（应用数学专业论文）脉冲微分方程在种群控制中的应用.pdf

摘要 摘要 微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起着非常重要的作用。它从数 学的角度解释各种种群动力学行为，使人们科学的认识种群动力学，从而对某 些种群相互作用进行有目的地控制。特别是用脉冲微分方程来描述种群动力学 模型能够更合理、更精确的反映各种变化规律，因为现实生活中的许多生命现 象和人类的开发行为几乎都是脉冲的。本文主要考虑单点固定时刻脉冲微分方 程、双点固定时刻脉冲微分方程、状态脉冲微分方程的数学模型。它针对种群 控制的几个问题利用脉冲微分方程的相关理论和方法建立并研究了相应的动力 学模型，同时借助计算机模拟讨论了所提供模型的各种动力学行为，包括平衡 点的稳定性、周期解的存在性、系统的持久性与灭绝。本文共分为三章： 第一章研究了具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和固定时刻脉冲效应的食饵一捕 食者模型，根据f l o q u e t 乘子理论，获得了害虫灭绝周期解全局渐近稳定与系统 持续生存的条件。讨论了害虫灭绝周期解附近分支出非平凡周期解的问题，并利 用m a t l a b 软件对害虫灭绝周期解及害虫周期爆发现象进行了数值模拟。 第二章研究了具有时滞和脉冲的食饵一捕食者模型，利用脉冲微分方程建立 了在不同的固定时刻分别喷洒杀虫剂和释放天敌的具有时滞的第l i i 功能反应的 捕食者一食饵脉冲动力系统。证明了当脉冲周期小于某个临界值时，系统存在一 个渐近稳定的害虫灭绝周期解，否则系统持续生存。并用m a t l a b 软件对害虫灭 绝周期解及害虫周期爆发现象进行了数值模拟。 第三章研究具有状态脉冲控制的h o l l i n gh i 功能反应函数的食饵一捕食者模 型，通过庞加莱映射和庞加莱标准的给出了发生倍分支和切分支的条件。并研 究了正周期解的存在性和稳定性。 关键词：脉冲微分方程；食饵一捕食模型；持续生存；灭绝；数值模拟 a b s t r a c t a bs t r a c t m a t h m a t i c a lm o d e l so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sp l a y a n i m p o r t a n tr o l e i n d e s c r i b i n gp o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o r s m a t h m a t i c a l l y , t h e s em o d e l se x p l a i na l l k i n d so fp o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o r s ，w h i c ha l l o wp e o p l et ou n d e r s t a n dp o p u l a t i o n d y n a m i c ss c i e n t if i c a l l ys ot h a ts o m ei n t e r a c t i o n sc a l lb ei n t e n d e dt oc o n t r 0 1 e s p e c i a l l y , i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e s c r i b ep o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l s ， w h i c hm o r er e a s o n a b l ea n dp r e c i s eo nr e f l e c t i n ga l lk i n d so fc h a n g eo r d e r l i n e s s ， s i n c em a n yl i f ep h e n i m e n aa n dh u m a ne x p l o i t a t i o na lea l m o s ti m p u l s i v ei nt h e n a t u r a lw o r l d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h em o d e l sw i t haf i x e di m p u l s i v e e q u a t i o n ，t w of i x e di m p u l s i v ee q u a t i o na n ds t a t e d e p e n d e n ti m p u l s i v