（数学专业论文）传染病动力学和种群动力学中若干问题的研究.pdf

华东师范大学博士后研究工作报告 第一部分关于传染病动力学的研究 传染病历来就是危害人类健康的大敌，传染病的流行给人类的生存带来了巨 大的灾难，如艾滋病，天花，麻疹，黑死病，s a r s 等等。正因为如此，传染病 的研究受到越来越多的学者的关注 对传染病的研究方法主要有四种t 描述性研究，分析性研究，实验性研究和 理论性研究传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法它 是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有 关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学 性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律， 预测其变化发展趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的 最优策略，为人们防治决策提供理论基础和数量依据。 在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的”仓室( e o m p a r t m e n t ) ”模型，它的基本思想是由k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 创立于1 9 2 7 年， 但一直到现在仍然被广泛地使用和不断地发展仓室模型将种群分为若干类，如 易感者( s u s c e p t i b l e ，简记为s ) 、潜伏者( e x p o s e d ，简记为e ) 、染病者( i n f e c r i v e ，筒记为i ) 、恢复者( r e c o v e r e d ，筒记为囝等等所分的仓室不同，相应 的模型就不同。在这一部份关于传染病动力学的研究中，我们主要对种群规模发 生变化的s e i s 模型和具有后分支现象的s i s 模型分别进行了详细的研究，下 面一一介绍 一种群规模变化的s e i s 流行病模型 许多流行病模型假设流行病在一个种群规模不变的种群中传播，当种群的自 然出生率与死亡率相等，且疾病不导致死亡的情况下，这样的假设是合理的当 流行病在种群中迅速传播，又迅速消失时，可以认为种群规模没有变化；当流行 病传播的时间很长，且不导致死亡的情况下，可以认为种群的出生率与死亡率相 等，这时种群的规模也没有发生变化但当种群的出生率与死亡率不等，或者疾 病会导致种群的死亡时，假设种群的规模不发生变化就不再合理了，就必然去考 虑种群规模的变化对疾病在种群中传播的影响关于种群规模不变的流行病的研 究比种群规模发生变化的流行病的研究成果多得多，这是因为在研究过程中， 种群规模不变时，常常可以通过降唯来简化问题，研究的方法比规模发生变化的 要简单，这也是近年来关于这类模型得到迅速发展的原因与其相比较，种群规 模发生变化的流行病模型的研究成果就少很多，但也还是有一些，比如 1 1 1 】我 2 传束瘸动力学和种释萄力学中若干何慝的研究 们在此所要研究的模型是 s = ( 6 一d ) s + 7 i m s n ， e = b ( e + i ) 一d e + a j s n e e ， ( 1 1 ) i = - ( d + ) j + e e 一7 j 由模型( 1 1 ) ，得到n ( t ) 应该满足 n ( t ) = ( b d ) n ( t ) 一n ( t ) ( 1 2 ) 这里，种群的自然出生率和死亡率分别为6 积d ，种群的净增长率为f = b - d ， 因病死亡率为o 如果r = b d 0 时。 该种群或者趋于0 ，或者保持为一个有限常数，或者无限增长由此可见，由于 该种群的出生率与死亡率不等，并存在着疾病的因病死亡率，使得该种群的规模 是变化的我们将整个种群n ( t ) 分为三类：易感者s ( t ) ，潜伏者e ( t ) 和患病者 j - ( t ) 大多数传染病的模型忽视疾病的潜伏期，假设一旦被感染后就发病，而许 多疾病。如乙肝，查格斯病，艾滋病等等，被感染者在发病前有一个潜伏期，所 以我们在模型( 1 1 ) 中把这类人单独分出来为e ( t ) ，e 是潜伏者变为染病者的 比例。