（应用数学专业论文）多属性决策的灵敏度分析.pdf

硕士论文 多属性决策的灵敏度分析 孓s 3 2 2 2 l 摘要 多属性决策的灵敏度分析能有效地揭示决策矩阵及属性权重关于决策方案的内 在变化规律，对此我们基于多属性决策的灵敏度分析的现状展开了更深入的讨论。 对线性加权法得出了使方案排序结果保持不变时，属性权重和属性值的扰动上界， 以及一个求权重扰动上界的数学规划方法，给出了属性值和属性权重扰动界的一个 递推关系和增加属性的问题进行了灵敏度分析；对最优隶属度原则中的理想值和容 忍值的改变对决策结果的影响从理论上进行了讨论：对t o p s i s 法的属性权重进行 了灵敏度分析，得到了使方案位置保持不变时，属性权重的扰动范围；在层次分析 法中，对正互反判断矩阵的扰动进行了灵敏度分析，得出了特征向量法中使排序结 果不变时矩阵元素应满足的一个条件，并将灵敏度的h a d a m a r d 分析法引入到互补 判断矩阵的灵敏度分析中，得到了相应的结论；对广义双基点法的属性值的扰动范 围对前人的结果进行了补充。 关键词多属性决策、灵敏度分析、层次分析法、h a d a m a r d 乘积、简单加权法、t o p s i s 法、数学规划、扰动 硕士论文 多属性决策的灵敏度分析 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s e n s i t i v i t ya n a l y s i sf o rm u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gi ss t u d i e d ， t t l e p e r t t t r b a t i o nu p p e r h o u n d so fe a c ha t t r i b u t ev a l u ea n da t 拄i b u t ew 镪曲to ft h e a l t e r n a t i v e ，w h i c hm a k et h e a l t e r n a t i v er e m a i nt h eo r i g i n a l p o s i t i o n ，a l e o b t a i n e d m e a a w h l e ，am a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gm e t h o do fo b t a i n i n gt h ep e r t u e b a d o nu p p e r b o u n d so f t h ew e i g h ti sp r o p o s e d t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so f t o p s i si sg i v e n ，t h ec h a n g e r a n g e so fa t t r i b u t ew e i # t w h i c hm a k et h ea l t e r n a t i v er e m a i nt h eo r i g i n a lp o s i t i o na l e p r o p o s e di nt h i sp a p e r i na n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) ，t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so f t h el u d g m e n tm a t r i xi ss t u d i e d ，av a r i a n tc o n d i t i o no f t h ep e r t u r b a t i o nm a t r i xp e r s e v e r i n g o p t i m u md e c i s i o n - m a k i n g s e r i e si sg i v e n ，t h eh a d a m a r d p r o d u c tm e t h o d o f t h es e n s i t i v i t y a n a l y s i sf o rt h ec o m p l e m e n t a r yj u d g e m e n tm a t r i x i sp r o p o s e d t h ec h a n g er a n g e so f a t t r i b u t ev a l u ei nt h eg e n e r a l i z e dd o u b l e b a s e p o i n t sm e t h o d a r ei m p r o v e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ，a h p , h a d a m a r d p r o d u c t ，s a w , t o p s i s ，m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，p e r t u r b a t i o n 顺f 论史 多弱忡决策的灵敏度分析 第一章绪论 1 。