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东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：丛鱼l 盐日期：2 受! ：竺：些 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，。 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的 公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名t 删导师繇燃期：世 摘要 本文用有限差分方法研究了一类非线性延迟偏微分方程的数值解根据反 应项对未知函数的两种不同依赖情况，分别做了研究 首先，考虑反应项仅依赖于u ( x ，t s ) 的情况对此种情况建立了两种差分 格式，分别是经典的c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式和紧差分格式，用离散能量方法 证明了差分格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性在l 模下的收敛阶分别 是o ( r 2 - bh 2 ) 和o ( r 2 + 酽) 其次，考虑反应项不仅依赖于u ( x ，t s ) 而且依赖于t l ( z ，亡) 的情况同样地， 对此种情况也分别建立了上面的两种差分格式，并用离散能量方法证明了差分 格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性在l 模下的收敛阶分别是o ( r 2q - h 2 ) 和d ( 7 2q - h 4 ) 最后，用数值算例验证了理论分析所得结果 关键词：延迟偏微分方程，有限差分格式，收敛性，稳定性 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n sw i t hf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rac l a s so fn o n l i n e a rd e l a y p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n i t i a la n dd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ed i s c u s s e s p r o c e e da c c o r d i n gt ot h er e a c t i o nt e r mfd e p e n d e n to nu ( x ，t s ) a n dd e p e n d e n to nb o t h u ( z ，) ，u ( z ，t s ) r e s p e c t i v e l y , a n dt w ok i n d so ff i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sa r ee s t a b l i s h e d f o re a c hc a s e f i r s t l y , t h er e a c t i o nt e r mfd e p e n d e n to n l yo nu ( x ，舌一s ) i sc o n c e r n e d w ee s t a b l i s h t h ec l a s s i c a lc r a n k - n i c o l s o nf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ea n dt h ec o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 目录 第二章反应项依赖于u ( x ，t s ) 1 2 1 c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 1 2 1 1 差分格式的建立 1 2 1 2 差分格式的收敛性和稳定性 2 2 2 紧差分格式 6 2 2 1 差分格式的建立： 6 2 2 2 差分格式的收敛性和稳定性。8 第三章反应项依赖于u ( x ，t ) 和u ( x ，t s ) 1 3 3 1c r a n k - n i c o l s o n 差分格式1 3 3 1 1 差分格式的建立1 3 3 1 2 差分格式的收敛性和稳定性，。1 4 3 2 紧差分格式1 8 3 2 1 差分格式的建立。