（计算数学专业论文）一类非线性局部正交变换及在声波导计算中的研究.pdf

摘要 协 4 s s 2 1 8 2 本文尝试通过在深度方向选取非线性局部正交变换，将曲底求解 区域化为平坦求解区域，然后求解h e l m h o l t z 方程的办法，来改善用 线性( 深度方向) 局部正交变换时，步进求解时会出现的局部收敛 慢的问题。本文给出了一类非线性局部正交变换，同时给出了变换 后的方程和新边界条件的通式。数值模拟表明，适当地选取某些非 线性局部正交变换来求解在曲底区域中的h e l m h o l t z 方程，确实可以 改善数值求解的效率。 a b s t r a c t ： ns o l v i n gt h eh e l m h o t t ze q u a t i o ni nt h ea c o u s t i c a l w a v e g u i d e s w i t hac u r v e db o s o m ，s l o wc o n v e r g e n c em a yo c c ur sw h e nt h e n e a rl o c a lo r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o ni s a d o p t e d i nt h i sp a p e 5a c l a s so fn o n l i n e a rl o c a l o r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o n s ( n l o t ) i s p r o p o s e d i t i sa na p p r o a c ht o i m p r o v et h e s l o wc o n v e r g e n c e m e n t i o n e da b o v e t h eg e n e r a lf o r m so ft h et r a n s f o r m e dn e w e q u a t i o na n d t h ec o e f f i c i e n t sa r ea l s og i v e n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s h o wt h a ti tc a nb e e f f i c i e n t l y u s e di n s o l v i n g t h eh e l m h o l t z e q u a t i o n 第一章引言 在声学、电磁学、地震学及其它许多应用领域中的大规模的波传播问题的研究中， 通常需要在一个长度比波长还要大许多的区域中求波场的分布。以海洋中的声波的传 播为例，在探索开发海洋的过程中，海洋声学起着特别突出的作用，因为只有声波才 能在水中进行较长距离的传播，从而进行水下测距、定位、通讯和遥感等操作。 海洋是一种极其复杂的声学介质。海洋介质最具特征性的现象是非均匀性。这种 非均匀性强烈地影响着海洋中的声场。同时海洋波导的特性随着水平距离也有变化， 但变化非常缓慢。声速随深度的有规律变化会形成水下声道。利用水下声道可以进行 数百，甚至数千公里得远程声传播，但受海水声吸收得限制，要求用于传播的声波频 率0 ) 很低，即相应的波长z 要很大才行。 若波源是单一频率的时间调和的，则波场的决定方程是以下h e l m h o l t z 方程， u “ i - u 口q - k 2 u = 0 ，f o r 0 d = = z ， 即波长远小于波导的深度，且水平距离也远大于波导的深度。 当1 c 是常数，并且定解区域是矩形区域时，以上h e l m h o l t z 方程的解有精确的解析 表达式。但实际的大部分问题中，1 c 并不是常数，而是与水平距离z 和深度z 等有关的， 故无法直接给出h e l m h o l t z 方程的精确解。 求解h e l m h o l t z 方程有许多直接的数值方法，如有限元和有限差分法等 2 5 , 8 。但当 方程定解区域的水平距离与波长相比非常的大，而且波场的内部振荡也很大，每一个 波长范围内部需要用很密的格点( 或基函数) 来表征波场，对于这个水平距离比波长 还要大得多的区域来说，若用有限差分或者有限元方法来处理这样一个水平区域很大 的h e l m h o l t z 方程时，产生的线性系统的阶数将非常的大，导致相当大的存贮空间， 计算的代价也很高昂。同时这些系统常常也是不定的，或非对称的，这就使得方程的 求解更加困难。 以有限差分法来求解以上的h e l m h o l t z 方程为例，离散时分别在x 方向和z 方向取 个点和m 个点，若步长相同，即有m ( l d ) n ，总的存贮空间的需求就是 d ( ( 三d ) n 2 ) 。离散所得的系统是非对称的和不定的，并且它的带宽是，即使用带 状矩阵的处理方法来求解，运算所需空间的数量级将是o ( ( l d ) n 4 1 。随着划分的加 密，所需的存贮空间将是非常惊人的。 