1 弓l 曹 多属性决策，也称有限方案多目标决策，普遍存在于工程、社会和经济等系统之 中，它是决策理论与方法研究的重要内容。它要解决的主要问题是方案的选优或方案 的排序问题。 决策者依据决策矩阵中的数据各方案在诸属性上的客观属性值或者决策者 的主观判断以及属性的权重，按照某种综合评价值的计算方法确定各方案的综合评价 值，继而选择最优方案或进行方案的排序。但是，下面的情况有时会发生：一方面， 属性值可能会不精确。也可能随着时间的推移而变化，或者决策者的主观判断可能偏 离客观事实，这样，不精确的或变化的属性值会导致方案排序结果的不可靠。决策者 需要知道决策结果的稳定性，即属性值或属性权重的变化对方案排序结果的影响程 度，换句话说，方案的排序结果对属性值或属性权重的灵敏性。如果方案的排序结果 对属性值或属性权熏的灵敏度高，则决策结果不稳定，反之，若灵敏度低，则决策结 果稳定。有时决策者需要知道哪个属性的权重对方案排序结果的影响程度最大。有时， 决策着需要知道当前权重向量在什么范围内变化，当前的最优方案保持不变，有时， 决策者需要知道如何调整属性的权重，以便使方案的排序结果满足主观偏好。对于以 上这些实际情况，灵敏度分析将是一个有效的手段来解决上述问题。 在多属性决策中，决策中的综合评价值和最终的决策一定的决策要素( 包括准则 体系环境条件，评价模型法，参数，权系数等) 下取得的，它对这些事先确定的要素的 变动反应如何，这就是灵敏度分析的广泛内容。若要素的变动使综合评价值反应大， 甚至使最终选择的满意方案发生变化，则称该要素的灵敏度高，或称该决策问题的鲁 棒性差。灵敏度分析的一般方法是摄动法，即让某些条件( 决策中的原始数据和参数) 作微小变动后计算问题的输出结果( 综合评价值、满意解) 的相应变化量，以及对 方案排序的影响和影响程度并计算出参数什么范围内变化最优决策结果不变或最优 决策序列不变。如果决策结果改变，如何根据新的决策问题在不重新从头计算的情况 下得出新的决策结果。多属性决策的灵敏度分析主要包括属性权重的灵敏度分析和决 策矩阵( 属性值) 的灵敏度分析。 j 竺! ：望墨 一 兰墨堡堕茎塑茎墼塞坌塑 1 , 3 夏敏度分斩的意义 决策中的数掘来自客观事物的实际情况或是决策者的主观判断。随着时间的推移 客观事物可能会发生变化，入们的主观意识也可能发生转变，因此就会引起决策矩阵 中的数据发生变化，从雨有可能引起决策方案的排序结果的改变。这样，决策者必须 进行灵敏度分析，以便掌握决策矩阵韵变化对决策结果的影响从而进行讵确的决断。 进行灵敏度分析的意义主要有三：通过不周要素及其所缛综合评价值的比较， 可以使我 c j 得到被评价对象更丰富的信息，以便于作出满意的决策对难于肯定的 环境条件，或没有把握确定的参数进行灵敏度分析，便于对那些敏感的条彳牛采取更加 谨慎的态度处理通过灵敏度分丰厅还可以确定些可控条 牛的合理变动范囝 随着对多属性决策问题的深入研究研究，灵敏度分析直是人们关注的重要课 蘧。早期的研究集中在关键属性的确定上面；s r a r r 、i s s a c s 、f i s h b u r n 和e v a n s s 等 人分别研究了最优方案保持保持其最优性不变的权重的最大变化区域的确定问题或 最大信任球问题：f r c n c ha n dl n s u a 采用最小距离法来确定当前最优方案的潜在竞争 者；基于层次分析法，m a s u d a 和a n t l a c o s t 分别研究了决策矩阵的灵敏度分析与关键 属性的确定方法；而其它一些研究成果鲋着重计算使最优方案不被取代的原权重的最 接近权重集合( 或最大变化范围) 。对于最接近权重集合的计算r i n g u e s t 给出了最 接近权重集合与原权重的距离p 模的灵敏度分析。近年来，灵敏度分析已弓l 起 国内专家、学者的重视并取得了一定成果。浙江大学的左军在文献 2 7 1 中曾经对加权 法运用边际权重昶边际属性值作了灵敏度分析得出了镍持决簸结果不变的权重和绝 对属性值与相对属性值的变化区间。但绝所考虑的是一个权重的值或一个属性的值发 生变化是对决策结果产生的影响，困此具有一定的馕面性。穆东在文献【2 6 1 中对综合 排亭的双基点法进行了改进，并对改进的模型进行了灵敏度分析，求出了保持方案排 序位簧不变时属性值的变化范围。文献( 2 3 1 对文献【2 6 1 的灵敏度方法进行了补充，求 出了保持方案排序位簧不变和位置改变时属性值的变化范围。l u i sgv a r g a s l 9 8 2 年在 研究判断矩阵的灵敏度分析问题时，引入了特征向量排序法的标准形昱1 。曲阜师范 大学运筹研究所在此基础上进步引入了广义偏差法的标准形易、对数最小二乘法 的标准形、梯度特钲向量法的标准形e 。，并利用相应的标准形对楣应的方法进行 了灵敏度分析，得到了各方法具有相同排序的充要条件。