（计算数学专业论文）一类耦合热弹性方程的差分解法.pdf

摘要 耦合热弹性问题考虑温度同形变的相互作用一方面温度会产生形变，另一方面形 变也要产生或者消耗能量，从而反过来又影响温度此时，热传导方程和热弹性方程不 再是独立的，必须联立才能求解温度，位移和应力在实际应用中，耦合项往往可以忽 略，从而变成非耦合热弹性问题而对于某些问题，需要考虑耦合项的作用例如，在波 的传播中，由于热能耗散，热弹性耦合对波的阻尼起较重要的作用本文研究下面的耦 合热弹性初边值问题的数值解： 象一岳( 。- ( 叫) 笔) + 以”是+ 。( 叫) 袅+ 劬( 州) 塞 = ，( z ，t ) ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， o 研vb ( f ) 塑o x 2 + 6 2 ) 仉0 2 u + 6 3 ( 州) 塞+ k ( 塞+ k ( 州) 象 = g ( z ，) ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， ( o ，t ) = t ，( o ，t ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = v ( 1 ，t ) = 0 ，0 t s t 札( z ，o ) = a ，( z ) ，瓦o u ( z ，o ) = p ( z ) ，o z 1 ， 钉( z ，0 ) = n 2 ( z ) ，0 茹 1 这是一个抛物双曲耦合的问题本文对上述问题建立了一个三层有限差分格式通 过离散的能量分析方法给出了差分解的先验估计式证明了差分格式的唯一可解性，稳 定性和收敛性在l 2 范数下收敛阶为o ( h 2 + t 2 ) 最后给出了差分格式的求解方法，并 通过数值算例验证分析结果 关键词：耦合热弹性问题，差分格式，先验估计，收敛性，稳定性 a b s t r a c t c o u p l e dt h e r m o e l a s t i c i t yp r o b l e mi n v o l v e st h ei n t e r a c t i o no fd e f o r m a t i o na n dt e m - p e r a t u r e t h a ti s ，n o to n l yt e m p e r a t u r eb r i n g sd e f o r m a t i o n ，b u td e f o r m a t i o np r o d u c e so r c o n s u m e se n e r g ya l s o ，w h i c hi nt u r na f f e c t st h e t e m p e r a t u r e i nt h i sc a s e ，h e a tc o n d u c t i o n e q u a t i o na n dt h e r m o e l a s t i c i t ye q u a t i o na r en ol o n g e ra l o n e t h e r e f o r e ，i no r d e rt os o l v e t h ep r o b l e mo n em u s tp u tt h e mt o g e t h e r i np r a c t i c e ，t h ec o u p h n gc a no r e nb ei g n o r e d ， t h u si tb e c o m e sn o n - c o u p l i n gp r o b l e m s f o rs o m eo ft h ei s s u e s ，h o w e v e r ，w en e e dt o c o n s i d e rt h er o l eo ft h ee o u p f i n g f o re x m n p l e ，i nt h ew a v ep r o p a g a t i o n ，t h e r m o e l a s t i c i t y c o u p l i n gp l a y sa ni m p o r t a n tr o l eo nt h ee l a s t i cw a v ed a m p i n gb e c a u s eo f h e a td i s s i p a t i o n t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st os t u d yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o ft h ef o l l o w i n gc o u p l e dt h e r m o e l a s t i c i t yp r o b l e m ： 象一i 0 一( o z ( 州) 塞) + 以t ) 塞+ 烈印) 叩0 2 u + 叫叠t ) 宝 = ，( z ，t ) ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， 赛一6 1 ( ) 象+ 6 2 ( t ) 丽0 2 u ；+ 6 3 ( z 意+ k ( t ) 赛。