这样，1 e 也就是疾病的平均潜伏期关于流行病有潜伏期的相关文献参 见【n - 1 3 此外，我们在模型( 1 , 1 ) 中既考虑了水平传染，还考虑了疾病的垂直 传染，这在许多疾病中也确系如此，如风疹，单纯疱疹，乙肝，艾滋病等等水 平传染是通过与染病者直接或间接的接触，或者通过疾病传播的媒介，如蚊子， 扁虱等的叮咬垂直传染是通过染病者胎盘传染的，也就是说通过分娩传染给其 婴儿，关于这方面的相关文献见【1 4 - 15 1 模型( 1 1 ) 中假设潜伏者和染病者的 婴j l 均染病，且与成年患病者一样，先进入潜伏者，也就是b ( e + n 流行病传 播中，易感者变为染病者的比例称为疾病的发生率，在模型( 1 1 ) 中，a 是单位 时间内一个染病毒与其他个体平均接触次数，时间单位可以是天，周，月，年 a s c t ) l v ( t ) 是个染病者在单位时间内传染的个体的平均数量，a s ( t ) x ( t ) n ( t ) 是单位时间内所有染病者传染的个俸的平均数量，这种形式的发生率被称为标准 发生率古典的流行病模型的发生率是双线性型的，即卢s p ) i ( t ) ，芦被称为传 染系数，这种发生率被称为简单质量作用发生率与标准发生率相比较，当标准 发生率中的a = 卢，即接触率与种群的规模成正比时就得到了简单质量作用 发生率。当人口数量不是很大时可以这样假设，但当入口数量很大时，与入口的 数量成正比的接触率显然就不合理了，因为单位时间内一个病人所能接触他人的 数目是有限的，可以假设其是个常数 ，这时标准发生率就更合理了人类和动 物的疾病，大多采用标准传染率，见【1 6 】7 是染病者病愈后又重新成为易感者 的比例模型( 1 1 ) 中所有的系数b ，d ，a ，e ，o 稠? ，均为正常数。 系统( 1 1 ) 是一个种群规模变化，具有垂直传染和潜伏期，疾病发生率为标 准形式的s e i s 流行病模型关于s i ，s i s 流行病的研究已有不少的结果，但 华东师范大学博士后研究工作报告 这些模型仅研究上述这几个方面的某些情形，如【1 7 】研究了一个具有标准发生 率而无垂直传染和因病死亡，种群规模为常数的s i s 模型；【1 8 1 分析了个具 有密度依赖发生率( 标准发生率和简单质量作用发生率是其两种特殊形式) 的一 般的s i s 模型，种群规模指数变化；文献【1 9 - 2 2 研究了种群规模具有l 嚼s t i c 结构的s i ，s e i 和s i s 流行病模型 对种群规模变化的流行病模型，有许多问题值得探讨，如疾病是消失还是流 行，疾病的致死率是如何影响种群规模及疾病的持续? 随着时间的变化，疾病在 种群中如何发展? 所以对模型( 1 1 ) ，我们首先通过无量纲华8 = 斋，e = 导，t = 寺，考虑与系统( 1 1 ) 对应的系统( 1 3 ) ： = 7 i 一( a a ) s i ， e = b i + 口e i + a s i e e ， ( 1 3 ) i = e e 一( o + 7 + b ) i + 口铲， 由于8 + e + i = i ，又得到 ? = 7 i 一( a 一。) s t ，f 】4 1 l = e ( 1 8 - i ) 一( a + 7 + b ) i + a i 2 、7 对系统( 1 4 ) ，总存在疾病消失平衡点p o ( s ，i ) = p 。( 1 ，0 ) ，并且，记d 圭击；， 该阈值决定了疾病消失平衡点的稳定性 定理1 1 如果盯 1 ，它是不稳定的 定理1 1 说明当口 1 时，疾病不再消失， 成为地方病，也就是种群中被感染的部分在时问足够长时，会持续在某个正水平 之上关于疾病的持续性，我们有： 定理1 2 系统p 纠在r = ( s ，e ，i ) r ；ls + e + i = 1 ) 内是一致持久的 当且仅当盯 1 系统( 1 3 ) 是一致持久的。