1 9 3 2 2 差分格式的收敛性和稳定性2 0 第四章数值例子 2 6 结论 致谢 参考文献 3 7 3 8 3 9 第一章引言 在许多现实模型中，需要利用系统过去时刻的状态，因而提出了延迟微分 方程模型延迟微分方程又称时滞微分方程，广泛应用于经济学、物理学【l 】、 生态学【2 ，3 】、医学【4 ，5 】、交通调度、工程控制 6 】、计算机辅助设计、核工程 【7 】等许多科学领域，对描述自然科学和社会科学中的各种现象有非常重要的作 用因而研究此类问题具有十分重要的意义和实用价值 从二十世纪五十年代开始，延迟微分方程理论的研究得到了越来越多的学 者的关注，因此得到了非常迅速的发展延迟常微分方程的研究成果已经相当 丰富，并且仍是延迟微分方程理论中的一个发展活跃的分支，可参考【8 ，9 ，1 0 等文献；另一个分支就是目前许多学者正在研究的延迟偏微分方程，已有的一 些工作如【1 1 1 一【1 9 】其中，在已有的成果中大多只是研究解的性质的在文献【1 1 】 中作者研究了无限延迟的c a u c h y 问题的可解性；f e n g 和l u 在【1 6 】中研究了解 的渐近性；在 1 7 ，1 9 中作者研究了延迟偏微分方程解的稳定性；文献 2 0 】中研 究了中立双曲型延迟偏微分方程解振动的充分必要条件；文献 2 1 】研究了高阶 抛物型延迟偏微分方程的c a u c h y 问题，并给出了解的存在性、唯一性等结果； 在 2 2 中作者用上下解的方法研究了一些非线性的延迟抛物系统 众所周知，只有非常少的延迟微分方程可以得到解析解的表达式，延迟项 的存在又使得延迟微分方程的理论分析具有一定的困难，而数值方法研究可以 极大的弥补理论研究的不足，因此对延迟微分方程开展数值方法研究是十分必 要的；但是用数值方法对此类问题的系统研究，却是从1 9 7 5 年b a r w e u 在文献 f 2 3 】提出了数值方法的p 稳定和g p 稳定性概念后开始的 二十世纪九十年代后，国际上出现了用数值方法研究延迟微分方程的高 潮1 9 9 0 年，刘明珠等在 2 4 】中详尽的讨论了延迟微分方程口一方法的稳定性， 随之涌现出了许多关于这方面的成果；在【2 5 】中作者用标准谱方法和波形松弛 方法给出了一些研究成果；文献【2 6 】中作者用差分方法研究了h u t c h m s o n 方程 问题特别地，对于非线性延迟偏微分方程，数值方法的研究主要使用传统的 有限差分方法在 2 7 1 中作者研究了一非线性延迟偏微分方程，给出了差分格 式，并证明了其稳定性和相容性；1 9 9 8 年l u 在【2 8 】中研究了延迟抛物型方程混 1 东南大学硕士学位论文引言 2 合问题，给出了求有限差分解的单调迭代格式；2 0 0 2 年姜珊珊等人在【2 9 1 中研 究了中立型时滞抛物方程初边值问题，给出了一种条件收敛的显格式，收敛阶 为o ( 7 + 九2 ) ；2 0 0 6 年金承日在他的博士论文 3 0 】中研究了一些延迟常微分方程 和一些时滞偏微分方程，给出了行之有效的求解方法包括一阶变系数多尺度 延迟微分方程初值问题的求解方法，一类中立型抛物方程初边值问题的交替分 组显式迭代方法，一类二维非线性时滞抛物型方程初边值问题的交替方向差分 方法，一类以时滞抛物型方程周期边界值问题为模型的精细积分法，求解多尺 度延迟微分方程初值问题的传统的a d o m i a n 分解法；2 0 0 8 年f e r r e i r a 在文献【3 1 】 中研究了下面非线性延迟偏微分方程 赛( 刈) = q 象( 刈) + ，( u ( 碱u ( x , t - s ) ) ，( 础) q = ( 。 6 ) ( 0 ，卅， u ( a ，t ) = u 。( 亡) ，i t ( b ，t ) = i t b ( t ) ，t ( 0 ，卅， u ( x ，t ) = u o ( x ，亡) ，z 【a ，6 】，t 【一s ，0 】 的数值求解，其中，口 0 是扩散系数，s 0 是延迟参数作者给出了向后 e u l e r 格式，并用离散能量方法在l 2 模下证明了数值逼近的稳定性和收敛性， 收敛阶为o ( 7 - + h 2 ) 值得一提的足，当f ( u ( x ，舌) ，i t ( x ，t s ) ) = u ( x ，t ) 【1 一u ( x ，亡一s ) 】时，就是著名的 h u t c h i n s o n 方程 为了一般化，我们考虑如下问题： 警( z ，t ) = a 筹+ m ( 碱乱( x , t - - s ) ，碱( z ，t ) q = ( 。，6 ) ( o ，卅，( 1 1 ) u ( a ，t ) = q ( 亡) ，u ( b ，t ) = p ( t ) ，t ( 0 ，t i ，( 1 2 ) i t ( x ，t ) = 矽( z ，t ) ，z 【a ，6 j ，t _ 5 ，o 】( 1 3 ) 将对它建立经典的c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式和紧差分格式，从而在一般的情况 下得到了更好的差分求解方法，并且数值计算也非常容易实现根据反应项， 依赖于u ( x ，t s ) 和依赖于u ( z ，亡) ，u ( x ，t s ) 两种情况，对每一种情况分别建立了 c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式和紧差分格式，并在o 。