东北大学博士生张全在其博 士论文中基于计算方案综合评价值的加权模型。利用属性值的规范化方法比重变 换法，讨论了使两个方案排序关系改变的一方案在某属性上的属性值的最小变化范 顺i 论直 多屈件决精的定敏度分析 围。并求出了利用加权法和几何平均法计算方案的综合评价值使两个方案排序关系 改变的权重的最小变化量。文献【4 4 】对有时序多属性决策的关联分析法进行了灵敏度 分析，给出了保持最优决策序列不变的权重扰动范围。但是以上分析存在一个共同的 缺点，只考虑了一个参数的变化对结果的影响或只考虑了保持两个方案的排序关系不 变( 改变) 时属性权重和属性值的变化范围，即只考虑了非常简单的情形。对于复杂 情形的多属性决策的灵敏度分析有待于进一步完善。本文在前人的基础上进行了灵敏 度分析，弥补了前人的不足。 数学规划是解决多属性决策问题的有力工具，线性规划的灵敏度分析已有非常丰 富的理论研究和广泛的应用。非线性规划的灵敏度分析发展晚得多也幔得多，它只是 在十九世纪七十年代才逐步进行研究，到八十年代才出现了这方面的专门著作。许多 学者对非线性规划灵敏度分柝的发展作出了贡献，其中最为突出的是 f i a c c o ，r o b i t l s o n 和k y p a d s i s 等。在文献 2 4 1 中可以找到关于非线性规划灵敏度分析 的理论和计算方面的综合论述。最近对d e a 方法的灵敏度分析也得出了很多结果。 本文在前人的基础上对多属性决策进行了全面深刻的灵敏度分析，弥补了前人的 不足。所做的工作主要有以下一些： ( 1 ) 提出了一种基于误差最小的多属性决策新方法。如果决策矩阵中的数据带有 误差项，用此方法可以确定各属性的权重，从而可以求出各方案的综合评价值，然后 对方案进行排序。 ( 2 ) 对简单加权法进行了灵敏度分析。给出了当各方案的属性值和各属性的权重 都发生变化时。为使原方案的排序结果不变，各属性权重秘各属性值的变化范围：给 出了增加一个属性时，为了不改变方案的排序位置，增加属性的权重和增加的属性值 的变化范围；给出了已知一个属性值或个权重的扰动范围，在不改变决策结果时， 求其它属性值或权重的扰动范围的一个简单计算方法：给出了t o p s i s 法中，不改变 方案位置的属性权重的变化范围；给出了一个用数学规划求权重扰动界的方法；对广 义双基点法的灵敏度分析进行了补充：对最优隶属度原则中的容忍值和理想值的改变 对决策结果的影响进行了探讨从理论上得出并证明了相应的结论。 ( 3 ) 对权重的集成进行了灵敏度分析。首先对前人提出的一种确定权重的方法进 行了改进，然后给出了采用简单加权法计算方案的综合评价值，利用h = a a ，+ 触对 主观权重和客观权重进行集结使方案s ，s 的排序关系不变的o r 的最小变化量a a 。 ( 4 ) 对层次分析法给出了一个灵敏度分析的公式。当正互反判断矩阵的元素扰动 时，得出了特征向量法中使排序结果不变时矩阵元素应满足的一个条件并将灵敏度 倾i 论史 多届忡决策的灵敏度分析 的h a d a m a r d 分析法引入到互补判断矩阵的灵敏度分析中，得到了相应的结论。给出 了满足决策者偏好的属性值和属性权重的最小变化范围的二次规划模型。 坝i j 论史 多屁忡决策的破敏度分析 第二章多属性决策的基本概念和方法研究 多属性决策，也称有限方案多目标决策，普遍存在于工程、社会和经济等系统之 中，它是决策理论与方法研究的重要内容。它要解决的主要问题是方案的选优或方案 的排序问题。通常，每个多属性决策问题都包含以下五个要素： ( 1 )决策单元和决策人。决策人可以是一个人或一群人，直接或间接地提供 最终的价值判断，据此选择最优或排列可行方案。决策单元包含决策人、 其它决策分析者和机器，是信息的处理器。 ( 2 ) 属性集p 。尸= p l ，p 2 ，p 。) 。每个被选方案都有n 个属性 p j ( j = 1 , 2 ，一，月) 。 ( 3 ) 被选方案集s 。s = s 。，s 2 ，s 。 ，每个决策问题有m 个可行方案可供 选择或排序。 ( 4 )决策规则。一般可分为两类：最优化准则和满意准则。满意准则把可行 方案划分为若干有序子集，牺牲了最优性，使问题简化。寻求令人满意 的方案。 ( 5 )决策情况。多目标决策问题的决策情况是指问题的结构和决策环境。一 般可分为有限方案多目标决策和无限方案多目标决策。 定义2 1 1 称算ex 是最优方案，若x 的所有属性的值均不劣于任何一个其他 可行方案在福应属性下的值，即它是由决策矩阵中各已知属性的最偏好的值所组成。 数学上可描述为工+ = ( x ；，x ；，x ：) ，其中x ：( 七u ：l 瓦) 为： a ) 当k e 瓦，x ：黼：m a x 的某个x 啦； b ) 当k 疋， c ) 当k 瓦， d ) 当女l ， c ) 当k 马， d ) 当k 死， x ：为满足m a x 卜腈一凤i 的某个x 舭； 1 s f s m x ：漱= m a x m a x p 一x 舭“p ； 的某个x 舭 i s l a m x ：为满足m i n x 的某个x 啦： i e ，s 胛 x ：为满足m i n l x * 一嗷i 的某个x 啦： i m x ：$ 撇m i n m a x p 一x i kh p ! ) 的某个。