t ) 器 = g ( x ，) ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， u ( o ，t ) = v ( o ，t ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = 钌( 1 ，t ) = 0 ，0 t l “( z ，o ) = 。1 ( z ) ，雾( z ，o ) = 卢( z ) ，o z 1 v ( x ，0 ) = q 2 ( z ) ，0 z 1 t oa p p r o x i m a t et h es y s t e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w ep r o p o s eat h r e e - l e v e lf i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e ap r i o re s t i m a t eo fn u m e r i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e db ym e a n so ft h ed i s - c r e t ee n e r g ym e t h o d t h e ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，c o n v e r g e n c ea n du n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y o ft h es o l u t i o no fd i f f e r e n c es c h e m ea r ep r o v e d t h ee r r o rb o u n do b t a i n e di nl 2 n o r mi s o ( 7 - 2 + h 2 ) f i n a l l y , w ed i s c u s st h ei m p l e m e n t a t i o no fd i f f e r e n c es c h e m ep r e s e n t e di nt h i s p a p e ra n dt w on u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt os h o wt h ev a l i d i t yo ft h et h e o r e t i c a l r e s u l t s k e y w o r d s ：c o u p l e dt h e r m o e l a s t i c i t yp r o b l e m ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，p r i o re s t i m a t e ， c o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t y i i 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名；丕丝当日期：! ：! ! ! ! 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 签名：丕缰宣导师签名擞啉堡丝 第一章引言 1 1 耦合热弹性问题及研究概况 耦合热弹性问题考虑温度同形变的相互作用，即不但温度会产生形变，而且形变也 要产生或者消耗能量，从而反过来又影响温度【1 1 此时，热传导方程和热弹性方程不再 是独立的，必须联立才能求解温度、位移和应力耦合现象的物理实质是对热弹性波的 阻尼耦合系数是综合了材料的部分物质系数而构成的无量纲的参数，它介于0 和1 之 间在实际应用中，如在室温钢料的耦合系数按n o w i n s k i 给出的表达式计算为0 0 1 1 由 于耦合系数远远小于1 往往可以忽略，从而成为非耦合热弹性问题而对于某些问题， 需要考虑耦合项的作用【2 1 例如，文献 3 】中给出的耦合热弹性问题的模型 萨0 2 r 一一0 2 r o y 2 协鸶- 0 疣2“踟 u 鬻一k 筹+ 啦鑫= 。