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上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 延迟积分微分方程( d i d e s ) 在诸如系统工程学，生物学，控制论经济学等应用科学领 域有广泛的应用。然而，由于延迟积分微分方程的复杂性，很少能得到理论解的表达形 式，因此研究延迟积分微分方程的数值解法显得十分必要，而在数值解的研究中，数值 稳定的研究又占有十分重要的地位。 在过去的一段时间罩，微分方程的数值处理是一个非常活跃的研究领域，许多数值方 法被用来解延迟积分微分方程，比如r u n g e k u t t a 方法、p 一方法，而且还有研究非线性多延 迟积分微分方程。这里我们考虑用r u n g e k u t t a 方法研究线性多延迟积分微分方程的数值 稳定性。 本文首先讨论了求解多延迟积分微分方程的理论解渐近稳定的充要条件，在此基础上 又进一步分析得出用r u n g e k u t t a 法求解多延迟积分微分方程渐近稳定的充分条件。主要 采取的研究方法是用求解常微分方程的方法来求解延迟积分微分方程，在处理延迟积分 项时，利用估计项来进行处理。最后给出了一些数值实验，数值实验的结果显示理论上 的结论是正确的。 关键词：多延迟积分微分方程，r u n g e k u t t a 方法，延迟独立稳定 a b s t r a c t d e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d i d e s ) p r o v i d e ap o w e r f u lm o d e lo fm a n yp h e n o m e n a i na p p l i e ds c i e n c e s ，s u c ha sp h y s i c s ，e n g i n e e r i n g ，b i o l o g y , e c o n o m i c sa n ds oo n - a sw ek n o w , m o s to ft h e mc a n n o tb es o l v e da n a l y t i c a l l y ，s ot h en u m e r i c a lt r e a t m e n t so fd i d e sb e c o m e sv e r y n e c e s s a r y f u r t h e r m o r e ，n u m e r i c a ls t a b i l i t yi sa ni m p o r t a n tp a r ti nn u m e r i c a la n a l y s i s t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd i d e sh a sb e e nt h es u b j e c to fi n t e n s er e s e a r c ha c t i v i t yi nt h ep a s t f e wy e a r s ，m a n yn u m e r i c a lm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e df o rd i d e s ，f o re x a m p l e ，r u n g e k u t t a m e t h o d s ，0 - m e t h o d sa n ds oo n a l s ot h e r eh a sb e e ns o m er e s e a r c hi nt h ef i e l d so fn o n l i n e a r d i d e s 。i nt h i sp a p e r w ea r ec o n c e r n e dw i t hr u n g e k u t t am e t h o d sf o rt h em u l t i d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 w ed i s c u s s e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i f i o n sf o rt h et h e o r e t i c a ls o l u - t i o n sa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rm u l t i d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rm u l t i - - d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb y r u n g e k u t t am e t h o d s t h em a j o rm e t h o d sa r ea ss a m e a st h em e t h o d sf o rd d e s ，a n dt h ee s t i m a t e d i t e m sa r ea p p l i e dw h e nw et r e a tt h ed e l a y i t e m s i nc h a p t e r3 ，w eg i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e s o fd i d e s t h e s ee x a m p l e sc a nc o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ： m u l t i d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；r u n g e - k u t t a m e t h o d s ；d e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t y 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：劬日期：2 尘笪! 垒：圣3 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：蚴丝导师签名：丝塾盏：日期：疆出：皇：哆 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d s m a n yp r o b l e m si nc h e m i s t r y , e n g i n e e r i n g ，b i o l o g ya n de c o n o m i c sc a nb em o d e l e db yi n i t i a l v a l u ep r o b l e mo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sf o l l o w s ， 邶) = 心州巩仳( t 叫，郎，帅( 纠硼) ，亡。 