ee q u t i o n b y u s i n gt h et h e o r i e sa n dm e t h o d so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ee s t a b l i s ha n d s t u d yt h ed y n a m i cm o d e l st oa i ma tp o p u l a t i o nc o n t r 0 1 a tt h es a m et i m e ，b yu s i n g c o m p u t e r , w eg i v et h en u m e r i a ls i m u l a t i o no f a l lk i n d so ft h ed y n a m i c so ft h em o d e l s w e s t u d y ，i n c l u d i n gt h es t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u m ，t h ee x i s t e n c eo f t h ep e r i o d i cs o l u t i o n s ， t h ep e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o no fs y s t e ma n dt h ed y n a m i c s t h et h e s i si sa r r a n g e db y t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ep r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t haf i x e di m p u l s i v ee f f e c ta n d m o n o d h a l d a n ef u n c t i o ni s s t u d i e d b yu s i n gf l o q u e tt h e r e m ，w eo b t a i nt h e c o n d i t i o nt h a td e t e r m i n e dg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fp e s t e r d i c a t i o np e r i o d i c s o l u t i o na n dp e r m a n e n c e t h eq u e s t i o no ft h en o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o no f ft h e r o u n do fp e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o ni sd i s c u s s e da n dt h ep h e n o m e n o no ft h e p e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep e r i o d i co u t b u r s to fp e s ta l es i m u l a t e db y m a t l a b i nc h a p t e r 2 ，c o n s i d e r i n gb i o l o g i c a lc o n t r o la n dc h e m i c a lc o n t r o ls t r a t e g i e sa n d t h ee f f e c to fc h e m i c a lp e s t i c i d e so nn a t u r a le n e m i e s ，w ep r o p o s eap r e y p r e d a t o r m o d e lw i t hi i if u n c t i o n a l r e s p o n s ei nt w od i f f e r e n tt i m eb yu s i n gi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i t i s p r o v e d t h a tt h e r ee x i s t sa n a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e p e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o nw h e