也就是，一定存在常数0 1 ，系统( 1 3 ) 只存在一个地方病平衡点( 8 ，e + ，矿) ，进一步地，我们 有t 定理1 4 设口 1 ，那么，只要ose ，唯一的地方病平衡最( 8 + ，i ) 在d 内就是全局渐近稳定的 对该唯一的地方病平衡点在证明它的全局渐近稳定性时，传统的构造无限大 正定l i a p u n o v 函数的方法已不再适用，用的是单调动力系统的b e n d i x s o n 准则 和高唯自治系统的周期轨的稳定性准则【2 4 - 2 6 】为了更好地说明，我们在此对 一些记号进行说明 设z 卜，( o ) 是在d c r - 上关于的一个g 1 函数，对微分方程 士= ，( z ) ，( 1 5 ) 记o ( t ，$ o ) 为方程( 1 5 ) 过z ( 0 ，x 0 ) = o 的解，作下列假设t ( h ) 有一个紧吸引集k cd ； ( h 2 ) 方程( 1 5 ) 在d 内有唯一的平衡点牙 当n 2 时的b e n d i x s o n 准则，是使得方程( 1 5 ) 没有非常数周期解时函数 ，所满足的条件b e n d 缸s o n 准则被称为在z l d 处对，的局部g 1 扰动是鲁 棒的，如果对充分小的e 0 及z l 的邻域u 内，函数g c 1 ( d _ r t i ) 也满足 b e n d i x s o n 准则，并使得s u p p o r t ( f g ) c u 且i ，一g l o e ，这里 t i - 9 i 。，= s u p t f ( z ) 一9 ( 。) l + l 鬈( z ) 一丽o g ( 。) l ：卫d 一 这样的函数9 被称为函数，在研处的局部e 扰动 文献 2 6 】证明了下述定理； 定理1 5 假设r 珥j 和f 日2 j 满足，方程p 纠满足b e n d i x s o n 准则并且在所 有的非平衡点的非游荡点处关于，的g 1 局部扰动下是鲁棒的，那么只要虿在 华东师范大学博士君研究工作报告 d 内是稳定的，它就是全局稳定的 进一步地，记 b = p f p 一1 + p _ v jp 一1 ， 其中。卜p o ) 是一个( ( ；) 的矩阵值函数，它关于。d 是c 1 的，p f 是 p 沿着向量场，的方向导数。卢旧) 是b 的l o z i n s k i i 测度，根据下式定义： “= l i 。坠挲坚 2 由下式定义： 现= 1 1 嬲9 躲以肛( b ( 茁( s , x o ) ) ) 如 由文献【2 6 】可知，2 0 是方程( 1 5 ) 在d 内的b e n d i x s o n 准贝0 ，而且它在所 有的非平衡点的非游荡点处关于，的g 1 局部扰动下是鲁棒的，这样又有下面的 定理； 定理羔6 假设d 是单连通的，且假设r 趣j ，他j 成立，那么当玩 d 这时，记 ，( z ) 圭一竺；丧i ；：3 兰+ 堑二2 兰 云i 秽+ t ， 且万圭，( 警) ，一圭研芸g a 毫丽除了盯外，要决定系统( 1 6 ) 的动力学行 为，还需依赖阈值万和仃我们证明了下列定理； 定理1 7 如果万盯，系统口缈仅有一个平衡点( 0 ，0 ，0 ) ；如果万= 仉a o 且b b 的条件下，如果仃。 1 ， 那么( e ( t ) ，( t ) ) 不会趋干( 0 ，0 ) 定理1 9 设盯 1 ，e 口和b 0 仍然是死亡率常数，日( ) 是种群规模的函数，表示出生率， 当n ( 0 ，o 。) 时，它满足下列三个条件： ( a 1 ) b ( n ) o ； ( a 2 ) b ( n ) 是连续可微的，且b ( ) d b ( o o ) 条件( 以。) 和( 山) 意味着当n ( b ( o o ) ，b ( 0 + ) ) 时，b 一( ) 存在( b 一 表示b 的反函数) ，( a 3 ) 说明存在一个环境最大容纳量k 使得当n d ，而当n k 时b ( n ) d ； ( b 2 ) b 2 ( ) = 赤，且p ，q ，i n 0 及； d ( b 3 ) 日3 ( ) = 景+ c ，且d c 0 当出生率取为密度依赖的函数b ( n ) 时，系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 分别改写为； s = ( b ( ) 一d ) s + q i 一：l 1 s n ， ， 应= b ( ) ( e + ，) 一d e + m s n e e ， ( 1 8 ) i = - ( d + 口) j + e e 一，y j 及 n ( t ) = ( s ( g ) 一d ) g ( t ) 一口，( ) ( 1 9 ) 考虑到种群的出生由于受季节变化的影响，所以其出生不一定是连续的，而可能是 以规律的脉冲形式发生，如每隔r ( 正常数) 时期出生一次，这样，易感者，潜伏耆和 