瓦一k 砑+ 啦丽2 u r = 口= 0 瓦o r ( 剪，o ) = r 1 ( 可) a ( o ) ysp ( 0 ) ( y ，t ) q t ( y ，t ) q t ( ，t ) t ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) q t = ( 可，t ) a ( ) y p ( ) ，0 t t ) ，t = ij a ( ) ，p ( t ) ) ) ， 0 t t r ( x ，) ，e ( x ，t ) 分别表示形变与温度，m ，叩2 为耦合系数，尤是与物质有关的常数 关于耦合问题的研究侧重于具体热弹性耦合问题的计算尽管对于轴对称有限圆柱 的耦合热应力问题可通过热弹性位势或l o v e 位移函数求解1 4 1 ，然而一般情况下解析解很 难获得，因此人们不得不努力求其数值解文献 5 】对于热传导方程为双曲方程的热弹 性问题通过有限元方法对时间进行直接分解，获得压电板热冲击下的温度、位移应力及 电势变分迭代法 6 1 7 1 ，以及对于高维问题的边界元解法【8 1 【。l 也有了一定的研究文 1 0 】 针对一般的热机械问题通过微分代数方法给出了一种有效的数值计算方法在文献【1 1 】 中，对于非线性的一维半空间的热弹性问题进行了研究，通过差分获得了数值解有界 圆柱区域的线性以及非线性的弹性问题也已经有很多作者进行了研究 1 2 1 1 3 1 然而，目前 对于动边界模型( 1 1 1 5 ) 的数值算法有文献 3 基于变分的有限元解法及差分解法作 、j、j 匆 = = y 可“联 中其 壅童奎堂塑圭兰堡垒塞 叁三塞! ! 童 2 者通过变分原理证明了问题解的存在唯一性，但是差分格式解的存在惟性、收敛性及 稳定性未见分析，并且差分离散方法的精度关于时间是一阶的 其中 1 2 模型的转换 注意到模型( 1 1 ) 一( 1 5 ) 边界条件跟时间相关，因此我们运用文献【3 1 的方法，假设 ( h 1 ) 7a 0 ) ，“( t ) c 2 ( 【0 ，t ) ，r ) 并且 o 7 0 5 0 m 臻1 ( t ) ( n 2 ) 0 0 对移动边界条件进行坐标变换z = ( 可一a ( ) ) 1 ( ) ，区域q 。变为q = ( 0 ，1 ) ( o ，t ) 模型( 1 1 1 5 ) 变为 豢一嘉( 州州) 笔) + n 。( f ) 宝+ 8 。( 州) 口0 2 2 u + 口4 ( z ，t ) 筹= ( x ，t ) ，( z ，) ( o ，1 ) ( o ，t ) ， ( 1 6 ) 塞一6 1 ( 象+ 6 2 。) 仉i ) 2 口u z + 6 3 ( 州) 塞+ h ( 。笔 + b s t z , t ) - a 9 2 z u 2 = 9 ( z ，t ) ，( z ，) ( 。，1 ) ( 。，t ) ， u ( o ，t ) = v ( o ，t ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = v ( 1 ，t ) 一0 ，0 t z u ( 删) = q ，( 巩窑( 删) = 触) ，o z 1 ， v ( x ，0 ) = n 2 ( z ) ，0 茁 0 关于t 一除露导，a 3 ( x ，妨，6 3 ( z ，) 美予茗一酚可辞，粗| a a l 挑( x , 0 | c ，| 垫萨 0 ，i = 0 ，1 ，m 一1 ，k = 0 ，1 ，n 定义q ，上的网格函数 其中 u = ( u y o s i m ，0 七sn ) v = 1 哆i o s i m ，0 k 凡) 时= 札( 翰，“) ，时= ( 鼢，t k ) ，0 i m ，0 k n 在结点慨，“) 处考虑微分方程( 1 6 ) ，有 蠹( 劫，埘一( m o u ，( + 眈( 塞( 埘+ 口。( 缸) 0 2 u 埘 怕( 笔嘲= m “1 i m 一1 ，l 七s n - 1 ( 2 1 ) 由t a y l o r 展开得 护u ( 翰，t k ) 刁；广2 u ( x 。，t i , - 1 ) 一2 u ( x ，t ) + u ( x t ，t k + 1 ) 下2a 4 u ( z i ，嚣) = 砰吩 ( 。，宝) ，瓦i o ，瓦j ( 7 - 2 1 20 t 4 r 2 伊u ( 艘) 1 2现4 t 一1 嚣冬t + 1( 2 2 ) = ； 未( 。，塞x ) ( x i , t k - 1 ) + 妄( a 瓦0 u ) ( 瓴，) 一!黑(n。是h2一一蕊弘l n 瓦j 瓯，) = ： 疋( ( 。) p 1 疋) 畔+ l + 如( ( 。