就海洋中声波导问题来说，一方面，在波传播方向上求解区域的长度，要比纵向 ( 垂直于传播方向) 的要大得多( 都远比波长大) ；另一方面，波导介质沿着传播方向 有变化，即和区域是相关的，但是很细微。显然一个好的数值方法应该充分利用声波 导的这两方面的特性。利用波导对区域水平距离弱依赖的特性，有很多更合适的方法。 c o u p l e dm o d em e t h o d ( c p m ) 是求解h e l m o l t z 方程的很好的方法0 5 , 2 0 。c p m 方法用 一系列的水平分片的与水平距离无关的波导来近似整个依水平距离变化的波导，由原 边界条件以及相邻的小片所需满足的一系列衔接条件可得一组耦合方程。与直接有限 差分和有限元方法相比，c p m 方法水平方向步长的选取不受波长的限制，特别是波导 在依区域的变化很小时，c p m 方法能使计算时保证精度要求的前提下，可以取到比波 长还大很多的步长。但当给定的边界是弯曲的时，c p m 方法使用阶梯折线来近似，这 使得数值结果的误差非常的大，同时也要求步长要取得很小，这就失去了大步长的优 点。 一些基于e x a c to n e - w a yr e f o r m u l a t i o n s ( e o r ) 变换的近似方法有着比c p m 方法更 好的优点m 2 “”1 。广泛使用的抛物方程近似方法( p a r a b o l i ce q u a t i o n ) 是多种对h e l m h o l t z 方程单向( o n e w a y ) 近似中的一种。它们可以看作是对以下理想单向方程的近似， r ： “；= f 、k2 ( x ，z ) + a ：u ， ( 1 1 ) 若将变量x 视作是时间变量，则抛物方程( 2 ) 可以用m a r c h i n g 方法当作初值问题来 解。当区域的介质是水平方向无关的，即k 与x 无关的话，方程( 2 ) 的解正是满足无 穷远处辐射条件的h e l m h o l t z 方程的解。 1 9 9 3 年f i s h m a n 提出了一个基于散射算子的h e l m h o l t z 方程的m a r c h i n g 方法【2 2 】。 1 9 9 6 年y y l u 和t r m c l a u g h l i n 提出并实现了基于d i r i c h l e t t o - n e u m a n n 映射q ( x 1 的 r i c c a t i 方法川。d t n 映射q ( x ) 将h e l m h o l t z 方程的解u 映射成它的导数“，即 1 , l ，= q ( x ) u 。算子q ( x ) 可以看作是以j 为参数的，作用于定义在区间( o r d ) 上的z 的函 数的算子，它须满足以下r i c c a t i 方程， 掣= - - p ：+ 。( 都) 】q z ， 这个方程可由变分嵌入的方法导出】。 19 9 9 年，y y l u 的o n e w a yl a r g er a n g es t e pm e t h o d ( o l r s m ) 方法进一步解 决了大步长计算的问题。o l r s m 方法利用d t n 映射将原h e l m h o l t z 方程的边值问 题，转化为一个算子的初值问题( 将水平方向的坐标变量看作是时间变量) ，然后再 进一步用水平方向上的m a r c h i n gm e t h o d ( m m ) 方法来求解。数值实现时，若深度z 仍用h 个点来离散，q 可以用n x m 的矩阵来近似，总的内存的需求就是o ( n2 ) 。更进 一步可以用局部的特征函数系展开的方法，只需保存n 个特征值中的前个最大的特 征值，通常可以取到1 0 n n 。这样原本用n n 阶的矩阵近似算子q ，可用阶数要小 得多的n xn 阶矩阵来代替，所需的内存空间将更小。而且运算所需的存贮空间只和 深度方向的分划大小有关，和水平距离的大小及分划无关。因此，在海洋这种水平距 离远比深度及波长要大得多的声场环境中，o l r s m 方法与传统的直接差分法和有限 元方法相比，是一种非常实用的方法。 实际应用中的声场区域的底边，即水下声道的底面边界，通常是弯曲的。针对这 种弯曲的底边，有两大类的处理方法，一是用“阶梯状”的折线段( 实际上是不连续 o p r o l a t l g 蛊t i o n f i g i 阶梯近似巧曲属边 的平行线段) 来近似代替原弯曲的底边【2 8 】。如图f i g i 所示，在每一段小区间内( 水 平方向的) ，视作是平坦的底边，这样原来整个大区域( 弯曲底边的) 求解问题，就 转化为一系列连续的平坦的小区间上的求解问题。这种近似方法很容易实现，但这也 同时带来了一对矛盾。首先相邻阶梯底边的不连续性会带来误差，特别是水平距离很 大的场合，这误差会积累得很大；另一方面，若要很好地近似弯曲底边，减小误差， 另类方法是通过坐标变换，将繁鸯弯蟪蛉废瑟这爨懿区域变戏易于求解的乎蜒 疑形带状区域( 如测x y z 所示) 。