种群在离散时刻礼r ( n = 0 ，1 ，2 ，) 的出生可以分别表示为b ( n ( n r 一) ) s ( 扎r 一) ， b ( i v ( n ，- 一) ) 陋( n r 一) + i ( n r 一) ) 和日( ( n r 一) ) ( 仃r 一) ，这样就有下面的脉j 申方 华东师范大学博士后研究工作报告 s ( n t + ) e ( n r + ) j ( n 丁+ ) n ( n r + ) = 一d s 十7 i 一) 、i s n ， 意= 一d e + m s | n e e + j = 一( d + q ) j + e e 一7 i ， j 7 i r ：一d n o j t n t = ( 1 + b ( n ( n r 一) ) ) s ( 竹一) ， = ( 1 + b ( n ( n r 一) ) ) e ( 盯一) + b ( n ( n r 一) ) ，r 一) = i ( n t 一) ， = ( 1 + b ( n ( n r 一) ) ) ( 礼r 一) ， 对系统( 1 1 0 ) 我们可以找到它的疾病消失周期解，但对于其余动力学复杂 现象，只能通过数值模拟实现模拟结果显示，其动力性是非常复杂的，会出现 稳定的正周期解，倍周期分支，混沌吸引子及吸引子共存的现象 二具有后分支现象的s i s 模型 k e r m a c k 和m e k e n d r i c k 针对脑炎、淋病这类疾病提出了经典的s i s 模型， 该模型将整个种群分成了易感者和染病者两大类，康复者不具有免疫力，可以重 新成为易感者在此基础上，我们对具有后分支现象的s i s 摸型进行了研究 设种群在时刻t 的数量记为n ( t ) ，将其分为易感者、染病者和接种者，在时刻 t 的数量分别为s ( t ) ，( t ) ，y ( t ) ，即n ( t ) = s ( t ) + z ( t ) + v ( t ) ；种群自然出 生率和死亡率均为b 0 ；被感染的种群生下的婴儿仍为感染者的比例为p ， 0 p51 ；易感者和接种者生下的婴儿均为易感者；新生婴儿被接种的比例是 乜1 0 ，1 】；易感者被接种的比例是口；一个染病者的有效接触率为芦，对易感 人群的传染能力用标准形式卢f s ，表示；受接种的影响，对接种者的传染能力 表示为( 1 3 v i n ，其中e 0 ，1 1 ，体现了接种的有效性，当e 为0 时，表示按 种完全有效，e 为1 时，接种完全无效；接种的有效性逐渐消失，又成为易感者 的比例是0 0 ；被感染者病愈重新进入易感人群的比例为a ，基于上述的假 设，我们得到下列的流行病模型t s = ( 1 一a ) ( b n p b i ) + a j + o v 一卢s z u 一( b + q ) s ， j = p b l + z s i n + ( 声y j 一( b + a ) j ，( 2 1 ) v = a ( b 一p b i ) + q s 一( z w n 一( 6 + 日) 矿 九 1 礼 q = f 、，i， 8 传染瘸莉力学和种群动力学中若干问是的研究 由于该种群的自然出生率等于死亡率，疾病又不导致死亡，所以种群的数量( t ) 为一常数，不失一般性，我们取该常数为1 ，则系统( 2 1 ) 变为t s = ( 1 一口) o p 6 ，) + a ，+ o v 一卢5 y 一( b + q ) s ， = p b i + 卢s j + ( f l v i 一( b + a ) ，( 2 ，2 ) v = a ( 6 一p b i ) + g s 一( f l v i 一( b + p ) v ( 2 2 ) 等价于 s = ( 1 一o ) ( 6 一p b i ) + ，+ o ( 1 一s 一，) 一卢s j 一( b + 口) s i = p h i + 声s j + 芦( 1 一s i ) i 一( b + a ) j ，( 2 3 ) v = 1 一s j - 经过计算，系统( 2 2 ) 总存在疾病消失平衡点x d f 丘正平衡点( 疾病流行 平衡点) 可能有零个，个或者两个记n , o = 器拳筑g 等掣，当凰 0 ，使得d + i izi | 一叩j l zm # 满足( 2 7 ) ，进一步证明， 对单连通区域d 中任意的简单闭曲线妒，存在一个曲面序列 矿) ， 矿) 相对 于( 妒，d ) 使函数s 最小化，同时存在e 0 ，使得t 【0 ，e 】时，饼cd ， = 1 ，2 ，这样系统( 2 2 ) 在d 内部的任何极限点一定是一个平衡点，从雨 推断，如果系统( 2 2 ) 没有地方病平衡点，那么所有的解都趋向于疾病消失平衡 点；如果有两个地方病平衡点，且凰 1 ，当z ( o ) 0 时，系统的解均趋向于唯一 的地方病平衡点x p 证明过程中与文献f 2 7 ，2 8 1 所不同的是，由于后分支 现象的出现，d 中不一定存在紧的吸引集，从而相对于( 妒，d ) 使函数5 最小 化的曲面妒不一定都在d 内，所以需要证明上述符合条件的曲面序列f ，的 存在 在系统( 2 1 ) 中，我们在对新生婴儿和易感人群进行接种时，假设都是连续 的，而实际中对易感人群的接种往往是每隔一段时期r ( 正常数) 进行一次的， 如在固定时刻( t = 仲r ，n = 0 ，1 ，2 ，) 进行时，系统( 1 ) 中的q s 被设为0 ， 9 1 0 传染病动力学和种群动力学中若干问是的研宪 并用脉冲的形式表示，则有下列的脉冲系统 s = ( 1 一a ) ( 6 一p ) + a ，+ 8 v p s n 一6 si f = p 6 j + # s i + 够v i n 一( b + a ) ， t 盯 v = a ( b n p w ) 一( 卢y ，一( b 十口) kj s ( r 盯+ ) = ( 1 一g ) s ( 町一) ，l i ( n r + ) = i ( n t 一) ， t = 礼r v ( n r + ) = y ( 盯一) + q s ( n t 一) ，j 我们仅需要考虑下列系统： ( 2 8 ) 鼍三q矬了淼：焉1-ms-川)-，#ip b i # s i sb s 卜硌 t 眠 = + 十( 廖t ( 1 一一j ) 一( + a ) j ，j 。 ： 扎r ：? = ( 1 一9 2 s ( n 下一) ， t = 礼下， j ( 盯+ ) = l ( n t 一) ，j ( 2 9 ) 利用求不动点的方法来求出系统( 2 9 ) 的庆病消失周期解( s ( t ) ，0 ，1 一_ s ( 亡) ) ，其 局部稳定性可由f l o q u e t 乘子原理得到，其全局渐近稳定性可利用比较原理证 明，也就是下面的定理： 定理2 1 设a 口，b ( 1 一p ) 一印+ a 0 ，如果面 1 时它是不稳定的 丽= 1 是一个临界值这里的丽= 豇苇g 辫一两舞眷) + 幽b + a 在瓦= 1 时，为了简化瓦，我们通过合理假设f 南，利用t a y l o r 展 开式，忽略高阶项，得到下列的： 一 栌而丽两器杀蔷锍丽 这就可以通过控制接种间隔周期来达到控制流行病蔓延的目的，在操作上较简 单，方便当瓦= 1 ，也就是当r 与e 非常接近时。利用脉冲系统分支理论 3 0 】，可以证明正周期解即流行病蔓延周期解的存在，也就是下面的定理t 定理2 2 设 s 口，b ( 1 一p ) + 一e 莎 ( 1 一p ) b + a ，且方程加+ 卢( 1 一e “) 一( 1 一 e ) 士。p ( t ) 驴( t ，牡) d t 一( b + a ) = 0 在区间 1 n k i ! = 产生) ，l n ( 1 一【! = l 垒= 生) 】上只 有一个实根u ，那么系统偿1 0 ) 至少有一个正t 一周期解 1 1 传染瘸动力学和种群动力学中若干问题的研究 第二部分关于种群动力学的研究 近年来，由于害虫的肆虐而造成的损失是巨大的，如何减少损失就是一个重要 而复杂的问题我们在这一部分研究的是害虫综合治理的问题害虫综合治理 ( i n t e g r u t e dp e s tm a n a g e m e n t ，筒穆为i p m ) 是一种更安全、更经济、更有效的治 理害虫的方法，它集生物控制，化学控制为一体所谓生物控制，是利用生物机 体，如寄生虫，捕食者或病原体等来控制害虫，使害虫在经济危害水平之下生 物控制或者是自然的，或者是应用的，自然的生物控制是指自然出现的天敌使得 害虫的数量比没有天敌时害虫的数量低，这是生物相异系统的特性哺乳动物， 鸟类蝙蝠，昆虫，霉菌，细菌及病菌都可以在一个农业系统中充当捕食者或寄 生虫的作用应用生物控制，也称强生物控制，包括补充有效机体，如通过周期 释放寄生虫，捕食者或者病原体，这在许多情形下都是有效的现在被用在生物 控制中的有效的生物机体大多是昆虫寄生虫或者捕食者，对大范围的害虫。