，) ：一1 疋) 阱一1 】+ 4 0 t 一l 曼馥t + 1 踟，、 1 瓦训2 互 1 2 塞( 址。) + 宝( 甄沌+ 1 ) 一萼熹( 露，) 仍k k - 1 + 晚k m 一h 1 2 2 出o a v e a 1 ) t ， ( 2 3 ) 一西h 2 礤0 3 v ，# ( 2 ) ，阱, ，一i t 2 瓦a 3 砸y ( 露) = 眈谚一h 1 2 2 沈0 3 v 。( 一( 1 ) t 一砭h 2 礤0 3 v - 。( k 2 ) ，。+ 1 ， 一萼翥( 热址。s 毋鲰廿 ( z 4 ) 东南大学硕士学位论文第二章差分格式解的先验估计 6 a 2 u ，。、 百；瓦纠。 砒，。、 瓦，训 磊1 1 ( x i + l , t k + 1 ) 一u ( z i + i ，t k - 1 ) 一乱( 孔一，t t + ) + 札( z t 一，t t 一) + a d p t u ：+ 穗( 2 5 ) 去卜( z m ，一u ( x i - 1 , t k ) 一等蠹( 摆，沌) d u i k h 6 2 抛9 3 u ( 3 ) t ，) ，z 露z 州 ( 2 ，6 ) ( 2 4 ) 与( 2 5 ) 中的p 。o ，一k 2 分别为 将( 2 2 ) 一( 2 6 ) 代入( 2 1 ) ，得到 其中 矗：= o ( r 2 + h 2 ) 矗：= d ( 7 - 2 + 2 ) 砰磅一；阻( ( 口。) p 1 瓦) 噼+ 1 + 以( ( 。) ：一1 以) 吩1 】+ 口。( 如) 仇时+ ( n 。) ：d f 眈西 + ( m ) ；d i 时= 露+ r i ( 1 ， 1 七 一1 ，1 l m 一1 ， ( 2 7 ) 磁：l c ( 下2 + h 2 ) 同理在结点( 翰，“) 处考虑方程( 1 7 ) ，得到 其中 d 时b l ( “) 髭2 订+ 6 2 ( “) d 眈+ ( 6 3 ) ；优时+ b 4 ( t ) d e 嘴+ ( 6 5 ) ；磋 = 费+ r 鬟， 1 k 竹一1 ，1 i m 一1 由初始条件( 1 ，9 - 1 1 0 ) ，有 兄5 ：l c ( r 2 + h 2 ) 田= 1 ( ) ，谚= o r 2 ( 翰) ，0 i m ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 东南大学硕士学位论文第二章差分格式解的先验估计 7 珥= 。，( 戤) + r 卢( 翰) + t i 2 【，( 置，o ) + ( o ，( z ，o ) n ：) ( ) 一口2 ( o ) q ：( 戤) 一n 3 ( 墨，o ) ( 翰) 一a 4 ( x f ，o ) q ：( 戤) 】+ “厶，0 i m ( 2 1 1 ) k 1 = q 2 ( ) + r i g ( x , ，0 ) + b l ( o ) q ：( 而) 一6 2 ( o ) ( 翰) 一b 3 ( x ；，o ) o ：( 翰) - b 4 ( o ) n 1 7 ( 孔) 一6 5 ( 研，o ) n 1 ，1 + 以，0 i m ( 2 1 2 ) 其中 由边界条件( 1 8 ) ，得 岫= 躲一) 2 掣d f i 峨m 吼= 虿t 2 否0 2 万v ( 翰，琅) ， 。i s m ， 。讯1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 皤= 噱= 瞄= 罐= 0 ，0 sk s 礼( 2 1 5 ) 在( 2 7 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 中略去小量项趟：，两：以及姚，以，并分别用叫k ，砖 代替噼，时可得如下差分格式 雹2 心k 一；隰( ( n - ) p 1 如) 谚+ 1 + 以( ( 。) ；。疋) 砖。】+ a 2 ( t ) d 。谚+ ( 。) ；d d e u ： + ( 口4 ) i k 忱心k = 劈， 1 k 咒一1 ，1 i m 一1 ( 2 1 6 ) d , - v ；一6 1 ( t k ) 磋谚+ b ( “) d f d “；+ ( 6 3 ) 知咒谚+ k ( “) d u k + ( 6 5 ) k 2 啦k = 露， 1 k 凡一1 ，1sism 一1 ( 2 1 7 ) u o t = n 1 ( 翰) ，0 s i s m ( 2 1 8 ) 0 = 0 c 2 ( 戤) ，0 i m ( 2 1 9 ) _ 2 札j = o t l ( 翰) + 7 - p ( 戤) + ；【，( 翰，0 ) + ( a l ，o ) a ：) ( 戤) 一a 2 ( o ) n ：( 鼢) - - a 3 ( x i ，0 ) 8 ( 翰) 一a 4 ( x i ，o ) a j ( 研) 