有三穆坐标变换， ) 全漏交换；2 ) 蕊部交换( # i 交) ：3 ) 筠部正交变换。 f i g2 局部正交坐栋变换拉平底边 全局变换是耀一一种共变映射( c o n f o r m a lm a p ) 挝乎原弯莹感边，同时也保持了 啄方程的楚蕈形式，但对予这种全届变换来说，当波学范溪缀大，且边赛缀复杂的时鬣， 沣算起来菲鬻溺难。f 。泛使蹋韵弱部坐标变换稻眈之下讦簿越来簧容易得多1 9 , 2 1 i ，但对 j 二古有法向导数豹底面边界条件来说，交换后得到的边界条件是水平方向和深度方向的 偏导数的组合形式。水i f 方向的偏导数将给数值计算上带来很大难度。 现在我们所选用的 高部i f 交坐标变换及方程变换，不但能将原弯底区域变成平坦区 域，同时也保持原方程的简单的形式( 不含水平方向的偏导数) ，原边界条件变换后也 不含有关于水平方向的偏导数项，适台进一步的m a r c h i n g 求鳃。瓤l 躁坐标的转换也明 以矗便的用n e w t o n 迭代来实现。 。 交穗边辨靛交亿奉h x 一夫的菇都区域中，蠲筠部童三交变换韵方法会谈对应区域的坐标线过0 刊挤+ 这使得m a r c h i n g 避辞在经过相应区域时变得非常缓慢，严震时会导致计簿过程的意外中l h 。 什列上述问题，本文1 给出丁一类关于深度方向是非线性的局部正交变换来处理弯曲底边：2 ，给出 了几种具体的非线性变投通过圈示给出了这些非线性变换之间的比较：3 耀m a r c h i n g 方法数值求 解1 | 线性交换蔗的方程 ，q 线性变按所得的续果佟了e t 较。 第二章利用局部正交线性变换处理弯曲底边的单向大步长方法 考虑如下2 维h e l m h o l t z 方程描述的波导问题 u 麒+ “扛+ k2 ( x ，z ) u = 0 ，0 x l ，0 z ( x ) ， 罢l 。= i 何而l 。， ( 2 1 ) “b = o i o 出u i 枷) = 。 其中“表示f o u r i e r 变换后的声压，z 是深度变量，x 表示水平方向限a n g ed i r e c t i o n ) 变量，k ( x ，z ) 为波数，定义为k ( x ，z ) = c ( x ，z ) ，c ( x ，z ) 为波速， ( x ) 是弯曲的底面 边界，不妨设当x 0 和x l 时h ( x ) 是平坦的，即 jh ( x ) = h o ，x o ； l ( x ) = h 。， 膏l 并假定波导在z o 和x l 区域中是与x 无关的，即 f k ( x ，z ) = k o ( z ) ，x s o ； 【k ( x ，z ) = k 。( z ) ， x 三 我们关心0 x l 区域中的方程的求解问题。 1 局部正交变换拉平弯曲底边及方程的简化 取局部正交变换 i 曼= f ( x ，z ) ，f ( x ，o ) = x ， 卜烈五z ) 2 蠢 q 2 用于方程( 2 1 ) ，| 司日寸锄z ) 2 器等巾一，可得到关于v 的方程，并记 v ( i c ， ) = v ( x ，z ) ，我们有， + c t ( k ， ) + p ( 主，j ) + t ( 主，e ) v = 0 ，当o 安 上； y ( 量，。) = 。，_ + 兰垦j i 辩矿= 。，当= 1 ；( 2 3 ) = f & a ；+ p a + y v ，当量：l 其中系数仳( 主，j ) ，p ( 主，2 ) 和y ( 量， ) 见 附录l 】。方程( 2 3 ) 中不含矿( 曼，) 的关于水平 囱的一阶导数圪项，司以方经韵鼹以下豹r i c c a t i 方法来求簿。 2 r i c e a t i 方法 设q ( i ) 为d t n 映刳+ 它将满足方程( 2 3 ) 的任个鳃y ( 毫) 映射到它的关予i 的 导鼗以邵， 屹= q ( i ) y ， 事羹反射算予y ( i ) 定义为， v ( l ) = y ( 0 y ( i ，) ， 驻然，著能求稽j ，( 0 ) ，刚麓妖给定乎孽初值v ( o ，却得到i = 三楚的分布， v ( l ，_ ) = y ( o ( o ，- ) ， 簿予q 和y 新满足的方稳为， 一d o ：一q ：一( ；，缪+ ，) ， ( 2 ，4 ) a x i d y ：一】，驮习， ( 2 ，5 ) 搬 及所需满足的边值条件， q ( 三) = f _ ? h 姿2 ：矛i - 十芷：( j ) ， ( 2 6 ) 对于上面得到的新系统( 2 3 ) ，只要在每一步中先对求褥系数口( 圣，) ，( 女。1 ) 和 j ，蠢j ) ，裁爵露求解矩形区域中h e t m h o l t z 方程酌m a r c h i n g 方法来求解。若将曼卒觅为 通常的时间变量，式( 26 ) 和( 27 ) 则可看作是初值条件，原偏微分方程边值问题( 2 3 ) ， 就变为常微分方摆( 2 ，4 ) 和( 2 5 ) 的初傻问题。用m a r c h i n g 方法数健求解y ( o ) 戟要 容易的多。 