（计算数学专业论文）parallel+iterative+s+for+parabolic+equations.pdf

摘要 摘要 为了在并行计算机上用有限差分方法求解抛物型方程的定解问题，我们可以 从两种角度进行研究：一、构造具有并行本质的新的差分格式；二、对原有的格 式构造并行求解方法，本文从第二种角度进行讨论由于抛物型方程的一些经典 的隐式格式具有无条件稳定性，所以被广泛地应用于串行计算环境中，但得到这 些隐格式的解需要求解整体的代数方程组，故不能直接应用于并行计算环境，因 此需对这些经典的隐格式构造新的方法以实现其并行计算。 2 对一维定解问题，基于古典隐格式构造了一个可以并行求解的迭代方法， 并讨论了这个并行迭代方法的收敛性；在3 中，我们把上述思想进行了推广：对 二维问题的五点隐格式构造了并行迭代方法，并讨论了此方法的收敛性；在4 中，考虑并行迭代方法的加速收敛性，基于一维问题的古典隐格式，构造了一个 加速收敛的并行迭代格式，理论分析表明，这个迭代格式比l 中给出的方法有 更快的收敛速度。 与古典隐格式相比，紧格式由于其无条件稳定性与高精度，使其在串行计算 环境中被更多地采用。在! ；5 中，我们考虑紧格式的并行迭代方法：构造了基本的 并行迭代格式与加速并行迭代格式，并证明了两个迭代格式的收敛性。在6 中， 对本文提出的方法，在“南开之星 并行计算环境下，进行了数值实验。 关键词：抛物型方程；隐式差分格式；并行迭代方法；加速并行迭代方法 a b s t r a c t a b s t r a c t t os o l v ep a r a b o l i ce q u a t i o n sb yt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d so np a r a l l e lc o m p u t - e l s ，w em a yd or e s e a r c hi nt w ov i e w p o i n t s ：o n ei st oc o n s t r u c tn e w d i f f e r e n c es c h e m e s w i t hi n t r i n s i cp a r a l l e l i s m ；t h eo t h e ri st oc o n s t r u c tt h ep a r a l l e ls o l v e rb a s e do ns o m e e x i s t e ds c h e m e s i nt h i sp a p e r , w es t a n di nt h es e c o n dv i e w p o i n ta n dm a k i n gd i s c u s s i o n f o rp a r a b o l i ce q u a t i o n s s i n c es o m ec l a s s i c a li m p l i c i ts c h e m e sa r eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，t h e ya r ew i d e l ya p p l i e di n t os e r i a lc o m p u t i n g h o w e v e r , o b t a i n i n g t h en u m e r i c a l s o l u t i o nb yt h e s es c h e m e sr e q u i r e ss o l v i n gt h eg l o b a la l g e b r a e q u a t i o ns y s t e m ，w h i c h c a n n o tb ed i r e c t l ya p p l i e di n t op a r a l l e lc o m p u t i n g i nt h i sw a y , w es h o u l dc o n s t r u c tt h e p a r a l l e ls o l v e ri no r d e rt ou s e t h e mu n d e rt h ep a r a l l e le n v i r o n m e n t i n 2 ，f o ro n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m ，w ec o n s t r u c tap a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d b a s e d o nt h ec l a s s i c a li m p l i c i ts c h e m ea n dd i s c u s si t sc o n v e r g e n c e ；i n 3 ，w ee x t e n dt h i s i d e ai n t ot w od i m e n s i o n a lp r o b l e m , c o n s t r u c t i n gp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o df o rf i v e p o i n t i m p l i c i ts c h e m ea n dd i s c u s s i n gi t sc o n v e r g e n c e ；i n 4 ，w ec o n s i d e ra c c e l e r a t i n gt h e i t e r a t i v em e t h o df o ro n ed i m e n s i o n a lp r o b l e ma n dc o n s t r u c tt h ea c c e l e r a t e di t e r a t i v e m e t h o d ，w h i c hi sp r o v e dt oh a v em u c hf a s t e rc o n v e r g e n c es p e e dt h a nt h es c h e m em e n 。 t i o n e d i n 1 c o m p a r e dt ot h ec l a s s i c a li m p l i c i ts c h e m e ，t h ec o m p a c ts c h e m e i sw i d e l ya p p l i e d i n t os e r i a lc o m p u t i n gj u s tb e c a u s eo fi t su n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya n dh i g ho r d e ra c c u 。 