历，可得 颤。) = 聊( 考) 声，= 吉 ( 1 ，2 4 ) 这样在，时刻，网络中任一节点的连接度小于t 的概率可以写为 p 陆，( f ) 可m 1 矿a t ) ，( 1 2 5 ) 由于是等时间步长向网络中增加新节点的，所以时间步长有一个恒定的概率密度 p ( ，j ) 2 者 带入式( 1 2 5 ) 可得 咿警) - l 一砚m v 丽p t 由于假定网络中节点的连接度是连续变化的，则有 以助= 掣待2 m + p t 丽1 m n tk * 蕊+ “ 当t - - h o o 时 以后) 2 研，2 去+ 1 即b a 模型的度分布与网络尺度无关，遵从d o w e rl a w 规律。 口1 d o d e g r e ek “0 0 0 0n o d e s ) 图1 1 5b 吐网络的度分布模拟图 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 图l1 5 给出的对于i 0 0 0 0 个节点构成的b - a 网络的度分布的模拟结果，不同的 曲线表示和肌取不同的值，可见模拟结果和理论值( 1 2 9 ) 相吻合。 b a 网络的平均最短路径长度目前还没有具体的解析表达式，对实际网络进 行的分析表明它与网络尺度的对数近似成正比目前最好的拟合结果具如下的 形式嘲 三= a l n ( n 一占) + c( 1 3 0 ) 图1 1 6 是对不同参数m 与的b - a 网络平均最短路径长度的数值模拟结果，很好 2 3 地符合了上面的关系式， 一 n 图1 1 6 对于b - 网络的平均最短路径长度随网络规模变化的模拟图 图1 1 7 是对不同参数棚与历。的b a 网络成团系数的数值模拟结果，可以看 出成团系数随网络尺寸的增大而减小，具有 c 一 n ” ，的值大约是o 7 5 。 n 图1 1 7 ：b _ a 无标度网络中，成团系数随网络规模变化的模拟图 ( 1 ，3 1 ) 第二章动态小世界神经系统中的锁相现象和类脑电图 行为 2 1 动态神经元模型简介 大脑作为一个极其复杂而高效的信息处理系统，其工作机制一直是神经生物 学、认识科学、信息科学、非线性动力学、生物物理等学科的研究热点，许多新 兴的交叉学科也因此而诞生( 例如计算神经科学) 。而神经元则是大脑中处理信 息的基本单元，对于神经元以及由神经元构成的神经网络的研究将有助于我们对 大脑处理信息的了解。 大脑是通过漫长演化而形成的具有高度组织和相互作用的中枢神经系统【2 9 3 0 】。从解剖学上，大脑包括前脑( 大脑皮层) 、间脑、中脑、后脑( 小脑和脑桥) 和延髓，其大致结构如图2 1 所示： 图2 1 大脑的基本结构的示意图 人的大脑皮层中大约有一千亿个神经元，每个神经元平均与其他一万个神经 元相联系，已知的神经元的种类超过一百种，但它们都具有如图2 2 所示的基本 结构1 2 9 】。 2 5 图2 2 神经元的基本结构示意图 神经元一般由胞体( s o m a ) ，轴突( a x o n ) ，树突( d e n d r i t e s ) ，突触( s y n a p s e ) 四部分构成。粗略地说，神经元的胞体和树突接受来自其他神经元的神经冲动或 信号，产生兴奋。当兴奋程度大于某一阈值时，便产生一个神经冲动或信号沿轴 突快速传播。轴突末梢与其他神经元树突或胞体是通过突触相连的。 神经生物学实验早已实现了对单个神经元状态的测量，两描述一个神经元的 状态是用所谓膜电位( m e m b r a n ep o t e n t i a l ) ，定义为神经元某部位内部和外部 的电势差。具体的测量过程如图2 3 所示： 图2 3 对神经元膜电位的测量示意图 实际神经元在平衡态，即不接受任何刺激的静息状态时，膜电位一般为一6 5 毫伏 左右。当有来自其他神经元的神经冲动到达相应的突触时，突触会释放出所谓的 神经递质，通过一系列生化作用使突触后神经元的细胞膜对于菜种离子的通透性 改变，造成净的正离子流或负粒子流流进胞体，使神经元的膜电位改变t 使膜电 位升高的突触叫兴奋性突触，降低的叫抑制性突触。