实际计算中整个步进的过程并不疑处处都很顺乖j 。以底面边界及其它常数取以下值 为例： r1 2 女( x ) = l s ，g 一”：一j ，j f ( x ：) = - t 0 ，五：t 0 ，占；0 2 ，d ：1 0 0 底边强线h ( o 净h ( z ) = 1 ，置警石接遁x = l 和工= 0 时， ( 互) “0 ，都h ( x ) 瀚函数滴线 在 x 域静蘸端近乎是平毽静。当x = 5 时，a ( x ) = 0 8 蔽戮瘸边静由峰德。数鬣实验袭鞠： 尽镐迭代避程是收敛的，但龟跨越底迭竣由蝰露，收敛驰速度会变 霉缦馒。豳f i g 。3 楚 此底边下局部j f 交坐标变换( 2 2 ) 的坐标曲线图，其中的实线是原坐标值( 并，z ) 在新坐 标系统下的连线，相应的新坐标值( 膏，二) 在新坐标系统下是一必等距的平行线( 如虚线 所示) 。圈f i g 3 中可以明显地看出，在原底边山峰( 主= j = 5 ) 的位置附近坐标线要比其 它的位置拥挤得多，傻得相邻两步( 图中两相邻纵向曲线所示) 的特征值非常近似， r a y l e i g h 迭代诗舞时收敛 ：孽藏萋掌蠖，这羧是受侍么步送过纛在那璧会遴抒褥 露漫 的原因。肩发我们通过寻找一些非线性的局部正交变换来改善拥挤状况，进而改藩步 进过程在这些位霞前进缓慢的状况。以下备图中砌和赫均分别表示曼和2 。 g l o b p l o t o f 帆埘 i i ；一。熹一己j _ 一+ ； + | e ：蔓 ； j l 一囊王：! 是。i t ? i - 一f ；”：”= 一r 。r l i ，l l 一上一f 。一一聋：一i ； l l l t 、k ； l + 一t 一* t i - p 十。一一一 i i ： k ， ； | | t 。一扩= 冀、峙。* 一，： i 扛j 一 ”一。 2 l l i 、 l ； ， h + 十- - l b t n l 。h “ o i !卜1 -| l ，_ll、ji 豫。取g z ，= 蠢时，全局e 威= 去娜局部c 麟= 志，坐标嘲壤线整 。：k气， 第三章非线性局部正交变换 对如f _ 一类局部坐标变抉 悖= f ( x ，z ) ， 卜如，z ) 娟嘲鲰组圆q 蝴 玲 h ( x 1 为给定的光滑函数，其中 1 ) g ( t ) ，0 t 1 怒一个严格单调蹭韵涵数； 2 ) g 葺够一0 ，g ( x ，& ( 善) ) = 1 ，i g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = 1 。 显然，若驭g = “f 2 蠢，即为局部正交交抉( 2 1 ) g ( 薯z ) 2 蠢，关于 交蒲：是线性的，区别起见，将变换( 2 t ) 称为线性局部正交变换( l l o t ) 。我们主 要考瘩g 转) 取关予t 戆非线经涎数静澎式，鬻 线性黪筠部坐探交换。 更进一步，仍要求变换是正交交换，酆以下的正交条传应该成立： l g 。+ l g ：= 0 ( 3 2 ) 称关于t 的非线性形式的函数g ( x ，2 ) = g ( t ) ，满足条件1 ) 和2 ) ，且与函数 f ( x ，= ) 一起满足正交条件( 3 2 ) 的局部坐标变换( 3 1 ) ，为非线性局部正交变换 ( n l o t ) 。 缝合g ( x ，：) 熬形式，鬟 ! 馨 铲一背颤志沁：= 高g 秀， s ， 令“( x ，z ) = 缈如：) v ( 石，z ) ，矿( 量，o ) = v ( x ，z ) ，姗方程丛+ k2 x = o 变为： 0 甄五+ w f = + 2 w , a + 吼炽+ ( 2 w ：g ；+ 豫。十2 w , g ：+ 豫。致 + k + w z z + k2 驴矽+ 移? + 瞬萝矗+ 争强；+ 箨譬：萝名= 0 令强系数海0 ，躲霉关y - w ( x ，z ) 的方程： 2 畈 + 丁二+ 2 w 正+ h 览= 0 可求得此方程一特解矿c z ，= 已篆摹篙 烂。 同时在非线性局部正交变换( 3 1 ) 的作用下，矿( 戈，) 的决定方程和边界条件变为 ip 童+ a ( 置，三) + 1 3 ( 主，量) k + y ( 主，2 ) v = 0 ，兰d 0 ，i = 1 , 2 ，n 一1 。一般情况下，因为p 项存在，矩阵爿并不是 对称的。易证，存在对角矩阵d 和对称矩阵s 【3 ”】，使得 三 一上 d a = s ，a d2 s d2 ， 矩阵d2 s d2 仍是实对称矩阵，因此，矩阵爿有n 个线性无关特征向量，且可对角化， a ：胤旷， 矿= 阢，吃，圪】，a = d i a g ( a , ，九：，九。) ， 且有彳_ = 九，= 1 2 ，n 。由x = 工时，对称矩阵“= ( x ，z ) 0 2 + k ( 石，z ) l = 队矿， 则关于算子q 的方程( 2 4 ) 在x 。= l 处的初值条件( 2 6 ) 中的根号算子 1 0 2 - + k 2 ( 2 ) ，可用万= 旷万一1 来近似。 通过以上处理，原算子q 和y 就可用, r 阶方阵来近似。