（应用数学专业论文）一类拟线性椭圆方程的共振问题.pdf

西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋、严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导师指导下进 行研究工作所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在我校或其他教 育机构获得学位论文上的材料，与我共同工作的同事对本研究所做的任何 贡献螅露在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 镰擎请学位论文与资料如有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：耀越丛日期： 西南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究生在 攻读学位期间所完成的论文的知识产权人单位为西南师范大学。本人保证 毕业离校后，发表攻读学位期闻所完成的论文或使用这些论文中的原创性 技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置标明，该成果是作 者在西南师范大学攻读学位期间完成的。学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 学位论文的全部或部分内容( 保密内容除外) ，可以采用影印、缩印或其 他手段保存论文。 论文作者签名：镪盔蕴邀 指导教师签名 曰期 一类拟线性椭圆方程的共振问题+ 学科专业：应用数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：应用泛函分析 研究生：宋树枝( 2 0 0 2 3 6 3 ) 内容摘要 考虑d i r i c h l e t 椭圆边值问题 f一p u= m 1 u i 一2 u + 。( z ) 9 。( n ) 一f o ( g ) 【 “ = 0 ， 在n 内， 在a n 上， 1 1j 搜非线性椭圆边僵l 司越 j p t = i “l 芦一2 也一9 1 ( 札) + f l ( z ) ， 在n 内， ，吼 il v t 上r 2 嘉= a i u p 一2 “+ 9 2 十y 2c z ) ， 在o n 上 卜 这里一p u ：= 一d i v ( 1 v u l p - 2 v t ) 是拟线性椭圆算子，p l ，a r ，n 是r 中的区域，茹 是单位外法向 假设吼：r r 是连续的，满足 m l i r a 秽划睁o l ，2 ) - ( ：j ) 定义 刖= 南麒：菡i 南蚰o 。邕 令 ， 只( 一o c ) = t 。i m s u p f i ( t ) ，墨( 十) 。警! 搿磐e ( t ) ，o c十 。 f ( + 。) 。l i i r 。a s 。u p f i ( t ) ，墨( 一o c ) 。l 。i r a ，一i n f f i ( 。) ( 2 2 0，l，2)ool + 若( 1 ) 或( 2 ) 中a 为相应问题的特征值，则称( 1 ) ( 3 ) 或( 2 ) ( 3 ) 为共振问题 运用临界点理论中的极小极大方法研究( 1 ) ( 2 ) 的弱解的存在性主要结果如下： 定理1 设在( 1 ) 中q 为且中豹有界区域，h ( x ) = 口( z ) = 1 ，g o c ( n ，r ) 满足( 3 ) ，0 l p ( 啊( p k 当) 且对任意”k e r ( a p + a ) o ，有 五，0 ” 鱼( + 一) 上n + 一磊( 一o c ) 厶”一 ( 4 ) 基金项目：国家自然科学基金项目( 1 0 4 7 1 1 1 孔敦育部科学技术重点项目，教育帮高等学 校优秀青年教师教学科研奖融计划 或 厶伽 旦【 其中，u + 一t 、x ，( z ) 0 ) 一= ( 一”) + 训j c ，t ，l 瓦( + 一小。 n l f 则在州一( n ) 中，问题( 1 ) 至少有 黑。：慕燥肚r 脯n , h 脚6l ；管篇篇嚣露篙盯”n ( l pc ( n s o ( l p + ) ，( r 1 ，“( z ) o 帅 r ) 满足( 3 ) ，且 + ) 。