u ( t ) = 垆( t ) ，- - 7 t 0 ( 1 1 1 ) w h e r e7 0d e n o t e st h ec o n s t a n td e l a y , 妒( 亡) i sag i v e nc o n t i n u o u si n i t i a lf u n c t i o n ，s a t i s f i e s c o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es o l u t i o nu t o ( 1 1 1 ) t h i ss y s t e m ( 1 1 1 ) i sc a l l e dd e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d i d e s ) t h es y s t e m ( 1 1 1 ) h a so n e d e l a yt e r m ，i ft h e r ea r em a n yi n f l u e n c ef a c t o r so f p a s ts t a t e ss h o u l d b ec o n s i d e r e d ，w es h o u l dg e t u 他) = f( 驰州h n ( ) i - 比刊，( n g d o ，仡g 蚍( 夕棚) 胗。 u ( t ) = 妒( ) ，- - 7 t 0 ，丁= m a x ( r 1 ，您，) ( 1 1 2 ) w h e r ef ，d e n o t eg i v e nf u n c t i o n s ，让：r x c m + 1 _ c ，曩 0 ，i = l ，2 ，ma r et h ed e l a yt e r m s 妒：r ci sag i v e ni n i t i a lf u n c t i o n ，w h e r e a su ( t ) i su n k n o w nf o rt 0 t h es y s t e m ( 1 1 2 ) i sc a l l e dd e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a n yd e l a y s i ti st h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rt o i n v e s t i g a t et h en u m e r i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e sw i t hr e s p e c tt ot h em u l t i d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h el a s tt w od e c a d e s ，v a r i o u ss t u d i e sh a v e b e e nc a r d e do u tc o n c e r n i n gs t a b i l i t yp r o p e r t i e so f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d e s ( s e e ，e g ，【6 ，1 4 1 ) a sf o rr u n g e - k u t t am e t h o d s ，ac o n s i d e r a b l ea u r a - b e ro fp a p e r s 【5 ，19 】a r ed e v o t e dt ot h e i rs t a b i l i t ya n a l y s i s f o rl i n e a rd d e s ，i n th o u t ，m z l i u a n ds p i j k e r 【l7 ，l8 ，l9 ，2 3 】m a d eo u t s t a n d i n gc o n t r i b u t i o n st ot h es t u d yo ft h ep s t a b i l i t ya n dg p - c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 上海师范大学硕士学位论文 s t a b i l i t y f o rn o n l i n e a rd d e s ，m z e n n a r o 2 4 】c o n s i d e rt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fr u n g e k u t t a m e t h o d sf o rn o n l i n e a rs y s t e m so fd d e s t h es t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot h ed e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw a ss t u d i e di ns o m ed e t a i li n 【2 5 ，2 6 ，2 7 w a t a n a b ea n dr o t h sr e s u l tw a sg e n e r a l i z e dt o t h ec a s eo fd d e ss y s t e m si n 【2 8 ，w h o s et e c h n i q u ew o r k se f f i c i e n t l ya l s oi nt h ep r e s e n tp a p e r i n s o m ec a s e s ，r u n g e k u t t am e t h o d sa r ei m p o r t a n tf r o mav i e w p o i n to fa c t u a lc o m p u t a t i o n s t h e m e t h o d sh a v ep r a c t i c a l i t yi ns u c has i t u a t i o n i ts h o u l db ea l s on o t e dt h a ta na n a l y s i so fr u n g e k u t t am e t h o d so f t e ng i v e sa p r o t o t y p ef o rt h o s eg e n e r a ln u m e r i c a lm e t h o d s i nf a c t ，s o m eo ft h ea b o v er e s u l t sw e r eg e n e r a l i z e dt ot h ec a s e so fm o r eg e n e r a lm e t h o d sl a t e r i nt h ec a s eo fd i d e s ，l i t t l ei sk n o w na b o u ts t a b i l i t yp r o p e r t i e so fn u m e r i c a lm e t h o d s ，a l t h o u g h v a r i o u sm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e da n dt h e i ra c c u r a c ys t u d i e d ( s e e ，e g ，t h er e f e r e n c e si n 【6 】) i t i sq u i t er e c e n tt h a tw es t u d i e dd e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rd