nt h ei m p u l s i v ep e r i o di sl e s st h a ns o m ec r i t i c a l v a l u e o t h e r w i s e ，t h es y s t e mc a nb ep e r m a n e n t t h eq u e s t i o no ft h en o n t r i v i a l i i i a b s t r a c t p e r i o d i cs o l u t i o no f ft h er o u n do fp e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o ni sd i s c u s s e d a n dt h ep h e n o m e n o no ft h ep e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep e r i o d i c o u t b u r s to fp e s ta r es i m u l a t e db ym a t l a b 。 i nc h a p t e r3 ，t h ep r e y p r e d a t o rm o d e lw i t hs t a t e d e p e n d e n ti m p u l s i v ec o n t r o la n d h o l l i n gi i if u n c t i o ni ss t u d i e d b yu s i n gt h ep o i n c a r em a pa n dt h ec r i t e r i o no ft h e p o i n c a r e ，w eg i v et h ec o n d i t i o n st h a t f o l db i f u c a t i o na n df l i pb i f u c a t i o no c c u r m o r e o v e r , w et a l kt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p r e y - p r e d a t o rm o d e l s ；p e r m a n e n c e ； e x t i n c t i o n ；n u m e r i a ls i m u l a t i o n i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或i 正书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：王伏签字日期：劢孵年2 月2 了日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王欧 签字日期：乃国年三月7 日 导师签名：纱经壳。 签字日期：初，瑟年乜月刁日 第1 章绪论 第1 章绪论 生物数学作为一门交叉学科正在快速地发展，数学科学的知识和技巧已经 被引进生物科学的领域。它们帮助生物学家解释各种生命现象；反过来，生物 科学又为数学提供了丰富的课题，促进数学本身的发展。种群动力学作为生物 数学的一个分支，已经引起许多学者的兴趣。数学模型具有解释功能、判断功 能和预见功能。微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起到了很大的作用。 这些数学模型的研究常常涉及到常微分方程、时滞微分方程和脉冲微分方程的 相关内容。利用微分方程动力系统的理论对许多种群之间的相互作用进行分析。 从数学的角度来解释各种种群动力学行为，使人们科学地认识种群动力学，从 而对某些种群的相互作用有目的地进行控制。微分方程动力系统的应用非常广 泛。如经济开发、环境保护、种群生态学、传染病和药物动力学以及微生物的 培养等。研究的课题包括正平衡点的存在性和稳定性，极限环的存在性和稳定 性，正周期解的存在行和稳定性，种群的持续生存和灭绝，种群的开发和利用 等。 许多实际问题的发展过程往往具有这样的特性，即系统经历一个短实际的 外部作用。但这个短暂的干扰时问同整个发展过程相比可以忽略不计。但是从 数学的角度来描述这种发展过程要用到脉冲微分方程。脉冲微分方程是在常微 分方程的基础上发展起来的。其突出的特点是能够充分考虑到瞬间变化对状态 的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律，所以许多学者对脉冲微 分方程的理论及其应用作了广泛的研究。如专著【l 卅详细介绍了脉冲微分方程理 论。文献【5 。3 】研究了时滞脉冲微分方程理论及应用。文献【1 4 。1 7 1 研究了脉冲微分方 程解的振动性。