模下用离散能量分析方法证 明了它们的收敛性和稳定性 取正整数m 和，记空间步长为h = 害，时间步长为7 - = 斋对q 作剖分 东南大学硕士学位论文引言 3 q r = q _ l q r ，其中= 鼢lx i = i h ，0 i m ) 和q r = t klt k = k r , - j ks ) ，歹= 孙另外记t k + 专= ( 如+ t k + 1 ) 定义网格q r 上的网格函数空间 w = i 钞= 砖) ，0 i m ，- j k ) 设 = u ；) 彤引入下面记号： 况罅+ ：竺竺之；堕，髭2 k ：望坠l 挚，谚+ = 丢( 谚+ 谚+ ，) 定义上的网格函数空间 v = iu = ( v 0 ，v l ，v m ) ，v o = v m = o ) 设口v 定义如下范数： v l l = 则有不等式 3 2 】 则有 ，川1 = 训。竿v b - a i i 丽b - a ，1 1 1 1 0 0 。恶缆， 在以下章节差分格式收敛性的分析中还需用到如下引理 3 2 引理1 ( g r o n w a l l 不等式) 设 pj k2o ) 为非负数列，且满足 k f k + 1 a + j e i 7 - f 2 ， k = o ，1 ， l = o 其中a ，b 为非负常数 f 七十1 a e x p ( b k t ) ，k = 0 ，1 ，2 ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 记 第二章反应项依赖于u ( x ，t s ) 2 1 c r a n k - n i c o l s o n差分格式 本节假设问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 存在唯一光滑解u c 4 3 ( 囝) ，且f ( p ，z ，t ) 一阶可导 一( 爨备i 札酬 c 1 2 i 艨。删， 其中o 为某正常数 2 1 1 差分格式的建立 定义q r 上的网格函数u ： 钟= u ( x i ，t k ) ，0 i m ，- j k n 在点( 鼢，七十壶) 处考虑微分方程( 1 1 ) 有 象( 砒+ 吾) = a 象( 砒+ ) 州u ( x i , t k + 如) 确， 应用t a y l o r 公式，有 1 i m 一1 ，0 k n _ 1 警( 钆 ) = 以砖一甄t 2 丽0 q 3 , u ( 前) ， 象池怎_ = 兰2f 丝o x 2 怎) + 刹0 2 i t 沁) - 虿t 2 伊u a z 2 0 t 2( 啦) t k + 丢) ， = 1 ( 磋v t + 删2k + 1 ) 一引h 2 秽0 4 u 奶k + 丽0 4 u ( + 1 ) - 1 8 ( u ( 三 z ，t 七+ 墨一j ) ，z ，。川) + 1 1 + 丢咿心 + ；) 一2 专厶( o ，鼢，t 七十 ) 0 4 u a z 2 0 r 2 0 2 u ( z i ，t ) 况2 ( 2 1 ) ( 带) ， t ：砟一j ，f j 其中酵，酵+ 1 ( 甄1 ，兢+ 1 ) ；酵。( 如一j ，t k 十l j ) ，落，前( 如，t 七十1 ) ，0 一介手 u ( x i ，t k + 一j ) 和j l u t k + 1 。+ ；钟。之间 把上面的三个式子代入到( 2 1 ) ，得到 ( 2 2 ) 础。昝暨卅专确叫机痧c 9 2 u 引( x i , t ) l 一 一轰 象( + 嘉( 拙扯 于是，存在正常数q 使得 l 磁lsc 2 ( r 2 + 2 ) ，l i m 一1 ，0 七n 一1 注意到初边值条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，有 啪= a ( 如) ，v ；：| f = p ( 轧) ，l 毛 ( 2 3 ) 嘴= 妒( 。i ，t k ) ，0 i m ，一歹s 庇0 ( 2 4 ) 在( 2 2 ) 一( 2 4 ) 中略去小量项磁，并用让 代替畔，得到c r a n k - n i c 幽o n 型差分格式 t ，6 t t 心k + 5 = 口绣孔：+ 5 + ，( 丢让：+ l - j + 互1 “：一j ，蕊，屯+ 吾) ， 1 i m 一1 ，0 七n 一1 ， t 正：= q ( 如) ，让= p ( “) ，1 七， u ；= 妒( 翰，t 知) ，0 i m - j 七0 在每一时问层，( 2 5 ) 一( 2 7 ) 是一个线性代数方程组，可以用追赶法来求解 2 1 2 差分格式的收敛性和稳定性 关于差分格式( 2 5 ) ( 2 7 ) 的收敛性，有如下结果 定理2 1 ( 1 ) 当危，7 充分小时，差分格式( 2 5 ) ( 2 7 ) 存在唯一解； ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 磙 + 、 l _ 2 + 吼砖 1 2 + h 砖 1 2 ，十 l - 2 + 时霹 口 = 1 2 + 时 以 中其 东南大学硕士学位论文 反应项依赖于u ( z ，t s ) 3 ( 2 ) 设 u ( x ，t ) ia z b ，一s t 丁】是问题( 1 。