简单起见，取x 方向的等距 分划，令= o ，k = 三，t = ，t = 盯，s - - 0 ，1 ，所，可以逐步求得q ( o ) 和 y ( 0 ) 。 实际应用中还可以通过以下的截断的局部特征函数近似的办法，用阶数更小的 阶方阵，n ”，使得计算所需的空间更小，效率更高。 以区间( x ，) ，1 j m ，为例，令 并假定， q 一。“口 y l 。兰以c m ，啄m ，碟d ， t 一，“y ? 。_ = 弼”k 耻 露。，兰( g ) ，兰( 站一”) ， 巧“2 巧 。! ) ，吖2 ，一! ) 其中令 垆，= 勺l 扣“ j = l涪1 矿= ( ) ，且三= ( z f ) ， 我们有下列q 。和t 一。求解过程： 1 ) q = w q 6 , z ， 2 ) j p = ( 互+ i 4 x ) 。1 ( 一西+ f 石) 3 ) r ：p “瓜p e “瓜 4 ) 龟一，= i q ( 1 一r ) ( + r ) ， 5 ) t 一。= i ：s z ( i + p ) e “瓜( ，+ r ) ， 其中t = 量；一曼。一。 1 6 实际计算中要求n 要大于a 的正的特征值( 对应于波的增长的分量) 的个数，通 常可以取到1 1 - - 0 “f 4 】a 具体实例见下一章。 第六章数值模拟结果 l 刊第二覃，j ) ( 底向边界及兵它常数为： 一ar 兰一! 、 h ( x ) = 1 一p2 ，k ( 工，z ) 三l o ，l = 1 0 ，= 0 2 ，叮= 1 0 0 分别用线性变换和g ；( f ) 对应的非线性变换来拉平弯曲底边，再用来m a r c h i n g 方法来 计算拟反射算子r ( o ) ，并取以i = 0 处a 的最大的特征值对应的特征函数作为初值 v ( o ，j ) ，可求得v ( l ，二) ，进一步可得解u ( l ) 。以下给出一些比较。 取同样的水平方向步长t = 百1 ，z 方向分别取n = 1 0 0 和n = 2 0 0 来离散，分别用 n = 1 0 0 和n = 2 0 ( 截断) 计算所得的结果，见图f i g 7 和f i g 8 。可以看出，两种方法 的解有很小的差异。产生差异的原因是因为y ( o ) 实际处理时是用y ( 半) 来近似的， 坐标变换的不同也使得z 方向上的玉妄生会有不同，通过调整x 方向的分划，以及： 方向分划的加密，这差异可逐渐消除，使得结果更加接近。 图f i g 9 和f i g 1 0 是在同样的变换g s ( f ) 下，取不同的水平方向步长t = 去， t _ 4 t ：= 瓦1 ，t ，= 而1 和t 。= ；，z 方向分别取，l = 1 0 0 和n = 2 0 0 来离散，分别用= 1 0 0 和= 2 。( 截断) 所得的结果图。由图可见在t ，= 而1 时，所得已经和t 。= 上6 4 的结果 已经相当吻合了，即可以实现大步长的计算，并且也有二阶的收敛速度( 由图f i g 1 1 ，1 2 可见) 。 图f i 舀1 3 和f i 晷1 4 在同样的步长t 。i 1 下，线性变换与非线性变换g s ( f ) 所得解的 实部的比较。当取”= 1 0 0 和n = 1 0 0 时，线性变换所得解的误差为0 1 7 2 1 ，非线性变 换g ，( f ) 所得解的误差为0 1 6 5 5 ；当取”= 2 0 0 和= 2 0 时，线性变换所得解的误差为 0 2 4 3 0 ，非线性变换g s ( t ) 所得解的误差为o 2 2 6 3 。可见，正如前文的分析，非线性变 换g 。( f ) 确实能改善大步长计算所得解的精度。 r “p i c o m l ) a r l s o nm 。8 4 0 1 俨1 i m a g l n a qp a r t s c 伽p a f l s o nm , 日a l o 忙 n = 1 0 0 f 培7 取g 章) = ：斯+ f ) 对应的n l o t l l 。t 的所得解的比较图 f i 9 8 取= ：( 以+ f ) 对应的n l 。t 与l l o t 的所得解的比较图( 特征值截断) “国 。i l ，一 。【 l o4 4 6 | f l g 9 取g 8 ) = ：( 正+ d 对应的n l 。t 时，不同水平步长的比较图 8 l 囹 楚 、 一 w 、 一 。 刑帕 “ 哪舶 盯 蚰舳 j r d p a r s c o m p a r i l o n n - 2 - 2 0 f i g 1 。取6 u ) = ：m + f ) 对应的n l 。t 时，不同水平步睦的比较图( 特征值截断) f i g l l l l o t - 与取g ( t ) = ；m + f ) 对应的n l 。t 收敛阶比较图 f 9 1 2 l l c l t 与取6 m = ；( 再+ 。对应的n l 。t 收敛阶比较图( 特征值截断) l9 9 r “p i mc r f n 舡e 舯1 l 呻。 o 日卜1 j 、 1 百_ 百r 前厂苗高静； 籼g p 堋粕嫩# 籼n 秘o 。