( 州j ( p + ：= 礴j 醐工匕 丽( 一。c ) 厶。n ( z m 厶。，o ( c ) 妒， 丝【+ 。c ) 正面妒i 焉( 十。c ) 上。n ( z 蛔 厶，知( z 冲t 旦( 一o 。) 厶。n ( g ) 妒t 其中， 严 ，( h ) 是第一特征值，妒l 为对应的唯一的正特征函数， 恬一( 。) 2 1 则 在d 1 、9 ( r “) 中，问题( 1 ) 至少有一个弱懈 对非线性边值问题( 2 ) ，用凡表示 fp u = 叫”2 地 11 v n p 舞= - q , , t 坤u 在n 内 在a q 上 的甏雾鬻中q 为r 中的有界区域 球( 耻) “2 ) 满即l ，蔫，一篆。呈艺怒麓笔淼美篙；燮篆- o c k ) 引 一o c 。、 ” 五川。扣+ 厶。止e z 弦 一。c 瓦( o c ) + o c ( i 5 1 ，2 ) 上川。如上。凡c ，扣 s m o o t hd o m a i ni nr “，a n d i st h eo u t e rn o r m a ld e r i v a t i v e s u p p o s e9 。：r _ r i sac o n t i n u o u sf u n c t i o ns a t i s f y i n g i 1萨gift)=0tl-tl ( 扣o ，1 ，2 ) i + 叫 ( 2 ) ( 3 ) 隗鼬。p f f t ) = 旆唑s ) d s 御，邕 只( 一。c ) = l i ： 2 恻g 只( 2 】t m s u p f t ( t ) f d + o c ) t 。 瓦( + 。c ) = 1 磐：婴r ( t ) ：墨( 一o g ) = 1 i 驰誉r ( t ) ( i 。o ，l 2 ) 叶+ o 。 。 i f i st h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ei n ( 1 ) o r ( 2 ) ，w es a y ( 1 ) ( 3 ) o r ( 2 ) ( 3 ) i sr s s o d a n c ep r o b l e m t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n si n ( 1 ) a n d ( 2 ) a r eo b t a i n e db ya p p l y i n gt h ev a r i a t i o n a l a p p r o a c h t h em a i nr e s u l t sa r ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1a s s u m eni sab o u 【n d e dd o m a i ni nr ， ( t ) = o ( z ) = i ，9 0 c ( r ，兄) s a t i s f i e s ( 3 ) a n di o l ( q ) ( p = 者) s a t i s f i e s 五，0 ” f 0 ( + o c ) 正矿一葡( 一一) 五”一 ( 4 ) 1 s n p l m r t e db vn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n ( p f m n d a t i o no rc h i n a b ym a j n rl 、i n j e v t l fs c i pt 1 1 l l t e c hz l 。j 傩vd fm o eprca a db yt h et e a e ：h i n ga n dr e s e a r c l a w a r dp n l g l t t m 如ro m 。t o m l i n gy m | n g t e a c h e r si nt l i g h e re d u c a t i o ui n s t i t u t i o n sf ，fm o ep r c f o ra l l k e r ( a p + ) ( 0 ) ，o r 上，o ” 旦( 一。