1 ) 一( 1 3 ) 的解， u ；l0 i 弘一j 七 是差分格式( 2 5 ) 一( 2 7 ) 的解记 。 乞k = u ( x i ，t 七) 一钍i k ，0 i m ，一歹k n ， 则当h ，丁充分小时，有 i l e 七i i o o c 3 ( 丁2 + h 2 ) ，0 k n ， ( 2 8 ) 其中c 3 = 必2 、吾e x p ( 坠业1 2 a ) 证明对k 用数学归纳法证明显然，当- j 七0 时， 仳 ) 存在唯一，由 初值条件可知l f e 七= o ；现假设当0 k z 时差分格式( 2 5 ) ( 2 7 ) 存在唯一解 牡? 10 i m ) ，并且( 2 8 ) 式对0 k z 成立下证当七= l + l 时( 2 5 ) ( 2 7 ) 存在 唯一解( “rl0 i m ) ，并且估计式( 2 8 ) 仍成立 在( 2 5 ) - ( 2 7 ) 中令忌= z + 1 ，则得到关于 札纩110 i m ) 的线性代数方程 组，观察其系数矩阵可知其是严格对角占优的，因而存在唯一解 “f 0 i m ) 将( 2 2 ) 一( 2 4 ) 和( 2 5 ) - ( 2 7 ) 相减，得到如下误差方程 况e ：+ 5 = q 鹾e ：+ 5 + f ( z i u k + l _ j - _ i - u k t j , x i , t k + ) 一，( 丢让：+ x - j + 互1 让：- j , x t , t k + ) + 冗塞，1 i m 一1 ，0 k 1 ， ( 2 9 ) e ：= 0 ，e = 0 ，1 k 冬1 + 1 ， ( 2 i 0 ) e ；= 0 ，0 i m - j 七0 ( 2 1 i ) 在( 2 9 ) 式两边同乘以h t s t e y 丢，然后对i 从1 到m 一1 求和有 喜( ) 2 瑚m 喜- 1 ( ) + m 善- 1 舱。+ 护沁；) 一心u ，1 叫+ 互1 钍：- j , x i , t k + ；) 弦+ ；+ 忍m - 1 础( ) ， 下面分析( 2 1 2 ) 式右端的每一项由分部求和公式知右端第一项 m 一1 q ( 磋e 以e ，= 一旦2 r ( 1 c “k + l l l _ 1 2i e 七盼o 后鲥 ( 2 1 3 ) 从而( 2 1 2 ) 式右端的第二项 ，( 去u + l j + 2 。 t ；k - j ，。, 。，t 七+ ；) 一，2 l u ，k + , _ j + 互1 缸：一j ，z t ，t 七+ 吾) 况e ；k + i = 1 号( 一| + i e 爿) 争董( 魂e 坷+ 譬九三九( 魂e ：+ 5 ) 2 + 署九 ( 2 1 2 ) 式右端的第三项 弦呜l m 一1 ( e ：+ 1 。) 2 + ( e ：一7 ) 2 ， o 七z ； m 厶- 1 _ ( 七i 懈+ ；) s 争篓( ) 2 + 互1 篓 厶_ 七( 魂e ，) s 三九( 魂e 垮) 2 + 互 把( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) 代入到( 2 1 2 ) ，有 昙( i c “k + l 2 ) 冬譬 董弦h ) 2 竹，) 2 + 互h冬譬 弦h ) 2 + ( e 舛 + 互 ( 磁，) 2 ， ( 2 1 4 ) 0 ksz ( 2 1 5 ) 譬( 忙邓+ i | e 七。lj 2 ) + 丢( 6 一口) ( r 2 + 2 ) 2 ，。七z 上式两边同乘以誓，变形有 l ；枷+ 熹丁( 1 l e m 邓+ i l e k - j0 2 ) + 三( 6 一口) 鼋( 户+ 2 ) 2 ，。后 f 递推可得 e 1 胚l e 。l i + 杀r 名 l e 。l i + 鲁丁 ( i l e m + 1 一1 1 2 + i l e m 一歹1 1 2 ) + 一1 ff 、u m = - j 缸 1 一j e m i l 2 + m = 0 善五t ( h ) 鼋( r 2 + h 2 ) 2 e m 酽) + 否t ( 6 一口) 雹( 丁2 + 2 ) 2 ，。七s f 尚 一 壅查盔堂亟圭堂坌迨塞一一 反应项依赖于( z ，t 一。) 5 = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = 当兰兰三：兰：；：；兰：兰= 兰：= = ；：! ：= = 由( 1 5 ) 可知，有： e 忌+ 1 i ；l e 。