驿目e ( 石+ ，) 对应的n l o t 与l l o t 的所得解实部的比较豳 r “p i mc o m p a r l s o n n - 2 0 0 f i g 1 4 掰分裂款为6 。，8 0 ，礤) = ：衢+ 臻对癍豹莲l 甜与毡辨豹辑搏麟实豁懿院鞍鹫( 截断) h 一 ，一2 驴囊 、 。、o一。匿 、 咭 = ， e - ， b ， 2 0 ，- t s 0 口 o 0 0 o 第七章总结 本文针对带有弯曲底面边界条件的h e l m h o l t z 方程的求解，构造了类非线性的 局部难交坐标变换。尝试着通过非线性的坐标变换拉平弯曲底边，来改善进一步用步 进方法求解时，在底边变化率大的地方的会出现的步进缓慢的状况。 在对非线性变换的选取的研究时，引进r 来衡量底边山峰附近坐标曲线被压缩的 程度。以上的图片( f i g 2 ，3 ，4 ) 表明了适当地选取非线性局部正交变换可以使局部拥挤 的状况得到改善。同时，进一步的数值模拟的结果显示( f i g 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ) ，用所选取 的非线性局部正交变换处理过的方程，仍能实现大步长的计算，并且保证了二阶的收 敛。 附录一 因y ( 量，j ) 不含有与c ( t ) 相关的项，故y ( 王，二) 的形式与c ( t ) 的具体选择无关。以下各种 情况中省略y ( 王，；) s h 7 ( x ，2 ) 。 主= f ( x ，z ) g ( 础) ：去时，有 矗( x ) 咄，= 蔫筹， 翻= 等虢鬻揣 当 ( x ) = 0 时( 此时有量= 工= 五) ， d ，加丽1 e x 器) ，加一寄侧孑器) f量= ，“z ) 2 觏净“z ) _ ( 志厂硼 吣力= m 甜 2 搿， 力- ( 爿睁弓茅一号掣+ 等+ 专警 ( z 2 等+ 州h ( x ) 2 h 蛳 ( j 刊) 2 1 当 ( 五) = 0 时( 此时有j = x = 矗) ， 吣，z 十( 剖”1 2 志e x 时z 2 铬， 阢，z ，= ( 剖“一一掣- m ：2 ， e x p ( _ z 2h 丽 ( x o ) ， 边界条件变为， 矿f以+一1下2h(x)2-h(x)h(x)y_o，：1。 l 。2 m1 + ( _ ：c ) 2j i主= f ( x ，z ) a ) 若取k 如，：) ：( 寺z 可得 【n 【叫 吣劫吨2 器筹， 阢力一b 圳锣4 锣协筹+ 等筹 当 7 ( z 。) = 0 时( 此时有曼= 工= 托) ， 咄加鲁唧2 鬻， 吣，z ，= - 背+ 志卜2 器， 矿( v e _ i 2 h ( x ) 2 - h ( x ) h ( x ) 4 ( 1 - y 1 = 。，l = 1 。 j i量= f ( x ，z ) 觏陋“z ) - ( 志确， a ( x ，z ) ：- 1 4 z ( 工) 2 ( 主) 2 ( z ) 3 h ( 量) 2 陬，加击志1 h ( j ) 2 h r ( x ) 2 当 o ) = 0 时( 此时有j = z = 矗) a ，加石1 ，丽1 e x p ( 孑锗) - h ( x ) 2 + 7 z 2 h ( x ) 2 - ，4 z 2 h ( x ) h ( x ) ( 曲2 + z 2 h ( 砷2 ，z 卜鬻唧2 等，4 0 - ( l ) ) 7 2 n t 矗j 边界条件变为， 渺 屹+ 兰生! ；铲- 矿 = 。，；= t 。 lx 2 八x ，z ) 3 黼卜舭，2 蠢慨一秀讪可得 等篱 ( 1 + 蠢卜南叫 2 ， j 一! 2 。z 3 ( x ) 2 4 2 2 ( 工) 2 2 z ( j ) 2 z 2 - ”( z ) i 丽+ 丽+ 育+ 苛+ 岢一i 背前( 蠢+ t ( 等圳”殛砸1 e x - ( 南一 。 ( i ) 2 。 o ) 2 ( 1 ) 2 当 ( x ) = 0 时( 此时有量= 工= 五) 咄翻= 志( ，+ 剖2 e x - c 志4 z2 鬻， 眠z ) = k + 2 一2 z ( z + ) 嘶) 】，丽1 e x d ( - 。l 妥矗j - 2 - z = 丽h t x ) ) ) 边界条件变为， 矿( v ；q 2 h ( x ) 2 - h ( x ) h ( x ) - 矿1 = 。，；= - 附录- - 1 。； l l l l | u 一。 ；k ： 、 、 _ _ f _ l l j 7 l ； ， 7 i f i 9 1 5 童= o 5 时，g p ) = 4 7 和g o ) = ：il r 2 + f ) 对应的a ，p 和丫系数曲线 g 篇 ” 为 垤 惦 【参考变蘸】： 2 6 l u yy ，h u a n gja n dm c l a u g h l i njrl o c a lo 曲。