1 ， 1 t m 一1 ( 2 2 0 ) 1 = 0 2 ( 翰) + r 9 ( x ，o ) + 6 1 ( o ) o ：( 戤) 一6 2 ( o ) p ( 墨) 一b ( 磊，o ) o ：( ) - b 4 ( 0 ) o 1 ( 翰) 一b s ( x i ，o ) q l ”1 ， 1 ism 一1 u 3 = u _ ! ；l = 0 ，0 k n 砖= 镌= 0 ，o k s n ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 东南大学硕士学位论文第二章差分格式解的先验估计8 这是一个三层的差分格式，k + 1 层的值可有第k 一1 与第k 层表示出来若已知 第一1 值 “：，谚- 1 i o m ) 与第k 层的值 t l ；，砖l ost m ) ，可通过求解线性方 程组获得第k + 1 层的值 k + l ，砖“i o i m ) 接下来我们首先给出差分格式的先验 估计，关于差分格式的具体求解在第四章进行讨论 2 2 差分格式解的先验估计式 为了便于我们后面的证明，首先引入下面几个引理 引理2 1 【2 q 如果 啦，仇l o s i m ) 为q 上的网格函敷，并且满足u 0 = “。= 0 ，则有 引理2 2 如果存在常数g o ，q 0 使得四s8 件暖，0si m 一1 ，则有 c - i u l l u q l u i l 引理2 3 【卅如果离散函数 w 1 0 n ) 满足下面的递推关系式 一一1 冬a w n l + b 一1 丁+ g 7 - ， 其中a ，b ，a = 1 ，一，) 为非负常数则当( a + b ) r 酉n - 1 ( 1 ) 时有 下面我们给出差分格式( 2 1 6 - 2 2 3 ) 解的先验估计式 定理2 1 设 u ；，i o t m ，0sksn ) 是差分方程组偿乒2 2 剀的解，则当r 充分 小时，有 ；( i i 秽b 1 | 1 2 + 甜知l | 2 ) + | | 况u 詹+ 1 1 2 + ；( i “七+ 1 ；+ l u i ；) s e 册吣“邪+ 互1 、12 ，+ ) + 1 2 + 1 1 ”。1 1 2 + 萼加钏2 州2 ) ，l 一 0 ，为与h ，7 - 无关的常数 一咣 瓦 一 u 如 m ：l = 玩 u 磋 曲 一 r日 矿 ng 脯 岫 0 为常数，c 0 为与e 有关的常数式( 2 3 3 ) 右端最后一项 m l t n 一1 2 ( 砖) ( 毋) h 【( 谚) 2 + ( 劈) 2 】 = 1 = 1 = i 1 2 + i i g 1 1 2 j i u 。1 1 1 2 + i i v + l i l 2 + l i 矿l p( 2 3 9 ) 取e = 2 n f i n l _ 0 是常数令 e = 1 1 6 t u + 2 + ；( | | k + 1 | 1 2 + 1 1 ”1 1 2 ) + ；( f l l t t k + 1 i i | 2 + i l i u 1 1 1 2 ) 于是式( 2 4 1 ) 变为 ；( e k - e k - 1 ) g ( 胪+ 砂。) + i i f i i + i i 矿1 1 2 】，1 s n 一1 即 e 。一e 。c 卜( e + e 。) + r f l y i t 2 + r l l 9 2 1 1 2 ， 由引理2 3 ，当丁 茹1 时 眺e 研 冉警割门们一 ，l k n - 1 将e o 砂代入嘉扶吉右 ；( | | ”+ 1 1 1 2 + 1 1 钞2 ) + | | 瓯u + 1 1 2 + ；( i | i “k + 1 i l l 2 + i l l u i i l 2 ) s e 7 吣“邪+ ；- ( 1 l l “1 忏+ 让。2 ) + ( m 1 2 + i i v 。惝 + 等枷2 删2 ) ，l 一 k 一 n - 1 ( 2 a z ) 对上式应用引理2 2 ，有 ；( i l 口k + 1 1 1 2 + i i 口。1 1 2 ) + i i 文“+ 1 1 2 + 1 1 u k + 1 1 1 2 。+ i 札i ) 孙扩1 2 + 硼1 2 ) + i l g w u k + 钏2 + 去( l 让1 | 2 + “n 东南大学硕士学位论文第二章差分格式解的先验估计 1 5 e 拼吣乱 l | 2 + 2 去；( 1 1 1 “1 l i t 2 + i i i u 。i i l 2 ) + ( 1 1 口1 1 1 2 + i i t ，。1 1 2 ) + 鲁扣2 w 2 e 研 札钏2 + 鑫( i u l i ；+ i u 。i ) + ( 1 1 t ，1 l i 2 + 1 1 钉。1 1 2 ) + 萼k ( m l 。+ i 。