i ；+ 譬丁- i o e m i | z + 鱼二吾字至丁 再注意到( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，有 1 f ；吾( 6 n ) 雹( 7 2 + h 2 ) 2 + 根据g r o n w a l l 不等式( 引理1 ) ，有 再由( 1 4 ) 可得 l e 件1 注 t ( b 一口) 鼋 e l + 罕i e l + l i 。掣 e ”i i + 吾( 6 一口) 鼋( - 2 + 7 产) 2 ，o k 1 ( b o ) 2 堡丁 e m i ；，0 南l 唧( 竽) 酽啪2 唧( 攀) p 啪= c 3 ( 户堋 故( 2 8 ) 对七= z + 1 也成立由归纳假设法，命题得证 现在讨论差分方程( 2 5 ) 一( 2 7 ) 关于初值的稳定性 设 钟l0 i m ，- j k ) 是 。k + 5 ；2 一。k 1 p 5 。+ ，尹( 丢t 拳1 l j 。+ - l v k - it k + ；) ， 1 i m 一1 ，0 k n l ， 碚= q ( “) ，u = p ( 如) ，1 k n ， 砖= 妒( 既，氏) + 妒：，0 i m ，一歹k 0 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 的解，其中妒? 是妒( 鼢，t k ) 引起的小摄动 记 ；= 砖一砖 将( 2 1 6 ) ( 2 1 8 ) 和( 2 5 ) 一( 2 7 ) 相减，有 ，民：+ 5 = q 鲤e ：+ 5 + ，、 7 互1 k + l - j + 2 v t k - j ，黝，气+ ) 一，( 丢u ：+ l - j - 4 - 互1u ：- j , x i , t k + ) ， 1 i m 一1 ，0 k n l ， 8 = 0 ，s = 0 ，1 k ， e = 妒；，0 i m ，一歹k 0 一 一 类似于定理2 1 的证明，有下面的结论 定理2 2 设 m a 0 x - j s k s 0f m 蚓。，0 曼f s m ”一 则当h ，7 - 充分小时，存在正常数c 4 ，使得 记 0 豇0 c 4，0 k n 2 2 紧差分格式 本节假设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一光滑解牡c 6 , 4 ( q ) ，且，( 肛，z ，t ) 一阶可导 c 0 = m a x 0 ，t ) e h 其中o 为某正常数 2 2 1 差分格式的建立 ，亡) i ，c 1 _ m 岖a x n i 厶( p ，z ，t ) i ， l t , l _ e o + o o 在紧差分格式的推导过程中，需要用到下面的引理【3 3 】 引理2 假设g ( x ) c 6 z i 一1 ，z 件1 】，有 西1 【，( x i + l + 1 0 9 ( 甄) + ，( 墨一t ) ) 】一萨1 夕( z ) 一幻( 戤) + 夕( z ) 】 蘅h 4 ( u ) ，u x i - - 1 ，x i + i ) 令 = 貉，则由( 1 1 ) 有 u = 丢胁叫u ( x , t - - 8 n ， 定义q ，上的网格函数 亡) 砑= u ( x i ，t k ) ，时= v ( x i ，t k ) ，0 i 尬一歹k n 利用引理2 和t a y l o r 展式，有 删2 k = ! 上么( v i k1 3 1 l o v i k + 皑。) 一去豢( 管 ) ，尊x i - - 1 ，t i + i ) ( 2 1 9 ) 垄曼茎塞塑兰兰垒矍墨堡矍坠堡墼垒堡查坠， 将上式中上标为后和七+ 1 的两个等式相加并除以2 ，可得 丢( 2 u ；k + 2 u ；k + 1 ) = i 1 2 ( 1 k 一+ 1 吾，t1 7 + 噶5 ) 一面1 面o ：9 6 u l ；吼k k ) h 4 = 西1 卜( x i - 1 , t k + ) + 1 0 ( 引哦) + u ( x i + l , t k + ) + 萼壶 嘉( 犯。穗，) + 1 。髻( 带) + 嘉( 坼。m - k 。) 一面1 丽0 6 ul 。- t k ，磊) 4 嚣( 觑- 1 ，x i + i ) ，瓦，谚( t k , t k + 1 ) ，p = t 一1 ，i ，i + 1 7 f u 用l v j ，侍到 磋一面1 呓 + l o 况矿+ 况噶5 ) = 一去舱咐- j + _ 2 lu 一知- j 心“沁 ) + 1 0 f ( 1 u i k + l - j + 栌ik 。一 + ；) + 撕f l u i k + 1 - j + 弘1r r k _ 撕 + ) 卜百t 2 西1 象扎伽 + 1 0 意( 前) + 蒜( 坼。商。) 一面1 甄t 2 雾( 椎k ，) + l 。