g o n a lt r a n s f o r m a t i o na n do n e - w a ym e t h o d sf o ra c o u s t i c s w a v e g u i d e s j w a v em o t i o n ，2 0 0 1 ，3 4 ( 2 ) ：1 9 3 “2 0 7 【2 l u v yo n e w a y l a r g er a n g es t e p m e t h o d s 稻r h e l m h o l t z w a v e g u i d e s j j c o m p u t p h y s ，1 9 9 9 ，1 5 2 ：2 3 1 2 5 0 【3 】z h uj i a nx i n ，l uy ay a nl a r g er a n g es t e pm e t h o df o fa c o u s t i cw a v e g u i d e w i t ht w ol a y e rm e d i a j p r o g r e s si n n a t u r a ls c i e n c e ，2 0 0 2 ，i2 ( 1 1 ) 1 3 - 18 【4 】l uyy m c l a u g h l i njr ，t h er i e e a t im e t h o df o rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o n j ja e o u s ts o ca m ，1 9 9 6 ，1 0 0 ( 3 ) ：1 4 3 2 - 1 4 4 6 5 】l uyy l a r g er a n g es t e pm e t h o dr o rh e l m h o l t zw a v e g u i d e ，i u ：ja d e s a n t o ( e d ) ，m a t h e m a t i c a la n dn u m e r i c a la s p e c t s o f w a v ep r o p a g a t i o n ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，p a ，1 9 9 8 ，p p 6 2 6 6 2 8 6 】l uyx e x a c to n e - w a ym e t h o d sf o ra c o u s t i cw a v e g u i d e s j m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e r s i ns i m u l a t i o n ，1 9 9 9 ，5 0 ：3 7 7 - f 7 】李荣牮，冯巢忧，偏徽分方程数值解往 第三敝) ，高等教育出敝社t 1 9 9 6 筚1 2 月 【8 】董光撼，陈停慈，汤蓬棱，数学物理方程( 第一般) ，濒搓太学出敝柱 9 1 潘祖粱，非线性问题的数学方法及其应用( 第一版) ，浙江大学出j 锐社，1 9 9 8 年 【1 明徐树方，矩陴计算豹理论与方法( 第一瓶) ，北索大学出敝社t 1 9 9 5 年 【l l 】裹等代数( 第二艋) + 嶷等教窘溉皈挂，1 9 8 8 年 【1 2 】g e o r g ev f r i s k ，o c e a na n d s e a b e da c o u s t i c s ( 1 3 】g o n e 托g o l u b c h a r l e s f v a nl o a n ，m a t r i xc o m p u t a t i o n s ( t h i r de d i t i o n ) ，t h ej o h nh o p k i n su n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 6 【l l ，a r a h a l t , s s o n ，疆一o k r e i s s , n u m e r i c a ls o l u t i o no f t h ec o u p l e d m o d e e q u a t i o n s i nd u e ta c o u s t i c s ，jc o m p u tp h y s ，1 9 9 , 1 ， 1 1 1 ：1 - 1 4 f 1 5 】c a b o y l e s ，c o u p l e d m o d es o l u t i o n f o r ac y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i co c e a n i c w a v e g u i d e w i t har a n g e a n dd e p t hd e p e n d e n t r e f r a c t i v e i n d e xa n d a t i m e v a r y i n g t o u g hs e os u r f a c e j j a o n u s t s o e a m , 1 9 8 3 ，7 3 ：8 0 岱8 0 5 1 6 】md c o l