k i e 3 c t i i 巩u 1 1 2 + ；( i 札1 l ；+ i “。i ；) + ( 1 1 u 1 1 1 2 + 1 1 钉。1 1 2 ) + 萼如2 州2 ) l 0 为满足引理2 2 的常数定理2 1 证毕 口 第三章差分格式解的存在性，收敛性和稳定性 在本章我们将利用前一章给出的先验估计证明差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 的解的存在唯 性，收敛性和稳定性 3 1 差分格式解的存在唯一性 这节我们将证明差分格式解的存在唯一性 定理3 1 差分格式侣j 纠- 俾e s ) 是唯一可解的 证明：差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 是线性的考虑对应的齐次方程组 酵乱? 一：阻( ( n 。) p 疋) u p + 如( ( 。) ；一t 疋) 札；一】+ 口。( “) d 。砖+ ( g 。) ：d f d 。u ： + ( n 4 ) ：d k = 0 ， 1sksn 一1 ，1 ism 一1 d f k b l ( 奴) 6 。2 k + h ( t k ) d f d 谚+ ( b 3 ) f d k + b 4 ( t k ) d e u ； + ( 6 5 ) 。k 2 u k = 0 ，1 k 札一1 ，1si m 一1 越= 嘶1 = 0 ， 1 ism 一1 谔= 谚= 0 ， 1 ism 一1 诧= 札= 0 ，0 k 墨几 碚= 镌= 0 ，0 k 几 由定理2 1 ，有 易得 ；( 1 l v + t 1 2 + 1 2 ) + 枷。+ n 扣m 1 2 + 堋) s e 册 u ；1 1 2 + 扣1 i 仆。l ；) 刊川2 + l l 钉。i | 2 ) = 0 ， 1sks 礼一1 峨k = 谚一0 ，0 i s m ，0 k n 因而差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 是唯一可解的定理证毕 1 6 东南大学硕士学位论文第三章差分格式解的存在性。收敛性和稳定性 1 3 2 差分格式的收敛性 下面我们证明，差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 解的收敛性 定理3 2设知，“) ，口( 瓤，t k ) l o t m ，0 墨k 曼n ) 是定解问题以纠一以1 0 ) 的解， “：，砖i o i s m ，0 礼) 为差分格式偿j 纠一弘2 剀的解 记 尊= u ( x ，t ) 一谚，彦= v ( x i ，t k ) 一砖，0 t m ，0 茎后s n 则当r 充分小时，有 ；( i i p + 1 1 1 2 + l l p k l l 2 ) + i i 盈+ ；1 1 2 + ；( i 。+ 1 l ；+ l 扩i i ) c ( r 2 + 2 ) ， 1 曼k n 一1 ( 3 1 ) 证明：将( 2 7 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) 分别与( 1 6 ) 一( 1 1 0 ) 相减得到误差方程组 田2 龟k 一；i 以( 。) r 1 以) 尊+ 1 + 以( ( o 。) ；一1 以) 0 1 】+ o 。( “) d t p k i + ( n 。) ? 功d 。嚣 + ( 0 4 ) k 忱矗k = r ；( 。1 ， 1sksn 一1 ，1si m 一1 ( 3 2 ) d f 砖一巩( k ) 髭2 肫k + b 2 ( “) d d 尊+ ( 6 3 ) ：眈店+ b a ( t k ) d 露 + ( 6 5 ) t k o 。2 龟k = r 。( 。2 ，1 k 几一1 ，1 ism 一1 ( 3 ，3 ) 留= 0 ，0 i m ( 3 4 ) p o = 0 ，0 i m ( 3 5 ) g = 劬，0 i m 一1 ( 3 6 ) 房= ( y i ，0 i m 一1 ( 3 7 ) 鲒= 靠= 砖= 硪= 0 ，0 冬k 几( 3 8 ) 由定理2 1 ，得 ；( 1 i p + 1 1 1 2 + i l p k l l 2 ) + i i 也+ ；1 1 2 + ；( i + 1 i ；+ l f i ：) e 3 凹 n 孤1 阶眺) + ( 咿1 1 2 + i i p 。