文献【1 8 - 2 1 1 研究了脉冲微分系统的稳定性。文献【2 2 渤1 给出了脉冲 微分系统周期解和极限坏的存在性和稳定性。脉冲微分方程已经被广泛的应用 到各个领域。 以往我们假设研究的变化都是连续的，然而在现实生活中人类对资源的管 理与开发都是离散的，而且是瞬间完成的。所以把人类对系统的干扰用脉冲微 分方程来描述更加符合实际【2 5 , 3 0 。在农业生产中，害虫的综合管理策略通常是把 化学控制和生物控制有效地结合起来将害虫控制在经济危害水平( 导致经济危 第1 章绪论 害的最低害虫数量) 以下【3 l 】。化学控制一般是喷洒杀虫剂消灭害虫，往往 能够快速控制害虫，其缺点是污染环境，同时杀死大量天敌、危及人类健康。 生物控制是投放天敌控制害虫，天敌可以人工培养。生物控制可以弥补化学控 制的缺点，这样人们可以吧投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去有效地控制害虫， 使害虫的数目低于经济危害水平。喷洒杀虫剂或投放天敌是瞬时的、不联系的， 从而引起害虫与天敌的数目瞬间发生变化【3 2 。3 4 】。 脉冲微分方程若按时间来划分，有固定时刻和非固定时刻两类脉冲方程， 本文针对种群生态管理上的一些实际问题以及脉冲在这些实际问题上的意义， 建立具有固定时刻和非固定时刻两类脉冲效应的种群动力学模型并以脉冲微分 方程的理论为基础，同时结合离散的、连续的动力系统的相关理论和方法，并 借助计算机模拟讨论所提出模型的各种动力学行为，包括周期解的存在性与全 局稳定性，一致持久性与灭绝性、系统的动力复杂性。本文主要结论概括如下： 第1 章研究了具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和固定时刻脉冲脉冲的食饵捕 食者模型，根据f l o q u e t 乘子理论，获得了害虫灭绝周期解全局渐近稳定与系统 持续生存的条件。并讨论了害虫灭绝周期解附近分支出非平凡周期解的问题，并 利用m a t l a b 软件对害虫灭绝周期解害虫周期爆发现象进行了数值模拟。 第2 章研究了具有时滞和脉冲的捕食者一食饵模型，利用脉冲微分方程建立 了在不同的固定时刻分别喷洒杀虫剂和释放天敌的具有时滞的第i 功能反应的 捕食者一食饵脉冲动力系统。证明了当脉冲周期小于某个临界值时，系统存在一 个渐近稳定的害虫灭绝周期解，否则系统持续生存。并用m a t l a b 软件对害虫灭 绝周期解害虫周期爆发现象进行了数值模拟。 第3 章研究具有状态脉冲控制的h o l l i n gi i i 功能反应函数的食饵一捕食者模 型，通过庞加莱映射和庞加莱标准的给出了发生倍分支和切分支的条件。并研 究了正周期解的存在性和稳定性。 2 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系 统 2 1 引言 在自然界中，物种不是孤立存在的，种群与种群之前时刻发生着相互作用， 比如捕食与被捕食，互相竞争，互惠共存等f 3 5 3 6 1 。 考虑到捕食者对食饵的捕食能力，也就是功能反应函数，是指捕食者在单 位时间内捕获的食饵的平均个数。在种群动力学中，捕食功能反应函数常被用来 描述食饵种群与捕食种群之间营养水平的转移。一般情形下，其捕食功能函数 p ( 工) 常被假设是单调递增的【3 7 3 8 1 。但实验表明捕食功能反应函数单调性不总是 满足的。a n d r e w s 3 9 1 在1 9 6 8 年曾提出了一类非单调反应函数p ( x ) = ? 竺1 来 a + b x + x 描述这种营养水平的转移，并称为m o n o d h a l d a n e 功能反应函数，有的地方也称 为第h o l l i n gi v 功能反应函数。s o k o l 和h o w e l l 删在研究微生物培养模型时采 用了简化的m o n o d h a l d a n e 功能反应函数p ( x ) = 三，本文也引用了简化的 a + x 。 m o n o d h a l d a n e 非单调的功能反应函数p ( x ) = 竺。 l + w x 如何使有害昆虫和有害带菌者对重要的植物、动物和人类造成最小的损失 一直是昆虫学家和社会关心的问题。p m 是一套害虫治理系统，这个系统考虑到 害虫的种群动态及其有关环境，利用所有适当的方法和技术来控制害虫种群引 起经济危害，主要包括生物控制和化学控制两种方法。生物控制是通过释放天敌 来控制有害昆虫和有害带菌者，因其可以避免化学药剂带来的污染问题而日益 受到重视。化学控制是通过喷洒杀冲剂来控制害虫，它能使害虫的数量迅速减少， 尤其当害虫数量过大释放天敌数量不足以控制害虫时，必须使用杀虫剂来控制 害虫，其缺点是大量的喷洒农药将会对环境造成一定的污染。单一的利用一种 方法都有其不足之处，试验表明将两种方法结合起来控制害虫更有效f 3 l 】。