l i n s , a p p l i c a t i o n sa n dt i m ed o m a i ns o l u t i o n so f h i g h o r - o r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n si nu n d e r w a t e ra e o u s t i c s j ，j a c o u s r s o ca m ，1 9 8 9 ，8 6 ( 4 ) ：1 0 9 7 1 1 0 2 l7 】t , w ：d a w s o n ，j a f a w e e t t ，ab o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o df o ra c o u s t i cs c a t t e r i n g i na w a v e g u i d ew i t hn o n - p l a n a r s u r f a c e s 川j a c o u s t s o c a m ，1 9 9 0 , 8 7 ( 3 ) ：1 1 1 0 - 1 1 2 5 【18 】u d i e e i ，n u m e r i c a li n t e g r a t i o no f t h ed i f f e r e n t i a lr i c c a t ie q u a t i o na n ds o m er e l a t e di s s u e s j s i a mjn u m e ra n a l ， 1 9 9 2 ，2 9 ( 3 ) ：7 8 1 - 8 1 5 【1 9 】v a d o u g a l i s ，n ，ak a m p a n i s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h ep a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hi n t e r f a c e s 哦tjc o m p u ta c o u s t ， 2 6 2 7 1 9 9 6 ，4 ：5 5 一s 8 ， f 2 0 re v a n s ，ac o u p l e dm o d es o l u t i o nf o ra c o u s t i cp r o p a g a t i o ni n aw a v e g u i d ew i t hs t e p w i s e r l a t i a n so fap e n e t r a b l e b o n o m j j a c o u s ts o ca m ，1 9 8 3 ，7 4 ：l8 8 1 9 5 娑 】r e v a n s , t h e f l a # a n e ds u r f a c e p a r a b o l i ce q u a t i o n y 。j a c o u s t s o c a m ，t 9 9 8 ，1 0 4 ：2 1 6 7 - 2 1 7 3 【2 2 lp i s h m a n ，o n e w a y w a v e p r o p a g a t i o nm e t h o d si nd i r e c ta n di n v e r s es c a l a rw a v ep r o p a g a t i o nr o o d e l i n g y ，r a d i os e i + 1 9 9 3 ，2 8 ( 5 ) ：8 6 5 8 7 6 f 2 习l f i s h r o a n ，d i r e c ta n di n v e r s ew a v ep r o p a g a t i o ni nt h ef r e q u e n c yd o m a i nv i at h ew e y lo p e r a t o rs y m b o lc a l c u l u s i n ：hhc u d n e y ( e d xv i b r a t i o nc o n t r o l ，a n a l y s i s ，a n di d e n t i f i c a t i o n ：1 9 9 5d e s i g ne n g i n e e r i n gt e c h n i c a lc o n f e r e n c e , d e ， v o l8 4 3 ，a s m e ，n e w1 b r k ，1 9 9 5 ，p p9 2 3 9 3 0 【2 4 l f i s h r o a n ，a - k g a u t e s e n ，z ，s u n ，u n i f o r mh i 曲- f r e q u e n c ya p p r o x i m a t i o n so ft h es q u a r er o o th e l m h o l t zo