r a c y i n 5 ，w ec o n s t r u c tp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o da n d t h ea c c e l e r a t e dp a r a l l e li t e r a t i v e m e t h o df o rt h ec o m p a c ts c h e m ea n dp r o v et h ec o n v e r g e n c e i n 6 ，w em a k et h en u m e r - i c a le x p e r i m e n t sb yu s i n gt h ea b o v em e t h o d su n d e rn a n k a is t a r sp a r a l l e le n v i r o n m e n t k e yw o r d s ：p a r a b o l i ce q u a t i o n ；i m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ；p a r a l l e li t e r a t i v e m e t h o d ；a c c e l e r a t e dp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：岳p j t 彩 2 潞年 月j o 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：种夕己历 2 0 喝年歹月夕d 日 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d a sn u m e r i c a l l ys o l v i n gt h ep r o b l e mo ft h e p a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h ee x p l i c i td i f f e r - e n c es c h e m ec a nb ed i r e c t l yu s e do np a r a l l e lc o m p u t e r s ，b u ti ti sd i s a d v a n t a g ei nt h a t i tu s u a l l yh a ss e v e r er e s t r i c t i o na b o u tt h et i m es t e pl e n g t hd u et ot l l ec o n d i t i o n a l s t a b i l i t y t h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ed o e sn o th a v es u c hs e v e r ec o n s 仃a i nb e c a u s eo f t h eu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y , b u ta g l o b a ls y s t e mo fe q u m i o n sn e e d st ob es o l v e da te a c h t i m el e v e l ，w h i c hi m p l i e st h a ti tc a nn o tb e d i r e c t l yi m p l e m e n t e do np a r a l l e lc o m p u t e r s f a c et h ef a c t ，t h e r ea r et w oc h o i c e s ：o n ei st oc o n s t r u c tn e wd i f ! f e r e n c es c h e m e s w h i c ha r ec a p a b l eo f p a r a l l e li m p l e m e n t a t i o na n dh a v ew e a k e rr e s t r i c t i o nm a nt l l ee x p 1 1 c l td i f f e r e n c es c h e m e ，t h u sa p p e a r i n gt h e a l t e r n a t i n gs c h e m e s 2 】- 【4 】a n dt h ed o m a i n d e c o m p o s i t i o no n e s 【5 h l o 】；t h eo t h e ri st oc o n s i d e rh o wt os o l v et h es y s t e mo f e q u a t i o n sd e d u c e df r o mt h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei np a r a l l e lm e t h o d u n d e rm e 五r s t c h o i c e ，t h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o ns c h e m e sc a nr e a c hl a r g e rs p e e d u pa n dh a v es i m p l e rc o n s t r u c t i o n ，b u tt h e ya r es t i l lc o n d i t i o n a l l ys t a b l ee v e nt h o u g ht h e yh a v ew e a k e r r e s t r i c t i o nt h a nt h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e t h e r e f o r e ，i nt h i sp a p e rw e c h a n g et h e a t t e n t i o nt ot h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e s w ep l a nt op r e s e n tt h ep a r a l l e li t e r a t i v e m e t h o d si no r d e rt h a tt h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e sc a n b ei m p l e m e n t e do np a r a l l d c o m p u t e r s 1 2t h ew o r ko ft h i sp a p e r t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st op r e s e n ts o m ep a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d sf o rt h e i m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e s t h e s em e t h o d sp r e s e n t e dh e r ea l eb a s e do nt h ei d e ao fd o m a i nd e c o m p o s i t i o n t og e tt h es o l u t i o no ft h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ，w ed i v i d et h e g l o b a ls y s t e mo f e q u a t i o n si n t os o m en o n - o v e r l a p p i n gs u b s y s t e m s ，w h i c hc a nb es o l v e di nd i f f e r e n t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n p r o c e s s o r sa tt h es a m et i m e ，a n dt h es o l u t i o no fs u b - s y s t e mi sr e g a r d e da st h ei t e r a t i v e v a l u e t h ei t e r a t i v ev a l u ei sp r o v e dt ob ec o n v e r g e n tt ot h ed i f f e r e n c es o l u t i o n i no r d e r t oi m p r o v et h ec o n v e r g e n c