本文 构造了一类具有单点固定时刻脉冲的综合害虫管理模型，研究了害虫灭绝周期 3 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 解的存在性、全局渐近稳定性、系统的持续生存及灭绝周期解附近的分支 问题并利用m a t l a b 对取不同周期时灭绝周期解的数值模拟。 本文所考虑的模型是基于下面的捕食与被捕食模型 卜一卜哪，一端 k 一( 筠一刁 q z 。 其中x ( f ) 为f 时刻食饵( 害虫) 的种群密度，y ( f ) 为f 时刻捕食者( 天敌) 显然，系统( 2 2 1 ) 不存在( o ，y ) 形式的解。因此，用这种方法控制害虫并不是最有 效。 下面通过周期投放天敌和喷洒杀虫剂对系统( 2 2 1 ) 进行改进，有如下脉冲微分方 程模型： x 电一( a - b 茗( o 一叨c y ( t ) ) l 丁 以垆巾，( 端卅 j 亿2 固 二 二；三 1 l 一- p p l ) 2 ) x y ( ( 甩n 丁t ) ) + q ) f = ，z 丁y ( ，z 丁+ ) = ( j 其中0 p ， 0 对任意t 0 ，有扰t ) 0 。进而可得，当“( 0 + ) 0 时，对任意 t 0 ，有“( f ) 0 。 定义2 3 1 设( x ( f ) ，y ( f ) ) 是系统( 2 2 2 ) 满足x0 + ) 0 ，y ( o + ) o 的任意 一个解，若存在常数m 朋 o 有，m x ( t ) m ，m ) ，( f ) m ，则称系统( 2 2 2 ) 是一致持续生存的。 引理2 3 2 系统( 2 2 2 ) 的所有正解是一致最终有界的。 证明设( x ( f ) ，y ( f ) ) 为系统( 2 2 2 ) 的任意一个具有正的初始值的解。 令v ( f ) 2k x ( t ) + y ( t ) ，显然y ( f ) 圪。 当t n t 时，取0 d ，则有 叫训伽) = 榭删旷鬻+ 鬻 一d y ( t ) + f l k x ( t ) + f l y ( t )( 2 3 1 ) = 砒2 ( f ) + ( 口+ 励奴( f ) + ( 一m ( f ) t k ( a + b y 当t = 刀t 时，有 矿( 疗r ) = 缸( 刀r ) + y ( n r ) = 足( 1 一只) z ( 聆力+ ( 1 一仍) y ( ，z 力 0 ，当f 充分大时，有 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 x 【f ) m ，y 【f jsm 。 下面给出系统( 2 2 2 ) 的子系统的基本性质 陟( f ) 一d y ( t ) ，t c ：n t 1 y ( f + ) = ( 1 一致) y ( f ) + g ， f ：门丁 2 3 2 引理2 3 2 系统( 2 2 4 ) 有一个正的周期解y + ( f ) 且对系统( 2 3 2 ) 的其他任 何j 下解y ( t ) ，均有i y ( f ) 一，( f ) i 专o ，f 寸其中 抛) = 研q e x 夏p ( - d 丽( t - n t ) ) ， f ( ，z l ( 刀+ 1 ) 叼，咒n 。 定理2 4 1 令( x ( f ) ，y ( f ) ) 是系统( 2 2 2 ) 的任意一个解，如果： n 普鬻“( 去 成立，则害虫灭绝周期解( o ，y + ( f ) ) 是全局渐近稳定的。 证明首先证害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性。 x ( t ) = “o ) ，y 0 ) = y + o ) + f ) ，则得 删一旧满足种一掣习州 = ，是单位阵，这样系统( 2 2 2 ) 的第3 个，第4 个方程线性化为 ( ：；二； = c ：夕。- 。p d 、f ，k “k ( n 刀乃乃、) 眦如果矩阵m = pl 见) 蚋 的两个特征根的模小于1 ，则周期解( o ，y ( f ) ) 是局部稳定的。 事实上，两个f l o q u e t 乘子是 6 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 l = e x p - - d t ) ：= ( ，咱) e x p ( j c r ( 口一缈+ ( f ) p ) 根据f l o q u e t 毗蜊鸬i o 使得8 句= ( 1 - 崩) 唧( f ( 口一矿( ，) 一s ) 功) o 使得 崩) 唧e ( 口一矿( ，) 一s ) 功 y + ( f ) 一s 。 