无论 是毛虫还是幼虫都进行了控制化学控制在害虫带来迅速的损失而保护性的治理 方法不起作用时才被使用，这是由于杀虫剂的使用既降低了系统的生物相异性， 使系统不稳定，也随即带来了一些问题，如对环境的污染，这对人类的健康也带 来了危害但是也并不是说要放弃对杀虫剂的使用，当其他的措施都不起效时， 杀虫荆就是一个强有力的工具，只不过在使用杀虫剂时要4 、, 5 - 杀虫剂是当其余 的方法无法将害虫的数量控制在经济危害水平之下时最后采用的手段正因为生 物控制与化学控制各有利弊，所以在害虫治理中经常把二者综合起来，也就是进 行综合治理 一 在这一部分中，我们考虑的害虫综合治理模型综合了生物控制和杀虫剂的使 用，天敌( 捕食者) 对害虫( 食饵) 的消费依赖害虫的密度，捕食者( 天敌) 具 有年龄阶段，分幼年和成年，且成年才具有捕食能力，幼年不具有捕食能力，见 下列模型t z= 掣l = y 2 = t n t a 缸y l ( n t t j 三t=ntay2(nt ) = n ， t = ) = n ， j ( 3 1 ) 这里，z ( t ) 表示害虫( 食饵) 的密度，y l ( t ) 和驰( t ) 分别表示天敌( 捕食者) 的幼 年者和成年者的密度，r 是食饵的内禀增长率，声是捕食者的捕食率，a 是当被 摄取的食饵超过捕食者所需的时候，食饵转化为捕食者增加的转化率，d 是捕食 者的死亡率，m 是捕食者从幼年到成年的转化率，它决定了捕食者的成熟期 脚州 妒州纸盘亲 华东师范大学博士后研究工作报告 在模型( 3 1 ) 中，捕食者在对被捕食的食饵进行消费时，被捕食的食饵越多，捕 食者消费的越少，即捕食者的消费是与食饵的密度相关的，用壬 箍表示，h 是 捕食者对食饵的处理时间。 由【3 1 3 2 提出的具有年龄阶段结构的捕食- 食饵模型如下： 士 = r x ( 1 一o ) 一声茁可2 ， 口1 = a ) g x y 2 一( d + m ) m ，( 3 2 ) y 2 = m y l d y 2 ， 方程( 3 2 ) 中，捕食者对食饵的消费与被捕食的食饵数量成正比，用a 励驰表示， 这在被捕食的食饵数量不是很多时是合理的，但当被捕食的食饵数量很大时，由 于捕食者的消费能力是有限的，不可能无限增大，所以模型( 3 1 ) 对捕食者消费 的假设当被捕食的食饵数量很大时更合理另外，模型( 3 1 ) 还考虑了杀虫荆和 天敌的定期投放，假设每间隔t ( 正常数) 时期进行一次，7 2 = 0 ，1 ，2 方程 ( 3 1 ) 是一个脉冲动力系统a x ( n t ) = x ( n t + ) 一x ( n t ) ，x ( n t + ) 是食饵在笫 n 次脉冲后的密度，x ( n t + ) = 1 噢。卫( ) ，且( t ) 在t = 佗t 是左连续的，即 x ( n t ) = i i 磐嚣( ) ，a y l ( a t ) 和a y 2 ( n t ) 与。( 刃) 的意义相似，具体可参见 文献【3 3 3 4 】，p 表示由于杀虫剂的使屠，害虫被消灭的比例，o p 1 ，t 1 和n 分别表示对捕食者幼年和成年的脉冲投放量，n ，n 0 对方程( 3 1 ) ，我们得到其害虫根除周期解( 相应于茹= 0 的解) ，并用比较 原理证明它是全局稳定的有下面定理t 定理3 1 如果t ( 卢( i 焉蠹+ 寻) + i n 击) ，那么系统p u 是一致持久 的 该定理的证明通过找解的上下界来实现 在现实世界中，几乎无一例外地，种群都是生活在周期变化的环境里，如温 度的周期变化强度影响细菌的再生率；月亮和潮汐的周期调节水陆系统中许多 物种的迁移率；光的强度控制着各季节的光合作用，季节的周期变化影响着种群 的交配习性，食物的可得到性等因此，很自然地，就会弓 发我们去探究这些周 传染痛封力学和种群动_ 力学中若干同意的研究 期现象对物种行为所起的重要作用，这样，对系统( 3 1 ) ，我们添加周期强迫项 b ( 1 一c o s ( w t ) ) x ( b 和分别表示强迫项的振幅和频率) ，它表示害虫( 食饵) 的出生率的周期变化，可得到下面的系统： 差壅l+flhz掣1cos”净卜nt,myl d y 2 。， 口1 = 纽一( d + m ) l ，t 协= 一 ， j，。 