c ) 厶”+ 一丽( + 一) 厶u f o ra l l 口k e r ( & 旷 a ) 0 ) ，w h e r e + = m a ) 【f u ( z ) ，o ， 一= ( 一 ) + t h e n ( 1 ) k “aw e a ks ( i i l w o 9 ( 【1 ) t h e o r e m2 s u p p o s ei2 = 月“i n ( 1 ) ，j n l e a s u r a b l e ：n ( z ) l 詈( r ) n ( l p ) ，( r ”) ，n ( z ) ( l 9 + ) _ r ”) ( p = n - p ) s a t i s f i e 8 上苦i n n ) nl 。( r ) i h ) 1 1 1 1 c g a t i v e i f 0 g o c ( r ，r ) s a t i s f i e s ( 3 ) a l l j ，( ) e 瓦( 一一) 厶。n ( 砂p i 上。o ( 。) 妒 野( - o c ) 五。“n 垆 ( 5 ) 磊( + o c ) 五，。( z ) 忱 上。0 ( z ) 妒， 一。c ，最( 一o c ) + “= 1 ，2 ) ， 五州。) ”+ 五。南( z 扣 一o c ，耳( + ) + o c0 = 1 ，2 ) 1 e tt l s ( 1 e n o t e = 1 g i ( ) 疋( - 。) f ” j a n ( 6 ) 二 ( z ) u - 厶，2 ( z ) u 1 ，a r ，n 是r n 一个区域，9 ( 扎u ) 为非线性项许多作 者用变分法对( 1 ) ，( 2 ) 进行了研究 首先考虑d i r i c h l e t 椭圆边值问题在有界区域的情况 当p = 2 时，一的谱为一列无界递增序列 h ) ，满足0 0 ，满足l ，( u 。) l 曼c ，( u 。) _ + 0 ，则u 。包含一个收敛于，的临界点的子列 若序列 u 。) 满足f ，( u 。) i c ，( ) - 0 ，刚称 u 。) 为，的( p 回序列 类似于【5 5 】的环绕定理，有如下定理； 引理1 ( r 一环绕定理) 设x ，y 是b a n a c h 空闻，q ，q s 为x 的闭子集，s 是y 的闭 子集q ocq 且( q ，q o ) 与s 是r 一环绕的，r 一 h g o ( q y ) ：hi o 产r ) 再设 ，g 1 r ) 满足 ( a ) 存在h o f ，使得 s u pf ( h o ( x ) ) 1 ，a r ，( 哟= 当) 假设g ：r _ r 足连续的，满足 7 ( 3 ) 【) ， t = 0 o ，l l 北 南 一， 一 州妒 汕僦 “ n 怕 9 胁。 尼 令 f ( 一。) 21 i 。m s t l p f ( 。) ，( + 。) 2 世弹誉f ( ) ( + ) = l i m s u p f ( t ) ，( 一) = j mi n f f ( t ) _ + 叶一一 关于( 1 ) 弱艇存在的主要结论如下： 定理1设q 为r “中的有界区域， g c ( n ，r ) 满足( 3 ) ，( 丑对任意 k e r ( a p + ) o ) ，有 五肛卧o 。) 五l + - - - ( 刊驴 或 ， 厶，” 0 ，使得对任何u 州”( f 2 ) ， 令 j ( 札) ：= f v “i s s = “阿0 ( n ) ：f f 钍f f l 一( f 2 ) = 1 j n 我们可以找到一列变分特征值 3 女：2 腹黜坤) 1 ) 这里氕= f fcs ：存在一个连续的奇满射h ：s 一1 _ f ) ，s 一1 表示m 中的单位球面 ( 具体细节见 3 8 1 ) 但我们不知遭这个序列是否包含了所有的特征值 定理1 的证明主要就条件( 4 ) 进行证明，( 4 ) 的证明类似 第一步利用r 一环绕定理证明在非共振情况，即a k 0 ，存在k 使得b ( t ) i 曼e 9 1 + k 从而对任意的”吲1 p ( n ) ，- f 0 ( “) u = i ( 9 ( “) ”一f v ) l j sz r e i , , i ”“圳+ m + l ， ) j52 s f 州i p - ，f 1 q 、i i i , l t l 一( n ) 十k i q i v ( r ! ) 十m i l v ( 圳 怯( n ) 董( 锘r 1 岛k 吲矿 c o l l l l ，f n l ) 1 1 , 4 1 取m 1 = 四，m 2 = c o k i n i ：+ c o l l ：l l p ，f n l ，则l c ( “) j i e m ii i 1 1 1 + m 2 设。 