如果某一时刻综合所有升高 和降低效果后膜电位高于某一临界值，一般为一5 0 毫伏左右，则神经元会产生一 个所谓动作电位( a c t i o np o t e n t i a lo rs p i k e ) 或神经冲动沿轴突传播，从而 完成从接收信息、处理信息到发送信息的过程。 根据实际神经元的生理学特征，人们提出了许多神经元的数学模型，例如： p i n s k y r i n z e l 模型p 2 】、h o d g k i n - h u x l e y ( h _ h ) 模型1 3 1 3 引、f i t z h u g h n a g u m o 模型 3 4 3 5 】以及i n t e g r a t a n d - f i r e 模型3 q 等。下面我们主要研究一种简单的动态 神经元模型弘7 3 8 1 。 从信息处理角度来看，大体上可以把生物神经元分成三个区域：树突区、始 段和轴突。要想建立一个从内在逻辑上来说和真实神经元尽量接近的模型，就必 须分别对这三个区域考虑它们的输入和输出之间的动态关系。 这样所谓的树突区包括中间神经元和运动神经元的树突和胞体上所有覆盖 有突触的区域，也包括感觉神经元接受外界刺激的区域，这实际上就是神经元接 收输入信息的区域。但上述两类区域在性质上有所不同。 对于中间神经元和运动神经元来说，其输入是脉冲式的。当突触前末梢有神 经冲动传来时，就会向突触间释放一定量的递质，而在突触后膜产生随时问作指 数衰减的兴奋性突触电位或抑制性突触后电位( 按所释放的递质性质而定) 。从 突触前末梢传来神经冲动，再到突触后膜开始产生电位变化，其间有一段为时约 0 5 - 1 0 毫秒的突触延迟。这是神经元从接受到发送信息之间的主要时间延迟。 考虑到膜有膜电容和膜电阻，并考虑到突触后电位的指数形式，因此可以用下列 一阶微分方程来描述。 型+掣=auzj(td一乃)t 乃 ” 其中x i j ( t ) 代表第i 个神经元上和第j 个神经元的末梢所形成的突触处的突触后 电位。z j ( t ) 为第j 个神经元的输出，这是一串脉冲系列。a i j 为作用系数，其值 和单个脉冲所引起的递质量子释放的量有关，其符号则取决于这个突触是兴奋性 的( 此时为正) 还是抑制性的( 此时为负) 。f 。代表突触延迟，t i j 为时间常数。 对于感觉神经元来说，其不同之处在于它的输入不是神经脉冲，而是外界刺 2 7 激，一般来说这是一个模拟量。因此相应的微分方程为 dx,o(t)十x,一oj_2：4。(f)dt 焉 其中x i o ( t ) 为感受器电位，i i ( t ) 为外界刺激，a i o 为传递系数，t i o 为时间常数。 由于神经元的胞体和树突几乎全部为突触前末梢所覆盖，只有始段裸露在外 面，此处的电阻最小，因此由突触后电位所引起的局部电流都要流经始段而在此 处总和起来。不同的突触离始段的距离各不相同，所在膜的电学性质也不完全相 同，因此在总和时都要乘上一个权重因子。当此总和电位达到某一阈值时就会发 送一个神经冲动沿轴突向下传导，而始段处的分级电位则将下降到静息电位稍 下，然后再重新总和直到再次达到阈值。当然始段处的膜也具有膜电阻和膜电容， 因此始段处的分级电位的动态过程应当遵守下列微分方程 掣+ 掣：n 妒删卜。础) i = l ，2 “，n ( 2 3 ) ij 卸 其中y i “) 表示第i 个神经元始段处的分级电位，眠j 是权重系数，t 是时间常 数。式中右端求和项表示由感受器电位和突触后电位所引起的局部电流之和，而 第二项则表示由于神经元发放神经脉冲所引起的始段分级电位复极化。 为了数学处理的方便，可将上式归并同类项后整理得到下式 业+掣：兰勤(r)一。，刁(f)dt z舞9 ”7 7 n 其中，霉= l ，暗+ ) 1 f- 0 轴突是神经元的输出端，其上只有全或无的神经冲动。由于神经冲动本身的 波形和幅度都是恒定的，因而这些性质看来并不携带神经元的输出信息。重要的 只是神经冲动出现时刻的时间序列或脉冲的时问序列，而每个神经冲动则可用脉 冲函数来近似。只要始段分级电位达到阈值，就有脉冲发放，因而可建立下面的 方程； 互( f ) = 艿( ( f ) 一只) ( 2 4 ) 其中6 ( t ) 为脉冲函数， 6 ：为阈值，0 包。顾凡及等【4 ”给出