雾( 戤：确 + 塑o t 3 ( 砜旃。) + 面1 1 8l 厶( 留心吐) 等( 砜亡) l 拄醴j + 1 0 丘( 一 _ 象( 酬b ，丘( 帮忍仙饥；) 嘉( 砜叱帮 ? 一面h 4 丽c 9 6 7 z u - - i k ，磊) ，黠。( t k - i , t k + l - j ) ，砧，谚( 如，t 七+ 1 ) ，p = l 一1 ，i ，t + 1 ( 2 2 。) 记 惑 = 鑫翥( 孕胪+ 一熹k ( 留一咄沁i ，- ( 彬9 2 u ( 铀l 材 + 1 ( 。一阳，屯+ ) 等( t ) l 。+ 厶( 帮忍仙轧丢) 雾( 坼“) l 帮 + 志 嘉( 斗- ，柱。) + l 。嘉( 婉瑚+ 等( 坼- 商- ) ? 口 9 6o x 2 a t 2( x i - - l ，谁1 ) + 1 0 0 4 u 如2 0 t 2( 钟) +a z 2 况2x i + i , 训卜 东南大学硕士学位论文反应项依赖于u ( x ，t s ) 8 于是，存在常数c 8 使得 由( 2 2 0 ) ，有 r 鬟i c s ( t 2 + 酽) ，1 i m 一1 ，0 n 一1 礤1 ( 州xr r k + 5 + 1 0 6 t u + 5 + 况噶5 ) 一辑5 = 壶舱嘣。+ p l u k _ jh ；) 棚心咿。+ 妒心 + ；) + ， 互1 。r r ；k + + 。, - j + 1 2 。r r ；k + - 。i ，z t + ，t 七+ ) + r i ( 3 ) 1sism 一1 ，0 k n 1 i ( 2 2 1 ) 再注意到初边值条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，有 嘴= 口( 如) ，嘞= p ( 如) ， 1 忌， 畔= 矽( 戤，如) ，0 i m ，- j 南0 在( 2 2 1 ) ( 2 2 3 ) 中略去小量项磁，并用u ? 代替嘴，得到如下差分格式 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 三1 2 u k + ；1 0 6 t u ：+ 5 + 况让搿) 一a 磋u = ；兰 ，( 丢；k 一+ 。l 。+ 丢；k 一- 。j ，瓤一- ，t 七十；) + 1 。，( 丢u ：+ l j + 互1 吣k - i ，z t ，+ ；) + 八互1 k + l - j + 弘1k 椰- j 叭“州) ，1 t m _ 1 ，。七- 1 ，( 2 2 4 j 落= q ( 如) ，u = p ( “) ，1 k n ， 砖= 矽( 耽，t k ) ，0 ism ，- j k 0 2 2 2 差分格式的收敛性和稳定性 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 对于差分格式( 2 2 4 ) - ( 2 2 6 ) ，有如下的收敛性结果 定理2 3 ( 1 ) 当h ，r 充分小时，差分格式( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 存在唯一解； ( 2 ) 设 仳( z ，t ) i 口z b ，一s tst ) 是问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的解，【仳；10 i m ，一歹冬克 是差分格式( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 的解记 e ；= u ( x i ，t k ) 一u ；，0 i m - j 忌n ， 东南大学硕士学位论文 反应项依赖于u ( x ，t s ) 9 则当h ，7 - 充分小时，有 i i e i l c 9 ( 产+ h 4 ) ，0 ksn ，( 2 2 7 ) 其中c 9 = 龇2 僵e x p ( 毪学) 证明对七用数学归纳法证明显然，当- j 七0 时， 姐；) 存在唯一，由 初值条件可知i l e 七= o ；现假设当0 k l 时差分格式( 2 2 4 ) ( 2 2 6 ) 存在唯一解 _ 【u ? 10 i m 】- ，并且( 2 2 7 ) 式对0 七z 成立下证当k = z + 1 时( 2 2 4 ) - ( 2 2 6 ) 存在唯一解 u ，10 t m ，并仍有估计式( 2 2 7 ) 成立 在( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中令k = z + 1 ，则得到关于 让f + 110 l m ) 的线性代数方程 组，观察其系数矩阵可知是严格对角占优的，因而存在唯一解【u ，110 i m ， 将( 2 2 1 ) - ( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 相减，得到误差方程 去k 等+ l o s t e + 文e 翁) 一a 磋e ， = 西i + 趟：，1 i m 一1 ，0 k5z ， ( 2 2 8 ) e 3 = 0 ，e = 0 ，1 k f + 1 ， e ：= 0 ，0 ism ，一j k 0 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 在( 2 2 8 ) 式两边同乘以h s t e ， ，然后对i 从1 到m 一1 求和有 薯击 e 身+ ，。