水 坝f + 论史 多聩忡决策的必敏度分析 定义2 1 2 称j + x 是理想方案，若x 的所有属性的值均不劣于任何一个其他 可行方案在相应属性下的值，即它是由决策矩阵中各已知属性的最偏好的值所组成。 数学上可描述为x + = ( ，i ，x ：，x ：) ，其中z ：( teu ! ，t ) 同上面的定义。 注解m a d m 的理想方案是主观的，理想解一般情况下不存在，但它的概念在m a d m 中是必要的和重要的。例如t o p s i s 法中就是利用方案与理想方案的距离的大小进行 排序。非劣解的概念在多属性决策中起重要的作用。它的定义如下： 定义2 1 3 称x 。x 是非劣方案，若不存在任何其他可行方案，使浚方案改进 x 的某个属性的值而不使x + 的至少另外一个属性的值变坏。换言之，若某个x x 能 改进x 的某介属性的值，则至少有x 的另一个属性的值不如x 的好。 定义2 1 4 称x x 是弱非劣方案，若不存在任何其他可行方案，使其各个属 性的值均优于x 的相应的各个属性的值。 定义2 1 5 满意解，如果决策者给出了偏好信息，那么满足决策者偏好的那些 非劣解就称为满意解。满意解并非最优解，它是在某种规则下最优的非劣解。 以上给出了多属性决策中的有关解的概念，那么这些解有何联系呢? 这就是下面的引 理： 弓l 理2 1 1 对于含有效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区问型 的多属性决策问题，其最优解一定是次强最优解次强最优解一定是晟优解，最优解 一定是非劣解，非劣解一定是弱非劣解。 多属性决策有两个显著的特点，即属性间的不可公度性和属性间的矛盾性。所谓 不可公度性是指各个属性没有统一的度量标准，不能进行直接的比较。矛盾性是指如 果采用一种方法去改进某一属性上的值，可能会使另一属性上的属性值变坏。为了不 同量纲的影响。决策短阵豹规范化处理是多属性决策中不可缺少的一个重要环节。 目前，属性的种类有效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型、偏离区间型， 本文分别用z ( i z l ，2 。，6 ) 表示。所谓效益型属性就是指越大越好的属性，成本 型属性就是越小越好的属性，固定型属性是指越接近某值越好的属性，偏离型属性是 指越偏离某值越好的属性，区间型属性是指越接近某区间越好的属性。偏离区间型属 性是指越远离某区恻越好的属性。这6 种属性的相互关系是： ( 1 ) 偏离型属性是效益型属性的推广：， ( 2 ) 偏离区间型属性是偏离型属性的推广； 坝j 论史 多届件决策的炙敏度分析 ( 3 ) 固定型属性是成本型属性的推广： ( 4 ) 区间型属性是固定型属性的推广。 本节用x 。表示第f 个方案关于个属性厶的属性值，y 。表示规范化以后的属 性值，用a ，表示6 j b ) 最佳稳定值，【g f ，g ! 】表示6 ( j l ) 的最佳稳定区间，卢， 表示属性f j ( j 砖) 的最劣值，区间【p “p 】表示属性f j j 瓦) 的最劣区间。下面以 公式的形式给出各属性的一种规范化方法： y = 1 一m i n b b j 五 j y “= m i n i x , 一- a j i l l x u a jv x 口口， 玎x = 瑾i y “。 m a x l x 一- a , i i x # - a ，i m 晔t x u - 1 2 j i m i n h 一口小j 己 圹黟 2 矿b 芒卧g ；】_ ，el f q t s ，g ! 】 m a x m a x q f z f ，x p g ；卜m a x q f x f f , x f g ；) m a x m a x q f x f ，x f - q - m i n m a x q f x f ，x p 一譬 ， f y 。= ：一m j n i 工口一办l 卜“一声 ，_ ，l y ，= i x , s - p 卜m ：i n i 。一多，i m p l b 一乃卜卿n 卜巾 r 。 7 岛乃 = b b 矿 矿 皇卫蔓l 一! 堡堡堕兰塑墨墼竺坌堑 y 。= j x ，一g | m a x 夕，j 、，t 弓 y , j 2 y 掣= m i n i m a x p 一x q 、x 。一p 、l 1 一二、。一 m a x p 一x 口。x ，一p 、 0 i 厂h l p j t p ；j m a x p 卜。口，x 口痰) _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ - _ - _ h _ - - _ _ _ _ - _ _ _ - _ - _ _ _ 。 一 m a x ( p 卜m i n x ”，m a x x “一废 f f 0 醪x q 4 垴，嘲je t ： 矿h 硭印f ，p ；】 f x i p ，p 】 v ，瓦 决策，吉已有之。