1 1 2 ) + 虿a t ( ( 瑚) 2 + ( 磷) 2 ) ，1 七s n 一1 ( 3 9 ) z = 1 t = 1 壅童查耋堡圭兰堡垒塞篁三塞叁坌堕苎堡堕童壅矍：些竺堡塑堡窒堡 1 8 由( 3 4 - 3 7 ) 和( 2 1 3 ) 知 峨毋i - l 警10 l = 掣 0 ，c 2 0 ，c 3 0 为常数 因而 由( 2 8 ) ( 2 1 0 ) ，有 0 3 u ( z + 1 ，t ) 0 3 u ( x l 疣3 o r 3 0 i m 一1 c 2 t 3 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) d 2 _ 0 ，旧；( c 2 t 3 ) 2 ( 3 1 4 ) 硝：l c ( 7 2 + 2 )1 i m 一1 ， 1sk n 一1 r 仉 以 = 一 p p 馥 一 一三甜 h h f l | i 泸 矿 尸 产 沁 一 怛，：器 瓯 叫：l h 东南大学硕士学位论文第三章差分格式解的存在性，收敛性和稳定性 因而 所以 r 。( 。2 l g ( 7 _ 2 + h 2 ) 1 ism 一1 ，1 ksn 一1 ， ( ( 础) 2 + ( 磁) 2 ) c ( 下2 + _ 1 2 ) 2 ，1 七n 一1 i = 1 萼妻 m ；- - i ( ( 磺) ) 2 + r 垆( 2 ) 2 ) t 3 c t c 下2 + 哟2 ，l 一 k 一 0 证明( 3 1 6 ) 一( 3 2 3 ) 分别减( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 得 配e ；一； 如( ( 。，) p 1 疋) s ：+ 1 + 瓦( ( 。) ；一1 如) s ；一1 】+ 。( “) d 。西+ ( 。) ：d f d 。s ： + ( n 4 ) f d 酵= 露，1 k n 一1 ，1 i m 一1 d i p ? b 。( 如) 磋房+ 6 2 ( 如) d i ) ；+ ( 6 3 ) ：d p ；+ b 4 ( t ) d ； + ( b ) 。k o 。2 e ：= 劈， 1 k 茎几一1 ，1 i m 一1 0 = 协，0 i m 鳄= 以，0 曼i s m 一1 ( 3 2 5 ) 3 2 6 3 2 7 3 2 8 壅堕奎耋堡圭耋竺篁塞墨三塞丝丝苎堡墼童壅堡! 些竺堡垫堡塞堡 2 1 j = 仇，0 t m 田= 佤，0 ism 5 = 。k = 酷= 靠= 0 ，0 k 礼 直接利用定理2 1 可得( 3 2 4 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 第四章差分格式的求解以及数值算例 本章我们将给出差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 的求解方法，并给出数值算例验证理论分析 结果 4 1 差分格式的求解 差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 是以 u ? ，啦1 1 i m 一1 ，1s ksn ，为禾知i 可重的线任万 程组令s = r h ，r = r h 2 ，则( 2 1 6 ) 和( 2 2 1 ) 可改写为 驾半一萼( 0 1 ) 糍 u 州k + l + - + 萼( n ) 糍+ 苦( 夏 u 1 掣+ 萼( n l j k - 刳+ 1 k + ，l + 百8 t 。z ) 错一百8 t 。) 谢 ： 掣+ 知) 麓k - i 一 - + 孙) 冀+ 知烂i - 弦1 一 华+ 知) 夏m k + l 一铲8 t ) 材+ 铲8 t 、v k - 1 一掣钍苒1 + 2 u ；+ 掣u 1 1 + i t 2 f k ，1 i m _ 1 1 s 七n 刈4 1 ) 掣埘m 。) 谢+ 1 + 2 r b l ) 矽一 掣+ r b m m ) 材 + 掣u 州k + l 一百b 2 ( t k ) 让k + l _ r 6 1 ) - 掣 料+ 1 - 2 r b ，( p + 掣+ r 6 m * ) 陶 一f s b 4 ( t ) + 2 r ( b 。) ：l “k ，+ 4 r ( b 5 ) ；札；+ 1 s b 4 ( k ) 一2 r ( b 5 ) ；】u i ， + 掣啄k - 。1 一訾睢k - ，1 砌酵，1 i m 1 s 七n 一1 根据( 4 1 ) ( 4 2 ) 可将差分格式( 2 1 6 ) 一( 2 2 3 ) 写成如下矩阵形式 旧d k + i 别= ( 4 2 ) ( 4 3 ) 奎堕奎堂堡主兰堡垒塞 篁塑塞叁坌堑苎竺壅堡垦墼堡篁型 2 3 其中 d k + l ： b ：+ 1 讲+ 1 a 矿1 磷“谚+ 1 a 一2s 。k + 一1 2c 。k + 一1 2 a 。k + 一1 1 b 。k + 一1 1 a p - = 一萼( 峨k + ；l 一扣) ：， 磷+ = - + 萼( 。) 糍+ 薯( 。) 墨 鲈- = 一i s 2 ( 。k + + ；l + 五8 ( 。) ：， _ ，1 钟“ 货“ g p l = e +