以e ，丢+ 况e 学) 民e ， 一口 m 若- 1 e ，丢) 民e ， = 去善舱咄。掣1 u k - i 哦) 一，g k + 。l 弘1k 巾- i 锥“嵋) + 1 0 f z l u k + z _ i + 弘1 k 。，婉， + ，p 1t t k + + 。1 。+ 三嘲，砜沁 m 一1 + r ( 碱k + 5 ) ，o k 一1 1 。，( 丢仳t k + l - j + 互1 牡：。，z t ，t 蠹+ ；) ， 互1 咆k + + 。l 叫+ 互1 “；k + - 。i ，z t + - ，气+ ) 以e ：+ ( 2 3 1 ) 、l，、l， 1 0 由假设条件知，当h ，丁适当小时，有 从而有 l ，2 1u 。k + x _ j + 虿1u 。k j ，z t ，t 七+ ) 一，( 三u ；- l - l - j _ t 互1u ：一j ，以，亡知+ ) 垒2 妒一j + 矿1 。l ，0 一 i m ，o k 一 l ， 鱼1 2 董i ，叫增“心扎轧；)一撕一。吁心“轧；)=1 1 u k + l l r r k - i 1 u k + 1 1 k - j + 1 0 饱咿。+ 弘1k ，饥) 州也让。k - l - l - j + 互1 ，饥 ) + ，f 芝l 。1 t ；k + + 。l - j + 互1 。r r ；k + _ 。j ，z t + - ，t 七+ ) 一，( 丢u k ；+ + 。l - j + 百1 让；k + - 。j ，z t + t ，t 膏+ 丢) 况e ：+ 5 甄m-i(卜k+l一，塌k一+。l叫i+。矽一，+矿一，i+卜嚣。幅k十+，lel - k + l 。i ) & e ， 甄 ( 卜叫塌一- 叫i + 1 0 矽叫+ 矿卜i + 附。幅十，。i ) & e ， om l v l - - 1 j 暴 悼- k + ，l 叫+ 搿。) 2 + 1 0 ( 考“。+ 孝“。) 2t _ t k + 1 - j # + 1 。) 2 此外易知 ( 况e 2 ，o 七 l 去 篓( 以e 譬+ - 。魂矿吾+ 以e 学) 瓯e ：+ 亏2 九n - i ( 况e y 5 ) 2 ， n - i 铂( 2 e ；k + 5 ) ( 瓯e = 昙( 妙h e 知心 m 一1 h 磺 i - - - - i( ) 莲m - 1 ( 彬+ 熹 董i = 1 ( ) 2 把( 2 3 2 ) - ( 2 3 5 ) 代入到( 2 3 1 ) ，有 昙( ih 膏l ；) 口m - i 一 毳九悼k + 。l j 州k 一- 。j ) 2 + 1 0 ( e p + e 2 + ( e m k + l 一歹+ e 器) ： 眉冀 s 萼( i i e 七十1 一0 2 + e 七一l | 2 ) + 詈( 6 一a ) 4 ( p + h 4 ) 2 ，0 k 1 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 一斟 h 1 4 + h 小 东南大学硕士学位论文反应项依赖于u ( x ，t s ) 1 1 上式两边同乘以警，变形有 e 七十1 瞪l e 七悟+ 鲁丁( 1 i e 七+ 1 。1 1 2 + i l e 奄- j i l 2 ) + 五6 r ( 6 一口) 露( 产+ 酽) 2 ，。惫2 递推可得 e m l ； l e 。i ；+ 鲁丁到ke 州1 1 2 + l i e 叫| 1 2 ) + 瓦6 丁三k ( 6 叫c ；酽+ 酽) 2 - l e 。1 2 + 2 a q 丁 由( 1 5 ) 可知，有 e 畦i e o 阶警丁匿 e m i l 2 +(b-a)2k6 | e m 小 名ru 竹l = u + 器( h ) 鼋酽+ 胪) 2 ，0 一 k _ 1 再注意到( 2 2 9 ) 和( 2 a o ) ，有 i ；等( h ) c ；( t 2 + h 4 ) 2 + 幽3 a r 三k 根据g r o n w a l l 不等式( 引理1 ) ，有 再由( 1 4 ) 可得 e m i ；，0 k 1 扩增驾警唧( 笺笋) ( 产m 2 1 i d + a l l 一 v 伍2 - a i e l + 1 。学唧( 毪砦) ( t 2 j rh 4 ) 刮产删 故( 2 2 7 ) 对k = z + 1 也成立由归纳假设法，命题得证 现在讨论差分方程( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 关于初值的稳定性 东南大学硕士学位论文 反应项依赖于u ( z ，t 一。) 