a x ( n t ) = - p x ( n t ) ，l 、1 a y l ( n t ) = n ， t = n t , a y 2 ( n t ) = n ，j 系统( 3 3 ) 中的周期强迫项对该系统的动力学行为的影响是非常大的我们 根据该项的周期警和脉冲周期t 对系统( 3 3 ) 进行数值模拟，模拟分以下几 种情形分别进行，当强迫项的周期粤和脉冲周期t 相同时，系统( 3 3 ) 只有一 个稳定的周期解，周期为t ，且当振幅日变化时，不同的周期解的曲线形状不 同，我们发现，只要强迫项的周期与脉冲周期相同，不论周期是有理数还是无理 数情形都类似当强迫项的周期与脉冲周期不匝时，我们根据它们两者的比值 7 = 曼弘来分若干种情形分别考虑，如果7 是有理数，此时一定存在一个稳定 的周期解。但对于7 是有限小数和无限循环小数时，对应的稳定周期解的曲线迥 然不同，形态各异；当，y 是一个正整数时，随着分支参数b 的增长，系统( 3 3 ) 出现了周期增加分支和混沌吸引子如果7 是一个无理数，相应的分支图类似， 当分支参数b 增加时，除了一个稳定的以r 为周期的周期解外，还出现了拟周 期解由此可见，系统( 3 3 ) 中的周期强迫项使该系统的动力学行为变得非常复 杂 参考戈靛 参考文献 1 】rm ，a n d e r s o n & r m m a y ， 1 9 7 9 “p o p u l a t i o nb i o l o g yo fi n f e c t i o u s d i s e a s ei ，“n a t u r e1 8 0 ，3 6 1 3 6 7 【2 】r m a n d e r s o n ，r m m a y ， 1 9 8 1 “t h ep o p u l a t i o nd y n a m i c so f m i c r o p a r a s i t e sa n dt h e i ri n v e r t e b r a r e sh o s t 。”p h i l o s t r a n s r s o c l o n d b 2 9 1 ，4 5 1 5 2 4 【3 s n ，b u s e n b e r g ，& k p h a d e l e r ，【1 9 9 0 “d e m o g r a p h ya n de p i d e m i c s ，” m a t h b i o s c i 1 0 1 ，4 1 - 6 2 【4 】f b r a u e r ， 1 9 9 0 】“m o d e l sf o rt h es p r e a do fu n i v e r s a l l yf a t a ld i s e a s e s ，” ，m a t h b i 0 1 2 8 ，4 5 1 4 6 2 5 】a ，p u g l i e s e ，f 1 9 9 0 j 。p o p u l a t i o nm o d e l sf o rd i s e a s ew i t hn or e c o v e r y , * ，m a t h b i 0 1 2 8 6 5 8 2 【6 】er t h i e m e i 【1 9 9 2 】“e p i d e m i ca n dd e m o g r a p h i ci n t e r a c t i o ni nt h e s p r e a do fp o t e n t i a l l yf a t a ld i s e a s e si ng r o w i n gp o p u l a t i o n s ，”m a t h b i o s c i 1 1 1 ，9 9 1 3 0 7 】j m e n a - l o r c a ，h w h e t h c o t e t 1 9 9 2 “d y n a m i cm o d e l so fi n f e c t i o u s d i s e a s e sa sr e g u l a t i o n so fp o p u l a t i o ns i z e s ，”，m a t h b i 0 1 3 0 ，6 9 3 7 1 6 8 】r m a n d e r s o n ，r m m a y a r m c l e a n ，f 1 9 8 8 “p o s s