“网忌赛马”是春秋战国对 弋优秀的决繁典范，孙子兵法、三 十六诗是浃镱恩想在军事战术领域中的杰出应用。可以说大到国家大政方针，小到 个人的日常生活都离不歼决策目题，特剐是多属性决策阚题，决策的难确与西，不仅关 系到个人的得失，企业或事业的成败，甚至影响到国家的兴衰民族的存亡如果没有改 鼙开放的系列证确决蓑，就不会有中国今天的强大，如果没有农村包围城市的重大 决策，就不会有中国革命的成幼，中国人民将永远在黑暗中摸索，永远被歹f j 强欺负凌辱 在同常生活中，决篪问题就更普遍了，比如个姑娘去商场买衣服。她必须首先考虑衣 暇的款式，颜色，大小，价格，还有衣服的面科，品牌等属性，然后在众多的衣服中选择 满足她自己偏好的衣服，这就是个简单的决策问题所以说没有决策就没有生活是 点不暇的。正确的决策可以造就巨大的成功错误的决策可能回导致严重的失误。 虽然决镱的思想和方法自古以就被人们所接受并应用于实际，但是“决策”作为 个科学的襁忿引入管理理论是在2 0 世纪3 b 年代。美国近代管理学家巴纳德于是 2 0 世纪3 0 年代刨立了基于“决策人”假设的现代管理论，认为“无论是经营者还是 职工都是决策者”，笤重研究了组织的决簧过程。鏊于心理学。社会学、社会心理掌 与组织学等理论，美国卡内基一梅隆大学教授西蒙继承并发展了巴纳德的管理论突 出了决策在管理中的鲍位，提出了瞀理决策的基础理论。给出了“管理就是斑策”的 定义，阐述了程序化决策与非程序化决策、必满意的准则代瞀最优化原则等观点。正 是由于他对经济组织内部酌决策程j 芋进行了开色q 性的研究，西蒙于己于入9 7 8 年获得 了蒲贝尔经济奖，“决策”这一概念由此在国际上广为流传。 坝i j 论史 多聩忡决策的灵敏度分析 但是，决策科学的发展最初是与效用和主观概率密切联系在一起的。19 3 1 年拉姆 两把决策论建立在效用和主观概率的基础上，开始了决策理论的研究。1 9 4 4 年冯诺 依曼和摩根斯坦建立了在不确定情况下制定决策的现代效率用理论。5 0 年代初，瓦 尔德和赛维齐分别研究了统计决策问题，发表了专著并提出了相应的公理体系。6 0 年代初，s c h l a i f f e r 研究了贝叶斯决策理论，进一步发展了统计决策理论。19 6 6 年 h o w a r d 在论文中提出了决镱分析的概念。与此同时，很多学者从不同角度研究了决 策理论。 对于多属性决策的研究始于1 957 年。当时c h u r c h m a n ，h c k o f f 和a r n o f f 首次正 式利用简单加权法处理了“选择企业投资方针”这样一个m a d m 问题。但随后对m a d m 的研究很长时间都未引起人们的重视。6 0 年代以来，决策理论在实际问题中的应用 逐渐广泛起来。进入7 0 年代后，多目标决策、群决策、序惯决策、模糊决策以及决 策支持系统成为人们研究的重点。随着决策科学的发展以及实际的需要。多属性决策 的研究又才开始热门起来。到了八十年代初，h w a n g 和y o o n 非常系统地回顾和总结 了前人关于m a d m 的大量研究成果，编辑和出版了第一本m a 嘲的专著 。那时，关于多属性决策 问题的研究已经有了一些成熟的方法，例如，当方案的数目太多时用于筛选方案的优 选法、连接法和分离法，用于确定属性权重的最小平方法和本征向量法。用于方案排 序的最常用的简单加性加权法和层次加性加权法，按属性权重大小选择方案的字典序 法，基于理想解概念的t o p s i s 法l i n m a p 法，此外还有基于估计相对位置的方案排队 法、线性分配法、e l e c t r e 法。 八十年代后，许多学者研究了求解m a d m 问题的各种类型的交互式算法九十年 代，s h i p l e y e ta l ，y a n g 和s i n g h ，y a n g 和s e n 对不确定m a d m 问题又进行了研 究c h e r t 和h w a n g 写了模糊m a d m 方面的专著 ，把模糊数学引入了决策理论，对模糊m a d m 进行 了系统的综述。 二十世纪九十年代以来复杂多属性决策问题是人们研究的重要课题。以下几个 方面成为复杂多属性决策问题主要研究方向。 ( 1 ) 关于多人多属性决策问题的研究。多人多属性决策问题又叫群体多属性决 策问题它是关于多个决策者共同参与，协商解决问题的决策方式，即一种联合抉择 在多人多属性决策问题中，每个人均给出方案或属性的偏好信息，将各个决策者的偏 好信息进行综合，集思广益，取长补短以形成群体的共同智慧排除个人偏好的影响，进 而作出合理的选择或排序。这类问题的研究较为常见，针对具有冲突的多人多属性决 策问题人们提出了许多解决问题的方法。模糊环境下的多人多属性决策问题也受到 许多学者的重视。应用证据组合算法研究多人所属性决策问题，尤其是模糊多人所属 9 坝i 。论文 多属忡决策的灵敏度分析 性决策问题具有广阔的前景。 ( 2 ) 关于不确定性多属性决策问题的研究。