1 2 设 砖l0 i m 一歹k ) 是 三1 2 ( 磋v i _ “l + l o 况+ 魂搿) 一确p = 土1 2 舱廿j + 去妇) f 1k + 1 - j + 互1 k 沁；) + ， 弘1k + ，l 。+ 三帮，砜钆 ) 诺= a ( 如) ，嘞= p ( 如) ，1 k n ， ，1 i m 一1 ，0 k n 一1 ，( 2 3 6 ) 谚= 妒( z t ，t k ) 十妒? ，0 i5m ，一j k 0 的解，其中妒 是砂( 兢，“) 引起的小摄动 记 ；= 砖一仳曩 将( 2 3 6 ) 一( 2 3 8 ) 和( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 相减，有 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 西1 ( 耻等+ l o 况+ 况等) 一q 群悖 = 瓦1 三科+ 三龆阳“瓴；) 邶饱谚+ 1 - j + 互1 k 一愚轧；) + ，( 圭u ；k + + ，l - y + 1 2 。件k - 。j ，z t + ，t 七+ ；) 一 ，( 丢珏；k 一+ 。l - j + 互1 乱；k 一- ，j ，z t 一，t 蠡+ 吾) + 1 。，( 三u t k + l - j + 互1 心k - j ，z t ，亡知+ ；) + ，( 三u t k + + - l 。+ 互1 u ；k + - - j ，舰+ - ，t 七+ 吾) ) ， e 3 = 0 ，= 0 ，1 k n ， g ：= 妒；，0 m ，一歹k 0 类似于定理2 3 的证明，有下面的结论 定理2 4 设 m a x - j 忌0 ，o n i m 则当h ，7 - 充分小时，存在正常数c l o ，使得 知c l o g o ， ，0 k5n 第三章反应项依赖于钆( z ，t ) 和u ( x ，t s ) 3 1 c r a n k - n i c o l s o n差分格式 本节假设问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 存在唯一光滑解u c 4 , 3 ( q ) ，且，( p ，z ，t ) 一阶可 导记 c 1 ) = m a xi u ( x ，t ) l ，c 1 = ( z ，t ) e f 2 其中s o 为某正常数 3 1 1 差分格式的建立 m 眯a x n i 厶( 肛，z ，亡) ， ( p ，z ，z ，吼 协1 i v l _ c o + t o 在点( 甄，t k + 丢) 处考虑初值问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 由t a y l o r 展式，易知有 ，( u ( = 饱 轨，亡七十) ，u ( x i ，t 七十；一s ) ，x i ，亡峨) 一丢钟，弘1u k + l _ i + 互1 叮kj ， + 百3 7 - 2 舷_ , 忍 _ 缸l 黠 一；2 丘( 硝，砖- j , x i , t k + 吉) 船o t 。2 1 ( t ) i 拉醇 饥 ) 其中醇一( “一j ，t k + l j ) ，雠( t k 一1 ，如) ，砖介于u ( 戤，t k + 丢) 和；畔一；钟1 之间， 砖一介于u ( x t ，t 七十一s ) 和 嘴+ 1 一+ i 1 v i k 一之间 类似于前面c r a n k - n i c o l s o n 差分格式的构造，得到如下方程 。t r 。k + ”2 k = 饱嘴一_ 2 lr r k - 1 轳1 f k + l - j + 丢饥吾) + 礤， 1 i m 一1 ，0 k n 一1 ， 嘴= ( “) ，略= u b ( t k ) ，1 k n ， 西= 咖( 鼢，t k ) ，0 i m ，- j 尼0 1 3 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中 础= 7 2 陋l 3 ，前h 怠( 鼢，带) + 3 厶( 成，砖。忍 圳丽0 2 u b 刊威一饥；喇0 2 u 叱 一一a 惮r a k ，+ 翥c 拙小 由假设可知，存在正常数c 5 使有 r 。( 。2 i c 5 ( 户+ 炉) ，l i m 一1 ，0 忌n 一1 注意到初边值条件，再在( 3 1 ) ( 3 3 ) 中略去小量项磁，并用u ；代替钟，得到 如下c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 况就：+ 一n 磋“：+ ；= ，( 罢u ；k 一互1u ：- 1 , 乏1u ：+ l - j + 互1 饥：_ j ，z t ，t 七十) ， 1 t m l ，0 k n 一1