cw o 9 ( n ) 为以( “) 的( p s ) 序列若m 。 有界，则存在“w 9 1 ( n ) ，使得在 瞰y ( n ) 中，一m 令a ，b ：州9 ( n ) _ 州9 ) + 使得a ( u ) v = n l v 训”v u v v ，b = n p - 2 ，则。以( ，) = a ( u ，。) 一 口( ) 一g ( ) _ 0 由文献l ：j 8 1 的引理1 2 知b ，c 足紧 的，a “存在且连续，从而u ，。_ a “( b ( t t 卜g ( “) ) 因此，若( p s ) 序列0 有界，刚 结沦成立下面用反证法证明似。) 有界不妨设当一一。c 时，- 。c 令? j 7 。= 记 则沁。) 有界不失一般性，设在w g ”( i j ) 中，一一在l i ，( 中，。_ ”注意到， 以( 。) = = a ( “。) 一x b ( u 。) 一e ( u 。) 于是， 器刮q 卜删一嵩黔舢 对拱皓，由( 3 1 2 ) 知， 黜刚州蚶1 十抬， 两边取上极限，有l i m s u p n _ + 。8 ：j 黜se m l 旷1 ，由的任意性， ：；料_ 0 ，从而 示等咎_ 0 由b 的紧性有b ( ”。) _ b ( w ) ，所以，在w 9 ( n ) 中，_ a _ 1 ( b ( ) ) 从而 t a “( b ( t ，) ) 进一步 。_ ， 1 1 , , i i = ：1 于是 。_ k e t - ( z x ，+ a ) 0 ) 由( 4 ) 知f ( + o o ) 一。c ，f ( 一o c ) ( o c 对任意e 0 ，令 f ( + o c ) 一( + 。c ) 一。， 耻 【一；，f ( 一o c ) = 一o 。； 则存在m 0 ，使得f ( t ) g 对2m 成立，且f ( ) d 。对t 一m 成立从而 fq 一c 1 ，t o ； f ( t ) t 之 l 风t g l ，t o 这里，e l = ( | g l 十l d 。i ) m + m n 。眦m i f l t ) , 因而 所以 1 1 ) 十d 。( 一” ，n 墨 j j ) 一 一k “ 1 ，局，屉 + 仇 ” 畦 州，如 厶q | f 一 由e 的任意性知 注意到 1 i m i n f n f ( u ，t ) ”n2 ( _ 。) 上” ( 3 13 ) 撬继豁立：= 垭恐嫂数杀锍学 ：，溉( 二卜上旭) =0 所以 ，撬厶f ( “n ) 2 n ，”， ( 314 ) 结合( 3 1 3 ) 有，知 上如曼( + o o ) 厶矿一f ( 一o o ) 上”一， 与条件( 4 ) 矛盾故 有界 ( i i ) 验证r 一环绕定理的几何条件 由( 3 ) 知，对任意e 0 ，存在k 0 ，使得1 9 ( “) 1se l “t p + k 对任意的u 喇，9 ( n ) ， 有 f 五g ( “j fs 五 g ( u ) fa z = 五f z l ，( s u ) u 凼d x s 厶o “) 如d x ( 竿+ k ) 如 s 割u n ) k i q i s l l u i l l ，( 盼 ( ：n 5 由变分特征值的定义( 3 1 1 ) 知存在f 疋，使得s u p u e f ( u ) = l 【k ，a ) 对任意u f 1 及t 0 ，有 l 五州z l 0 时， 以( 抛) s 等( m a + e ) + t k o i 专+ 8 ，”l ，( n ) ， 口 。i ”， 令靠+ l ：= u 嘲9 ( q ) ：，n 1 、t u l p2 k + l 矗9 ) 则当u 靠+ l 时， ( u ) ；( x k + l - x - e ) 1 1 “旷( k l a l 寺+ i i l t ( n ) ) i i u l t 州n ) 在( 3 ，t6 ) ( 3 i7 ) 中，取e 0 ，使得 “m 只a f x r 以= n 0 ，使得s u p 。s 。 ( ( z ) ) r 从丽r 一环绕定理中( n ) 成 立 由( i ) ，( i i ) 及引理1 知定理1 在h 0 撬赢 o ( 3 l 1 3 ) 取 m i n 最a + l 一沁 ，设p 。( h 一，h + 6 气满足i 。_ 札类似( 3 1 1 0 ) ， p n ) 有相 应的临界值序列 c n 满足 c n2 蕊裟( 6 ( 。” 当& + 1 ， l ， 。1 这里 1 = i ( ) 是特征值问题 一p u a 1 h 。u ，z r “， 1d i , p ( r “) 的第一特征值，妒l 为对应的唯一的正的特征向量满足li i 肼，( r 一) = 1 设g ：r r 是连续的，满足 骢+ o o 筹t l = 0 ( 3 ) _ i 9 1 、 ，( l ”) ( r ”) 扣+ = 7 拦) 满足 f ( 一o 。) 上，n ( z ) 妒- 厶。，( z ) | p 鲥+ o 。) 上，。( z ) 妒- ( 5 ) 或 f ( + o 。) 厶，。( 。) 妒t 0 使得协( ，) i e l 妒一1 + 由h s k l e r 不等式及s o b o l e v 不等式知 f 。na ( 引g ( 1 州刮s 丘。i g 札m i z 趑里铴是s o b o l e v 常数由上式得 厶。堕高铲出s 四割。 i 。等。，- c o k i 丽i o i i ( l p ) , 盟 结合e 的任意性，有 厶。掣一。 。， j r n 0 t l n i l p ” 、| j ， 令2 、不妨设在d 1 。( 监“) 中，一”；在驴+ r ) 中，一”因而，当。_ o c 时 厶。品= 高厶。几川，( 3 22it, ， j r in | | p| | 札，。l l p 一1j 疗x 。“” j 注意到我们对h 的假设，由文献( 4 0 l 引理1 知，当n - 。c 时 厶。f f 9 。厶。“” ( 3 删 又当n _ 。c 时 器= 臻酬9 一鲁胁吲一厶。掣一厶。，赫岫 结合( 321 ) - ( 32 3 ) 得 1 1 厶“1 ”i k 1 从而 - ，上。 川”厶。i v 卵 一l i m i 。n f 厶， v 珥= ，= z 一川胛i 故月一 v ” 9 = 】肠v ，zj ”p = 1 o 这样， ”= 妒l 且当扎一。c 时h ( z ) _ 。cae r j 殳 = l p i ”= 一1 娄似 删 护 e = r 。+ = 二 d ： 【一；， f ( 一o c 卜一。c ； 川t ： 这里f 3 = ( i c 。l + l d 。i ) m + m a z l t t o 及在( 3 2 4 ) 中确定的m 0 使得当r m 时，有 ( 一等k ! 学pl 王塑j ( _ 熹p 1 ) ， 、 r p 7 一 t p 一、 t一7 1 7 从而，有下面的不等式 即 ，5c 一警n 蛇z 8 ( 型一型 g ( 三一土1 t p p 一 、z p 一1s p j 对任意一 t m 成立由假设( 3 ) 知当5 一。c 时，! 挚一0 刚而( = 2 8 ) 表明 g 盟兰g对任意t m 成立， t 所以 故 l i 她、f 巫兰孚塑。( 。) ( + 。) c o c 。曼骢醇掣兰 0 时，( i i ) 成立 出( i ) ( i i ) 及鞍点定理f 见f 5 6 1 ) 知j ( “) 在条件3 ) 和( 5 ) 下至少有个弱鳃 ( i i i ) 下面考虑在条件( 3 ) 和( 5 ) 下解的存在性由极小作用原理( 见【5 6 1 ) 知只需验证 l i m l l u 。t p ( u ) = 十。c 即可 若结论不成立，则存在一个序列 “。 使得当，z _ 。c 时，陋。| 一+ o c 及妒( ，) c 对 某个c r 成立不失一般性，可令= 帚孙一 对某个”d t , p ( r ) 成立类似( i ) 中 相应部分的证明，有 = 妒l 或u = 一妒l 及l “。l - + o c 对a e z r “及“_ 。c 成立设 ”一= 妒l ( ”= 一饥类似j 由5 ) 知一f c ) 一o c ，取+ o c ) ( 令 f 曼( 一) 一e i c e = 1 。 li fi + ? c ) + e ： 啦= l 一， 1 8 ( 一。