这类问题中关于方案选择的模糊排序 问题的研究较为普遍，成熟的结果有模糊数排序的快速排序方法、最大最小集合方法、 主观排序方法和乐观指标法等，采用人工神经网络对模糊数自动排序的方法，模糊环 境下产品选择的证据组合算法：具有不确定性区间数的多属性决策问题的研究已较为 普遍，常见的方法有误差分析方法、线性规划方法，具有区间数判断的层次分析法， 以及对具有区间数评价值的方案的排序问题的研究。由于客观事物的复杂性，加之人 们的知识，能力的局限性，人们对实际问题的认识往往停留在一定的水平上，而实际问 题常常具有模糊性或不确定性，因此对不确定性多属性决策问题的研究具有很大实际 意义。 ( 3 ) 关于定量定性信息混合的多属性决策问题的研究。通常定性与定量的念 意义不同，一般不具有可比性如何综合考虑定性与定量信息使方案的排序科学合理 是一门直得研究的课题d e a 方法和d e m p s t e r - s h a f e r 的证据组合理论是一种有效的融 合定性与定量决策信息的方法。 ( 4 ) 关于具有不完全信息的多属性决策问题的研究。在多属性决策问题的过程 中，决策者可以给出自己的偏好信息，这种偏好信息包括方案排序的偏好信息和属性 优先顺序或属性权重大小的偏好信息有时决策者不能给出关于方案或属性的偏好信 息，这样决策方案的排序结果不一定可靠如何既要满足决策者的偏好又要科学合理 地给出决策方案的排序结果是摆在我们面前的一个复杂问题 ( 5 ) 关于有时序多属性决策问题的研究。关于这类多属性决策问题的研究并不 多见。但已引起了重视。现有的方法主要有有时序多指标决策的理想矩阵法、二阶段 法和关联分析法。在此基础上进一步发展了满意度矩阵法、理想点决策方法并从灰色 系统理论对该问题进行了研究并应用于实际问题。 ( 6 ) 关于多属性决策的灵敏度分析的研究。这也是多属性决策分析中的一个 重要组成部分决策中的综合评价值和最终的决策一定的决策要素( 包括准则体系，环 境条件，评价模型法，参数，权系数等) 下取得的它对这些事先确定的要素的变动反应 如何，这就是灵敏度分析的广泛内容若要素的变动使综合评价值反应大，甚至使最终 选择的满意方案发生变化，则称该要素的灵敏度高，或称该决策问题的鲁棒性差进行 灵敏度分析的主要目的有三：通过不同要素及其所得综合评价值的比较，可以使我 们得到被评价对象更丰富的信息，以便于作出满意的决策对难于肯定的环境条件， 或没有把握确定的参数进行灵敏度分析，便于对那些敏感的条件采取更加谨慎的态度 处理通过灵敏度分析还可以确定一些可控条件的合理变动范围 ( 7 ) 关于多属性决策问题的智能决策分析方法的研究。 神经网络和遗传算法 等智能优化方法为这个方向德才研究提供了保证。利用神经网络记忆决策者的偏好结 o 颤f 论文 多属件欣策的越敏度分折 构模拟决策者的决策行为，或者采用神经网络“学习”成功的决策案例中的专家经 验，进而使得网络能够“根据经验”解决多属性决策问题。关于这方面的研究已经有 了些重要的研究成果。如文献【l4 中提出了基于小波神经网络的权重分配模型，使 权重的确定较为客观准确，并具有自学习的功能。 我国学者对m a d m 的研究主要始于八十年代初期，到目前为止已研究出十多种 m a 蹦方法这些方法所用的手段五花八门估价评分法可能是最早的，最简单的方法 其后又陆续研究出许多方法。如二项系数加权法，序数法，优序法，对比系数法，密切值 法，效用函数法，综合评价与会者徘序法，相似优序值法，双基点优序法，基于如权法和 线性法的有限方案多目标决策法，主客观综合法等等另外我国学者也开始用模糊数 学研究研a 嗽方法，如陈守煜，胡秦生，郑舂勇等，还有的用神经网络来研究如李登蜂， 陈守煜，毛权等。浙江大学的左军在八十年代对多属性中的线性加权法的属性权重和 属性值进行了灵敏度分析。提出了灵敏度矩阵和边际权重与边际属性值等概念，东南 大学的侩泽水对多属性决策提出了许多有用的方法。 特别是，近年来还有些学者开始用熵来研究m a d m 方法，邱菀华在其著作群组决 策系统熵模型。熵学及其近代应用裁用熵理论来研究大量的m a d m 问题，我国对 m a 嘶的另一类重要研究是关于各耳标权的研究，这方面的著作较多理论也比较完 善，其中壤为先进的方法可能为用信息熵来确定属性的客观权重。总之，我国对m a d m 的研究是卓有成效的。 2 4 决簟同一腑分羹 由于决策闻题、决策主体、决策习标、决策手段、决策条件等诸因素存在着广泛 的差别，所以可以根据不同的标准对它进行分类。 a ) 根据参与决策的管理者的数量及合作关系，决策问题可分为个人决策和群体 决策。个人决镱是指由一个人或主要领导者作出决策。而群体决策是指全体 成员直接参与并达成共识的决策方式。 b ) 从决策问题出现的重复程度和解决问题的可用技未角度，决策问题可以分为 程序化决策和非程序化决策。程序化决镶是指决簸问题经常出现。决策过程 的每一步部有固定程序来重复地使用以解决同类的问题。非程序化决策是指 没有固定的程序和常嫂办法处理。决策问题难以量化，难有数学模型，只能 靠决策者的经验和知识解决。 c ) 根据决策问题所处的条件( 或自然状态的种类) 可分为确定型决策、不确定 型决策和风险型决镶。 确定型决策是指各各选方案在诸自然状态下的属性己知，决策者可以按照评 堕! ：堡墨 查璺堡盗叁塑墨塑堕竺塑 价方法选择最优方案。 