i d e s 【6 】o nt h eb a s i so ft h e a s y m p t o t i c a lp r o p e r t y , w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo fas p e c i a lc l a s so fr u n g e k u t t am e t h o d s ，w h i c h c o r r e s p o n dt op o u z e t t y p er u n g e - k u t t am e t h o d s ( s e e ，e g ，【5 】) i nt h ec a s eo fv o l t e r r ai n t e g r a l e q u a t i o n s ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tr hi sa ni n t e g e r e x c e p tf o rs u c hs p e c i a lc a s e s ，l i t t l ei sk n o w n a b o u ts t a b i l i t yp r o p e r t i e so fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd i d e s 1 2m a i nw o r ko ft l l i st h e s i s i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h er u n g e - k u t t am e t h o d st ot h em u l t i - d e l a yi n t e g r o - - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ht w oc o n s t a n td e l a y si ns y s t e m i nc h a p t e r2 ，w eg e tt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rm u l t i - d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ec o n c e r n e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rm u l t i d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h en u m e r i c a lm e t h o d sa b o u tr u n g e - k u t t am e t h o d s 2 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2s t a b i l i t yo f t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd d e s c h a p t e r2 s t a b i l i t yo f t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a l s o l u t i o n sf o rd i d e s 2 1t h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fd i d e s l e tu sc o n s i d e ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rm u l t i - - d e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w o d e l a y sn 0 ，丁2 0 等= 心删州亡刊州亡刊，( n 鲍以乱m 仁功郎以础) ) d p ) 胗。 u ( t ) = 妒( t ) ，m t t 0 ，r = m a x ( t 1 ，i 2 ) ( 2 1 1 ) w h e r e 妒a r es u p p o s e d t o b es u f f i c i e n t l y d i f f e r e n t i a b l e a n d f ：r c d c d c d _ c d ，9 ：r 乏 c d _ c d s i n c et h ef i r s ts y s t e m a t i cs t u d yw a sc a r r i e do u tb yv o l t e r r a 1 t h i st y p eo fe q u a t i o n s h a v eb e e na p p l i e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha sm a t h e m a t i c a lb i o l o g y ，c o n t r o lt h e o r y , e n g i n e e r i n ga n d s oo n ( s e e ，e g ，【2 - 4 ) w ec a l lc o n s i d e ras i m p l ea d a p t a t i o no far u n g e k u t t a ( r k ) m e t h o dt ot h ep r o b l e m ( 2 1 1 ) ，w h e nn ，死i sc o n s t a n t l e ta i j ( 1 i ，j s ) ，b i ，q ( 1 i s ) b et h ep a r a m e t e r so f a ns - s t a g er km e t h o d ，w h e r ec f = 蜀：la i ja l es u p p o s e dt os a t i s f y0 c 1 ，a n dl e tt n = n h ， n z ，d e n o t es t e pp o i n t sw i t has t e p s i z eo ft h ef o r mh = t 1 m l = t 2 m 2( m l ，m 2 ：p o s i t i v e i n t e g e r ) f o r s i m p l i c i t y ，w et r yt of i n das o l u t i o nt o ( 2 1 1 ) o nt h ei n t e r v a l0 t 7 ，7 = m a x ( t 1 ，r 2 ) f o r a ni n t e g e rn t oe s t i m a t eb o t hd i f f e r e n t i a lp a r ta n di n t e g r a lp a r ti n ( 2 1 1 ) w i t ht h er kf o r m u l a ， w eo b t a i nt h ef o l l o w i n ga p p r o x i m a t i o ns c h e m e ： = + o i j ( t n + 勺 ，u j ，一m 。j ，玩一m 。 