c ) - - x p f o c l = 一。c 类似( 3 ，2 ，5 ) 的证明，可得 叉因 从而 结台( 32 9 ) ，可得 ，掣厶。州妒扣。n ，孙。c ) 厶。州妒 。一，墩制= ，溉( 与( 5 ) 矛盾证明完成 厶。! 掣。厶。卜一 ir “1 | nir n 厶。m = 。l i m r 。坐等删 厶。如s f ( + 。c ) 厶。巾) 妒 3 3 具有非线性边值的拟线性椭圆方褪在任意特征值的共振问题 考虑非线性椭圆边值问题 在n 内， 1 在0 nh ”7 这里一a 一= 一d i v ( i v u l - 2 v u ) 是拟线性椭圆算子， 未是单位外法向，n 是r “中的有 界区域p t ， r ， l p ( n ) ( = 善i ，l = 1 ，2 ) 假设鲰：r _ r 是连续的，满足 。l i m 阿g j c t ) = 。( e1 ，2 )( 3 ) 删= 南蛞虫羔菡i 南种害 令 只( 一。) 2l i 。r a s 。u p f ( t ) ，墨( + 。) 2 嘲世f ( 2 ) 一c c 一7 。“ r ( + 。c ) 3 l i ，r a s u ，p f ( t ) ，墨( 一o 。) 5 恻基f ( t ) ，( z 31 ，2 ) f 斗+ o c 7 一 关于( 2 ) 弱解存在的结论如下： 定理3 设n 为兄中的有界区域，9 f ( ) c ( r ，彤( i = 12 ) 满足( 3 ) ：f i l p ( n ) ( t t ，2 ) 对任意 o 、有e ( + o c ) 一：焉( 一o c ) + o c ( i = 1 2 ) ， 厶，“叫卧：。，2 ( 珈， 一。c 耳( t - o c ) + 。c ( 2 = 1 2 ) 、n z 心似 ， + )小船 口 一 u 龟。 一 p p l 沁刈 i f f 一执面 _ p uv ，、【 r k z ， ( z ) ”+ 上。n ( z ) ” 旦( 一。) 五”+ 一万( + o 。) 厶”1 + 曼( 一o 。) 上。一万( + c | 。) 上。” f 6 1 则( 2 ) 至少有一个弱解这里，a 是特征值问题 在n 内 在a n 上 的解集 注5 令f l = f 2 ，g l = 9 2 ，由注2 中例子可知存在函数精足定理3 面不满足文献 4 7 】的 定理1 设w 1 , p ( q ) 为b a n a c h 空间，具有范数i = ( 如i v “1 9 + 岛川9 ) ；在w 1 , 9 ( n ) 上定义泛 函 ) = 飘v u p + ；肼l ；厶卅五g - ( u 卜厶g 2 ( 卅上脚m 上。脚地 这里g l 和g 2 表示g z 和9 2 的原函数，即g i ( u ) = 片m ( s ) d s ，( i = 1 ，2 ) 显然以连续可 微。且 ( 以( u ) ，”) = v 卵。v 慨+ f i u r 2 ”一a z 。旷2 一 一fg l ( 咖一厶9 2 ( u ) ”+ 上 ( 咖+ z 。f 2 ( 咖，v v w i s p ( n ) 由变分法可知( 2 ) 的解对应以的i 黼界点因为w 9 ( n ) l l p ( o f i ) 是紧的，所以有 s o b o l e v 迹不等式 i p ( 岛i 一( n ) 岛为s o b o l e v 迹常数又由i ，c n ) 的定义易知l l ，1 w ”( n ) 考虑偶泛函 j ( ) = 7l v u l p + “1 9 vn w 1 。( q j nj n 及流形 s ：= u w 1 一( n ) ：l | u i j l p ( a n l = 1 我们可找到一列变分特征值 女：2 f i n ，f 。s u f p j ( ”) 这里五= ( f cs ：存在一个连续的奇满射 ：驴。_ n ，s “1 表示耻中的单位球面 具体细节见【4 7 1 ) 但我们不知道这个序列是否包含了所有的特征值 定理3 的证明这里的证明思路与定理1 相同 第一一步札 0 存在k ； f j 使 得h ( t ) e ”一1 + 。( i = 【2 ) 因此 t c ( 呻州l 厶g t ( u ) 训+ ；工n 【呐叭+ i 厶 ( z ) f d - l 五。，2 ( z 川 s 上( 小i ”。l ”i + 蚓训) 十厶”。