不确定型决策是指决策者对不同方案可能出现或面临的自然状态没有把握， 无法预测自然状态出现的该率。 风险型决策是指决策能否达到预期的目标取决于自然状态发生的概率这种 概率可以预测。这种决策又称统计型决策或随机型决策。 d ) 根据决策目标的数量决策问题可以分为单目标决策和多目标决策。多目标决 策分为有限方案多目标决策和无限方案多目标决策，其中有限方案多目标决 策也叫多属性决策，是本文要研究钓决策。 e ) 根据决策要素是否可以量化决策问题可以分为定量决策和定性决策。定量决 策问瑟是指决策阊瑟的要素可以量化，并可以建立数学模型；定性决策姆提 是指决策问题的要素的性质难以量化，或要素太多、太复杂，难以进行数量 处理，只能依靠决策者的分帮彳判断。 通常，实际的决策问题可能是上述几种决策问题的综合，如多目标不确定型的群 决策问题。也就是说，我们面临的决策问题需要同时考虑多种因素，但是，归根到底。 解决任何类型的决策问题最终都是选择最优的备选方案。 尽管多属性决策问题涉及面广泛，但真砸对多属性决策问题的研究卸是到1 9 5 7 年 才开始的，当时由c h u r c h m a n 等人首次正式利用简单加权法处理了“选择企业投资方 针”这样一个t d a d m 问题，几十年来，m a 蛳走过了风雨历程，现在碡a 潞酌研究已经是硕 果累累，各种新思想，新理论，新方法象雨后眷笋般不断涌现现有的多属性决策方法 大致可分为三种类型：确定型多属性决策方法，定性定量相结合鸽决燕方法，模糊型决 策方法。 根据决策者对弼鼹提供的信息环节及充分程度不鼹，确定性多属性决燕隽法又可以分 为三大类： 第一类是无信息能多属性决策问题，这类目题多采爆古典的决策原她，妞虽大最 小原则，最大最大原则和优势法原则加以解决但是，这类方法一般不适合对方案进行 排序，它们的作用主要是在方案较多时对方进行筛选，从面把那些最劣的方案排除，以 便后面用其它的方法对非劣方案进行排序当然，要对方案进行排序就必须有决策者 的偏好信息，根据给出徨好信息的环节不同，就产生了下面的第二，第三类方法： 第二类方法是给定属性偏好信息的方法： 这类方法都要决策者给出自己对属性 的偏好信息，根据所给属性偏好的充分性不同，偏好信息大致有以下四种情况： ( 1 ) 基准水平的偏好( 2 ) 用序数偏好表示的各属性的相对重要性 ( 3 ) 用基数 坝i + 论史 多届忡决策的灵敏度分析 偏好表示的各属性的相对重要性( 4 ) 属性问的边际替换率 因而，相应的方法也可以分为以下几种类型： ( ) 基于属性基准水平的方法：这类方法主要有连接法和分离法并且这类方法也 不适合于方案的排序，但可以用来筛选方案 ( 二) 基于属性序偏好信息的决策方法：字典法排列法特征消去法蒙特 卡罗模拟法、d e a 模型法 ( 三) 基于属性基数偏好信息的决策方法：线性分配法简单加性加权法层 次分析法加权优序法t o p s i s 法e l e c t r e 法p r o m e t h e e 法 ( 四) 基于边际替换率的决策方法：层次折衷法交互式saw 法 第三类方法基于方案偏好信息的方法：l i n m a p 法交互式saw 法具理想 点的多维标度法 另外，还有一些非确定性的决策方法： 第一类定性定量相结合的决策方法层次分析法( a i p ) 是普遍适用的定性定量相 结合的多准则决策方法，多少年来，a h p 以其系统，灵活，简便以及定性定量相结合的 特点，一直受到国内外学者的广泛好评，并迅速地应用到各个领域的多准则决策中该 方法大体上可分为四个步骤分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次 结构对同一层次的各元索关于上一层次中的某准则的重要性进行两两比较，构 造两两比较判断矩阵。由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重。计算 各元素对系统总目标的合成权重，并进行排序。其它的方法还有优序法，o - c ( o 一0 ) 型 决镱的蒙特卡罗法等 第二类模糊多属性决策方法模糊决策的始祖是美国控制论专家扎德。他于6 0 年 代初研究多目标决策问题，提出了具有模糊性的“非劣策略”概念，取得了满意的结 果。由于决策问题中存在大量的模糊性，所以。模糊决策是决策科学发展的必然结果。 所谓模糊决策就是决策要素( 准则，备选方案和约束条件等) 含有模糊性的决策。也 是在合理地处理含有模糊性的决策问题时，使用的一套概念，方法和程序，以选择和 决定备选方案。在多属性决策中也经常面l l 缶着模糊性的问题，因此，模糊多属性决策 方法便应运而生。主要的有：模糊连接分离法，模糊的简单加性加权法，模糊t d i p 法，m a x i m i n 法 设多属性决策问题所要考虑的属性有n 个，记为( g i ，g 2 ，g 。) ，有m 个待优选 的方案，记为a i , a 2 ，爿。，方案a ，对应指标g f 的属性值为y “，则决策矩阵为 坝i 论义 多属摊决策的灵敏度分析 y = y l im2y l n y 2 ly 2 2y 2 y m iy m 2 y m n 其中决策矩阵中的属性值可以是定量数值，也可以是定性评语，还可以是既有定量 属性值，又有定性评语的混合型多属性决策，且它们可以互相转换，比如，可将定性 多属性决策的定性评语进行模糊量化而转化为定量属性值，又可将定量属性值用一组 模糊评语来描述。 