j ，础，g 品) ， j = l ( 2 1 2 ) 3 c h a p t e r2s t a b i l i t yo ft h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd i d e s 上海师范大学硕士学位论文 g 嚣= o j a ( t 竹+ c h ，t n + 勺九，巩j ) j = x 仃h b + 芝二b j a ( t 。+ c h ，t n 一血+ 勺 ，一知j ) k = l1 = 1 一 a i j g ( t n + q 九，t n 呐+ c j h ，巩- m l j ) ， ( 2 1 3 ) j = l g 器= a # g ( t 竹+ q 危，t n + 勺 ，巩j ) j = l m 2 8 + b 了g ( t 竹+ q ，t 竹一蠡+ 勺 ，巩一k j ) k = lj = l 一九a o g ( t n + 龟九，t 竹咖+ c l h ，玩_ m 2 j ) ， ( 2 1 4 ) j = z + l = u n + 九b i f ( t n + 龟危，“加巩一m l i ，- - r a 2 , ig 出，g 夥) ，n = 0 ，1 ，m n 一1 ( 2 i 5 ) h e r e ，u ni sa na p p r o x i m a t ev a l u eo fu ( t n ) ，巩， ( 1 i s ) a r ei n t e r m e d i a t ev a r i a b l e sf o rt h e c o m p u t a t i o no fu 竹e a c h 巩， i sa l s oi n t e r p r e t e da sa na p p r o x i m a t ev a l u eo fu ( t t l + q ) ，a n dg 熙 ，g 鼎g i v ea na p p r o x i m a t ev a l u eo ft h ei n t e g r a l f t n + c l lf t n + e i hl t ” 9 ( k + q 危，0 ，u ( o ) ) d o = 夕( k + q ，0 ，u ( o ) ) d o + 夕( 亡n + q ，0 ，u ( o ) ) d o j t n + c i h - - t tj t n d t n - m 1 一仁1 + e 。h 9 ( t + c i h , o , u 旭 ( 2 1 6 ) 广t”+cttn+eihr t “ 夕( k + q ，0 ，u ( o ) ) d o = 夕( t n + 龟 ，0 ，u ( o ) ) d o + 夕( 亡n + q ，0 ，u ( o ) ) d o d t n + c i h - 2，t n j t n - m 2 一仁2 + e ：h 卵m 州纠硼 ( 2 ) a ni n i t i a lc o n d i t i o nf b r ( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) i sg i v e nb y ( 厶，i = 妒( 亡n + q h ) ，一7 n 他- 1 ，m = m a x ( m x ，m 2 ) ，u o = 妒( t o ) ( 2 1 8 ) t h r o u g ht h em e t h o do fa b o v es t e p s ，( 2 1 1 ) i st r a n s f o r m e di n t oal a r g e rs y s t e mo fi n t e g r o 4 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2s t a b i l i t yo f t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd i d e s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h o s ei n t e g r a lt e r m sd on o tc o n t a i nt h ed e l a y7 1 ， r 2a n d ( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) i s n o t h i n go t h e rt h a nap o u z e tt y p er km e t h o d ( s e e 【5 】) a p p l i e dt ot h es y s t e m t h e o r e m2 1 i 矿a q ，玩，qa r et h ep a r a m e t e r so f ap t ho r d e rr k m e t h o d , t h e n ( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) s t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d ys t a b i l i t yo ft h er km e t h o d ( 2 1 2 ) ( 2 1 5 ) u s i n gt h e l i n e a re q u a t i o n d d t u l u ( 亡) + 蝇钍 一7 1 ) + 乱 一吃) + 虬( nu ( 州p + 鲍【他u ( 叫p ， ( 2 1 9 ) w h e r el ，m l ，m 2 ，k l ，k 2a r ec o n s t a n tc o m p l e xm a t r i c e s 。t h es t u d yi s c l o s e l yr e l a t e dt o t h o s eo fi n th o u t 1 3 】a n dk o t o 6 ，i nw h i c hs t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd e l a yd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) c a nb ee a s i l ye x a m i n e di fk 1 ，鲍e q u a lt o0i n e q ( 2 1 9 ) w h e nf ( t ，钆，v l ，耽，w l ，w 2 ) 兰( u ，v l ，v 2 ，w l ，w 2 ) ，a ( t ，0 ，仳) = 夕( u ) ，札，秽，w c d ，a n d f ( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ) = g ( o ) = 0 ，t h el i n e a r i z e de q u a t i o no f ( 1 ) a b o u tt h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o nu ( t ) 三0 u s i n ge q ( 2 1 9 ) f o rs t a b i l i t ya n a l y s i so fn u m e r i c a lm e t h o d sw o u l db en a t u r a lf r o mt h ev i e w p o i n t o fl i n e a r i z a t i o n w ec o n s i d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ez e r os o l u t i o