不妨设上式对所有的t o 均成立，由系统( 2 2 2 ) 的第一方程得， x ( f ) x ( f ) ( d c ( y + ( t ) - s ) ) ( 2 4 1 ) 在( 即t ，( + 1 ) r 对( 2 4 1 ) 式积分得， x ( ( 川) 丁) x ( 门丁) ( 1 咱) e x p ( 7 ( 口一c ( y ( ，) 一占) p ) = x ( 刀r ) a 于是，x ( n t ) x ( o + ) 万”，因而，当刀寸o 。时，x ( n t ) 一0 。 又因为当n t t x ( ( 刀+ 1 ) 丁时，有0 x ( f ) x ( n t ) e x p ( a d 成立。 因此，n 专0 0 ，x ( f ) 专0 。 最后，我们证明若l i m x ( f ) = 0 ，则有万一，y ( t ) 一y ( f ) 成立。 事实上，由x ( f ) 寸0 ，f 寸可知存在0 毛 0 ，使得 、，f g w o x ( f ) 0 7 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 其州归_ q e x p 司( ( - d 可+ k c c 石, ( 1 + 石w e , 2 丽) ) ( t - 旷n t ) ) ，n t 詈。 下面我们只须证明当，成分大时，存在一个正的常数垅，使得x ( f ) 耽l 。 以下分两步来证x ( f ) m l ： 1 因为口丁一可c q 百( 1 - e 丽x p ( - d t ) ) n ( 去) ，取。 去即。充 分小，使得 l = k c m 3 ( 1 + w m 2 ) ， 我们将证明一定存在一点0 ，使得x ( ) m 3 。 否则y 电一卜高 f 刖 仁4 固 y ( ，+ ) = ( 1 一仍) y ( f ) + g ，t = n t 于是由比较定理可得少( f ) w ( 于) ，w ( f ) 寸访( f ) ，f 专o 。其中w ( f ) 是 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 1w ( f ) = w ( f ) ( 一d + q ， f n t w ( f + ) = w ( f ) + g ，t = n t ( 2 4 3 ) 【w ( o + ) = o 的解。 设以f ) = 了二q i e f x p j ( ；( - d i + 万k 可c = m ：3 f ：( 1 乏+ 云w i _ m 了z 3i ) ) ：( 硼t - n t ) ) ，刀丁 写时，y ( f ) 以f ) 访( f ) + 占i ，和 f x 7 ( z ) x ( ，) ( a - b m 3 - c ( 茹1 + i ，f w 、i + i n 3 2 ) 、) ，力丁 ( 2 4 4 ) l x ( f + ) = ( 1 _ p ，) x ( f ) ， z = n t 成立。令z + ，r 五，在( 刀t ，( 疗+ i ) t 3 ，l 上对( 2 4 4 ) 式积分， x ( ( 门+ t ) 丁) x ( n 丁) ( 1 一p 。) e x p ( j ：+ 1 矿( a - b i n 3 - c 仍l + “、w + m ；f 、一) 、= x ( 船丁) y ( 2 4 5 ) 于是7 7 专o o 时，x ( ( + ，z ) 丁) x ( n r ) r 疗- - - o o ，这与xt ) 的有界性矛盾。 因此，存在一点 0 ，使得x ( m ，。 2 如果t t ，均有x ( f ) 川3 ，则结论成立。 否则，令六= 赙 x ( f ) 聊， ，f 分脉冲点和非脉冲点两种情况来讨论。 ( i ) 若六不是脉冲点，这时x ( f ) 是连续的，则有x ( 厶) = m 3 ； ( i i ) 若乙是脉冲点，一定存在刀n 使得六= n t ，令f + = 厶一占，其中s 足够 小，有x ( f ) 聊3 。 下面仅证明乙不是脉冲点的情况，如果t 。是脉冲点可用同样的方法进行讨 9 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 假设乙( 伟丁，( _ + 1 ) 丁) ，选取n 2 , ，l ，z + 使得 吃引n ( 南 卢叫( 1 - q ) 叫唧( ( 训兀刁印( 吩咖- 其 y l = a - b 鸭一f c 丽m 。 令互- - n 2 t + n 3 t ，那么一定存在一t 2 ( ，z l + 1 ) ，( 确+ 1 ) + 石 使得x ( f ：) 珑，。 否则，考虑( 2 4 4 ) 且让w ( ( + 1 ) r ) = y ( ( ，? 。+ 1 ) r + ) ，可以得到 w 2 州) r ) 一磊桶j 唧( ( 卅嘶一) 砷) 嘲) 其中f ( 聆l ( ，z + 1 ) 丁】，惕+ 1 刀( _ + 1 ) + 伤+ n 3 。 则有1w ( f ) 一访( ，) l ( m + 口) e x p ( 一( d 一上) ( f 一( 强+ 1 ) 丁) ) 朋，。