2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版.pptx

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,目标导航,新知导学,课堂探究,1.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则把数量叫做a与b的(或),记作,即.规定零向量与任一向量的数量积为.,|a|b|cos,新知导学素养养成,数量积,内积,ab,ab=|a|b|cos,0,思考1:向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别?提示:向量的数量积ab是一个实数,而数乘向量a是一个向量.,2.向量的数量积的几何意义(1)投影:|a|cos(|b|cos)叫做向量a在方向上(b在方向上)的投影.(2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.,b,a,|b|cos,思考2:投影是向量还是数量?提示:投影是数量而不是向量,它可正、可负、可为零.,3.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量,为a与b的夹角.(1)ab.(2)当a与b同向时,ab=;当a与b反向时,ab=.,ab=0,|a|b|,-|a|b|,|a|2,(5)|ab|a|b|.思考3:若a,b是非零向量,则|ab|=|a|b|一定成立吗?提示:不一定.因为ab=|a|b|cos,所以只有|cos|=1,即a,b共线时才成立.思考4:若a,b,c是非零向量,且ac=bc,则a=b一定成立吗?提示:不一定.由ac=bc可得c(a-b)=0a-b=0或c(a-b).,4.向量数量积的运算律(1)ab=(交换律).(2)(a)b=(结合律).(3)(a+b)c=(分配律).思考5:对于向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc)一定成立吗?提示:不一定成立,因为若(ab)c0,则它与c共线,而a(bc)0时与a共线,而a与c不一定共线,故该等式不一定成立.,ba,(ab),a(b),ac+bc,名师点津,(1)扎实理解数量积的概念求两个向量a,b的数量积需知道三个量,即|a|,|b|及a,b的夹角,其结果不再是向量,而是数量.两个向量a,b的数量积记作ab,中间的实心小圆点不能省略,也不能把实心小圆点用乘号()代替.(2)要灵活掌握向量数量积的性质abab=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算.,课堂探究素养提升,题型一向量的数量积运算例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120,(1)求ab;(2)求a在b上的投影.,方法技巧,(1)在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,更不能省略不写.(2)求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab=|a|b|cos.若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量积的几何意义求ab.,即时训练1-1:已知a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求ab.(1)=135;(2)ab;(3)ab.,解:(1)ab=|a|b|cos=23cos135=-3.(2)当ab时,=0或180.若=0,则ab=|a|b|cos0=|a|b|=6;若=180,则ab=|a|b|cos180=-|a|b|=-6.(3)当ab时,ab=0.,题型二利用数量积解决垂直问题例2已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)(a-b).,证明:因为|2a+b|=|a+2b|,所以(2a+b)2=(a+2b)2,所以4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2,所以a2=b2,所以(a+b)(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,所以a+b0,a-b0,所以(a+b)(a-b).,方法技巧,(1)解本题的关键是找出a与b的关系,由已知条件不难找出a与b的关系.(2)非零向量ab=0ab是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效,应熟练掌握.,即时训练2-1:已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直.,备用例2已知单位圆O中的三条半径OA,OB,OC,它们相互之间的夹角为120,求证:ABOC.,题型三与向量模有关的问题例3已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|;(2)|3a-4b|.,互动探究:本例中若将“a与b的夹角为120”改为“ab=-1”,其他条件不变,则|a+2b|的值又是什么?,方法技巧,(1)此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系.,(3)由|a+b|2=a2+2ab+b2,|a-b|2=a2-2ab+b2相加可得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).其几何意义是平行四边形两条对角线的平方和等于其四边的平方和.,即时训练3-1:已知|a|=7,|b|=4,|a+b|=9,求|a-b|.,备用例3设e1,e2是夹角为45的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,试求|a+b|的值.,题型四与向量夹角有关的问题例4已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求b与a+b的夹角.,方法技巧,用同一个量表示ab,|a|,|b|,代入公式求解.借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.,即时训练4-1:已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.,纠错:夹角为钝角,并不包括夹角为的情况,而数量积小于零却包含了夹角为的情况.上面解法就是如此,应该把反向的情况排除.,学霸经验分享区,(1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a0,b0,0c是一个与c共线的向量,而(ac)b=|a|c|cosb是一个与b共线的向量,两者一般不同.(3)向量b在a上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于a,b的夹角,注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的,应结合图形加以区分.,课堂达标,B,解析:因为|ab|=|a|b|cos|=|a|b|cos|(为向量a与b的夹角),当且仅当=0或时,使|ab|=|a|b|,故B错.,C,3.已知|a|=4,|b