er a t ea n de n h a n c et h ep r o p e r t i e so f a s y m p t o t i cc o n v e r g e n c e ， w ea l s oc o n s i d e rt h ea c c e l e r a t e di t e r a t i v em e t h o d m o r e o v e r , w ee x t e n dt h e s em e t h o d s t ot h e c o m p a c ts c h e m es ot h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sh a v eh i g h e ra c c u r a c y n u m e r i c a l e x p e d r n e n ms h o w l a tt h e s em e t h o d sa r ee f f i c i e n t t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 ，t h ep a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d b a s e do nt h ec l a s s i c a li m p l i c i ts c h e m ei sc o n s t r u c t e df o rt h ep a r a b o l i cp r o b l e mi no n e d i m e n s i o n a ls p a c e ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e d i ns e c t i o n3 ，t h e i d e ai se x t e n d e dt ot h ep r o b l e mo ft w o - d i m e n s i o n a ls p a c e i ns e c t i o n4 ，w ec o n s i d e r a c c e l e r a t e di t e r a t i v em e t h o d i ns e c t i o n5 ，w ec o n s t r u c tp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o da n d t h ea c c e l e r a t e dp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o df o rt h ec o m p a c ts c h e m ea n dp r o v et h ec o n v e r g e n c e i ns e c t i o n6 ，n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r o v i d e dt os h o wt h ep e r f o r m a n c eo ft h e m e t h o d s f i n a l l y , i ns e c t i o n7 ，t h ec o n c l u s i o ni sg i v e n 2 c h a p t e r2t h ep a r a l l e ii t e r a t i v em e t h 。df o r f u l l yi m p l i c i t s c h e m e i n 【1 0 】，l i uq i n g f uh a sc o n s t r u c t e dt h e p a r a l l e li t e r a t i v em e t i l o d ，h o w 眦h ed i d n o td e v e l o dt h i si d e ai n t ot w od i m e n s i o n a lp r o b l e m i nt h i s a n dm en e x ts e c t i o n w e 鄹v ed i h e r e n tp r o o fo ft h ec o n v e r g e n c ea n d e x t e n di tt ot w od i m e n s i o n a l p r o b l e m w e 蜥d et h ed o m a i n 】 0 ，卅i n t og r i d sw i t h t h es p a c es t e p a n dm et i m e 8 t e p 丁t 0s o l v et h ef o l l o w i n gi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m b yt h ef i n i t e 础e r e n c c 札2n ，a 0 ，0 x z ，0 t z 扎( o ，t ) = u ( t ，亡) = 0 ，0 t t ， 钆( z ，0 ) = 钆o ( z ) ，0 z 1 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 1 + 2 a r ) u 罗“一。r ( 嘴+ 嘴) = 叼，歹= 1 ，2 ，1 ，os 佗一1 ， f ，r 。o 。m 1 t 1 1 e r e 紫n c e 1 ，w e c a nl ( n 。wt h a tt h es c h e i l l ei s u n c 。n d i t i o n a l l ys t a b l e d e n o t e 泸十1 = ( 叼“，叼+ 1 ，v j u j n 一+ 1 i ，、ta n d 。 1 ：嘉r 1 ；凹2 a r 一 1 l 口r + 一n ri q 2 l i ，觇 【 一n r 1 一+ n 2 r a r1 ：乏rj | 知x 七 r n l e nt l l ed i 艉r e n c es 。l u t i 。nc a nb ec o n v e r t e di n t ot h e s 。1 u t i 。n 。ft 1 1 ef o i l 。w i n gl i n e a r c i 一1 u 蚪1 = u n 3 ( 2 4 ) 扩 i 州 邮 ， 1 z ) 叭叠 舻雪 肌 咿 嘲 “ a 屺 工引 号言m ，吐 瑚 w五i 衙 l 郎 嬲 舱兰= n 就二r 揪 = r 一潞 弹一 锄= q 婶 d r 件。一 觚砌似一 m瞅d 兰m m = 哆面囊 磐塑椭 z ：、n，)n “名小 心 t 1 呵 嚣等一 临吣州地蚴 t h i ss y s t e mc a nb es o l v e db ys o m ec l a s s i c a ls e q u e n t i a lm e t h o d s ，s u c ha st h et h o m a s a l g o r i t h m ，s o ri t e r a t i v em e t h o d ，a n ds oo n n o ww e p r e s e n tt h ep a r a l l e li t e r a t i v em e t h o df o rt h es y s t e m ( 2 4 ) a s s u m et h a tk a l eas e r i e so fi n t e g e r ss a t i s f y i n g0 = k 0 甄 k 2 + 1 = j 一1 d e n o t e b = o r l 1 0 a = 0 o r c r i 0 c k 2 一k l a r 0 0 o k 2 一k 1 2 0 o r c k m k m 。 a t 0 c j 一1 一k 。 0 一k m - 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