这与前 面的假设是矛盾的。 记f = i ，n 瓿f ( 、x ( f ) 鸭 。则有x ( f ) 鸭对于f l ，f ) ，我们有x ( f ) f ， 由于x ( f ) 重复上述过程最终可以得到对所有f ，x ( ，) m l ，其中 l o 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 m l m 3 。证毕。 2 5分支 在这一节，我们讨论系统( 2 2 2 ) 边界周期解( o ，y + ( f ) ) 的附近分支出非平凡 周期解的问题，我们利用分支理论来研究系统( 2 2 2 ) 的周期解的存在性。 曩( x ( f ) ，y ( f ) ) ，e ( x ( f ) ，y ( f ) ) ，o 。( x ( n t ) ，y ( n 丁) ) ，0 2 ( x ( n t ) ，y ( 胛丁) ) 分别表示 系统( 2 2 2 ) 的右端的四个式子。 让表示系统( 2 2 2 ) 的流，我们有z ( f ) = 西( f ，z o ) ，o t t 。 其中z ( f ) = ( 工( f ) ，y ( f ) ) ，z o = x ( o + ) 。 下面给出我们将要用到的记号 a o = l - ( 等等胁) ，舯r o n d o = o 的根。 划- ( 等等卜砒一c 等警卫o 觚o x ( t o ) ， 掣：唧f f 掣办 ，掣一p f f 掣咖 ， 掣刊：掣咖、 ( 掣m 掣衍卜 掣州f 掣办 ( 掣hr 掣咖卜 丁0 2 t 轨( t , x o ) 叫f 掣办、1 t f ，刿e k ：j m 掣办卜 f e 冲rf 掣西 f 掣 f f e x p n 掣 a 2 。t ，) 一邮( 俐 。：i 一一 a 丁叙叙 毋 ( 掣 e x p ( 1 掣咖卜 唧( f 掣咖 ，掣叫c 瓦， 第2 章具有m o n o d h a l d a n e 功能反应和脉冲效应的捕食系统 曰：一堕f ， o y o x f 一鲁( a 丁 a 2 中。( r o ， 8 t 8 x c ：- 2 堕l 垒 砂舐l 口。 其中口( f ) = ( o ，y ( f ) ) 。 一z o ) + 翌：! ! ! 墨：三! ! 砂舐 ) 锄 。一 拍。a 2 。( 瓦，z 0 ) 苏融2 引理2 5 1 m 如果1 1 一口。i l ，并且以= 0 ，则有下列结果： ( 1 ) 如果b c 0 ，则我们得到一个分支。 进而，当b c 0 时有一个超临界分支。 ( 2 ) 当b c = 0 时，则此时是不确定的情况。 利用引理2 5 1 计算可得： = 1 一( 1 一仍) e x p ( 一d 死) ， o 塑盥：苎! ：f 护丝! 翌! 二垡立1 上， o z o o xl1 一e x p ( 一d r o ) 1 一p i 业业二瓦 。 ：，e q ( 1 一e x p ( 一a t ) ) d ( 1 一( 1 一见) e x p ( 一d 瓦) )乩击 0 ，因为巾) 是增函 数，p ) i 以f ( t o ) 0 。从而口 r o 且充分接近r o 时，其中r o 是方程 口瓦乩砑1 + 可c 而q ( 1 i - e x p 嗣( - d t o ) ) 的根，则系统( 2 2 2 ) 有一个正周期解。 2 6 数值模拟 令a = 0 9 ，b = 0 2 ，c = 0 5 ，d = o 1 ，k = 0 5 ，w = 1 ，p l = 0 6 ，p z = o 1 ，q = 1 考虑如下系统： 篡蒜0 2 5 x ( t ) 剥丁亿“，y ) 叫丽一o j 亿6 m y x ( ( n 刀t r + + ) ) = ：( 。1 。- 一o 。6 ) x ( n t ) 1 ) y ( n t ) + 1) ，= ，z 丁y ( ，2 r + ) = ( 1 一o 1 1 3 第2 章贝仃m o n o d h a l d a n e 功能反麻和脉冲放心的捕食系统 广 ，i 翩翮 i l 哪啊啊啊啊 姐) 展现系统( 2 61 ) 害虫的变化趋势( b ) 展现系统( 261 ) 天敲周期性振荡 图1 ：当t = 6 初值为h “) = ( o 6 ，i5 ) 时，卜述系统食饵灭绝，捕食者周期振荡。 图1 给出了具有脉冲效应的捕食一食饵系统的数值解，此时脉冲川期临界值为 王= 65 9 。由定理2 4 1 可知，当t - 6 时害虫灭绝周期解时全局渐进稳定的。 区l 翩翮 ( a ) 为系统( 261 ) 的一个混沌吸引予( b ) 天敌种群随时间变化的情况 图2 ：当t = 8 仞值为( 乩) = ( o15 ，l5 ) 时，上述系统食饵和捕食者蛀存。 由定理2 42 可知，当t - 8 时，系统( 26 1 ) 时持续生存的。 27 讨论 山上述论述我们确定了系统持续生存和食饵( 害虫) 灭绝的条件，从定理 z 。