印i + l k 2 1 i + i i a i i l f n l i i l k ”( 51 ) + i 止i 】l 。e d n ) l ”( 。n ) s f f 钍p l - ，f l f ” u l l p ( r 0 f i l q 7 口8 p ( n ) 十e i t u l i g o 。o ) h p ( d n ) + k 2 1 0 n t 7 i i v h 扫啊+ l f l l l l 一( n 】i i 1 k 一( n ) 十i i f 2 1 1 l 一( f r o ) i i t l k 一( 优2 ) f l i t z i l 一一1 i i v l l 十k - n i 声 i v l l + ( ：苫e i i u t l ”一1 1 i v l + 岛k 2 i 蕊训声| | ”i i 十| 【 l l m 埘训+ c o i l 2 1 1 l 一( 。n ) i l v l l v 口w 1 ”( n j 令m i = 1 + 四，= k 1 蚓7 + 岛啦唧! i 矿，有 l i c b , ) 1 1 w ，吖n 】sf m l l h i 9 1 + 2 十l i 1 1 l 一( 2 ) + c o l l f 2 l ll 一( a f o 设 “。 cw 1 ，”( q ) ，是以( u 。) 的( p s ) 序列若扣。) 有界，则存在u l , p ( n ) 使得在 1 ，”( n ) 中，u 。一令a ，b ：w 1 。”( q ) _ w 1 ”( n ) + 使得a ( u ) v ：= = j j | v u l ”2 v u v v 岛川”k o ，b ( u 如：= 如n1 垆- 2 m ，则j i b , 。) 一a ( u ，t ) 一 b ( ) 一c ( u n ) _ 0 ，由文献【4 7 l 的引理2 1 ，2 2 知b ，e 是紧的，a 。存在且连续，从而t 如一 a 。( a b ( u ) 一e ( “) ) 因此， 若( p s ) 序列( “。 有界，则结论成立下面用反证法证明 “。) 有界不妨设当v 。_ 。 时i l u 。i 一o c 令= f 若知，则 ”。 有界不失一般性，设在w l ：p ( n ) 中，1 ” 在p ( a n ) 中，v n ”类似定理1 验证( p s ) 条件中相应部分的证明，结合( 3 31 ) 有 ”。_ u o 因为只( + 【) c ) 一。c ：耳( 一( ) c ) o ，可令 平f 1 只( + 。c ) 一8 ，墨( 十。c ) 一o c f ( 一。c ) = ，。c 2 l i = 1 ，2 ) 则存在m 0 使得最 ) q 对t 一m 成立，r ( ) 蛾对f2 肼成立阪 这里，b ，= ( i q i d ；i ) m + m a z l t l 【) 一 t 一 t r ( i i ) 验证r 一环绕定理的几何条件 由( 3 ) 知，对任意 0 ，存在匠 0 ，使得h ( “) ise 川1 + k i i = 1 ，2 ) 对任意的 w 1 ，( 吼类似( 3 1 5 ) ，易知 l 厶g 、( 州x 1 t 妒 ( t u ) = a 0 ，使得s u p x 吼 ( ( z ) ) r 从而f 一环绕定理中成 立，由i 知 满足r 一环绕定理的条件( c ) ，故定理1 在k 0 i i i t 、l i 二毹_ _ i n、( p - - 1 ) 。1 l 2 4 似3 】1 ) 唧 矗 厶 + ， 疋 一 一n 口 nf ，佃 巧 取d m i n 6 ，k l h ) ，令肛n ( 儿一眠a + 明满足，l n _ a k 则”】碍到临界僵序，0 魏 ， 定义如下： 。一。暖裟以n ( “( 。) ) 又注意到，当u 靠仙e 乏耥时 山。( u ) ；( 1 一惫一( 四+ 1 ) 训叫卜( ，h 寺删川b ( n ) + c o k z o n p + c 0 i l l ，( ) u 有一致下界因此，h ) 下方有界从而 舰焉 0 与( 3 3 1 1 ) 矛盾 在条件( 6 ) 下，类似可证，略 四、分析与思考 还有一些值得我们思考和讨论的问题： ( 1 ) 能否将条件( 4 ) 和 4 y 推广到【3 4 j 中方程( 5 ) 具有n e u