通常，当备选方案的属性多于一个时，备选方案之间的优劣关系是不完全有序的， 但对于，每个属性，各方案之间的优劣顺序是完全有序的。假设对于每个属性方案之 间的排序关系已经明确，那么如何给出问题的综合排序呢? 这就是本节要解决的问 题。 设对于属性g f ，i n 个方案之间的排序结果为= ( ，l f ，恐，) ，这里，方案的单 排序“是l ，2 ，n 的某一个排列。于是便得到方案单排序矩阵： r = ，l l，1 2 r 2 l，2 2 r 埘i 厶2 第一步计算方案单排序的频数 对于某方案爿，在有的属性中可能排在第一位，在有的属性中可能排在第二位， 第三位等。因而对于以上的单排序矩阵中，无法直接综合各属性的排序而确定每个方 案的最终排序。为此，把属性的排序矩阵转化成方案的排序频数： ， 。= 圭如，其中( q ，2 ，) 为属性的权重即a n 为方案a ，排在第t “女= i 噜，。， 位的带有属性权重的属性数与总属性数之比。于是得到方案单排序的频数矩阵： 2 a 2 2 五埘2 。 如。 如。 第二步建立最优线性分派决策模型 由多属性单排序得到各方案的单排序频数矩阵，这样做的目的是为了综合各属性 的排序求出方案的总体排序，进而寻找最优方案。以上求出的a 。表示将所有属性的 排序结果综合起来而将方案4 ，排在第t 的频数旯。越大，表明方案爿，排在第t 位的 可能性越大。这样，对n 个方案的排序就转化成了对每个位置t ( f - 1 , 2 ， ) ，寻找 “b 一 ，。，。，。l = 兄 j 坠! ! 坠一兰垦丛盗篁塑茎墼堕坌塑 方案a s 使五。最大，即如果 五“= m a x ( a ，i l i 那么方案被排在第t 位。具体操作时，可先比较所有的t 。( f ：1 2 ，”) ，寻找排在第 一位的方案，再在剩下的n - 1 个方案中比较丑f 2 寻找排在第二位的方案，依此类推。 这样，决策问题就成了n ! 个比较问题。但在对排序频数作比较时往往产生下述两个问 题。 问题1两个或两个以上方案在第t 位的单排序频数相等。 问题2某方案同时占据若干个位置。 为了解决以上两个问题，寻找决策方案的最优排序可将问题作如下处理。 虬，= ：； 嚣在掷排序神被分派在氟位 n埘n 从而，我们的目标m a ) 【 砧 i = l ，2 ，行) 就变成了m a ) ( 厶h 。因而我们得到线 ，= l扛i ，- l 性规划模型 x f f = 1 ，= l ，2 ，卅 岸l x ，f = 0 或l 显而易见，模型( 乙p ) 是整数规划中的最优线性分派模型。这样，我们就把决 策问题转化成了最优线性分派闯题，即指定r 1 个方案去占据不同的n 个位置，而使方 案的总排序之和最大。利用最优线性分派问题的匈牙利算法，便可褥到模型( lp ) 的最优解矩阵x = ( z 。) 。如果= 1 则第i 方案4 被排在第t 位置。 由于客观事物的复杂性，以及人们的知识和能力的限制人们对事物的认识，特 别是对发展中事物的认识。总是由浅入深，而且常常受到各种局限的影响。因此，在 实际的决策问题中，经常会遇到决策信息不确定的情况。比如方案一在属性下的 属性值用形如+ a a 。的数据来表示，其中勺为可靠数据，它是较稳定的，不同的决 策者甚至在不同的时期所得结果是一样的，用不同测量工具测得的结果也一样。但 “ ” 乩 嬖缸 一 _ = i f l j ；! j - 论史 多聩忡决策的灵敏度分析 d 。部分却是估计的值，本文称为误差数据，不同的决策者可能给出不同的结果不 同时期的数据可能会有变化，那么象这种方案的属性值带有误差的形式，如何对 方案进行排序昵，运用简单加性加权法必须先确定属性的权重，这种形式的决策矩阵 如何确定权重昵? 目前，有关这方面的报道尚未见到，下面给出一种基于误差最小的 确定属性权重的方法。 设决策矩阵为 a = a l l a c t i a 2 l a a 2 c 1 2 a a l 2 a 2 2 d 2 2 a 1 月a a t h a 2 a a 2 n a m l 口坍lm 2 a a m 2 。一 a m h a 卅n 属性，j ( _ ，= 1 , 2 ，n ) 0 c o j ( j = 1 , 2 ，玎) 。 为了克服不同属性之间的矛盾性和不可公度性，必须先把决策矩阵进行规范化处 理，这可用区间数决策矩阵的规范化方法进行规范化。 设规范化后的决策矩阵为 b = 6 i i 6 l 岛i 6 2 6 1 2 a 2 b 2 2 6 2 2 6 l 。6 i 。 6 2 。土6 2 。 6 卅i 6 卅l6 卅2 a b m 2 6 卅。6 埘 对每个方案蕾来说，按简单加性加权法则，得到x i 的误差部分的综合评价值 z ( x 。) = a b o c o = i 通常是要求误差对决策的影响越小越好，于是得到如下的决策模型： r a i n 硝z ( x 1 ) ，z ( x 2 ) ，z ( h )