t 知当a r r c l q f ( 1 i - i e x 再p 磊( - i 丽d t ) ) c i n i 二1 百时，害虫灭绝周期解( 。，y 。( f ) ) 是令局渐近稳定的。而t 受n ，g 的影响，因此选择适当的参数 ，g 可使成本最小 和对环境影响最小的同时根除害虫。 第3 章具有时滞和脉冲的捕食者一食饵模型的动力学性质 第3 章具有时滞和脉冲的捕食者一食饵模型的动力学性质 3 1 引言 众所周知，大多数昆虫是有益于或无害于人类的，只有极少数害虫在数量达 到危险阈值后才对人类造成经济损失。如何使有害昆虫对人类造成最小的损失 一直是昆虫学家和社会关心的重要问题。利用化学控制和生物控制是人类控制 害虫的常见的两种策略。化学控制一般是喷洒杀虫剂消灭害虫，往往能够快速 控制害虫，其缺点是污染环境，同时杀死大量天敌、危及人类健康。生物控制 是投放天敌控制害虫，天敌可以人工培养生物控制可以弥补化学控制的缺点， 这样人们可以吧投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去有效地控制害虫，使害虫的 数目低于经济危害水平。许多研究表明，利用生物控制和化学控制相结合的策略 比单一的控制策略更有效。目前已有许多学者研究了这种综合治理的策略【4 5 1 。 但是这些研究大都没有考虑捕食过程中的时滞作用，本文基于害虫的生物控制 和化学控制策略，考虑到化学杀虫剂对天敌的影响，利用脉冲微分方程【4 7 】建立 了在不同的固定时刻分别喷洒杀虫剂和释放天敌的具有时滞的第1 i i 功能反应的 捕食者一食饵脉冲动力系统，研究了其全面的动力学性质。时滞因素的加入更符 合实际问题，并且它的引入也影响了系统持续生存。 3 2 模型的建立 本文假设食饵是害虫，捕食者被引入用来控制害虫。则可建立如下捕食者食 饵模型： l 掣叫州一) 一谢 1 型d t ：错p 砌训 。2 。 i1 + 眦2f f 一彳l 。、7 其中x ( f ) 为f 时刻食饵( 害虫) 的种群数量，y ( t ) 为f 时刻捕食者( 天敌) 的种群 数量以，b ，c ，d w 为正常数。 易知，如果系统( 3 2 1 ) 不存在正平衡点，j b z , 捕食者种群最终灭绝，害虫趋于 1 5 第3 章具有时滞和脉冲的捕食者食饵模型的动力学性质 詈。而且( o ，o ) 是鞍点总是不稳定的，系统( 3 2 1 ) 不存在无害虫平衡点，因此 这种传统的控制害虫的方法并不有效。 下面通过在不同的固定时刻周期投放天敌和喷洒杀虫剂对系统( 3 2 1 ) 进行改进， 建立如下脉冲微分方程： 掣叫吼一) 一一，l 盟d t = 一t p 砌吲班j 1 + w x 2f f 、l 。 ，r ， i 茎焉)缈= 一p ：y ( f ) ， j t n t ，t n + ，一1 ) t t = ( 力+ j 一1 ) 丁 缸。0 ， lt = n t 缈= u ， j 【j 2 劭 其中血( ，) = xt + ) 一x ( ，) ，少( ，) 。y ( ，+ ) 一y ( ，) ，厂( f + ) = 5 _ l i m ，+ 厂( j ) ，是 脉冲效应的周期，门z + ，z + = l ，2 ) ，0 p ， 0 是每次投放的天敌数量。 系统( 3 2 2 ) 1 懈z ( t ) = ( x ( z ) ，y ( f ) ) 是分段连续函数，当 t ( 力一1 ) 丁，( 刀+ z 一1 ) r u ( 刀+ z 一1 ) 丁，刀丁 时x ( f ) 是连续的，并且， x ( ( 门+ k 一1 ) r + ) = 删l i m 叫x ( f ) ，xn r ) = ，骣x ( f ) 。 令f = ( 彳，五) 1 是系统( 3 2 2 ) 前两个方程右端映射，显然f 的光滑性保证了解的 存在唯一性，不难得到： 引理3 2 1 设z ( t ) 为系统( 3 2 2 ) 的任意一个解，并且满足初值条件 z ( o + ) 0 ，于是对于所有f 0 都有z ( f ) 0 。 引理3 2 2 系统( 3 2 2 ) 的所有正解是致最终有界的。 1 6 第3 章具有时滞和脉冲的捕食者一食饵模型的动力学性质 证明设( x ( f ) ，y ( f ) ) 为系统( 3 2 2 ) 的任意一个初值为正的的解。 令y ( f ) = x ( f ) + y ( f ) ， 当t ( n + ，一1 ) t ，t 甩丁时，取0 d ， 俐n 动+ 肌) = ( 口+ 驯，) 一砰( f ) 一可c x 2 ( t 而- r ) y ( t - r ) + 可饼= ( 而- o y ( t - o 矿 + ( p - d ) y ( f ) 卅制_ 缸2 邶卅y 与乒：眠( 3 2 3 ) 当忙伽+ ，一1 ) t 时， 以_ 小d 叫驾1 - p 2 ) 卜y ( ( 妒n + l 卜- 1 以) t ) 淼鉴豁咖“肿卜d 4 )