no f ( 2 1 9 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ef o ra n yn ，7 - 2 0 ( d e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t y ) ，a n de x a m i n es t a b i l i t yo fr km e t h o d so nt h eb a s i so ft h ec o n d i t i o n f o l l o w i n gp - s t a b i l i t ya n a l y s i s ( s e e 【9 1 ) i nt h ec a s eo fd d e s l e t ( z ) d e n o t et h ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i xo f ( 2 1 9 ) ，i e ， a ( z ) = z 厶一l 一( e - 1 - l z 尬+ e - 2 z m 2 ) 一( z - 1 ( 1 一e - 1 1 z ) k 1 + z - 1 ( 1 一e - l - 2 z ) 配) ， ( 2 1 1 0 ) b e c a u s ez = 0i sar e m o v a b l es i n g u l a r i t yo f ( 名) ，w ec a nr e g a r d ( 名) a sam a t r i x v a l u e de n t i r e f u n c t i o nw i t ha ( o ) = - ( i 十尬+ m 2 + r l k l + r 2 k 2 ) ，a n dt h ez e r os o l u t i o no f ( 2 1 9 ) i s 5 c h a p t e r2s t a b i l i t yo f t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd i d e s 上海师范大学硕士学位沦文 a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei fa n do n l yi fa l lt h er o o t so fd e t a ( z ) 】= 0h a v en e g a t i v er e a lp a r t s ( s e e c o r o l l a r y6 1o fs e c t i o n7 6i n 【2 】) h e n c e ，t h ed e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yi sc h a r a c t e r i z e da s ( s ) d e t a ( z ) 】= 0j r e z 0f o ra n y7 1 ，您0 w ef i r s tp r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e mb yt h es a m ea r g u m e n ta si nt h ep r o o fo ft h e o r e m2o f 【6 】 t h e o r e m2 1 2c o n d i t i o n ( s ) i se q u i v a l e n tt ot h ef o l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n s ： ( s o ) d e t l + 尬+ 犯+ t 1 k 1 + t 2 1 4 2 】0f o ra n y 丁1 ，丁2 0 ( s 1 ) d e t z 2 厶一名l 一( 甄+ 鲍) 】= 0 ，z 0 专r e z 0 ( ) p ( 名2 d 一名l 一( 硷+ 鲍) ) ( z m l 一硒) + ( z m 2 一鲍) e r l 0f o rs u f f i c i e n t l yl a r g en ，恐，s i n c e z a ( z ) = ( z 2 厶一z l 一( k 1 + 鲍) ) 一e - n z ( ( z m l 一k 1 ) 一( z m 2 一) e 佗) ，7 - = n 一死0 a n de - n 石_ 0a s7 1 _ ( 2 0f o rr e z 0 ( 2 1 11 ) s u p p o s et h a td e t z 2 0 i d z o l 一( 甄+ 鲍) 】= 0f o rs o m ez 0 0w i t hr e z o = 0 w i t h o u tl o s so f g e n e r a l i t y , w em a ya s s u m et h a ti m z o 0 a n dd e t z 2 i d 一名l 一( k l + 鲍) 】0f o ra n y 名c w i t hr e z = 0 i m z i m z o s i n c e 6 j d 【( z 2 d z l 一( k 1 + 鲍) ) 一1 ( ( z m l 一k 1 ) + ( z m 2 一鲍) e 7 名) 】_ 0a s z i _ o o ， ( 2 1 1 2 ) 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2s t a b i l i t yo ft h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd i d e s i tf o l l o w sf r o m ( s ) t h a ti fr e z = 0a n di m z i m z o ，t h e n 纠( z 2 厶一z l 一( 1 4 1 + 鲍) ) 一1 ( ( z m l 一k 1 ) + ( z m 2 一尬) e r 。) 】 1 ， i ea l lt h er o o t so f ( 2 1 1 3 ) 只( ( ) = d e t ( ( z 2 i d z l 一( k 1 + 鲍) ) 一( ( z 尬一k 1 ) + ( z m 2 一尬) e 7 。) 】， ( 2 1 1 4 ) s a t i s f y 1 o nt h eo t h e rh a n d ，只( ( ) i se x p a n d e di nt h ef o r m d 只( ( ) = 功( z ) o ) ，a n dl e tad e n o t e t h e ( f i n i t e ) s e to ft h er o o t so ft h ed i s c r i m i n a n to f 只( ( ) w h i c ha r ei n c l u d e di nc + t h e n ，i t f o l l o w sf r o m ( s 1 ) t h a tt h er o o t so f 只( ( ) a r ea n a l y t i cf o rz c + a ，a n dw ec a ng e tt h a t j 9 【( z 2 d 一名三一( 甄+ 鲍) ) ( z m l 一硷) + ( z m 2 一鲍) e 7 。】i ss u b h a r m o n i ci nc + a ( s e e ， e g ，【lo 】c o n c e r n i n gf u n d a m e n t a lp r o p e r