i b l ed e m o g r a p h i c c o n s e q u e n c e so fm d si nd e v e l o p i n gc o u n t r i e s ，”n a 抛r o3 3 2 ， 2 2 8 2 3 4 【9 】c c c a s t i l l o - c h a v e z ，k l c o o k e ，l h u a n g & s a l e v i n ， 1 9 8 9 】“o n t h er o l eo fl o n gp e r i o d so fi n f e c t i o u s n e s si nt h ed y n a m i c so fa i d s ，p a r t 1 ，s i n d ep o p u i a t i o nm o d e l s ，。，m a 玩挠o t2 7 3 7 3 3 9 8 【1o j ：m h y m a n e a s t a n l e y , 【1 9 8 8 j “u s i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l st o u n d e r s t a n dt h ea i d se p i d e m i c ，。m a t h b i o s c i 9 0 ，4 1 5 - 4 7 3 【1 1 】j a ，j a c q u e z ，c ，p s i m o n ，j k o o p m a n ，l ，s a t t e n s p i e l & t p e r r y , f 1 9 8 8 j 4 m o d e l l i n ga n da n a l y z i n gh t r a n s m i s s i o n ：t h ee f f e c to fc o n t a c t p a t t e r n s ，”m a t h b i o s c i 9 2 ，1 1 9 1 9 9 【1 2 】r m a n d e r s o n & r m m a y , 【1 9 9 2 ii n f e c t i o u sd i s e a s e 盯h u m a m ， d y n a m i c sa n dc o n t r o l ( o x f o r du n i v e r s u t yp r e s s ，o x f o r d ) f 1 3 jh w ，h e t h c o t e s a l e v i n ，f 1 9 8 9 jp e r i o d i c i t yi n 唧i d e m i o l o g i c a l m o d e l s ，i na p p l i e dm a t h e m a t i c a le c o l o g y ( g r o s s ，i & l e v i n ，s a e d s ， s p r i n g e r ，n e wy o r k ) 1 6 传粜瘸动力学和种群莉力学中若干问惠的研究 【1 4 】k b e u e n i r p d r e s s e r ， 1 9 9 6 】c o n t a g i o u sa n dn o n - c o n t a g i o u si n f e e t i o u sd i s e a s es o u r c e b o o k , h e o d t hs c i e n c ee e r i e s8 ( o m n i g r a p h i e sl n c ， d e t r o i t ) 【1 5 】s b u s e n b e r g ，& k ，c o o k e ，f 1 9 9 3 1v e r t i c a t 幻t r a n s m i t t e dd 话e a s e s , m o d e l sa n dd y n a m i c s ，b i o m a t h e m a t i c s ，2 3 ( s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ) 1 6 1 m c m d ej o n g ，0 d i e k m a n n & j a ，p h e e s t e r b